Teoria das Estruturas II - Caderno Pedagógico

ENSINO A DISTÂNCIA TEORIA DAS ESTRUTURAS II Copyright 2021 by Editora Faculdade Avantis Direitos de publicação reservados à Editora Faculdade Avantis e ao Centro Universitário Avantis UNIAVAN Av Marginal Leste 3600 Bloco 1 88339125 Balneário Camboriú SC editoraavantisedubr Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Lei nº 10994 de 14 de dezembro de 2010 Nenhuma parte pode ser reproduzida transmitida ou duplicada sem o consentimento da Editora por escrito O Código Penal brasileiro determina no art 184 dos crimes contra a propriedade intelectual Editoração Patrícia Fernandes Fraga Tayane Medeiros dOliveira Projeto gráfico e diagramação Ana Lúcia Dal Pizzol Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca do Centro Universitário Avantis UNIAVAN Maria Helena Mafioletti Sampaio CRB 14 276 CDD 21ª ed 62417 Estruturas Engenharia civil Lima Alexandre Martins de L732td Teoria das estruturas II EAD Caderno pedagógico Alexandre Martins de Lima Balneário Camboriú Faculdade Avantis 2021 163 p il Inclui Índice ISBN 9786559012558 ISBNe 9786559012510 1 Estruturas Engenharia civil 2 Estruturas hiperestáticas Método das forças 3 Estruturas hiperestáticas Método da rigidez 4 Cargas em estruturas 5 Elementos estruturais Dimensionamento 6 Engenharia civil Ensino a Distância I Centro Universitário Avantis UNIAVAN II Título PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DA DISCIPLINA Apresentar discutir interpretar e aplicar conceitos que estejam em conformidade com o estabelecido pelas diretrizes curriculares CNECES dos cursos superiores de Engenharia Civil e Arquitetura e Urbanismo no que tange o desenvolvimento de atividades profissionais de coleta de dados estudo planejamento projeto e especificação de estruturas Exibir discutir interpretar e aplicar conceitos acerca do comportamento mecânico de estruturas e conjuntos de elementos estruturais associados aos sistemas estruturais específicos de maneira que possam atender de forma satisfatória às solicitações de trabalho e as condições de uso as quais estão submetidos Estimular o desenvolvimento de modelos cognitivos teóricos e práticos de interpretação análise crítica e proposição de solução para problemas de ordem mecânica nas estruturas Permitir a compreensão do comportamento mecânico das estruturas além da utilização de métodos científicos no desenvolvimento de projetos estruturais O PAPEL DA DISCIPLINA PARA A FORMAÇÃO DO ACADÊMICO A disciplina Teoria das Estruturas II é essencial para a formação profissional sólida de todo Arquiteto e Urbanista e Engenheiro Civil É ela que permite a estes profissionais a compreensão das características e dos comportamentos físicos dos distintos elementos estruturais que compõem as edificações e nelas exercem papéis importantes receber e transferir cargas com segurança e também manter a edificação em pé com estabilidade Para que você compreenda a importância das estruturas vamos fazer uma comparação com o corpo humano Como você um dia aprendeu o corpo de todo ser humano é composto de diversos sistemas em que cada um deles desempenha um papel específico Sistema Digestório Sistema Circulatório Sistema Respiratório Sistema Reprodutor Sistema Locomotor Sistema Esquelético dentre outros Peço a você que recorde de um sistema específico do corpo humano o Sistema Esquelético Observe que este sistema é responsável pela sustentação do nosso corpo apresentando unidades estruturais os ossos que através de conexões específicas suportam e transferem o carregamento de todos os nossos tecidos órgãos sistemas para áreas determinadas do corpo nas quais toda esta carga pode ser dissipada Veja também que para o Sistema Esquelético funcionar de maneira adequada e cumprir com as funções que lhe foram determinadas por milênios de evolução da natureza é necessário que sejamos cônscios de nossos limites seja no que tange o comportamento físico dos ossos bem como nossa capacidade de suportar cargas Uma vez que estes comportamentos não são compreendidos bem como os limites não são respeitados as consequências são fissuras chegando até o ponto da fratura Agora faça uma comparação com as estruturas de uma edificação ela é composta de unidades estruturais que são as barras verticais as barras horizontais placas cascas e cada um destes elementos assim como os ossos do nosso corpo suportam e transferem carregamento de todo o edifício para áreas determinadas em que esta carga pode ser dissipada Observe que para que as estruturas mencionadas trabalhem de maneira adequada e cumpram cada uma com as funções que lhes foram determinadas pelo projeto estrutural é necessário que tanto o engenheiro civil quanto o arquiteto urbanista conheçam comportamento físico bem como os limites de cada elemento seja uma barra horizontal uma barra vertical uma placa ou uma casca Assim é conhecendo o comportamento das estruturas que tanto engenheiros civis como arquitetos e urbanistas têm mais segurança no desenvolvimento de projetos estruturais e projetos arquitetônicos bem como proporcionam maior estabilidade e eficiência estrutural nas construções PROFESSOR APRESENTAÇÃO DO AUTOR ALEXANDRE MARTINS DE LIMA Sou Doutor em Desenvolvimento Sustentável no Trópico Úmido com área de concentração em História Social Tenho Mestrado em Engenharia Civil com área de concentração em Estruturas e Materiais Graduado em Arquitetura e Urbanismo formado pela Universidade Federal do Pará Sou professor no Ensino Superior desde 2002 atuante nos cursos de Arquitetura e Urbanismo Engenharia Civil Engenharia de Produção Engenharia Elétrica Design Gráfico Design de Interiores lecionando disciplinas que vão desde o Desenho à Mão Livre a Estruturas e Materiais de Construção O que me permite transitar em tantas disciplinas e cursos diferentes é minha sólida e variada formação acadêmica aliada à minha atuação profissional Estas são partes indissociáveis de um único universo a teorização acadêmica e a prática profissional Além de professor no Ensino Superior também desenvolvo projetos arquitetônicos através do Escritório SFN Arquitetura com sede em Belém mas atuante em toda a região Norte e Nordeste do Brasil Como arquiteto e urbanista desenvolvo projetos arquitetônicos e urbanísticos de baixa média e alta complexidade porém concentro minha produção em projetos de edificações residenciais unifamiliares e edificações de múltiplos pavimentos Lattes httplattescnpqbr6760812737854507 SUMÁRIO UNIDADE 1 ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DAS FORÇAS 11 INTRODUÇÃO À UNIDADE 12 11 GRAUS ESPECÍFICOS DE ESTATICIDADE12 12 MÉTODO DAS FORÇAS 18 121 Método das Forças Vigas 21 122 Método das Forças Pórticos 27 123 Método das Forças Treliças 32 CONSIDERAÇÕES FINAIS 43 EXERCÍCIO FINAL 44 REFERÊNCIAS 46 UNIDADE 2 ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ 47 INTRODUÇÃO À UNIDADE 48 21 MÉTODO DA RIGIDEZ 49 211 Método da Rigidez Treliças 52 212 Método da Rigidez Vigas 56 213 Método da Rigidez Pórticos 60 CONSIDERAÇÕES FINAIS 67 EXERCÍCIO FINAL 68 REFERÊNCIAS 71 UNIDADE 3 AÇÕES OU CARGAS EM ESTRUTURAS 73 INTRODUÇÃO À UNIDADE 74 31 AÇÕES OU CARREGAMENTOS PERMANENTES 77 32 AÇÕES OU CARREGAMENTOS VARIÁVEIS 82 33 CARREGAMENTOS VERTICAIS 84 34 AÇÕES PROVENIENTES DAS LAJES 86 35 CARREGAMENTOS HORIZONTAIS 86 351 Ação dos Ventos 88 CONSIDERAÇÕES FINAIS 101 EXERCÍCIO FINAL 102 REFERÊNCIAS 104 UNIDADE 4 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS105 INTRODUÇÃO À UNIDADE 106 41 DIMENSIONAMENTO DE PLACAS LAJES E MARQUISES 107 411 Lajes Armadas em Uma Direção 110 412 Lajes Armadas em Duas Direções 116 42 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS HORIZONTAIS VIGAS 130 421 Viga Simplesmente Armada à Flexão 131 422 Viga Duplamente Armada à Flexão 135 423 Viga Armada ao Cisalhamento 137 43 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS VERTICAIS PILARES 139 431 Índice de Esbeltez 140 432 Excentricidade das Cargas no Pilar 141 433 Área de Armadura Longitudinal 142 434 Armadura Mínima Longitudinal Espaçamento Longitudinal e Armadura Transversal 144 44 DIMENSIONAMENTO DE ESCADAS 149 441 Cálculo da Espessura 149 442 Esforços150 443 Cálculo da Área de Armadura 151 444 Cálculo da Quantidade e Espaçamento da Armadura 154 45 DIMENSIONAMENTO DE FUNDAÇÕES 155 451 Fundações Superficiais Sapatas 155 CONSIDERAÇÕES FINAIS 160 EXERCÍCIO FINAL 161 REFERÊNCIAS 163 1 UNIDADE ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DAS FORÇAS 12 TEORIA DAS ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO À UNIDADE Antes de abordarmos o método das forças em elementos e sistemas estruturais lembrese que um sistema é um conjunto de elementos interdependentes com o objetivo de formar um todo organizado que cumpre uma função específica tornandose necessário que antes definamos o que são estruturas hiperestáticas Na mecânica estrutural denominamos de estruturas hiperestáticas aquelas nas quais o número de reações é superior ao número de equações da estática Assim estas equações passam a ser insuficientes para a determinação de todas as reações em uma dada estrutura É importante mencionar que a hiperestaticidade é uma condição específica que está relacionada com o grau de estaticidade das estruturas Que tal lembrar dos três graus específicos de estaticidade estrutural Vamos lá 11 GRAUS ESPECÍFICOS DE ESTATICIDADE Existem três graus específicos de estaticidade que caracterizam as estruturas sendo elas classificadas Estruturas hipostáticas Estruturas isostáticas Estruturas hiperestáticas 9 Estruturas Hipostáticas De maneira simplificada as estruturas hipostáticas são aquelas nas quais o número de reações de apoio ou vinculares é inferior ao número das equações de equilíbrio ou 13 TEORIA DAS ESTRUTURAS II equações da estática disponíveis caracterizando o sistema pelo excesso de equações em relação ao número de reações como pode ser observado na Figura 01 Desta maneira o sistema apresenta N soluções e consequentemente não tem validade como proposta de solução estrutural Qualquer estrutura deste tipo não deve ser utilizada como proposta estrutural nos projetos de engenharia e de arquitetura uma vez que a maior característica das estruturas hipostáticas é a instabilidade o que acaba gerando algum tipo de movimentação na estrutura Esta característica é observada porque os apoios são insuficientes para restringir os movimentos da estrutura Porém é possível que aconteça de o carregamento impedir os graus de liberdade que os apoios não foram capazes de interditar Neste caso específico apresentase o que é definido como equilíbrio instável Figura 01 Exemplos de modelos hipostáticos nos quais a quantidade de reações é menor do que a quantidade de equações de equilíbrio Fonte Elaborada pelo autor 2021 É possível que a estrutura apresente reações de apoio superiores ao número de equações da estática no entanto pode ainda ser classificada como uma estrutura hipostática Para que isto ocorra basta que a estrutura esteja equilibrada somente em um único sentido não impedindo que uma força contrária em um sentido oposto desequilibre todo o sistema Um exemplo deste tipo de estrutura está na Figura 02 14 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 02 Carrinho de supermercado em que o usuário aplica forças e ele se movimenta Fonte Shutterstock 2021 Um carrinho de supermercado possui uma estrutura formada por barras solidarizadas Analisando o sistema é possível classificar como uma estrutura hipostática posto que se forem aplicadas forças horizontais neste carrinho ele apresentará movimento tanto linear quanto de rotação Também temos exemplos cotidianos de estruturas hipostáticas em mobiliários que usamos como cadeiras e mesas apresentado na Figura 03 15 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 03 Mesa e cadeiras estruturas hipostáticas Fonte Shutterstock 2021 Estes mobiliários são compostos principalmente por barras e placas à semelhança da estrutura de um edifício As cadeiras e mesas suportam os esforços do peso das pessoas sentadas ou apoiada neles no entanto sofrem deslocamento ao receberem ação de forças horizontais Um exemplo de estrutura semelhante são os guindastes de pórticos para containers Observando a Figura 04 a estrutura em si se apresenta estável exatamente como o comportamento observado em uma cadeira Porém ao receber força no plano horizontal ela se desloca Isto acontece para que ela possa transportar os containers de um local ao outro ao longo dos portos ao redor do globo 16 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 04 Guindastes de pórtico apresentam estrutura estável e firme capazes de suportar esforços no plano vertical A estrutura se desloca inteira ao receber esforços no plano horizontal Fonte Shutterstock 2021 9 Estruturas Isostáticas O prefixo iso presente no nome deste tipo de estrutura provém de uma palavra grega que significa igualdade Por consecução as estruturas isostáticas são aquelas em que o número das reações de apoio ou vinculares é igual ao número das equações de equilíbrio ou equações da estática disponíveis Assim dizse que o sistema é determinado Estas estruturas são caracterizadas por não possuírem nenhum tipo de movimento pois não apresentam nenhum grau de liberdade como pode ser observado na Figura 05 Figura 05 Modelos de viga simplesmente apoiada no qual o sistema é determinado devido o número de reações vinculares ser igual ao número de equações de equilíbrio Fonte Elaborada pelo autor 2021 17 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 9 Estruturas Hiperestáticas As estruturas hiperestáticas são as mais frequentemente utilizadas na construção civil uma vez que este tipo de infraestrutura possui uma espécie de reserva de segurança pois apresenta condições além das necessárias para manter o equilíbrio estático do sistema mantendo a sua estabilidade A hiperestaticidade é uma condição como mencionada no início desta introdução ocasionada pelo número de reações vinculares ser maior do que o número de equações de equilíbrio É importante lembrar que este tipo de estrutura apresenta graus diferentes de hiperestaticidade O excesso das reações em relação às equações de equilíbrio caracteriza cada grau de hiperestaticidade Desta forma temos o grau 01 e grau 02 como mostram as Figuras 6A e 6B Figura 6A Estrutura hiperestática grau 01 Figura 6B Estrutura hiperestática grau 02 Fonte Elaborada pelo autor 2021 IMPORTANTE Os graus de estaticidade têm a ver com a quantidade de reações de apoio e a quantidade de equações da estática Hipostática quantidade de reações é menor do que a quantidade de equações Isostática quantidade de reações é igual a quantidade de equações Hiperestática quantidade de reações é maior que a quantidade de equações 18 TEORIA DAS ESTRUTURAS II SUGESTÃO DE LEITURA Para você relembrar os conceitos trabalhados até aqui e avançar um pouco mais na análise