Geometria Euclidiana II - Aula 05: Volume e Área de Superfície

Geometria Euclidiana II Aula 05 Volume e área de superfície Tópico 01 A Noção de Volume Fonte 1 Arquimedes matemático grego nasceu em 287 aC na cidade de Siracusa na ilha de Sicília Estudou em Alexandria e voltou à cidade natal onde permaneceu até a morte que ocorreu em 212 pela espada de um soldado romano Ficou famoso pelas suas invenções bélicas É o autor do princípio da alavanca sobre o qual ficou conhecida a seguinte frase de Arquimedes Deemme um ponto de apoio e moverei o mundo É também autor do princípio segundo o qual um corpo imerso num líquido sofre a ação de uma força de baixo para cima igual ao peso da quantidade de líquido que desloca Este ficou conhecido como o princípio de Arquimedes que utilizou para descobrir se a coroa do rei Híeron II fora confeccionada de ouro puro ou não Arquimedes deu uma grande contribuição à geometria espacial Ele é responsável pela descoberta das fórmulas do volume e área da superfície dos principais sólidos geométricos tais como a esfera cilindro cone etc É este assunto que iremos abordar nesta aula Entenderemos por sólido qualquer um dos seguintes subconjuntos do espaço cilindro cone esfera poliedro que iremos definir na próxima aula ou qualquer superfície fechada simples isto é sem auto interseção mais a região delimitada por ela Vale salientarmos que a ideia de sólido que acabamos de dar é um conceito primitivo ou seja sem definição uma vez que não demos a definição de superfície fechada simples e nem tampouco a definição da região delimitada por ela Enfim temos somente uma ideia VOLUME DE UM SÓLIDO Outro conceito primitivo que iremos considerar é o de volume de um sólido O volume de um sólido é a quantidade de vezes que o cubo de aresta unitária cabe nele O cubo de aresta unitária será chamado de unidade de medida de volume Se a unidade de medida de comprimento utilizada é o metro chamaremos a unidade de medida de volume que é o cubo de aresta unitária de metro cúbico e o denotaremos por 1m3 Assim medir o volume de um sólido com essa unidade de medida de volume consiste em saber quantos metros cúbicos há nele A ideia é de comparação dos sólidos com o cubo de aresta unitária no que tange ao lugar que eles ocupam no espaço Adotaremos a notação VS para denotar o volume de um sólido S Congruência de sólidos Diremos que um sólido S é congruente a um sólido S e escrevemos S S se existe uma função bijetiva f S S tal que para quaisquer que sejam os pontos distintos A B S Em outras palavras um sólido é congruente a outro se e possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre eles de tal maneira que segmentos correspondentes são congruentes Note que pelo caso LLL de congruência de triângulos sólidos congruentes tem ângulos correspondentes congruentes Diremos que um sólido S está decomposto como soma de dois sólidos S1 e S2 se S é a união de S1 e S2 e S1 S2 é subconjunto da superfície de ambos Admitiremos que sólidos congruentes têm mesmo volume e que se um sólido S está decomposto como soma de S1 e S2 então VS VS1 VS2 Também iremos admitir que paralelepípedos retangulares com bases congruentes e mesma altura são congruentes e consequentemente têm mesmo volume Note que qualquer face de um paralelepípedo retangular pode ser tomado como base Geometria Euclidiana II Aula 05 Volume e área de superfície Tópico 02 Volume do Paralelepípedo Retangular Considere um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente 5 e 4 unidades de medida de comprimento e cuja altura mede 3 Quantos cubos de aresta unitária cabem nele Ou seja qual seu volume Veja a animação Enfim um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente m e n unidades de medida de comprimento e cuja altura mede h em que m n e h são números inteiros tem volume igual ao produto mnh Esse resultado continua válido para m n e h números reais positivos quaisquer É o que pretendemos mostrar em seguida Lema Seja an uma sequência de números reais e a b R tais que e para todo n Então a b PROVA Mostraremos que não temos e a b nem b a Se a b escolhamos um inteiro positivo Assim Sendo an a vem que donde o que é uma contradição Se b a de modo análogo também chegaremos a uma contradição Logo a b Teorema 25 Sejam p e p paralelepípedos retangulares de bases congruentes e alturas a e a respectivamente Então PROVA Sejam XYZW e XYZW as bases de P em que XX YY ZZ WW a e ABCD e ABCD as bases de P em que AA BB CC DD a Escolhamos a altura que for menor do que ou igual à outra Digamos que a a Para cada inteiro positivo n dividamos em n partes congruentes isto é sejam A1An 1 