Métodos Básicos da Análise de Estruturas

MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS Luiz Fernando Martha Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUCRio Departamento de Engenharia Civil Rua Marquês de São Vicente 225 Gávea CEP 22453900 Rio de Janeiro RJ Tel 21 31141190 Fax 21 31141195 Email lfmtecgrafpucriobr URL httpwwwtecgrafpucriobrlfm Sumário 1 INTRODUÇÃO1 11 Breve histórico sobre a Engenharia Estrutural2 12 Análise estrutural 3 121 Modelo estrutural4 122 Modelo discreto 6 123 Modelo computacional10 13 Organização dos capítulos 11 2 CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL13 21 Classificação de estruturas reticuladas13 22 Condições básicas da análise estrutural18 221 Condições de equilíbrio19 222 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações 21 223 Leis constitutivas dos materiais22 23 Métodos básicos da análise estrutural24 231 Método das Forças25 232 Método dos Deslocamentos 28 233 Comparação entre o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos 31 24 Comportamento linear e superposição de efeitos32 25 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas39 26 Determinação do grau de hiperestaticidade44 3 IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS49 31 Relações entre deslocamentos e deformações em barras49 311 Deformações axiais51 312 Deformações normais por flexão52 313 Distorções por efeito cortante 53 314 Distorções por torção 54 32 Relações diferenciais de equilíbrio em barras 55 33 Equilíbrio entre tensões e esforços internos56 34 Deslocamentos relativos internos59 341 Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal 59 342 Rotação relativa interna provocada por momento fletor60 343 Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço cortante 61 344 Rotação relativa interna provocada por momento torçor 61 35 Equação de Navier para o comportamento à flexão62 36 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas 63 37 A essência da análise de estruturas reticuladas 65 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS 69 41 Traçado do diagrama de momentos fletores 69 42 Energia de deformação e princípio da conservação de energia73 43 Princípio dos trabalhos virtuais78 431 Princípio das forças virtuais79 432 Princípio dos deslocamentos virtuais95 433 Teoremas de reciprocidade102 44 Soluções fundamentais para barras isoladas104 441 Funções de forma para configurações deformadas elementares de barras de pórticos planos105 442 Coeficientes de rigidez de barra de pórtico plano 108 443 Coeficientes de rigidez à torção de barra118 444 Reações de engastamento de barra para solicitações externas120 5 MÉTODO DAS FORÇAS 129 51 Metodologia de análise pelo Método das Forças129 511 Hiperestáticos e Sistema Principal 130 512 Restabelecimento das condições de compatibilidade132 513 Determinação dos esforços internos 136 52 Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga 138 53 Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua 139 531 Sistema Principal obtido por eliminação de apoios140 532 Sistema Principal obtido por introdução de rótulas internas150 54 Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado154 541 Sistema Principal obtido por corte de uma seção 155 542 Sistema Principal obtido por introdução de rótulas158 55 Exemplos de solução pelo Método das Forças161 6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 193 61 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico 193 62 Metodologia de análise pelo Método dos Deslocamentos196 63 Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga203 64 Convenções de sinais do Método dos Deslocamentos205 65 Exemplo de solução de uma viga contínua 207 66 Exemplos de solução de pórticos simples214 661 Pórtico com três deslocabilidades 214 662 Pórtico com articulação interna219 663 Pórtico com barra inclinada 225 7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS DEFORMAÇÕES231 71 Classificação das simplificações adotadas 232 72 Consideração de barras inextensíveis233 721 Exemplo de solução de pórtico com barras inextensíveis236 Luiz Fernando Martha Sumário 722 Regras para determinação de deslocabilidades externas de pórticos planos com barras inextensíveis244 73 Simplificação para articulações completas251 731 Pórtico com articulação no topo de uma coluna 252 732 Pórtico com articulação dupla na viga e coluna256 733 Exemplo de solução de pórtico com duas articulações260 74 Consideração de barras infinitamente rígidas262 741 Exemplo de solução de pórtico com dois pavimentos 266 742 Exemplo de barra rígida com giro 268 8 PROCESSO DE CROSS273 81 Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos274 82 Distribuição de momentos fletores em um nó 276 83 Solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio280 84 Formalização do Processo de Cross283 841 Processo de Cross para um pórtico com uma deslocabilidade283 842 Processo de Cross para uma viga com duas deslocabilidades285 85 Aplicação do Processo de Cross a quadros planos289 9 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA não incluído ainda sendo escrito 10 CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS LINHAS DE INFLUÊNCIA294 101 Introdução 294 102 Linhas de influência para uma viga biapoiada 295 103 Método cinemático para o traçado de LI296 104 Metodologia para cálculo de LIs pelo método cinemático 304 105 Linha de influência de esforço cortante em viga biengastada 305 106 Linha de influência de momento fletor em viga biengastada306 107 Exemplo de determinação de envoltórias de esforços internos307 APÊNDICE A CONVENÇÃO DE SINAIS PARA ESFORÇOS INTERNOS não incluído ainda sendo escrito APÊNDICE B ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA 313 B1 Conversão de condições de apoio314 B2 Roteiro do processo de Mohr 316 B3 Cálculo de deslocamentos em vigas isostáticas316 B4 Análise de vigas hiperestáticas 318 B5 Determinação de reações de engastamento de vigas321 B6 Dedução de coeficientes de rigidez de barras323 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS325 1 INTRODUÇÃO O projeto e a construção de estruturas é uma área da Engenharia Civil na qual mui tos engenheiros civis se especializam Estes são os chamados engenheiros estrutu rais A Engenharia Estrutural trata do planejamento projeto construção e manu tenção de sistemas estruturais para transporte moradia trabalho e lazer Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio como no caso de pontes e estádios de esporte ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro empreendimento como no caso de edifícios e teatros Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço concreto madeira pedra materiais não convencionais materiais que utilizam fibras vegetais por exemplo ou novos ma teriais sintéticos plásticos por exemplo Ela deve resistir a ventos fortes a solici tações que são impostas durante a sua vida útil e em muitas partes do mundo a terremotos O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ela será construída satisfazendo questões de segurança condições de utilização condições econômicas estética questões ambi entais condições construtivas e restrições legais O resultado final do projeto es trutural é a especificação de uma estrutura de forma completa isto é abrangendo todos os seus aspectos gerais tais como locação e todos os detalhes necessários para a sua construção Portanto o projeto estrutural parte de uma concepção geral da estrutura e termina com a documentação que possibilita a sua construção São inúmeras e muito com plexas as etapas de um projeto estrutural Entre elas está a previsão do comporta mento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condi ções de segurança e de utilização para as quais ela foi concebida A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do comportamento da estrutura Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros tais como pelos campos de tensões deformações e deslocamentos na estrutura De uma maneira geral a análise estrutural tem como objetivo a deter minação de esforços internos e externos cargas e reações de apoio e das corres pondentes tensões bem como a determinação dos deslocamentos e corresponden tes deformações da estrutura que está sendo projetada Essa análise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e solicitações que devem ser previa mente determinados O desenvolvimento das teorias que descrevem o comportamento de estruturas se deu inicialmente para estruturas reticuladas isto é para estruturas formadas por 2 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha barras elementos estruturais que têm um eixo claramente definido Estes são os tipos mais comuns de estruturas tais como a estrutura de uma cobertura ou o es queleto de um edifício metálico Mesmo em casos de estruturas nas quais nem to dos os elementos estruturais podem ser considerados como barras como é o caso de edifícios de concreto armado é comum analisar o comportamento global ou parcial da estrutura utilizandose um modelo de barras Este livro está direcionado para a análise de estruturas reticuladas estaticamente indeterminadas isto é para a análise de estruturas hiperestáticas Isso inclui as treli ças estrutura com todas as barras articuladas em suas extremidades os pórticos ou quadros planos e espaciais e as grelhas estruturas planas com cargas fora do plano Nele são tratados principalmente os métodos clássicos da análise de estru turas hiperestáticas o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Nesse con texto a análise considera apenas cargas estáticas e admitese um comportamento linear para a estrutura análise para pequenos deslocamentos e materiais elástico lineares Considerase como prérequisito para a leitura deste livro conhecimentos de Mecâ nica Geral Estática Análise de Estruturas Isostáticas estruturas estaticamente determinadas e Resistência dos Materiais Partese do princípio de que o leitor entende os conceitos básicos de equilíbrio estático esforços internos tensões e de formações Diversos livrostexto abordam esses assuntos Como sugestão para leitura recomendase na área de Estática os livros de Hibbeler 1999 ou Meriam e Kraige 1999 na área de Análise de Estruturas Isostáticas os livros de Campanari 1985 ou Süssekind 19771 e na área de Resistência dos Materiais os livros de Beer e Johnston 1996 Féodosiev 1977 Hibbeler 2000 ou Timoshenko e Gere 1994 11 Breve histórico sobre a Engenharia Estrutural Timoshenko 18781972 um dos pais da Engenharia Estrutural moderna descreve em seu livro História da Resistência dos Materiais Timoshenko 1983 um histórico do desenvolvimento teórico sobre o comportamento de estruturas A Engenharia Es trutural vai encontrar raízes se bem que de uma forma empírica nos grandes mo numentos e pirâmides do antigo Egito e nos templos estradas pontes e fortifica ções da Grécia e da Roma antigas O início da formalização teórica da Engenharia Estrutural é atribuído à publicação do livro Duas Ciências de Galileu em 1638 que deu origem a todo o desenvolvimento da ciência desde o século 17 até os dias de hoje Antes disso Leonardo da Vinci 14521519 já havia escrito algumas notas sobre Estática e Resistência dos Materiais Durante esses séculos vários matemáti cos e cientistas ilustres deram suas contribuições para formalizar a Engenharia Es trutural tal como se entende hoje Até o início do século 20 podese citar dentre outros Jacob Bernoulli 16541705 Euler 17071783 Lagrange 17361813 Cou lomb 17361806 Navier 17851836 Thomas Young 17731829 SaintVenant Luiz Fernando Martha Introdução 3 17971886 Kirchhoff 18241887 Kelvin 18241907 Maxwell 18311879 e Mohr 18351918 A formalização da Engenharia Estrutural através de teorias científicas permite que os engenheiros estabeleçam as forças e solicitações que podem atuar com seguran ça nas estruturas ou em seus componentes Também permite que os engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componentes sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu bom funciona mento A Engenharia Estrutural sofreu um grande avanço no final do século 19 com a Re volução Industrial Novos materiais passaram a ser empregados nas construções tais como concreto armado ferro fundido e aço Também é nessa época que a En genharia Estrutural teve um grande desenvolvimento no Brasil Em seu livro His tória da Engenharia no Brasil Telles 19941 Telles 19842 Pedro Carlos da Silva Tel les descreve com uma impressionante quantidade de informações históricas esse desenvolvimento Durante o século 20 os principais desenvolvimentos se deram nos processos construtivos e nos procedimentos de cálculo A Engenharia Civil brasileira é detentora de vários recordes mundiais notadamente na construção de pontes 12 Análise estrutural Como dito a análise estrutural é a etapa do projeto estrutural na qual é feita uma previsão do comportamento da estrutura Todas as teorias físicas e matemáticas resultantes da formalização da Engenharia Estrutural como ciência são utilizadas na análise estrutural A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração1 para a es trutura que está sendo analisada tal como indicado na Figura 11 O primeiro ní vel de abstração é o do mundo físico isto é esse nível representa a estrutura real tal como é construída Essa visão de caráter mais geral sobre a análise de estrutu ras tem por objetivo definir claramente o escopo deste livro Modelo Discreto Estrutura Real Modelo Estrutural Modelo Computacional Figura 11 Quatro níveis de abstração para uma estrutura na análise estrutural 1 Baseado na concepção do paradigma dos quatro universos da modelagem em Computa ção Gráfica idealizado por Gomes e Velho 1998 e no conceito de análise estrutural de Felippa 2001 4 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 121 Modelo estrutural O segundo nível de abstração da análise estrutural é o modelo analítico que é utili zado para representar matematicamente a estrutura que está sendo analisada Esse modelo é chamado de modelo estrutural ou modelo matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses feitas para descrever o comportamento da estrutura para as di versas solicitações Essas hipóteses são baseadas em leis físicas tais como o equilí brio entre forças e entre tensões as relações de compatibilidade entre deslocamen tos e deformações e as leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura A criação do modelo estrutural de uma estrutura real é uma das tarefas mais im portantes da análise estrutural Essa tarefa pode ser bastante complexa depen dendo do tipo de estrutura e da sua importância Por exemplo o modelo estrutu ral de um prédio residencial de pequeno porte é concebido de uma forma corri queira Em geral o modelo deste tipo de estrutura é formado por um conjunto de linhas que representam as vigas e colunas do prédio e pelas superfícies que repre sentam as lajes de seus pavimentos Por outro lado a concepção do modelo estru tural de um prédio que abriga o reator de uma usina atômica é muito mais com plexa e pode envolver diversos tipos de elementos estruturais das mais variadas formas por exemplo superfícies para representar paredes estruturais com furos ou a superfície para representar a casca de concreto armado que cobre o prédio Na concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento da estrutura real em que se adota uma série de hipóteses simplificadoras Estas estão baseadas em teorias físicas e em resultados experimentais e estatísticos e podem ser divididas nos seguintes tipos hipóteses sobre a geometria do modelo hipóteses sobre as condições de suporte ligação com o meio externo por e xemplo com o solo hipóteses sobre o comportamento dos materiais hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura cargas de ocupa ção ou pressão de vento por exemplo No caso de estruturas reticuladas o modelo estrutural tem características que são bastante específicas O modelo matemático deste tipo de estrutura usa o fato de os elementos estruturais terem um eixo bem definido e está embasado na Teoria de Vigas de Navier que rege o comportamento de membros estruturais que traba lham à flexão acrescida de efeitos axiais e de torção A Figura 12 mostra um e xemplo de um modelo estrutural bidimensional para o pórtico de um galpão in dustrial Luiz Fernando Martha Introdução 5 Estrutura Real Modelo Estrutural Figura 12 Estrutura real e o seu modelo estrutural Observase na Figura 12 que os elementos estruturais do galpão vigas e colunas aparecem representados por linhas A informação tridimensional das barras fica representada por propriedades globais de suas seções transversais tais como área e momento de inércia Portanto no caso de estruturas reticuladas a consideração da geometria do modelo é uma tarefa simples os eixos das barras definem os ele mentos do modelo estrutural Entretanto a consideração das outras hipóteses simplificadoras que entram na ide alização do comportamento da estrutura real pode ser bastante complexa Por e xemplo a representação das solicitações cargas permanentes cargas acidentais etc pode envolver um alto grau de simplificação ou pode ser muito próxima da realidade O mesmo pode ser dito com respeito à consideração do comportamento dos materiais ou do comportamento das fundações condições de apoio No e xemplo da Figura 12 a ligação da estrutura com o solo foi modelada por apoios que impedem os deslocamentos horizontal e vertical mas que permitem o giro da base das colunas Outro tipo de hipótese poderia ter sido feito para os apoios por que não considerálos como engastes perfeitos que impedem também o giro da base Nesse mesmo modelo as cargas verticais representam o peso próprio da estrutura e as cargas horizontais representam o efeito do vento De quantas manei ras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras solicitações Questões como essas mostram que existem diversas possibilidades para a concep ção do modelo estrutural de uma estrutura Nessa concepção diversos fatores en tram em cena tais como a experiência do analista estrutural e a complexidade da estrutura e de suas solicitações Apesar da importância da concepção do modelo estrutural dentro da análise estru tural não é o objetivo deste livro abordar esse assunto Os modelos matemáticos adotados para a idealização do comportamento de estruturas usuais já estão de certa forma consagrados principalmente no caso de estruturas reticuladas Esses modelos são descritos em livros de Resistência dos Materiais Féodosiev 1977 Ti moshenko Gere 1994 Beer Johnston 1996 e Teoria da Elasticidade Timo 6 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha shenko Goodier 1980 Malvern 1969 Little 1973 Boresi Chong 1987 Villaça Taborda 1998 entre outros Também não são tratadas aqui questões que se referem à representação das solici tações reais no modelo estrutural bem como questões relativas às leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura Esses assuntos em geral são abordados em disciplinas que tratam das etapas de dimensionamento e detalhamento dentro do projeto estrutural tais como Estruturas de Aço Estruturas de Concreto ou Es truturas de Madeira O foco principal deste livro são as metodologias de análise de estruturas hiperestá ticas No corpo deste volume o modelo estrutural completo com materiais solici tações e apoios definidos vai ser sempre fornecido como ponto de partida para a análise Entretanto para entender os métodos de análise estrutural é necessário conhecer os modelos matemáticos adotados para estruturas reticuladas Portanto os Capítulos 2 3 e 4 deste livro resumem todas as teorias físicas e matemáticas que são necessárias para descrever os métodos de análise estrutural que são tratados neste volume 122 Modelo discreto O terceiro nível de abstração utilizado na análise estrutural é o do modelo discreto veja a Figura 11 Esse modelo é concebido dentro das metodologias de cálculo dos métodos de análise Portanto a concepção do modelo discreto de estruturas reticuladas é um dos principais assuntos tratados neste livro De uma forma geral os métodos de análise utilizam um conjunto de variáveis ou parâmetros para representar o comportamento de uma estrutura Nesse nível de abstração o comportamento analítico do modelo estrutural é substituído por um comportamento discreto em que soluções analíticas contínuas são representadas pelos valores discretos dos parâmetros adotados A passagem do modelo matemá tico para o modelo discreto é denominada discretização Os tipos de parâmetros adotados no modelo discreto dependem do método utili zado No Método das Forças os parâmetros adotados são forças ou momentos e no Método dos Deslocamentos os parâmetros são deslocamentos ou rotações Por exemplo a Figura 13 mostra a discretização utilizada na solução de um pórtico plano pelo Método das Forças Nesse método os parâmetros adotados para discre tizar a solução são forças ou momentos redundantes para garantir o equilíbrio está tico da estrutura Isto é são forças e momentos associados a vínculos excedentes de uma estrutura hiperestática Esses parâmetros são denominados hiperestáticos Luiz Fernando Martha Introdução 7 HA MA VA HB VB 0 1 2 MA HB Figura 13 Superposição de soluções básicas no Método das Forças No exemplo da Figura 13 os hiperestáticos adotados são as reações de apoio MA reação momento no apoio da esquerda e HB reação horizontal no apoio da direi ta A configuração deformada do pórtico denominada elástica indicada pela li nha tracejada na figura e mostrada em escala ampliada é obtida pela superposi ção de soluções básicas dos casos 0 1 e 2 mostrados na figura A estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura isostática obtida da estrutura origi nal pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáticos Cada solução básica isola um determinado efeito ou parâmetro o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 o efeito do hiperestático MA é isolado no caso 1 e o efeito do hiperestático HB é isolado no caso 2 A metodologia de cálculo do Método das Forças determina os valores que os hiperestáticos devem ter para recompor os vínculos eliminados restrição à rotação no apoio da esquerda e restrição ao deslocamento horizontal do apoio da direita Dessa forma a solução do problema fica parametrizada discretizada pelos hiperestáticos MA e HB Essa metodologia será apresentada em detalhes no Capítulo 5 deste livro Na solução pelo Método dos Deslocamentos para estruturas reticuladas a solução discreta é representada por valores de deslocamentos e rotações nos nós pontos de encontro das barras tal como indicado na Figura 14 Esses parâmetros são de nominados deslocabilidades No exemplo dessa figura as deslocabilidades são os deslocamentos horizontais dos nós superiores x C e x D os deslocamentos verti cais desses nós y C e y D e as rotações dos nós livres ao giro θB θC e θD 8 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha θC θD θB θC θD θB x C x D y C y D x C x D y C y D X Y Figura 14 Parâmetros nodais utilizados na discretização pelo Método dos Deslocamentos Na Figura 14 a configuração deformada da estrutura elástica mostrada em escala ampliada representa a solução contínua do modelo matemático Os valores das deslocabilidades nodais representam a solução discreta do problema Nesse tipo de metodologia baseada em deslocamentos a solução contínua pode ser obtida por interpolação dos valores discretos dos deslocamentos e rotações nodais conside rando também o efeito da carga distribuída na barra horizontal Em geral para estruturas reticuladas com barras prismáticas a solução obtida por interpolação é igual à solução analítica do modelo estrutural Isto ocorre porque as funções de interpolação que definem a configuração deformada contínua são compatíveis com a idealização matemática do comportamento das barras feita pela Resistência dos Materiais A metodologia de cálculo do Método dos Deslocamentos vai ser deta lhada no Capítulo 6 No caso de estruturas contínuas que não são compostas por barras o método comumente utilizado na análise estrutural é uma formulação em deslocamentos do Método dos Elementos Finitos2 Zienkiewicz Taylor 2000 Felippa 2001 Nesse mé todo o modelo discreto é obtido pela subdivisão do domínio da estrutura em sub domínios chamados de elementos finitos de formas simples em modelos planos usualmente triângulos ou quadriláteros tal como exemplificado na Figura 15 pa ra o modelo bidimensional de uma estrutura contínua com um furo Essa subdivi são é denominada malha de elementos finitos e os parâmetros que representam a so lução discreta são valores de deslocamentos nos nós vértices da malha Podese observar por esse exemplo que a obtenção do modelo discreto para estru turas contínuas é muito mais complexa do que no caso de modelos de estruturas reticuladas pórticos treliças ou grelhas Para estruturas formadas por barras os nós pontos onde valores discretos são definidos são identificados naturalmente no encontro das barras enquanto que para modelos contínuos os nós são obtidos pela discretização do domínio da estrutura em uma malha 2 Muitos outros métodos são utilizados tais como o Método dos Elementos de Contor no As notas de aula de Felippa 2001 apresentam uma excelente introdução aos mé todos de análise de estruturas contínuas Luiz Fernando Martha Introdução 9 Figura 15 Discretização pelo Método dos Elementos Finitos para uma estrutura contínua Uma importante diferença entre os modelos discretos de estruturas reticuladas e de estruturas contínuas é que a discretização de uma malha de elementos finitos introduz simplificações em relação à idealização matemática feita para o compor tamento da estrutura Isto ocorre porque as funções de interpolação que definem a configuração deformada de uma malha de elementos finitos não são em geral compatíveis com a idealização matemática do comportamento do meio contínuo feita pela Teoria da Elasticidade Dessa forma a solução do modelo discreto de elementos finitos é uma aproximação para a solução analítica da Teoria da Elasti 10 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha cidade ao passo que a solução do modelo discreto de uma estrutura com barras prismáticas é igual à solução analítica da Resistência dos Materiais Conforme comentado este livro trata apenas de modelos de estruturas reticuladas Existem diversas referências para o tratamento de estruturas contínuas através do Método dos Elementos Finitos Podese citar os livros de Cook et al 1989 Felippa 2001 Zienkiewicz e Taylor 2000 Assan 1999 e Soriano 2003 Este último se constitui em uma referência em português recente e completa dentro do contexto da análise de estruturas sobre o Método dos Elementos Finitos 123 Modelo computacional Desde a década de 1960 o computador tem sido utilizado na análise estrutural embora inicialmente somente nos institutos de pesquisa e universidades Nos anos setenta essa utilização passou a ser corriqueira e nos anos oitenta e noventa com a criação de programas gráficos interativos a análise estrutural passou a ser feita com uso de computador em praticamente todos os escritórios de cálculo estrutural e empresas de consultoria A análise de estruturas pode ser vista atualmente como uma simulação computa cional do comportamento de estruturas Embora este livro não esteja direcionado diretamente ao desenvolvimento de programas para prever o comportamento de estruturas é importante ter em mente que não se concebe atualmente executar as tarefas de análise estrutural mesmo para o caso de estruturas reticuladas sem o uso de computador e de Computação Gráfica Portanto este livro pode ser considerado como introdutório para a análise de es truturas As soluções apresentadas para os modelos discretos das formulações do Método das Forças e do Método dos Deslocamentos são obtidas através de resolu ção manual O enfoque dado aqui é para o entendimento do comportamento de estruturas reticuladas hiperestáticas e dos fundamentos dos métodos básicos da análise estrutural Livrostexto sobre o Método dos Elementos Finitos como os que são citados acima abordam de uma certa maneira a implementação computacional do Método da Rigidez Direta que é uma formalização do Método dos Deslocamentos direciona da para uma implementação computacional e do Método dos Elementos Finitos O Método das Forças tem uma metodologia que não é conveniente para ser im plementada computacionalmente e por isso é pouco utilizado em programas de computador Entretanto diversos outros aspectos estão envolvidos no desenvolvimento de um programa de computador para executar uma análise estrutural Questões como estruturas de dados e procedimentos de criação do modelo geométrico geração do modelo discretizado aplicação de atributos de análise propriedades de materiais Luiz Fernando Martha Introdução 11 carregamentos condições de suporte etc e visualização dos resultados são fun damentais nesse contexto Essas questões não são tratadas nos livros de elementos finitos mas são da área de Modelagem Geométrica e Computação Gráfica 13 Organização dos capítulos Este capítulo procurou posicionar o leitor dentro da atividade de análise estrutural e direciona para os principais tópicos que são abordados neste livro No Capítulo 2 são introduzidos conceitos básicos sobre a análise de estruturas O capítulo trata principalmente das condições básicas que têm que ser atendidas pelo modelo estrutural tais como relações de equilíbrio entre forças e entre tensões as relações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e as leis constitu tivas dos materiais que compõem a estrutura É feita uma introdução aos métodos clássicos da análise estrutural Método das Forças e Método dos Deslocamentos O comportamento linear de estruturas condição para aplicar superposição de efeitos também é discutido Também é feita uma abordagem conceitual entre as diferen ças de comportamento de estruturas isostáticas e estruturas hiperestáticas Final mente é apresentado um procedimento geral para determinação do grau de hipe restaticidade de pórticos planos e grelhas O Capítulo 3 resume a formalização matemática feita na idealização do comporta mento de barras A Teoria de Vigas de Navier para o comportamento à flexão de barras é apresentada com todas as suas hipóteses e simplificações As principais relações diferenciais da Resistência dos Materiais que regem o comportamento de barras para efeitos axiais cisalhantes de flexão e de torção são apresentadas com vistas à sua utilização no desenvolvimento dos métodos de análise apresentados nos capítulos subseqüentes O Capítulo 4 apresenta soluções fundamentais que são utilizadas nas metodologias dos Métodos das Forças e dos Deslocamentos Tais soluções são obtidas com base no Princípio dos Trabalhos Virtuais Esse princípio através de suas duas formula ções Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais é necessário para deduzir as expressões utilizadas no cálculo de coeficientes dos sis temas de equações resultantes da discretização do problema pelos Métodos das Forças e dos Deslocamentos O Método das Forças é apresentado em detalhes no Capítulo 5 O capítulo trata principalmente de aplicações do método para pórticos planos mas também são considerados exemplos de treliças planas e grelhas Embora atualmente na práti ca esse método seja pouco utilizado tem difícil implementação computacional o método tem o mérito de ser intuitivo e por isso em geral é o primeiro método a ser apresentado em livrostexto 12 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Capítulo 6 apresenta uma introdução ao Método dos Deslocamentos O objetivo é descrever os fundamentos do método aplicado a pórticos planos Nesse capítulo só são tratados pórticos com barras horizontais e verticais pois a resolução de pór ticos com barras inclinadas pela formulação geral do Método dos Deslocamentos é muito trabalhosa para ser feita manualmente No Capítulo 7 são introduzidas restrições que são comumente adotadas para as deformações de barras com o objetivo de reduzir o número de parâmetros discre tos e assim facilitar a resolução manual pelo Método dos Deslocamentos A apre sentação do método com essas restrições pode ser considerada como a forma clás sica de apresentação em livrostexto como por exemplo no de Süssekind 19773 que estavam voltados para uma resolução manual Na verdade o principal objeti vo ao considerar essas restrições a deformações de barras é caracterizar o compor tamento de pórticos com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deforma ções transversais por flexão Por exemplo a consideração de barras sem deforma ção axial chamadas de barras inextensíveis é uma aproximação razoável para o comportamento de um pórtico A hipótese de barras inextensíveis possibilita o entendimento do conceito de contraventamento de pórticos com barras inclinadas que é muito importante no projeto de estruturas O Capítulo 8 descreve um processo de solução iterativa de pórticos pelo Método dos Deslocamentos Esse processo é denominado Método da Distribuição de Mo mentos White et al 1976 ou Processo de Cross Süssekind 19773 Apesar deste processo ter caído em desuso nos últimos anos ele tem a vantagem de propiciar um entendimento intuitivo do comportamento de vigas e quadros que trabalham fundamentalmente à flexão além de permitir uma rápida resolução manual O Método da Rigidez Direta que é uma formalização do Método dos Deslocamen tos voltada para sua implementação computacional é apresentado no Capítulo 9 Essa formulação geral do Método dos Deslocamentos é feita para pórticos planos com barras com qualquer inclinação com ou sem articulação e para grelhas Finalmente o Capítulo 10 descreve o procedimento de análise estrutural para car gas acidentais e móveis isto é para cargas que não têm atuação constante ou posi ção fixa sobre a estrutura Os conceitos de Linhas de Influência e Envoltórias de Esforços são introduzidos É deduzido o método cinemático para o traçado de li nhas de influência também chamado de Princípio de MüllerBreslau White et al 1976 Süssekind 19771 As soluções de engastamento perfeito deste princípio pa ra barras isoladas são apresentadas Essas soluções facilitam a determinação de linhas de influência por programas de computador que implementam o Método da Rigidez Direta Dois apêndices complementam os capítulos descritos O primeiro mostra a con venção de sinais adotada para esforços internos em estruturas reticuladas O se gundo apresenta a Analogia da Viga Conjugada como forma alternativa para de duzir as soluções fundamentais de barras introduzidas no Capítulo 4 2 CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL Este capítulo resume alguns conceitos básicos de análise estrutural para estruturas que são compostas por barras Esses conceitos foram selecionados de forma a permitir a compreensão dos demais capítulos deste livro e essa seleção foi baseada em consultas a trabalhos de diversos autores que certamente descrevem esses con ceitos em maior profundidade Os principais livros que serviram como referência para este capítulo foram os de White Gergely e Sexsmith 1976 Rubinstein 1970 Candreva 1981 Timoshenko e Gere 1994 Tauchert 1974 e West 1989 São considerados como prérequisitos para os assuntos tratados neste capítulo a definição de tensões deformações e esforços internos esforços normais e cortantes e momentos fletores e torçores em barras e a análise de estruturas estaticamente determinadas estruturas isostáticas Como referências para esses assuntos pode se citar além das referências anteriores os livros dos seguintes autores Beaufait 1977 Beer e Johnston 1996 Campanari 1985 Felton e Nelson 1997 Fleming 1997 Süssekind 19771 Gorfin e Oliveira 1975 Hibbeler 1998 e Meriam 1994 21 Classificação de modelos de estruturas reticuladas Conforme mencionado no Capítulo 1 este livro está direcionado para a análise de estruturas reticuladas isto é de estruturas formadas por barras Esta seção faz uma classificação dos tipos de modelos de estruturas reticuladas de acordo com o seu arranjo espacial e de suas cargas Também são definidos sistemas de eixos globais da estrutura e de eixos locais das barras Para cada tipo de estrutura são caracterizados os tipos de esforços internos e as direções dos seus deslocamentos e rotações A Figura 21 mostra um exemplo de um quadro ou pórtico plano Um quadro plano é um modelo estrutural plano de uma estrutura tridimensional Este modelo pode corresponder a uma fatia da estrutura ou pode representar uma simplificação para o comportamento tridimensional Estruturas deste tipo estão contidas em um plano neste livro é adotado o plano formado pelos eixos X e Y como mostra a Fi gura 21 e as cargas também estão contidas no mesmo plano Isso inclui forças com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z que sai do plano 14 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O quadro plano da Figura 21 tem um solicitação externa carregamento composta por uma força horizontal P na direção de X e uma carga uniformemente distribu ída vertical q na direção de Y Também estão indicados na figura as reações de apoio que são compostas de forças horizontais e verticais e por um momento em torno do eixo Z X Y HA MA VA HB VB P q x C x D y C y D X Y z C θ z D θ z B θ Figura 21 Eixos globais cargas reações deslocamentos e rotações de um quadro plano A Figura 21 também indica a configuração