estrutural recomendamos a leitura do PDF sobre Conceitos Básicos em Análise Estrutural em httpcoralufsmbrdeccECC1002DownloadsCap2Conceitosbasicosdeanali seestruturalpdf 12 MÉTODO DAS FORÇAS Agora que fizemos uma breve introdução sobre a estaticidade das estruturas começaremos a trabalhar com uma metodologia de avaliação e cálculo de estruturas hiperestáticas especificamente as vigas os pórticos e as treliças Perceba que pórticos e vigas são elementos muito utilizados nas construções desde a antiguidade Um exemplo clássico está na estrutura porticada do Partenon na Grécia que você pode ver na Figura 07 Vale ressaltar que na Arquitetura e Urbanismo o conjunto pilarvigapilar é também denominado de sistema arquitravado 19 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 07 Partenon na Acrópole de Atenas O conjunto vigapilarviga que compõe pórticos sucessivos também é conhecido na arquitetura como sistema arquitravado Fonte Shutterstock 2021 Já as treliças se popularizaram nas construções principalmente após a Revolução Industrial com a introdução das barras metálicas na construção civil As treliças foram utilizadas em diversas pontes ao redor do mundo como pode ser observado na Figura 08 Isto ocorreu não só por sua grande capacidade de receber e transmitir cargas como também pela possibilidade de vencer grandes vãos 20 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 08 Ponte treliçada da Ferrovia Union Pacific atravessando o Rio Neosho em Fort Gibson Oklahoma Estados Unidos A ponte ainda permanece em uso Fonte Shutterstock 2021 Agora que você estudante já lembrou dos elementos estruturais relevantes na história da construção mundial neste momento é importante estabelecer um método avaliativo de estruturas Utilizar um método de avaliação é fundamental uma vez que ele organiza o trabalho do engenheiro civil e do arquiteto e urbanista estabelece como princípio inicial a coleta de dados posteriormente a avaliação das peças estruturais e do sistema em geral e posteriormente a proposição do cálculo e sua validação Para que possamos trabalhar de maneira adequada com o Método das Forças é importante observarmos que na maioria dos modelos de Engenharia Civil e de Arquitetura e Urbanismo as estruturas projetadas construídas e analisadas apresentam mais reações de apoio do que com ações da estática caracterizando assim sistemas estruturais hiperestáticos necessitando de mais equações auxiliares para serem resolvidas O Método das Forças também é denominado de Método da Flexibilidade pois utiliza as condições de compatibilidade de deslocamentos para que sejam então determinadas as redundantes estáticas obtendo desta forma as reações de apoio da estrutura em análise O Método das Forças parte do pressuposto de que a estrutura está necessariamente em regime elásticolinear ocorrendo pequenos deslocamentos e 21 TEORIA DAS ESTRUTURAS II deformações na estrutura fazendo o uso do Princípio da Superposição de Efeitos PSE Para desenvolver a análise correta de uma estrutura hiperestática através do Método das Forças ou da Flexibilidade é necessário considerar as etapas distintas a seguir 1ª etapa Executar a liberação da estrutura tornandoa uma estrutura isostática 2ª etapa Empregar o princípio da Superposição de Efeitos PSE para efetuar a decomposição da estrutura em sistemas interdependentes 3ª etapa Fazer a determinação dos deslocamentos 4ª etapa Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural 5ª etapa Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantes e deformações na estrutura 121 Método das Forças Vigas Consideraremos as etapas do método acima descrito para realizar a análise e o cálculo de vigas Cabe lembrar que as vigas são elementos estruturais sujeitos a carregamentos transversais As vigas são comumente utilizadas no sistema lajeviga pilar e têm como função estrutural Transferir os esforços verticais recebidos diretamente das lajes para os pilares Transmitir uma carga estrutural concentrada caso esta sirva de apoio a um pilar Para aplicação direta do Método das Forças tomaremos como elemento de primeira análise o cálculo de uma viga engastada e apoiada Calcularemos as reações de apoio na viga e traçaremos os diagramas dos esforços Consideraremos como atuantes na peça estrutural apenas a flexão como efeito de deformação bem como a rigidez constante na barra conforme a Figura 09 22 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 09 Barra horizontal hiperestática engastada e apoiada Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 Consideraremos para o exemplo em questão a carga q 10kNm e comprimento L 3m Vamos às etapas do método das forças 1ª etapa Executar a liberação da estrutura tornandoa uma estrutura isostática vamos então eliminar o apoio do ponto B conforme mostra a Figura 10 e assim transformaremos a barra em uma viga em balanço e o problema passa a ser isostático Figura 10 Barra horizontal isostática engastada Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 2ª etapa Empregar o princípio da Superposição de Efeitos PSE para efetuar a decomposição da estrutura em sistemas interdependentes assim a estrutura isostática será dividida em duas uma estrutura básica sem o apoio B que denominaremos de SISTEMA 0 e a estrutura com o engaste que denominaremos SISTEMA 1 conforme mostra a Figura 11 23 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 11 Barra horizontal isostática decomposta em sistemas distintos Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 3ª etapa Fazer a determinação dos deslocamentos Desta forma vamos calcular os deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos começando pelo Sistema 0 A fórmula do deslocamento é a seguinte δ qL4 8EI Em que δ é o deslocamento causado pelo carregamento j no grau de liberdade deslocamento ou rotação associado ao hiperestático i No sistema 0 δ é o deslocamento vertical no ponto B movimento restringido pelo hiperestático X1 então i 1 pelo carregamento externo para carregamento externo sempre igual a 0 Faremos o cálculo do Sistema 1 Deslocamento vertical no ponto B movimento restringido pelo hiperestático X1 então i 1 pela carga unitária associada ao hiperestático X1 então j 1 Neste sistema será calculado o deslocamento ocasionado pela carga unitária 24 TEORIA DAS ESTRUTURAS II aplicada na direção do hiperestático 1 X1 Assim a estrutura real e virtual neste sistema é igual e formada pela carga unitária na ponta do balanço Mx mx x O trabalho externo realizado pela carga virtual unitária no ponto B será dado pela formulação Wext 1 δ11 O trabalho interno na estrutura será considerando apenas a parcela de flexão 4ª etapa Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural Quando dividimos a estrutura inicial em dois sistemas o Sistema 0 e o Sistema 1 foram mantidas as mesmas condições dos esforços nas estruturas no entanto perdeuse a condição de deslocamento vertical no apoio B Para que possamos restaurar o sistema considerado é necessário igualar a soma dos deslocamentos dos sistemas no ponto B ao deslocamento final do apoio B ou seja zero δB δ0 δ1 X1 0 A partir desta fórmula extraise o valor de 25 TEORIA DAS ESTRUTURAS II RB X1 RB X1 3qL 8 É importante observar que o sinal negativo é indicador que a direção considerada para reação de apoio é contrária do estabelecido nos exemplos anteriores Assim com esta reação determinada através de cálculos as demais podem ser calculadas com as equações de equilíbrio da estática determinadas a seguir HA 0 RA 5qL 8 MA qL2 8 5ª etapa Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantes e deformações na estrutura Para tanto vamos voltar ao início do problema em que foram estabelecidos a carga q 10kNm e comprimento L 3m As Figuras de 12 a 14 demonstram os diagramas das reações de apoio do esforço cortante e do momento fletor 26 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 12 Reações de apoio calculadas Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de LOPEZ 2018 Figura 13 Gráfico do esforço cortante na barra Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de LOPEZ 2018 Figura 14 Gráfico do momento fletor na barra Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de LOPEZ 2018 27 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 122 Método das Forças Pórticos Uma ótima aplicação do Método das Forças ocorre em pórticos estaticamente indeterminados com um andar Para mais andares um método mais aconselhável seria o método da rigidez Para elucidar esta aplicação do Método das Forças em Pórticos observe a Figura 15 Figura 15 Pórtico hiperestático biapoiado Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 1ª etapa Executar a liberação da estrutura tornandoa uma estrutura isostática vamos então dar um grau de liberdade ao apoio da esquerda Assim o apoio que era do 2º grau se transforma em 1º grau 28 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 16 Pórtico isostático biapoiado Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Suponha que o Módulo de Elasticidade do pórtico seja de 205GPa e o Módulo de Elasticidade seja de 1686cm4 Vamos agora determinar as reações de apoio do pórtico 2ª etapa Empregar o princípio da Superposição de Efeitos PSE para efetuar a decomposição da estrutura em sistemas interdependentes assim a estrutura isostática será dividida em duas uma estrutura básica com apoio do 1º e do 2º grau que denominaremos de SISTEMA 0 e a estrutura com dois apoios do 2º grau que denominaremos SISTEMA 1 conforme mostra a Figura 17 SISTEMA 0 29 TEORIA DAS ESTRUTURAS II SISTEMA 1 Figura 17 Superposição de efeitos Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 3ª etapa Fazer a determinação dos deslocamentos Desta forma vamos calcular os deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos começando pelo SISTEMA 0 A fórmula do deslocamento é a seguinte 30 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Já para o SISTEMA 1 o deslocamento 4ª etapa Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural Quando dividimos a estrutura inicial em dois sistemas o SISTEMA 0 e o SISTEMA 1 foram mantidas as mesmas condições dos esforços nas estruturas no entanto perdeuse a condição de deslocamento vertical no apoio da esquerda Para que possamos restaurar esta condição no sistema considerado é necessário igualar a soma dos deslocamentos dos sistemas ao deslocamento final do apoio ou seja zero Aplicando as três equações da estática chegamos às demais reações conforme Figura 18 31 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 18 Reações do Pórtico Hiperestático biapoiado Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 5ª etapa Desenvolver o cálculo dos esforços solicitantes e deformações na estrutura As Figuras de 19 e 20 demonstram os diagramas do esforço cortante e do momento fletor Figura 19 Gráfico do esforço cortante na barra Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 32 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 20 Gráfico do momento fletor na barra Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 123 Método das Forças Treliças Em estruturas treliçadas o grau de hiperestaticidade é determinado pela equação Entendese que b é o número de barras o R o número de reações e N o número de nós Caso a inequação não seja atendida e os termos que estão à esquerda sejam iguais aos termos que estão à direita a treliça será considerada isostática e não hiperestática O Método das Forças é adequado para treliças indeterminadas estaticamente de primeiro e segundo graus O exemplo a seguir ilustra uma destas situações Para elucida esta aplicação do Método das Forças em Treliças faremos o exemplo da Figura 21 33 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 21 Treliça hiperestática Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Repare que se empregarmos a equação Teremos Logo a treliça é hiperestática grau 1 Vamos calcular o esforço interno solicitante na barra AC considerando AE o mesmo para todas as barras 34 TEORIA DAS ESTRUTURAS II IMPORTANTE Para calcular os esforços solicitantes vamos utilizar o Método das Forças em suas cinco etapas 01 Liberar a estrutura 02 Aplicar a superposição dos efeitos 03 Determinar os deslocamentos 04 Compatibilização estrutural 05 Calcular esforços e deformações 1ª etapa Vamos cortar a barra AC de modo que ela não resista a nenhum esforço Figura 22 Treliça isostática Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Suponha que o Módulo de Elasticidade do pórtico seja de 205GPa e a área da seção transversal seja de 100cm4 Vamos determinar as reações de apoio do pórtico 35 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 2ª etapa Empregar o princípio da Superposição de Efeitos PSE para efetuar a decomposição da estrutura em sistemas interdependentes Assim a estrutura isostática será dividida em duas uma estrutura básica sem a barra AC que denominaremos de SISTEMA 0 e a estrutura com uma carga redundante na barra AC que denominaremos SISTEMA 1 3ª etapa Fazer a determinação dos deslocamentos Desta forma vamos calcular os deslocamentos para cada um dos sistemas decompostos começando pelo SISTEMA 0 A fórmula do deslocamento é a seguinte Já para o SISTEMA 1 o deslocamento 4ª etapa Fazer a aplicação da condição de compatibilidade estrutural Quando dividimos a estrutura inicial em dois sistemas o SISTEMA 0 e o SISTEMA 1 é necessário agora igualar a soma dos deslocamentos dos sistemas ao deslocamento final do apoio ou seja zero 36 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Como o resultado foi positivo dizse que a barra está sujeita à tração 5ª etapa Pelo Método dos Nós é possível calcular todos os demais esforços nas barras restantes conforme Figura 23 Figura 23 Reações e Esforços Internos Solicitantes da Treliça Hiperestático Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 SUGESTÃO DE VÍDEO Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui assista ao vídeo sobre o Método das Forças httpswwwyoutubecomwatchvjWmWaiazK34 37 TEORIA DAS ESTRUTURAS II SUGESTÃO DE LEITURA Para que você avance além dos conceitos e exemplos trabalhados nesta Unidade recomendamos que você faça a leitura do PDF sobre estruturas estatica mente indeterminadas através do link httpscoreufscbrfiles201903Apostila190311pdf NA PRÁTICA Pratique um pouco mais do assunto estudado na Unidade 1 através dos exercí cios práticos EXERCÍCIO A Usando o método das forças calcule as reações na viga Figura 24 Considere como constante os valores de EI Figura 24 Viga Hiperestática Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Considerando RB como redundante a viga se transforma em isostática do tipo engastada e livre O deslocamento na extremidade livre é calculado como 38 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Agora introduzindo a reação RB como carga a viga fica engastada e livre com uma carga na extremidade Neste caso o deslocamento será calculado