com A1 entre An 1 e An 1 para cada i 1 n 1 tomamos A0 Ae tais que para todo i 1 n Seja Por cada ponto de divisão Ai consideremos o plano paralelo à base Estes interceptam P segundo retângulos congruentes à base Assim sendo o paralelepípedo P fica decomposto em n paralelepípedos congruentes entre si Desse modo o volume de cada um deles é igual a Consideremos agora a semi reta e o número real positivo xn Então existem A1A2 com Ai e Ai1 e Ai1 para todo i N tomamos A0 X tais que Ai 1 Ai xn Além disso posto que vem que existe um inteiro positivo mn tal que X Amn ou X está situado entre Amn ou Amn 1 Temse ainda que mn xn a mm 1xn donde Fazendo vem que Por cada Ai consideremos o plano paralelo à base Estes determinam paralelepípedos todos congruentes aos paralelepípedos da decomposição de P por terem bases congruentes e mesma altura xn portanto todos com mesmo volume Desse modo o volume de P é maior do que ou igual à soma de mn desses volumes e é menor do que a soma de mn1 dos mesmos Em símbolos temos donde Posto que e para cada inteiro positivo n seguese pelo lema que Corolário 01 Sejam P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente a e b e cuja altura mede c e P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente a e b e cuja altura mede c Então Clique aqui para visualizar a prova CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR A PROVA Prova Sejam P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente b e c e cuja altura mede a e P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente a e c e cuja altura mede b Comparando P com P P com P e P com P Multiplicandose estas igualdades membro a membro chegase ao resultado Corolário 02 Seja P um paralelepípedo retangular cujas arestas adjacentes da base medem respectivamente a e b e cuja altura mede c Então VP abc Clique aqui para visualizar a prova CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR A PROVA Prova Basta fazer no corolário anterior P igual a um cubo de aresta unitária Utilizando o Corolário 2 podemos concluir que o volume de um paralelepípedo retangular é igual ao produto da área da base pela altura Geometria Euclidiana II Aula 05 Volume e área de superfície Tópico 03 Volume do Cilindro e do Cone Chamaremos de plano horizontal todo aquele paralelo ou coincidente com um certo plano que fixamos implicitamente ou explicitamente como referencial numa discussão A seguir enunciaremos um axioma conhecido por Princípio de Cavalieri com o qual iremos deduzir as fórmulas que darão os volumes do cilindro do cone e da esfera OLHANDO DE PERTO Princípio de Cavalieri Sejam S e S sólidos Se todo plano horizontal intercepta S e S segundo figuras com mesma área então S e S têm mesmo volume Consideraremos o conjunto vazio ou um conjunto unitário como uma figura de área nula para efeito do enunciado do princípio de Cavalieri Teorema 26 O volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura Enunciado Seja C um cilindro entre os planos α e β de base F e altura h em que F α Considere um paralelepípedo P retangular cuja base R está contida em α e tem a mesma área de F cuja altura seja h e esteja no mesmo semi espaço determinado por α em que se encontra C Considere um plano π paralelo a α e β entre α e β Pelo Teorema 17 π C F e π P R Como F e R têm mesma área seguese as secções π C e π P têm mesma área Pelo princípio de Cavalieri o cilindro e o paralelepípedo têm mesmo volume Desde que o volume de P de acordo com o Corolário 2 do Teorema 20 é o produto da área de R por h decorre que o volume de C é o produto da área de R por h e posto que R e F têm mesma área seguese que o volume de C é o produto da área de F por h Teorema 27 Dois cones têm mesmo volume se têm mesma altura e suas bases têm mesma área Enunciado Coloquemos as bases dos dois cones num mesmo plano digamos α e seus vértices num mesmo semi espaço determinado por α Sejam C e C os cones F e F as respectivas bases V e V os respectivos vértices e h a altura comum Para demonstrar que C e C têm o mesmo volume utilizaremos o princípio de Cavalieri Seja π um plano paralelo a α entre V ou V e α e h dV π Basta mostrarmos que π C e π C têm mesma área Pelo Teorema 19 vem que F π C com razão de semelhança igual a com razão de semelhança também igual a e F π C Desde que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança seguese que Posto que área F área F decorre que área π C área π C Teorema 28 O volume de um cone é igual a um terço da área da base pela altura Enunciado Inicialmente demonstraremos o teorema para o caso do cone ser um tetraedro Consideremos então um tetraedro T de base um triângulo