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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CARATINGA FUNEC CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA UNEC NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD MATEMÁTICA APLICADA Prof MSc Robson da Silva CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 2 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr INTRODUÇÃO O cálculo é sem dúvida a ferramenta mais poderosa desenvolvida pela ma temática Sua utilização permeia campos e áreas de estudo em diversas disciplinas como biologia química física e matemática E encontra aplicações em profissões tais como medicina arquitetura tecnologia da informação e principalmente em en genharia A utilização e a habilidade de desenvolver essa ferramenta levou a humani dade da idade da pedra até a era moderna Mas é claro que o caminho não foi tão simples e fácil Desde a elaboração do princípio da contagem representação dos números até o formalismo utilizado nos dias de hoje foi um longo e árduo caminho E muitos foram os colaboradores que durante séculos investigaram testaram es creveram e provaram as teorias que nos levaram ao entendimento e aplicações do cálculo moderno O que hoje conhecemos como cálculo diferencial e integral Apesar de algumas ideias de cálculo serem encontradas em manuscritos da Grécia antiga como em trabalhos desenvolvidos por Arquimedes 287 212 AC e em Trabalhos de René Descartes 1596 1650 Pierre de Fermat 1601 1665 no início do século dezessete A invenção do cálculo diferencial e integral é frequente mente atribuída a Sair Isaac Newton 1642 1727 e a Gottfried Wilhelm Leibniz 1654 1705 pois foram os primeiros a generalizar e a unificar o assunto É neces sário salientar que muitos outros matemáticos dos séculos dezessete e dezoito também fizeram contribuições substanciais no desenvolvimento dessa ferramenta Contudo foi somente a partir do século dezenove que os processos do cálculo dife rencial e integral receberam fundamentação teórica sólida Hoje a maioria dos estudantes iniciantes em cursos de exatas me pergun tam o porquê de se estudar cálculo Se você também é um desses estudante a res posta é muito simples Estudos comprovam que estudantes que se propõem a estu dar e aprender cálculo seja em qualquer área apresenta um desenvolvimento con siderável na capacidade de raciocínio Ou seja o estudo de cálculo melhora sua ha bilidade de resolver problemas sem mencionar que o cálculo é a ferramenta mais CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 3 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr utilizada e aplicada na solução de problemas em matemática física e engenharia Sobre essa ótica a disciplina de cálculo do curso EAD do Centro Universitário de Caratinga UNEC foi pensado e modelado de forma a proporcionar o desenvolvi mento intelectual do estudante atrelado a uma formação que permita ao estudante explorar e solucionar qualquer problema que necessite da aplicação dessa ferra menta Neste contexto a disciplina de cálculo foi dividida em seis capítulos onde priorizamos e condensamos os principais conceitos e técnicas necessárias para uma boa formação do estudante Para facilitar e tornar mais prazeroso o estudo de cálculo 1 a disciplina foi dividida em Capítulo1 Estudo das funções Neste capítulo serão estudados os conceitos de funções do primeiro e se gundo graus função exponencial e função racional onde será dado maior ênfase na noção intuitiva de limites Capítulo 2 Limites e continuidade Neste capítulo será abordado a definição de limites laterais e limites ten dendo ao infinito técnicas de solução de limites e o uso de limites como introdução às derivadas e diferenciais Capítulo 3 Regras de derivação e diferenciação Neste capítulo será abordado o conceito de derivação aplicado à física e engenharia como também as regras de derivação Capitulo 4 aplicações de derivadas Neste capitulo vamos explorar a derivada como taxa de variação usaremos as técnicas de derivação para solucionar problemas de máximos e mínimos e ainda estudar a regra de LHospital para a solução de limites Capítulo 5 Introdução às integrais Neste capítulo será abordado o conceito de integral integrais indefinidas e regras de derivação CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 4 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr CAPÍTULO 1 1 FUNÇÕES Função é uma aplicação que relaciona elementos entre dois conjuntos de números reais estabelecida por uma equação Definição 1 Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números reaisR Uma função B A f é uma lei de aplicação que estabelece a relação entre os subconjuntos A e B e afirma que a cada elemento do subconjunto A corresponde a somente um elemento do subconjunto B O subconjunto A é chamado de domínio da função denotado de D f E B é chamado de contradomínio da função Exemplo 11 Sejam 1 3 5 9 A e 2 6 1018 B i B A f dada pelo diagrama da figura 1 é uma função de A em B Figura 1 Função de A em B Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 5 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Notem que para cada elemento do subconjunto A existe um único elemento no subconjunto B E que todos elementos do subconjunto A possuem um corres pondente no subconjunto B ii B A f dada pelo diagrama da figura 2 não é uma função