deformada da estrutura amplificada de forma exagerada com as componentes de deslocamentos e rotações do nós pontos extremos das barras A simplificação adotada para modelos estruturais de quadros planos é que não existem deslocamentos na direção transversal ao pla no direção Z e rotações em torno de eixos do plano da estrutura Portanto um quadro plano apresenta somente as seguintes componentes de deslocamentos e rotação x deslocamento na direção do eixo global X y deslocamento na direção do eixo global Y θ z rotação em torno do eixo global Z As ligações entre as barras de um pórtico plano são consideradas perfeitas ligações rígidas a menos que algum tipo de liberação tal como uma articulação seja indi cado Isto significa que duas barras que se ligam em um nó tem deslocamentos e rotação compatíveis na ligação Ligações rígidas caracterizam o comportamento de pórticos e provocam a deformação por flexão de suas barras Os esforços internos de um quadro plano também estão associados ao comporta mento plano da estrutura Neste tipo de estrutura existem apenas três esforços internos em um barra de um pórtico plano definidos nas direções dos eixos locais da barra tal como indicado na Figura 22 N esforço normal esforço interno axial na direção do eixo local x Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 15 Qy Q esforço cortante esforço interno transversal na direção do eixo local y Mz M momento fletor esforço interno de flexão em torno do eixo local z Q Q N N M M x y Figura 22 Eixos locais e esforços internos de uma barra de quadro plano Esforços internos em uma estrutura caracterizam as ligações internas de tensões isto é esforços internos são integrais de tensões ao longo de uma seção transversal de uma barra Esforços internos representam o efeito de forças e momentos entre duas porções de uma estrutura reticulada resultantes de um corte em uma seção transversal Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção secciona da são iguais e contrários pois correspondem uma ação e a reação correspondente A relação entre tensões e esforços internos vai ser discutida no Capítulo 3 Uma treliça é uma estrutura reticulada que tem todas as ligações entre barras arti culadas as barras podem girar independentemente nas ligações A Figura 23 mostra uma treliça plana com suas cargas e reações Na análise de uma treliça as cargas atuantes são transferidas para os seus nós A conseqüência disso em con junto com a hipótese de ligações articuladas é que uma treliça apresenta apenas esforços internos axiais esforços normais de tração ou compressão X Y N N Figura 23 Eixos globais cargas reações e esforço interno normal de uma treliça plana Muitas vezes a hipótese de ligações articuladas é uma simplificação para o compor tamento de uma treliça pois muitas vezes não existem articulações nos nós Esta 16 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha simplificação se justifica principalmente quando os eixos das barras concorrem praticamente em um único ponto em cada ligação Nesse caso o comportamento da estrutura de dá fundamentalmente a esforços internos axiais esforços cortantes e momentos fletores são pequenos na presença de esforços normais Um outro tipo de estrutura reticulada é a grelha Grelhas são estruturas planas com cargas na direção perpendicular ao plano incluindo momentos em torno de eixos do plano A Figura 24 mostra uma grelha com uma carga uniformemente distri buída transversal ao seu plano Neste livro é adotado que o plano da grelha é for mado pelos eixos X e Y Os apoios de uma grelha apresentam apenas uma compo nente de força que é na direção vertical Z e duas componentes de momento VA VB q z X Y Z x MA y MA x θ θ y Figura 24 Eixos globais cargas reações deslocamentos e rotações de uma grelha Por hipótese uma grelha não apresenta deslocamentos dentro do seu plano A Figura 24 indica a configuração deformada da grelha de forma exagerada que apresenta as seguintes componentes de deslocamento e rotações z deslocamento na direção do eixo global Z θ x rotação em torno do eixo global X θ y rotação em torno do eixo global Y Em geral as ligações entre as barras de uma grelha são rígidas mas é possível que ocorram articulações Uma ligação articulada de barras de grelha pode liberar a penas uma componente de rotação ou pode liberar as duas componentes Os esforços internos de uma barra de grelha estão mostrados na Figura 25 junta mente com a convenção adotada para os eixos locais de uma barra de grelha São três os esforços internos Qz Q esforço cortante esforço interno transversal na direção do eixo local z My M momento fletor esforço interno de flexão em torno do eixo local y Tx T momento torçor esforço interno de torção em torno do eixo local x Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 17 Q Q T T M M x y z Figura 25 Eixos locais e esforços internos de uma barra de grelha É interessante fazer uma comparação entre as componentes de deslocamentos e rotações de quadros planos e grelhas bem como entre os tipos de esforços internos A Tabela 21 indica as componentes de deslocamentos e rotações que são nulas pa ra quadros planos e grelhas Observe que quando uma componente é nula para um quadro plano ela não é nula para uma grelha e viceversa A tabela também mostra as diferenças entre os esforços internos de quadros planos e grelhas Vêse que os esforços normais são nulos para grelhas Por outro lado os quadros planos não apresentam momentos torçores As barras de um quadro plano e de uma gre lha apresentam esforços cortantes mas eles têm direções distintas em relação aos eixos locais O mesmo ocorre para momentos fletores Tabela 21 Comparação entre quadro plano e grelha Quadro Plano Grelha Deslocamento em X x x 0 Deslocamento em Y y y 0 Deslocamento em Z z 0 z Rotação em torno de X θ x 0 x θ Rotação em torno de Y θ y 0 y θ Rotação em torno de Z z θ θ z 0 Esforço normal N Nx x local N 0 Esforço cortante Q Qy y local Q Qz z local Momento fletor M Mz z local M My y local Momento torçor T 0 T Tx x local 18 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Finalmente o caso mais geral de estruturas reticuladas é o de quadros ou pórticos espaciais Um exemplo é mostrado na Figura 26 Cada ponto de um quadro espa cial pode ter três componentes de deslocamento e z y x e três componentes de rotação e z y x θ θ θ Existem seis esforços internos em uma barra de pórtico espacial esforço normal N Nx x local esforço cortante y Q y local esforço cor tante z Q z local momento fletor y M y local momento fletor z M z local e momento torçor T Tx x local X Y Z z P x P y P z q Figura 26 Eixos globais e cargas de um quadro espacial 22 Condições básicas da análise estrutural No contexto da análise estrutural o cálculo corresponde à determinação dos esfor ços internos na estrutura das reações de apoios dos deslocamentos e rotações e das tensões e deformações As metodologias de cálculo são procedimentos mate máticos que resultam das hipóteses adotadas na concepção do modelo estrutural Dessa forma uma vez concebido o modelo de análise para uma estrutura as me todologias de cálculo podem ser expressas por um conjunto de equações matemá ticas que garantem a satisfação às hipóteses adotadas Dito de outra maneira uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura sobre as cargas e solicita ções sobre as condições de suporte ou ligação com outros sistemas e sobre as leis constitutivas dos materiais a análise estrutural passa a ser um procedimento ma temático de cálculo que só se altera se as hipóteses e simplificações adotadas forem revistas ou reformuladas As condições matemáticas que o modelo estrutural tem que satisfazer para repre sentar adequadamente o comportamento da estrutura real podem ser dividas nos seguintes grupos condições de equilíbrio condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 19 condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura leis constitutivas dos materiais A imposição destas condições é a base dos métodos da análise estrutural isto é as formas como essas condições são impostas definem as metodologias dos chamados Métodos Básicos da Análise de Estruturas foco principal deste livro Esta seção exemplifica as condições básicas que o modelo estrutural tem que aten der através de um exemplo simples de três barras articuladas Timoshenko Gere 1994 mostrado na Figura 27 Existe uma força externa P aplicada no nó da estru tura que conecta as três barras As barras são feitas com um material com módulo de elasticidade E e têm seções transversais com área A θ θ l P N1 N2 N2 X Y Figura 27 Estrutura com três barras articuladas 221 Condições de equilíbrio No contexto deste livro no qual não são considerados problemas de vibrações ou de dinâmica de estruturas condições de equilíbrio são condições que garantem o e quilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou da estrutura como um todo No exemplo da Figura 27 o equilíbrio tem que ser garantido globalmente isto é para a estrutura como um todo em cada barra isolada e em cada nó isolado Nesse exemplo simples em que só existem esforços internos axiais nas barras for ças normais as três reações de apoio nos nós superiores convergem em um ponto o nó inferior Na verdade essas reações são os próprios esforços normais nas bar ras tal como indicado na Figura 27 Além disso a simetria da estrutura impõe que os esforços normais nas barras inclinadas sejam iguais isto é na verdade uma 20 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha imposição de equilíbrio de forças na direção horizontal X Dessa forma o equilí brio do nó inferior na direção vertical Y garante o equilíbrio global da estrutura P N N FY cosθ 2 0 2 1 21 Nessa equação temse N1 esforço normal na barra vertical N2 esforço normal nas barras inclinadas Na Equação 21 a condição de equilíbrio na direção vertical do nó inferior da es trutura foi escrita considerando a geometria original indeformada da estrutura Isto só é válido quando os deslocamentos que a estrutura vai sofrer são muito pe quenos em relação às dimensões da estrutura Essa hipótese denominada de hipó tese de pequenos deslocamentos White et al 1976 West 1989 será adotada neste livro A análise de estruturas com essa consideração denominase análise de primeira or dem Nem sempre é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos Por exemplo no projeto moderno de estruturas metálicas exigese que se faça uma aná lise de segunda ordem deslocamentos não desprezíveis na imposição das condi ções de equilíbrio pelo menos de uma maneira aproximada Apesar disso neste livro só serão consideradas análises com pequenos desloca mentos e as condições de equilíbrio sempre serão escritas para a configuração ge ometria indeformada da estrutura Esse ponto será justificado na Seção 24 deste capítulo onde a hipótese de pequenos deslocamentos é abordada em maior pro fundidade Observase pela Equação 21 que não é possível determinar os valores dos esfor ços normais N1 e N2 Isto é existem duas incógnitas em termos de esforços e ape nas uma equação de equilíbrio considerando que a equação de equilíbrio na dire ção horizontal já foi utilizada As estruturas que não podem ter seus esforços de terminados apenas pelas equações de equilíbrio são chamadas de estruturas hiperes táticas como a estrutura do exemplo da Figura 27 Existe um caso especial de es truturas que podem ter seus esforços internos e externos reações de apoio deter minados apenas pelas condições de equilíbrio são as chamadas estruturas isostáti cas Em geral as equações de equilíbrio fornecem condições necessárias mas não sufi cientes para a determinação dos esforços no modelo estrutural Para a determina ção dos esforços em estruturas hiperestáticas é necessário fazer uso das outras condições que são tratadas nas seções a seguir Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 21 222 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações As condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações são condições geo métricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura ao se deformar permaneça contínua sem vazios ou sobreposição de pontos e compatível com seus vínculos externos Devese ressaltar que as condições de compatibilidade não têm relação alguma com as propriedades de resistência dos materiais da estrutura consideradas nas leis constitutivas dos materiais tratadas na seção a seguir As condições de com patibilidade são expressas por relações geométricas impostas no modelo estrutural para garantir a continuidade no domínio da estrutura real Essas relações conside ram as hipóteses geométricas adotadas na concepção do modelo As condições de compatibilidade podem ser divididas em dois grupos Condições de compatibilidade externa referemse aos vínculos externos da es trutura e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com outras estruturas Condições de compatibilidade interna garantem que a estrutura permaneça ao se deformar contínua no interior dos elementos estruturais barras e nas fronteiras entres os elementos estruturais isto é que as barras permaneçam ligadas pelos nós que as conectam incluindo ligação por rotação no caso de não haver articulação entre barras No exemplo da Figura 27 as condições de compatibilidade externa são garantidas automaticamente quando só se admite uma configuração deformada para a estru tura que tenha deslocamentos nulos nos nós superiores tal como mostra a Figura 28 A configuração deformada está indicada com deslocamentos ampliados de forma exagerada pelas linhas tracejadas mostradas nessa figura As condições de compatibilidade interna devem garantir que as três barras perma neçam ligadas pelo nó inferior na configuração deformada Mantendose a hipóte se de pequenos deslocamentos podese considerar que o ângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera tal como indicado na Figura 28 22 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha θ θ D1 θ θ d1 D1 d2 Figura 28 Configuração deformada da estrutura com três barras articuladas Com base na Figura 28 e considerando a simetria da estrutura podese então esta belecer relações de compatibilidade entre os alongamentos das barras da estrutura e o deslocamento vertical do nó inferior 1 1 d D cosθ 1 2 d D Sendo D1 deslocamento vertical do nó inferior d1 alongamento da barra vertical d2 alongamento das barras inclinadas Isto resulta na seguinte equação de compatibilidade entre os alongamentos das barras cosθ 1 2 d d 22 A introdução da equação de compatibilidade acrescentou duas novas incógnitas ao problema d1 e d2 sem relacionálas às incógnitas anteriores N1 e N2 Entretanto essas quatro incógnitas vão ficar relacionadas através da consideração do compor tamento do material que compõe a estrutura sem que isso introduza novas incóg nitas 223 Leis constitutivas dos materiais O modelo matemático do comportamento dos materiais em um nível macroscópi co é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre tensões e deforma Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 23 ções chamadas de leis constitutivas Féodosiev 1977 Essas relações contêm parâ metros que definem o comportamento dos materiais A Teoria da Elasticidade Timoshenko Goodier 1980 estabelece que as relações da lei constitutiva são e quações lineares com parâmetros constantes Nesse caso é dito que o material tra balha em regime elásticolinear em que tensões e deformações são proporcionais Entretanto nem sempre é possível adotar um comportamento tão simplificado pa ra os materiais Por exemplo procedimentos modernos de projeto de estruturas metálicas ou de concreto armado são baseados no estado de limite último quando o material não tem mais um comportamento elásticolinear Apesar disso no contexto deste livro só serão considerados materiais idealizados com comportamento elásticolinear e sem limite de resistência Isto é justificado pelos seguintes motivos De uma maneira geral as estruturas civis trabalham em regime elástico linear Por isso a maioria das estruturas é analisada adotandose essa apro ximação Mesmo para projetos baseados em regime último a determinação da distri buição de esforços internos é em geral feita a partir de uma análise linear Isto é fazse o dimensionamento local no estado último de resistência com o uso de coeficientes de majoração de carga e de minoração de resistência mas com esforços calculados através de uma análise global linear Esta é uma aproximação razoável na maioria dos casos mas o correto seria fazer uma análise global considerando o material em regime não linear que é relati vamente complexa quando comparada com uma análise linear Na prática uma análise não linear é executada computacionalmente de for ma incremental sendo que em cada passo do processo incremental é feita uma análise linear Como este livro é introdutório para a análise de estrutu ras a consideração de um comportamento linear se justifica O foco principal deste livro são os métodos básicos da análise estrutural A consideração em si de leis constitutivas não lineares é um tema bastante am plo que foge do escopo deste livro Portanto no exemplo da Figura 27 o material considerado tem um comportamen to elásticolinear As barras desta estrutura estão submetidas apenas a esforços axiais de tração As tensões σx e deformações εx que aparecem nesse caso são nor mais às seções transversais das barras na direção do eixo local x na direção axial da barra A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida Lei de Hooke Beer Johnston 1996 Féodosiev 1977 e é dada por x x Eε σ 23 sendo E módulo de elasticidade propriedade do material 24 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha σ x tensões normais na direção axial da barra εx deformações normais na direção axial da barra No contexto de uma análise com pequenos deslocamentos a tensão normal devida a um esforço axial é dada pela razão entre o valor do esforço e a área da seção transversal e a deformação normal é a razão entre o alongamento da barra e o seu comprimento original Assim para a barra vertical da Figura 27 temse l E d A N 1 1 24 e para as barras inclinadas temse θ cos 2 2 l d E A N 25 Observase que as Equações 24 e 25 introduziram novas relações entre as in cógnitas do problema sem que aparecessem novas variáveis Dessa maneira as Equações 21 22 24 e 25 formam um sistema de quatro equações a quatro incógnitas N1 N2 d1 e d2 resultando na solução única do problema Vêse que só foi possível resolver a estrutura hiperestática desse exemplo utilizan do todos os três tipos de condições equilíbrio compatibilidade e leis constitutivas A próxima seção discute esse ponto em mais detalhe Há casos em que o material é também solicitado ao efeito de cisalhamento Para materiais trabalhando em regime elásticolinear a lei constitutiva que relaciona tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por γ τ G 26 sendo G módulo de cisalhamento propriedade do material τ tensão de cisalhamento γ distorção de cisalhamento 23 Métodos básicos da análise estrutural O exemplo simples mostrado na seção anterior ilustra bem a problemática para a análise de uma estrutura hiperestática Para se resolver calcular esforços deslo camentos etc uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar os três grupos de condições básicas da análise estrutural condições de equilíbrio condi ções de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e condições sobre o comportamento dos materiais White et al 1976 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 25 No exemplo existem infinitos valores de N1 e N2 que satisfazem a equação de equi líbrio 21 Também existem infinitos valores de d1 e d2 que satisfazem a equação de compatibilidade 22 Entretanto existe uma única solução para essas entida des é aquela que satisfaz simultaneamente equilíbrio compatibilidade e leis cons titutivas Observase que para esse exemplo a solução da estrutura hiperestática requer a resolução de um sistema de quatro equações a quatro incógnitas Para estruturas usuais bem maiores a formulação do problema dessa maneira acarreta uma complexidade de tal ordem que a solução pode ficar comprometida Assim é ne cessário definir metodologias para a solução de estruturas hiperestáticas Isto vai resultar nos dois métodos básicos da análise estrutural que são introduzidos a se guir 231 Método das Forças O primeiro método básico da análise de estruturas é o chamado Método das Forças Nesse método as incógnitas principais do problema são forças e momentos que podem ser reações de apoio ou esforços internos Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas principais escolhidas e substituídas em equa ções de compatibilidade que são então resolvidas O Método das Forças tem como idéia básica determinar dentro do conjunto de soluções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio qual a solução que faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas Na formalização do Método das Forças existe uma seqüência de introdução das condições básicas do problema primeiro são utilizadas as condições de equilíbrio em seguida são consideradas as leis constitutivas dos materiais e finalmente são utilizadas as condições de compatibilidade O exemplo da Figura 27 vai ser usado para ilustrar essa seqüência Considere que o esforço normal N1 na barra central foi adotado como a incógnita principal O número de incógnitas principais é igual ao número de incógnitas ex cedentes nas equações de equilíbrio A escolha de N1 como principal foi arbitrária teria sido indiferente escolher N2 Pela equação de equilíbrio 21 podese escre ver N2 em função de N1 cosθ 2 1 2 N P N 27 Pelas Equações 24 e 25 podese expressar d1 e d2 em função de N1 e N2 respec tivamente Utilizando a Equação 27 e substituindo na Equação 22 temse a equação de compatibilidade expressa em termos da incógnita N1 26 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 3 1 3 cos 2 cos 2 θ θ EA P l N EA l EA l 28 Finalmente a solução desta equação resulta no valor de N1 e substituindo esse re sultado na Equação 27 temse N2 3 1 2 cos 1 θ P N 3 2 2 2 cos 1 cos θ θ P N Devese salientar que os valores de N1 e N2 independem da área da seção transver sal das barras e do módulo de elasticidade porque esses parâmetros são nesse e xemplo iguais para as três barras tendo sido cancelados na solução da Equação 28 Na verdade a solução mostrada acima não corresponde à metodologia utilizada na prática para analisar uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças A meto dologia adotada na prática faz uma parametrização discretização do problema em termos de variáveis independentes tal como já sugerido na Seção 122 do Ca pítulo 1 No caso do Método das Forças essas variáveis são as forças e momentos associadas aos vínculos excedentes à determinação estática da estrutura Essas for ças e momentos são chamados de hiperestáticos Para o exemplo das três barras só existe um hiperestático Uma possível solução parametrizada pelo Método das Forças é obtida pela superposição de soluções bá sicas dos casos 0 e 1 mostrados na Figura 29 O hiperestático escolhido nessa solução é a reação de apoio vertical X1 N1 e o vínculo associado é a restrição ao deslocamento vertical do apoio central X1 1 x X1 δ10 P 0 1 P δ11 X1 N1 Figura 29 Superposição de soluções básicas do Método das Forças Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 27 Na solução indicada na Figura 29 a estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura estaticamente determinada isostática obtida da estrutura original pela eliminação do vínculo excedente associado ao hiperestático Essa estrutura isostá tica auxiliar é chamada de Sistema Principal SP Cada solução básica isola um de terminado efeito ou parâmetro no SP o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 e o efeito do hiperestático X1 é isolado no caso 1 As soluções básicas mostradas na Figura 29 violam uma condição de compatibili dade da estrutura original pois o vínculo eliminado libera o deslocamento vertical do apoio central Por outro lado as soluções básicas do Método das Forças satisfa zem as equações de equilíbrio da estrutura original A metodologia de cálculo do Método das Forças determina o valor que o hiperestá tico deve ter para recompor o vínculo eliminado no SP Essa condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de compatibilidade que superpõe os deslocamentos no vínculo eliminado de cada caso básico 0 1 11 10 X δ δ 29 Nessa equação δ10 termo de carga deslocamento vertical no ponto do vínculo eliminado no caso 0 δ11 coeficiente de flexibilidade deslocamento vertical no ponto do vínculo elimina do devido a um valor unitário do hiperestático aplicado isoladamente A Equação 29 determina o valor do hiperestático X1 que faz com que o desloca mento do ponto do vínculo eliminado seja nulo Dessa forma o valor correto do esforço normal N1 X1 é determinado pois a compatibilidade da estrutura origi nal violada na criação da estrutura auxiliar SP utilizada na superposição de casos básicos é recomposta Considerando que deslocamentos verticais são positivos no sentido da força unitá ria arbitrada para X1 para cima temse que os valores do termo de carga e do coe ficiente de flexibilidade para esse problema são 3 10 cos 2 θ δ EA P l e 3 11 cos 2 θ δ EA l EA l Substituindo esses valores na Equação 29 podese observar que essa equação é exatamente igual à equação de compatibilidade 28 encontrada anteriormente No Capítulo 5 essa metodologia prática do Método das Forças será formalizada detalhadamente Essa metodologia está baseada na validade do Princípio da Su perposição de Efeitos veja a Seção 24 e serve para resolver qualquer estrutura hiperestática reticulada com comportamento linear 28 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Método das Forças é assim denominado pois os hiperestáticos são forças ou momentos O método também é denominado Método da Compatibilidade West 1989 pois as equações finais como no exemplo a Equação 29 são equações de compatibilidade escritas em termos dos hiperestáticos 232 Método dos Deslocamentos O segundo método básico da análise de estruturas é o chamado Método dos Deslo camentos Nesse método as incógnitas principais do problema são deslocamentos e rotações Todas as outras incógnitas são expressas em termos das incógnitas prin cipais escolhidas e substituídas em equações de equilíbrio que são então resolvi das O Método dos Deslocamentos tem como idéia básica determinar dentro do con junto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibili dade qual a solução que faz com que as condições de equilíbrio também sejam sa tisfeitas Observase que o Método dos Deslocamentos ataca a solução de estruturas de ma neira inversa ao que é feito pelo Método das Forças Por isso esses métodos são ditos duais Na formalização do Método dos Deslocamentos a seqüência de intro dução das condições básicas também é inversa primeiro são utilizadas as condi ções de compatibilidade em seguida são consideradas as leis constitutivas dos ma teriais e finalmente são utilizadas as condições de equilíbrio O exemplo da Figura 27 também vai ser utilizado para mostrar isso A incógnita principal escolhida é o alongamento d1 da barra vertical que corres ponde ao deslocamento vertical D1 do nó inferior da estrutura veja a Figura 28 O número de incógnitas no Método dos Deslocamentos é igual ao número de in cógnitas excedentes nas equações de compatibilidade No exemplo existe uma equação de compatibilidade Equação 22 com duas incógnitas d1 e d2 A esco lha de d1 como principal foi arbitrária Utilizando a equação de compatibilidade e as Equações 24 e 25 da lei constitu tiva podese expressar a equação de equilíbrio 21 em função da incógnita prin cipal P d l EA l EA 1 3 cos 2 θ 210 A solução desta equação fornece o valor de d1 e substituindo esse resultado na E quação 22 temse d2 EA l P d 3 1 2 cos 1 θ Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 29 EA l P d 3 2 2 cos 1 cos θ θ Para encontrar os valores de N1 e N2 mostrados anteriormente basta utilizar as E quações 24 e 25 Assim como na seção anterior para o Método das Forças a solução pelo Método dos Deslocamentos apresentada inicialmente nesta seção tem um caráter apenas didático Na prática é necessário formalizar o método para resolver qualquer tipo de estrutura reticulada A metodologia adotada na prática faz uma parametrização discretização do problema em termos de variáveis independentes tal como indi cado na Seção 122 do Capítulo 1 No caso do Método dos Deslocamentos essas variáveis são os parâmetros que definem completamente a configuração deforma da da estrutura que são chamados de deslocabilidades Para o exemplo das três barras devido à simetria da estrutura está sendo conside rado que o nó inferior não se desloca lateralmente Portanto só existe uma deslo cabilidade que é o deslocamento vertical D1 do nó inferior A solução parametri zada pelo Método do Deslocamentos é obtida pela superposição de soluções bási cas dos casos 0 e 1 mostrados na Figura 210 D1 D1 1 K11 x D1 β10 P P 0 1 Figura 210 Superposição de soluções básicas do Método dos Deslocamentos Na solução indicada na Figura 210 a estrutura utilizada nas soluções básicas é uma estrutura cinematicamente determinada estrutura com configuração deformada conhecida obtida da estrutura original pela adição do vínculo necessário para impedir a deslocabilidade D1 Essa estrutura cinematicamente determinada auxiliar é chamada de Sistema Hipergeométrico SH Cada solução básica isola um determinado efeito ou parâmetro no SH o efeito da solicitação externa carregamento é isolado no caso 0 e o efeito da deslocabilidade D1 é isolado no caso 1 As soluções básicas mostradas na Figura 210 satisfazem as condições de equilíbrio do Sistema Hipergeométrico mas violam o equilíbrio da estrutura original que não contém o vínculo adicional que impede a deslocabilidade D1 Dito de outra maneira o apoio fictício adicionado no SH introduz uma reação de apoio espúria 30 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha que fere o equilíbrio da estrutura original Devese observar que as soluções bási cas do Método dos Deslocamentos jamais violam as condições de compatibilidade da estrutura original isto é existe continuidade interna ligação entre as barras e compatibilidade com os vínculos externos A metodologia de cálculo do Método dos Deslocamentos determina o valor que a deslocabilidade D1 deve ter para recompor o equilíbrio da estrutura original sem o apoio fictício do SH Essa condição pode ser expressa matematicamente por uma equação de equilíbrio que superpõe as reações no apoio fictício do SH de cada caso básico 0 1 11 10 D K β 211 Nessa equação β10 termo de carga força reação vertical no apoio fictício do caso 0 K11 coeficiente de rigidez força vertical no apoio fictício do SH necessária para impor uma configuração deformada tal que a deslocabilidade D1 tenha um valor unitário A Equação 211 determina o valor da deslocabilidade D1 que faz com que a reação final na superposição no apoio fictício do SH seja nula Dessa forma o valor cor reto de D1 é determinado pois o equilíbrio da estrutura original violado na criação da estrutura auxiliar SH utilizada na superposição de casos básicos é restabeleci do Considerando que forças verticais são positivas no sentido do deslocamento unitá rio arbitrado para D1 para baixo temse que os valores do termo de carga e do coeficiente de rigidez para esse problema são β10 P e l EA l EA K 3 11 cos 2 θ Substituindo esses valores na Equação 211 podese observar que essa equação é exatamente igual à Equação de equilíbrio 210 encontrada anteriormente No Capítulo 6 essa metodologia prática do Método dos Deslocamentos será forma lizada detalhadamente Assim como para o Método das Forças essa metodologia está baseada na validade do Princípio da Superposição de Efeitos veja a Seção 24 e serve para resolver qualquer estrutura reticulada com comportamento linear O Método dos Deslocamentos é assim denominado pois as incógnitas deslocabili dades são deslocamentos ou rotações O método também é chamado de Método do Equilíbrio West 1989 pois as equações finais como no exemplo a Equação 211 são equações de equilíbrio tendo como variáveis principais as deslocabilida des Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 31 233 Comparação entre o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Nas duas seções anteriores os dois métodos básicos da análise de estruturas reticu ladas foram introduzidos com base em um exemplo simples com três barras articu ladas Como comentado esses métodos serão apresentados em detalhes em capí tulos subseqüentes deste livro Entretanto as principais idéias dos dois métodos já foram abordadas e é importante salientar os pontos principais Nesta seção é feita uma comparação entre os Métodos das Forças e dos Desloca mentos mostrando um resumo da metodologia de cada método através da tabela mostrada a seguir salientando a dualidade entre os dois métodos Método das Forças Método dos Deslocamentos Idéia básica Determinar dentro do conjunto de so luções em forças que satisfazem as condições de equilíbrio qual a solução que faz com que as condições de com patibilidade também sejam satisfeitas Metodologia Superpor uma série de soluções estati camente determinadas isostáticas que satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura para obter uma solução final que também satisfaz as condições de compatibilidade Incógnitas Hiperestáticos forças e momentos asso ciados a vínculos excedentes à determi nação estática da estrutura Número de incógnitas É o número de incógnitas excedentes das equações de equilíbrio denominado grau de hiperestaticidade Idéia básica Determinar dentro do conjunto de so luções em deslocamentos que satisfa zem as condições de compatibilidade qual a solução que faz com que as con dições de equilíbrio também sejam satis feitas Metodologia Superpor uma série de soluções cinema ticamente determinadas configurações deformadas conhecidas que satisfazem as condições de compatibilidade da es trutura para obter uma solução final que também satisfaz as condições de equilíbrio Incógnitas Deslocabilidades componentes de des locamentos e rotações nodais que defi nem a configuração deformada da es trutura Número de incógnitas É o número de incógnitas excedentes das equações de compatibilidade de nominado grau de hipergeometria 32 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Estrutura auxiliar utilizada nas solu ções básicas Sistema Principal SP estrutura estati camente determinada isostática obtida da estrutura original pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáticos Essa estrutura auxiliar viola condições de compatibilidade da estrutura original Equações finais São equações de compatibilidade ex pressas em termos dos hiperestáticos Essas equações recompõem as condi ções de compatibilidade violadas nas soluções básicas Termos de carga das equações finais Deslocamentos e rotações nos pontos dos vínculos liberados no SP devidos à solicitação externa carregamento Coeficientes das equações finais Coeficientes de flexibilidade desloca mentos e rotações nos pontos dos víncu los liberados no SP devidos a hiperestá ticos com valores unitários atuando iso ladamente Estrutura auxiliar utilizada nas solu ções básicas Sistema Hipergeométrico SH estrutu ra cinematicamente determinada estru tura com configuração deformada co nhecida obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários para impedir as deslocabilidades Essa estrutura auxiliar viola condições de equilíbrio da estrutura original Equações finais São equações de equilíbrio expressas em termos das deslocabilidades Essas e quações recompõem as condições de equilíbrio violadas nas soluções básicas Termos de carga das equações finais Forças e momentos reações nos víncu los adicionados no SH devidos à solici tação externa carregamento Coeficientes das equações finais Coeficientes de rigidez forças e mo mentos nos vínculos adicionados no SH para impor configurações deformadas com deslocabilidades isoladas com va lores unitários 24 Comportamento linear e superposição de efeitos Como visto nas seções anteriores na formalização dos métodos básicos da análise estrutural o Princípio da Superposição de Efeitos White et al 1976 West 1989 Felton Nelson 1996 é adotado Esse princípio prescreve que a superposição dos cam pos de deslocamentos provocados por vários sistemas de forças atuando isolada mente é igual ao campo de deslocamentos provocado pelos mesmos sistemas de forças atuando concomitantemente A Figura 211 exemplifica esse princípio mos trando que a combinação linear de duas forças resulta nos mesmos deslocamentos Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 33 da combinação linear dos deslocamentos provocados pelas forças atuando isola damente αP1 βP2 2 1 1 1 β α P2 2 2 1 2 β α 1 1 1 2 P1 2 1 2 2 Figura 211 Combinação linear de duas forças e os correspondentes deslocamentos Para que se possa utilizar esse princípio é necessário que a estrutura tenha um comportamento linear O comportamento linear de uma estrutura está baseado em duas condições A primeira é que o material trabalhe no regime elásticolinear A segunda condição é que seja válida a hipótese de pequenos deslocamentos Conforme abordado na Seção 221 os deslocamentos podem ser