ABC de vértice D e altura h Sejam α o plano que contém ABC β o plano paralelo a α passando por D e B e C os respectivos pontos de interseção das retas paralelas a passando por B e C com α Considere o prisma P entre α e β cuja reta de inclinação é e cuja base em α é ABC A base de P em β é DBC Observe que P está decomposto como soma dos seguintes três tetraedros T o tetraedro T de vértices em B C D e B e o tetraedro T de vértices em B C D e C Vamos mostrar que esses três tetraedros têm mesmo volume Com efeito tomando ABD como base de T BDB como base de T e C como vértice comum a T e T então T e T têm bases congruentes e mesma altura logo pelo Teorema 22 têm mesmo volume Pela mesma razão T e T têm mesmo volume se considerarmos BBC como base de T CCB como base de T e D como vértice comum a T e T Posto que T T e T têm mesmo volume e P está decomposto como soma destes tetraedros seguese que área ABC h Por conseguinte o teorema vale para tetraedros Para demonstrarmos que o resultado e valido para um cone C qualquer e só considerarmos um tetraedro com mesma altura de C e cuja base tenha a mesma área da base de C O resultado decorre do teorema anterior Corolário 01 O volume de um cone circular é igual a em que r é o raio da base e h é a altura do cone Corolário 02 O volume de uma pirâmide cuja base é um polígono regular é igual a em que p e a são respectivamente o semi perímetro e o apótema da base e h é a altura da pirâmide Enunciado da prova 04 O resultado seguese pelo fato da área de um polígono regular ser igual ao produto de seu semi perímetro pelo seu apótema Corolário 03 O volume de um tronco de pirâmide cujas bases são polígonos regulares cuja altura é h cujos semi perímetros das bases maior e menor respectivamente são P e p e cujos apótemas das bases maior e menor respectivamente são A e a é igual a Enunciado da prova 05 Seja h a altura da pirâmide Então a razão de semelhança entre a base menor e a maior é portanto donde seguemse que e A pirâmide original está decomposta como soma do tronco mais uma pirâmide cuja base é a base menor do tronco e cuja altura é h h Por conseguinte o volume do tronco é igual a Corolário 04 O volume de um tronco de cone circular cuja altura é h e cujos raios das bases são R e r é igual a Enunciado da prova 06 Seja n 2 um inteiro Consideremos um polígono regular de n lados inscrito na base maior digamos de raio R e sejam Pn e An respectivamente seu semi perímetro e seu apótema Considere também o polígono regular de n lados inscrito na base de raio r corespondente ao anterior e sejam Pn e n respectivamente seu semiperímetro e seu apótema Então o volume do tronco da pirâmide cujas bases são esses polígonos vale O volume do tronco do cone circular é o limite desse valor quando n Desde que An R Pn πR an r pn πR quando n decorre que o volume do tronco do cone circular é igual a frac13hpi R2 pi R r pi r2 frac13pi hR2 Rr r2 Geometria Euclidiana II Aula 05 Volume e área de superfície Tópico 04 Volume da Esfera Teorema 29 O volume de uma esfera de raio r é igual a Prova Sejam O o centro da esfera t uma reta passando em O e P e Q pontos distintos em t tais que O é ponto médio de e OP r OQ Sejam α e β os planos perpendiculares a t passando respectivamente por P e Q Assim α e β são paralelos e são tangentes à esfera respectivamente em P e Q Seja C um cilindro circular entre α e β tendo como reta de inclinação t portanto reto cujos raios das bases são iguais a r Seja V o ponto médio do segmento de reta que une os centros das bases de C Considere os cones com o vértice comum V e cujas respectivas bases são as bases de C Utilizaremos o princípio de Cavalieri para mostrar que o volume da esfera é igual ao volume do sólido S formado pelos pontos de C não interiores à reunião dos dois cones Seja γ um plano qualquer paralelo a α e β entre α e β Mostraremos que o disco de interseção de γ com a esfera tem a mesma área de γ S que é uma coroa circular Seja h a distância entre α e γ Faremos a demonstração supondo h r O raciocínio que iremos empregar também se aplica ao caso de r h o qual omitiremos Seja y o raio do disco de interseção de γ com a esfera Usando o Teorema de Pitágoras podemos concluir que y2 2rh h2 por conseguinte a área do disco é igual a π2rh h2 Vamos agora calcular a área de y S Seja x o raio do círculo menor da coroa Usando semelhança chegaremos à relação donde x r h Sendo r o raio do círculo maior da coroa então sua área é igual a αr2 αr h2 α2rh h2 Logo o disco de interseção de γ com a esfera tem a mesma área de γ S Assim o volume da esfera é igual ao volume de S que por sua vez é igual a C menos o