por Fazendo Aplicando as três equações da estática chegase ao valor das outras reações EXERCÍCIO B Usando o Método das Forças calcule as reações no pórtico Figura 25 Consi dere como constante os valores de EI 39 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 25 Pórtico Hiperestática Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Considerando MA como redundante o engaste do pórtico se transforma em um apoio do 2º gênero tornando a estrutura isostática A rotação neste caso pode ser calculada como 40 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Agora introduzindo a reação MA como binário unitário real deste modo Fazendo Aplicando agora as três equações da estática chegase ao valor das outras reações EXERCÍCIO C Usando o Método das Forças calcule o esforço interno solicitante na barra CE Figura 26 Considere a área da seção transversal das barras da treliça A400mm² o momento de inércia da viga AF igual a 20106mm4 e o módulo de elasticidade de todas as peças igual a 200GPa 41 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 26 Viga treliçada Hiperestática Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Como se deseja calcular o esforço na barra CE inicialmente esta será suprimida para que a estrutura se transforme em isostática Assim o deslocamento será em função apenas da viga principal Agora aplicando uma carga unitária real e uma carga unitária virtual nas extremidades do membro CE temse δ₁ ₀ᴸ m² E I dx n² L A E 2 ₂⁰ 05 x₁² 200 10⁹ 20 10⁶ dx₁ 2 ₃² 1² 200 10⁹ 20 10⁶ dx₂ 2 05² 1 400 10⁶ 200 10⁹ 2 1² 2 400 10⁶ 200 10⁹ δ₁ 09345 10³ Fazendo 7333 10³ Fₐₑ δ₁ 0 0333 E I Fₐₑ 09345 10³ 0 Mₐ 781kN 42 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 43 TEORIA DAS ESTRUTURAS II CONSIDERAÇÕES FINAIS Através dos exemplos dados e resolvidos é esperado que você tenha conseguido fixar de forma adequada as etapas do Método das Forças É importante que ao realizar os exercícios particione o problema por meio das diversas etapas que tratamos aqui Momentaneamente este Método suprime a força excedente tornando a viga isostática ocasionando um novo cálculo do grau de liberdade assim como posteriormente se introduz a força retirada como carga e se calcula o deslocamento ou rotação para este caso Assim o Método introduz equações que juntamente as três equações da estática serão suficientes para calcular os esforços na estrutura hiperestática O Método das Forças encontra aplicabilidade prática em diversas situações cotidianas desde pequenas obras como residências obras de mediano porte como edificações comerciais e projetos de grande monta como hospitais shopping centers dentre outros Assim não importa a dimensão ou porte do que você esteja calculando No entanto para aplicação adequada do Método é necessário observar que partimos sempre do pressuposto de que a estrutura está em regime elástico linear ocorrendo pequenos deslocamentos e deformações na estrutura fazendo uso do princípio da superposição de efeitos PSE 44 TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO FINAL QUESTÃO 01 Calcule a reação RA que o vínculo A deve produzir para equilibrar a viga a 587kN b 918kN c 758kN d 00kN e 1345kN QUESTÃO 02 Calcule a reação RB que o vínculo B deve produzir para equilibrar a viga a 587kN b 918kN c 758kN d 00kN e 1345kN 45 TEORIA DAS ESTRUTURAS II QUESTÃO 03 Calcule a reação MA que o vínculo A deve produzir para equilibrar a viga a 587kNm b 918kNm c 758kNm d 00kNm e 1345kNm 46 TEORIA DAS ESTRUTURAS II REFERÊNCIAS HIBBELER R C Análise das Estruturas 8a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEET Kenneth M GILBERT Anne M UANG Chia Ming Fundamentos da análise estrutural 3a ed Porto Alegre AMGH 2009 LOPEZ Rafael Holdorf Estruturas estaticamente indeterminadas UFSC 2018 Disponível em httpscoreufscbrfiles201903Apostila190311pdf UNIDADE2 ESTUDO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ 48 TEORIA DAS ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO À UNIDADE O Método da Rigidez pode ser encontrado em obras de referência de análise estrutural com as seguintes denominações Método Direto da Rigidez Método Matricial da Rigidez e também Método dos Deslocamentos Assim como o Método explorado no capítulo anterior o Método da Rigidez é uma metodologia de análise e de cálculo passível de aplicação em estruturas hiperestáticas de barras que se comportam de forma elástica linear Esta é uma condição de contorno que necessariamente deve ser obedecida para o uso do Método da Rigidez É importante ressaltar que este Método é bastante utilizado para realização de análise computacional de qualquer estrutura uma das ferramentas de análise e cálculo o software FTOOL utiliza este Método mesmo daquelas estruturas estaticamente indeterminadas Uma curiosidade sobre esta metodologia de análise estrutural é que foi originado no campo aeronáutico Os engenheiros aeroespaciais conseguiram aproximar o comportamento estrutural de partes específicas de uma aeronave a partir do uso de equações relativamente simples mas que demandavam muito tempo de cálculo seja com a antiga régua de cálculo ou com auxílio de calculadora como a HP Com o crescente emprego de computadores na engenharia civil e o surgimento de programas específicos de cálculo estrutural o uso destas equações começou a ser resolvido de maneira muito mais fácil mais simples e mais rápido pois demandavam pouquíssimo tempo de processamento computacional O método direto dá rigidez e é a aplicação mais comumente difundida do Método dos Elementos Finitos MEF Através dele as propriedades destes materiais são computadas em apenas uma única equação matricial que determina o comportamento interno da estrutura projetada Os dados que se desconhecem na estrutura ou seja que são indeterminados são as forças e também os deslocamentos que podem ser determinados através da resolução desta equação Nos próximos tópicos exploraremos junto a você a aplicação prática do Método da Rigidez ou Método dos Deslocamentos em vigas pórticos e treliças 49 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 21 MÉTODO DA RIGIDEZ O Método da Rigidez ou método matricial de análise e cálculo de estruturas parte da condição básica de atribuir a cada barra elástica da estrutura considerada uma matriz de rigidez denominada de matriz de rigidez do elemento Importante observar que isto é feito para cada uma das barras Partindo do conjunto de matrizes de cada elemento mediante uma matriz de conectividade que estabelece a maneira como as barras são conectadas através de nós chegase a uma matriz denominada matriz de rigidez global É nesta matriz que encontraremos relacionados os deslocamentos dos nós com as forças equivalentes sobre cada um deles de acordo com a equação a seguir Figura 27 Equação matricial Fonte Elaborada pelo autor 2021 Nesta equação Fi são as forças nodais equivalentes sobre a estrutura considerada Ri são as reações e hiperestáticas desconhecidas atuantes na estrutura δi são os deslocamentos nodais que são as incógnitas da estrutura n é o número de graus de liberdade observados na estrutura 50 TEORIA DAS ESTRUTURAS II A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos da matriz de rigidez segundo a relação expressa na equação seguinte kij δi δj Considerando as condições de aplicação do Teorema de MaxwellBetti deduzse que a matriz de rigidez deve ser simétrica e assim sendo conduz ao seguinte kij kji IMPORTANTE O Teorema de MaxwellBetti também conhecido como Teorema da Reciproci dade demonstra que se em uma estrutura considerada pelo engenheiro civil ou arquiteto o comportamento exibido for elástico linear ao se considerar dois sistemas de força f1 e f2 que provoquem dois campos de deslocamentos Df1 e Df2 então o produto das forças do sistema F1 com o deslocamento no ponto de aplicação obtido no sistema F2 é igual ao produto das forças do sistema F2 com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema F1 Isto posto o passo seguinte é construir o vetor de força de nodais equivalentes a partir das forças aplicadas sobre cada barra É importante lembrar que este vetor depende das ações externas sobre a estrutura considerada e junto a estas forças devese considerar também as possíveis reações sobre a estrutura em seus apoios cujos valores são desconhecidos A partir daí constróise um sistema linear de equações que servirá para os deslocamentos e para as incógnitas O número de reações e deslocamentos incógnitos dependerá do número de nós É igual a 3N para problemas bidimensionais É igual a 6N para problemas tridimensionais 51 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Este sistema gerado para efeito de cálculo pode ser dividido em dois subsistemas de equações Subsistema 1 neste subsistema serão agrupadas todas as equações lineares do sistema original que contém somente os deslocamentos incógnitos Subsistema 2 este subsistema age para o restante das equações e assim que todo o subsistema um for resolvido os valores serão substituídos no subsistema dois permitindo que o engenheiro calculista e o arquiteto e urbanista encontrem os valores das reações incógnitas IMPORTANTE A resolução do subsistema 1 de equações trará o resultado dos deslocamen tos Os valores encontrados serão em seguida utilizados no subsistema dois cuja resolução é mais trivial e simples Por fim a partir das reações das forças das equivalentes e dos deslocamentos são calculados os esforços nas uniões das barras que são os nós a partir dos quais podem ser determinados os esforços em qualquer ponto desejado da estrutura e portanto suas tensões máximas que permitem dimensionar adequadamente todas as sessões da estrutura considerada SUGESTÃO DE VÍDEO Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da Rigidez assista ao vídeo sobre os seus conceitos iniciais httpswwwyoutubecomwatchvCWnhKpLW7Ek 52 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 211 Método da Rigidez Treliças Para esta aplicação devese considerar a treliça rotulada pois será possível determinar a matriz de rigidez K Para isto primeiramente é estabelecido a matriz de rigidez de cada barra k da treliça Consequentemente as forças desenvolvidas em cada barra são calculadas pelo sistema de matrizes Sendo a matriz de rigidez de cada membro calculado por E a matriz coluna d é o deslocamento imposto sobre as extremidades de cada membro Como a treliça é formada de várias barras devese transformar as matrizes q e d definidos em coordenadas locais para coordenadas globais Para isto primeiramente calculamos os termos dos cossenos diretores para a primeira barra De modo que a transformação de coordenadas locais em globais se dê em Fazendo o mesmo para as cargas temse Fazendo a devida substituição de d em q 53 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Agora substituindo q em Q resulta Em que Por fim Para elucidar devese determinar a matriz de rigidez para a treliça a seguir considerando AE constantes 54 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 28 Treliça exemplo considerando AE constantes Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Posicionando os deslocamentos nos nós de 1 a 6 o número dos nós de 1 a 3 e o número de barras 1 e 2 podese reescrever a treliça Figura 29 Treliça exemplo considerando o início do cálculo dos esforços atuantes Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 55 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Calculandose os termos dos cossenos diretores para a primeira barra fazse A matriz de rigidez para a barra 1 será Calculandose os termos dos cossenos diretores para a segunda barra fazse A matriz de rigidez para a barra 1 será Note que esta matriz possui seis linha e seis colunas mas algumas delas estão ocultas por possuírem valores nulos porém na hora de somar e a resultante K 56 TEORIA DAS ESTRUTURAS II será uma matriz 6x6 conforme visto a seguir SUGESTÃO DE VÍDEO Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da Rigidez aplicado às treliças assista ao vídeo abaixo httpswwwyoutubecomwatchvtswcG7MyVDA 212 Método da Rigidez Vigas Os conceitos apresentados no tópico anterior serão amplificados para uma análise de vigas No caso de vigas podemos abreviar a análise matricial como Sendo que 57 TEORIA DAS ESTRUTURAS II A matriz de rigidez do membro k é simétrica sendo cada membro a representação dos deslocamentos de força cortante e momento fletor O valor de é o deslocamento e é a rotação enquanto e são as forças cortantes e e são os momentos Como exemplo pedese para calcular as reações de apoio da viga a seguir Figura 30 Viga exemplo biapoiada e com balanço Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Identificando todos os elementos da viga temse a imagem a seguir 58 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 31 Viga exemplo iniciando o cálculo de esforços Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Os valores de 1 a 6 são os códigos dos elementos sendo de 1 a 4 os graus de liberdade não restringidos e 5 e 6 os restringidos Por isso temse Assim cada elemento da viga terá sua própria matriz de viga E 59 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Montando a matriz de rigidez de deslocamentos e cargas temse Fazendo a multiplicação das quatro primeiras linhas por coluna e igualando chegamos às equações Resolvendo este sistema de quatro incógnitas e quatro equações o resultado é 60 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Agora fazse a multiplicação das duas últimas linhas pela coluna e se iguala aos valores de Q logo 213 Método da Rigidez Pórticos Todos os conceitos apresentados anteriormente darão subsídio para a aplicação a seguir contudo para pórticos será exigido o uso de matrizes de transformação já que os membros têm orientação diferentes Os resultados de seis relações de deslocamentocargas resultantes para o membro do pórtico podem ser expressos como Sendo o q a matriz coluna responsável pelas forças axiais cortantes e momentos fletores o k a matriz de rigidez e o d os deslocamentos locais Para se chegar a matriz coluna d devese fazer T é a matriz transformação que transforma a matriz de deslocamentos globais D na matriz de deslocamentos locais d Consequentemente O mesmo acontece na matriz de componente de cargas que é igual a 61 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Assim Ou Por fim O k é que a matriz de rigidez global para o membro com a seguinte aparência Para aplicar a teoria anterior consideremos o pórtico a seguir que se deve calcular as cargas nos nós Devese considerar e para cada membro 62 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 32 Pórtico exemplo Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Considerando a origem da coordenada global em 1 deste modo Figura 33 Pórtico exemplo iniciando o cálculo de esforços Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 63 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Assim Os termos da