considerados pe quenos quando as equações de equilíbrio escritas para a geometria indeformada da estrutura fornecem resultados praticamente iguais aos obtidos pelas mesmas equa ções de equilíbrio escritas para a geometria deformada da estrutura White et al 1976 Exceto em casos particulares as estruturas civis têm deslocamentos pequenos em comparação aos tamanhos característicos dos seus membros comprimento da bar ra ou altura da seção transversal por exemplo Um contraexemplo para o qual não é possível adotar a hipótese de pequenos deslocamentos é mostrado na Figura 212 White et al 1976 Essa estrutura tem duas barras e três rótulas alinhadas e o estado de equilíbrio estável só pode ser alcançado para a estrutura na configuração deformada Cabos que são estruturas muito flexíveis são um outro exemplo de estruturas cujo equilíbrio é alcançado na geometria final considerando os seus des locamentos sobrepostos à geometria inicial indeformada Essas estruturas não se rão tratadas neste livro e serão classificadas como instáveis 34 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha P Figura 212 Exemplo de uma estrutura para a qual não se pode adotar pequenos deslocamentos Existem exemplos clássicos de estruturas instáveis tais como as mostradas na Fi gura 213 White et al 1976 O pórtico da Figura 213a apresenta três componen tes de reação de apoio que são verticais não existindo nenhum vínculo que impeça o movimento horizontal do pórtico A estrutura da Figura 213b tem três reações concorrentes em um ponto Portanto na configuração indeformada não é possível equilibrar o momento de forças atuantes tal como a carga P em relação ao ponto de convergência das reações de apoio Nesse caso talvez o equilíbrio pudesse ser alcançado na configuração deformada da estrutura quando as reações deixariam de concorrer em um ponto Mesmo assim essa estrutura sempre apresentaria um estado de instabilidade eminente P a b Figura 213 Exemplos de estruturas instáveis pela configuração dos apoios externos A dependência do comportamento linear com a hipótese de pequenos deslocamen tos pode ser entendida a partir do exemplo da Figura 214 Nessa estrutura o des locamento vertical da extremidade inferior do balanço δa depende das caracterís ticas geométricas das barras assim como dos valores das forças V e H e das propri edades do material da estrutura Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 35 V H b a δa Figura 214 Configuração deformada de um pórtico em forma de L Considerando que a estrutura da Figura 214 tem um material elásticolinear e se ções transversais prédefinidas e que as forças estão sempre atuando nos mesmos pontos o comportamento da estrutura no que diz respeito aos seus deslocamen tos depende apenas das características geométricas da estrutura a e b e dos valo res das cargas V e H que podem variar Duas situações podem ser consideradas Deslocamento δa com um valor que não pode ser desprezado em relação às dimensões a e b de tal maneira que as condições de equilíbrio devem ser es critas para a geometria deformada Nesse caso a b a V H a a δ δ δ ou se ja a determinação de δa depende do conhecimento do seu próprio valor Is to caracteriza o que se define como nãolinearidade geométrica White et al 1976 Deslocamento δa com um valor muito menor do que as dimensões a e b de tal maneira que as condições de equilíbrio podem ser escritas para a geome tria original indeformada Nesse caso podese dizer que a V H a b a δ δ ou seja não existe dependência de δa em relação a si próprio Como todas as outras propriedades são lineares o comportamento da estrutura é linear Is to é δa varia linearmente em função dos valores das cargas No caso em que os deslocamentos não são pequenos a determinação de δa em ge ral não tem solução analítica simples Nesse caso o valor de δa pode ser determi nado através de algum processo iterativo Por exemplo partindose de um valor inicial que poderia ser nulo determinase o valor seguinte considerando um com portamento linear Com os valores de deslocamentos calculados no passo anterior atualizase a geometria da estrutura e determinase o valor seguinte de δa Esse processo se repete até que o valor determinado em um passo não difira significati vamente do valor do passo anterior Esse processo pode não convergir e nesse caso a estrutura é instável Um exemplo isostático simples White et al 1976 é mostrado na Figura 215 para ilustrar o efeito da nãolinearidade geométrica A configuração deformada da es trutura está indicada pelas linhas tracejadas da figura Na configuração indefor mada o ângulo entre as barras e o eixo vertical é θ e na configuração deformada o 36 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha ângulo é α Nesse exemplo os deslocamentos não são considerados pequenos e a equação de equilíbrio que relaciona a força aplicada P com o esforço normal N nas barras é escrita na configuração final deformada da estrutura tal como expresso na Equação 212 comprimento final 2 2 tan cos D l l l θ α θ θ α α l P N N D l tanθ tanθ l comprimento original lcosθ Figura 215 Estrutura isostática com grandes deslocamentos 2 2 tan 2 cos 2 D l l D l N N P θ α 212 Com base na Figura 215 podese relacionar o alongamento d das barras com o deslocamento vertical D do nó central O alongamento das barras é a diferença entre o comprimento final deformado das barras e o comprimento original inde formado resultando na seguinte relação de compatibilidade θ θ cos tan 2 2 l D l l d 213 Para obter a resposta do problema em termos de deslocamentos é necessário con siderar a relação tensãodeformação do material Considerando a deformação nas barras como a razão entre o alongamento e o comprimento original da barra ela resulta em uma expressão que relaciona o esforço normal das barras com o seu a longamento d l EA N cosθ 214 Substituindo o alongamento d dado pela Equação 213 na Equação 214 e depois substituindo o esforço normal N na Equação 212 isso resulta em uma expressão que relaciona a força aplicada P com o deslocamento vertical D P 2 EA cos θ l ltan θ² lD² y cos θ l D ltan θ² lD² Simplificando essa expressão temse P 2 EA lD cos θ l ltan θ² lD² 1 ltan θ² lD² A relação entre a força P e o deslocamento D da Equação 215 é mostrada na Figura 216 para alguns valores do ângulo θ da configuração indefinida da estrutura Os valores da força aplicada foram normalizados pela razão PEA e os valores dos deslocamentos foram normalizados pela razão Dl 38 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha no é praticamente linear Notase também que a estrutura mais alongada é a mais rígida valor de carga mais alto para um dado valor de deslocamento É interessante comparar a resposta não linear dada pela Equação 215 com a res posta linear da estrutura da Figura 215 para pequenos deslocamentos A resposta linear é obtida igualando os ângulos θ e α e considerando d Dcosθ tal como na Equação 22 Isto resulta na seguinte relação cargadeslocamento D l EA Plinear 3 cos 2 θ 216 Podese comparar a Equação 216 com a derivada da resposta não linear avaliada para D 0 l EA dD dP 3 cos 2 0 θ 217 Vêse que o coeficiente angular da resposta linear é igual à derivada da curva car gadeslocamento não linear para D 0 tal com indica o detalhe da Figura 216 Isso mostra que a resposta linear é uma aproximação da resposta não linear para pequenos deslocamentos Esse estudo do comportamento não linear de uma estrutura indica que a solução para grandes deslocamentos pode ser relativamente complexa mesmo para o caso de uma estrutura bastante simples como a da Figura 215 De uma certa maneira o comportamento de todas as estruturas é não linear para o caso de uma análise exa ta que envolveria a consideração dos deslocamentos da estrutura nas equações de equilíbrio equilíbrio imposto na configuração deformada Entretanto e felizmen te para os casos mais freqüentes de estruturas civis os deslocamentos são tão pe quenos para cargas usuais que podem ser desconsiderados quando se formulam as condições de equilíbrio Neste livro só serão consideradas estruturas para as quais podese adotar a hipóte se de pequenos deslocamentos equações de equilíbrio sempre escritas para a for ma indeformada da estrutura Essa hipótese é básica juntamente com o compor tamento linear dos materiais para a utilização do princípio da superposição de efeitos White et al 1976 Como dito anteriormente esse princípio é aplicado nos métodos básicos da análise de estruturas que são métodos lineares Devese observar que métodos lineares de análise também são adotados em cada passo de um processo iterativo de análise não linear Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 39 25 Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas Foi visto na Seção 221 que existe um caso especial de estruturas que podem ter seus esforços internos e externos reações de apoio determinados apenas por con dições de equilíbrio Essas estruturas são definidas como estruturas estaticamente determinadas ou estruturas isostáticas As estruturas que não podem ter seus esfor ços internos e externos determinados apenas pelas condições de equilíbrio são de finidas como estruturas estaticamente indeterminadas estruturas hiperestáticas Esta seção faz uma comparação entre o comportamento das estruturas isostáticas e hi perestáticas mostrando suas vantagens e desvantagens e justificando as razões das últimas aparecerem mais freqüentemente Essa comparação é feita utilizando um pórtico plano White et al 1976 West 1989 mostrado na Figura 217 que aparece em duas versões Na primeira Figura 217 a as condições de suporte são tais que se pode determinar as reações de apoio utilizando somente condições de equilíbrio Como o pórtico é um quadro aberto não existe um ciclo fechado de barras podese determinar os esforços internos em qualquer seção a partir apenas destas condições e portanto a estrutura é isos tática A segunda versão do pórtico Figura 217b apresenta um vínculo externo excedente em relação à estabilidade estática isto é existem quatro componentes de reação de apoio para três equações de equilíbrio global da estrutura Essas equa ções de equilíbrio global expressam as condições de somatório das forças horizon tais nulo somatório das forças verticais nulo e somatório dos momentos em rela ção a um ponto do plano nulo A próxima seção apresenta um procedimento geral para determinação do grau de hiperestaticidade isto é do número de vínculos ex cedentes em relação à estabilidade estática de pórticos planos e grelhas A Figura 217 mostra as reações de apoio nos dois pórticos Devido à simetria dos quadros as reações verticais têm valores iguais à metade da carga vertical aplicada P O pórtico isostático tem reação horizontal do apoio da esquerda nula pois este é o único apoio que restringe o deslocamento horizontal do quadro e não existem forças horizontais aplicadas Já o pórtico hiperestático tem os valores das reações horizontais iguais sendo as reações com sentidos inversos para garantir o equilí brio na direção horizontal O valor destas reações H é indefinido quando se con sideram somente as condições de equilíbrio Intuitivamente é fácil de se verificar que os sentidos das reações horizontais da es trutura hiperestática são para dentro do pórtico Na Figura 217a a configura ção deformada da estrutura isostática mostrada de forma exagerada linha trace jada indica uma tendência das barras verticais se afastarem relativamente Na estrutura hiperestática a barra vertical da direita tem seu movimento horizontal restrito na base Como a tendência é de abrir o pórtico a reação associada a essa restrição vai fechar o pórtico isto é com sentido para dentro 40 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha H H a b b2 h P P b2 b2 h P b2 P P2 P2 P2 P2 Pb4 Hh Hh Hh Hh Pb4 Hh M M Figura 217 Quadros isostático a e hiperestático b configurações deformadas reações de apoio e diagramas de momentos fletores1 Esse exemplo ilustra bem uma característica da estrutura hiperestática existem infinitas soluções que satisfazem as condições de equilíbrio nesse caso existem infinitos valores possíveis para a reação horizontal H Como visto na Seção 23 para determinar o valor de H as condições de compatibilidade e as leis constituti vas dos materiais também são necessárias Isto torna a resolução da estrutura hi perestática mais complexa Apesar dessa desvantagem da estrutura hiperestática a maioria das estruturas é estaticamente indeterminada Isto se deve aos seguintes motivos White et al 1976 1 Algumas formas estruturais são intrinsecamente hiperestáticas tais como o esqueleto de um edifício conjunto de lajes vigas e pilares a casca de uma cobertura ou uma treliça espacial 2 Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm em geral uma dis tribuição mais otimizada ao longo da estrutura Isto pode levar a menores 1 A convenção adotada neste livro para o traçado do diagrama de momentos fletores é tal que o digrama é sempre desenhado do lado da fibra tracionada da seção transver sal da barra Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 41 valores para os esforços máximos No caso das estruturas da Figura 217 o máximo valor de momento fletor ocorre para o meio da barra horizontal vi ga da estrutura isostática embora essa estrutura não apresente momentos fletores nas barras verticais colunas A viga da estrutura hiperestática a presenta máximo momento menor do que na viga da estrutura isostática mas as colunas são requisitadas à flexão 3 Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estrutural Isto pode ser entendido com auxílio da Figura 218 O quadro hiperestático dessa figura apresenta três situações para a ri gidez relativa entre a viga e as colunas Na Figura 218a as colunas são muito mais rígidas do que a viga fazendo com que as rotações das extremi dades da viga sejam muito pequenas se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas Na Figura 218c por outro lado a viga é muito mais rígida do que as colunas a ponto destas não oferecerem impedi mento às rotações das extremidades da viga que se aproxima do comporta mento de uma viga simplesmente apoiada A Figura 218b apresenta um ca so intermediário Observase como os diagramas de momentos fletores da viga podem ser alterados de um comportamento biengastado para um bi apoiado com a variação da rigidez relativa entre os elementos estruturais Observase também que as reações de apoio horizontais do pórtico têm valo res distintos para cada uma das situações Isto só é possível no caso de estru turas hiperestáticas O analista estrutural pode explorar essa característica da estrutura hiperestática minimizando ao máximo dentro do possível os esforços internos na estrutura Isto não pode ser feito para uma estrutura isostática No quadro da Figura 217a as reações de apoio e o diagrama de momentos fletores independem dos parâmetros de rigidez relativos entre vi ga e colunas Na estrutura isostática as reações só dependem da geometria da estrutura e do valor da carga O diagrama de momentos fletores só de pende dos valores da carga e reações e da geometria da estrutura 4 Em uma estrutura hiperestática os vínculos excedentes podem induzir uma segurança adicional Se uma parte de uma estrutura hiperestática por algum motivo perder sua capacidade resistiva a estrutura como um todo ainda po de ter estabilidade Isto porque a estrutura hiperestática pode ter uma capa cidade de redistribuição de esforços o que não ocorre para estruturas isostá ticas Dois exemplos dessa capacidade estão mostrados na Figura 219 Se a diagonal comprimida D1 da treliça hiperestática da Figura 219a perder a es tabilidade por flambagem a outra diagonal D2 que trabalha à tração ainda tem condições de dar estabilidade à estrutura O aparecimento de uma rótu la plástica na extremidade da direita da viga da Figura 219b onde aparece o diagrama de momentos fletores com momento de plastificação Mp não acar retaria a destruição da estrutura pois ela se comportaria como uma viga simplesmente apoiada ainda estável 42 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Hb Hb Hc Hc Ha Ha P2 P2 P2 P2 P2 P2 a b b2 h P b2 P Hbh Hbh Hbh Hbh Pb4 Hbh P P b2 b2 c b2 P b2 P Hch Hch Hch Hch Pb4 Hch h h Hah Hah Hah Hah Pb4 Hah M M M Figura 218 Variação do diagrama de momentos fletores em um quadro hiperestático em função da rigidez relativa entre viga e colunas a b D1 P P Mp D2 M Figura 219 Estruturas hiperestáticas que podem apresentar uma segurança adicional Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 43 Podese concluir que as estruturas isostáticas deveriam ser evitadas por não ofere cerem capacidade de redistribuição de esforços Até certo ponto isto é verdade mas existem algumas vantagens da estrutura isostática Essas vantagens são de corrência da própria característica da estrutura isostática de ter seus esforços inter nos definidos única e exclusivamente pelas cargas aplicadas e pela geometria da estrutura não existindo dependência quanto às propriedades dos materiais e de rigidez das barras Do ponto de vista físico uma estrutura isostática tem o número exato de vínculos externos e internos para que tenha estabilidade Retirandose um destes vínculos a estrutura se torna instável e é definida como hipostática Adicionandose um vín culo qualquer a mais este não seria o necessário para dar estabilidade à estrutura e ela se torna hiperestática Podese observar que pequenas variações na geometria da estrutura isostática mantendose válida a hipótese de pequenos deslocamentos por não alterarem as equações de equilíbrio não introduzem esforços adicionais Dessa forma se os vínculos externos de uma estrutura isostática sofrerem peque nos deslocamentos recalques de apoio só introduzirão movimentos de corpo rí gido das barras não causando deformações internas e por conseguinte não haven do esforços internos Para estruturas hiperestáticas entretanto um movimento de apoio pode induzir deformações nas barras da estrutura provocando esforços A Figura 220 exemplifica essa diferença de comportamento para uma viga bi apoiada e outra apoiada e engastada a b ρ ρ M Figura 220 Recalque de apoio em viga isostática e em viga hiperestática As vigas da Figura 220 sofrem um recalque vertical ρ no apoio da direita que pode ser considerado pequeno em relação ao comprimento da viga o recalque está desenhado exageradamente fora de escala Vêse na Figura 220a que a viga isos tática não se deforma tendo apenas um movimento de corpo rígido sem o apare cimento de esforços internos Já a viga hiperestática da Figura 220b tem deforma ções que induzem momentos fletores na estrutura Recalques de apoio são solicitações que devem ser consideradas em estruturas hi perestáticas podendo acarretar esforços internos dimensionantes O fato de não 44 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha aparecerem esforços internos em estruturas isostáticas devidos a movimentos de apoio pode ser considerado uma vantagem deste tipo de estrutura De forma análoga deformações provenientes de variações de temperatura provo cam deslocamentos sem que apareçam esforços internos em estruturas isostáticas Intuitivamente isto pode ser entendido se for observado que a estrutura isostática tem o número estrito de vínculos para impedir seus movimentos não impedindo por exemplo uma pequena variação de comprimento de uma barra devido a aque cimento Assim como os recalques de apoio as variações de temperatura em mem bros de uma estrutura hiperestática podem induzir esforços que devem ser consi derados Outra vantagem da estrutura isostática é que ela se acomoda a pequenas modifica ções impostas em sua montagem ou construção sem que apareçam esforços Por exemplo se uma barra de uma treliça isostática tiver sido fabricada com uma pe quena imperfeição em seu comprimento as outras barras da estrutura se acomo dam perfeitamente à nova geometria que pode ser considerada para fins de equi líbrio praticamente igual à geometria de projeto porque as imperfeições são pe quenas Isto pode ser entendido intuitivamente se for considerado que a treliça isostática sem a barra imperfeita se constitui em um mecanismo instável do ponto de vista estático A geometria do restante da treliça pode ser alterada sem resistên cia pois o mecanismo se comporta como uma cadeia cinemática Portanto as outras barras facilmente se acomodam ao comprimento modificado da barra fabricada com imperfeição 26 Determinação do grau de hiperestaticidade Existem várias formas de se determinar o grau de hiperestaticidade de uma estru tura Esta seção apresenta um procedimento geral para a determinação do grau de hiperestaticidade para pórticos planos e comenta sobre a determinação para gre lhas O grau de hiperestaticidade g pode ser definido da seguinte maneira g n de incógnitas do problema estático n de equações de equilíbrio As incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da estrutura e da existência de ciclos fechados aqui chamados de anéis Cada componente de reação de apoio é uma incógnita isto é aumenta em uma unidade o grau de hipe restaticidade Por outro lado cada anel de um quadro plano aumenta em três unidades o grau de hiperestaticidade Isto pode ser entendido com base na Figura 221 Considerando um carregamento arbitrário solicitando a estrutura as três componentes de reação de apoio da estrutura HA VA e VB veja Figura 221a podem ser determinadas pe las três equações do equilíbrio global da estrutura no plano 0 Fx somatório de forças na direção horizontal igual a zero Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 45 0 Fy somatório de forças na direção vertical igual a zero 0 Mo somatório de momentos em relação a um ponto qualquer igual a zero a b N N Q Q M M HA VA VB Figura 221 Pórtico plano externamente isostático e com hiperestaticidade interna devida a um anel Apesar de ser possível determinar as reações de apoio do quadro da Figura 221 utilizando apenas equações de equilíbrio não é possível determinar os esforços internos nas barras da estrutura só com base em equilíbrio Isto porque ao se sec cionar a estrutura em qualquer seção de uma barra não se divide a estrutura em duas porções Portanto não se pode isolar dois trechos da estrutura de cada lado da seção o que é necessário para determinar os valores dos três esforços internos por equilíbrio É possível dividir a estrutura em duas porções se outra seção for seccionada Entretanto apareceriam mais três outras incógnitas que seriam os esforços internos na outra seção Dessa forma observase que um anel introduz três incógnitas para o problema do equilíbrio estático Podese resumir o número de incógnitas do problema estático de quadros planos como n de incógnitas do problema estático n de componentes de reação de apoio 3 n de anéis Com respeito ao número de equações de equilíbrio devese considerar as três e quações que garantem o equilíbrio global da estrutura e as equações provenientes de liberações de continuidade interna na estrutura Neste livro estão sendo consi deradas apenas liberações de continuidade de rotação que são provocadas por rótulas articulações internas na estrutura Dessa forma n de equações de equilíbrio 3 equações do equilíbrio global n de equações vindas de articulações internas Considerando que a equação do equilíbrio global de momentos em qualquer ponto da estrutura já está contabilizada nas equações globais cada rótula simples na qual convergem apenas duas barras veja Figura 222a introduz apenas uma con dição de equilíbrio que impõe que o momento fletor na seção da rótula seja nulo Embora o momento fletor tenha que ser nulo de cada lado da rótula a imposição 46 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha de momento fletor nulo apenas por um lado da rótula já garante que o momento fletor entrando pelo outro lado também seja nulo posto que o equilíbrio global de momentos no ponto da rótula já foi considerado Para o caso de articulações com três barras convergindo tal como no quadro da Figura 222b são duas as equações adicionais de equilíbrio a serem consideradas o momento fletor deve ser imposto nulo entrando por duas das barras adjacentes sendo que não é necessário impor momento fletor nulo entrando pela terceira barra pois o equilíbrio global de momentos já garante esta condição Esta conclusão po de ser generalizada da seguinte maneira O número adicional em relação às equações de equilíbrio global de equa ções de equilíbrio momento fletor nulo introduzido por uma articulação completa na qual convergem n barras é igual a n 1 Nesse contexto uma articulação completa é aquela em que todas as seções de barras adjacentes são articuladas A Figura 222c mostra um pórtico com um nó no qual convergem três barras sendo que apenas uma delas é articulada Neste caso a rótula introduz apenas uma equação adicional de equilíbrio a b c Figura 222 Pórticos planos com articulações internas a rótula simples duas barras convergindo na articulação b rótula com três barras convergindo c nó com três barras convergindo mas apenas uma barra articulada Resumindo o grau de hiperestaticidade de um pórtico plano pode ser definido como g n de componentes de reação de apoio 3 n de anéis 3 n de equações vindas de articulações internas O grau de hiperestaticidade das estruturas mostradas na Figura 222 podem ser determinados com base na metodologia apresentada acima Todos os apoios das estruturas impedem os deslocamentos nos pontos do apoio mas não impedem as rotações da seção do apoio Este tipo de apoio é definido como do 2 gênero e a presenta duas componentes de reações de apoio uma na direção horizontal e outra na vertical O pórtico da Figura 222a é isostático pois g 4 30 3 1 0 O quadro hiperestático da Figura 222b tem g 6 30 3 2 1 E a estrutura da Figura 222c tem g 6 30 3 1 2 Luiz Fernando Martha Conceitos Básicos de Análise Estrutural 47 A Figura 223 mostra alguns exemplos de cálculo do grau de hiperestacidade de pórticos planos Os números de componentes de reação de cada apoio estão indi cados na figura Observe no exemplo da Figura 223e que a barra horizontal inferior poderia ter sido considerada como um tirante pois trabalha somente a esforço axial se não tiver carregamento A determinação de g considerando o tirante teria quatro in cógnitas três reações e o esforço normal no tirante e quatro equações três do e quilíbrio global e uma da rótula superior resultando em g 0 O exemplo de monstra que a metodologia apresentada para determinação do grau de hiperestati cidade de pórticos planos é geral a b c g 3 31 3 1 2 2 1 g 4 31 3 1 3 2 2 g 5 31 3 12 2 3 2 d g 4 32 3 12 4 2 2 e g 3 31 3 111 0 2 1 Figura 223 Exemplos de determinação do grau de hiperestaticidade de quadros planos 48 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha A determinação do grau de hiperestaticidade para grelhas é análoga ao procedi mento adotado para pórticos planos Como visto na Seção 21 grelhas são estrutu ras planas com carregamento transversal ao plano Portanto considerando que o plano da grelha contém os eixos X e Y são três equações globais de equilíbrio 0 Fz somatório de forças na direção do eixo vertical Z igual a zero 0 Mx somatório de momentos em torno do eixo X igual a zero 0 My somatório de momentos em torno do eixo Y igual a zero Como uma barra de grelha tem três esforços internos esforço cortante momento fletor e momento torçor veja a Seção 21 um circuito fechado de barras anel aumenta como nos quadros planos em três unidades o grau de hiperestaticidade Por outro lado a presença de articulações rótulas em grelhas pode acrescentar mais do que uma equação de equilíbrio por rótula Isto porque como um ponto de uma grelha tem duas componentes de rotação uma ligação articulada de grelha pode liberar apenas uma componente ou pode liberar as duas componentes de rotação A Figura 224 mostra a determinação do grau de hiperestaticidade para uma grelha sem um circuito fechado de barras e sem articulações No exemplo as únicas in cógnitas do problema do equilíbrio estático são as quatro componentes de reação de apoio Como só estão disponíveis as três equações globais de equilíbrio o grau de hiperestaticidade é g 1 VA VB X Y Z x MA y MA g 4 30 3 0 1 Figura 224 Exemplo de determinação do grau de hiperestaticidade de grelha É interessante observar que para grelhas não há distinção quanto ao número de componentes de reação entre os apoios do 1 e do 2 gênero O apoio do 1 gênero está associado a apenas uma componente de reação em qualquer situação quadros planos grelhas ou quadros espaciais O apoio do 2 gênero para um quadro plano apresenta duas componentes de reação para um quadro espacial apresenta três componentes e para grelhas apresenta apenas uma componente A direção da reação do apoio do 2 gênero para grelhas é a mesma da reação do apoio do 1 gê nero posto que em grelhas só existem reações força na direção Z 3 IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS Como discutido no Capítulo 1 a análise estrutural de estruturas reticuladas está fundamentada na concepção de um modelo matemático aqui chamado de modelo estrutural que adota hipóteses sobre o comportamento das barras No Capítulo 2 foram abordados conceitos básicos para a análise de estruturas reticuladas isto é estruturas cujos elementos estruturais podem ser considerados como barras peças estruturais que têm uma dimensão bem maior do que as outras duas Este capítulo resume os principais conceitos matemáticos envolvidos na idealiza ção do comportamento de barras no modelo estrutural adotado Esses conceitos são básicos para a análise de estruturas reticuladas e podem ser encontrados em vários livrostexto sobre o assunto O resumo aqui mostrado está baseado nos tra balhos dos seguintes autores Féodosiev 1977 Beer Johnston 1996 Timoshen ko Gere 1994 White et al 1976 e West 1989 Ao final deste capítulo é feita uma comparação entre o comportamento de estrutu ras isostáticas e hiperestáticas com base no modelo matemático adotado 31 Relações entre deslocamentos e deformações em barras Como visto na Seção 222 do Capítulo 2 o modelo estrutural tem como premissa uma condição de continuidade dos campos de deslocamentos e deformações no interior das barras Além disso esses dois campos têm que ser compatíveis entre si isto é os deslocamentos e deformações de uma barra devem estar associados Nos métodos de análise essa condição de continuidade é forçada quase que auto maticamente quando só se admitem deformações contínuas para as barras Esta seção resume as hipóteses básicas do modelo estrutural que garantem continuida de e compatibilidade entre deformações e deslocamentos no interior de uma barra O modelo estrutural adotado está baseado na Teoria de Vigas de Navier para bar ras submetidas à flexão acrescida da consideração de efeitos axiais provocados por esforços normais à seção transversal da barra O modelo também considera o efei to de torção para grelhas estruturas planas com cargas fora do plano e estruturas espaciais Além disso em geral não são consideradas deformações provocadas pelos esforços cortantes cisalhamento em barras Essa hipótese é comumente a dotada para flexão de barras longas barras cujo comprimento é muito maior do que a altura da seção transversal 50 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Outra hipótese simplificadora que está sendo adotada aqui é o desacoplamento dos efeitos axiais de cisalhamento de flexão e de torção Isto significa que esses efeitos podem ser considerados em separado e superpostos resultando nas mes mas respostas dos efeitos atuando em conjunto Essa hipótese é consistente com a hipótese de pequenos deslocamentos mencionada na Seção 24 do Capítulo 2 que também está sendo adotada Para definir as relações entre deslocamentos e deformações em uma barra é ado tado um sistema de coordenadas locais para a barra tal como indicado na Figura 31 dx x u y v y z Figura 31 Sistema de eixos locais de uma barra Na Figura 31 o eixo axial da barra x passa pelo centro de gravidade das seções transversais e os outros eixos são transversais à barra Em modelos de quadros planos o eixo y pertence ao plano da estrutura e o eixo z sai fora do plano Com base nesse sistema de coordenadas são definidos os deslocamentos e rotações que os pontos do eixo de uma barra de um pórtico plano podem ter ux deslocamento axial na direção de x vx deslocamento transversal na direção de y θx rotação da seção transversal por flexão em torno do eixo z No caso de grelhas ou pórticos espaciais também aparece ϕx rotação por torção em torno do eixo x Os deslocamentos axiais ux e transversais vx de uma barra definem uma curva chamada elástica Os sentidos positivos do deslocamento transversal vx positivo na direção do eixo local y e da rotação por flexão θx positiva no sentido anti horário estão indicados na Figura 32 onde a elástica está indicada pela linha tra cejada desenhada em uma escala ampliada exageradamente Considerando que os deslocamentos são pequenos podese aproximar a rotação da seção transversal pela tangente da elástica Dessa forma podese associar o deslocamento transver sal à rotação da seção transversal em uma equação que também é considerada uma equação de compatibilidade dx θ dv 31 Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 51 θ v Figura 32 Elástica de uma viga biapoiada com deslocamento transversal e rotação indicados com seus sentidos positivos 311 Deformações axiais As deformações normais à seção transversal da barra provocadas por esforços axi ais são chamadas de deformações axiais Esforços axiais são esforços cuja resultan te passa pelo centro de gravidade da seção transversal Portanto na deformação axial todos os pontos de uma seção transversal têm sempre os mesmos desloca mentos axiais Uma conseqüência disso é que as seções transversais de uma viga submetida a uma deformação axial permanecem planas ao se deformarem tal co mo indica a Figura 33 Essa condição garante a continuidade de deslocamentos no interior da viga dx du dx udu u Figura 33 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra A deformação axial é obtida com base no deslocamento axial relativo du entre du as seções que distam dx entre si veja a Figura 33 A deformação é igual à razão entre a variação de comprimento do elemento infinitesimal e o seu comprimento inicial dx du a εx 32 Nessa equação dx comprimento original de um elemento infinitesimal de barra du deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra a εx deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito axial 52 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 312 Deformações normais por flexão A Teoria de Vigas de Navier 17851836 está fundamentada em duas hipóteses básicas A primeira delas é a hipótese de manutenção das seções transversais planas quando a viga se deforma proposta originalmente por Jacob Bernoulli 16541705 A segunda hipótese despreza deformações provocadas por efeitos de cisalhamento esforços cortantes De acordo com essas hipóteses as seções transversais de uma viga que se deforma à flexão permanecem planas e normais ao eixo deformado da viga Observe que essa condição garante uma continuidade de deslocamentos no interior de uma barra que sofre flexão pois cada seção transversal permanece en caixada com as suas adjacentes A manutenção das seções transversais planas e normais ao eixo deformado da bar ra introduz uma condição de compatibilidade que relaciona deformações normais por flexão com a rotação da seção transversal Considere a rotação relativa por flexão dθ de um elemento infinitesimal de barra mostrada na Figura 34 dx y x dθ dx dθ Figura 34 Rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra Cada fibra do elemento infinitesimal é definida por uma coordenada y Quando se consideram pequenos deslocamentos o encurtamento de uma fibra genérica é d y θ A deformação normal por flexão é dada pela razão entre o encurtamento da fibra e o seu comprimento inicial dx dx y d f x θ ε 33 Nessa equação dθ rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 53 f εx deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito de flexão Na Equação 33 o sinal negativo aparece pois uma fibra superior y positivo sofre deformação por encurtamento negativa quando dθ é positiva antihorária O sinal da equação considera uma deformação positiva alongamento para uma fi bra inferior y negativo com dθ positiva Considerando a relação entre o deslocamento transversal vx e a rotação da seção transversal θx dada pela Equação 31 podese escrever y dx d v f x 2 2 ε 34 A Equação 34 é uma relação de compatibilidade entre o deslocamento transver sal de uma barra e as suas deformações normais por flexão 313 Distorções por efeito cortante O efeito cortante em uma barra também provoca o empenamento da seção trans versal tal como mostrado na Figura 35 e a distribuição de distorções de cisalha mento não é uniforme ao longo da seção dx dh h dx dh x c γ Figura 35 Deslocamento transversal relativo por efeito cortante em um elemento infinitesimal de barra Esse efeito é considerado aproximadamente ao se adotar uma distorção de cisa lhamento média na seção transversal Timoshenko Gere 1994 Féodosiev 1977 A distorção de cisalhamento por efeito cortante é representada de forma integral através do deslocamento transversal relativo veja a Figura 35 dx γ c dh 35 sendo que 54 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha γ c