volume dos dois cones ou seja Geometria Euclidiana II Aula 05 Volume e área de superfície Tópico 05 Área de Superfície Neste tópico iremos deduzir fórmulas que fornecerão a área da superfície de certos sólidos Comecemos pela soma das áreas das faces laterais de um prisma reto Teorema 30 A soma das áreas das faces laterais de um prisma reto é igual ao produto do perímetro da base pela altura Prova Cada face lateral é um retângulo cuja altura h é a altura do prisma e cuja base é um lado da base do prisma Se l1 l2 ln são os lados da base do prisma então soma das áreas das faces laterais dele é igual a l1h l2h lnh l1 l2lnh isto é o produto do perímetro da base pela altura Teorema 31 A área da superfície lateral de um cilindro reto é igual ao produto do perímetro da base pela altura Prova A Ideia é aproximarmos o contorno da base que é uma curva fechada simples por linhas poligonais fechadas cujos vértices pertençam a ele Assim as áreas das superfícies laterais dos prismas retos determinados por essas linhas poligonais fechadas com mesma altura do cilindro dado se aproximam da área da superfície lateral dele Quanto mais aumentarmos o número n de lados da linha poligonal melhor será a aproximação Fazendo n o perímetro da linha poligonal tenderá ao perímetro da base do cilindro e a área da superfície lateral do prisma determinado pela linha tenderá à área da superfície lateral do cilindro Em símbolos se 2pn e 2p são respectivamente os perímetros da linha e da base do cilindro e An e A são respectivamente as áreas das superfícies laterais do prisma e do cilindro então 2pn 2p e An A quando n Temos que An 2pnh em que h é a altura do cilindro e do prisma Fazendo nesta relação n obtemos A 2ph Corolário A área da superfície lateral de um cilindro circular reto cuja altura é h e cujo raio da base é r é igual a 2πrh Teorema 32 A soma das áreas das faces laterais de uma pirâmide regular é igual a em que p e a são respectivamente o semiperímetro e o apótema da base e h é a altura da pirâmide Prova Sejam V o vértice da pirâmide e O e l respectivamente o centro e o lado da base Note que os triângulos formados por V O e os vértices da base são congruentes entre si pelo caso LAL de congruência de triângulos Isso traz como consequência que as arestas laterais da pirâmide são congruentes entre si logo as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si todos com base medindo l Assim a área da superfície lateral da pirâmide é igual a n vezes a área de cada um desses triângulos em que n é o número de lados da base Já sabemos quanto mede a base de cada um deles l Resta calcularmos a altura Esta é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h da pirâmide e o apótema da base da pirâmide ou seja Portanto a soma das áreas das faces laterais da pirâmide regular é igual a isto é Clique nas abas a seguir para visualizar cada colarário do teorema 32 Corolário 01 A área da superfície lateral de um cone circular reto é igual a em que r é o raio da base e h é a altura do cone ou seja πrg sendo g a medida de uma geratriz qualquer do cone PROVA Seja n 2 um inteiro Consideremos um polígono regular de n lados inscrito na base e sejam Pn e n respectivamente seu semiperímetro e seu apótema Então a soma das áreas das faces laterais da pirâmide regular cuja base é o polígono e cujo vértice é o vértice do cone dado é igual a A área da superfície lateral do cone circular reto é o limite desse valor quando n Desde que an r e pn πr quando n decorre que a área da superfície lateral do cone é igual a PROVA Corolário 02 A área da superfície lateral de um tronco de pirâmide regular cuja altura é h cujos semiperímetros das bases são P e p e cujos apótemas das bases são A e a é igual a PROVA Digamos que P e A são respectivamente o semiperímetro e o apótema da base maior Seja h a altura da pirâmide Então a razão de semelhança entre a base menor e a maior é pontanto donde A pirâmide original está decomposta como soma do tronco mais uma pirâmide cuja base é a base menor do tronco e cuja altura é h h Por conseguinte a área da superfície lateral do tronco é igual a Corolário 03 A área da superfície lateral de um tronco de cone circular reto cuja altura é h e cujos raios das bases são R e r é igual a isto é πR rg em que g é a medida de uma geratriz qualquer do tronco PROVA Seja n 2 um inteiro Consideremos um polígono regular de n lados inscrito na base maior digamos de raio R e sejam Pn e An respectivamente seu semiperímetro e seu apótema Considere também o polígono regular de n lados inscrito na base de raio r correspondente ao anterior e sejam Pn e n respectivamente seu