O comprimento x de um retângulo diminui à taxa de 7 cm/s, enquanto que a sua largura y aumenta à taxa de 7 cm/s. No instante em que x = 5 cm e y = 7 cm, determine a taxa de variação de seu perímetro.

Para encontrar a taxa de variação do perímetro de um retângulo em relação ao tempo, precisamos primeiro entender a fórmula do perímetro de um retângulo, que é dada por:

$$P = 2x + 2y$$

onde $P$ é o perímetro, $x$ é o comprimento e $y$ é a largura do retângulo.

A taxa de variação do perímetro em relação ao tempo pode ser encontrada derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo $t$. Isso nos dá:

$$\frac{dP}{dt} = 2\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt}$$

Sabemos que $\frac{dx}{dt} = -7 \, \text{cm/s}$ (o comprimento diminui à taxa de 7 cm/s, portanto a taxa é negativa) e $\frac{dy}{dt} = 7 \, \text{cm/s}$ (a largura aumenta à taxa de 7 cm/s).

Substituindo esses valores na equação, obtemos:

$$\frac{dP}{dt} = 2(-7) + 2(7)$$ $$\frac{dP}{dt} = -14 + 14$$ $$\frac{dP}{dt} = 0 \, \text{cm/s}$$

Portanto, no instante em que $x = 5 \, \text{cm}$ e $y = 7 \, \text{cm}$, a taxa de variação do perímetro do retângulo é $0 \, \text{cm/s}$, o que significa que o perímetro não está mudando nesse instante específico.