distorção de cisalhamento por efeito cortante efeito integral na seção transversal dh deslocamento transversal relativo em um elemento infinitesimal de barra Entretanto conforme dito anteriormente para barras usuais com comprimento muito maior do que a altura h da seção transversal as deflexões provocadas por efeitos cortantes são desprezadas na presença das deflexões provocadas por efeitos de flexão 314 Distorções por torção Uma barra submetida a uma solicitação de torção apresenta distorções de cisalha mento Féodosiev 1977 No caso de seções transversais com simetria radial círcu los ou anéis circulares tal como mostrado na Figura 36 as distorções são propor cionais ao raio r do ponto na seção não ocorrendo o empenamento da seção Ti moshenko Gere 1994 Isto é nesses casos é válida a hipótese de manutenção das seções planas x y dx dx dϕ t γ r dr Figura 36 Distorção por torção em um elemento infinitesimal de barra com seção circular A relação entre a rotação relativa por torção dϕ em um elemento infinitesimal de barra e a correspondente distorção de cisalhamento pode ser obtida observando na Figura 36 que ϕ γ r d t dx Dessa forma temse dx r d t ϕ γ 36 Nessa equação γ t distorção de cisalhamento por efeito de torção seção com simetria radial dϕ rotação relativa por torção de um elemento infinitesimal de barra r raio que define a posição de um ponto no interior da seção circular No caso de uma seção transversal que não apresenta uma simetria radial ocorre um empenamento quando a barra é solicitada à torção Nesse caso a distorção não depende somente do giro relativo entre seções mas também de efeitos locais Para Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 55 considerar a distorção por torção de forma integral no nível da seção transversal é feita uma aproximação considerandose ainda a manutenção das seções planas Féodosiev 1977 Isto vai ser visto na Seção 344 32 Relações diferenciais de equilíbrio em barras O modelo matemático adotado para a representação do comportamento de estru turas reticuladas considera que as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas para a estrutura como um todo para cada barra ou nó isolado ou para qualquer porção isolada na estrutura Isto inclui o equilíbrio de um elemento infinitesimal de barra Nesta seção são mostradas as equações que resultam do equilíbrio consi derado em um nível infinitesimal para uma barra Conforme mencionado anteri ormente esse modelo matemático está baseado na Teoria de Vigas de Navier para barras submetidas à flexão acrescida da consideração de efeitos axiais Para deduzir as relações de equilíbrio para um elemento infinitesimal de barra é necessário definir uma convenção para direções positivas de cargas distribuídas e esforços internos A convenção adotada neste livro está indicada na Figura 37 dx x y qx px dx M dM N dN Q dQ M Q N q O p Figura 37 Equilíbrio de um elemento infinitesimal de barra e direções positivas adotadas para cargas distribuídas e esforços internos Na Figura 37 as seguintes entidades são mostradas px taxa de carregamento distribuído longitudinal ao eixo da barra qx taxa de carregamento distribuído transversal ao eixo da barra Nx esforço normal esforço interno axial Qx esforço cortante esforço interno transversal Mx momento fletor esforço interno de flexão 56 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observase que os esforços normais são positivos quando são de tração saindo da seção transversal e os momentos fletores são positivos quando tracionam as fibras inferiores com y negativo O equilíbrio de forças no elemento infinitesimal nas direções horizontal e vertical considerando as direções positivas mostradas na Figura 37 resulta em 0 p x dx dN Fx 37 0 q x dx dQ Fy 38 O equilíbrio de momentos em relação ao ponto O dentro do elemento infinitesimal Figura 37 desprezando os termos de ordem superior fornece a seguinte relação 0 Q x dx dM MO 39 As Equações 38 e 39 podem ser combinadas resultando em uma relação de equilíbrio entre o momento fletor em uma seção e a taxa de carregamento transver sal distribuído 2 2 q x dx d M 310 33 Equilíbrio entre tensões e esforços internos A formulação geral do modelo matemático para o comportamento de barras tam bém considera relações de equilíbrio no nível da seção transversal da barra que associam tensões com esforços internos Foi visto nas Seções 311 e 312 que os efeitos axiais e de flexão provocam defor mações normais na direção longitudinal da barra Como conseqüência aparecem tensões normais longitudinais x σ devidas a esses dois efeitos tal como indica a Figura 38 x dx M N y z y dA σ x y a σ x f y σ x Seção transversal CG Figura 38 Decomposição das tensões normais longitudinais em parcelas devidas aos efeitos axial e de flexão Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 57 As tensões indicadas na Figura 38 são a σx tensão normal na direção longitudinal da barra devida ao efeito axial f σx tensão normal na direção longitudinal da barra devida ao efeito de flexão Essas tensões devem estar em equilíbrio com os esforço normal e momento fletor na seção transversal Isto é as resultantes das tensões normais longitudinais inte gradas ao longo da seção transversal devem ser iguais ao esforço normal e ao momento fletor na seção transversal Na Figura 38 é considerado um caso de flexão composta reta A flexão é composta quando é combinada com o efeito axial é reta quando ocorre em torno de um dos eixos principais da seção transversal no caso o eixo z tendo como conseqüência que cada fibra identificada por uma ordenada y tem um valor constante de tensão normal Também é mostrado na Figura 38 que as tensões normais longitudinais variam linearmente ao longo da altura da seção transversal Essa distribuição line ar se deve a dois fatores Primeiro conforme mostrado nas Seções 311 e 312 pe la hipótese da manutenção das seções planas as deformações normais longitudi nais variam linearmente ao longo da altura da seção O segundo fator é a conside ração de um comportamento linear para o material Pela Figura 38 vêse que para o efeito axial as tensões são constantes ao longo da seção transversal e para o efeito de flexão pura as tensões normais são nulas na fibra do centro de gravidade CG da seção Dessa forma as relações de equilíbrio entre as tensões normais longitudinais e o esforço normal e o momento fletor são A N dA N a x A a x σ σ 311 A f x y dA M σ 312 Na equação 311 temse A área da seção transversal O sinal negativo que aparece na Equação 312 se deve à convenção de sinais ado tada uma tensão normal positiva tração em uma fibra inferior y negativo pro voca um momento fletor positivo tal como mostrado na Figura 38 Analogamente as tensões cisalhantes devidas ao efeito cortante devem estar em equilíbrio com o esforço cortante As tensões cisalhantes nesse caso estão na dire ção do eixo transversal y Como mencionado na Seção 313 o efeito cortante é em geral desprezado para a determinação de deformações Quando é considerado isto é feito de uma forma aproximada considerando uma tensão cisalhante média ao longo da seção e uma área efetiva para cisalhamento Timoshenko Gere 1994 Féodosiev 1977 58 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha χ τ τ A Q dA Q m y A c y 313 sendo c τ y componente da tensão de cisalhamento pontual na direção y m τ y tensão de cisalhamento média por efeito cortante direção y χ fator de forma que define a área efetiva para cisalhamento O fator de forma χ considera a distribuição não uniforme de tensões de cisalha mento na seção transversal devida ao esforço cortante Esse fator tem valor 12 pa ra seções retangulares 109 para uma seção circular e aproximadamente 10 para uma grande variedade de perfis com forma I White et al 1976 Finalmente deve ser considerado o equilíbrio entre o momento torçor na seção transversal da barra e as correspondentes tensões de cisalhamento A Figura 39 mostra a convenção de sinais para o momento torçor a seta dupla indica um mo mento em torno do eixo x que é positivo quando saindo da seção transversal dx T T x y z r dA Seção transversal CG t τ Figura 39 Momento torçor em um elemento infinitesimal de barra e correspondente tensão de cisalhamento O efeito de torção como visto na Seção 314 provoca distorções de cisalhamento com correspondentes tensões cisalhantes Para o caso de seções com simetria radi al círculos e anéis as tensões cisalhantes por efeito de torção são tangenciais perpendiculares ao raio No caso geral entretanto a distribuição de tensões cisa lhantes por torção depende da forma da seção transversal O equilíbrio entre essas tensões e o momento torçor na seção transversal estabelece que o produto vetorial do vetor raio r pelo vetor tensão cisalhante t τ em um ponto da seção veja a Figura 39 integrado ao longo da seção deve ser igual ao momento torçor A t dA r T τ 314 sendo Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 59 T momento torçor esforço interno de torção r raio de um ponto distância ao centro de gravidade da seção transversal τ t tensão de cisalhamento pontual por efeito de torção 34 Deslocamentos relativos internos A seção anterior mostrou que os esforços internos esforço normal esforço cortan te momento fletor e momento torçor em uma seção transversal representam resul tantes de tensões internas integradas ao longo da seção O modelo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deformações tenham re presentações integrais no nível de seção transversal Essas representações têm um significado físico e são chamadas de deslocamentos relativos internos Na verdade os deslocamentos relativos internos já foram introduzidos na Seção 31 e são resumidos abaixo du deslocamento axial relativo interno em um elemento infinitesimal de barra Figura 33 dθ rotação relativa interna por flexão em um elemento infinitesimal de barra Figura 34 dh deslocamento transversal relativo interno em um elemento infinitesimal de barra figura 35 dϕ rotação relativa interna por torção em um elemento infinitesimal de barra Figura 36 Com base nas relações entre deformações e deslocamentos em barras Seção 31 nas relações das leis constitutivas do material Seção 223 e nas relações de equilí brio em tensões na seção transversal e esforços internos Seção 33 é possível esta belecer relações entre os deslocamentos relativos internos e os esforços internos 341 Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal Para o efeito axial usando as Equações 311 23 e 32 temse que o desloca mento relativo interno provocado por um esforço normal atuando em um elemen to infinitesimal de barra Figura 310 é igual a EA dx N du dx A E du A E A N a x a x ε σ 315 60 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha dx du N N EA dx N du Figura 310 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforço normal 342 Rotação relativa interna provocada por momento fletor Para o efeito de flexão usando as Equações 312 23 e 33 temse que a rotação relativa interna provocada por um momento fletor atuando em um elemento infi nitesimal de barra Figura 311 é igual a EI dx M d y dA dx y d E y dA E y dA M A A f x A f x θ θ ε σ 316 sendo A y dA I 2 momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo z dx dθ M M EI dx M d θ Figura 311 Rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra provocada por momento fletor Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 61 343 Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço cortante O deslocamento transversal relativo interno provocado por um esforço cortante Figura 312 é considerado de forma aproximada de acordo com as Equações 313 26 e 35 GA dx Q dh A dx G dh A G A Q c m y χ χ χ γ χ τ 317 dx Q Q GA dx Q dh χ dh Figura 312 Deslocamento transversal relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforço cortante 344 Rotação relativa interna provocada por momento torçor Para o efeito de torção no caso de seções transversais circulares ou anelares a rota ção relativa interna provocada por um momento torçor pode ser obtida com base nas Equações 314 26 e 36 dx GJ T d dx r rdA G d rdA G rdA T p A A t A t ϕ ϕ γ τ 318 sendo p A r dA J 2 momento polar de inércia da seção transversal circular ou anelar Para seções transversais sem simetria radial caso geral ocorre um empenamento da seção quando solicitada à torção Como dito na Seção 314 é feita uma aproxi mação de forma a considerar o efeito de torção de forma integral para a seção transversal Isto resulta em uma propriedade da seção transversal equivalente ao momento polar de inércia chamada de momento de inércia à torção que depende da forma da seção A rotação relativa interna provocada por um momento torçor em um elemento infinitesimal de barra Figura 313 considerando essa propriedade da seção transversal é 62 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha GJ dx T d t ϕ 319 sendo tJ momento de inércia à torção da seção transversal GJ dx T d t ϕ T dx T dϕ Figura 313 Rotação relativa interna por torção de um elemento infinitesimal de barra provocada por momento torçor Livrostexto da área definem as expressões para o momento de inércia à torção em função do tipo de seção transversal Podese citar por exemplo o livro de Süsse kind 19772 e o de Féodosiev 1977 35 Equação de Navier para o comportamento à flexão O comportamento de vigas à flexão foi formalizado no início do século 19 por Na vier As relações diferenciais de equilíbrio e compatibilidade mostradas neste capí tulo para o comportamento à flexão de vigas fazem parte dessa formalização a chamada Teoria de Vigas de Navier Essa teoria que despreza deformações devidas ao efeito cortante estabelece uma equação diferencial que relaciona os deslocamentos transversais vx de uma viga com a taxa de carregamento distribuído transversalmente qx Para se chegar nes sa equação primeiro é obtida uma relação entre o momento fletor na seção e a se gunda derivada do deslocamento transversal em relação a x Isto é deduzido utili zando as Equações 312 23 e 34 sendo Ix o momento de inércia da seção 2 2 2 2 EI x x M dx d v y dA y dx d v E y dA E y dA M A A f x A f x ε σ 320 Essa equação relaciona o momento fletor em uma seção transversal da viga com a curvatura da viga que pode ser aproximada por d2vdx2 no caso de pequenos des locamentos Timoshenko Gere 1994 White et al 1976 Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 63 Combinandose a Equação 320 com a Equação 310 chegase a 2 2 2 2 q x dx EI x d v dx d 321 No caso em que a barra é prismática momento de inércia I da seção transversal constante ao longo da barra temse EI x q dx d v 4 4 322 A Equação 321 ou a sua outra versão 322 para inércia constante é chamada de Equação de Navier Essa equação engloba no nível de um elemento infinitesimal de barra todas as condições que o modelo estrutural tem que atender A Equação 34 considera condições de compatibilidade a Equação 23 considera a lei consti tutiva do material a Equação 310 considera condições de equilíbrio entre carre gamento transversal distribuído esforço cortante e momento fletor e a Equação 312 considera o equilíbrio entre tensões normais e momento fletor Podese ainda considerar a relação que existe entre o deslocamento transversal e o esforço cortante em uma barra que é obtida pelas Equações 39 e 320 conside rando EI constante EI x Q dx d v 3 3 323 36 Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas Na Seção 25 do Capítulo 2 foi feita uma comparação entre o comportamento de estruturas isostáticas e hiperestáticas Nesta seção esse estudo é aprofundado para vigas isostáticas e vigas hiperestáticas com base na Equação de Navier Considere por exemplo as vigas isostáticas mostradas na Figura 314 A análise do equilíbrio de um elemento infinitesimal de barra resultou na Equação 310 que relaciona o momento fletor Mx em uma seção da barra com a taxa de carre gamento transversal distribuído qx Essa equação integrada duas vezes em rela ção a x ao longo da viga fornece 0 1 2 B B x q x dx M x 324 As constantes de integração B0 e B1 ficam definidas pelas condições de contorno em termos de forças ou momentos nas extremidades das vigas A viga biapoiada da Figura 314a tem duas condições de contorno conhecidas em momentos momen tos fletores nulos nas extremidades M0 0 e Ml 0 E a viga engastada e livre da Figura 314b tem uma condição de contorno em momento momento fletor nu 64 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha lo na extremidade livre e outra em força esforço cortante nulo na extremidade livre Ml 0 e Ql 0 a b qx qx x y x y l l M0 0 Ml 0 Ql 0 Ml 0 Figura 314 Duas vigas isostáticas e suas duas condições de contorno conhecidas em termos de forças ou momentos Como pela Equação 39 dMdx Qx podese concluir que as duas vigas isostá ticas da Figura 314 têm condições de contorno suficientes para a determinação das constantes de integração B0 e B1 Assim os momentos fletores e os esforços cortan tes ficam definidos nas vigas isostáticas utilizando somente condições de equilí brio No caso de vigas hiperestáticas tal como as mostradas na Figura 315 não existem duas condições de equilíbrio em forças ou momentos disponíveis para a determi nação das constantes B0 e B1 da Equação 324 Portanto utilizando somente equi líbrio não é possível resolver o problema a b qx qx x y x y l l v0 0 vl 0 θl 0 vl 0 θ0 0 Ml 0 v0 0 θ0 0 Figura 315 Duas vigas hiperestáticas e suas quatro condições de contorno conhecidas Entretanto como dito na Seção 23 do Capítulo 2 as condições de compatibilidade e leis constitutivas devem ser consideradas para resolver as vigas hiperestáticas Essas outras condições estão incluídas na Equação de Navier 322 Considerando que essas vigas têm módulo de elasticidade E e momento de inércia I da seção Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 65 transversal constantes a Equação de Navier integrada quatro vezes em relação a x ao longo da viga fornece 0 1 2 2 3 3 4 C C x C x C x EI dx q x v x 325 Considerando as Equações 31 e 320 observase que existem para as vigas da Figura 315 quatro condições de contorno em termos de deslocamentos transversais vx ou de uma de suas derivadas dvdx θx e d2vdx2 MxEI Portanto é possível determinar as quatro constantes de integração da Equação 325 Uma vez integrada essa equação e com o conhecimento das constantes de integração os esforços internos momentos fletores e esforços cortantes podem ser encontrados pelas Equações 320 e 323 Na verdade os métodos básicos da análise estrutural não resolvem vigas hiperes táticas dessa maneira que é relativamente complexa A indicação da solução dessa forma foi feita apenas para demonstrar que conforme mencionado na Seção 23 para resolver uma estrutura hiperestática é sempre necessário considerar além do equilíbrio as condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e a lei constitutiva do material 37 A essência da análise de estruturas reticuladas A seção anterior fez uma comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas sim ples apenas um vão com respeito às condições que o modelo estrutural tem que atender Esse estudo pode ser generalizado para quadros planos ou para qual quer estrutura reticulada o que é feito nesta seção Para tanto algumas defini ções baseadas no livro de White et al 1976 vão ser feitas a seguir Considere uma estrutura reticulada isostática ou hiperestática submetida a um conjunto de cargas F F sistema de forças externas solicitações e reações de apoio atuando sobre uma estrutura Essas forças externas geram um conjunto de forças internas f f esforços internos N M Q associados em equilíbrio com F As forças externas F e os esforços internos f formam um campo denominado F f campo de forças externas F e esforços internos f em equilíbrio O campo de forças F f caracteriza o comportamento de uma estrutura quanto às condições de equilíbrio Como visto no Capítulo 2 Seções 23 e 25 no caso de uma estrutura hiperestática para um dado sistema de forças externas F existem infinitas distribuições de esforços internos que satisfazem as condições de equilí 66 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha brio No caso de uma estrutura isostática só existe uma possível distribuição de esforços internos que satisfaz o equilíbrio Isto pode ser exemplificado para as estruturas mostradas na Figura 316 com base no que foi exposto na Seção 25 O sistema de forças externas F nessas estruturas é formado pela carga P aplicada e pelas correspondentes reações de apoio Os esfor ços internos são os correspondentes diagramas de esforço normal esforço cortante e momento fletor Na figura só estão mostrados diagramas de momentos fletores O quadro isostático da Figura 316a só tem um possível diagrama de momentos fletores que satisfaz as condições de equilíbrio Entretanto o quadro hiperestático da Figura 316b tem infinitos possíveis valores para as reações de apoio horizon tais H isto é existem infinitos diagramas de momentos fletores válidos satisfazen do o equilíbrio a b H H P P2 P2 Hh Hh Hh Hh Pb4 Hh M P P2 P2 Pb4 M Figura 316 Quadros isostático a e hiperestático b reações de apoio e diagramas de momentos fletores Podese resumir isso da seguinte maneira Uma estrutura estaticamente indeterminada tem infinitos campos de forças F f que satisfazem as condições de equilíbrio Uma estrutura estaticamente determinada só tem um possível campo de forças F f Por outro lado para caracterizar uma estrutura quanto às condições de compatibi lidade as seguintes entidades são definidas D campo de deslocamentos externos elástica de uma estrutura d campo de deslocamentos relativos internos du dθ dh compatíveis com D Os deslocamentos relativos internos d caracterizam as deformações internas de uma estrutura para um elemento infinitesimal de barra tal como indica a Seção 34 Os deslocamentos relativos internos podem ser interpretados como deformações internas generalizadas definidas no nível de seção transversal Os deslocamentos externos D e os deslocamentos relativos internos d formam um campo denominado Luiz Fernando Martha Idealização do Comportamento de Barras 67 D d configuração deformada com deslocamentos externos D e deslocamentos relativos internos d compatíveis Por definição para uma dada estrutura não existe nenhuma relação de causa efeito entre um campo de forças F f e uma configuração deformada D d Isto é forças e deslocamentos não estão associados As únicas restrições são F f tem que satisfazer equilíbrio e D d tem que satisfazer compatibilidade As estruturas em geral têm infinitas configurações deformadas D d válidas isto é que satisfazem as condições de compatibilidade Quando isto ocorre a configuração deformada é dita cinematicamente indeterminada Por exemplo a Figura 317 mostra configurações deformadas de um quadro isostá tico e de um quadro hiperestático Nos dois casos qualquer configuração defor mada que satisfaça as condições de compatibilidade com respeito aos vínculos ex ternos e às condições de continuidade interna é válida Não é difícil identificar que existem infinitas configurações deformadas válidas a b h b Deslocamentos relativos internos dua dθa dha h b Deslocamentos relativos internos dub dθb dhb Figura 317 Quadros isostático a e hiperestático b e configurações deformadas Não se deve confundir uma configuração deformada cinematicamente determina da com uma estrutura estaticamente determinada As configurações deformadas de estruturas isostáticas como a da Figura 317a são sempre cinematicamente in determinadas Existem casos particulares de estruturas que só têm uma configuração deformada D d possível Nesse caso a configuração deformada é dita cinematicamente deter minada Um exemplo desse tipo de configuração deformada é o Sistema Hiperge ométrico estrutura auxiliar utilizada na metodologia do Método dos Deslocamen tos mostrado na Seção 232 do Capítulo 2 Geralmente uma configuração defor mada cinematicamente determinada não corresponde a uma estrutura real mas a uma abstração sobre o comportamento de uma estrutura durante o processo de 68 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha análise como no caso de um Sistema Hipergeométrico isto será visto em detalhe no Capítulo 6 sobre o Método dos Deslocamentos Com base nas definições anteriores podese fazer a seguinte afirmação com respei to a uma estrutura hiperestática Uma estrutura hiperestática tem infinitos campos de forças F f que satisfa zem o equilíbrio e infinitas configurações deformadas D d que satisfazem a compatibilidade No entanto só existe uma solução para o problema é a quela que satisfaz simultaneamente equilíbrio e compatibilidade No caso de uma estrutura isostática como só existe um possível campo de forças F f que satisfaz o equilíbrio este também está associado a uma solução que satis faz a compatibilidade Podese fazer a seguinte afirmação sobre uma estrutura i sostática Uma estrutura isostática só tem um campo de forças F f que satisfaz o e quilíbrio e a correspondente configuração deformada D d satisfaz automa ticamente a compatibilidade Intuitivamente isto pode ser entendido se for considerado que uma estrutura isos tática tem o número exato de vínculos para ser estável Como visto na Seção 25 essa característica faz com que a estrutura isostática se acomode a modificações de posição de vínculos externos ou a mudanças de vínculos internos sem exercer ne nhuma resistência Assim sendo a estrutura isostática sempre satisfaz automati camente as condições de compatibilidade Os dois métodos básicos da análise estrutural foco principal deste livro diferem quanto à estratégia adotada para chegar à solução da estrutura que deve satisfazer simultaneamente condições de equilíbrio e condições de compatibilidade O Método das Forças também chamado de Método da Compatibilidade tem como estratégia procurar dentre todos os campos de forças F f que sa tisfazem o equilíbrio aquele que também faz com que a compatibilidade fi que satisfeita O Método dos Deslocamentos também chamado de Método do Equilíbrio tem como estratégia procurar dentre todas as configurações deformadas D d que satisfazem a compatibilidade aquela que também faz com que o equilíbrio fique satisfeito Podese observar que não faz sentido procurar a solução de uma estrutura isostáti ca pelo Método das Forças pois só existe um campo de forças F f válido Por outro lado o Método dos Deslocamentos resolve uma estrutura isostática da mesma maneira que resolve uma estrutura hiperestática pois em geral todas as estruturas são cinematicamente indeterminadas infinitas configurações deforma das válidas 4 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS Como visto no Capítulo 2 Seção 23 os métodos de análise de estruturas têm co mo metodologia a superposição de casos básicos No Método das Forças os casos básicos são soluções estaticamente determinadas isostáticas e no Método dos Des locamentos são soluções cinematicamente determinadas configurações deforma das conhecidas Essas soluções chamadas de soluções fundamentais formam a base da resolução dos métodos de análise Este capítulo apresenta algumas soluções fundamentais da análise de estruturas O objetivo aqui é dar subsídios para os métodos de análise tratados neste livro Resumidamente o que é necessário para a resolução de uma estrutura pelo Méto do das Forças é a determinação de deslocamentos e rotações em estruturas isostáti cas E para o Método dos Deslocamentos é necessária a determinação de forças e momentos que impõem uma configuração deformada conhecida para uma estrutu ra A dedução dessas soluções fundamentais é feita com base no Princípio dos Traba lhos Virtuais através de suas duas formulações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais Esta apresentação está fortemente calcada nos livros de White et al 1976 e Tauchert 1974 41 Traçado do diagrama de momentos fletores Conforme mencionado nos capítulos anteriores para o entendimento dos métodos de análise tratados neste livro é necessário um conhecimento adequado da resolu ção de estruturas estaticamente determinadas e do traçado de diagramas de esfor ços internos esforços axiais esforços cortantes momentos fletores e momentos torçores Duas boas referências para esses assuntos são os livros de Süssekind 19771 e Campanari 1985 Nesta seção apenas são salientados alguns aspectos importantes no traçado do diagrama de momentos fletores Primeiro o diagrama de momentos fletores não é indicado com sinal A convenção adotada é que o diagrama é traçado sempre do lado da fibra tracionada da barra Outro ponto importante é que esse traçado é feito convenientemente por superpo sição de efeitos em cada barra sempre partindo dos valores dos momentos fletores nas extremidades da barra Considere como exemplo a viga biapoiada com ba lanços mostrada na Figura 41 Nessa figura estão mostrados as cargas as reações de apoio e os diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores 70 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha kNm M kN Q Figura 41 Viga biapoiada com balanços kNm M kNm MI kNm MII Figura 42 Superposição de efeitos para compor o diagrama de momentos fletores da Figura 41 A Figura 42 ilustra a superposição que é utilizada para compor o diagrama de momentos fletores Considere a barra central entre apoios O diagrama final M nessa barra é obtido pela superposição de um diagrama reto MI que é o traçado que une os valores dos momentos fletores nas extremidades da barra com um dia grama parabólico MII que corresponde ao carregamento atuando no interior da Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 71 barra considerada como biapoiada O diagrama MI é sempre uma linha reta pois corresponde a uma situação em que a barra está descarregada Isso porque d2Mdx2 0 pela Equação 310 do Capítulo 3 com carregamento distribuído transversal nulo O procedimento de superposição de efeitos mostrado na Figura 42 é conhecido como pendurar o diagrama de viga biapoiada para o carregamento que atua no interior da barra Dessa forma o traçado do diagrama de momentos fletores em cada barra é feito em duas etapas Primeiro determinamse os momentos fletores nas extremi dades da barra Se a barra não tiver cargas transversais no seu interior o diagrama final é obtido simplesmente unindo os valores extremos por uma linha reta é o que acontece nos balanços da viga da Figura 41 Em um segundo passo se a bar ra tiver carregamento no seu interior o diagrama de viga biapoiada para o carre gamento é pendurado superposto transversalmente a partir da linha reta que une os valores extremos Esse procedimento também é aplicado para pórticos como o que está mostrado na Figura 43 Observase nessa figura que o traçado do diagrama de momentos fleto res na barra horizontal é feito da mesma maneira que para a barra central da viga da Figura 42 Depois de calculadas as reações de apoio determinamse os valores dos momentos fletores nos nós do pórtico Nesse caso os momentos fletores tra cionam as fibras de fora e por isso os diagramas nos nós são desenhados no lado externo do quadro esta é a convenção utilizada Notase também que os valores dos momentos fletores em cada nó são iguais para as barras adjacentes Este é sempre o caso quando se têm duas barras chegando em um nó e não existe uma carga momento concentrado atuando no nó Para as barras verticais que não têm carga no interior o diagrama final é reto Para a barra horizontal o diagrama é obtido pendurando a partir da linha reta a parábola do segundo grau que cor responde ao diagrama de viga biapoiada do carregamento uniformemente distri buído kNm M iguais iguais Figura 43 Traçado de diagrama de momentos fletores em um pórtico plano 72 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha A Figura 44 mostra diagramas de momentos fletores de viga biapoiada para car gas usuais carga uniformemente distribuída carga concentrada no centro da viga e carga concentrada em uma posição qualquer na viga ql28 q l Pl4 l2 l2 P a b Pabl P l 2 ql 2 ql 2 P 2 P l Pb l Pa Figura 44 Diagramas de momentos fletores para vigas biapoiadas Outro aspecto interessante é a obtenção do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fletores Esse procedimento é feito isolandose cada barra da estrutura tal como mostrado na Figura 45 para a barra horizontal do pór tico da Figura 43 A barra é considerada como uma viga biapoiada com cargas momentos aplicadas nas extremidades para representar o efeito do restante da es trutura sobre ela Os valores dos esforços cortantes nas extremidades das barras são determinados calculandose as reações de apoio da viga biapoiada por super posição de casos O caso I corresponde às cargas momentos nas extremidades da barra e o caso II ao carregamento atuando no interior da barra kNm M kN Q kNm MII kN QII kNm MI kN QI Figura 45 Traçado do diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama de momentos fletores O cálculo das reações de apoio esforços cortantes nas extremidades Vesq na es querda e Vdir na direita do exemplo da Figura 45 é mostrado abaixo Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 73 78 72 6 2 24 6 6 36 72 Vesq kN 66 72 6 2 24 6 6 36 72 Vdir kN Esse procedimento mostra a importância da obtenção do diagrama de momentos fletores pois isso possibilita a obtenção do diagrama de esforços cortantes Devese também ressaltar que embora os exemplos utilizados nesta seção tenham sido isostáticos os mesmos procedimentos se aplicam para estruturas hiperestáti cas Dessa forma uma vez que se tenham determinado os valores dos momentos fletores nas extremidades de qualquer barra e que se conheça o carregamento atu ando no seu interior podemse traçar os diagramas de momentos fletores e de es forços cortantes na barra O traçado de diagramas de momentos fletores é muito importante também dentro da metodologia do Método das Forças Conforme será visto na Seção 431 esses diagramas são utilizados nos cálculos de deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas que correspondem a soluções fundamentais utilizadas por esse método 42 Energia de deformação e princípio da conservação de energia O princípio geral da conservação de energia é muito importante em vários méto dos da análise de estruturas Esse princípio que é expresso como um balanço de energia ou trabalho se aplica tanto para estruturas rígidas quanto deformáveis Quando uma estrutura rígida em equilíbrio é submetida a um campo de desloca mentos arbitrário a soma algébrica do trabalho produzido por todas as forças apli cadas pelos respectivos deslocamentos deve resultar em um valor nulo Em estru turas deformáveis existe um termo adicional de energia devido ao trabalho pro duzido pelas tensões internas com as correspondentes deformações A integral dessa componente pontual infinitesimal de trabalho ao longo do volume da es trutura é denominada energia de deformação interna e deve ser levada em conta no balanço de energia Uma estrutura deformável deve ser vista como um sistema elástico tal como uma mola linear A diferença é que uma estrutura é um sistema elástico contínuo no qual cada ponto armazena uma parcela da energia total de deformação A Figura 46 mostra um elemento infinitesimal de volume de uma estrutura sub metido a uma deformação normal na direção x A energia de deformação por uni dade de volume U0 armazenada nesse elemento é a área abaixo da curva tensão deformação tal como indicado na figura No caso do material com comportamen to linear a relação tensãodeformação é dada pela Equação 23 do Capítulo 2 e a energia de deformação por unidade de volume tem a seguinte expressão 74 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha x x x d x U ε σ ε σ 2 1 0 41 dx dy dz x y z x dx ε σx x σ x σ x ε E 1 0 U Figura 46 Elemento infinitesimal de volume submetido a uma deformação normal A energia de deformação por unidade de volume pode ser generalizada para as outras componentes de deformação No caso de uma barra de um pórtico plano a energia de deformação por unidade de volume é composta por veja a definição das deformações e das tensões na Seção 31 do Capítulo 3 c c y f x f x a x a x c f a U U U U γ τ ε σ ε σ 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 42 Sendo a x a x Ua ε 2 σ 1 0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito axial f x f x U f ε 2 σ 1 0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito de flexão c c y Uc γ 2τ 1 0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito cortante No caso de grelhas e quadros espaciais o efeito de torção também deve ser consi derado Para uma seção com simetria radial temse t t Ut γ 2τ 1 0 energia de deformação por unidade de volume para o efeito de torção Para seções sem simetria radial a energia de deformação é computada de uma forma integral ao longo de uma seção transversal como será mostrado adiante A energia de deformação interna total é obtida pela integração da energia U0 ao longo de todo o volume da estrutura Para pórticos planos temse V c c y V f x f x V a x a x V dV dV dV dV U U γ σ ε σ ε σ 2 1 2 1 2 1 0 43 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 75 No modelo matemático de estruturas reticuladas as barras são representadas pelos eixos que passam pelos centros de gravidade das seções transversais Nesse mode lo a energia de deformação também tem uma representação integral no nível de seção transversal resultando em uma energia de deformação por unidade de com primento de barra A obtenção das expressões dessa