de A em B Notem que para um mesmo elemento do subconjunto A possui dois elemen tos correspondentes no subconjunto B E que um dos elementos do subconjunto A não possui correspondente no conjunto B Observação Toda função é uma equação mas nem toda equação é uma fun ção Definição 2 Seja B A f i Dado x A o elemento B f x é chamado de valor da função no ponto x ou de imagem de x em f ii O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de con junto imagem de F denotado por Im f Figura 2 Não é função de A em B Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 6 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 12 Dado o conjunto 1 3 5 9 A e a lei de formação da função B A f x y f x 2 i O domínio da função são os elementos do conjunto A A D f ii A imagem dos elementos do conjunto A é o conjunto B 2 6 1018 Im B f 11 Tipos de Funções As funções podem ser classificadas em três tipos Injetora sobrejetora e bi jetora Que podem ser divididas em Função constante Função par Função ímpar Função afim ou polinomial do primeiro grau Função Linear Função crescente Função decrescente Função qua drática ou polinomial do segundo grau Função modular Função exponencial Fun ção logarítmica Funções trigonométricas Função raiz e função racional Neste capí tulo iremos estudar apenas as funções Polinomial do primeiro grau Função quadrática ou polinomial do segundo grau Função exponencial Função racional No estudo das funções é extremamente necessário saber 1 Classificar as funções 2 Determinar o conjunto domínio e o conjunto imagem 3 Construir e interpretar o gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 7 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 12 Polinomial do Primeiro Grau São todas funções que obedecem a formulação b ax f x com 0 a Nas funções do primeiro grau a é chamado de coeficiente angular e b chamado de coeficiente linear e o maior expoente da variável independente x é igual a 1 Uma função do primeiro grau é crescente se a 0 Uma função do primeiro grau é decrescente se a 0 Figura 3 Função polinomial do 1º grau crescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 4 Função polinomial do 1º grau decrescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 8 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Observação O coeficiente linear b define o ponto onde a reta gerada pela função irá cortar o eixo das ordenadas y Exemplo 13 Dada a função 4 1 f x x Determine a O domínio b Os coeficientes c A função é crescente ou decrescente d Construa o gráfico da função e Faça o estudo do limite da função Resolução a O domínio As funções do primeiro grau não possuem restrições de domínio logo o do mínio da função são todos os elementos do conjunto dos números reais b Os coeficientes O coeficiente angular da função é a 4 e o coeficiente linear é b 1 c A função é crescente ou decrescente Como nesta função a 0 a função é crescente d Construa o gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 9 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta E para defini la são necessários apenas dois pontos podemos utilizar mais pontos sem que haja nenhum problema Então comecemos por criar uma tabela figura 5 atribuindo valores para a variável independente assim Substituindo esses valores na função temos 5 1 1 4 1 1 1 4 f f x x f 9 2 1 4 2 2 1 4 f f x x f 1 0 1 4 0 0 1 4 f f x x f 3 1 1 1 4 1 1 4 f f x x f 7 2 1 2 4 2 1 4 f f x x f A figura 6 mostra os pares ordenados da função Figura 5 Tabela de 4 1 f x x 4 1 f x x x 1 2 0 1 2 Fonte O autor Figura 6 Tabela da 4 1 f x x 4 1 f x x x 5 1 9 2 1 0 3 1 7 2 Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 10 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O gráfico da função é mostrado na figura 7 e Faça o estudo do limite da função O estudo do limite consiste em verificar a evolução da função quando a vari ável independente tende a um limite Neste caso quando x tende a mais infinito x e quando tende a menos infinito x Assim Quando x como a função cresce à medida que x cresce logo a fun ção também tende a mais infinito ou seja não tem limite no mais infinito Quando x como a função decresce à medida que x decresce logo a função também tende a menos infinito ou seja não tem limite no menos infinito 13 Função do Segundo Grau São todas funções que obedecem a formulação c bx ax f x ² com a 0 Nela o maior expoente da variável independente é igual a 2 e o coeficiente c é o ponto onde a curva descrita pela função corta o eixo das ordenadas Figura 7 Gráfico da função 4 1 f x x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 11 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr A curva de uma equação do segundo grau descreve uma parábola que pode ser Côncava para cima se a 0 figura 8 Ou côncava para baixo se a 0 figura 9 Uma função do segundo grau pode apresentar Duas raízes reais distintas quando apresentar um 0 Duas raízes reais iguais quando apresentar um 0 E não possui raízes reais quando apresentar um 0 Para a construção do gráfico de uma função do segundo grau são necessá rios no mínimo três pontos e é recomendável que um desses pontos seja o vértice da função Figura 8 ponto de mínimo de uma parábola Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 8 ponto de máximo de uma parábola Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 12 