Um número cuja expansão decimal é \( 3, \overline{142857} \) é um número racional ou irracional?

Um número é considerado racional se pode ser expresso como a razão entre dois inteiros, isto é, na forma $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são inteiros e $b \neq 0$. Um número irracional, por outro lado, não pode ser expresso dessa forma.

O número $3,\overline{142857}$ tem uma expansão decimal periódica, o que significa que o grupo de dígitos "142857" se repete infinitamente. Isso é um indicativo de que o número é racional, pois números com expansões decimais periódicas podem ser expressos como frações.

Para converter $3,\overline{142857}$ em uma fração, podemos usar um método algébrico. Vamos chamar esse número de $x$:

$$x = 3,\overline{142857}$$

Multiplicamos $x$ por $10^6$ (já que há seis dígitos no período) para deslocar a vírgula seis casas à direita, fazendo com que os dígitos repetidos alinhem com os dígitos originais de $x$:

$$10^6x = 3142857,\overline{142857}$$

Agora, subtraímos $x$ de $10^6x$ para eliminar a parte decimal periódica:

$$10^6x - x = 3142857,\overline{142857} - 3,\overline{142857}$$ $$999999x = 3142854$$

Dividindo ambos os lados por 999999, obtemos:

$$x = \frac{3142854}{999999}$$

Esta fração pode ser simplificada. Dividindo o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum (MDC), que neste caso é 7, obtemos:

$$x = \frac{449266}{142857}$$

Simplificando mais uma vez pela divisão de ambos os termos por 7, chegamos a:

$$x = \frac{64238}{20409}$$

E, simplificando uma última vez (dividindo ambos os termos por 7), obtemos:

$$x = \frac{9182}{2913}$$

Dessa forma, $3,\overline{142857}$ é um número racional, pois conseguimos expressá-lo como a razão entre dois inteiros. Notei um erro na simplificação final; o correto após encontrar o MDC seria simplificar diretamente para a forma mais simples possível da fração. A forma correta após encontrar o MDC (7) é:

$$x = \frac{3142854}{999999} = \frac{142857}{285714} \cdot \frac{1}{7} = \frac{142857}{142857} = \frac{1}{7}$$

Assim, ao simplificar corretamente, temos:

$$x = 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$$

Portanto, $3,\overline{142857}$ é de fato um número racional, e a representação mais simples da expansão decimal dada inicialmente é $\frac{22}{7}$, que foi um erro de simplificação anterior. A representação correta baseada na abordagem inicial seria justificar que qualquer número com expansão decimal periódica é racional e pode ser expresso como uma fração, mas a simplificação exata depende do processo correto de manipulação algébrica, que aponta para a racionalidade do número dado pela sua natureza de expansão decimal periódica.