matriz k são previamente calculados abaixo Calculando para o membro 1 os termos dos cossenos diretores para a primeira barra fazse Consequentemente 64 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Calculando os termos dos cossenos diretores para a primeira barra para o membro 2 fazse Consequentemente Fazendo Expandido a expressão acima para se determinar os deslocamentos temse 65 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Resolvendo o sistema acima chegase Aplicando este resultado em é possível calcular as reações No nó 2 é possível se determinar os esforços internos aplicando O resultado segue abaixo 66 TEORIA DAS ESTRUTURAS II SUGESTÃO DE VÍDEO Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui sobre o Método da Rigidez aplicado em pórticos assista ao vídeo abaixo httpswwwyoutubecomwatchvOhaoBt7FwE SUGESTÃO DE LEITURA Para você reforçar o conhecimento trabalhado até aqui e avançar além dos conceitos e exemplos dados recomendamos que você faça a leitura complemen tar através do seguinte link httpeventosifgedubrsecitecitumbiarawpcontentuploadssites920180310Aplica C3A7C3A3odomC3A9tododarigidezdiretanaanC3A1lisematricialdetreli C3A7aspdf 67 TEORIA DAS ESTRUTURAS II CONSIDERAÇÕES FINAIS O Método da Rigidez é um excelente sistema para calcular os esforços atuantes além de possuir aplicação tanto em estruturas isostáticas quanto em estruturas hiperestáticas Todavia ele se torna mais complexo à medida que o suporte tem muitas barras nós e vínculos Deste modo resulta em matrizes grandes que em muitas situações são difíceis de serem calculadas à mão Esta última afirmação é facilmente resolvida se você arquiteto e urbanista e engenheiro civil estiver sendo auxiliado por algum aplicativo computacional Os principais software estruturais utilizam o Método da Rigidez em seus cálculos Por isto esta técnica é excelente para ser implementada em computadores Cabe ao futuro profissional compreender como é o processo de cálculo destes software para poder realizar suas próprias interpretações e análises estruturais 68 TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO FINAL QUESTÃO 01 Para aplicar o método da rigidez em treliças devese considerar a treliça rotulada pois assim será possível determinar a matriz de rigidez K Para isto primeiro se estabelece a matriz de rigidez de cada barra k da treliça Consequentemente as forças desenvolvidas em cada barra são calculadas pelo sistema de matrizes a b c d e f QUESTÃO 02 Sobre o Método da Rigidez leia as assertivas abaixo I O método da rigidez pode ser encontrado em obras de referência de análise estrutural com as seguintes denominações Método Direto da Rigidez Método Matricial da Rigidez e Método dos Deslocamentos II O método direto da rigidez é a aplicação mais comumente difundida do Método dos Elementos Finitos MEF Através dele as propriedades destes dias dos materiais são computadas em apenas uma única equação matricial que determina o comportamento interno da estrutura projetada 69 TEORIA DAS ESTRUTURAS II III Uma curiosidade sobre este método de análise estrutural é que ele foi originado no campo aeronáutico Os engenheiros aeroespaciais conseguiram aproximar o comportamento estrutural de partes específicas de uma aeronave a partir do uso de equações relativamente simples mas que demandavam muito tempo de cálculo seja com a antiga régua de cálculo ou com auxílio de calculadora como a HP Sobre as assertivas é correto afirmar que a Somente a I está correta b Somente a II está correta c Somente a I e a III estão corretas d Somente a II e a III estão corretas e As alternativas I II e III estão corretas QUESTÃO 03 Observe a matriz abaixo Nesta equação Fi são as forças nodais equivalentes sobre a estrutura considerada Ri são as reações e hiperestáticas desconhecidas atuantes na estrutura δi são os deslocamentos nodais que são as incógnitas da estrutura n é o número de graus de liberdade observados na estrutura A energia de deformação elástica também pode ser expressa em termos da Matriz de Rigidez segundo a relação expressa na equação a Edef frac12 delta cdot Kdelta frac12 sumj kij delta i delta j 71 TEORIA DAS ESTRUTURAS II REFERÊNCIAS HIBBELER R C Análise das Estruturas 8a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEET Kenneth M GILBERT Anne M UANG Chia Ming Fundamentos da análise estrutural 3a ed Porto Alegre AMGH 2009 72 UNIDADE3 AÇÕES OU CARGAS EM ESTRUTURAS 74 TEORIA DAS ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO À UNIDADE Há alguns anos uma notícia vinda de Balneário Camboriú causou enorme discussão na construção civil brasileira Imagens e vídeos que rodaram as redes sociais do país mostravam as ondas que se formavam na piscina de um dos apartamentos de luxo do edifício de 177 metros Millenium Palace durante um temporal O grande alvoroço em torno do caso foi ocasionado porque o gigantesco edifício nitidamente balançava com a força da ventania Para aqueles que cursam Arquitetura e Urbanismo e Engenharia Civil a situação não chega a ser estranha na verdade é o tipo de comportamento estrutural esperado uma vez que as estruturas de concreto armado se comportam dentro de um regime denominado elastoplástico no entanto para leigos no assunto assistir um edifício gigantesco balançar e formar ondas em uma piscina é no mínimo assustador SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar do fato que estamos relatando aqui assista ao vídeo no link abaixo httpswwwyoutubecomwatchvOIrWzOw70Y0 Muitos arquitetos e engenheiros à época foram consultados para debater e explicar o fato A oscilação da estrutura é absolutamente normal e previsível mas com uma carga de vento de uma determinada magnitude como no caso ocorrido é possível que a movimentação de uma determinada estrutura seja mais perceptível Mas observe que este foi um efeito causado por uma carga lateral atuante neste caso a ação do vento O carregamento nas estruturas não é representado unicamente pelo peso de tudo que ela abarca protege armazena ou contém Existem diversos outros carregamentos atuantes que devem ser necessariamente considerados pelo arquiteto e urbanista projetista e pelo engenheiro civil calculista Dentre elas o peso próprio da estrutura e a 75 TEORIA DAS ESTRUTURAS II ação do vento Em um outro caso desta vez mais trágico ligado ao carregamento em estruturas um edifício de 34 pavimentos ainda em construção desabou em Belém O engenheiro civil calculista e o dono da construtora foram condenados pela justiça paraense e o juiz do caso ressaltou que o desabamento do edifício Real Class em 2011 foi ocasionado pela falha na concepção do sistema estrutural projetado pois não considerou as cargas horizontais decorrentes da ação do vento e do desequilíbrio da própria estrutura que era assimétrica Assim a estrutura que já estava construída não resistiu aos ventos entre 30 a 39 kmh SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar do desabamento do edifício Real Class em Belém assista o vídeo no link abaixo httpswwwyoutubecomwatchvED7djNMY8s Como você certamente já percebeu neste capítulo do seu material de estudos trataremos dos principais carregamentos em estruturas de concreto armado Este assunto é de suma importância para que tanto os arquitetos e urbanistas projetistas conheçam os carregamentos atuantes nas edificações que concebem quanto os engenheiros civis calculistas estejam atentos aos carregamentos e esforços aos quais as estruturas são submetidas e devem necessariamente resistir para que estas sejam calculadas dimensionadas e construída de maneira correta e apresentem comportamento dentro das normas É muito importante você não perder de vista que uma das responsabilidades dos arquitetos e urbanistas é a própria definição estrutural conforme as especificidades do projeto arquitetônico Assim esta definição perpassa pelo estabelecimento do tipo de material empregado na edificação madeira aço concreto armado por exemplo bem como pelo estabelecimento da técnica construtiva utilizada até o prélançamento estrutural Cabe ao engenheiro civil posteriormente validar as decisões tomadas pelos arquitetos durante a elaboração do projeto arquitetônico e desenvolver o cálculo estrutural 76 TEORIA DAS ESTRUTURAS II A partir do momento que todas as exigências dimensionais para a estrutura considerada tenham sido definidas pelo engenheiro civil calculista chegase à etapa de determinação das cargas que esta estrutura precisa suportar Esta previsão de carga não é feita pelos arquitetos e urbanistas mas pelos engenheiros civis com base no tipo de estrutura que foi determinada para o projeto Tomando os exemplos dos dois edifícios dados anteriormente as estruturas mais altas precisam resistir não só às cargas verticais oriundas do seu peso próprio o peso dos elementos de vedação preciso dos elementos de revestimento dentre outros carregamentos incidentes mas também deve suportar as cargas laterais ou horizontais causadas pelo vento Deste modo para validar e desenvolver o cálculo estrutural de uma determinada edificação é preciso inicialmente especificar todos os carregamentos atuantes sobre ela Para tanto é necessário conhecer a NBR 6120 Ações para o cálculo de Estruturas de Edificações IMPORTANTE A NBR 6120 foi revisada e recebeu um novo texto em 2019 Na edição de 1980 ela era denominada como Cargas para o cálculo de estrutura de edificações Na revisão de 2019 o termo cargas foi substituído por ações Para você conhecer um pouco mais sobre a evolução desta norma acesse o link abaixo httpportalclubedeengenhariaorgbrwpcontentuploads201908NBR61202019CLUBE DEENGENHARIARJemPDFpdf A NBR 6120 estabelece dois tipos de ações ou carregamentos que vamos tratar agora as ações permanentes e as ações variáveis 77 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 31 AÇÕES OU CARREGAMENTOS PERMANENTES Neste tipo de ação ou carga devem ser considerados os pesos dos diversos elementos estruturais além dos pesos de todos os objetos que sejam permanentemente conectados ou associados à estrutura Desta forma considerando as edificações as ações permanentes são representadas pelo peso de todos os elementos estruturais pilares vigas lajes visto na Figura 34 de todos os elementos de vedação e acabamentos Figura 35 de todos os elementos componentes das instalações prediais elétricas hidrossanitárias de lógica e transmissão de dados dentre outras e outros componentes acessórios diversos Figura 34 Exemplos de elementos estruturais que devem ser considerados para o cálculo das ações permanentes em uma edificação Fonte Shutterstock 2021 78 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 35 Exemplos de elementos de vedação e acabamento que devem ser considerados para o cálculo das ações permanentes em uma edificação Fonte Shutterstock 2021 De acordo com HIBBELER 2013 é possível estimar as ações permanentes em uma determinada estrutura com base nos pesos e tamanhos de estruturas semelhantes o peso médio para construções em madeira é estimado entre 19 a 24 kNm2 para construções metálicas o peso médio é estimado em 29 a 36 kNm2 as de concreto armado apresentam peso médio estimado entre 53 a 62 kN m2 A NBR 61202019 estabelece que na falta de determinação experimental do peso de cada elemento é necessário recorrer às tabelas de 1 a 9 da NBR referida que apresentam os peso específico aparente de diversos materiais e elementos de construção comumente utilizados em nosso país A NBR aqui estudada também considera a existência de ações ou carregamentos permanentes devido aos materiais de armazenagem Estes materiais geralmente são armazenados em grandes tanques e silos construído especificamente para esta finalidade A norma indica que devido à variabilidade do tipo de material armazenado e do peso específico deste é de extrema importância a avaliação cuidadosa dos valores utilizados para as condições específicas do projeto considerado recomendando que sejam consultados o Eurocode 1 Part 4 Silos and Tanks e AS 3774 Loads on bulk solids containers 79 TEORIA DAS ESTRUTURAS II De maneira geral as ações permanentes não são grandes se comparadas com o carregamento de projeto para estruturas simples como uma viga ou uma edificação com um único pavimento No entanto em edificações de múltiplos pavimentos sejam elas residenciais ou comerciais é de extrema importância desenvolver o cálculo preciso de todas as cargas permanentes a fim de que o calculista possa projetar corretamente todas as peças estruturais principalmente as dos pavimentos mais baixos pois estes suportam sempre a maior quantidade de peso da estrutura acima deles Para que você consiga assimilar de forma adequada como calcular o peso de um elemento estrutura considerando as tabelas da NBR 61202019 vamos aos seguinte exemplos 9 Exemplo 01 Um arquiteto e urbanista precisa calcular o peso de uma laje de concreto armado que está projetando como cobertura para uma garagem de dois carros O projetista considera que cada vaga seja de 250 m x 500 m e elas estejam dispostas uma ao lado da outra e que a laje deva cobrir pelo menos 50 centímetros a mais para cada lado para proporcionar algum conforto aos usuários da garagem Como a laje terá somente função de cobertura o arquiteto e urbanista estima que sua espessura seja de oito centímetros Inicialmente deveremos considerar a área total da laje Cada vaga mede 250 de largura estão dispostas lado a lado e a laje deve ter mais 50 centímetros para cada lado Assim temos 50 250 250 50 600 de largura Agora cada vaga mede 500 de comprimento sendo que no sentido longitudinal a laje também deverá ter mais 50 centímetros para cada lado Assim temos 50 500 50 600 m de comprimento Para calcularmos o peso da peça estrutural vamos usar a seguinte fórmula Laje peso próprio V x γc 80 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em que V volume da laje γc peso específico do concreto armado segundo a tabela 1 da NBR 61202019 o peso específico do concreto armado é de 25 kNm3 No caso em questão o volume da laje é Largura L x Altura H x profundidade P 600 x 08 x 600 288 m3 Aplicando na fórmula 288 x 25 72 kNm Assim a laje projetada pelo arquiteto e urbanista apresenta peso próprio de 72 kNm 9 Exemplo 02 Um engenheiro civil necessita calcular a carga incidente em um bloco de fundação oriunda do peso próprio de um pilar em concreto armado O pilar em questão apresenta seção transversal de 25 cm x 50 cm e altura de 350 m Perceba que a carga incidente neste caso é o próprio peso do pilar Assim usaremos a mesma fórmula do cálculo anterior Pilar peso próprio V x γc Em que V volume da barra neste caso uma barra vertical que é o pilar γc peso específico do concreto armado segundo a tabela 1 da NBR 61202019 o peso específico do concreto armado é de 25 kNm3 No caso em questão o volume do pilar é 81 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Largura L x Altura H x profundidade P 25 x 50 x 350 0437 