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr As raízes da equação podem ser determinadas fazendo f x 0 resolven do a equação 1 que é conhecida como equação de Bhaskara a b x 2 1 Onde ac b ² 4 As coordenadas do vértice da função podem ser determinadas pelas equa ções 3 e 4 Abscissa do vértice a b x 2 3 Ordenada do vértice a y 4 4 Exemplo 14 Dada a função do segundo grau 6 ² x x f x determine a As raízes da equação b O vértice da função c O gráfico da função d Faça o estudo do limite da função Resolução CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 13 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr a As raízes da equação Para determinar as raízes da equação começamos fazendo f x 0 na sequência calculamos o delta da equação e por fim resolvemos a equação de Bhaskara 25 4 1 6 ²1 4 ² ac b Como podemos observar nesse caso 0 logo a equação possui duas ra ízes reais 2 3 2 5 1 1 2 25 1 2 2 1 e x x x x a b x b O vértice da função Determinando a abcissa do vértice 2 1 2 1 1 2 x x a b x Determinando a ordenada do vértice 4 25 4 1 25 4 y y a y c O gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 14 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para construir o gráfico da função são necessários no mínimo três pontos Neste caso você pode utilizar as raízes e o vértice da função e não se esqueça a curva descrita pela equação deve cortar o eixo das ordenadas no ponto dado pelo coeficiente c Mas para facilitar plote esses pontos em uma tabela figura 9 e a figu ra 10 mostra o gráfico da função 6 ² x x f x d Faça o estudo do limite da função Se x tender a mais infinito y também tende ao mais infinito Se x tende a menos infinito y também tende ao menos infinito Se x tende a dois y tende a zero Se x tende a menos três y tende a zero 15 Função Exponencial São todas as funções que obedecem a formulação ax f x sendo a um número real e 1 0 a Figura 9 Tabela de 6 ² x x f x 6 ² x x f x x 0 2 6 0 254 12 0 3 Fonte O autor Figura 10 Gráfico da função 6 ² x x f x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 15 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O domínio da função exponencial é R D f e a imagem é R f 0 Im O gráfico da função apresenta uma curva que sempre está acima do eixo das abcissas e corta o eixo das ordenadas no ponto 01 A função ax f x é crescente se a 1 figura 11 A função ax f x é decrescente se 1 0 a figura 12 Figura 11 Gráfico da função ax f x crescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 12 Gráfico da função ax f x decres cente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 16 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 15 Dada a função x f x 2 determine a O gráfico da função b Faça o estudo do limite da função Resolução a O gráfico da função Para determinar o gráfico da função é necessário ciar uma tabela figura 13 e atribuir valores para a variável independente x Agora é plotar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a curva figu ra 14 Figura 13 Tabela de x f x 2 x f x 2 x 4 2 2 1 1 0 12 1 14 2 Fonte O autor Figura 14 Gráfico de x f x 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 17 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr b Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y também tende a mais infinito Se x tende a menos infinito y tende a zero Exemplo 16 Dada a função x f x 2 1 determine a O gráfico da função b Faça o estudo do limite da função Resolução a O gráfico da função Para determinar o gráfico da função é necessário criar uma tabela figura 15 e atribuir valores para a variável independente x Figura 15 Tabela de x f x 2 1 x f x 2 1 x 14 2 12 1 1 0 2 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 18 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Agora é plotar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a curva figu ra 16 b Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y tende a zero Se x tende a menos infinito y tende a mais infinito 17 Função Racional São todas as funções que obedecem a formulação x g q x f x onde qx e gx são polinômios e 0 g x O domínio da função racional é o conjunto dos números reais excluindo aqueles valores de x tais que 0 q x Figura 16 Gráfico de x f x 2 1 Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 19 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 17 Dada a função 1 1 x x f x determine a O domínio da função b A raiz da função c O gráfico da função d Faça o estudo do limite da função Resolução a O domínio da função O domínio da função é determinado fazendo 0 g x Assim 1 0 1 x x Logo 1 D x R b A raiz da função Para determinar a raiz da função faça 0 f x Assim 1 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x f c O gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 20 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para construir o gráfico da função racional é necessário determinar a raiz da equação e as assíntotas horizontal e vertical as assíntotas são retas paralelas aos eixos cartesianos que limitam as curvas da função Como a raiz da equação já foi determinada no item anterior basta determi nar as assíntotas Assíntota horizontal Para determinar a assíntota horizontal comece por fazer o quociente entre os termos que apresentem os maiores expoentes de x na função Assim 1 x x y Logo a assíntota horizontal é uma reta paralela ao eixo