Quando um prato circular é aquecido num forno, seu raio aumenta á taxa de 0,05 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio for 4 cm?
Dado: a área do círculo de raio r é A = πr².

Q: Quando um prato circular é aquecido num forno, seu raio aumenta á taxa de 0,05 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio for 4 cm? Dado: a área do círculo de raio r é A = πr².

Para encontrar a taxa de variação da área $A$ do prato em relação ao tempo, quando o raio $r$ é 4 cm, podemos usar a regra da cadeia para relacionar as taxas de variação. Sabemos que a taxa de variação do raio $r$ em relação ao tempo $t$ é $\frac{dr}{dt} = 0,05$ cm/min e queremos encontrar a taxa de variação da área $A$ em relação ao tempo $t$, ou seja, $\frac{dA}{dt}$, quando $r = 4$ cm. A fórmula dada para a área de um círculo é $A = \pi r^2$. Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo $t$, obtemos: \[ \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2) \] Aplicando a regra da cadeia, temos: \[ \frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} \] Substituindo $\frac{dr}{dt}$ por 0,05 cm/min e $r$ por 4 cm, obtemos: \[ \frac{dA}{dt} = 2\pi (4) (0,05) = 0,4\pi \text{ cm}^2/\text{min} \] Portanto, a taxa de variação da área do prato em relação ao tempo, quando o seu raio é 4 cm, é $0,4\pi$ cm$^2$/min.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a taxa de variação da área $A$ do prato em relação ao tempo, quando o raio $r$ é 4 cm, podemos usar a regra da cadeia para relacionar as taxas de variação. Sabemos que a taxa de variação do raio $r$ em relação ao tempo $t$ é $\frac{dr}{dt} = 0,05$ cm/min e queremos encontrar a taxa de variação da área $A$ em relação ao tempo $t$, ou seja, $\frac{dA}{dt}$, quando $r = 4$ cm.

A fórmula dada para a área de um círculo é $A = \pi r^2$.

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo $t$, obtemos:

$$
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2)
$$

Aplicando a regra da cadeia, temos:

$$
\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}
$$

Substituindo $\frac{dr}{dt}$ por 0,05 cm/min e $r$ por 4 cm, obtemos:

$$
\frac{dA}{dt} = 2\pi (4) (0,05) = 0,4\pi \text{ cm}^2/\text{min}
$$

Portanto, a taxa de variação da área do prato em relação ao tempo, quando o seu raio é 4 cm, é $0,4\pi$ cm$^2$/min.

Quando um prato circular é aquecido num forno, seu raio aumenta á taxa de 0,05 cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando o seu raio for 4 cm? Dado: a área do círculo de raio r é A = πr².

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