energia é feita separando a integral de volume da Equação 43 em uma integral de área ao longo da seção transversal e uma integral de linha ao longo do comprimento das barras estrutura c estrutura f estrutura a estrutura A c A f A a dU dU dU dx U dA U dA U dA U 0 0 0 44 Sendo U energia de deformação elástica total armazenada na estrutura dUa energia de deformação para o efeito axial armazenada em um elemento infinitesimal de barra dU f energia de deformação para o efeito de flexão armazenada em um elemento infinitesimal de barra dUc energia de deformação para o efeito cortante armazenada em um elemento infinitesimal de barra A expressão para a dU é obtida com base nas Equações 32 e 311 do Capítulo 3 N du dx dA dx du dU A a x a 2 1 2 1 σ 45 sendo N o esforço normal na seção transversal e du o deslocamento axial relativo interno dado pela Equação 315 veja a Figura 310 A expressão para f dU é obtida com base nas Equações 33 e 312 θ θ σ M d dA dx dx y d dU A f x f 2 1 2 1 46 sendo M o momento fletor na seção transversal e dθ a rotação relativa interna por flexão dada pela Equação 316 veja a Figura 311 A expressão para c dU é obtida com base nas Equações 35 e 313 Q dh dx dA dx dh dU A c y c 2 1 2 1 τ 47 sendo Q o esforço cortante na seção transversal e dh o deslocamento transversal relativo interno dado pela Equação 317 veja a Figura 312 76 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha No caso de grelhas e pórticos espaciais o efeito de torção deve ser considerado dUt energia de deformação para o efeito de torção armazenada em um elemento infinitesimal de barra A expressão para t dU para seções transversais com simetria radial é obtida com base nas Equações 36 e 318 Para uma seção genérica sem simetria radial t dU é obtida de forma integral na seção transversal consulte a Seção 344 resultando em T dϕ dUt 2 1 48 sendo T o momento torçor na seção transversal e dϕ a rotação relativa interna por torção dada pela Equação 319 veja a Figura 313 A energia de deformação interna U é utilizada no princípio geral da conservação de energia A aplicação desse princípio no contexto da análise estrutural tratada neste livro requer a definição das seguintes premissas O carregamento é aplicado lentamente de tal forma que não provoca vibra ções na estrutura não existe energia cinética O único tipo de energia armazenada pela estrutura é a energia de deforma ção elástica não existindo perda de energia na forma de calor ruído etc A estrutura tem um comportamento linearelástico isto é o material da es trutura trabalha em um regime elástico e linear não existe plastificação em nenhum ponto e os deslocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se escrever as equações de equilíbrio na configuração indeformada da estrutura Considerando essas hipóteses o princípio da conservação de energia se reduz a WE U 49 sendo WE trabalho realizado pelas forças externas quando a estrutura se deforma Isto é o trabalho mecânico realizado pelas cargas aplicadas em uma estrutura é igual à energia de deformação interna armazenada na estrutura Se as cargas fo rem removidas lentamente o trabalho mecânico vai ser recomposto da mesma forma que ocorre na compressão e descompressão de uma mola A aplicação direta desse princípio é ilustrada abaixo na determinação do desloca mento no ponto central da viga mostrada na Figura 47 submetida a uma força vertical P1 aplicada no meio do vão Desejase calcular o deslocamento vertical D1 no ponto de aplicação da carga É desprezada a energia de deformação por cisa Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 77 lhamento em presença da energia de deformação por flexão O diagrama de mo mentos fletores da viga para esse carregamento também está mostrado na figura O trabalho realizado pela força externa é a área abaixo da curva que relaciona a carga com o deslocamento do seu ponto de aplicação tal como indicado na Figura 47 As reações de apoio da viga que também são forças externas não produzem trabalho pois os deslocamentos correspondentes são nulos restrições de apoio E W P D l2 l2 P1 2 P 2 P D1 P1 D1 P1l4 l2 l2 x Mx Figura 47 Viga biapoiada com uma carga central Portanto considerando um comportamento linear para a estrutura o trabalho total das forças externas para esse exemplo é 1 2 1 1 D P WE Como não existem esforços axiais nessa estrutura e a energia de deformação por cisalhamento é desprezada a energia de deformação elástica é função apenas do efeito de flexão Considerando as Equações 44 46 e 316 temse l l l estrutura f EI dx M EI dx M M M d dU U 0 2 0 0 2 1 2 1 2 1 θ Igualando o trabalho externo com a energia de deformação interna chegase a l EI dx M D P 0 2 1 1 2 1 2 1 Finalmente o deslocamento vertical do ponto central é dado por EI l P D EI dx M P D l 48 1 3 1 1 0 2 1 1 Observase que a utilização do princípio da conservação de energia possibilitou o cálculo do deslocamento vertical do ponto central dessa viga Entretanto este princípio não permite o cálculo de deslocamento de uma forma genérica Conside re por exemplo que se deseja aplicar uma outra carga na estrutura ou determinar o deslocamento em outro ponto Nesses casos o princípio da conservação de e nergia não fornece meios para o cálculo desejado Isso porque uma única equação 78 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha WE U não é suficiente para a determinação de mais de um deslocamento desco nhecido A solução para isso é a generalização desse princípio para o Princípio dos Trabalhos Virtuais conforme vai ser mostrado na seção a seguir 43 Princípio dos trabalhos virtuais O princípio da conservação de energia é bastante intuitivo mas tem uma aplicação muito limitada para o cálculo de deslocamentos em estruturas Basicamente como visto na seção anterior este princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada e o deslocamento calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força Analogamente também é possível calcular a rotação na direção de um momento concentrado aplicado Esse princípio pode ter seu enfoque modificado de forma a eliminar as limitações notadas acima Considere um sistema de forças FA fA em equilíbrio e uma confi guração deformada DB dB compatível tal como definidos na Seção 37 do Capítu lo 3 Isto é FA é um sistema de forças externas solicitações e reações de apoio a tuando sobre uma estrutura fA são esforços internos NA MA QA em equilíbrio com FA DB é um campo de deslocamentos externos elástica de uma estrutura e dB é um campo de deslocamentos relativos internos duB dθB dhB compatíveis com DB A generalização que é feita em relação ao princípio de conservação de energia é que agora não existe qualquer ligação entre o sistema de forças e a configuração deformada a não ser que atuam em uma mesma estrutura Isto é não existe rela ção causaefeito entre FA fA e DB dB O balanço entre o trabalho externo e a e nergia de deformação interna combinando esses dois sistemas independentes re sulta no Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV em equilíbrio B A B A E d f D F U W compatíveis 410 Sendo B A E D F W trabalho virtual das forças externas FA com os correspondentes deslocamentos externos DB fA dB U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutu ra combinando os esforços internos fA com os correspondentes deslocamentos relativos internos dB No caso de pórticos planos a energia de deformação interna virtual pode ser des membrada em parcelas que consideram os efeitos axial de flexão e cortante Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 79 B A B A B A dh Q d M du N U θ 411 Devese salientar que nas Equações 410 e 411 o termo ½ não aparece nem na expressão do trabalho externo virtual nem na expressão da energia de deformação interna virtual Esse termo aparecia nas expressões do princípio da conservação de energia mostrado na Seção 42 porque forças e deslocamentos estavam associados causa e efeito No trabalho externo virtual as forças não são a causa ou efeito dos deslocamentos assim como na energia interna virtual os esforços internos não são a causa ou efeito dos deslocamentos relativos internos Devido justamente a essa independência entre forças e deslocamentos o termo virtual se aplica Em outras palavras o trabalho E W e a energia de deformação U são ditos virtuais porque eles são meras abstrações de cálculo O PTV só é válido se o sistema de forças FA fA realmente satisfizer as condições de equilíbrio e se a configuração deformada DB dB realmente satisfizer as condi ções de compatibilidade Portanto esse princípio pode ser utilizado para impor condições de compatibilida de a uma configuração deformada D d qualquer Basta que se escolha arbitrari amente um sistema de forças F f denominado virtual do qual se saiba que sa tisfaz as condições de equilíbrio Esta versão do PTV é chamada de Princípio das Forças Virtuais e vai ser apresentada na próxima seção De maneira análoga o PTV pode ser utilizado para impor condições de equilíbrio a um sistema de forças F f qualquer Basta que se escolha arbitrariamente uma configuração deformada D d denominada virtual da qual se saiba que satisfaz as condições de compatibilidade Esta versão do PTV é chamada de Princípio dos Deslocamentos Virtuais e será apresentada na Seção 432 431 Princípio das forças virtuais Em muitas situações na análise de estruturas é necessário impor condições de compatibilidade a uma configuração deformada Por exemplo quando se calcula uma componente de deslocamento em um ponto de uma estrutura o que se deseja é o valor do deslocamento que é compatível com a configuração deformada da es trutura que é provocada por alguma solicitação No contexto deste livro o cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas é a principal solução fundamental utili zada dentro da metodologia do Método das Forças tal como introduzido na Seção 231 do Capítulo 2 O Princípio das Forças Virtuais PFV é uma das principais ferramentas para a de terminação de deslocamentos em estruturas Esse princípio diz que 80 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Dada uma configuração deformada real D d e um sistema de forças F f arbitrário virtual em equilíbrio a igualdade WE U estabelece uma condi ção de compatibilidade para a configuração deformada real Sendo que F D WE trabalho das forças externas virtuais F com os correspondentes deslocamentos externos reais D f d U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutu ra combinando os esforços internos virtuais f com os corresponden tes deslocamentos relativos internos reais d O PFV utiliza um sistema auxiliar chamado sistema virtual que é completamente independente do sistema real sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou rotação ou estabelecer uma condição de compatibilidade O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura mas com cargas diferentes As cargas do sistema virtual são compostas de uma força ou momento escolhida ar bitrariamente na direção do deslocamento ou rotação que se deseja calcular e de suas correspondentes reações de apoio As cargas do sistema virtual não existem na realidade por isso são ditas virtuais e são meras abstrações para cálculo Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 48 com uma carga concentrada P1 no centro sistema real Desejase determinar o valor do deslocamento D2 em um ponto qualquer definido por uma distância a ao apoio da esquerda O sistema vir tual é definido arbitrariamente com um força 2 P aplicada nesse ponto e com a mesma direção do deslocamento Nessa figura estão indicados os diagramas de momentos fletores M e M dos sistemas real e virtual l2 l2 P1 2 P 2 P D1 P1l4 x D2 x a b l l b P2 a b 2 P x M Sistema Real Sistema Virtual l b P2 ab l P2 Mx Figura 48 Cálculo de deslocamento genérico em viga biapoiada com uma carga central O PFV aplicado à viga da Figura 48 resulta em desprezando deformações prove nientes do efeito cortante Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 81 l E M d D P U W 0 2 2 θ sendo dθ a rotação relativa interna do sistema real Pela Equação 316 temse l dx EI x M x M P D 0 2 2 1 Portanto o PFV permite o cálculo de deslocamentos e rotações de forma generali zada As cargas da estrutura real podem ser quaisquer e podemse calcular deslo camentos e rotações em qualquer ponto e em qualquer direção Nesse exemplo a magnitude da força virtual 2 P é irrelevante haja vista que o va lor dessa força vai se cancelar na expressão acima pois o diagrama de momentos fletores virtuais M é uma função linear de 2 P Entretanto usualmente adotase um valor unitário para a carga virtual Observase que a aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham à flexão resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos fletores nos sistemas real e virtual A Tabela 41 mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em uma barra Tabela 41 Combinação de diagramas de momentos fletores em barra l MMdx 0 l MB C M D M B M l C M B M l C M l MA l B M l C M l MA M l M A A M l M A B 2 1 M l M A C 2 1 l MB M l M B A 2 1 M l M B B 3 1 M l M B C 6 1 l C M M l M C A 2 1 M l M C B 6 1 M l M C C 3 1 l D M M l M D A 3 2 M l M D B 3 1 M l M D C 3 1 82 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico de um pon to de um pórtico plano é obtida das Equações 410 e 411 estrutura estrutura estrutura E Q dh M d N du P U W θ 1 412 Em que deslocamento genérico a ser calculado no sistema real du deslocamento axial relativo interno no sistema real dθ rotação relativa interna por flexão no sistema real dh deslocamento transversal relativo interno no sistema real P carga virtual genérica associada ao deslocamento a ser calculado N esforço normal no sistema virtual provocado por P M momento fletor no sistema virtual provocado por P Q esforço cortante no sistema virtual provocado por P No caso de uma grelha estrutura plana com cargas fora do plano o efeito de tor ção também deve ser considerado resultando na seguinte expressão para o cálculo de um deslocamento genérico pelo PFV estrutura estrutura estrutura E Q dh T d M d P U W ϕ θ 1 413 Sendo dϕ rotação relativa interna por torção no sistema real T momento torçor no sistema virtual provocado por P A Tabela 42 mostra alguns tipos de cargas virtuais utilizadas dentro do contexto do PFV para calcular deslocamentos e rotações em pontos de um pórtico plano As cargas virtuais mostradas nessa tabela são utilizadas dentro da metodologia de cálculo do Método das Forças para determinar deslocamentos ou rotações nas di reções de vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas Como visto na Seção 231 do Capítulo 2 o Método das Forças utiliza uma estrutura auxiliar isostática chamada Sistema Principal que é obtida da estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos Esses vínculos podem ser impedimentos de apoio ou vín culos de continuidade interna e os deslocamentos e rotações são sempre calcula dos nas direções dos vínculos eliminados O próximo capítulo aborda essa meto dologia em detalhes Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 83 Tabela 42 Cargas virtuais utilizadas para calcular deslocamentos e rotações em vínculos eliminados de estruturas hiperestáticas Vínculo eliminado Deslocamento ou rotação associadoa Carga virtual Impedimento horizontal de apoio Deslocamento horizontal do ponto do vínculo eliminado 1 P Impedimento vertical de apoio Deslocamento vertical do ponto do vínculo eliminado P 1 Impedimento de rotação de apoio Rotação da seção do vínculo eliminado 1 M Continuidade de rotação da elástica Rotação relativa entre seções adja centes à rótula introduzida M 1 1 M Deslocamento hori zontal relativo na seção de corte P 1 1 P Continuidade de deslocamentos e rotação da elástica Deslocamento vertical relativo na seção de corte 1 P P 1 Rotação relativa na seção de corte M 1 1 M 84 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Os deslocamentos relativos internos no sistema real dependem da solicitação ex terna que atua sobre a estrutura Os deslocamentos relativos internos foram defi nidos na Seção 34 do Capítulo 3 para o caso de solicitações de carregamentos ex ternos Entretanto existem outros tipos de solicitações que também provocam de formações em estruturas As seções a seguir mostram aplicações do PFV para o cálculo de deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas devidos a diferentes tipos de solicitações carre gamento externo variação de temperatura e recalque de apoio Na seqüência tam bém é mostrada uma aplicação do PFV para a verificação do atendimento a condi ções de compatibilidade de estruturas hiperestáticas 4311 Deslocamentos provocados por carregamento externo As solicitações externas mais comuns em uma estrutura são carregamentos aplica dos tais como peso próprio cargas de ocupação cargas móveis cargas de vento etc A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a solicitações desse tipo em um quadro plano é obtida substituindo as Equações 315 316 e 317 dos deslocamentos relativos internos reais na Equação 412 estrutura estrutura estrutura GA dx Q Q dx EI M M EA dx N N P χ 1 414 Sendo N esforço normal no sistema real provocado pelo carregamento externo M momento fletor no sistema real provocado pelo carregamento externo Q esforço cortante no sistema real provocado pelo carregamento externo No caso de uma grelha utilizando a Equação 319 a expressão do PFV resulta em estrutura estrutura t estrutura GA dx Q Q GJ dx T T dx EI M M P χ 1 415 Sendo T momento torçor no sistema real provocado pelo carregamento externo A última integral que considera o efeito de cisalhamento cortante nas Equações 414 e 415 tem valor pequeno em comparação com os outros termos no caso de barras longas altura da seção transversal menor que aproximadamente ¼ do vão da barra Nesse caso a integral é desprezada Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 85 A estrutura da Figura 43 vai ser utilizada para exemplificar o cálculo de desloca mento em um pórtico plano Considere que se deseja calcular o deslocamento ho rizontal do apoio da direita A Figura 49 mostra os sistemas real e virtual utiliza dos com a configuração deformada real onde o deslocamento desejado está indicado e o diagrama de momentos fletores virtual M O diagrama de momen tos fletores real M está indicado na Figura 43 O material adotado é um aço com módulo de elasticidade E 205108 kNm2 Para as colunas é adotada a seção transversal CS 200x523 com área Ac 67103 m2 e momento de inércia Ic 48105 m4 A seção transversal da viga é a VS 300x430 com área Av 55103 m2 e mo mento de inércia Iv 88105 m4 Sistema Real Sistema Virtual P M Figura 49 Cálculo de deslocamento devido a um carregamento externo pelo PFV A energia de deformação interna virtual para o cálculo do deslocamento da estru tura da Figura 49 é composta de duas parcelas uma provocada pelos efeitos axiais e outra pelos efeitos de flexão O cálculo da parcela associada aos efeitos axiais é mostrado abaixo sendo que a integral ao longo da estrutura é decomposta em um somatório de integrais ao longo das três barras barra barras barras barra estrutura l EA N N EA dx N N EA dx N N 416 Nessa expressão os esforços normais reais N e virtuais N são obtidos diretamen te das reações de apoio indicados na Figura 49 e l é o comprimento de uma barra Dessa forma temse 13 66 2 13 78 4 1 18 6 c c v estrutura EA EA EA EA dx N N 417 86 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O cálculo da parcela de energia de deformação virtual por flexão também é de composto em um somatório de integrais computadas em cada barra barras barra estrutura dx EI M M dx EI M M 418 A integral ao longo de cada barra na Equação 418 é calculada com base na Tabela 41 O cálculo para a viga é explicado na Figura 410 O diagrama de momentos fletores real é desmembrado em dois triângulos e uma parábola com máximo no centro e o diagrama de momentos fletores virtuais é desmembrado em dois triân gulos Com base na Tabela 41 essas parcelas são combinadas em separado para avaliar a integral Esse exemplo ilustra a utilização da tabela de combinação de diagrama de momentos Observase que os sinais da integral são positivos quando as parcelas dos diagramas tracionam fibras do mesmo lado da barra e são negati vos quando tracionam fibras opostas 3 4 72 6 1 6 0 MMdx M M 6 4 36 6 1 6 0 MMdx 3 4 108 6 1 6 0 MMdx 6 2 72 6 1 6 0 MMdx 3 2 36 6 1 6 0 MMdx 3 2 108 6 1 6 0 MMdx Figura 410 Combinação de diagramas de momentos fletores real e virtual para a viga da estrutura da Figura 49 As parcelas de contribuição para a energia de deformação virtual por flexão indi cadas na Figura 410 são somadas às parcelas de contribuição das colunas resul tando em Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 87 4 108 6 3 1 4 36 6 6 1 4 72 6 3 1 v v v estrutura EI EI EI dx EI M M 2 36 2 3 1 4 72 4 3 1 2 108 6 3 1 2 36 6 3 1 2 72 6 6 1 c c v v v EI EI EI EI EI 419 Com base nas Equações 414 417 e 419 e nos valores dos parâmetros E Av Iv Ac e Ic o deslocamento desejado da estrutura da Figura 49 pode ser calculado 2 2 4 281 10 279 10 1 40 10 1 estrutura estrutura dx EI M M EA dx N N P m O sinal negativo do deslocamento calculado significa que o seu sentido da direita para a esquerda é contrário ao sentido da carga virtual P aplicada Observase que a contribuição da parcela de energia de deformação devida ao efei to axial 140104 m é muito menor em módulo do que a contribuição da parcela devida ao efeito de flexão 279102 m Isto é usual para pórticos que trabalham à flexão e em geral no cálculo manual a contribuição da energia de deformação axi al é desprezada Devese ressaltar que as cargas dimensões e parâmetros de mate rial e seções transversais adotados para esse exemplo são realistas 4312 Deslocamentos provocados por variação de temperatura Como visto na Seção 25 do Capítulo 2 variações de temperatura não provocam esforços em uma estrutura isostática Isto porque a estrutura isostática tem o nú mero exato de vínculos para ser estável e portanto sempre se ajusta a pequenas modificações no comprimento dilatação ou encurtamento de suas barras provo cados por variações de temperatura Em outras palavras podese imaginar que uma estrutura isostática não oferece resistência para acomodar uma barra que so freu uma pequena modificação em seu comprimento devido a uma variação de temperatura já que a estrutura isostática sem aquela barra se configura em um me canismo Isto significa que a variação de temperatura provoca deslocamentos sem que apareçam esforços em uma estrutura isostática Entretanto variações de temperatura em estruturas hiperestáticas provocam de formações e esforços internos na estrutura Muitas vezes essas solicitações são de grande importância em estruturas hiperestáticas Os efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas serão conside rados no próximo capítulo Esta seção mostra como se aplica o Princípio das For ças Virtuais para o cálculo de deslocamentos provocados por variação de tempera tura em uma estrutura isostática 88 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para se aplicar o PFV é necessário determinar os deslocamentos relativos internos devidos à variação de temperatura real duT deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura dθT rotação relativa interna por flexão devido à variação de temperatura dhT deslocamento transversal relativo interno devido à variação de tempera tura Considere inicialmente um exemplo simples de uma viga biapoiada que sofre um aquecimento uniforme de temperatura T C tal como indicado na Figura 411 O material tem um coeficiente de dilatação térmica α C l T l du l T α 0 T C x y dx dx u u duT T dx duT α Figura 411 Viga biapoiada com variação uniforme de temperatura Nesse caso a variação de comprimento de um elemento infinitesimal de barra de comprimento inicial dx é T dx duT α Agora considere o caso de uma viga que sofre um aquecimento T C nas fibras inferiores e um resfriamento T C nas fibras superiores tal como indicado na Figura 412 A viga tem uma seção transversal tal que o centro de gravidade por onde passa o eixo longitudinal x se situa no meio da altura h da seção Para pe quenos deslocamentos um ângulo em radianos pode ser aproximado à sua tangen te Portanto com base na Figura 412 a rotação relativa interna por flexão devido a essa variação transversal de temperatura é dx h T d T α 2 θ Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 89 l α T dx x y T C T C dx x dx h2 h2 dθ T h T dx d T α θ 2 T dx α alongamento da fibra inferior encurtamento da fibra superior T T Figura 412 Viga biapoiada com variação transversal de temperatura No caso geral indicado na Figura 413 as fibras superiores e inferiores da barra sofrem variações diferentes de temperatura e o centro de gravidade se situa em uma posição qualquer ao longo da altura da seção transversal definida pela sua distância y em relação à base da seção Para a definição dos deslocamentos relati vos internos devidos a uma variação genérica de temperatura as seguintes hipóte ses serão adotadas Não existe deslocamento transversal relativo devido à variação de tempera tura 0 dhT A temperatura varia linearmente ao longo da altura da seção transversal da fibra inferior para a superior A variação de temperatura da fibra inferior é Ti e a da fibra superior é Ts A conseqüência desta hipótese é que a seção transversal da barra vai permanecer plana com a variação de temperatura considerando um material homogêneo O deslocamento axial relativo interno devido à variação de temperatura duT corresponde ao alongamento ou encurtamento da fibra que passa pelo centro de gravidade da seção transversal A variação de temperatura nessa fibra TCG é obtida por interpolação linear de Ti e Ts Com base na Figura 413 os deslocamentos relativos internos para uma variação genérica de temperatura são dx T du CG T α 420 dx h T T d s i T α θ 421 90 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Ti dx α y dx x h dx h T T d s i T α θ Ts dx α alongamento da fibra inferior alongamento da fibra superior dx T du CG T α y Ts Ti Figura 413 Deformação de um elemento infinitesimal de barra por variação de temperatura O sinal da rotação relativa interna da Equação 421 depende dos valores de Ti e Ts Conforme está indicando na Figura 413 quando Ti é maior que Ts no sentido algébrico dθT tem o sentido antihorário e é convencionada positiva O sinal vai ser negativo quando a rotação for no sentido horário A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a uma variação de temperatura genérica em um quadro plano é obtida substituindo as Equações 420 e 421 dos deslocamentos relativos internos reais com dhT 0 na Equação 412 estrutura s i estrutura CG dx h T T M dx T N P α α 1 422 Sendo α coeficiente de dilatação térmica do material h altura da seção transversal de uma barra iT variação de temperatura na fibra inferior de uma barra Ts variação de temperatura na fibra superior de uma barra TCG variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra As integrais ao longo da estrutura da Equação 422 são decompostas em um so matório de integrais ao longo das barras Considerando que as barras são prismá ticas e que a variação de temperatura nas fibras superiores e inferiores de cada bar ra é uniforme essa equação pode ser simplificada para Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 91 barras barras barra s i barra CG M dx h T T N dx T P α α 1 423 Observase na Equação 423 que as integrais que aparecem correspondem às á reas dos diagramas de esforço normal e momento fletor do sistema virtual calcula das em cada barra Para exemplificar o cálculo de deslocamento pelo PFV devido a uma variação de temperatura a mesma estrutura das Figuras 43 e 49 vai ser utilizada Considere que a estrutura sofre um aquecimento interno de 20C tal como indicado na Figura 414 e que também se deseja calcular o deslocamento horizontal do apoio da direi ta Portanto o mesmo sistema virtual adotado na Figura 49 será adotado aqui O material tem um coeficiente de dilatação térmica α 0000012C A altura da se ção transversal das colunas é hc 020 m e a altura da seção transversal da viga é hv 030 m Tanto para a viga quanto para as colunas o centro de gravidade da seção transversal se situa no meio da altura Sistema Real Sistema Virtual P M Figura 414 Cálculo de deslocamento devido a uma variação de temperatura pelo PFV Os esforços normais virtuais nas barras do exemplo da Figura 414 são obtidos a partir das reações de apoio indicadas na figura sendo que a viga tem N 1 a coluna da esquerda tem N 13 e a coluna da direita tem N 13 A aplica ção da Equação 423 para o cálculo do deslocamento desse exemplo resulta em 3 2 3 4 6 CG CG CG T T T α α α 2 8 18 c s i c s i v s i h T T h T T h T T α α α 424 Adotouse como convenção que os sinais dos momentos fletores são positivos quando tracionam as fibras interiores do quadro resultando em áreas positivas 92 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Para o cálculo do deslocamento pela Equação 424 as fibras interiores do quadro estão sendo consideradas como fibras inferiores das barras Portanto Ti 20C Ts 0C e TCG 10C Utilizando hv 030 m e hc 020 m na Equação 424 re sulta no deslocamento horizontal do apoio da direita 2 2 2 2 72 10 2 64 10 0 08 10 m O sinal positivo indica que o deslocamento é da esquerda para a direita pois este foi o sentido da carga virtual aplicada 4313 Deslocamentos provocados por recalques de apoio Recalques de apoio em geral são solicitações acidentais Entretanto as fundações de uma estrutura podem apresentar pequenos movimentos que devem ser consi derados no projeto Como visto no Capítulo 2 Seção 25 recalques de apoio quando pequenos em relação às dimensões da estrutura não provocam esforços em uma estrutura isostática Isto porque a estrutura isostática tem o número exato de vínculos para ser estável e portanto sempre se ajusta a um pequeno movimen to de apoio Em outras palavras podese imaginar que ao se movimentar um a poio a estrutura isostática perde um vínculo transformandose em um mecanismo uma cadeia cinemática Assim a estrutura se acomoda como um corpo rígido sem deformações para a nova posição do apoio Portanto recalques de apoio provocam deslocamentos em uma estrutura isostática sem que ocorram deforma ções ou esforços Por outro lado movimentos diferenciados de apoios de estruturas hiperestáticas provocam deformações e esforços internos na estrutura Assim como no caso de variações de temperatura os recalques de apoio podem provocar solicitações que são de grande importância em estruturas hiperestáticas Os efeitos de recalques de apoio em estruturas hiperestáticas serão considerados no próximo capítulo Esta seção mostra como se aplica o Princípio das Forças Vir tuais para o cálculo de um deslocamento provocado por um recalque de apoio de uma estrutura isostática O mesmo pórtico plano adotado nas seções anteriores é considerado como exem plo para o cálculo de deslocamento tal como mostrado na Figura 415 No exem plo o apoio da esquerda da estrutura sofre um recalque vertical para baixo ρ 006 m Observase através da elástica indicada com amplitude exagerada na Figura 415 que o quadro isostático sofreu um movimento de corpo rígido devido ao recalque Isto é as barras permanecem retas sem deformação Portanto a energia de de formação interna virtual é nula U 0 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 93 Sistema Real Sistema Virtual P Figura 415 Cálculo de deslocamento devido a um recalque de apoio pelo PFV Por outro lado o trabalho virtual das forças externas agora recebe a contribuição da reação de apoio do sistema virtual com o correspondente deslocamento recal que de apoio real ρ 13 P WE Nessa expressão foi considerado que a reação vertical virtual no apoio da esquerda é negativa pois tem o sentido de cima para baixo assim como o recalque real é negativo porque é para baixo A imposição da expressão do PFV WE U resulta no valor do deslocamento de sejado no qual o sinal negativo indica que o deslocamento é da direita para a es querda 200 10 2 13 1 0 ρ P WE m A expressão geral do PFV para o cálculo de um deslocamento genérico devido a recalques de apoio em um quadro isostático é obtida considerando que U 0 recalques R P ρ 1 425 Sendo ρ recalque de apoio genérico na estrutura real R reação de apoio no sistema virtual correspondente ao recalque real ρ Os sinais das reações e recalques na Equação 425 devem ser consistentes 94 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4314 Verificação de atendimento à condição de compatibilidade Embora os exemplos mostrados nas seções anteriores tenham tratado de estruturas isostáticas o PFV também pode ser aplicado para estruturas hiperestáticas Nesse caso a estrutura do sistema virtual não necessariamente precisa ter os mesmos vínculos da estrutura real pois a única restrição quanto ao sistema de forças virtu ais é que satisfaça condições de equilíbrio Por exemplo considere a viga engasta da e apoiada da Figura 416 ql28 q 8 5ql 8 3ql ql28 l2 l2 l 1 M Sistema Real Sistema Virtual ql28 ql28 1l 1l M ql l Mdx M l 8 3 1 2 1 0 M ql l Mdx M l 8 3 1 2 1 0 1 M 1 M M M M M Figura 416 Sistema virtual para verificação de correção de diagrama de momentos fletores de uma viga engastada e apoiada Na Figura 416 a estrutura real é hiperestática e a estrutura virtual é uma estrutura isostática obtida da estrutura real pela eliminação de um vínculo restrição à rota ção θ1 na extremidade esquerda Nesse caso tendose disponível o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática real o cálculo da rotação na direção do vínculo eliminado deve resultar em um valor nulo Isto é na verdade uma veri ficação da correção do diagrama o diagrama correto é aquele que faz com que a condição de compatibilidade no vínculo liberado no sistema virtual seja satisfeita De fato o cálcu lo da rotação θ1 pelo PFV resulta em um valor nulo 0 3 8 1 3 8 1 1 2 2 0 1 1 EI l ql EI l ql dx EI M x M x M l θ Nessa expressão a integral foi avaliada conforme indica a Figura 416 O diagrama de momentos fletores real foi desmembrado em um triângulo e em uma parábola com máximo no centro Com base na Tabela 41 essas parcelas foram combinadas Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 95 em separado com o triângulo do diagrama de momentos fletores virtual para ava liar a integral Devese tomar cuidado adicional na escolha do sistema virtual a estrutura adotada no sistema virtual nunca deve acionar um vínculo em relação à estrutura real Considere como exemplo a estrutura da Figura 417 da qual se deseja calcular o deslocamento D1 no ponto central Note que a estrutura real é hiperestática e a estrutura virtual é isostática Entretanto a estrutura virtual tem um vínculo adi cional na extremidade direita engaste que não existe na estrutura real q 8 5ql 8 3ql ql28 1 P Sistema Real Sistema Virtual ql28 ql28 M M 2 2 l M 2 θ l2 l2 D1 l2 l2 l2 Figura 417 Sistema virtual com vínculo adicional em relação à estrutura real O problema com a escolha do sistema virtual da Figura 417 é que no trabalho ex terno virtual total deve ser computado o trabalho realizado pela reação de apoio momento virtual 2 M com a correspondente rotação real θ2 na extremidade direita Isto impede a determinação do deslocamento D1 pois na expressão do PFV apare cem duas incógnitas D1 e θ2 l E EI dx MM M D P U W 0 2 2 1 1 θ Note nessa expressão que o trabalho da reação momento virtual 2 M realizado com a rotação real θ2 é negativo pois essas entidades têm sentidos opostos horário e antihorário respectivamente 432 Princípio dos deslocamentos virtuais Em algumas situações na análise de estruturas é necessário impor condições de equilíbrio a um sistema de forças Por exemplo as soluções fundamentais do Mé todo dos Deslocamentos correspondem à determinação de valores de forças e mo mentos que equilibram uma estrutura que tem uma configuração deformada com patível imposta tal como apresentado na Seção 232 do Capítulo 2 96 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Princípio dos Deslocamentos Virtuais PDV é uma das principais ferramentas para a determinação de forças e momentos necessárias para impor uma determinada configuração deformada a uma estrutura Esse princípio diz que Dado um sistema de forças real F f e uma configuração deformada D d arbitrária virtual compatível a igualdade WE U estabelece uma condição de equilíbrio para o sistema de forças real Sendo que F D WE trabalho das forças externas reais F com os correspondentes deslocamentos externos virtuais D f d U energia de deformação interna virtual armazenada em uma estrutu ra combinando os esforços internos reais f com os correspondentes deslocamentos relativos internos virtuais d Assim como o PFV o PDV utiliza um sistema auxiliar virtual que é completamen te independente do sistema real sendo este a estrutura da qual se quer estabelecer uma condição de equilíbrio O sistema virtual trabalha com a mesma estrutura mas com uma configuração deformada D d escolhida arbitrariamente de tal ma neira que uma única força ou momento desconhecida a que se deseja calcular produza trabalho externo A configuração deformada do sistema virtual não existe na realidade por isso é dita virtual e é uma mera abstração para cálculo Considere a viga biapoiada mostrada na Figura 418 com uma carga concentrada P1 com posição definida por uma distância a ao apoio da esquerda sistema