Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que os operários que chegam ao trabalho às 8h produziram em média Q(t) = -7t³+8t²+28t unidades após t horas de trabalho. Seja R(t) a taxa de produção dos operários, ou seja, R(t) = dQ/dt . Com que taxa R(t) está variando às 12 h?
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04/10/24

Q: Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que os operários que chegam ao trabalho às 8h produziram em média Q(t) = -7t³+8t²+28t unidades após t horas de trabalho. Seja R(t) a taxa de produção dos operários, ou seja, R(t) = dQ/dt . Com que taxa R(t) está variando às 12 h?

Para encontrar a taxa $R(t)$ com que a produção está variando às 12h, precisamos primeiro calcular a derivada de $Q(t)$ em relação a $t$, que nos dará $R(t)$, e depois substituir $t$ pelo número de horas trabalhadas até as 12h. Como os operários começam a trabalhar às 8h, às 12h eles terão trabalhado por 4 horas. Portanto, precisamos calcular $R(4)$. A função dada é: \[ Q(t) = -7t^3 + 8t^2 + 28t \] Agora, vamos calcular $R(t)$ encontrando a derivada de $Q(t)$ em relação a $t$: \[ R(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(-7t^3 + 8t^2 + 28t) \] Aplicando a regra da potência para derivar cada termo, temos: \[ R(t) = -21t^2 + 16t + 28 \] Agora, para encontrar a taxa $R(t)$ às 12h (ou seja, após 4 horas de trabalho), substituímos $t$ por 4: \[ R(4) = -21(4)^2 + 16(4) + 28 \] \[ R(4) = -21 \cdot 16 + 64 + 28 \] \[ R(4) = -336 + 64 + 28 \] \[ R(4) = -244 \] Portanto, a taxa com que a produção está variando às 12h é de $-244$ unidades por hora. Isso indica que, nesse ponto específico no tempo, a produção está diminuindo a uma taxa de 244 unidades por hora.

Question

Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que os operários que chegam ao trabalho às 8h produziram em média Q(t) = -7t³+8t²+28t unidades após t horas de trabalho. Seja R(t) a taxa de produção dos operários, ou seja, R(t) = dQ/dt . Com que taxa R(t) está variando às 12 h?

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Accepted Answer

Para encontrar a taxa $R(t)$ com que a produção está variando às 12h, precisamos primeiro calcular a derivada de $Q(t)$ em relação a $t$, que nos dará $R(t)$, e depois substituir $t$ pelo número de horas trabalhadas até as 12h. Como os operários começam a trabalhar às 8h, às 12h eles terão trabalhado por 4 horas. Portanto, precisamos calcular $R(4)$.

A função dada é:
$$ Q(t) = -7t^3 + 8t^2 + 28t $$

Agora, vamos calcular $R(t)$ encontrando a derivada de $Q(t)$ em relação a $t$:
$$ R(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(-7t^3 + 8t^2 + 28t) $$

Aplicando a regra da potência para derivar cada termo, temos:
$$ R(t) = -21t^2 + 16t + 28 $$

Agora, para encontrar a taxa $R(t)$ às 12h (ou seja, após 4 horas de trabalho), substituímos $t$ por 4:
$$ R(4) = -21(4)^2 + 16(4) + 28 $$
$$ R(4) = -21 \cdot 16 + 64 + 28 $$
$$ R(4) = -336 + 64 + 28 $$
$$ R(4) = -244 $$

Portanto, a taxa com que a produção está variando às 12h é de $-244$ unidades por hora. Isso indica que, nesse ponto específico no tempo, a produção está diminuindo a uma taxa de 244 unidades por hora.

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