m3 Aplicando na fórmula 0437 x 25 1093 kNm Assim o peso próprio do pilar incidindo diretamente sobre o bloco de fundação é de 1093 kNm IMPORTANTE É de fundamental importância que você consulte as tabelas de peso específico de materiais e elementos de construção apresentadas pela NBR 61202019 É a NBR que estabelece parâmetros para o cálculo estrutural correto Na literatura técnica especí fica você encontrará uma série de dados e números que são utilizados na resolução de situa çõesproblema cujas fontes não são citadas Mas para nós arquitetos e urbanistas e engenhei ros civis brasileiros é obrigatória a estrita obediência às Normas da ABNT Então para que você calcule corretamente as ações permanentes não esqueça de utilizar os dados apresentados pela NBR Observe caro aluno e cara aluna que os elementos de vedação utilizados paredes em blocos cerâmicos em blocos cimentícios blocos de gesso dentro outros materiais também são cargas permanentes na estrutura assim como os revestimentos de piso parede e forro A lógica do cálculo da ação do peso destes elementos sobre a estrutura considerada é a mesma utilizada nos dois últimos exemplos havendo sempre a necessidade de consultar as tabelas da NBR 61202019 para verificação de valores dos pesos específicos dos materiais considerados pelo projeto 82 TEORIA DAS ESTRUTURAS II IMPORTANTE Quando em um projeto arquitetônico forem previstas paredes divisórias mas seu posicionamento não está definido o que comumente acontece com os apartamentos de planta livre pode ser admitida além dos demais carregamentos uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta observado o valor mínimo de 1 kNm2 32 AÇÕES OU CARREGAMENTOS VARIÁVEIS Em conformidade com a NBR 61202019 são ações cujos valores estabelecido de maneira consensual apresentam variabilidade significativa em torno de sua média durante a vida útil da edificação Os seus valores apresentam de 25 a 35 de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável em um período de tempo de 50 anos Como exemplos de ações variáveis em uma estrutura temse o uso e a ocupação de uma determinada laje pelos usuários conforme pode ser visto na Figura 36 Ao longo do tempo os equipamentos e mobiliários podem sofrer modificações em seu posicionamento podem ser modificados e consequentemente alterar seus pesos Os usuários a seu turno movimentamse continuamente nas lajes e os pesos que são carregamentos também variáveis seja no valor quanto no posicionamento Segundo a NBR 61202019 do mesmo modo são exemplos de ações variáveis as forças exercidas pelas ações do vento nas estruturas bem como a variação de temperatura 83 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 36 Exemplos de ações ou carregamentos variáveis em uma laje Tais carregamentos são oriun dos da movimentação das pessoas bem como dos mobiliários e equipamentos utilizados que podem sofrer modificações com o passar do tempo Fonte Shutterstock 2021 Segundo a NBR 61202019 as estruturas devem ser projetadas para suportar as cargas variáveis em diversas tipologias arquitetônicas descritas na Tabela 10 da norma aqui referida Quando existirem áreas sujeitas a diversas categorias de utilização por exemplo uma laje de cobertura que pode servir como estacionamento como ocorre em alguns shoppings centers o cálculo deve ser feito considerando a tipologia de uso que produz efeito mais desfavorável na estrutura neste caso o uso como estacionamento deve ser considerado para efeito de cálculo estrutural As cargas variáveis conforme indica a NBR 61202019 devem ser consideradas como quaseestáticas Assim para cargas que possam induzir efeitos de ressonância ou outra resposta dinâmica significativa na estrutura como danças saltos movimentação e frenagem de veículos movimentos e trepidação de maquinário estes efeitos devem obrigatoriamente ser levados em consideração por meio de fatores dinâmicos ou de uma análise dinâmica específica A supracitada norma estabelece que as ações variáveis são de dois tipos normais ou especiais que definiremos a seguir 84 TEORIA DAS ESTRUTURAS II As ações variáveis normais são aquelas cuja probabilidade de ocorrência é muito grande para que então sejam obrigatoriamente consideradas no projeto pelo calculista estrutural Dentre elas estão as ações decorrentes dos pesos dos elementos estruturais barras verticais barras horizontais placas e cascas As ações variáveis especiais são aquelas consideradas transitórias cuja probabilidade de ocorrência em uma determinada estrutura é muito baixa ou como menciona a NBR 61202019 com duração muito pequena se comparada ao período de referência da edificação tendo períodos de a atuação e valores nominais normalmente bem definidos e controlados sendo utilizados em verificações específicas como a passagem de um veículo ou equipamento específico sobre uma parte da estrutura 33 CARREGAMENTOS VERTICAIS As cargas consideradas em uma edificação determinada sempre são dependentes da tipologia e do uso deste edifício Como exemplo de um edifício comercial de múltiplos pavimentos devemos considerar as cargas provenientes de escadas rolantes e elevadores ou em uma edificação industrial na qual pode ser necessário que o projetista calculista considere as cargas oriundas das pontes rolantes como pode ser visto na Figura 37 85 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 37 Pontes rolantes em edificações industriais são elementos cuja carga deve ser considerada para efeito de cálculo estrutural Fonte Shutterstock 2021 Neste material nossa atenção basicamente reside nas construções residenciais unifamiliares e multifamiliares de múltiplos pavimentos e nestas tipologias arquitetônicas específicas as principais cargas consideradas são As ações das lajes Ações dos elementos de vedação paredes IMPORTANTE Lembrese que os valores mínimos a serem adotados para os carregamentos considerados devem ser obtidos através da consulta direta nas tabelas apresen tadas pela NBR 61202019 Ações para o cálculo de estruturas de edificações 86 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 34 AÇÕES PROVENIENTES DAS LAJES As principais ações observadas nas lajes podem ser divididas nos dois grupos de ações já mencionados anteriormente que são as ações permanentes e as ações variáveis Considerando as ações permanentes nas lajes os principais carregamentos atuantes são Peso próprio da peça estrutural Contrapiso Revestimento da peça estrutural Elementos de vedação paredes 35 CARREGAMENTOS HORIZONTAIS Normalmente as ações ou carregamentos horizontais são apresentados em dois grupos desaprumos e ações do vento Os desaprumos são originados em função de estruturas propositalmente assimétricas quando previstas pelo projeto arquitetônico e estrutural ou em função de erros de execução de obra As ações do vento atuam nas paredes ou elementos de vedação normais à sua direção É importante observar que as paredes transferem as ações para as lajes e para as paredes laterais que são consideradas painéis de contraventamento IMPORTANTE Na construção civil o contraventamento é conhecido como um sistema conexão entre os principais elementos de uma determinada estrutura Os arquitetos e urbanis tas assim como os engenheiros civis utilizam o contraventamento para aumentar a rigidez da cons trução O contraventamento também é utilizado como elemento de proteção contra a ação do vento 87 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Tanto o desaprumo quanto as cargas de vento tendem a ser mais pronunciadas em edificações de múltiplos pavimentos Como já mencionado os desaprumos podem ser causados por eventuais erros de construção ou em situações nas quais a forma da edificação é assimétrica eou irregular o que deve ser previsto pelo projeto arquitetônico e pelo projeto estrutural Assim para o cálculo dos desaprumos deverão ser consideradas a altura total da edificação o ângulo de desaprumo o peso do pavimento e a força horizontal do pavimento Figura 38 Desaprumos e cargas nos pavimentos Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Em que ϕ ângulo de desaprumo em radianos H altura da edificação Fd força horizontal por pavimento P peso total do pavimento Para o cálculo do ângulo temos Calculando a força horizontal equivalente Fd P x ϕ 88 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 351 Ação dos Ventos Algumas estruturas e edificações acabam bloqueando a circulação natural da ventilação e a energia cinética proveniente do ar em movimento ao entrar em contato com as superfícies verticais das edificações transformase em pressão e consequentemente em carga oriunda da própria ação do vento O efeito do vento sobre as estruturas é dependente de uma série de fatores quais sejam A densidade do ar A velocidade do vento dividida em duas velocidade básica do vento V0 dependente do local em que a estrutura é construída e a própria norma determina estas velocidades velocidade característica do vento Vk que é obtida através da multiplicação da velocidade básica por alguns fatores definidos pela norma NBR 61232013 sobre forças devidas ao vento em edificações chamados de S1 S2 e S3 velocidade que é utilizada para a parte da edificação em consideração A pressão dinâmica do vento q que é obtida através do quadrado da velocidade caraterística do vento multiplicada pelo fator 0613 O ângulo de incidência do vento nas superfícies A forma e a rigidez das estruturas atingidas pelo vento A aspereza da superfície atingida IMPORTANTE Os fatores S1 S2 e S3 referidos anteriormente são encontrados também na NBR 61232013 Forças devidas ao vento em edificações Podem ser definidos como S1 Fator topográfico leva em consideração o relevo do local em que a estrutura ou edifi cação está instalada S2 Fator de rugosidade do terreno que depende do tipo de local em que a edificação está instalada próximo a oceanos áreas abertas zonas industriais etc S3 Fator estatístico aplicado baseado em conceitos estatísticos considera o grau de segurança e a vida útil da edificação 89 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Sobre as ações do vento em estruturas é importante consultar a NBR 61232013 Forças devidas ao vento em edificações que definem os parâmetros de cálculo para o projeto e estruturas que estão submetidas à ação de ventos A norma citada apresenta geometrias prédefinidas retangulares circulares vigas dentre outras para a determinação dos parâmetros para o cálculo das ações do vento De acordo com a NBR 61232013 a força do vento em estruturas deve ser calculada separadamente para as seguintes partes Elementos de vedação e suas fixações telhas vidros esquadrias painéis de vedação etc Partes da estrutura telhados paredes etc Estrutura como um todo A divisão adotada é importante pois partes da estrutura podem apresentar resultados mais críticos quando aplicadas à força do vento De acordo com HIBBELER 2013 é importante observar que para efeitos de projeto as cargas de vento podem ser consideradas através de duas abordagens distintas a estática e a dinâmica Na abordagem estática considerase que a pressão flutuante causada por um vento soprando de maneira constante é aproximada por uma pressão de velocidade média atuante sobre uma estrutura considerada Esta pressão que vamos chamar de q é definida a partir da sua energia cinética Em que é a densidade do ar V é a velocidade do ar Para que você tenha clareza da aplicação desta equação considere o exemplo um arquiteto e urbanista está fazendo uma construção nas imediações da Praia do Cumbuco em Fortaleza Como o terreno não apresenta nenhuma limitação ele projeta um muro de 180 m em blocos cimentícios nas laterais e no fundo do terreno deixando somente a testada do terreno sem muros A ventilação que vem da praia é predominantemente leste e uma das laterais do muro recebe diretamente esta ventilação Assim para projetar 90 TEORIA DAS ESTRUTURAS II de forma correta a estrutura dos muros o arquiteto e urbanista deverá saber qual a pressão exercida pelo vento Isto posto vamos utilizar a equação de pressão estática que é Os dados das variáveis na fórmula serão obtidos a partir da consulta na NBR 6123 2013 Assim vamos considerar a velocidade característica do vento conforme a isopleta das velocidades do vento Você deve observar que o estado do Ceará está em uma faixa de velocidade de 30ms Relativo à densidade do ar observe que o terreno está nas imediações de uma praia portanto consideraremos as constantes para um ar padrão e dentre elas a densidade do ar ao nível do mar é 1201 kgm3 Assim 54045 Nm2 Observe que neste exemplo não se levam em consideração elementos como a importância da estrutura sua altura e o tipo de terreno na qual ela está localizada Assim para que tais fatores sejam considerados a equação passa a ser descrita da seguinte forma Em que V é a velocidade básica do vento descrita na NBR 61232013 como a velocidade de uma rajada de vento de 3s excedida em média uma vez a cada 50 anos a 10 metros acima do terreno em campo aberto e plano é o coeficiente de exposição de pressão de velocidade que é uma função da altura e depende do terreno no chão se existem obstruções ou não Este valor é necessariamente tabelado conforme Tabela 01 Kzt é uma variável que considera os aumentos de velocidade do vento em função da rugosidade do terreno ou seja da presença de serras montes e escarpas Para terrenos planos Kzt 10 Kd é uma variável que considera a direção do vento Esta variável é utilizada 91 TEORIA DAS ESTRUTURAS II somente quando a estrutura em questão está sujeita a combinações de carga Quando o vento está atuando sozinho na estrutura Kd 10 Tabela 01 Coeficiente de exposição de pressão de velocidade para obstruções baixas z m 046 085 61 090 76 094 91 098 122 104 152 109 Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 Para você compreender as diferenças entre as duas equações e a aplicabilidade desta segunda de maneira adequada vamos tomar o exemplo passado e fazer algumas considerações a mais Vamos considerar os muros laterais e de fundo projetados pelo arquiteto e urbanista Continuaremos a considerar a mesma velocidade de 30 ms conforme a isopleta das velocidades do vento a partir da consulta na NBR 61232013 Para a variável Kz vamos considerar que existam algumas obstruções ao redor do terreno considerado representado por casas de apenas um único pavimento Vamos considerar que as casas tenham no máximo quatro metros de altura Assim de acordo com a Tabela 01 para Z até 46 de altura temos Kz igual a 085 Para o coeficiente Kzt consideraremos que o terreno ao redor da construção considerada seja plano adequado para a construção e sem dunas Assim o valor do coeficiente será 10 Para o coeficiente Kd consideraremos unicamente a ação do vento Assim o valor do coeficiente será 10 Desta forma aplicando na fórmula 0613 x 085 x 1 x 1 x 302 qz 46894 92 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Você deve