Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V0 e uma pressão p0 até um estado B correspondente a um volume V1. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com 񑝽񑝰񑉰 5/3×񑉢Ȓ2/3 Determine a pressão p1 correspondente ao estado B. Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B. Supondo que essa expansão seja adiabática, qual a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminida?
A
Aluno
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04/10/24

Question

Um gás sofre um processo quase-estático e se expande a partir de um estado A caracterizado por um volume V0 e uma pressão p0 até um estado B correspondente a um volume V1. Nessa expansão a pressão varia com o volume de acordo com 񑝽񑝰񑉰 5/3×񑉢Ȓ2/3 Determine a pressão p1 correspondente ao estado B. Calcule o trabalho realizado pelo gás quando ele se expande do estado A até o estado B. Supondo que essa expansão seja adiabática, qual a variação da energia interna? O gás teve sua energia aumentada ou diminida?

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04/10/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos seguir os passos um de cada vez. Primeiro, determinaremos a pressão $p_1$ correspondente ao estado B. Depois, calcularemos o trabalho realizado pelo gás durante a expansão de A para B. Finalmente, discutiremos a variação da energia interna durante uma expansão adiabática e se a energia do gás aumentou ou diminuiu.

### 1. Determinando a Pressão $p_1$ no Estado B

A relação entre pressão e volume durante a expansão é dada por $pV^{5/3} = \text{constante}$. Isso significa que podemos escrever:

$$p_0 V_0^{5/3} = p_1 V_1^{5/3}$$

Podemos rearranjar esta equação para resolver $p_1$:

$$p_1 = p_0 \left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{5/3}$$

### 2. Calculando o Trabalho Realizado pelo Gás

O trabalho ($W$) realizado durante uma expansão ou compressão quase-estática é dado pela área sob a curva no diagrama p-V, que pode ser calculado como:

$$W = \int_{V_0}^{V_1} p \, dV$$

Dado que $p = p_0 \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-5/3}$, substituímos isso na equação de trabalho:

$$W = \int_{V_0}^{V_1} p_0 \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-5/3} \, dV$$

$$W = p_0 V_0^{5/3} \int_{V_0}^{V_1} V^{-5/3} \, dV$$

Resolvendo a integral, temos:

$$W = p_0 V_0^{5/3} \left[\frac{V^{-2/3}}{-2/3}\right]_{V_0}^{V_1}$$

$$W = -\frac{3}{2} p_0 V_0^{5/3} \left[V_1^{-2/3} - V_0^{-2/3}\right]$$

### 3. Variação da Energia Interna Durante a Expansão Adiabática

Para uma expansão adiabática, a variação da energia interna ($\Delta U$) é igual ao trabalho realizado pelo sistema, mas com sinal invertido, pois não há troca de calor com o ambiente ($Q = 0$). Assim:

$$\Delta U = -W$$

Substituindo o valor de $W$ encontrado acima:

$$\Delta U = \frac{3}{2} p_0 V_0^{5/3} \left[V_1^{-2/3} - V_0^{-2/3}\right]$$

### Conclusão sobre a Energia do Gás

Durante a expansão adiabática, a energia interna do gás diminui se ele realiza trabalho sobre o ambiente (o que é indicado pelo valor positivo de $W$). Isso significa que a energia interna do gás diminui, já que ele está fazendo trabalho sem receber calor do ambiente.

Portanto, o gás teve sua energia interna diminuída durante a expansão adiabática.

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