real De sejase determinar o valor da reação vertical VA no apoio da esquerda O sistema virtual é definido arbitrariamente com um campo de deslocamentos externos vir tuais D tal que a outra reação de apoio desconhecida VB não produza trabalho ex terno Sistema Real Sistema Virtual a b l A V A 1 D B V P1 a b b l D 1 Figura 418 Cálculo de reação de apoio de uma viga biapoiada pelo PDV Observase na Figura 418 que o campo de deslocamentos externos virtuais não precisa satisfazer as condições de compatibilidade externas ou internas da estru tura real Como dito a única restrição quanto à configuração deformada virtual é Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 97 que os deslocamentos externos virtuais sejam compatíveis com deslocamentos rela tivos ou deformações internos virtuais Nesse exemplo foi imposto um campo de deslocamentos virtuais de corpo rígido isto é sem deformação interna U 0 Pela Figura 418 o valor do deslocamento virtual 1 D que corresponde à carga ex terna real P1 é obtido por semelhança de triângulos Portanto o valor da reação VA sai diretamente da imposição de WE U l P b V D P D V A A A 1 1 1 0 O PDV também pode ser utilizado para determinar um esforço interno em uma estrutura Para tanto é necessário escolher uma configuração deformada virtual que isole na equação WE U o esforço que se quer calcular Considere por e xemplo que se deseja determinar o esforço cortante na seção S de uma viga apoia da tal como mostrado na Figura 419 A viga está submetida a uma carga concen trada P1 definida por uma distância a ao apoio da esquerda e a seção S é definida pela ordenada x ao início da viga sendo que a x Sistema Real Sistema Virtual P1 l VA VB A B S QS MS MS l x lx x xl a b b l D 1 lxl S 1 a b Figura 419 Cálculo de esforço cortante de uma viga biapoiada pelo PDV A configuração deformada virtual do exemplo da Figura 419 foi definida de tal forma que não existe deformação no interior da viga com exceção do ponto cor respondente à seção S onde existe um deslocamento transversal relativo interno virtual S 1 concentrado Isto é foi imposta uma descontinuidade transversal unitária na posição da seção S Devese observar que não existe rotação relativa entre os trechos da elástica virtual antes e depois da seção S Este campo de deslo camentos virtual foi escolhido de tal forma que somente o esforço cortante QS na seção S produza energia de deformação virtual interna MS não provoca energia de deformação pois não existe rotação relativa S QS U 98 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Por outro lado somente a força externa real P1 provoca trabalho externo As outras forças externas as reações de apoio VA e VB têm correspondentes deslocamentos virtuais nulos Portanto P1 D1 WE sendo que 1 D está indicado na Figura 419 Com base na expressão WE U che gase ao valor do esforço cortante desejado l P b QS 1 É óbvio que nesse exemplo a aplicação do equilíbrio diretamente é uma forma muito mais simples para se determinar o valor do esforço cortante em S O que se pretendeu mostrar com esse exemplo é que o PDV é uma maneira alternativa para se impor condições de equilíbrio que em alguns casos pode ser muito mais ade quada Devese observar também que o valor do esforço cortante QS foi obtido diretamente pelo PDV sem que se tivesse calculado as reações de apoio da viga Isso evidencia a elegância desse princípio como ferramenta matemática para impo sição de equilíbrio De maneira análoga o momento fletor na seção S desse exemplo também pode ser determinado diretamente pelo PDV A Figura 420 mostra a configuração defor mada virtual que é utilizada para determinar MS Sistema Real Sistema Virtual l VA VB A B S QS MS MS l x lx x x lx l x l x b x l D 1 S 1 θ P1 a b a b Figura 420 Cálculo de momento fletor de uma viga biapoiada pelo PDV A elástica virtual do exemplo da Figura 420 é composta de trechos retos com uma rotação relativa interna θS 1 concentrada na posição da seção S considerando pequenos deslocamentos de tal forma que o arco de um círculo é aproximado por sua corda Nesse caso não existe deslocamento transversal relativo virtual e por tanto somente MS produz energia de deformação interna virtual Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 99 S MS U θ A partir da imposição de WE U sendo P1 D1 WE e b x l D 1 veja a Figura 420 chegase a l b x P MS 1 Os exemplos de aplicação do PDV mostrados acima trataram somente de vigas isostáticas Além disso os campos de deslocamentos virtuais impostos correspon deram a trechos retos de movimentos de corpo rígido Isto foi feito apenas com o objetivo de apresentar o princípio haja vista que a imposição de condições de equi líbrio em estruturas isostáticas é relativamente simples Na verdade a grande van tagem do PDV é a determinação de forças ou momentos que equilibram uma estru tura qualquer isostática ou hiperestática que tenha uma configuração deformada conhecida não rígida no caso geral A expressão geral do PDV para o cálculo de uma força externa genérica atuando em um ponto de um pórtico plano para manter o seu equilíbrio é obtida das Equa ções 410 e 411 desprezando a energia de deformação por efeito cortante estrutura estrutura E M d N du P U W θ 1 426 Sendo P força externa genérica a ser calculada no sistema real N esforço normal no sistema real M momento fletor no sistema real deslocamento externo virtual no ponto da força genérica a ser calculada du deslocamento axial relativo interno no sistema virtual dθ rotação relativa interna por flexão no sistema virtual No caso de uma grelha estrutura plana com cargas fora do plano o efeito de tor ção também deve ser considerado resultando na seguinte expressão para o cálculo de uma força externa genérica pelo PDV também desprezando a energia de de formação por efeito cortante estrutura estrutura E T d M d P U W ϕ θ 1 427 Sendo 100 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha T momento torçor no sistema real dϕ rotação relativa interna por torção no sistema virtual 4321 PDV para solicitações de carregamentos externos e recalques de apoio Esta seção deduz a expressão do PDV para o cálculo genérico de forças ou momen tos que equilibram uma estrutura qualquer isostática ou hiperestática cujas solici tações externas reais são carregamentos externos ou recalques de apoio Essas soli citações se caracterizam por não apresentarem deformações iniciais Para a aplicação do princípio para esses tipos de solicitação é necessário escrever as Equações 426 e 427 em função do campo de deslocamentos externos reais e virtuais Para tanto é obtida com base na Equação 315 uma relação entre o es forço normal N e o deslocamento axial u dx N EA du 428 A relação entre o momento fletor M e o deslocamento transversal v é obtida com base na Equação 320 2 2 dx M EI d v 429 A relação entre o momento torçor T e a rotação por torção ϕ é obtida da Equação 319 dx GJ d T t ϕ 430 Substituindo as Equações 428 e 429 na Equação 426 e considerando pela E quação 31 que 2 2 d v dx dx d θ temse a expressão do PDV para quadros pla nos em função dos deslocamentos dx dx d v dx EI d v dx dx du dx EA du P estrutura estrutura 2 2 2 2 1 431 Sendo EA parâmetro de rigidez axial sendo E o módulo de elasticidade do material e A a área da seção transversal ux deslocamento axial no sistema real Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 101 ux deslocamento axial no sistema virtual EI parâmetro de rigidez transversal por flexão sendo I o momento de inércia da seção transversal vx deslocamento transversal no sistema real vx deslocamento transversal no sistema virtual No caso de grelhas a expressão do PDV em função de deslocamentos transversais e rotações por torção externos é obtida substituindo as Equações 429 e 430 na Equação 427 estrutura t estrutura dx dx d dx GJ d dx dx d v dx EI d v P ϕ ϕ 2 2 2 2 1 432 Sendo GJt parâmetro de rigidez à torção sendo G o módulo de cisalhamento do mate rial e Jt o momento de inércia à torção da seção transversal ϕx rotação por torção no sistema real ϕx rotação por torção no sistema virtual As Seções 442 e 443 mostram aplicações das Equações 431 e 432 do PDV para o cálculo de forças e momentos em barras cinematicamente determinadas isto é em barras das quais se conhece a configuração deformada Estas são soluções fun damentais que formam base para o Método dos Deslocamentos tal como vai ser visto no Capítulo 6 4322 PDV para solicitações de variação de temperatura A variação de temperatura é um tipo de solicitação externa que se caracteriza por provocar deformações iniciais No caso de estruturas isostáticas as deformações provocadas por temperatura não sofrem qualquer tipo de restrição não provocan do portanto esforços internos na estrutura Por outro lado uma estrutura hipe restática pode ter tensões internas induzidas por variação de temperatura A aplicação do PDV para esse tipo de solicitação vai ser deduzida para o caso de pórticos planos Nesse caso o deslocamento axial relativo interno e a rotação rela tiva interna por flexão devem considerar um termo devido ao esforço interno que pode ser provocado conjuntamente por carregamento externo e recalques de apoi o e um termo devido à variação de temperatura duT EA dx N du 433 102 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha d T EI dx M d θ θ 434 Sendo que T du e dθT são dados pelas Equações 420 e 421 respectivamente Para aplicar a Equação 426 do PDV é necessário escrever o esforço normal N e o momento fletor M considerando as deformações iniciais provocadas pela variação de temperatura Isto é feito com base nas Equações 433 e 434 dx du dx EA du N T 435 dx d dx EI d M θT θ 436 Substituindo os esforços internos reais dados pelas Equações 435 e 436 na E quação 426 resulta na expressão do PDV para estruturas hiperestáticas com soli citações reais de carregamento externo recalques e variação de temperatura estrutura T estrutura T dx dx d v dx d dx EI d v dx dx du dx du dx EA du P 2 2 2 2 1 θ 437 433 Teoremas de reciprocidade O PTV pode ser utilizado para formular dois teoremas que são muito úteis na aná lise de estruturas elásticas lineares Estes são os chamados teoremas de reciproci dade Tauchert 1974 o Teorema de Maxwell e a sua versão generalizada o Teo rema de Betti White et al 1976 Considere duas soluções estruturais completas A e B que atuam sobre a mesma estrutura elástica e linear as soluções são ditas completas porque cada uma delas satisfaz todas as condições de equilíbrio e compatibilidade O sistema A é com posto de um sistema de forças FA fA em equilíbrio e associado a uma configura ção deformada DA dA compatível No sistema A FA são as forças externas atuan do sobre a estrutura fA são esforços internos em equilíbrio com FA DA é o campo de deslocamentos externos da estrutura e dA são deslocamentos relativos internos compatíveis com DA Analogamente o sistema B é composto de um sistema de forças FB fB em equilíbrio e associado a uma configuração deformada DB dB compatível O PTV pode ser aplicado a esses dois sistemas de duas formas uma considerando o sistema A como real e o sistema B como virtual e a outra ao contrário Utilizando a Equação 410 podese escrever as seguintes relações Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 103 B A B A d f D F 438 A B A B d f D F 439 Considere que a estrutura é um quadro plano que tem um comportamento linear elástico Nesse caso a integral do lado direito do sinal de igual das Equações 438 e 439 são iguais GA dx Q Q dx EI M M dx EA N N d f d f B A B A B A A B A B χ Dessa forma podese enunciar o Teorema de Betti Tauchert 1974 White et al 1976 Se uma estrutura linear elástica é submetida a dois sistemas independentes de forças o trabalho realizado pelas forças generalizadas do primeiro siste ma com os correspondentes deslocamentos generalizados do segundo siste ma é igual ao trabalho realizado pelas forças generalizadas do segundo sis tema com os correspondentes deslocamentos generalizados do primeiro sis tema A B B A D F D F 440 As forças são ditas generalizadas pois podem envolver cargas concentradas cargas distribuídas e momentos aplicados Os deslocamentos são ditos generalizados pois podem envolver deslocamentos e rotações Um caso particular do Teorema de Betti chamado de Teorema de Maxwell ocorre quando as soluções completas independentes são constituídas de forças generali zadas unitárias isoladas tal como as mostradas na Figura 421 Sistema A Sistema B iPA 1 jA θ B 1 j M B i Figura 421 Teorema de Maxwell para forças generalizadas unitárias O Teorema de Maxwell na versão para forças generalizadas unitárias aplicadas pode ser enunciado da seguinte maneira Em uma estrutura linear elástica o deslocamento generalizado no ponto j provocado por uma força generalizada unitária atuando no ponto i é igual ao deslocamento generalizado no ponto i provocado por uma força generali zada unitária atuando no ponto j veja a Figura 421 B i jA θ 441 104 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Alternativamente as soluções podem ser constituídas de imposições de desloca mentos generalizados unitários tal como indica a Figura 422 Sistema A Sistema B iPB B 1 j θ A j M A 1 i Figura 422 Teorema de Maxwell para deslocamentos generalizados unitários O Teorema de Maxwell na versão para deslocamentos generalizados unitários im postos pode ser enunciado da seguinte maneira Em uma estrutura linear elástica a força generalizada que atua no ponto j necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário no ponto i é igual à força generalizada que atua no ponto i necessária para provocar um deslocamento generalizado unitário no ponto j veja a Figura 422 B i A j P M 442 A primeira versão do Teorema de Maxwell vai ser utilizada no próximo capítulo para demonstrar a simetria da matriz de flexibilidade que é a matriz dos coeficien tes de flexibilidade do sistema de equações finais de compatibilidade do Método das Forças A segunda versão do Teorema de Maxwell será utilizada na próxima seção e no Capítulo 6 para demonstrar a simetria da matriz de rigidez que é a matriz dos coe ficientes de rigidez do sistema de equações finais de equilíbrio do Método dos Des locamentos 44 Soluções fundamentais para barras isoladas A metodologia de cálculo do Método dos Deslocamentos conforme introduzido na Seção 232 do Capítulo 2 faz uma superposição de soluções cinematicamente de terminadas Essas soluções são configurações deformadas elementares da estrutu ra sendo analisada Dentro dessa metodologia conforme vai ser visto no Capítulo 6 uma configuração deformada elementar isola um determinado efeito ou parâme tro que representa o comportamento cinemático deformado da estrutura Cada configuração deformada elementar é uma solução fundamental no contexto do Mé todo dos Deslocamentos Nesse contexto uma solução fundamental de uma estru tura reticulada é composta de configurações deformadas elementares das suas bar ras Esta seção apresenta soluções fundamentais de barras isoladas que compõem as soluções fundamentais do Método dos Deslocamentos Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 105 Existem dois tipos de soluções fundamentais de barras isoladas para o Método dos Deslocamentos O primeiro corresponde a soluções de uma barra quando são im postos isoladamente deslocamentos ou rotações nas suas extremidades Essas soluções se constituem nas forças e momentos que devem atuar nas extremidades da barra para equilibrála quando um deslocamento ou rotação é imposto em uma das suas extremidades além da elástica resultante O segundo tipo são solu ções de engastamento perfeito de barras devido a solicitações externas Essas solu ções são a elástica e as reações de apoio para uma barra com as extremidades en gastadas deslocamentos e rotações restritos nas extremidades resultantes da apli cação de uma solicitação externa no interior da barra 441 Funções de forma para configurações deformadas elementares de barras de pórticos planos As configurações deformadas elementares de uma barra isolada correspondem às elásticas que resultam da imposição individual de deslocamentos ou rotações em uma de suas extremidades Os deslocamentos são impostos em direções paralelas aos eixos locais de uma barra sendo que o eixo x tem a direção axial da barra e o eixo y tem a direção transversal tal como mostra a Figura 423 l x 1 d y 2 d 3 d 6 d 5 d 4 d 1 d 2 d 3 d 6 d 5 d S x u v 4 d Figura 423 Eixos locais e deslocabilidades de uma barra de pórtico plano isolada A Figura 423 indica os deslocamentos e rotações nas extremidades de uma barra de pórtico plano isolada nas direções dos eixos locais da barra Esses deslocamen tos e rotações são chamados de deslocabilidades id deslocabilidade de barra no sistema local deslocamento ou rotação em uma extremidade de uma barra isolada na direção de um dos eixos locais Sendo que 1 d e 4 d são os deslocamentos na direção axial 2 d e 5 d são os desloca mentos na direção transversal e 3 d e 6 d são as rotações A Figura 423 também introduz uma notação para indicar deslocamentos e rota ções uma seta com um traço transversal na base Na figura as deslocabilidades tam bém estão indicadas com seu significado físico na configuração deformada com amplitude exagerada Todas as deslocabilidade estão mostradas com seus senti 106 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha dos positivos Os deslocamentos são positivos nos sentidos dos eixos locais da bar ra e as rotações são positivas no sentido antihorário Uma elástica elementar da barra de pórtico plano isolada é definida no sistema de eixos locais pelo deslocamento axial ux e pelo deslocamento transversal vx que estão indicados na Figura 423 Conforme foi comentado na Seção 31 do Capítulo 3 devido à adoção da hipótese de pequenos deslocamentos o comportamento axi al e o comportamento transversal de uma barra são considerados independentes Dessa forma o deslocamento axial ux só depende das deslocabilidades axiais 1 d e 4 d e o deslocamento transversal vx fica definido somente pelas deslocabilida des 2 d 3 d 5 d e 6 d Considerando que não existe carregamento na direção axial no interior da barra com base na Equação 37 temse que o esforço normal N na barra é constante Portanto a partir da Equação 428 vêse que o deslocamento axial ux varia line armente ao longo da barra 0 1 B B x u x 443 Por outro lado o deslocamento transversal vx da barra é regido pela Equação 322 de Navier Como não existe carregamento transversal neste caso o desloca mento transversal tem uma variação cúbica ao longo da barra 0 1 2 2 3 3 C C x C x C x v x 444 As Equações 443 e 444 descrevem uma elástica genérica de uma barra isolada Essa elástica pode ser descrita de uma maneira alternativa em função diretamente das deslocabilidades 4 4 1 1 d x N d x N u x 445 6 6 5 5 3 3 2 2 d x N d x N d x N d x N v x 446 As funções Nix chamadas de funções de forma definem as elásticas elementares da barra isolada Essencialmente as Equações 443 e 445 são equivalentes A diferença é que os parâmetros que definem a elástica axial da primeira equação são meros coeficientes de um polinômio linear enquanto os parâmetros na segunda equação têm um sig nificado físico são as deslocabilidades axiais Analogamente as Equações 444 e 446 são equivalentes mas na última os parâmetros que definem a elástica trans versal são deslocabilidades que têm significado físico Existe uma função de forma da barra isolada associada a cada uma de suas deslo cabilidades No caso das deslocabilidades axiais as equações que definem as fun ções de forma são obtidas a partir da Equação 443 determinando os valores das constantes B0 e B1 com base em condições de contorno adequadas A função de Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 107 forma N1x é definida considerando u0 1 e ul 0 na Equação 443 e a função de forma N4x é definida considerando u0 0 e ul 1 Isso resulta nas funções abaixo que também estão mostradas na Figura 424 l x x N 1 1 447 l x x N 4 448 x ux l 1 l x x N 1 1 x ux l 1 l x x N 4 Figura 424 Funções de forma axiais de uma barra isolada De forma análoga para as deslocabilidades transversais as equações que definem as funções de forma são obtidas a partir da Equação 444 determinando os valo res das constantes C0 C1 C2 e C3 com base em condições de contorno adequadas A função de forma N2x é definida considerando v0 1 dv0dx 0 vl 0 e dvldx 0 a função de forma N3x é definida considerando v0 0 dv0dx 1 vl 0 e dvldx 0 a função de forma N5x é definida considerando v0 0 dv0dx 0 vl 1 e dvldx 0 e a função de forma N6x é definida conside rando v0 0 dv0dx 0 vl 0 e dvldx 1 Isso resulta nas funções abaixo que também estão mostradas na Figura 425 3 3 2 2 2 2 3 1 l x l x x N 449 2 3 2 3 3 2 l x l x x x N 450 3 3 2 2 5 2 3 l x l x x N 451 2 3 2 6 l x l x x N 452 108 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha x vx l 1 3 3 2 2 2 2 3 1 l x l x x N x vx l 1 3 3 2 2 5 2 3 l x l x x N x vx l 1 2 3 2 3 3 2 l x l x x x N x vx l 1 2 3 2 6 l x l x x N Figura 425 Funções de forma transversais de flexão de uma barra isolada 442 Coeficientes de rigidez de barra de pórtico plano As mais importantes soluções fundamentais de barra isolada são os chamados coe ficientes de rigidez de barra No presente contexto coeficientes de rigidez de barra são forças e momentos que devem atuar nas extremidades da barra isolada parale lamente aos seus eixos locais para equilibrála quando um deslocamento ou rota ção é imposto isoladamente em uma das suas extremidades As funções de for ma mostradas na seção anterior definem elásticas correspondentes a essas soluções fundamentais para uma barra de quadro plano A seguinte notação é utilizada kij coeficiente de rigidez de barra no sistema local força ou momento que deve atuar em uma extremidade de uma barra isolada na direção da deslocabilidade id para equilibrála quando a deslocabilidade jd 1 é imposta com valor unitário isoladamente em uma das suas extremidades O significado físico dos coeficientes de rigidez de barra de pórtico plano no sistema local é mostrado na Figura 426 Essa figura indica no seu topo a configuração deformada de uma barra isolada e o conjunto de forças e momentos que atuam nas extremidades da barra paralelamente a seus eixos locais para equilibrála nessa configuração Essas forças e momentos são definidos como if força generalizada de barra no sistema local força ou momento que atua na dire ção da deslocabilidade id de uma barra para equilibrála quando isolada Como indica a Figura 426 a configuração deformada de uma barra pode ser de composta em configurações deformadas elementares baseadas nas funções de for ma definidas na seção anterior A partir dessa superposição as forças generaliza das da barra são obtidas pela soma das forças e momentos que equilibram a barra para cada uma das configurações deformadas elementares Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 109 l 1f 2f 3f 6f 5f 4f 1 d 2 d 3 d 6 d 5 d 4 d k41d1 k11d1 k44d4 k14d4 k52d2 k32d2 k22d2 k62d2 k55d5 k35d5 k25d5 k65d5 k53d3 k33d3 k23d3 k63d3 k56d6 k36d6 k26d6 k66d6 1 d 2 d 3 d 6 d 5 d 4 d Figura 426 Superposição de configurações deformadas elementares para compor a elástica final de uma barra de pórtico plano isolada Observase na Figura 426 o desacoplamento entre os efeitos axiais e transversais de flexão de uma barra As deformadas elementares axiais devidas a 1 d e 4 d não mobilizam os coeficientes de rigidez de flexão forças na direção transversal ou momentos Da mesma forma as deformadas elementares transversais de flexão devidas a 2 d 3 d 5 d e 6 d não mobilizam coeficientes de rigidez axiais Devido a esse desacoplamento alguns coeficientes de rigidez locais são nulos A superposição de configurações deformadas elementares mostrada na Figura 426 resulta em uma relação entre cada força nodal generalizada if e as deslocabilida des da barra Por exemplo a força total 1f é obtida pela soma das forças axiais na extremidade esquerda da barra resultando em 4 14 11 1 1 k d k d f Analogamente a força total 2f é obtida pela soma das forças transversais na extremidade esquer da da barra resultando em 26 6 5 25 3 23 2 22 2 k d k d k d d k f Generalizando para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra podese escre ver a seguinte relação matricial 110 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 6 5 4 3 2 1 66 65 63 62 56 55 53 52 44 41 36 35 33 32 26 25 23 22 14 11 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f 453 A Equação 453 também pode ser escrita de uma forma condensada d k f 454 Sendo f vetor das forças generalizadas de barra no sistema local conjunto de forças e mo mentos que atuam nas extremidades de uma barra nas direções dos eixos locais para equilibrála quando isolada k matriz de rigidez de uma barra no sistema local matriz dos coeficientes de rigidez locais ij k nas direções dos eixos locais d vetor das deslocabilidades de barra no sistema local conjunto de deslocabilidades de uma barra nas direções dos eixos locais Duas observações podem ser feitas quanto à matriz de rigidez da barra isolada A primeira é que pelo Teorema de Maxwell versão para deslocamento unitário im posto Equação 442 a matriz é simétrica isto é ij ji k k 455 A segunda observação vem da superposição de configurações deformadas elemen tares mostrada na Figura 426 Observase que os coeficientes de rigidez que cor respondem a uma dada configuração deformada elementar têm o mesmo índice j Podese dizer então A jésima coluna da matriz de rigidez k de uma barra no seu sistema local corresponde ao conjunto de forças generalizadas que atuam nas extremida des da barra paralelamente a seus eixos locais para equilibrála quando é imposta uma configuração deformada tal que jd 1 deslocabilidade jd com valor unitário e as demais deslocabilidades com valor nulo O PDV vai ser utilizado nas próximas seções para deduzir os valores dos coeficien tes de rigidez de uma barra de pórtico plano no sistema local Essa dedução é feita para barras prismáticas isto é barras com uma seção transversal uniforme ao lon go de seu comprimento No Apêndice B é apresentado um processo chamado Processo de Mohr Süssekind 19772 ou Analogia da Viga Conjugada que permite a determinação de coeficientes de rigidez para barras não prismáticas Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 111 4421 Coeficientes de rigidez axial de barra A determinação dos coeficientes de rigidez axial de uma barra pode ser feita de uma forma direta através da imposição do equilíbrio da barra que sofre uma de formação axial Por exemplo considere a imposição da deslocabilidade 4 d mos trada na Figura 427 As forças externas 1f e 4f estão indicadas com seus sentidos positivos Podese observar que para provocar o alongamento da barra é necessá rio ter um esforço normal de tração N 4f Além disso a força 1f tem que ter o sentido contrário ao que está indicado para poder equilibrar a barra A partir da relação a x a x Eε σ entre a tensão e a deformação normais da barra chegase a l EA k l d EA d k f l E d A N 44 4 4 44 4 4 l EA k l d EA d k f f f 14 4 4 14 1 4 1 Entretanto o PDV provê uma maneira mais geral para se chegar a esses mesmos resultados Considere que se deseja determinar o valor do coeficiente de rigidez 14 k que corresponde à força 1f que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando um deslocamento axial d4 1 é imposto isoladamente na extremidade direita O campo de deslocamentos axiais reais desse problema é 4 4 d x N u x conforme indicado na Figura 427 Para se calcular 14 k devese escolher um cam po de deslocamentos axiais virtuais tal que somente a força 1f produza trabalho externo virtual Esse campo é 1 1 d x N u x também mostrado na Figura 427 Sistema Real Sistema Virtual Campo de deslocamentos reais Campo de deslocamentos virtuais x l 1 4 4 d x N u x 4 44 4 d k f 4 14 1 d k f 4 d x ux l 1 1 d 1 1 d x N u x x u l l Figura 427 Aplicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez axial de uma barra isolada Aplicando o PDV com base na Equação 431 somente com a parcela da energia de deformação axial chegase a 112 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4 0 1 4 0 1 14 4 1 d dx dx dN dx EA dN dx dx du dx EA du d d k l l Nessa expressão o valor do deslocamento virtual 1 d imposto na extremidade es querda se cancela Portanto temse l EA dx dx dN dx dN EA k l 0 4 1 14 Vêse que o PDV determina diretamente o valor do coeficiente de rigidez 14 k en contrado anteriormente sem a necessidade de determinar outro coeficiente Esse resultado pode ser generalizado para os outros coeficientes bastando escolher os campos de deslocamentos real e virtual apropriados Essa generalização resulta em l j i ij dx dx dN dx dN EA k 0 41 i j 456 Com base na Equação 456 os valores dos coeficientes de rigidez axial podem ser calculados Os resultados estão mostrados na Figura 428 1 d EA l l l 1 d 4 d 1 d EA l 4 d EA l 4 d EA l Figura 428 Coeficientes de rigidez axial de uma barra isolada 4422 Coeficientes de rigidez à flexão de barra sem articulação O PDV também é utilizado para determinar de uma maneira geral os valores dos coeficientes de rigidez à flexão que estão associados às deslocabilidades 2 d 3 d 5 d e 6 d Considere que se deseja determinar o valor do coeficiente de rigidez 23 k que corresponde à força 2f que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando uma rotação d3 1 é imposta isoladamente também na extremidade esquerda O campo de deslocamentos transversais reais é 3 3 d x N v x conforme indicado na Figura 429 Para se calcular 23 k devese escolher um campo de deslocamentos transversais virtuais tal que somente a força 2f produza trabalho externo virtual Esse campo é 2 2 d x N v x tal como mostrado na Figura 429 superposto ao campo de deslocamentos reais Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 113 3 53 5 d k f 3 33 3 d k f 3 23 2 d k f 3 63 6 d k f 3 d 3 3 d x N v x 2 2 d x N v x 2 d l Campo de deslocamentos reais Campo de deslocamentos virtuais Figura 429 Aplicação do PDV para obtenção de coeficiente de rigidez à flexão de uma barra isolada Utilizando a Equação 431 do PDV chegase a 3 0 2 2 2 2 3 2 0 2 2 2 2 2 23 3 1 d dx dx d N dx EI d N dx dx d v dx EI d v d d k l l Nessa expressão o valor do deslocamento virtual 2 d se cancela Portanto temse l dx dx N d dx d N EI k 0 2 3 2 2 2 2 23 A generalização desse resultado para as outros coeficientes resulta na Equação 457 abaixo Os valores dos coeficientes de rigidez à flexão são calculados com base nessa equação Os resultados estão mostrados na Figura 430 l j i ij dx dx N d dx d N EI k 0 2 2 2 2 653 2 i j 457 2 2 6 d l EI l 2 3 12 d l EI l 3 4 d l EI 2 d 3 d 6 d 5 d 2 2 6 d l EI 2 3 12 d l EI 5 3 12 d l EI 5 3 12 d l EI 5 2 6 d l EI 5 2 6 d l EI 3 2 6 d l EI 3 2 6 d l EI 6 2 6 d l EI 6 2 6 d l EI 3 2 d l EI 6 4 d l EI 6 2 d l EI Figura 430 Coeficientes de rigidez à flexão de uma barra isolada sem articulação 114 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 4423 Coeficientes de rigidez à flexão de barra com articulação na esquerda Estruturas reticuladas muitas vezes apresentam barras articuladas em uma extre midade ou em ambas No modelo estrutural isso é modelado por uma rótula na extremidade articulada que libera a continuidade de rotação da barra nessa extre midade com as outras barras adjacentes ou com um apoio Procedimentos análogos aos que foram adotados para determinar coeficientes de rigidez de barras sem articulação poderiam ser desenvolvidos para barras com ar ticulação Para tanto seria necessária a determinação de funções de forma para barras articuladas Entretanto um procedimento mais simples baseado em super posição de efeitos pode ser adotado para determinar os coeficientes de rigidez de uma barra articulada Considere como exemplo a barra articulada na extremida de esquerda mostrada na Figura 431 O objetivo nesse exemplo é a determinação dos coeficientes de rigidez à flexão associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade direita l EI MA 2 l EI MA 2 2 3 l EI l EI MA 2 l l EI l EI 2 2 3 l EI 2 3 l EI l 2 3 l EI EI l 3 1 2 6 l EI 2 6 l EI EI l 4 1 Figura 431 Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à flexão de uma barra com articulação na esquerda A Figura 431 mostra a configuração deformada da barra com a rotação unitária imposta no sentido antihorário na extremidade direita A articulação na extre midade esquerda faz com que o momento fletor nessa extremidade seja nulo Essa condição pode ser alcançada com base na superposição de duas configurações de formadas da barra tal como indicado nessa figura A primeira parcela correspon de a uma rotação unitária imposta no sentido antihorário na extremidade direita da barra sem articulação Para garantir o equilíbrio nessa configuração aparece um momento na extremidade esquerda l EI MA 2 no sentido antihorário A segunda parcela da superposição corresponde à aplicação de um momento MA no sentido horário nessa extremidade de tal forma que o momento final da superpo Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 115 sição nessa extremidade seja nulo As forças e momentos coeficientes de rigidez que atuam na barra articulada são obtidos das forças e momentos correspondentes nas parcelas da superposição Procedimentos análogos podem ser feitos para determinar os outros coeficientes de rigidez da barra com articulação na esquerda Os resultados disso estão mostrados na Figura 432 l l 2 d 6 d 5 d 2 3 3 d l EI 2 2 3 d l EI 2 3 3 d l EI 5 3 3 d l EI 5 3 3 d l EI 5 2 3 d l EI 6 2 3 d l EI 6 2 3 d l EI 6 3 d l EI Figura 432 Coeficientes de rigidez à flexão de uma barra isolada com articulação na esquerda Devese salientar que os coeficientes de rigidez associados à rotação unitária im posta na extremidade esquerda da barra são nulos Isto porque a articulação faz com que não haja resistência à rotação imposta nessa extremidade 4424 Coeficientes de rigidez à flexão de barra com articulação na direita Os mesmos procedimentos mostrados na seção anterior para determinar coeficien tes de rigidez de uma barra com articulação na esquerda são adotados para uma barra com articulação na direita A Figura 433 mostra a superposição de configurações deformadas que é utilizada para a determinação dos coeficientes de rigidez à flexão da barra com articulação na direita associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade esquer da Todos os coeficientes de rigidez à flexão dessa barra estão mostrados na Figura 434 Notase também que os coeficientes associados à imposição de uma rotação unitária na extremidade articulada são nulos 116 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 2 3 l EI EI l 3 l 2 3 l EI 1 2 6 l EI EI l 4 2 6 l EI l EI MB 2 1 l EI MB 2 2 3 l EI l EI MB 2 2 3 l EI l l EI l EI 2 Figura 433 Superposição de deformadas para obtenção de coeficientes de rigidez à flexão de uma barra com articulação na direita l l 2 d 3 d 5 d 2 3 3 d l EI 2 2 3 d l EI 2 3 3 d l EI 5 3 3 d l EI 5 3 3 d l EI 5 2 3 d l EI 3 3 d l EI 3 2 3 d l EI 3 2 3 d l EI Figura 434 Coeficientes de rigidez à flexão de uma barra isolada com articulação na direita 4425 Matrizes de rigidez de barra de pórtico plano Esta seção mostra matrizes de rigidez de barras de pórticos planos no sistema local para diferentes condições de extremidade Isto resume os resultados para os coefi cientes de rigidez de barra obtidos nas seções anteriores Quatro tipos de condições de extremidade são consideradas barra sem articulação Equação 458 barra com articulação na esquerda Equação 459 barra com articulação na direita Equação 460 e barra com articulação nas duas extremi dades Equação 461 Os sinais dos coeficientes são positivos quando as forças e momentos correspondentes têm os sentidos positivos das deslocabilidades indi cados na Figura 423 De outra forma os sinais são negativos Observase tam bém a simetria das matrizes de rigidez o que é compatível com a Equação 455 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 117 Os coeficientes de rigidez axial são iguais para os quatro tipos de barra primeiras e quartas linhas e colunas das matrizes de rigidez Observase o desacoplamento entre o efeito axial e o efeito transversal de flexão pelos coeficientes nulos comuns a todas as matrizes Nas matrizes as linhas e colunas correspondentes às rotações das extremidades articuladas também são nulas No caso da matriz de rigidez pa ra a barra biarticulada Equação 461 só os coeficientes de rigidez axial são diferentes de zero EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l l EA k 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 458 EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l l EA EI l EI l EI l EA l l EA k 3 3 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 3 0 0 0 0 0 2 2 2 3 3 2 3 3 459 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 0 3 2 3 2 2 3 2 3 EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l l EA k 460 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 EA l l EA EA l l EA k 461 118 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 443 Coeficientes de rigidez à torção de barra A determinação dos coeficientes de rigidez à torção de uma barra de grelha ou de pórtico espacial pode ser feita utilizando o PDV a exemplo do que foi feito para a barra de pórtico plano na seção anterior Considere a imposição de uma rotação por torção A ϕ na extremidade esquerda de uma barra isolada