das abcissas e que corta o eixo das ordenadas no ponto 01 Assíntota vertical Para determinar a assíntota vertical faça a função 0 g x 1 0 1 x x Logo a assíntota vertical está paralela ao eixo das ordenadas e corta o eixo das abcissas no ponto 10 O gráfico da função é apresentado na figura 17 Figura 17 Gráfico de 1 1 x x f x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 21 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para determinar as curvas você pode construir uma tabela e atribuir alguns valores para a variável independente x Neste caso não foi necessário pois uma das curvas corta o eixo x no ponto dado pela raiz da equação As curvas descritas pela função são sempre tangentes às assíntotas d Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y tende a um Se x tende a menos infinito y tende a um Se x tende a menos um pela esquerda y tende a menos infinito Se x tende a menos um pela direita y tende a mais infinito 18 Exercícios 1 A função do primeiro grau definida por f x 6 4ax 10 é crescente quan do a a 0 b a 32 c a 32 d a 32 e a 3 2 a reta da função f x ax b passa pelos pontos 1 3 e 2 7 O valor do coe ficiente angular dessa função é CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 22 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr a 53 b 43 c 1 d 34 e 35 3 Qual das funções abaixo fornece o gráfico da figura a Fx 2x 4 b Fx 4x 2 c Fx 2x 4 d Fx 2x 4 e Fx 2x 4 4 No estudo do gráfico da função É correto afirmar que a Y tende ao mais infinito quando x tende ao menos infinito e o coeficiente line ar da função é 1 b Y tende ao menos infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente line ar da função é 1 c Y tende ao mais infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente linear da função é 1 d Y tende ao mais infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente linear da função é 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 23 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr e Y tende ao menos infinito quando x tende ao menos infinito e o coeficiente angular da função é 1 5 A soma das coordenadas do vértice de uma função do segundo grau definida por fx x2 5x 6 a 30 b 30 c 52 d 52 e 12 6 Dada a função fx 2x 12 x é correto afirmar que a A função é do primeiro grau e é decrescente pois a 2 b A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo pois a 2 c A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima pois a 2 d A função é do primeiro grau e é crescente pois a 2 e A função não é do primeiro nem do segundo grau 7 O gráfico da função real definida por y x² kx 15 k tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto 0 a Se a abscissa do vértice da parábola é negativa a vale a 25 b 18 c 12 d 9 e 6 8 A figura abaixo é refere ao gráfico da função y ax² bx c CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 24 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Sendo o discriminante podemos afirmar que a a 0 0 e c 0 b a 0 0 e c 0 c a 0 0 e c 0 d a 0 0 e c 0 e a 0 0 e c 0 9 Dadas as funções definidas por fx 45x e gx 54x Classifique as afirma ções em Vverdadeiro ouF Falso Os gráficos de fx e gx não se interceptam fx é crescente e gx é decrescente g 2 f 1 f1 f g0 f1 f 1 g1 5 a VVVVV b FFFFF c FFVVV d VVVFF e FVFVF 10 Considere as afirmações dadas abaixo referentes a funções exponenciais e lo garítmicas CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 25 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr A alternativa correta é a Somente a afirmativa II é verdadeira b Somente a afirmativa I é verdadeira c Somente a afirmativa III é verdadeira d Somente as afirmativas I e II são verdadeiras e Somente as afirmativas I e III são verdadeiras 11 Considere a função f definida por x f x 10 5 7 1 e representada em um sis tema de coordenadas cartesianas Entre os gráficos abaixo o que pode representar a função f é a d b e CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 26 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr c CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 27 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 12 Analisado o gráfico da função exponencial É correto afirmar que a Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao mais infinito b Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao mais infinito c Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito d Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito e Fx 32x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito 13 Dada a função racional 4 1 x x f x o domínio dessa função é a x 4 b x 4 c x 4 d x 4 e x 4 14 A assíntota vertical da função 3 2 x x f x é a 3 b 2 c 1 d 3 e 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 28 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 15 Dada a função racional 1 1 f x x é correto afirmar que a Y tende ao mais infinito quando x tende ao menos infinito b Y tende ao menos infinito quando x tende ao mais infinito c Y tende a 1 quando x tende ao menos infinito d Y tende ao menos infinito quando x tende a 1 pela esquerda e Y tende ao mais infinito quando x tende a 1 pela esquerda 181 Gabarito dos exercícios 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 B 11 D 12 E 13 C 14 A 15 E