estar se perguntando por qual motivo o resultado nesta segunda equação é menor do que a primeira Bem observe que no segundo exemplo existem alguns obstáculos impedindo que a carga de vento atue diretamente sobre a estrutura considerada Por conta dos atenuantes representados por estes elementos a carga de vento acaba sendo menor Observe que o que temos aqui é somente a carga de vento Então assim que o valor qz é calculado a pressão de projeto conforme afirma HIBBELER 2013 pode ser determinada adequadamente Assim utilizando um procedimento direcional a pressão exercida pelo vento em um edifício fechado de qualquer altura é determinada utilizando a seguinte equação G Em que q variável observada conforme o elemento a ser calculado pois q qz para paredes na direção do vento a uma altura z acima do chão para paredes à sotavento paredes laterais e coberturas deverá ser considerado z h a altura média da cobertura G é uma variável correspondente ao efeito de uma rajada de vento que depende da exposição Para estruturas rígidas como de concreto armado ou protendido G 085 Cp é um coeficiente de pressão na cobertura ou parede e valor tabelado G é um coeficiente de pressão interna e depende dos tipos de aberturas no edifício Para aqueles que são completamente fechados o valor é 018 Os sinais indicam pressão negativa ou positiva de sucção que podem acontecer na parte interna da edificação 93 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 39 Ação dos ventos em uma planta baixa de cobertura Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Tabela 02 Coeficientes de pressão na parede Cp Superfície LB Cp Uso com Parede na direção do vento Todos os valores 08 qz Parede a sotavento 0 1 05 qh 2 03 4 02 Paredes laterais Todos os valores 07 qh Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 94 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 40 Ação dos ventos em uma edificação fechada Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Tabela 03 Coeficientes de pressão nas coberturas negativas máximas Cp para uso com qh Direção do vento Ângulo na direção do vento θ Ângulo de sotavento θ 10o hL 10o Normal à cumeeira 025 07 03 05 09 05 10 13 07 Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de HIBBELER 2013 95 TEORIA DAS ESTRUTURAS II NA PRÁTICA EXERCÍCIO A Considere que você é o calculista de uma determinada edifica ção Nesta edificação você se depara com a articulação de três elementos uma viga metálica uma laje e uma parede de vedação posicionada no meio da laje conforme mos trado na Figura abaixo A viga metálica está suportando uma laje de concreto com l80 de largu ra espessura de 10 centímetros e três metros de comprimento Considere que a parte de baixo da laje serve como teto para o pavimento inferior e portanto será aplicado um forro de gesso acartonado a partir da especificação do arquiteto projetista É possível observar no conjunto uma parede divisória em bloco cerâmico tijolos com 240 m de altura e 15 cm de espessura e um centímetro de revestimento por face Assim pedese a você calculista estrutural que determine a carga sobre a viga Para resolver este exercício devemos necessariamente consultar as tabelas existentes na NBR 61202019 Segundo a pesquisa nas tabelas de pesos específico temos os seguintes dados Laje de concreto 25 kNm3 Forro de gesso acartonado considerando a estrutura de suporte 025 kNm2 Bloco cerâmico vazado para vedação 15 kNm2 96 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Calculando a laje Largura L x Altura H x profundidade P 18 x 10 x 300 054 m3 Agora consideraremos o peso específico do concreto 25 x 054 135kN Calculando o forro de gesso acartonado temos de considerar a metragem quadrada de laje forrada 18 x 300 54 m2 Consideraremos o peso específico do gesso pela metragem quadrada de laje 025 x 54 135 kN Agora vamos calcular a parede de vedação Largura L x Altura H x profundidade P 15 x 24 x 300 108 m3 Consideraremos o peso específico do elemento de vedação 15 x 108 162 kN Agora somaremos os resultados 135k 135 kN 162 1647 kN Temos então 1647 kN de ação permanente na viga metálica considerada 97 TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO B Considere uma edificação fechada em Balneário Camboriú utilizada para finalidades industriais como mostra a imagem Como a edificação se encontra em uma zona industrial consideraremos o terreno ao redor deste galpão como limpo e aberto Considere o vento direcionado como o indicado pela seta atuando diretamente sobre as paredes sobre a cobertura e as laterais da edificação Assim você arquiteto e urbanista e engenheiro civil calcule a carga de vento Lembrete De acordo com a NBR 61232013 a força do vento em estruturas deve ser calculada separada mente para as seguintes partes a Elementos de vedação e suas fixações telhas vidros esquadrias painéis de vedação etc b Partes da estrutura telhados paredes etc c Estrutura como um todo Esta divisão adotada é importante pois partes da estrutura podem apresentar resulta dos mais críticos quando aplicada a força do vento Então primeiro a pressão do vento será determinada pela equação 98 TEORIA DAS ESTRUTURAS II A velocidade do vento será obtida a partir da consulta na NBR 61232013 Assim vamos considerar a velocidade característica do vento conforme a isopleta das velocidades do vento que vamos considerar 45 ms para Balneário Camboriú e tendo em vista que a edificação tem utilidade para armazenamento Como consideramos o terreno limpo e livre de qualquer barreira ou obstáculo temos Kz 085 conforme tabela Kzt 10 Como consideraremos unicamente a força do vento portanto Kd 10 Então aplicando na fórmula Agora vamos utilizar a equação Lembrete q esta variável deverá ser observada conforme o elemento a ser calculado pois q qz para paredes na direção do vento a uma altura z acima do chão para paredes à sotavento pare des laterais e coberturas deverá ser considerado z h a altura média da cobertura G é uma variável correspondente ao efeito de uma rajada de vento que depende da exposi ção Para estruturas rígidas como de concreto armado ou protendido G 085 Cp é um coeficiente de pressão na cobertura ou parede e é um valor tabelado é um coeficiente de pressão interna e depende dos tipos de aberturas no edifício Para aqueles que são completamente fechados o valor é 018 Os sinais indicam pressão negativa ou positiva de sucção que podem acontecer na parte interna da edificação Observe a imagem dada para este exemplo Perceba que a empena do telhado precisa de cálculo Para este cálculo observe que temos um triângulo retângulo em que vamos considerar a metade da largura ou seja 225 e vamos utilizar a tangente do ângulo de 10o que é equivalen te a 397 Então a altura média da empena é h 75 3972 948 m 99 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Para Cálculo do qh temos qh 105512 x 0987 104140 Nm2 O fator de rajada é G 085 e GCp 018 Deste modo temos na equação As cargas de pressão são calculadas partindo desta equação e utilizando os valores calcu lados para qz segundo a tabela já apresentada aqui e os perfis de ação de vento apresentados nas Figuras 39 e 40 Z m Kz qz Nm2 0 46 085 1151 61 090 1219 76 094 1273 h 948 0987 1337 Para calcular a parede na direção do vento consideraremos que a pressão varia com a altura z observando que qz GCp tem de ser usado Para todos os valores de LB Cp 08 e ao aplicar mos na equação guardada anteriormente 100 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Para cada valor de z temos p 0 46 542 Nm2 ou 1024 Nm2 p 61 588 Nm2 ou 1070 Nm2 p 76 625 Nm2 ou 1107 Nm2 Para calcular as paredes à sotavento consideraremos LB 2 225 45 1 de forma que Cp 05 Também consideraremos q qh e vamos aplicar na equação que guardamos Para calcular as paredes laterais consideraremos LB 07 e também q qh e usando a equação guardada Para o cálculo da cobertura à sotavento Cp 03 e considerando q qh aplicaremos na equação guardada Observe que os sinais positivos e negativos são referentes às pressões positivas e negativas atuantes na estrutura considerada 101 TEORIA DAS ESTRUTURAS II CONSIDERAÇÕES FINAIS Como você deve ter observado este capítulo apresenta alguns elementos importantes de análise que devem ser considerados para o cálculo basilar de estruturas sob pena de tornarmos a infraestrutura suscetível ao colapso Muitos erros na etapa de projeto relacionados com a consideração de cargas horizontais e verticais dentre eles a ação do vento podem comprometer a resposta em serviço e a segurança das estruturas projetadas e construídas Equívocos como este comprometem significativamente a rigidez e a estabilidade geral das estruturas sem contar que em determinadas circunstâncias também podem gerar danos a elementos não estruturais como alvenarias e esquadrias 102 TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO FINAL Questão 01 As ações estruturas devem ser muito bem compreendidas peloa futuroa Profissional pois este será o primeiro responsável por fazer a concepção das estruturas Contudo é necessário conhecer as formas de atuação das cargas em uma edificação também chamadas de ações portando a seguinte definição ações que atuam com valores praticamente constantes ou com pequena variação em torno de sua média durante a vida da edificação ou que aumentam com o tempo tendendo a um valorlimite NBR 61202019 Com base em seu conhecimento e com referência na supracitada norma marque a real alternativa que mostra que tipo de ação a citação se refere a Ação variável b Ação dinâmica c Ação móvel d Ação permanente e Ação excepcional QUESTÃO 02 Suponha que uma caixa dágua tenha a estrutura fechada hermeticamente o que causará um grande obstáculo na passagem de ventos O terreno que a caixa dágua foi construída é plano e está localizado no centro da cidade de BelémPa É sabido que a maior dimensão é sua altura de 10m e ela será usada em uma edificação com alto fator de ocupação Com base no texto qual das alternativas corresponde aos verdadeiros fatores topográfico S1 a S1100 b S1110 c S1090 d S1092 e S1120 103 TEORIA DAS ESTRUTURAS II QUESTÃO 03 Suponha que uma caixa dágua tenha a estrutura fechada hermeticamente o que causará um grande obstáculo na passagem de ventos O terreno que a caixa dágua foi construída é plano e está localizado no centro da cidade de BelémPa É sabido que a maior dimensão é sua altura de 10m e ela será usada em uma edificação com alto fator de ocupação Com base no texto qual das alternativas corresponde os verdadeiros fatores topográficos S2 a S2100 b S2110 c S2090 d S2092 e S2120 104 TEORIA DAS ESTRUTURAS II REFERÊNCIAS HIBBELER R C Análise das Estruturas 8a ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 LEET Kenneth M GILBERT Anne M UANG Chia Ming Fundamentos da análise estrutural 3a ed Porto Alegre AMGH 2009 UNIDADE4 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 106 TEORIA DAS ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO À UNIDADE Enfim chegamos à última parte desta nossa jornada pelas estruturas na construção civil Nesta última Unidade abordaremos juntos o dimensionamento de elementos estruturais de concreto armado Estes elementos são barras e placas além de escadas e blocos de fundação É importante ressaltar que cada um deles está sujeito a esforços distintos como tração compressão torção e cisalhamento e tais esforços naturalmente devem ser considerados no momento do dimensionamento Um exemplo disto são as barras pois estas podem ser usadas na posição vertical e passam a exercer a função de pilares submetidas majoritariamente à compressão Quando estas são usadas na posição horizontal exercendo o papel de vigas devem suportar outros esforços como a tração na parte inferior e a compressão na parte superior além de momento fletor e também o cisalhamento SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar de alguns dos esforços que estamos tratando aqui reco mendo que você assista o vídeo através do link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações pois vamos nos reportar a eles ao longo deste capítulo httpswwwyoutubecomresultssearchquerycomportamentodasvigas Também é de fundamental importância que você acadêmico conheça e desenvolva o dimensionamento destas peças estruturais para melhor adequar os projetos de arquitetura à realidade construtiva Um exemplo disto é quando o profissional desenvolve um projeto arquitetônico considerando apenas uma laje de oito centímetros e após o dimensionamento correto será construída para ter a espessura final de 15 centímetros Esta diferença de centímetros parece não acarretar nenhum problema à obra certo ERRADO 107 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Imagine só esta situação uma edificação de 40 pavimentos ou seja 40 lajes O que eram apenas sete centímetros de diferença tornamse 280m A situação se agrava mais ainda no caso de existir a necessidade de obediência a um gabarito específico de altura Isto pode também acontecer para um projeto no qual o colega arquiteto e urbanista ou engenheiro civil estabelece 280m como pé direito interno ao ambiente Imagine só o que aconteceria se este profissional considerasse apenas 40 centímetros de altura de viga e após o dimensionamento correto observase que a viga apresenta 80 centímetros de altura A matemática não nos engana se temos um pé direito de 280m e uma viga que passa a 80 centímetros temos apenas 200 livre por baixo da viga certo Como um vão de porta poderia ser aberto nesta condição se ele apresenta 210 m de altura Infelizmente estes exemplos não são meramente ilustrativos Eles fazem parte dos erros da construção civil brasileira que poderiam ter sido evitados com o conhecimento correto de estruturas e seu dimensionamento Então de maneira a capacitar os futuros profissionais arquitetos e engenheiros civis vamos juntos ao dimensionamento de algumas das principais peças estruturais de concreto armado 41 DIMENSIONAMENTO DE PLACAS LAJES E MARQUISES O processo de cálculo de lajes que estudaremos aqui foi desenvolvido durante o século passado Parece muito antigo No entanto saiba que ele continua funcionando muito bem e apresentando sempre resultados muito positivos O cálculo é feito com auxílio de tabelas e pode ser desenvolvido manualmente sem auxílio de programas computacionais Tem o aval da NBR 611820142 e aplicação segura demonstrada por milhares de edificações já executadas É importante lembrar que a literatura técnica sobre o cálculo de estruturas de concreto é vasta porém devemos atentar que no Brasil nossas atitudes enquanto técnicos além de uma série de procedimentos na área da construção civil são normatizados ou seja obrigatoriamente devem ser desenvolvidos com base nas normas brasileiras Antes de passarmos para o cálculo estrutural das lajes vamos relembrar alguns conhecimentos que você já deve ter sobre esta tipologia de elemento estrutural 108 TEORIA DAS ESTRUTURAS II As lajes são