Verificar (com os três passos) se a função é contínu \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x^{2}-3 x+2 & \text { se } x>1 \\ 2 & \text { se } x=1 \\ 2-x^{2} & \text { se } x<1 \end{array} \quad \text { no ponto } x=1\right. \]
A
Aluno
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04/10/24

Q: Verificar (com os três passos) se a função é contínu \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x^{2}-3 x+2 & \text { se } x>1 \\ 2 & \text { se } x=1 \\ 2-x^{2} & \text { se } x<1 \end{array} \quad \text { no ponto } x=1\right. \]

Para verificar se a função $f(x)$ é contínua no ponto $x = 1$, precisamos seguir três passos: 1. **Verificar se $f(1)$ está definido.** 2. **Calcular o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$) e pela direita ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$).** 3. **Verificar se os limites laterais são iguais entre si e ao valor de $f(1)$.** ### Passo 1: Verificar se $f(1)$ está definido. De acordo com a definição da função, temos que $f(1) = 2$. ### Passo 2: Calcular os limites laterais. #### Limite quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda ($x 1$): Para $x > 1$, a função é dada por $f(x) = 2x^2 - 3x + 2$. Portanto, o limite à direita é: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 3x + 2) = 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 \] ### Passo 3: Verificar se os limites laterais são iguais entre si e ao valor de $f(1)$. Os cálculos mostram que: - O limite à esquerda é $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$. - O limite à direita é $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$. - O valor de $f(1) = 2$. Como os limites laterais são iguais entre si ($1$), mas não são iguais ao valor de $f(1)$, que é $2$, concluímos que a função **não é contínua** no ponto $x = 1$.

Question

Verificar (com os três passos) se a função é contínu
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 x^{2}-3 x+2 & \text { se } x>1 \
2 & \text { se } x=1 \
2-x^{2} & \text { se } x<1
\end{array} \quad \text { no ponto } x=1\right.
$$

Accepted Answer

Para verificar se a função $f(x)$ é contínua no ponto $x = 1$, precisamos seguir três passos: 1. **Verificar se $f(1)$ está definido.** 2. **Calcular o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda ($\lim_{x \to 1^-} f(x)$) e pela direita ($\lim_{x \to 1^+} f(x)$).** 3. **Verificar se os limites laterais são iguais entre si e ao valor de $f(1)$.** ### Passo 1: Verificar se $f(1)$ está definido. De acordo com a definição da função, temos que $f(1) = 2$. ### Passo 2: Calcular os limites laterais. #### Limite quando $x$ se aproxima de $1$ pela esquerda ($x < 1$): Para $x < 1$, a função é dada por $f(x) = 2 - x^2$. Portanto, o limite à esquerda é: $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2 - x^2) = 2 - 1^2 = 1 $$ #### Limite quando $x$ se aproxima de $1$ pela direita ($x > 1$): Para $x > 1$, a função é dada por $f(x) = 2x^2 - 3x + 2$. Portanto, o limite à direita é: $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - 3x + 2) = 2(1)^2 - 3(1) + 2 = 2 - 3 + 2 = 1 $$ ### Passo 3: Verificar se os limites laterais são iguais entre si e ao valor de $f(1)$. Os cálculos mostram que: - O limite à esquerda é $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$. - O limite à direita é $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$. - O valor de $f(1) = 2$. Como os limites laterais são iguais entre si ($1$), mas não são iguais ao valor de $f(1)$, que é $2$, concluímos que a função **não é contínua** no ponto $x = 1$.

Verificar (com os três passos) se a função é contínu \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x^{2}-3 x+2 & \text { se } x>1 \\ 2 & \text { se } x=1 \\ 2-x^{2} & \text { se } x<1 \end{array} \quad \text { no ponto } x=1\right. \]

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