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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CARATINGA FUNEC CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA UNEC NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD MATEMÁTICA APLICADA Prof MSc Robson da Silva CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 2 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr INTRODUÇÃO O cálculo é sem dúvida a ferramenta mais poderosa desenvolvida pela ma temática Sua utilização permeia campos e áreas de estudo em diversas disciplinas como biologia química física e matemática E encontra aplicações em profissões tais como medicina arquitetura tecnologia da informação e principalmente em en genharia A utilização e a habilidade de desenvolver essa ferramenta levou a humani dade da idade da pedra até a era moderna Mas é claro que o caminho não foi tão simples e fácil Desde a elaboração do princípio da contagem representação dos números até o formalismo utilizado nos dias de hoje foi um longo e árduo caminho E muitos foram os colaboradores que durante séculos investigaram testaram es creveram e provaram as teorias que nos levaram ao entendimento e aplicações do cálculo moderno O que hoje conhecemos como cálculo diferencial e integral Apesar de algumas ideias de cálculo serem encontradas em manuscritos da Grécia antiga como em trabalhos desenvolvidos por Arquimedes 287 212 AC e em Trabalhos de René Descartes 1596 1650 Pierre de Fermat 1601 1665 no início do século dezessete A invenção do cálculo diferencial e integral é frequente mente atribuída a Sair Isaac Newton 1642 1727 e a Gottfried Wilhelm Leibniz 1654 1705 pois foram os primeiros a generalizar e a unificar o assunto É neces sário salientar que muitos outros matemáticos dos séculos dezessete e dezoito também fizeram contribuições substanciais no desenvolvimento dessa ferramenta Contudo foi somente a partir do século dezenove que os processos do cálculo dife rencial e integral receberam fundamentação teórica sólida Hoje a maioria dos estudantes iniciantes em cursos de exatas me pergun tam o porquê de se estudar cálculo Se você também é um desses estudante a res posta é muito simples Estudos comprovam que estudantes que se propõem a estu dar e aprender cálculo seja em qualquer área apresenta um desenvolvimento con siderável na capacidade de raciocínio Ou seja o estudo de cálculo melhora sua ha bilidade de resolver problemas sem mencionar que o cálculo é a ferramenta mais CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 3 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr utilizada e aplicada na solução de problemas em matemática física e engenharia Sobre essa ótica a disciplina de cálculo do curso EAD do Centro Universitário de Caratinga UNEC foi pensado e modelado de forma a proporcionar o desenvolvi mento intelectual do estudante atrelado a uma formação que permita ao estudante explorar e solucionar qualquer problema que necessite da aplicação dessa ferra menta Neste contexto a disciplina de cálculo foi dividida em seis capítulos onde priorizamos e condensamos os principais conceitos e técnicas necessárias para uma boa formação do estudante Para facilitar e tornar mais prazeroso o estudo de cálculo 1 a disciplina foi dividida em Capítulo1 Estudo das funções Neste capítulo serão estudados os conceitos de funções do primeiro e se gundo graus função exponencial e função racional onde será dado maior ênfase na noção intuitiva de limites Capítulo 2 Limites e continuidade Neste capítulo será abordado a definição de limites laterais e limites ten dendo ao infinito técnicas de solução de limites e o uso de limites como introdução às derivadas e diferenciais Capítulo 3 Regras de derivação e diferenciação Neste capítulo será abordado o conceito de derivação aplicado à física e engenharia como também as regras de derivação Capitulo 4 aplicações de derivadas Neste capitulo vamos explorar a derivada como taxa de variação usaremos as técnicas de derivação para solucionar problemas de máximos e mínimos e ainda estudar a regra de LHospital para a solução de limites Capítulo 5 Introdução às integrais Neste capítulo será abordado o conceito de integral integrais indefinidas e regras de derivação CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 4 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr CAPÍTULO 1 1 FUNÇÕES Função é uma aplicação que relaciona elementos entre dois conjuntos de números reais estabelecida por uma equação Definição 1 Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números reaisR Uma função B A f é uma lei de aplicação que estabelece a relação entre os subconjuntos A e B e afirma que a cada elemento do subconjunto A corresponde a somente um elemento do subconjunto B O subconjunto A é chamado de domínio da função denotado de D f E B é chamado de contradomínio da função Exemplo 11 Sejam 1 3 5 9 A e 2 6 1018 B i B A f dada pelo diagrama da figura 1 é uma função de A em B Figura 1 Função de A em B Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 5 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Notem que para cada elemento do subconjunto A existe um único elemento no subconjunto B E que todos elementos do subconjunto A possuem um corres pondente no subconjunto B ii B A f dada pelo diagrama da figura 2 não é uma função de A em B Notem que para um mesmo elemento do subconjunto A possui dois elemen tos correspondentes no subconjunto