elementos genericamente denominados como placas São elementos de superfícies planos e bidimensionais ou seja são peças estruturais nas quais duas dimensões a largura e o comprimento apresentam a mesma ordem de grandeza e são muito maiores do que a terceira dimensão espessura As lajes recebem a maioria das cargas aplicadas na edificação normalmente representadas pelo peso dos usuários das edificações mobiliários equipamentos paredes revestimentos veículos e diversas outras cargas oriundas principalmente da função dada à edificação da qual a laje é parte componente Lembrese de que as cargas que predominantemente atuam no plano da laje são perpendiculares e classificadas em Cargas distribuídas na área Cargas distribuídas linearmente Cargas concentradas Ainda que menos comuns as lajes podem estar sujeitas às ações externas na forma de momentos fletores normalmente aplicados nas bordas das lajes As cargas atuantes aqui são transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente aos pilares quando são chamadas lajes lisas com ou sem capitel A laje maciça por sua vez é aquela que toda a totalidade da sua espessura é composta por concreto Ela contém armadurasferragens longitudinais de flexão e eventualmente armaduras transversais e se apresenta apoiada em vigas ou dependendo da técnica construtiva adotada também em paredes ao longo das bordas Existem casos particulares de lajes maciças nas quais elas apresentam uma ou mais bordas livres Quanto ao material utilizado as lajes podem ser de concreto armado ou de concreto protendido e em nosso estudo trataremos apenas das lajes maciças retangulares de concreto armado A laje lisa e a laje cogumelo que também é conhecida como laje nervurada em algumas regiões brasileiras são também lajes maciças de concreto No entanto nestas lajes as cargas e outras ações são transferidas diretamente aos pilares sem intermédio de apoios nas bordas Devido a uma questão cultural e até mesmo por tradição algumas regiões brasileiras denominam como laje maciça as lajes apoiadas nas bordas Em estruturas como pontes edificações de múltiplos pavimentos e mesmo em estruturas de grande porte as lajes maciças são as mais frequentemente utilizadas em detrimento das demais tipologias As lajes maciças de concreto com espessuras que 109 TEORIA DAS ESTRUTURAS II normalmente variam de oito a 15 centímetros conforme Tabela 04 são empregadas e devidamente calculadas para os mais variados usos e para as mais diversas edificações Podemos elencar entre os seus empregos mais comuns os edifícios de múltiplos pavimentos sejam eles residenciais comerciais etc edificações de grande porte como escolas indústrias hospitais pontes e viaduto muros de arrimo escadas e reservatórios De maneira generalista esta tipologia de laje não é comumente utilizada em edificações residenciais de pequeno porte uma vez que para este porte de obra arquitetônica existem outras lajes que apresentam muito mais vantagens em relação à custos exequibilidade e rapidez na construção Neste caso específico é possível apontar a laje prémoldada como uma alternativa viável ao uso Tabela 04 Espessuras mínimas de lajes maciças de concreto armado ESPESSURAS MÍNIMAS DE LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO USO ESPESSURA MÍNIMA EM CENTÍMETROS Cobertura não em balanço 7 Piso não em balanço 8 Em balanço 10 Piso para veículos de peso total até 30 kN 10 Piso para veículos de peso total acima de 30 kN 12 Fonte Adaptada pelo autor 2021 a partir de BOTELHO M H C MARCHETTI 2015 As lajes maciças de concreto armado apresentam distintas classificações cada qual segundo critérios específicos como sua forma geométrica a tipologia de vínculo no apoio quanto à direção dentre outros Quanto às formas geométricas as lajes podem assumir as mais diferentes contudo na prática a laje do tipo retangular é a mais extensamente utilizada Atualmente com os aplicativos e softwares existentes as lajes são modeladas calculadas e dimensionadas de acordo com as mais exigentes demandas de carregamento e variadas formas Uma classificação muito importante das lajes maciças é referente à direção ou direções da armadura principal Existem dois casos laje armada em uma direção ou laje armada em duas direções 110 TEORIA DAS ESTRUTURAS II SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar os tipos de laje e absorver um pouco mais de conteúdo aconselho você a assistir o vídeo disponível no link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações pois vamos nos reportar a eles ao longo deste capítulo httpswwwyoutubecomwatchvnmtgvtuymz4 411 Lajes Armadas em Uma Direção Quando a maior dimensão da laje for maior ou igual ao dobro da menor dimensão dizemos que esta laje será armada em uma direção Ou seja as armaduras correspondentes ao momento positivo estarão apenas em uma direção sendo esta na menor direção Figura 41 Armação em uma direção Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Para este caso específico de laje em concreto armado ela pode estar isolada engastada em apenas uma de suas bordas longas ou biengastadas nas suas duas bordas longas As lajes isoladas são quando não se engastam em nenhuma outra laje ao seu redor já os engastamentos ocorrem quando há presença de lajes nas bordas maiores Estes 111 TEORIA DAS ESTRUTURAS II engastes provocam momentos negativos X que consequentemente causam tração na face de cima da laje 9 Cálculo dos Momentos Laje Isolada Momento Positivo M Em que é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje 9 Laje com um Engastamento Momento Positivo M Em que é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje Momento Negativo X 112 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em que é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje 9 Laje com dois engastamentos Momento Positivo M Em que é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje Momentos Negativos X Em que é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje 9 Cálculo da Área de Armadura O cálculo da armadura ocorre primeiramente pelo cálculo do valor de Com este valor encontrase explanado o valor de e por fim usase este último valor para encontrar a armadura E 113 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em que será igual a 1m a altura da laje menos o cobrimento Momento Fletor valor tabelado Figura 42 advindo do cálculo de área total da armadura 114 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 42 Dimensionamento de lajes maciças armadas em duas direções ou em cruz Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI 2015 9 Cálculo da Quantidade e Espaçamento da Armadura Em posse valor de utilizase a Figura 43 para chegar a quantidade diâmetro e espaçamento dos vergalhões da laje 115 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 43 Área de armadura para lajes Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI 2015 Primeira observação mesmo as lajes armadas em uma direção devem possuir uma armadura secundária perpendicular à armadura transversal Esta armadura mínima possui duas funções uma de distribuir melhor os esforços na laje e outra de amarrar a armadura principal 116 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Seu cálculo se dá Ou Segunda observação apesar de existir o cálculo para a armadura ela não pode ser inferior que um a armadura mínima a qual seu cálculo se dá Em que será igual a 1m é a espessura da laje SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar os passos para calcular uma laje maciça de concreto arma do em uma direção aconselho você a assistir ao vídeo disponível no link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações httpswwwyoutubecomwatchvHEHaWj0vYAA 412 Lajes Armadas em Duas Direções No caso de lajes armadas em duas direções usaremos imagens e tabelas para o cálculo dos momentos do Método de Czerny Estes recursos nos darão os valores de e em seguida vamos utilizálos nas fórmulas para calcular a área da armadura 117 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Este tipo de laje é chamada de duas direções pois sua armadura positiva fica na direção x e y em formato de cruz uma em relação a outra Ademais elas possuem geometria equivalentes ou seja um lado não é maior ou igual ao dobro do outro Figura 44 Lage armada em duas direções Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 Para calcular esta tipologia de laje não vamos usar o passo a passo que já utilizamos para o cálculo das lajes armadas em apenas uma direção Esqueceu Não tem problema Aqui vai um lembrete IMPORTANTE Lembrese que para calcular as lajes armadas em uma direção e em duas direções usamos os mesmos passos que são 1 Cálculo dos momentos 2 Cálculo da armadura 3 Cálculo da quantidade espaçamento da armadura 118 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 9 Cálculo dos Momentos Momentos positivos Momentos negativos Reações que vão para as vigas Para todas as fórmulas acima temse é a carga total atuante na laje é a menor dimensão da laje Na tabela de Czerny devese analisar os lados que estão engastados com outras lajes pois dependendo da quantidade de engastes e seu posicionamento usarseá um tipo de referência As Figuras de 45 a 50 apresentadas a seguir servirão para você utilizar em cada um dos casos encontrados na sua atividade acadêmica ou atividade profissional 119 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 45 Uso para lajes isoladas sem engastes Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 120 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 46 Uso para lajes comuns e um engaste Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 121 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 47 Uso para lajes comuns e dois engastes paralelos Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 122 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 48 Uso para lajes comuns e dois engastes de canto Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 123 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 49 Uso para lajes comuns e três engastes Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 124 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 50 Uso para lajes comuns e engastes em todos os lados Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 9 Cálculo da Área de Armadura O cálculo da armadura ocorre primeiramente pelo cálculo do valor de Com este valor encontrase na Figura 51 o valor de e por fim usase este último valor para encontrar a armadura 125 TEORIA DAS ESTRUTURAS II E Em que será igual a 1m é a altura da laje menos o cobrimento Momento Fletor valor tabelado advindo do cálculo de área total da armadura Para auxiliar você nos cálculos e no dimensionamento utilizamse as figuras abaixo já vistas em tópico anterior observe que são as mesmas para as lajes armadas em duas direções Tabela T10 Dimensionamento de lajes maciças armadas em cruz 127 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 51 Dimensionamento de lajes maciças armadas em duas direções ou em cruz Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 9 Cálculo da Quantidade e Espaçamento da Armadura Em posse valor de utilizase agora a Figura 52 para chegar à quantidade diâmetro e espaçamento dos vergalhões da laje Observe mais uma vez que estamos usando uma figura já mostrada e empregada 128 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 52 Área de armadura para lajes FONTE BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 Primeira observação mesmo as lajes armadas em uma direção devem possuir uma armadura secundária perpendicular a armadura transversal Esta armadura mínima possui duas funções uma é distribuir melhor os esforços na laje outra de amarrar a armadura principal 129 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Seu cálculo ocorre do seguinte modo Ou Segunda observação apesar de existir o cálculo para a armadura ela não pode ser inferior que uma armadura mínima a qual seu cálculo se dá Em que será igual a 1m é a espessura da laje SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar os passos para calcular uma laje maciça de concreto armado em duas direções aconselho você a assistir ao vídeo disponível no link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações httpswwwyoutubecomwatchvhSLpPDNTndg 130 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 42 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS HORIZONTAIS VIGAS Vigas são elementos unidimensionais que estão submetidos a flexão São submetidas a uma tensão de tração e em outra parte de compressão Ademais elas estão também levadas à tensão de cisalhamento Cada esforço que ocorre na viga possui uma armadura que combaterá tal esforço Figura 53 Esforços solicitantes em peça estrutural Fonte Elaborada pelo autor a partir do software Ftool 2021 131 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Para o cálculo dos esforços cortantes e de momentos fletores deverão ser usados os métodos apresentados nos tópicos anteriores 421 Viga Simplesmente Armada à Flexão Este tipo de armação ocorre pelo cálculo da armadura longitudinal principal Seu processo de cálculo é muito parecido com o descrito anteriormente para lajes 9 Cálculo da Área de Armadura Primeiramente o cálculo da armadura ocorre pelo cálculo do valor de Com este valor encontrase na Figura 54 o valor de e por fim usase este último valor para encontrar a armadura E Em que dimensão da base da viga altura da viga menos o cobrimento Momento Fletor valor tabelado Figura 54 advindo do cálculo de área total da armadura Para auxiliar você no cálculo e dimensionamento adequado das vigas use a figura abaixo Tabela T13 Tabela de dimensionamento de vigas à flexão k6 e k3 ξ xd Valores de k6 para concreto de fck MPa Valores de k3 para aços 20 25 30 CA25 CA50 CA60 001 14470 11580 9650 0647 0323 0269 002 7260 5810 4840 0649 0325 0271 003 4860 3890 3240 0652 0326 0272 004 3660 2930 2440 0655 0327 0273 005 2940 2350 1960 0657 0329 0274 006 2460 1970 1640 0660 0330 0275 007 2120 1690 1410 0863 0331 0276 008 1860 1490 1240 0665 0333 0277 009 1660 1330 1110 0668 0334 0278 010 1500 1200 1001 0671 0335 0280 011 1370 1100 914 0674 0337 0281 012 1260 1009 841 0677 0338 0282 013 1170 936 780 0679 0340 0283 014 1090 872 727 0682 0341 0284 015 1022 818 681 0685 0343 0285 016 962 770 642 0688 0344 0287 0167 925 740 617 0690 0345 0288 017 910 728 606 0691 0346 0288 018 863 690 575 0694 0347 0289 019 821 657 547 0697 0349 0290 020 783 627 522 0700 0350 0292 021 749 599 499 0703 0352 0293 022 718 575 479 0706 0353 0294 023 690 552 460 0709 0355 0296 024 664 531 443 0713 0356 0297 025 641 512 427 0716 0358 0298 0259 621 497 414 0719 0359 0299 026 619 495 412 0719 0360 0300 027 598 479 399 0722 0361 0301 028 580 464 386 0725 0363 0302 029 562 450 375 0729 0364 0304 030 546 437 364 0732 0366 0305 031 531 425 354 0735 0368 0306 032 516 413 344 0739 0369 0308 033 503 403 335 0742 0371 0309 