enquanto a rotação na outra extremidade é mantida nula 0 ϕB tal como mostra a Figura 435a Também considere a imposição de uma rotação B ϕ na extremidade da direita mantendo A ϕ nula Figura 435b São utilizadas setas duplas para representar rotações e momentos torçores Os momentos torçores A T e B T que atuam nas extremidades da barra para impor essas configurações deformadas também estão indicados na Figura 435 com seus sentidos positivos Como não existe carregamento no interior da barra o momento torçor é constante ao longo da barra Além disso a partir da Equação 430 vêse que a rotação por torção ϕx varia linearmente ao longo da barra Portanto a mesma funções de forma axiais das Equações 447 e 448 podem ser utilizadas para representar a variação de ϕx tal como indica a Figura 435 A A K T ϕ ϕ l A ϕ B 0 ϕ ϕB A 0 ϕ a b A A l x x N x ϕ ϕ ϕ 1 1 B B l x x N x ϕ ϕ ϕ 4 l GJ K t ϕ B A K T ϕ ϕ A B K T ϕ ϕ B B K T ϕ ϕ Figura 435 Coeficientes de rigidez à torção de uma barra isolada O PDV é utilizado para determinar o momento torçor A T da Figura 435b Este é o momento que deve atuar na extremidade esquerda da barra quando uma rotação por torção B ϕ é imposta isoladamente na extremidade direita considerando que ϕA 0 O campo de rotações por torção reais desse problema é B x N x ϕ ϕ 4 O campo de rotações por torção virtuais é B x N x ϕ ϕ 4 tal que somente o momento torçor da extremidade esquerda produza trabalho virtual externo Apli cando o PDV com base na Equação 432 somente com a parcela de energia de deformação por torção chegase a B t B l t l t B A l GJ dx dx dN dx GJ dN dx dx d dx GJ d T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 0 1 4 0 1 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 119 O coeficiente de rigidez à torção é o fator que multiplica a rotação B ϕ O sinal ne gativo indica que o momento torçor A T tem o sentido contrário ao da rotação B ϕ imposta com sentido positivo Esse resultado pode ser generalizado para os outros coeficientes bastando escolher os campos de rotações real e virtual apropriados Essa generalização resulta nos coeficientes de rigidez à torção mostrados na Figura 435 os coeficientes são os fatores que multiplicam as rotações Definese generi camente o parâmetro ϕ K como o coeficiente de rigidez à torção l GJ K t ϕ 462 Da mesma maneira como se definiu a matriz de rigidez de uma barra de pórtico plano no sistema de eixos locais da barra é possível definir uma matriz de rigidez de barra de grelha Uma grelha é uma estrutura plana com carregamento transver sal ao seu plano Por hipótese uma barra de grelha não tem solicitações axiais apresentando efeitos de flexão e cisalhamento transversais ao plano e efeito de tor ção A Figura 436 mostra a convenção adotada neste livro para os eixos locais e para as deslocabilidades locais de uma barra de grelha As deslocabilidades estão indicadas com seus sentidos positivos e as setas duplas indicam rotações l x 1 d z 3 d 2 d 5 d 6 d 4 d z x y Figura 436 Eixos locais e deslocabilidades de uma barra de grelha isolada Com base na convenção adotada na Figura 436 e nos coeficientes de rigidez à fle xão deduzidos na Seção 442 a Equação 463 mostra a matriz de rigidez de uma barra de grelha no sistema local Esta matriz considera os coeficientes de rigidez à flexão e o coeficiente de rigidez à torção dado pela Equação 462 Os efeitos de deformação por cisalhamento não são considerados O momento de inércia da se ção transversal é I Iy isto é I é o momento de inércia em torno do eixo local y mostrado na Figura 436 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 12 6 0 12 6 0 6 4 0 6 2 0 0 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 2 0 6 4 0 0 0 0 0 EI l EI l EI l l EI EI l EI l EI l l EI l GJ l GJ EI l EI l EI l l EI EI l EI l EI l l EI l GJ l GJ k t t t t 463 120 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 444 Reações de engastamento de barra para solicitações externas Esta seção apresenta soluções fundamentais de engastamento perfeito de barras isoladas para carregamentos aplicados e solicitações de variação de temperatura Essas soluções serão utilizadas dentro da metodologia do Método dos Desloca mentos que será introduzida no Capítulo 6 A Figura 437 mostra a notação e os sentidos positivos das reações de engastamen to perfeito para um carregamento genérico em que ifˆ reação de engastamento perfeito de barra no sistema local reação força ou momen to que atua na direção da deslocabilidade local id de uma barra com as ex tremidades fixas para equilibrála quando atua uma solicitação externa l qx x y 2ˆf 3ˆf 5ˆf 6ˆf 1ˆf 4ˆf Figura 437 Notação e sentidos positivos de reações de engastamento perfeito para barras isoladas Todas as deduções serão feitas para barras sem articulação As reações de engas tamento para uma barra com articulação podem ser obtidas a partir das reações de engastamento de uma barra sem articulação com o mesmo carregamento A Figu ra 438 mostra a superposição de efeitos que é utilizada para a determinação das reações de engastamento de uma barra com articulação na esquerda A Figura 439 faz o mesmo para uma barra com articulação na direita θ l EI MA 2 2 θ l EI MA 4 l M M A A 2 l MA 2 3 l qx 2ˆf 5ˆf 6ˆf A V MA B V MB qx l MA 2 3 θ l M V f A A 2 3 ˆ 2 0 ˆ f3 l M V f A B 2 3 ˆ 5 2 ˆ 6 A B M M f Figura 438 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articulação na esquerda Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 121 θ l EI MB 2 2 θ l EI MB 4 l M M B B 2 l MB 2 3 qx 3ˆf A V MA B V MB qx l MB 2 3 θ l M V f B A 2 3 ˆ 2 2 ˆ 3 B A M M f l M V f B B 2 3 ˆ 5 0 ˆ f6 l 2ˆf 5ˆf Figura 439 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento para barras com articulação na direita 4441 Reações de engastamento para carregamentos externos A determinação das reações de engastamento perfeito de uma barra solicitada para um carregamento externo genérico vai ser feita com base no Teorema de Betti que foi apresentado na Seção 433 seguindo o que foi feito por Felton Nelson 1996 Para exemplificar isso considere a barra biengastada mostrada na Figura 440 com um carregamento distribuído transversalmente O objetivo do exemplo é determi nar a reação força transversal 2ˆf da extremidade esquerda da barra B B x N x v 1 2 B 1 l B M1 B M2 B V1 B V2 Sistema B l qx x y vAx 2ˆf 3ˆf 5ˆf 6ˆf Sistema A Figura 440 Aplicação do Teorema de Betti para determinar a reação vertical na extremidade esquerda Para a aplicação do Teorema de Betti para o exemplo da Figura 440 é necessário definir dois sistemas A e B O sistema A é a barra biengastada com o carregamen to externo aplicado e as correspondentes reações de apoio O sistema B tem o vín culo associado à reação 2ˆf liberado e uma força transversal B V1 aplicada no ponto do vínculo liberado A configuração deformada do sistema B é tal que seu campo de deslocamentos externos é proporcional à função de forma N2x 122 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O Teorema de Betti aplicado ao exemplo da Figura 440 impõe o seguinte o traba lho realizado pelas forças e momentos externos do sistema A com os corresponden tes deslocamentos e rotações do sistema B é igual ao trabalho realizado pelas forças e momentos do sistema B com os correspondentes deslocamentos e rotações do sistema A Observase que todas as forças e momentos externos do sistema B têm deslocamen tos e rotações correspondentes nulos no sistema A Portanto o trabalho das forças do sistema A com os deslocamentos do sistema B é nulo 0 ˆ 1 0 2 1 2 dx x N q x f B l B Dessa forma chegase a uma expressão para a determinação da reação desejada em função do carregamento transversal qx 0 ˆ 0 2 2 dx x N q x f l Um exemplo análogo é utilizado para determinar a reação momento 3ˆf na extre midade esquerda pelo Teorema de Betti tal como ilustrado na Figura 441 Nesse caso no sistema B liberase a rotação associada à reação 3ˆf no apoio da esquerda l qx x y B B x N x v 1 3 θ B 1 θ l x vAx B M1 B M2 B V1 B V2 2ˆf 3ˆf 5ˆf 6ˆf Sistema A Sistema B y Figura 441 Aplicação do Teorema de Betti para determinar a reação momento na extremidade esquerda O campo de deslocamentos externos do sistema B na Figura 441 é proporcional à função de forma N3x e a aplicação do Teorema de Betti para esse exemplo resulta em 0 ˆ 0 3 3 dx x N q x f l Os resultados obtidos nos exemplos das Figuras 440 e 441 podem ser generaliza dos para diversos tipos de cargas axiais transversais distribuídas transversais concentradas e momentos concentrados tal como ilustrado na Figura 442 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 123 l px 1ˆf 4ˆf l qx Pj Mj 2ˆf 3ˆf 5ˆf 6ˆf Figura 442 Reações de engastamento perfeito axiais e transversais para barras isoladas A expressão 464 resultante da aplicação do Teorema de Betti é utilizada para determinar as reações axiais 1ˆf e 4ˆf devidas a uma carga axial distribuída px A expressão 465 é utilizada para determinar as reações forças transversais 2ˆf e 5ˆf e as reações momentos 3ˆf e 6ˆf devidas a cargas transversais distribuídas cargas transversais concentradas e cargas momentos concentrados veja a Figura 442 l i i dx p x N x f 0 ˆ 41 i 464 j j j j j j j i l i i M dx dN x P N x dx q x N x f ˆ 0 653 i 2 465 As Figuras 443 444 e 445 mostram reações de engastamento de barras submeti das a carregamentos transversais Estas reações foram determinadas com base na expressão 465 e para as barras articuladas com base nas Figuras 438 e 439 l ql2 ql2 12 2 ˆ 2 ql f 12 ˆ 2 3 ql f 2 ˆ 5 ql f 12 ˆ 2 6 ql f 2 ql ql2 12 3ql8 ql2 8 8 3 ˆ 2 ql f 0 ˆ 3 f 8 5 ˆ 5 ql f 8 ˆ 2 6 ql f 8 5ql 5ql8 8 5 ˆ 2 ql f 8 ˆ 2 3 ql f 8 3 ˆ 5 ql f 0 ˆ f6 8 3ql ql2 8 q q q Figura 443 Reações de engastamento para barras com carga transversal uniformemente distribuída 124 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha P P2 2 ˆ 2 P f 8 ˆ 3 Pl f 2 ˆ 5 P f 8 ˆ 6 Pl f 2 P Pl8 l2 l2 8 Pl P 5P16 5 16 ˆ 2 P f 0 ˆ 3 f 11 16 ˆ 5 P f 16 3 ˆ 6 Pl f 16 11P 16 3Pl P 11P16 11 16 ˆ 2 P f 16 3 ˆ 3 Pl f 5 16 ˆ 5 P f 0 ˆ f6 16 5P 3Pl16 Figura 444 Reações de engastamento para barras com carga concentrada no meio do vão l P 3 2 3 l b a Pb 3 2 2 3 ˆ l b a Pb f 2 2 3 ˆ l Pab f 3 2 5 3 ˆ l b a Pa f 2 2 6 ˆ Pa b l f Pab2 l2 a b 2 l2 b Pa 3 2 3 l b a Pa l M 3 6 Mab l 3 2 6 ˆ Mab l f 2 3 2 ˆ l b a Mb f 3 5 6 ˆ Mab l f 2 6 2 ˆ l a b Ma f 2 2 l b a Mb a b 2 2 l a b Ma 3 6 l Mab 20 3 ˆ 2 ql f 30 ˆ 2 3 ql f 20 7 ˆ 5 ql f 20 ˆ 2 6 ql f l q 3ql20 2 20 ql 20 7ql ql2 30 Figura 445 Reações de engastamento para barras com carga concentrada momento concentrado e carga triangular West 1989 Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 125 Nesta seção as expressões para a determinação de reações de engastamento de bar ras isoladas solicitadas por carregamentos externos são exatas para o caso de uma barra com seções transversais que não variam ao longo de seu comprimento Isto porque os campos de deslocamentos externos utilizados no sistema auxiliar para a aplicação do Teorema de Betti sistema B são proporcionais às funções de forma que correspondem a soluções para barras com seção transversal constante No Apêndice B é apresentado um processo chamado Processo de Mohr ou Analogia da Viga Conjugada que permite a determinação de reações de engastamento para barras não prismáticas 4442 Reações de engastamento para variação de temperatura Para finalizar as expressões para a determinação de reações de engastamento per feito de barras isoladas é necessário considerar as solicitações de variação de tem peratura Inicialmente será mostrado um procedimento simples McGuire Gal lagher 1979 baseado em superposição de efeitos Um método geral baseado no PDV vai ser mostrado mais adiante A Figura 446 ilustra o caso de uma variação uniforme de temperatura TCG corres pondendo ao que ocorre na fibra do centro de gravidade da seção transversal A barra tem um material com módulo de elasticidade E e coeficiente de dilatação tér mica α A seção transversal tem área A e momento de inércia I l TCGl T α TCG C l EA TCG f α 1ˆ EA TCG f α 4ˆ EA x y EA l T N l TCG C EA l T N T Figura 446 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação uniforme de temperatura McGuire Gallagher 1979 O cálculo das reações de engastamento provocadas pela variação uniforme de temperatura do exemplo da Figura 446 é feito por superposição de efeitos tendo como estrutura base a barra com o vínculo que impede o deslocamento axial do apoio da direita liberado Na primeira parcela da superposição a barra sofre a va riação uniforme de temperatura e pode se alongar ou encurtar livremente O des locamento axial no apoio da direita é TCGl T α Na segunda parcela da superpo sição é aplicada uma força axial EA l T N que impõe um deslocamento axial 126 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha desse apoio igual a T mas no sentido contrário Observase que as reações de engastamento nesse exemplo são forças axiais iguais ao esforço normal N O cálculo das reações de engastamento para uma variação transversal de tempera tura é feito de forma análoga por superposição de efeitos tal como indicado na Figura 447 As parcelas da superposição têm os vínculos que impedem as rotações nas extremidades da barra liberados Na primeira parcela ocorre uma deformação por flexão da barra devida à variação transversal de temperatura na qual cada e lemento infinitesimal de barra sofre uma rotação relativa interna dθ T que é dada pela Equação 421 Na segunda parcela são aplicados momentos dx EI d M θ T nas extremidades da barra que anulam essa deformação Obser vase que as reações de engastamento nesse exemplo são momentos iguais ao mo mento M aplicado l Ts C Ti C dx dx h T T d s i T α θ l dx EI d M θ T EI h T T EI f i s α 3ˆ x y l Ts C Ti C h T T EI f i s α 6ˆ dx EI d M θ T M M EI dx M d θ Figura 447 Superposição de efeitos para determinar reações de engastamento de uma barra com variação transversal de temperatura McGuire Gallagher 1979 Os mesmos resultados encontrados acima podem ser alcançados de uma maneira mais formal com base na Equação 437 do PDV O sistema real corresponde à barra biengastada que sofre uma variação axial e transversal de temperatura Como pode ser observado nas Figuras 446 e 447 os deslocamentos finais reais axiais ux e transversais vx são nulos Dessa forma a Equação 437 se reduz a l T l T dx dx d v dx d EI dx dx du dx du EA P 0 2 2 0 1 θ 466 O sistema virtual é escolhido de tal forma que apenas a reação real de engasta mento que se deseja determinar produza trabalho virtual externo Portanto para o cálculo da reação 1ˆf escolhese um campo de deslocamentos virtuais igual a Luiz Fernando Martha Soluções Fundamentais 127 1 1 x N d u x sendo 1 d o deslocamento axial virtual na extremidade esquerda De maneira semelhante para o cálculo da reação 2ˆf escolhese um campo de des locamentos virtuais igual a 2 2 x N d v x e analogamente para as outras rea ções Com base nas Equações 466 420 e 421 chegase às expressões gerais para o cálculo das reações de engastamento de uma barra isolada provocadas por uma variação de temperatura l i CG i dx dx dN EA T f 0 ˆ α 41 i 467 l i s i i dx dx d N h T T EI f 0 2 2 ˆ α 653 i 2 468 Sendo EA parâmetro de rigidez axial sendo E o módulo de elasticidade do material e A a área da seção transversal EI parâmetro de rigidez transversal por flexão sendo I o momento de inércia da seção transversal α coeficiente de dilatação térmica do material h altura da seção transversal de uma barra iT variação de temperatura na fibra inferior de uma barra Ts variação de temperatura na fibra superior de uma barra TCG variação de temperatura na fibra do centro de gravidade de uma barra As reações de engastamento calculadas pelas Equações 467 e 468 estão mostra das na Figura 448 Observase que os valores são os mesmos encontrados anteri ormente nos exemplos das Figuras 446 e 447 EAαTCG TCG EAα l EA TCG f α 1ˆ 0 ˆ f2 T h T EI s i α Ts C Ti C T h T EI f s i ˆ 3 α EA TCG f α 4ˆ 0 ˆ 5 f T h T EI f s i ˆ 6 α T h T EI s i α Figura 448 Reações de engastamento para uma barra com variação de temperatura 5 MÉTODO DAS FORÇAS Na solução de uma estrutura hiperestática conforme introduzido no Capítulo 2 Seção 23 é necessário considerar os três grupos de condições básicas da Análise Estrutural condições de equilíbrio condições de compatibilidade continuidade interna e compatibilidade com os vínculos externos e condições impostas pelas leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura Formalmente veja a Seção 231 o Método das Forças resolve o problema conside rando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na seguin te ordem 1 Condições de equilíbrio 2 Condições sobre o comportamento dos materiais leis constitutivas 3 Condições de compatibilidade Na prática entretanto a metodologia utilizada pelo Método das Forças para anali sar uma estrutura hiperestática é Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilí brio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura ori ginal para na superposição restabelecer as condições de compatibilidade Cada solução básica chamada de caso básico não satisfaz isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original as quais ficam restabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é em geral uma es trutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal SP As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças vai ser explicada detalhadamente na próxima seção 51 Metodologia de análise pelo Método das Forças O objetivo desta seção é apresentar a metodologia de análise de uma estrutura hi perestática pelo Método das Forças Para facilitar o entendimento do método esta apresentação é feita com base em um exemplo que é mostrado na Figura 51 130 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha A B H 0 B A 0 θ Figura 51 Estrutura utilizada para a descrição da metodologia do Método das Forças A configuração deformada do pórtico da Figura 51 é mostrada de forma exagera da o fator de amplificação dos deslocamentos da deformada é igual a 1000 To das das barras da estrutura têm os mesmos valores para área A 5103 m2 e mo mento de inércia I 5104 m4 da seção transversal e para o módulo de elasticida de E 2108 kNm2 do material 511 Hiperestáticos e Sistema Principal Para analisar a estrutura com respeito às condições de equilíbrio são mostradas na Figura 52 as cinco componentes de reações de apoio da estrutura São três as equações do equilíbrio global da estrutura no plano veja a Seção 26 do Capítulo 2 0 Fx somatório de forças na direção horizontal igual a zero 0 Fy somatório de forças na direção vertical igual a zero 0 Mo somatório de momentos em relação a um ponto qualquer igual a zero Como a estrutura é hiperestática não é possível determinar os valores das reações de apoio da estrutura utilizando apenas as três equações de equilíbrio que são dis poníveis O número de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio é definido como g grau de hiperestaticidade No exemplo g 2 Luiz Fernando Martha Método das Forças 131 HA VA MA HB VB Figura 52 Componentes de reações de apoio da estrutura da Figura 51 Conforme mencionado a solução do problema hiperestático pelo Método das For ças é feita pela superposição de soluções básicas isostáticas Para isso criase uma estrutura isostática auxiliar chamada Sistema Principal SP que é obtida da estru tura original hiperestática pela eliminação de vínculos O SP adotado no exemplo da Figura 51 é a estrutura isostática mostrada na Figura 53 θA 0 H 0 B X1 X2 Figura 53 Sistema Principal adotado para a solução da estrutura da Figura 51 Observase na Figura 53 que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura original a imposição de rotação A θ nula do apoio da esquerda e a imposição de deslocamento horizontal H B nulo do apoio da direita O número de vínculos que devem ser eliminados para transformar as estrutura hiperestática original em uma estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade g A escolha do SP é arbi 132 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha trária qualquer estrutura isostática escolhida é válida desde que seja estável esta ticamente As Seções 53 e 54 a seguir vão abordar a questão da escolha do Sis tema Principal Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de apoio MA e HB que estão indicadas na Figura 52 Esses esforços são chamados de hiperestáticos e são as incógnitas da solução pelo Método das Forças Utilizase a nomenclatura Xi para indicar os hiperestáticos sendo i o seu índice que varia de 1 a g No exemplo temse X1 MA reação momento associada ao vínculo de apoio θA 0 X2 HB reação horizontal associada ao vínculo de apoio H 0 B Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na Figura 53 com sentidos que foram convencionados como positivos momento positivo no sentido antihorário e força horizontal positiva com sentido da esquerda para a direita 512 Restabelecimento das condições de compatibilidade A solução do problema pelo Método das Forças recai em encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para juntamente com o carregamento aplicado recompor os vínculos de apoio eliminados Isto é procuramse os valores dos hiperestáticos que fazem com que as condições de compatibilidade violadas na criação do SP θA 0 e H 0 B sejam restabelecidas A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos utili zando o SP como estrutura para as soluções básicas O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade mais um g 1 No exemplo isso resul ta nos casos 0 1 e 2 que são mostrados a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP O caso básico 0 mostrado na Figura 54 isola o efeito da solicitação externa car regamento aplicado no SP A figura mostra a configuração deformada com fator de amplificação igual a 20 do SP no caso 0 A rotação δ10 e o deslocamento hori zontal δ20 nas direções dos vínculos eliminados para a criação do SP são chama dos de termos de carga Um termo de carga é definido formalmente como iδ 0 termo de carga deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no SP com hiperestáticos com valores nulos Neste exemplo os dois termos de carga podem ser calculados utilizando o Princí pio das Forças Virtuais PFV tal como mostrado na Seção 4311 do Capítulo 4 Esse cálculo não está sendo mostrado por uma questão de simplicidade pois o ob Luiz Fernando Martha Método das Forças 133 jetivo aqui é apresentar a metodologia do Método das Forças Ao longo deste capí tulo serão mostrados diversos exemplos de aplicação do PFV para o cálculo de ter mos de carga e outros coeficientes Os valores dos termos de carga do exemplo estão indicados na Figura 54 δ10 rad 1364 10 3 10 δ m 10 115 2 3 20 δ δ20 Figura 54 Solicitação externa isolada no SP da estrutura da Figura 51 O sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X1 no caso 1 a seguir Analogamente o sinal positivo de δ20 indica que este deslocamento tem o mesmo sentido que é conside rado para o hiperestático X2 no caso 2 a seguir Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP A Figura 55 mostra a configuração deformada com fator de amplificação igual a 2000 do SP no caso 1 O hiperestático X1 é colocado em evidência já que ele é uma incógnita do problema Considerase um valor unitário para X1 sendo o efei to de X1 1 multiplicado pelo valor final que X1 deverá ter A rotação δ11 e o des locamento horizontal δ21 provocados por X1 1 nas direções dos vínculos elimina dos para a criação do SP são chamados de coeficientes de flexibilidade Formalmente um coeficiente de flexibilidade é definido como δij coeficiente de flexibilidade deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj atuando isoladamente no SP Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso 1 que estão indicados na Fi gura 55 foram calculados pelo PFV Por definição as unidades dos coeficientes de flexibilidade correspondem às unidades de deslocamento ou rotação divididas pe la unidade do hiperestático em questão 134 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ11 radkNm 0 1152 10 3 11 δ mkNm 0 6997 10 3 21 δ δ21 X1 1 x X1 Figura 55 Hiperestático X1 isolado no SP da estrutura da Figura 51 As mesmas observações feitas quanto aos sinais dos termos de carga podem ser feitas para os coeficientes de flexibilidade Isto é o sinal da rotação δ11 é positivo pois tem o mesmo sentido do que foi arbitrado para X1 1 e o sinal do desloca mento horizontal δ21 é negativo pois tem o sentido contrário ao que foi arbitrado para X2 1 no caso 2 a seguir Observe que o sinal dos coeficientes δii que têm i j sendo i o índice do hiperestático sempre é positivo pois esses coeficientes são deslocamentos ou rotações nos próprios pontos de aplicação de forças ou momen tos unitários Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP A Figura 56 mostra a configuração deformada com fator de amplificação igual a 400 do SP no caso 2 De maneira análoga ao caso 1 o hiperestático X2 é coloca do em evidência considerandose um valor unitário multiplicado pelo seu valor final A rotação δ12 e o deslocamento horizontal δ22 provocados por X2 1 nas di reções dos vínculos eliminados para a criação do SP também são coeficientes de fle xibilidade As unidades destes coeficientes por definição são unidades de deslo camento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático X2 Os valores dos coeficientes de flexibilidade do caso 2 também estão indicados na Figura 56 Observe que os valores de δ12 e δ21 são iguais Isto não é coincidência Os coeficientes δij e δji sendo i e j índices de hiperestáticos sempre serão iguais Isso é demonstrado pelo Teorema de Maxwell mostrado na Seção 433 do Capítulo 4 Luiz Fernando Martha Método das Forças 135 δ12 mkN 6 1180 10 3 22 δ 22 δ x X2 X2 1 radkN 0 6997 10 3 12 δ Figura 56 Hiperestático X2 isolado no SP da estrutura da Figura 51 Restabelecimento das condições de compatibilidade A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados podese utilizar superposição de efeitos para restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP Isto é feito a seguir Superposição das rotações do nó inferior esquerdo nó A 0 2 12 1 11 10 X X δ δ δ Superposição dos deslocamentos horizontais no nó inferior direito nó B 0 2 22 1 21 20 X X δ δ δ Sistema de equações de compatibilidade 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 X X X X δ δ δ δ δ δ 0 61180 10 0 6997 10 10 2 115 0 06997 10 01152 10 64 10 13 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3 X X X X A solução deste sistema de equações de compatibilidade resulta nos seguintes va lores das reações de apoio X1 e X2 1339 kNm 1 X 1729 kN 2 X O sinal de X1 é positivo pois tem o mesmo sentido antihorário do que foi arbi trado para X1 1 no caso 1 e o sinal de X2 é negativo pois tem o sentido contrário da direita para a esquerda ao que foi arbitrado para X2 1 no caso 2 tal como indica a Figura 57 136 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 1339 kNm 1729 kN Figura 57 Valores e sentidos dos hiperestáticos na solução da estrutura da Figura 51 Os valores encontrados para X1 e X2 fazem com que θA 0 e H 0 B Dessa for ma atingiuse a solução correta da estrutura pois além de satisfazer as condições de equilíbrio que sempre foram satisfeitas nos casos 0 1 e 2 também satis faz as condições de compatibilidade 513 Determinação dos esforços internos A solução da estrutura não termina na obtenção dos valores dos hiperestáticos X1 e X2 Ainda é necessário obter os diagrama de esforços internos e os deslocamentos da estrutura Existem duas alternativas para isso 1 Calculase uma estrutura isostática o Sistema Principal com o carregamento aplicado simultaneamente aos hiperestáticos com os valores corretos encon trados como se fossem forças e momentos aplicados 2 Utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos ou deslocamentos finais Embora a primeira opção possa parecer mais simples a segunda opção é a que vai ser utilizada na maioria das soluções O motivo para isso é que no cálculo dos va lores dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade pelo PFV Seção 4311 do Capítulo 4 é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos 0 1 e 2 Portanto como os diagramas de esforços internos dos casos básicos já estarão disponíveis os esforços internos finais da estrutura hipe restática original são obtidos por superposição dos esforços internos dos casos bá sicos Por exemplo os momentos fletores finais M podem ser obtidos pela super posição dos diagramas de momentos fletores Mi dos casos básicos Luiz Fernando Martha Método das Forças 137 2 2 1 1 0 M D M D M M sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso 0 e os diagramas M1 e M2 são pro vocados por valores unitários dos hiperestáticos nos casos 1 e 2 respectivamen te Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais finais N esforços cortantes finais Q e momentos fletores finais M de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g g j j Nj Xj N N 1 0 51 g j j Qj Xj Q Q 1 0 52 g j j Mj Xj M M 1 0 53 Sendo N0 diagrama de esforços normais no caso 0 isto é quando a solicitação exter na atua isoladamente no SP Nj diagrama de esforços normais no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário Q0 diagrama de esforços cortantes no caso 0 isto é quando a solicitação exter na atua isoladamente no SP Qj diagrama de esforços cortantes no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário M0 diagrama de momentos fletores no caso 0 isto é quando a solicitação ex terna atua isoladamente no SP Mj diagrama de momentos fletores no caso j provocado por Xj 1 isto é quando o hiperestático Xj atua isoladamente no SP com valor unitário Na seqüência deste capítulo será mostrado como se calculam os coeficientes que aparecem na formulação do Método das Forças pelo PFV com base nos diagramas de esforços internos dos casos básicos Nesta seção isso não foi feito pois o objetivo era apresentar a metodologia geral de solução 138 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 52 Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga O sistema de equações de compatibilidade da solução pelo Método das Forças do exemplo da seção anterior pode ser reescrito de uma forma matricial 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 X X X X δ δ δ δ δ δ 0 0 2 1 22 21 12 11 20 10 X X δ δ δ δ δ δ No caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g podese escrever 0 0 δ X δ 54 Sendo δ0 vetor dos termos de carga δ matriz de flexibilidade X vetor dos hiperestáticos O número de equações de compatibilidade na relação matricial 54 é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura sendo que cada equação restabelece o vínculo associado ao hiperestático genérico Xi O termo de carga δi0 é o deslocamento ou a rotação que aparece no vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi no caso 0 O coeficiente δij da matriz de flexibilidade é o deslocamento ou a rotação que apa rece no vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi provocado por Xj 1 no caso j Observase que o vetor dos termos de carga depende do SP escolhido e da solicita ção externa Já a matriz de flexibilidade só depende do SP escolhido Portanto se outro carregamento ou qualquer outra solicitação atuar mantendose o mesmo SP somente os termos de carga têm que ser calculados novamente O Método das Forças é assim chamado pois as incógnitas são forças ou momen tos O método também é chamado de Método da Compatibilidade pois as equa ções finais expressam condições de compatibilidade Ele também é denominado Método da Flexibilidade pois envolve coeficientes de flexibilidade em sua solução Duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de flexibilidade A pri meira é que pelo Teorema de Maxwell mostrado na Seção 433 versão para forças generalizadas unitárias impostas equação 441 a matriz é simétrica Ou seja ij ji δ δ 55 A segunda observação é que os coeficientes de flexibilidade que correspondem a um dado caso básico casos 1 e 2 da seção anterior têm o mesmo índice j Podese escrever então Luiz Fernando Martha Método das Forças 139 A jésima coluna da matriz de flexibilidade δ da estrutura corresponde ao conjunto de deslocamentos generalizados deslocamentos ou rotações nas direções dos vínculos eliminados do SP provocados por Xj 1 hiperestático Xj com valor unitário atuando isoladamente no SP 53 Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua No exemplo da Seção 51 para se chegar ao Sistema Principal foram eliminados vínculos de apoio Esta opção pode ser a mais intuitiva mas não é a única Em alguns casos por uma questão de conveniência da solução podese eliminar víncu los internos da estrutura hiperestática para a determinação do SP Em outros ca sos a única alternativa é a eliminação de vínculos internos Esta seção analisará uma estrutura com duas alternativas para o SP uma elimi nando vínculos externos de apoio e outra eliminando a continuidade interna na sua configuração deformada No exemplo adotado vai ficar claro que a segunda alternativa é a mais conveniente pois resulta em cálculos bem mais simples para a determinação dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade Isso acontece na maioria dos casos quando são introduzidas rótulas na estrutura para eliminar a continuidade interna de rotação Considere a viga contínua mostrada na Figura 58 com três vãos e com uma carga uniformemente distribuída abrangendo o vão da esquerda A rigidez à flexão da viga EI é fornecida Pedese o diagrama de momentos fletores da estrutura Para o cálculo de deslocamentos ou rotações é utilizado o PFV cujo desenvolvimento teórico foi mostrado no Capítulo 4 veja Seção 4311 Nesse cálculo não são con siderados efeitos axiais mesmo porque não existem esforços axiais na viga contí nua ou efeitos de cisalhamento na energia de deformação q l l l Figura 58 Viga contínua com três vãos e carregamento uniformemente distribuído no primeiro vão A estrutura da Figura 58 tem grau de hiperestaticidade g 2 Para a resolução pelo Método das Forças duas opções para o Sistema Principal SP vão ser consi deradas O objetivo é caracterizar as diferenças que existem na escolha do SP Na primeira opção são eliminados vínculos externos vínculos de apoio e na segunda são eliminados vínculos internos continuidade de rotação 140 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 531 Sistema Principal obtido por eliminação de apoios Nesta opção são eliminados os apoios internos da viga para se chegar ao SP Os hiperestáticos X1 e X2 são as reações de apoio associadas a estes vínculos tal como indicado na Figura 59 l l l X1 X2 q Figura 59 Primeira opção para SP da estrutura da Figura 58 A solução pelo Método das Forças recai em determinar os valores que as reações de apoio X1 e X2 devem ter para que juntamente com o carregamento atuante os deslocamentos verticais dos pontos dos apoios eliminados sejam nulos Desta forma ficam restabelecidas as condições de compatibilidade externas eliminadas com a criação do SP A metodologia utilizada para impor as condições de compatibilidade consiste em fazer uma superposição de casos básicos utilizando o SP como estrutura auxiliar Como a estrutura original é duas vezes hiperestática existem três casos básicos tal como mostrado a seguir 5311 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP Neste caso somente a solicitação externa atua no SP e os valores dos hiperestáticos são nulos X1 0 e X2 0 A Figura 510 mostra a configuração deformada do caso 0 onde os termos de carga δ10 e δ20 estão indicados e o diagrama de momentos fletores M0 para este caso l l l δ10 δ20 q ql28 ql26 M0 5ql6 ql6 2ql26 Figura 510 Solicitação externa isolada no SP da Figura 59 Luiz Fernando Martha Método das Forças 141 Os termos de carga no caso 0 têm a seguinte interpretação física δ10 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1 provoca do pelo o carregamento externo no caso 0 δ20 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2 provoca do pelo carregamento externo no caso 0 5312 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP Neste caso somente o hiperestático X1 atua no SP sem a solicitação externa e com X2 0 Como o valor do hiperestático X1 não é conhecido colocase X1 em evidên cia no caso 1 considerado como caso básico X1 1 e multiplicando externamente pela incógnita X1 tal como indicado na Figura 511 A configuração deformada e o diagrama de momentos fletores do caso 1 estão mostrados na figura onde os coe ficientes de flexibilidade δ11 e δ21 estão indicados Por definição o diagrama de momentos fletores M1 é para X1 1 Os coeficientes de flexibilidade no caso 1 são interpretados fisicamente como δ11 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1 provoca do por X1 1 no caso 1 δ21 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2 provoca do por X1 1 no caso 1 l l l δ21 δ11 X1 1 x X1 2l3 l3 M1 23 13 Figura 511 Hiperestático X1 isolado no SP da Figura 59 142 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5313 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP Neste caso somente o hiperestático X2 atua no SP sem a solicitação externa e com X1 0 Analogamente ao caso 1 colocase X2 em evidência no caso 2 A confi guração deformada e o diagrama de momentos fletores M2 para X2 1 do caso 2 estão mostrados na Figura 512 onde os coeficientes de flexibilidade δ12 e δ22 estão indicados l l l δ22 δ12 X2 1 x X2 l3 2l3 M2 13 23 Figura 512 Hiperestático X2 