B E que um dos elementos do subconjunto A não possui correspondente no conjunto B Observação Toda função é uma equação mas nem toda equação é uma fun ção Definição 2 Seja B A f i Dado x A o elemento B f x é chamado de valor da função no ponto x ou de imagem de x em f ii O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de con junto imagem de F denotado por Im f Figura 2 Não é função de A em B Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 6 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 12 Dado o conjunto 1 3 5 9 A e a lei de formação da função B A f x y f x 2 i O domínio da função são os elementos do conjunto A A D f ii A imagem dos elementos do conjunto A é o conjunto B 2 6 1018 Im B f 11 Tipos de Funções As funções podem ser classificadas em três tipos Injetora sobrejetora e bi jetora Que podem ser divididas em Função constante Função par Função ímpar Função afim ou polinomial do primeiro grau Função Linear Função crescente Função decrescente Função qua drática ou polinomial do segundo grau Função modular Função exponencial Fun ção logarítmica Funções trigonométricas Função raiz e função racional Neste capí tulo iremos estudar apenas as funções Polinomial do primeiro grau Função quadrática ou polinomial do segundo grau Função exponencial Função racional No estudo das funções é extremamente necessário saber 1 Classificar as funções 2 Determinar o conjunto domínio e o conjunto imagem 3 Construir e interpretar o gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 7 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 12 Polinomial do Primeiro Grau São todas funções que obedecem a formulação b ax f x com 0 a Nas funções do primeiro grau a é chamado de coeficiente angular e b chamado de coeficiente linear e o maior expoente da variável independente x é igual a 1 Uma função do primeiro grau é crescente se a 0 Uma função do primeiro grau é decrescente se a 0 Figura 3 Função polinomial do 1º grau crescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 4 Função polinomial do 1º grau decrescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 8 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Observação O coeficiente linear b define o ponto onde a reta gerada pela função irá cortar o eixo das ordenadas y Exemplo 13 Dada a função 4 1 f x x Determine a O domínio b Os coeficientes c A função é crescente ou decrescente d Construa o gráfico da função e Faça o estudo do limite da função Resolução a O domínio As funções do primeiro grau não possuem restrições de domínio logo o do mínio da função são todos os elementos do conjunto dos números reais b Os coeficientes O coeficiente angular da função é a 4 e o coeficiente linear é b 1 c A função é crescente ou decrescente Como nesta função a 0 a função é crescente d Construa o gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 9 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta E para defini la são necessários apenas dois pontos podemos utilizar mais pontos sem que haja nenhum problema Então comecemos por criar uma tabela figura 5 atribuindo valores para a variável independente assim Substituindo esses valores na função temos 5 1 1 4 1 1 1 4 f f x x f 9 2 1 4 2 2 1 4 f f x x f 1 0 1 4 0 0 1 4 f f x x f 3 1 1 1 4 1 1 4 f f x x f 7 2 1 2 4 2 1 4 f f x x f A figura 6 mostra os pares ordenados da função Figura 5 Tabela de 4 1 f x x 4 1 f x x x 1 2 0 1 2 Fonte O autor Figura 6 Tabela da 4 1 f x x 4 1 f x x x 5 1 9 2 1 0 3 1 7 2 Fonte O autor CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 10 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O gráfico da função é mostrado na figura 7 e Faça o estudo do limite da função O estudo do limite consiste em verificar a evolução da função quando a vari ável independente tende a um limite Neste caso quando x tende a mais infinito x e quando tende a menos infinito x Assim Quando x como a função cresce à medida que x cresce logo a fun ção também tende a mais infinito ou seja não tem limite no mais infinito Quando x como a função decresce à medida que x decresce logo a função também tende a menos infinito ou seja não tem limite no menos infinito 13 Função do Segundo Grau São todas funções que obedecem a formulação c bx ax f x ² com a 0 Nela o maior expoente da variável independente é igual a 2 e o coeficiente c é o ponto onde a curva descrita pela função corta o eixo das ordenadas Figura 7 Gráfico da função 4 1 f x x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 11 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr A curva de uma equação do segundo grau descreve uma parábola que pode ser Côncava para cima se a 0 figura 8 Ou côncava para baixo se a 0 figura 9 Uma função do segundo grau pode apresentar Duas raízes reais distintas quando apresentar um 0 Duas raízes reais iguais quando apresentar um 0 E não possui raízes reais quando apresentar um 0 Para a construção do gráfico de uma função do segundo grau são necessá rios no mínimo três pontos e é recomendável que um desses pontos seja o vértice da função Figura 8 ponto de mínimo de uma parábola Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 8 ponto de máximo de uma parábola Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 12 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr As raízes da equação podem ser determinadas fazendo f