Continua 133 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 54 Dimensionamento de vigas de concreto armado submetidas à flexão Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 9 Cálculo da Quantidade de Vergalhões Armadura Em posse valor de utilizase a Figura 55 abaixo apresentada para se chegar à quantidade e diâmetro dos vergalhões da viga 134 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 55 Tabela para dimensionamento de aços para vigas Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar os passos para calcular uma viga de concreto simples mente armada à flexão aconselho você a assistir ao vídeo disponível no link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações httpswwwyoutubecomwatchvXnOyQiQVhqg 135 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 422 Viga Duplamente Armada à Flexão O cálculo de viga duplamente armada se dará quando após o cálculo do valor de percebese que não há valor correspondente mínimo na Figura 54 Neste caso segue o outro roteiro de cálculo 9 Cálculo da Área de Armadura Após o cálculo de verificamos que seu resultado é menor que o último apresentado Devese neste caso calcular o Momento Limite Em que dimensão da base da viga é a altura da viga menos o cobrimento pode ser 391 312 ou 260 dependerá do fck adotado Com este cálculo anterior é possível calcular a armadura de tração Em que será o valor que foi encontrado de acordo com o valor de é a altura da viga menos o cobrimento será o Momento Limite será o momento fletor máximo aplicado à viga menor será o valor obtido na Figura 56 136 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 56 Cálculo de vigas duplamente armadas k7 e k8 Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 Em seguida fazse o cálculo a armadura de compressão Com os resultados da área total de e buscase na Figura 55 o quantitativo de vergalhões para a viga SUGESTÃO DE VÍDEO Para você relembrar os passos para calcular uma viga de concreto duplamente armada aconselho você a assistir ao vídeo disponível no link abaixo Não esqueça de pegar papel e caneta para fazer as suas anotações httpswwwyoutubecomwatchvZLJICGnlpeI 137 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 423 Viga Armada ao Cisalhamento As vigas quando submetidas à flexão também sofrem com as tensões de cisalhamento Para o dimensionamento delas devese considerar que o esforço cisalhante solicitante que ocorre na viga deve ser menor que o esforço cisalhante resistente o qual a viga consegue suportar O valor de é obtido pela análise das estruturas vista nas Unidades anteriores já o é calculado conforme visto abaixo Em que dimensão da base da viga é a altura da viga menos o cobrimento será o dependerá do adotado conforme visto abaixo Como a viga é composta de concreto e aço uma parte do esforço cortante será absorvido pelo concreto e outra pelo aço Esta última parcela pode ser calculada como 138 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Sendo o esforço cortante que o aço combate o esforço cortante que o concreto combate Por fim a área de armadura é calculada conforme a seguir Em que o esforço cortante que o aço combate é a altura da viga menos o cobrimento será a tensão de escoamento do aço dividida pelo coeficiente de segurança conforme abaixo Figura 57 Tipos de aço conforme NBR 7480 Fonte NBR 7480 2007 139 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Com o valor da área de aço calculada usase a Figura 58 para se obter a bitola do vergalhão e o espaçamento entre eles Figura 58 Valores de Asws para estribos com duas ramificações Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 43 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS VERTICAIS PILARES Assim como vigas os pilares são elementos unidimensionais que estão submetidos prioritariamente a esforços de compressão 140 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 431 Índice de Esbeltez É o principal parâmetro para o cálculo do pilar Mede a probabilidade que um pilar tem de flambar Quanto maior ele for mais chance tem de flambar Seu cálculo ocorre da seguinte maneira Em que é a altura do pilar é o raio de giração dado pela fórmula Sendo o momento de inércia de área da seção transversal do pilar área da seção transversal do pilar Por fim o valor de dependerá das condições de contorno que prendem o pilar às suas extremidades conforme visto na Figura 59 141 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 59 Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados Fonte NBR8800 2008 432 Excentricidade das Cargas no Pilar Nem sempre as cargas aplicadas em pilares estarão centradas no centro de gravidade do pilar Isto acontece devido à dificuldade da carga vinda das vigas que quase nunca repousam no centro do pilar e pela própria heterogeneidade do material Por isto no dimensionamento deve sempre ser considerado estas tais imperfeições locais nos pilares como o cálculo do momento mínimo 1ª ordem O esquema abaixo mostra um resumo das possibilidades de excentricidade da aplicação das cargas nos pilares em que as hipóteses do índice de esbeltez estejam compreendidos de e 142 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Excentricidade de 1ª Ordem Caso 1 Compressão centrada Caso 2 Flexão normal composta Caso 3 Flexão oblíqua composta Excentricidade de 1ª ordem e 2ª ordem Caso 4 Compressão centrada Caso 5 Flexão normal composta Caso 6 Flexão oblíqua composta 433 Área de Armadura Longitudinal O cálculo da armadura se dá pela análise dos momentos de 1ª eou 2ª ordens dependendo do caso que se está estudando Em seguida calculamse os valores dos parâmetros e param posteriormente usálos nos ábacos específicos para se chegar ao valor de Momento de 1ª Ordem Sendo carga de compressão no pilar dimensão da seção transversal do pilar Fazse para tanto para o menor quanto para o maior lado 143 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Momento de 2ª ordem Sendo carga de compressão no pilar comprimento equivalente do pilar será o menor valor conforme abaixo Parâmetros e Sendo carga de compressão no pilar momento de 1ª ordem dimensão da seção transversal do pilar Fazse para tanto para o menor quanto para o maior lado área da seção transversal do pilar será o 144 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em posse dos valores e usase nos ábacos e se substitui o valor de na seguinte fórmula 434 Armadura Mínima Longitudinal Espaçamento Longitudinal e Armadura Transversal A armadura longitudinal não pode ser muito pequena pois o pilar recebe uma carga elevada mas também não pode ser muito grande para não haver o mal condicionamento na hora de concretar Por isso devese usar a armadura longitudinal no seguinte intervalor Espaçamento entre os vergalhões longitudinais Área da armadura transversal 145 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Espaçamento entre os vergalhões transversais 435 Ábacos para Uso nos Cálculos Valores de ρ ρ2 ρ1 𝜈 14 𝜎1 𝜎2 𝜈 10 𝜈 08 𝜈 06 𝜈 04 𝜈 02 𝜈 00 𝜈 12 𝜈 01 𝜈 16 Tabela 20 Abaco 3 Dimensionamento de pilares Flexão composta normal Concreto fck 25 MPa AcoCA50 AcoCA60 Aco 1 Aco 0 Aco 01 d1 010 N d Nd Aco fcd μ Nd Nd g As ρ Ac Valores de ρ 148 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 60 Ábacos Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 149 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 44 DIMENSIONAMENTO DE ESCADAS O dimensionamento de escadas se dará de forma similar ao dimensionamento de lajes e vigas As fórmulas e tabelas são as mesmas já mostradas anteriormente Figura 61 Elementos componentes da escada passíveis de cálculo Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 441 Cálculo da Espessura A espessura da escada será calculada através da seguinte fórmula 150 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 442 Esforços Os esforços presentes na escada se darão pela soma do peso próprio o peso do revestimento mais a ação variável acidental Em posse dessas cargas é possível se aproximar a escada pórtico de uma viga conforme visto abaixo Figura 62 Seção longitudinal de uma viga de escada Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 Aproximase para 151 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 63 Esquema de aproximação de modelo de viga para escada Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 As reações de apoio que chegam nas vigas e os momentos fletores em D e C são calculados normalmente como nas estruturas de vigas visto nos capítulos anteriores 443 Cálculo da Área de Armadura Primeiramente o cálculo da armadura ocorre pelo cálculo do valor de Com este valor encontrase na Figura 64 o valor de e por fim usase este último valor para encontrar a armadura E 152 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em que será igual a 1m é a altura da laje menos o cobrimento Momento Fletor valor tabelado Figura 64 advindo do cálculo de área total da armadura 153 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Figura 64 Dimensionamento de lajes maciças armadas em duas direções ou em cruz Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 154 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 444 Cálculo da Quantidade e Espaçamento da Armadura Em posse do valor de utilizase agora a Figura 65 para se chegar a quantidade diâmetro e espaçamento dos vergalhões da laje Figura 65 Área de armadura para lajes Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 155 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 45 DIMENSIONAMENTO DE FUNDAÇÕES 451 Fundações Superficiais Sapatas Sapatas são fundações superficiais usadas em edificações de até quatro pavimentos e solos com alta resistência em cotas não muito profundas Elas funcionam como um alargamento dos pilares para diminuir a tensão que os mesmos pilares provocariam caso estivessem diretamente no solo Figura 66 Seção transversal de sapata Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 9 Área da Sapata A área da sapata é calculada de acordo com o peso que chega do pilar e a tensão admissível do solo o qual a sapata está assentada 156 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Em que peso que chega do pilar tensão admissível do solo Essa tensão admissível pode ser igual a 200kNm² para solos do tipo areia úmida ou de 500 a 800 kNm² para solos do tipo pedregulho e areia grossa ou também entre 1000 a 5000 kNm² para rochas 9 Dimensões da Sapata As dimensões devem se encaixar com as dimensões do pilar que está acima da sapata mais a dimensão da área da base da sapata calculada no item anterior Figura 67 Seção transversal de sapata e elementos para cálculo Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 157 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Os parâmetros geométricos da figura acima podem ser calculados abaixo 9 Armadura da Sapata A sapata deve estar assentada sobre uma camada de concreto magro de cinco centímetros de espessura Este valor deverá ser desconsiderado na hora do cálculo da armadura Figura 68 Seção transversal para cálculo de armadura de sapata Fonte BOTELHO M H C MARCHETTI O 2015 158 TEORIA DAS ESTRUTURAS II 9 Armadura mínima De modo a garantir a segurança da sapata devese considerar uma armadura mínima a qual nenhum cálculo deve ser inferior a estes valores ou Momentos mínimos Estes momentos ocorrem tanto na direção a quanto na direção b Abaixo mostra se o momento na direção a Sendo O valor de é mostrado no exemplo anterior O momento na direção b está a seguir Sendo 9 Área de Aço A área de aço é feita com base nos parâmetros anteriores 159 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Na direção a Na direção b Sendo em ambos o caso e 160 TEORIA DAS ESTRUTURAS II CONSIDERAÇÕES FINAIS Caro acadêmico chegamos ao final desta Unidade Você certamente deve ter observado ao longo dos cálculos das distintas peças estruturais que existe um método para cada mesmo que este não mude tanto de uma peça estrutural para a outra Uma coisa que é essencial em todo os casos indistintamente do que você estiver calculando e dimensionando é a necessidade de uso de tabelas e ábacos Estes materiais são essenciais para o cálculo uma vez que os seus valores nos permitem estabelecer a parametrização correta para a ideal execução de cobrimentos armaduras e demais elementos das peças estruturais Nunca recorra às soluções facilitadas reducionismos ou aproximações indevidas quando se trata de cálculo estrutural Use todas as ferramentas necessárias e disponíveis para você desenvolver de forma correta as suas tarefas Lembrese da sua responsabilidade como técnico como calculista o resultado de todo seu trabalho e esforço deve solucionar problemas práticos do diaadia e proporcionar conforto e acima de tudo segurança dos usuários 161 TEORIA DAS ESTRUTURAS II EXERCÍCIO FINAL QUESTÃO 01 Você foi designado para fazer o projeto estrutural de concreto armado de uma edificação comercial no centro de uma grande metrópole O projetista arquitetônico deseja que uma das lajes maciças em balanço tenha 15cm de espessura Contudo você lembrou que a NBR6118 estipula espessuras mínimas para os tipos de lajes Após a leitura da referida norma sua resposta ao projetista arquitetônico foi a Não é possível uma laje maciça em balanço com esta espessura visto que a NBR6118 estipula para este caso uma espessura mínima de 20cm b Não é possível uma laje maciça em balanço com esta espessura visto que a NBR6118 estipula para este caso uma espessura mínima de 25cm c É possível uma laje maciça em balanço com esta espessura visto que a NBR 6118 estipula para este caso uma espessura mínima de 8cm d É possível uma laje maciça em balanço com esta espessura visto que a NBR 6118 estipula para este caso uma espessura mínima de 10cm e É possível uma laje maciça em balanço com esta espessura visto que a NBR 6118 estipula para este caso uma espessura mínima de 7cm QUESTÃO 02 Uma laje armada em uma direção tem dimensões de 2x3m e possui uma carga atuante de 35kNm Qual o valor do momento fletor negativo considerando que esta laje possui apenas um engastamento a 262kNm b 131kNm c 394kNm d 222kNm e 350kNm 162 TEORIA DAS ESTRUTURAS II QUESTÃO 03 O dimensionamento de pilar é considerado o mais complexo no sistema estrutural lajevigapilar visto que seu parâmetro de esbeltez é extremamente rigoroso e que leva em consideração os tipos de vínculos que o pilar possui na sua extremidade superior e inferior Para o caso de um pilar biengastado seu coeficiente k deverá ser igual a quanto a 050 b 070 c 100 d 200 e 300 163 TEORIA DAS ESTRUTURAS II REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRAS DE NORMAS TÉCNICAS NBR 74802007 Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado Especificação ASSOCIAÇÃO BRASILEIRAS DE NORMAS TÉCNICAS NBR88002008 Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios BOTELHO M H C MARCHETTI O Concreto armado eu te amo Vol1 8ª ed São Paulo Blucher 2015 uniavainedubr