Sabendo que 3u⃗ −4v⃗ =2w⃗ , determinar c,b, c, sendo u⃗ =(2,−1,c),v⃗ =(a,b−2,3) e w⃗ =(4,−1,0).
A
Aluno
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04/10/24

Q: Sabendo que 3u⃗ −4v⃗ =2w⃗ , determinar c,b, c, sendo u⃗ =(2,−1,c),v⃗ =(a,b−2,3) e w⃗ =(4,−1,0).

Para determinar os valores de $a$, $b$ e $c$, vamos utilizar a relação dada $3\vec{u} - 4\vec{v} = 2\vec{w}$. Substituindo os vetores $\vec{u}$, $\vec{v}$, e $\vec{w}$ pelos seus valores dados, temos: \[3(2, -1, c) - 4(a, b-2, 3) = 2(4, -1, 0)\] Vamos resolver essa equação vetor por vetor. Para $\vec{u} = (2, -1, c)$, temos $3\vec{u} = 3(2, -1, c) = (6, -3, 3c)$. Para $\vec{v} = (a, b-2, 3)$, temos $4\vec{v} = 4(a, b-2, 3) = (4a, 4(b-2), 12)$. E para $\vec{w} = (4, -1, 0)$, temos $2\vec{w} = 2(4, -1, 0) = (8, -2, 0)$. Substituindo esses resultados na equação, obtemos: \[(6, -3, 3c) - (4a, 4(b-2), 12) = (8, -2, 0)\] Isso nos dá três equações, uma para cada componente dos vetores: 1. Para a componente x: $6 - 4a = 8$ 2. Para a componente y: $-3 - 4(b-2) = -2$ 3. Para a componente z: $3c - 12 = 0$ Resolvendo cada uma dessas equações separadamente: 1. Para $6 - 4a = 8$, temos: \[6 - 4a = 8 \implies -4a = 2 \implies a = -\frac{1}{2}\] 2. Para $-3 - 4(b-2) = -2$, simplificando: \[-3 - 4b + 8 = -2 \implies 5 - 4b = -2 \implies -4b = -7 \implies b = \frac{7}{4}\] 3. Para $3c - 12 = 0$: \[3c = 12 \implies c = 4\] Portanto, os valores de $a$, $b$, e $c$ são $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{7}{4}$, e $c = 4$.

Question

Sabendo que 3u⃗ −4v⃗ =2w⃗ , determinar c,b, c, sendo u⃗ =(2,−1,c),v⃗ =(a,b−2,3) e w⃗ =(4,−1,0).

Accepted Answer

Para determinar os valores de $a$, $b$ e $c$, vamos utilizar a relação dada $3\vec{u} - 4\vec{v} = 2\vec{w}$. Substituindo os vetores $\vec{u}$, $\vec{v}$, e $\vec{w}$ pelos seus valores dados, temos:

$$3(2, -1, c) - 4(a, b-2, 3) = 2(4, -1, 0)$$

Vamos resolver essa equação vetor por vetor.

Para $\vec{u} = (2, -1, c)$, temos $3\vec{u} = 3(2, -1, c) = (6, -3, 3c)$.

Para $\vec{v} = (a, b-2, 3)$, temos $4\vec{v} = 4(a, b-2, 3) = (4a, 4(b-2), 12)$.

E para $\vec{w} = (4, -1, 0)$, temos $2\vec{w} = 2(4, -1, 0) = (8, -2, 0)$.

Substituindo esses resultados na equação, obtemos:

$$(6, -3, 3c) - (4a, 4(b-2), 12) = (8, -2, 0)$$

Isso nos dá três equações, uma para cada componente dos vetores:

1. Para a componente x: $6 - 4a = 8$
2. Para a componente y: $-3 - 4(b-2) = -2$
3. Para a componente z: $3c - 12 = 0$

Resolvendo cada uma dessas equações separadamente:

1. Para $6 - 4a = 8$, temos:
$$6 - 4a = 8 \implies -4a = 2 \implies a = -\frac{1}{2}$$

2. Para $-3 - 4(b-2) = -2$, simplificando:
$$-3 - 4b + 8 = -2 \implies 5 - 4b = -2 \implies -4b = -7 \implies b = \frac{7}{4}$$

3. Para $3c - 12 = 0$:
$$3c = 12 \implies c = 4$$

Portanto, os valores de $a$, $b$, e $c$ são $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{7}{4}$, e $c = 4$.

Sabendo que 3u⃗ −4v⃗ =2w⃗ , determinar c,b, c, sendo u⃗ =(2,−1,c),v⃗ =(a,b−2,3) e w⃗ =(4,−1,0).

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