x 0 resolven do a equação 1 que é conhecida como equação de Bhaskara a b x 2 1 Onde ac b ² 4 As coordenadas do vértice da função podem ser determinadas pelas equa ções 3 e 4 Abscissa do vértice a b x 2 3 Ordenada do vértice a y 4 4 Exemplo 14 Dada a função do segundo grau 6 ² x x f x determine a As raízes da equação b O vértice da função c O gráfico da função d Faça o estudo do limite da função Resolução CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 13 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr a As raízes da equação Para determinar as raízes da equação começamos fazendo f x 0 na sequência calculamos o delta da equação e por fim resolvemos a equação de Bhaskara 25 4 1 6 ²1 4 ² ac b Como podemos observar nesse caso 0 logo a equação possui duas ra ízes reais 2 3 2 5 1 1 2 25 1 2 2 1 e x x x x a b x b O vértice da função Determinando a abcissa do vértice 2 1 2 1 1 2 x x a b x Determinando a ordenada do vértice 4 25 4 1 25 4 y y a y c O gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 14 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para construir o gráfico da função são necessários no mínimo três pontos Neste caso você pode utilizar as raízes e o vértice da função e não se esqueça a curva descrita pela equação deve cortar o eixo das ordenadas no ponto dado pelo coeficiente c Mas para facilitar plote esses pontos em uma tabela figura 9 e a figu ra 10 mostra o gráfico da função 6 ² x x f x d Faça o estudo do limite da função Se x tender a mais infinito y também tende ao mais infinito Se x tende a menos infinito y também tende ao menos infinito Se x tende a dois y tende a zero Se x tende a menos três y tende a zero 15 Função Exponencial São todas as funções que obedecem a formulação ax f x sendo a um número real e 1 0 a Figura 9 Tabela de 6 ² x x f x 6 ² x x f x x 0 2 6 0 254 12 0 3 Fonte O autor Figura 10 Gráfico da função 6 ² x x f x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 15 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr O domínio da função exponencial é R D f e a imagem é R f 0 Im O gráfico da função apresenta uma curva que sempre está acima do eixo das abcissas e corta o eixo das ordenadas no ponto 01 A função ax f x é crescente se a 1 figura 11 A função ax f x é decrescente se 1 0 a figura 12 Figura 11 Gráfico da função ax f x crescente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 Figura 12 Gráfico da função ax f x decres cente Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 16 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 15 Dada a função x f x 2 determine a O gráfico da função b Faça o estudo do limite da função Resolução a O gráfico da função Para determinar o gráfico da função é necessário ciar uma tabela figura 13 e atribuir valores para a variável independente x Agora é plotar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a curva figu ra 14 Figura 13 Tabela de x f x 2 x f x 2 x 4 2 2 1 1 0 12 1 14 2 Fonte O autor Figura 14 Gráfico de x f x 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 17 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr b Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y também tende a mais infinito Se x tende a menos infinito y tende a zero Exemplo 16 Dada a função x f x 2 1 determine a O gráfico da função b Faça o estudo do limite da função Resolução a O gráfico da função Para determinar o gráfico da função é necessário criar uma tabela figura 15 e atribuir valores para a variável independente x Figura 15 Tabela de x f x 2 1 x f x 2 1 x 14 2 12 1 1 0 2 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 18 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Agora é plotar os pares ordenados no plano cartesiano e traçar a curva figu ra 16 b Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y tende a zero Se x tende a menos infinito y tende a mais infinito 17 Função Racional São todas as funções que obedecem a formulação x g q x f x onde qx e gx são polinômios e 0 g x O domínio da função racional é o conjunto dos números reais excluindo aqueles valores de x tais que 0 q x Figura 16 Gráfico de x f x 2 1 Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 19 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Exemplo 17 Dada a função 1 1 x x f x determine a O domínio da função b A raiz da função c O gráfico da função d Faça o estudo do limite da função Resolução a O domínio da função O domínio da função é determinado fazendo 0 g x Assim 1 0 1 x x Logo 1 D x R b A raiz da função Para determinar a raiz da função faça 0 f x Assim 1 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x f c O gráfico da função CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 20 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para construir o gráfico da função racional é necessário determinar a raiz da equação e as assíntotas horizontal e vertical as assíntotas são retas paralelas aos eixos cartesianos que limitam as curvas da função Como a raiz da equação já foi determinada no item anterior basta determi nar as assíntotas Assíntota horizontal Para determinar a assíntota horizontal comece por fazer o quociente entre os termos que apresentem os maiores expoentes de x na função Assim 1 x x y Logo a assíntota horizontal é uma reta paralela ao eixo das abcissas e que corta o eixo das ordenadas no ponto 01 