semiperímetro e seu apótema Então a área da superfície lateral do tronco da pirâmide cujas bases são esses polígonos vale A área da superfície lateral do tronco do cone circular é o limite desse valor quando n Desde que An R Pn πR an r pn π r quando n decorre que a área da superfície lateral do tronco do cone circular é igual a Teorema 33 A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 4πr2 Prova Seja h 0 Consideremos a esfera com o mesmo centro O da esfera dada e cujo raio é r h e o sólido S que é o conjunto dos pontos da esfera de raio r h não interiores à esfera de raio r isto é o conjunto dos pontos X tais que r dXO r h Iremos admitir que para valores de h próximos de zero VS é aproximado pelo volume do cilindro cuja área da base é a área da superfície da esfera de raio r h que denotaremos por Ar h e cuja altura é h Em símbolos isto quer dizer VS Ar h h para pequenos valores de h donde para valores de h próximos de zero Assim sendo temos quando h 0 Desde que lim Ar h quando h 0 é a área da superfície da esfera de raio r decorre o resultado ATIVIDADE DE PORTFÓLIO O portfólio da aula 05 consiste em você resolver os exercícios 76 80 86 90 e 94 da lista abaixo e enviar as soluções através do seu portfólio CLIQUE AQUI PARA VISUALIZAR AS QUESTÕES ABAIXO 75 Constróise um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro Determinar a superfície total do depósito 76 Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 cm sabendo que a área total excede de 50 cm2 sua área lateral 77 Determinar a altura de um cilindro reto de raio da base r sabendo que é equivalente a um paralelepípedo retângulo de dimensões a b e c 78 Calcule a área lateral a área total e o volume de um cilindro equilátero de raio igual a r 79 Qual o valor aproximado da massa de mercúrio em quilogramas necessárias para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6cm e altura 18cm se a densidade do mercúrio é de 136gcm3 80 Num cilindro com água colocamos uma pedra Determinar o volume dessa pedra se em virtude de sua imersão total a água elevouse de 35 cm sendo 50 cm o raio da base do cilindro 81 O volume de um cilindro de revolução é igual ao produto da área total pela quarta parte da média harmônica entre o raio e a altura Nota Média harmônica entre dois números é o inverso da média aritmética dos inversos desses números 82 Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm3 83 Determine a razão entre o raio da base e a geratriz de um cone de revolução sabendo que o desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor circular cujo ângulo mede 60º 84 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são a b e c Qual é a altura de um cone equivalente se o raio da base do cone mede a 85 Determine o volume de um cone de revolução cuja secção meridiana é um triângulo isósceles de área 48 dm2 sendo 3 dm a altura do cone 86 Um cone circular reto de altura h 3 m tem área lateral igual a Determine o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte da altura h 87 Um cilindro e um cone têm mesmo volume e igual altura h Determine o raio do cilindro em função do raio r da base do cone 88 Um cone reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm O raio da esfera inscrita neste cone mede em cm a 103 b 44 c 2 d 125 e 3 89 Determine a medida do raio de uma esfera sabendo que seu volume e sua superfície são expressos pelo mesmo número 90 Uma bola de ouro de raio r se funde transformandose em um cilindro de raio r Determine a altura do cilindro 91 O que ocorre com o volume de uma esfera quando o raio aumenta 100 E quando aumenta 300 E quando diminui 50 92 Qual o volume em cm3 da esfera inscrita em um cone reto cuja altura e diâmetro da base são respectivamente 16cm e 24cm a 27 b288 c5003 d686 93 A razão entre a altura de um cilindro circular reto e a altura de um cone circular reto de mesmo volume é igual a ⅓ Sendo R o raio do cilindro e r o raio do cone podese afirmar que a R r9 b R r3 c R 3r d R r c R 2r 94 Desejase estimar a quantidade de combustível existente em um tanque cilíndrico disposto horizontalmente medindose a parte molhada de uma régua conforme a figura abaixo Sabendo que o tanque tem 2m de raio e 12m de comprimento e que a parte molhada da régua tem 3m de comprimento podese concluir que o volume de combustível em litros existente no tanque está compreendido entre Dados utilizar 314 e 3 17 a 145000 e 155000 b 135000 e 145000 c 125000 e 135000 d 115000 e 125000 e 105000 e 115000 FÓRUM Discuta suas dúvidas e as questões do portfólio com seus colegas Fontes das Imagens 1 httpmegaarquivofileswordpresscom201107arquimedesjpg