Por definição, uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números que compõem o intervalo em estudo.

Seja a função de uma variável real definida por:

f(x) = 3, se x

Q: Por definição, uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números que compõem o intervalo em estudo. Seja a função de uma variável real definida por: f(x) = 3, se x < 0 3x + 3, se x ≥ 0 Considerando as características da função f, analise as afirmações apresentadas no que segue: I. O limite da função f, quando x tende a zero, não existe porque os limites laterais são distintos. II. Os limites laterais da função f, quando x tende a zero, existem e são iguais. III. A função f é contínua em x = 0. Com base nas afirmações apresentadas, está correto o que se afirma apenas em:

Para analisar as afirmações, vamos calcular os limites laterais da função $ f(x) $ quando $ x \to 0 $. A função é dada por: \[ f(x) = \begin{cases} 3, & \text{se } x < 0 \\ 3x + 3, & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \] 1. **Limite lateral à esquerda ($ x \to 0^- $):** \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 3 \] 2. **Limite lateral à direita ($ x \to 0^+ $):** \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x + 3) = 3 \times 0 + 3 = 3 \] Como os limites laterais são iguais, o limite de $ f(x) $ quando $ x \to 0 $ existe e é igual a 3. Agora, vamos verificar as afirmações: I. **O limite da função $ f $, quando $ x \to 0 $, não existe porque os limites laterais são distintos.** - Incorreto. Os limites laterais são iguais, então o limite existe. II. **Os limites laterais da função $ f $, quando $ x \to 0 $, existem e são iguais.** - Correto. Ambos os limites laterais são 3. III. **A função $ f $ é contínua em $ x = 0 $.** - Correto. Para ser contínua em $ x = 0 $, precisamos que $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $. Temos: \[ f(0) = 3 \times 0 + 3 = 3 \] Assim, $ \lim_{x \to 0} f(x) = 3 = f(0) $. **Resposta correta: II e III.**

Question

Por definição, uma função é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números que compõem o intervalo em estudo.

Seja a função de uma variável real definida por:

f(x) = 3, se x < 0
       3x + 3, se x ≥ 0

Considerando as características da função f, analise as afirmações apresentadas no que segue:

I. O limite da função f, quando x tende a zero, não existe porque os limites laterais são distintos.
II. Os limites laterais da função f, quando x tende a zero, existem e são iguais.
III. A função f é contínua em x = 0.

Com base nas afirmações apresentadas, está correto o que se afirma apenas em:

Accepted Answer

Para analisar as afirmações, vamos calcular os limites laterais da função $ f(x) $ quando $ x \to 0 $.

A função é dada por:
$$ 
f(x) = 
\begin{cases} 
3, & \text{se } x < 0 \ 
3x + 3, & \text{se } x \geq 0 
\end{cases}
$$

1. **Limite lateral à esquerda ($ x \to 0^- $):**
   $$
   \lim_{x \to 0^-} f(x) = 3
   $$

2. **Limite lateral à direita ($ x \to 0^+ $):**
   $$
   \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x + 3) = 3 \times 0 + 3 = 3
   $$

Como os limites laterais são iguais, o limite de $ f(x) $ quando $ x \to 0 $ existe e é igual a 3.

Agora, vamos verificar as afirmações:

I. **O limite da função $ f $, quando $ x \to 0 $, não existe porque os limites laterais são distintos.**

- Incorreto. Os limites laterais são iguais, então o limite existe.

II. **Os limites laterais da função $ f $, quando $ x \to 0 $, existem e são iguais.**

- Correto. Ambos os limites laterais são 3.

III. **A função $ f $ é contínua em $ x = 0 $.**

- Correto. Para ser contínua em $ x = 0 $, precisamos que $ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) $. Temos:
     $$
     f(0) = 3 \times 0 + 3 = 3
     $$
     Assim, $ \lim_{x \to 0} f(x) = 3 = f(0) $.

**Resposta correta: II e III.**

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