Assíntota vertical Para determinar a assíntota vertical faça a função 0 g x 1 0 1 x x Logo a assíntota vertical está paralela ao eixo das ordenadas e corta o eixo das abcissas no ponto 10 O gráfico da função é apresentado na figura 17 Figura 17 Gráfico de 1 1 x x f x Fonte Google imagem Acesso em 20052020 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 21 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Para determinar as curvas você pode construir uma tabela e atribuir alguns valores para a variável independente x Neste caso não foi necessário pois uma das curvas corta o eixo x no ponto dado pela raiz da equação As curvas descritas pela função são sempre tangentes às assíntotas d Faça o estudo do limite da função Se x tende a mais infinito y tende a um Se x tende a menos infinito y tende a um Se x tende a menos um pela esquerda y tende a menos infinito Se x tende a menos um pela direita y tende a mais infinito 18 Exercícios 1 A função do primeiro grau definida por f x 6 4ax 10 é crescente quan do a a 0 b a 32 c a 32 d a 32 e a 3 2 a reta da função f x ax b passa pelos pontos 1 3 e 2 7 O valor do coe ficiente angular dessa função é CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 22 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr a 53 b 43 c 1 d 34 e 35 3 Qual das funções abaixo fornece o gráfico da figura a Fx 2x 4 b Fx 4x 2 c Fx 2x 4 d Fx 2x 4 e Fx 2x 4 4 No estudo do gráfico da função É correto afirmar que a Y tende ao mais infinito quando x tende ao menos infinito e o coeficiente line ar da função é 1 b Y tende ao menos infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente line ar da função é 1 c Y tende ao mais infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente linear da função é 1 d Y tende ao mais infinito quando x tende ao mais infinito e o coeficiente linear da função é 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 23 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr e Y tende ao menos infinito quando x tende ao menos infinito e o coeficiente angular da função é 1 5 A soma das coordenadas do vértice de uma função do segundo grau definida por fx x2 5x 6 a 30 b 30 c 52 d 52 e 12 6 Dada a função fx 2x 12 x é correto afirmar que a A função é do primeiro grau e é decrescente pois a 2 b A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo pois a 2 c A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima pois a 2 d A função é do primeiro grau e é crescente pois a 2 e A função não é do primeiro nem do segundo grau 7 O gráfico da função real definida por y x² kx 15 k tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto 0 a Se a abscissa do vértice da parábola é negativa a vale a 25 b 18 c 12 d 9 e 6 8 A figura abaixo é refere ao gráfico da função y ax² bx c CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 24 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr Sendo o discriminante podemos afirmar que a a 0 0 e c 0 b a 0 0 e c 0 c a 0 0 e c 0 d a 0 0 e c 0 e a 0 0 e c 0 9 Dadas as funções definidas por fx 45x e gx 54x Classifique as afirma ções em Vverdadeiro ouF Falso Os gráficos de fx e gx não se interceptam fx é crescente e gx é decrescente g 2 f 1 f1 f g0 f1 f 1 g1 5 a VVVVV b FFFFF c FFVVV d VVVFF e FVFVF 10 Considere as afirmações dadas abaixo referentes a funções exponenciais e lo garítmicas CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 25 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr A alternativa correta é a Somente a afirmativa II é verdadeira b Somente a afirmativa I é verdadeira c Somente a afirmativa III é verdadeira d Somente as afirmativas I e II são verdadeiras e Somente as afirmativas I e III são verdadeiras 11 Considere a função f definida por x f x 10 5 7 1 e representada em um sis tema de coordenadas cartesianas Entre os gráficos abaixo o que pode representar a função f é a d b e CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 26 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr c CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 27 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 12 Analisado o gráfico da função exponencial É correto afirmar que a Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao mais infinito b Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao mais infinito c Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito d Fx 23x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito e Fx 32x e que y tende a zero quando x tende ao menos infinito 13 Dada a função racional 4 1 x x f x o domínio dessa função é a x 4 b x 4 c x 4 d x 4 e x 4 14 A assíntota vertical da função 3 2 x x f x é a 3 b 2 c 1 d 3 e 2 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO UNEC EAD DISCIPLINA MATEMÁTICA APLICADA NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA NEAD Página 28 Professor MSc Robson da Silva robsonfisica75bolcombr 15 Dada a função racional 1 1 f x x é correto afirmar que a Y tende ao mais infinito quando x tende ao menos infinito b Y tende ao menos infinito quando x tende ao mais infinito c Y tende a 1 quando x tende ao menos infinito d Y tende ao menos infinito quando x tende a 1 pela esquerda e Y tende ao mais infinito quando x tende a 1 pela esquerda 181 Gabarito dos exercícios 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 A 9 C 10 B 11 D 12 E 13 C 14 A 15 E