isolado no SP da Figura 59 Os coeficientes de flexibilidade no caso 2 têm a seguinte interpretação física δ12 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1 provoca do por X2 1 no caso 2 δ22 deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2 provoca do por X2 1 no caso 2 5314 Restabelecimento das condições de compatibilidade Com base na superposição dos três casos básicos são restabelecidas as condições de compatibilidade que foram violadas na criação do SP O objetivo é restabelecer as condições impostas pelos apoios eliminados isto é vai se impor que na super posição os deslocamentos verticais finais dos pontos dos apoios são nulos 0 0 2 1 22 21 12 11 20 10 X X δ δ δ δ δ δ O cálculo dos coeficientes que aparecem neste sistema de equações é feito com au xílio do PFV Conforme visto na Seção 4311 do Capítulo 4 o PFV trabalha com um sistema real de deformação do qual se quer calcular um deslocamento em al Luiz Fernando Martha Método das Forças 143 gum ponto e um sistema de forças virtuais com uma força aplicada no ponto e na direção do deslocamento que se quer calcular No presente exemplo da viga contínua com três vãos para o SP adotado os deslo camentos a serem calculados são sempre os deslocamentos verticais nos pontos dos apoios eliminados para a criação do SP Portanto os sistemas de forças virtuais adotados sempre serão forças unitárias aplicadas nestes pontos Observase que estes sistemas correspondem justamente aos casos 1 e 2 para os hiperestáticos X1 e X2 com valores unitários Dessa forma os sistemas de deformação real são os casos 0 1 e 2 e os sistemas de forças virtuais são os casos 1 e 2 com X1 1 e X2 1 respectivamente Cálculo de δ10 No cálculo do termo de carga δ10 pelo PFV o sistema real de deformação é o caso 0 e o sistema de forças virtuais é o caso 1 com X1 1 Portanto a expressão para este coeficiente desprezando deformações por cisalhamento é veja a Seção 4311 l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 0 1 10 1 1 δ A integral acima é calculada para cada trecho da viga l l l l l l M M dx M M dx M M dx M dx M 3 2 0 1 2 0 1 0 0 1 3 0 0 1 Esta integral é calculada com base na Tabela 41 do Capítulo 4 para a combinação de diagramas de momentos fletores Para tanto os diagramas em cada trecho da viga são decompostos em parcelas retangulares que não existem neste caso tri angulares e parabólicas simples tal como indica a Figura 513 Abaixo são mostradas as expressões das combinações das parcelas dos diagramas Em cada trecho cada parcela no caso 1 é combinada com as outras parcelas no caso 0 Observase que os momentos fletores no caso 0 tracionam as fibras infe riores e no caso 1 tracionam as fibras superiores Portanto os sinais das integrais são negativos O valor final para δ10 é mostrado em função de l comprimento de um trecho q taxa de carregamento distribuído e EI rigidez à flexão da viga Isso resulta em l ql l l ql l M dx M l 8 3 2 3 1 6 2 3 2 3 1 2 2 0 0 1 l ql l l ql l l ql l l ql l M dx M l l 6 3 2 6 1 6 2 3 2 3 1 6 3 3 1 6 2 3 6 1 2 2 2 2 2 0 1 144 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha l ql l M dx M l l 6 3 3 1 2 3 2 0 1 4 4 3 0 0 1 ql M dx M l O valor final de δ10 é EI ql M M dx EI l 4 1 4 3 0 0 1 10 δ M1 l l l ql28 ql26 2ql26 ql26 l3 2l3 l3 l M M dx 0 1 0 l l M dx M 2 1 0 l l M dx M 3 2 0 1 M0 Figura 513 Combinação de diagramas de momentos fletores para o cálculo do termo de carga δ10 relativo ao SP da Figura 59 Cálculo de δ20 Este cálculo é análogo ao cálculo do termo de carga δ10 Para calcular δ20 pelo PFV o sistema de deformação real é o caso 0 e o sistema de forças virtuais é o caso 2 com X2 1 resultando em l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 0 2 20 1 1 δ Esta integral é calculada com base na combinação dos diagramas de momentos fletores em cada trecho da viga tal como mostrado na Figura 514 As expressões para as integrais para cada trecho e o resultado final para δ20 estão mostrados abaixo Assim como para δ10 os sinais são negativos pois os momentos fletores dos casos 0 e 2 tracionam fibras opostas Luiz Fernando Martha Método das Forças 145 l ql l l ql l M dx M l 8 3 3 1 6 2 3 3 1 2 2 0 0 2 l ql l l ql l l ql l l ql l M dx M l l 6 3 2 3 1 6 2 3 2 6 1 6 3 6 1 6 2 3 3 1 2 2 2 2 2 0 2 l ql l M dx M l l 6 3 2 3 1 2 3 2 0 2 24 5 4 3 0 0 2 ql M dx M l Isso resulta em EI ql M M dx EI l 24 5 1 4 3 0 0 2 20 δ M2 l l l ql28 ql26 2ql26 ql26 l M M dx 0 2 0 l l M dx M 2 2 0 l l M dx M 3 2 0 2 M0 l3 l3 2l3 Figura 514 Combinação de diagramas de momentos fletores para o cálculo do termo de carga δ20 relativo ao SP da Figura 59 Cálculo de δ11 Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ11 pelo PFV o sistema real de deforma ção e o sistema de forças virtuais coincidem são o caso 1 com X1 1 Dessa for ma 146 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 1 1 11 1 1 δ Esta expressão demonstra que o sinal de δ11 é positivo conforme foi mencionado anteriormente neste capítulo na Seção 512 δii é sempre positivo sendo i o índice do hiperestático A combinação dos diagramas de momentos fletores estão mos tradas na Figura 515 e as expressões para as integrais em cada trecho para o cálcu lo deste coeficiente são mostradas abaixo l l l M dx M l 3 2 3 2 3 1 0 1 1 l l l l l l l l l l l l M dx M l l 3 2 3 2 3 1 3 3 2 6 1 3 2 3 6 1 3 3 3 1 2 1 1 l l l M dx M l l 3 3 3 1 3 2 1 1 9 4 3 3 0 1 1 l M dx M l O valor resultante para δ11 é EI l M M dx EI l 9 4 1 3 3 0 1 1 11 δ M1 l l l l3 2l3 l3 l M M dx 0 1 1 l l M dx M 2 1 1 l l M dx M 3 2 1 1 M1 l3 2l3 l3 Figura 515 Combinação de diagramas de momentos fletores para o cálculo do coeficiente de flexibilidade δ11 relativo ao SP da Figura 59 Luiz Fernando Martha Método das Forças 147 Cálculo de δ21 e δ12 No cálculo do coeficiente de flexibilidade δ21 pelo PFV o sistema real de deforma ção é o caso 1 com X1 1 e o sistema de forças virtuais é o caso 2 com X2 1 Para o cálculo do coeficiente de flexibilidade δ12 os papéis dos casos 1 e 2 se in vertem o sistema de deformação real é o caso 2 com X2 1 e o sistema de forças virtuais é o caso 1 com X1 1 Isso resulta em l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 1 2 21 1 1 δ l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 2 1 12 1 1 δ Estas expressões demonstram que δ12 e δ21 são iguais conforme foi mencionado anteriormente na Seção 512 δij δji sendo i e j índices de hiperestáticos A Figu ra 516 mostra a combinação dos diagramas de momentos fletores as expressões para as integrais em cada trecho e o cálculo final destes coeficientes são mostrados abaixo Observase que estes coeficientes são positivos pois os momentos fletores dos casos 1 e 2 tracionam fibras do mesmo lado neste exemplo são as fibras su periores l l l M M dx M dx M l l 3 2 3 3 1 0 2 1 0 1 2 l l l l l l l l l l l l M M dx M dx M l l l l 3 2 3 2 6 1 3 3 2 3 1 3 2 3 3 1 3 3 6 1 2 2 1 2 1 2 l l l M M dx M dx M l l l l 3 3 2 3 1 3 2 2 1 3 2 1 2 18 7 3 3 0 2 1 3 0 1 2 l M M dx M dx M l l EI l M M dx EI M M dx EI l l 18 7 1 1 3 3 0 2 1 3 0 1 2 12 21 δ δ 148 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha l l l M1 l3 2l3 l3 M2 l M M dx 0 2 1 l l M dx M 2 2 1 l l M dx M 3 2 1 2 l3 l3 2l3 Figura 516 Combinação de diagramas de momentos fletores para o cálculo dos coeficientes de flexibilidade δ12 e δ21 relativo ao SP da Figura 59 Cálculo de δ22 Assim como para δ11 no cálculo do coeficiente de flexibilidade δ22 pelo PFV o sis tema real de deformação e o sistema de forças virtuais se identificam Para δ22 os dois sistemas são o caso 2 com X2 1 Isto resulta em l viga M M dx EI MMdx EI 3 0 2 2 22 1 1 δ Como mencionado observase que o sinal de δ22 é positivo O cálculo deste coefi ciente é feito através das integrais mostradas abaixo que resultam da combinação dos diagramas de momentos fletores mostrada na Figura 517 l l l M dx M l 3 3 3 1 0 2 2 l l l l l l l l l l l l M dx M l l 3 2 3 2 3 1 3 3 2 6 1 3 2 3 6 1 3 3 3 1 2 2 2 l l l M dx M l l 3 2 3 2 3 1 3 2 2 2 9 4 3 3 0 2 2 l M dx M l Luiz Fernando Martha Método das Forças 149 EI l M M dx EI l 9 4 1 3 3 0 2 2 22 δ l l l M2 M2 l3 l3 2l3 l M M dx 0 2 2 l l M dx M 2 2 2 l l M dx M 3 2 2 2 l3 l3 2l3 Figura 517 Combinação de diagramas de momentos fletores para o cálculo do coeficiente de flexibilidade δ22 relativo ao SP da Figura 59 Solução do sistema de equações de compatibilidade Com base nas expressões dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade encontrados anteriormente podese montar o sistema de equações de compatibili dade final do Método das Forças para este exemplo 0 0 4 9 18 7 7 18 9 4 24 5 4 1 0 0 2 1 3 4 2 1 22 21 12 11 20 10 X X EI l EI ql X X δ δ δ δ δ δ A partir da solução deste sistema de equações determinamse os valores dos hipe restáticos X1 e X2 em função de l comprimento de um vão da viga e q taxa de car regamento distribuído 10 20 13 2 1 ql X ql X Observase que estes valores independem do parâmetro EI rigidez à flexão da vi ga que foi eliminado na solução do sistema de equações acima 150 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5315 Reações de apoio e diagrama de momentos fletores finais Para finalizar a solução da viga contínua com três vãos resta determinar o diagra ma de momentos fletores finais Conforme mencionado anteriormente neste capí tulo Seção 513 este diagrama pode ser determinado de duas maneiras Calculase o Sistema Principal com o carregamento aplicado simultaneamen te aos hiperestáticos X1 e X2 com os valores corretos encontrados Utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos mo mentos fletores finais M M0 M1X1 M2X2 A segunda opção é em geral utilizada pois os diagramas de momentos fletores dos casos básicos já estão disponíveis foram necessários para o cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade A Figura 518 mostra as reações apoio e os momentos fletores finais para esta estrutura q l l l 13ql20 ql10 13ql30 ql60 ql215 ql260 ql28 M Figura 518 Reações de apoio e diagrama de momentos fletores finais da estrutura da Figura 58 532 Sistema Principal obtido por introdução de rótulas internas Nesta outra opção para o SP são eliminados vínculos internos de continuidade de rotação da elástica configuração deformada da viga Neste caso são introduzidas duas rótulas nas seções dos dois apoios internos Os hiperestáticos X1 e X2 são momentos fletores associados à continuidade de rotação da viga nestas seções tal como mostrado na Figura 519 Luiz Fernando Martha Método das Forças 151 l l l X1 X1 X2 X2 Figura 519 Segunda opção para SP da estrutura da Figura 58 Seguindo a metodologia do Método das Forças a solução do problema recai em determinar os valores que os momentos fletores X1 e X2 devem ter para que jun tamente com o carregamento atuante fique restabelecida a continuidade de rota ção da elástica da viga Os mesmos passos mostrados para a solução considerando a opção anterior do SP Seção 531 são feitos para esta opção Isto é mostrado a seguir 5321 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP l l l δ10 δ20 0 q ql28 M0 ql2 ql2 Figura 520 Solicitação externa isolada no SP da Figura 519 δ10 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida ao carregamento externo no caso 0 δ20 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devida ao carregamento externo no caso 0 152 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 5322 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP l l l x X1 1 M1 δ11 δ21 X1 1 X1 1 1 1l 1l 2l Figura 521 Hiperestático X1 isolado no SP da Figura 519 δ11 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X1 1 no caso 1 δ21 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devida a X1 1 no caso 1 5323 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP l l l x X2 M2 δ22 δ12 X2 1 X2 1 1 1 1l 1l 2l Figura 522 Hiperestático X2 isolado no SP da Figura 519 δ12 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X2 1 no caso 2 Luiz Fernando Martha Método das Forças 153 δ22 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devida a X2 1 no caso 2 5324 Restabelecimento das condições de compatibilidade Para esta opção do Sistema Principal é preciso restabelecer as condições de conti nuidade de rotação nas seções onde foram introduzidas as rótulas Isto é feito com base na superposição dos três casos básicos As equações de compatibilidade vão impor que na superposição as rotações relativas entre as seções adjacentes a cada rótula sejam nulas resultando em 0 0 2 1 22 21 12 11 20 10 X X δ δ δ δ δ δ O cálculo dos coeficientes deste sistema de equações também é feito com auxílio do Princípio das Forças Virtuais PFV Para o Sistema Principal adotado são calcula das as rotações relativas entre as seções adjacentes a cada rótula introduzida na criação do SP Portanto os sistemas de forças virtuais adotados são sempre pares de momentos unitários aplicados adjacentes às rótulas Assim como para a primei ra opção do SP Seção 531 observase que estes sistemas correspondem justa mente aos casos 1 e 2 para os hiperestáticos X1 e X2 com valores unitários As sim os sistemas de deformação real são os casos 0 1 e 2 e os sistemas de forças virtuais são os casos 1 e 2 com X1 1 e X2 1 respectivamente Uma grande vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade Este cálculo é mostrado abaixo com base na combinação dos diagramas de momentos fletores dos casos básicos mostrados anteriormente EI ql l ql EI 24 8 3 1 1 1 3 2 10 δ δ20 0 EI l l l EI 3 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 11 δ EI l l EI 6 6 1 1 1 1 12 21 δ δ EI l l l EI 3 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 22 δ 154 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O sistema de equações de compatibilidade resultante e a sua solução estão indica dos abaixo 0 0 2 3 1 6 1 6 2 3 0 1 24 0 0 2 1 3 2 1 22 21 12 11 20 10 X X EI l EI ql X X δ δ δ δ δ δ 60 15 2 2 2 1 ql X ql X Observase que os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores dos momentos fletores nas seções dos apoios internos da viga contínua conforme indi cado na Seção 5315 Portanto esta opção do SP acarreta como não poderia dei xar de ser a mesma solução da estrutura hiperestática Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do diagrama dos momentos fletores finais Nas seções onde foram introduzidas rótulas o valor do momento fletor final é o próprio valor do hiperestático correspondente a cada rótula como está indicado na Figura 518 O traçado do diagrama ao longo das barras é obtido por uma superposição simples dos diagramas dos casos básicos No primeiro vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola no se gundo é uma superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo 54 Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado Na seção anterior foi analisada uma viga contínua com duas opções para o SP uma com eliminação de vínculos externos e outra com eliminação de continuidade in terna Esta seção estende este estudo para um quadro externamente isostático mostrado na Figura 523 de tal maneira que para a criação do SP é necessário eli minar vínculos internos de continuidade De acordo com a Seção 26 do Capítulo 2 o grau de hiperestaticidade do quadro é g 3 Todas as barras têm os mesmos parâmetros de material e de seção transversal Neste estudo apenas são discutidos os Sistemas Principais adotados e as interpre tações físicas dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade A solução final da estrutura não é mostrada visto que isso é feito para diversos outros exemplos no restante deste capítulo Duas opções são adotadas para o SP da solução do pórtico da Figura 523 pelo Mé todo das Forças Na primeira o anel circuito fechado de barras é cortado secio nandoo em uma seção Na segunda são introduzidas rótulas internas Luiz Fernando Martha Método das Forças 155 P l2 l2 h S Figura 523 Pórtico plano externamente isostático e com hiperestaticidade interna devida a um anel 541 Sistema Principal obtido por corte de uma seção A primeira opção para a criação do SP da estrutura da Figura 523 é feita secionan do o anel na seção S indicada na figura O SP resultante é mostrado na Figura 524 X1 X2 X3 X1 X2 X3 Figura 524 Primeira opção para SP do quadro da Figura 523 Os hiperestáticos correspondentes a esta opção do SP também estão indicados na Figura 524 Eles são os esforços internos de ligação na seção S Os casos básicos da solução da estrutura pelo Método das Forças com este SP são mostrados a se guir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP A Figura 525 mostra o efeito da solicitação externa para o SP adotado Vêemse na figura as interpretações físicas dos termos de carga para este caso sendo que δ10 deslocamento axial relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado pela solicitação externa no caso 0 δ20 deslocamento transversal relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado pela solicitação externa no caso 0 no exemplo δ20 é nulo 156 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha δ30 rotação relativa entre as seções resultantes do corte na seção S provocada pela solicitação externa no caso 0 P P2 P2 δ30 δ10 Figura 525 Solicitação externa isolada no SP da Figura 524 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP O caso 1 da solução com o SP adotado é mostrado na Figura 526 e as interpreta ções físicas dos coeficientes de flexibilidade correspondentes são δ11 deslocamento axial relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X1 1 no caso 1 δ21 deslocamento transversal relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X1 1 no caso 1 no exemplo δ21 é nulo δ31 rotação relativa entre as seções resultantes do corte na seção S provocada por X1 1 no caso 1 δ31 δ11 X1 1 X1 1 x X1 Figura 526 Hiperestático X1 isolado no SP da Figura 524 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP A Figura 527 mostra o caso 2 da solução para o SP adotado Os coeficientes de flexibilidade podem ser interpretados como Luiz Fernando Martha Método das Forças 157 δ12 deslocamento axial relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X2 1 no caso 2 no exemplo δ12 é nulo δ22 deslocamento transversal relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X2 1 no caso 2 δ32 rotação relativa entre as seções resultantes do corte na seção S provocada por X2 1 no caso 2 no exemplo δ32 é nulo X2 1 X2 1 x X2 δ22 Figura 527 Hiperestático X2 isolado no SP da Figura 524 Caso 3 Hiperestático X3 isolado no SP Finalmente o caso 3 desta opção do SP é indicado na Figura 528 cujos coeficien tes de flexibilidades têm a seguinte interpretação física δ13 deslocamento axial relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X3 1 no caso 3 δ23 deslocamento transversal relativo entre as seções resultantes do corte na seção S provocado por X3 1 no caso 3 no exemplo δ23 é nulo δ33 rotação relativa entre as seções resultantes do corte na seção S provocada por X3 1 no caso 3 X3 1 X3 1 x X3 δ13 δ33 Figura 528 Hiperestático X3 isolado no SP da Figura 524 158 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Restabelecimento das condições de compatibilidade Dentro da metodologia do Método das Forças a superposição dos casos básicos 0 1 2 e 3 é utilizada para recompor as condições de compatibilidade que fo ram violadas na criação do SP Para tanto somamse os valores das descontinui dades de deslocamentos axial e transversal e de rotação na seção de corte S e im põese que as somas tenham valores nulos Isso resulta em um sistema com três equações de compatibilidade 0 0 0 3 33 2 32 1 31 30 3 23 2 22 1 21 20 3 13 2 12 1 11 10 X X X X X X X X X δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Dessa forma é possível encontrar os valores de X1 X2 e X3 que fazem com que os deslocamentos axial e transversal relativos e a rotação relativa na seção de corte S sejam nulos Com isso as três condições de continuidade violadas são restabeleci das 542 Sistema Principal obtido por introdução de rótulas A Figura 529 mostra a segunda opção para o SP da estrutura da Figura 523 Este SP é obtido introduzindose três rótulas no anel da estrutura Os momentos fleto res nas seções onde as rótulas são introduzidas são os hiperestáticos desta solução X1 X2 X3 X1 X2 X3 Figura 529 Segunda opção para SP do quadro da Figura 523 Devese observar que as rótulas poderiam ser colocadas em quaisquer outros três pontos desde que não ficassem alinhadas em uma mesma barra o que caracteriza ria uma instabilidade veja a Seção 24 do Capítulo 2 A Figura 530a mostra ou tro SP válido obtido pela introdução de três rótulas na estrutura da Figura 523 A Figura 530b indica um SP não válido pois as três rótulas estão alinhadas na barra superior do pórtico Luiz Fernando Martha Método das Forças 159 a b Figura 530 Outras alternativas para SP do quadro da Figura 523 com introdução de rótulas a opção válida b opção inválida Outra observação importante com respeito à solução utilizando um SP que é obti do pela introdução de rótulas é que em geral na solução dos casos básicos é ne cessária a decomposição do quadro isostático composto em quadros isostáticos simples No caso geral esta decomposição resultaria em quadros biapoiados triar ticulados ou engastados com balanços Para o SP adotado uma possível decompo sição seria em um quadro biapoiado e outro triarticulado tal como mostrado para os casos 0 e 1 a seguir Para os casos 2 e 3 a mesma decomposição se aplica ria As interpretações físicas dos termos de carga e coeficientes de flexibilidade para esta opção do SP podem ser feitas genericamente da seguinte maneira iδ 0 rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada ao hiperestático Xi provocada pela solicitação externa no caso 0 δij rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada ao hiperestático Xi provocada por Xj 1 no caso j Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP A Figura 531 indica a solução do caso 0 da presente opção para o SP Observase que para resolver este problema isostático é conveniente decompor o quadro com posto da Figura 529 em um quadro triarticulado que é suportado por um quadro biapoiado com uma barra vertical em balanço na esquerda O quadro composto é separado em duas porções pelas rótulas associadas aos hiperestáticos X1 e X3 Os apoios do quadro triarticulado são fictícios mas servem para indicar que existem duas forças de ligação apoios do 2 gênero e a ordem de carregamento dos qua dros simples nas seções de ligação das rótulas separadas a porção que contém o apoio fictício é a porção suportada Para resolver o problema devemse determinar as reações de apoio no quadro triarticulado e aplicar estas reações como se fossem cargas atuando no quadro bia poiado Na verdade cada par reaçãocarga em um apoio fictício da decomposição representa um esforço interno de ligação em uma rótula No caso 0 deste exem plo só existem esforços de ligação verticais como mostra a Figura 531 160 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha P P2 P2 P2 P2 P2 P2 Figura 531 Solicitação externa isolada no SP da Figura 529 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP A solução do caso 1 desta opção do SP é semelhante à solução do caso 0 A de composição do quadro composto no caso 1 está mostrada na Figura 532 X1 1 1l 1l 1l 1l X1 1 x X1 Figura 532 Hiperestático X1 isolado no SP da Figura 529 Esta seção indicou a solução de um quadro fechado hiperestático mas externamen te isostático adotando duas opções para o SP Em princípio pode parecer mais complicado criar o SP introduzindo rótulas internas segunda opção do que secio nando em uma seção primeira opção Entretanto conforme foi visto na Seção 53 existem pelo menos duas vantagens para isso A primeira é que em geral a intro dução de rótulas resulta em um cálculo mais simples dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade A segunda vantagem é que o traçado do diagrama de momentos fletores final que é obtido pela superposição dos diagramas dos casos básicos é mais simples Nos pontos onde são introduzidas rótulas o valor do dia grama de momentos fletores final é o próprio valor do hiperestático corresponden do àquela rótula O restante deste capítulo apresenta soluções de pórticos planos treliças e grelhas pelo Método das Forças Luiz Fernando Martha Método das Forças 161 55 Exemplos de solução pelo Método das Forças Exemplo 01 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 10 x 105 kNm2 X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g2 M0 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP X11 X11 16 16 16 16 14 14 14 14 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP X21 14 M2 14 X2 Caso 2 X2 isolado no SP Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 82 45 10 8 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 54 3 1 36 6 1 3 1 9 6 1 1 10 δ EI EI 336 2 1 72 6 1 6 1 36 4 1 3 1 72 4 1 1 20 δ EI EI 3 20 3 1 1 6 2 1 3 1 1 4 2 1 1 11 δ 0 12 21 δ δ EI EI 3 22 1 1 6 3 1 1 4 1 1 22 δ Diagrama de Momentos Fletores M M0 M1X1 M2X2 M kNm 162 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exemplo 02 Considere as duas estruturas mostradas abaixo A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é um quadro hiperestático Os dois quadros sofrem a mesma solicitação uma força horizontal de 50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E 10 x 108 kNm2 e seções transversais com momento de inércia I 10 x 103 m4 Considere válida a hipótese de pequenos deslocamentos Pedese a Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática b Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática Devese utilizar o Método das Forças adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda Somente considere deformações por flexão b1 Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi dade do Método das Forças para esta solução b2 Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais c Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I 20 x 103 m4 a viga não se altera Responda sem fazer nenhum cálculo c1 O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera Por que c2 O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera Por que Item a M kNm ρ 0006m Como a estrutura é isostática o pequeno recalque de apoio não provoca deformações só movimento de corpo rígido Portanto o recalque não provoca momentos fletores que só são devidos à carga de 50 kN aplicada Item b Caso 0 Solicitação eterna isolada no SP Idêntico ao item a X11 13 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 13 Item b1 Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ δ10 é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso 0 Luiz Fernando Martha Método das Forças 163 Item b2 Cálculo de δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais PFV Sistema Real Estrutura da qual se quer calcular o desloca mento É o caso 0 que é idêntico ao item a Sistema Virtual Estrutura com força unitária virtual na dire ção do deslocamento que se quer calcular É o caso 1 com X1 1 PFV WE U WE Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real Neste caso o trabalho externo virtual é igual ao produto de X1 1 por δ10 mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso 1 força de 13 para baixo pelo recalque de a poio ρ ρ δ 13 1 10 WE U Energia de deformação interna virtual Esta é a energia de deformação por flexão provocada pelos momentos fletores do sistema virtual M M1 com as correspondentes rota ções relativas internas do sistema real EI dx M d 0 θ Deve ser observado que o recalque de apoio ρ não provoca deforma ções internas só provoca movimento de corpo rígido Portanto θ d é somente devido à car ga de 50 kN aplicada Assim dx EI M M M d Md U estrutura estrutura estrutura 0 1 1 θ θ Assim ρ δ 13 1 0 1 10 M M dx EI estrut 0 006 3 1 2 1 100 2 1 2 1 100 3 1 1 10 EI δ rad x 3 10 10 54 δ kNm rad x EI 3 10 1 1 2 3 1 1 3 1 1 5 11 δ kNm X X 150 0 1 1 11 10 δ δ Diagrama de Momentos Fletores M M0 M1X1 M kNm Item c1 Na estrutura isostática o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea ções e da geometria da estrutura Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada original da estrutura Portanto o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colu nas Item c2 Na estrutura hiperestática por ter vínculos excedentes os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras Com as colunas mais rígidas do que a viga as rotações das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas Portanto o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas Exemplo 03 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 40 x 104 kNm2 164 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso 0 Solicitação externa isolada no SP Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 x X1 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP x X2 Equações de compatibilidade 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 X X X X δ δ δ δ δ δ 0 0 8 2 2 10 1 114 156 1 2 1 X X EI EI 1 kNm 19 4 kNm 19 2 1 X X EI EI 156 3 1 24 6 1 3 1 9 6 2 2 1 24 6 1 1 10 δ EI EI 114 3 1 36 6 1 3 1 36 6 1 3 1 9 6 1 3 1 24 6 1 1 20 δ EI EI 10 3 1 1 6 1 1 1 6 3 1 1 6 1 1 11 δ EI EI 2 3 1 1 6 1 1 21 12 δ δ EI EI 8 3 1 1 6 1 4 1 22 δ Momentos Fletores Finais 2 2 1 1 0 X M X M M M M2 kNm M0 Sistema Principal e Hiperestáticos SP X1 X1 X2 X2 X1 1 X1 1 16 16 X2 1 X2 1 16 16 16 16 16 16 16 16 kNm M Luiz Fernando Martha Método das Forças 165 Exemplo 04 Considere os quatro pórticos mostrados abaixo Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do lado direito são hiperestáticos Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemente distribuí da aplicada na viga As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uniforme de tempera tura T 12 C na viga Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E 108 kNm2 e coeficiente de dilatação térmica α 105 C Todas a barras têm seções transversais com momento de inér cia I 10 x 103 m4 Pedese a Indique os aspectos das configurações deformadas amplificadas das quatro estruturas b Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos não precisa dos valores numéricos dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas c Determine o diagrama de momentos fletores com valores numéricos da estrutura hiperestática infe rior solicitada pela variação de temperatura Devese utilizar o Método das Forças adotando obriga toriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda Somente considere deforma ções por flexão Sabese que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du α T dx Neste caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal d Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I 20 x 103 m4 a viga não se altera Responda d1 Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram Por que d2 Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram Por que Item a 166 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Item b M kNm M kNm M0 M kNm veja solução abaixo Item c Caso 0 Variação de temperatura no SP δ10 M00 m L T 5 5 10 72 10 12 6 10 α δ Equação de compatibilidade kN X X 1 0 1 1 11 10 δ δ Momentos fletores finais veja acima 1 1 1 1 0 1 0 M M X M M M X1 1 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 X1 X1 1 δ11 3 3 6 3 3 3 3 2 1 1 2 1 11 EI dx EI M δ mkN 72 10 5 11 δ Item d1 Na estrutura isostática o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea ções e da geometria da estrutura Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada original da estrutura Portanto o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas No caso da carga uniformente distribuída a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto res indicado no item a diagrama parabólico no viga No caso da variação de temperatura a estrutura i sostática terá sempre momentos fletores nulos Item d2 Na estrutura hiperestática por ter vínculos excedentes os esforços internos dependem da rigi dez relativa entre as barras Com as colunas mais rígidas do que a viga as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas Portanto o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas No caso da carga uniformente distribuída a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores indicado no item a mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal Luiz Fernando Martha Método das Forças 167 A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças para a solicitação de variação uniforme de temperatura na viga demonstra que a os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relati vos entre momentos de inércia das seções transversais barras O caso 0 mostrado no item c permanece inalterado isto é m L T 5 5 10 72 10 12 6 10 α δ O diagrama de momentos fletores M1 do item c é o mesmo mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica alterado 3 3 3 3 2 1 1 3 3 6 1 11 coluna viga EI EI δ mkN 63 10 9 10 54 10 5 5 5 11 δ Equação de compatibilidade kN X X 87 0 1 1 11 10 δ δ Momentos fletores finais 7 8 1 1 1 0 M X M M M M kNm 87 87 247 247 247 247 Exemplo 05 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 10 x 105 kNm2 Sistema Principal e Hiperestáticos g 2 X1 X1 X2 X2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 168 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha X1 1 X1 1 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 16 16 16 16 X1 X2 1 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP M2 16 X2 16 16 16 16 16 16 16 16 16 X2 1 Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 7 170 3 61 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 1296 3 1 288 6 1 2 1 288 6 1 3 1 72 6 1 1 10 δ EI EI 1440 144 3 50 3 1 144 3 50 3 1 432 3 50 3 1 432 3 50 3 1 3 1 288 6 1 3 1 288 6 1 3 1 72 6 1 1 20 δ EI EI 10 3 1 1 6 1 1 1 6 3 1 1 6 1 1 11 δ EI EI 4 3 1 1 6 1 2 1 1 6 1 6 1 1 6 1 1 21 12 δ δ EI EI 7 3 50 50 3 4 1 3 1 1 6 3 1 1 22 δ Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 M2X2 kNm Exemplo 06 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 40 x 104 kNm2 Luiz Fernando Martha Método das Forças 169 X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g2 X2 Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 M2X2 kNm Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 X11 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 13 13 13 13 13 13 X11 X21 M2 X2 Caso 2 X2 isolado no SP 13 X21 13 13 13 13 13 13 13 13 13 Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 1 52 5 20 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 378 2 1 36 3 1 2 1 36 3 1 2 1 180 3 1 1 10 δ EI EI 405 3 1 9 3 1 3 1 36 3 1 3 1 36 3 1 2 1 36 3 1 2 1 180 3 1 1 20 δ EI EI 7 3 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 11 δ EI EI 2 9 2 1 1 3 1 1 1 3 1 21 12 δ δ EI EI 6 3 1 1 3 3 1 1 1 3 1 22 δ 170 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exemplo 07 Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pedese o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão Aquecimento das fibras superiores da viga de Ts 50 C ao longo de toda a sua extensão as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura isto é Ti 0 C Recalque vertical para baixo de 3 cm do apoio direito Sabese a A viga tem um material com módulo de elasticidade E 108 kNm2 e coeficiente de dilatação térmica α 105 C b A viga tem seção transversal com área A 10 x 102 m2 e momento de inércia I 10 x 103 m4 A altu ra da seção transversal é h 060 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura c O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infi nitesimal de barra é duT α TCG dx sendo TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal d O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é dx h T T d s i T α θ X1 Sistema Principal e Hiperestático g1 X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 kNm Como o Sistema Principal é isostático a variação de tempe ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos não provocam esforços internos Portanto os momentos fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas X11 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 13 X11 16 16 Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ δ10 é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na cria ção do Sistema Principal no caso 0 δ11 é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida na cria ção do Sistema Principal devido a X1 1 no caso 1 Luiz Fernando Martha Método das Forças 171 Cálculo de δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais PFV Sistema Real Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa É o caso 0 Sistema Virtual Estrutura com momentos unitários virtuais na di reção da rotação relativa que se quer calcular É o caso 1 com X1 1 PFV WE U WE Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real Neste caso o trabalho externo virtual é igual ao produ to de X1 1 por δ10 mais o produto da reação vertical no apoio direito do caso 1 força de 16 para baixo pelo recalque de apoio 0 03 16 1 10 δ WE WE U 0 03 6 1 1 0 1 10 M dx h T T dx EI M M s i α δ EI EI 180 0 03 6 1 01 2 6 1 2 0 60 50 60 3 01 6 1 60 3 50 3 1 60 3 50 3 1 2 1 10 α δ EI EI 4 6 01 01 3 1 2 1 11 δ kNm X X 45 0 1 1 11 10 δ δ Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 kNm U Energia de deformação interna virtual Desprezase a energia de deformação por cisalha mento e como o esforço normal no caso 1 é nulo a energia de deformação axial é nula Portanto a energia de deformação é somente devi da à flexão isto é é a energia virtual provocada pelos momentos fletores do sistema virtual M M1 com as correspondentes rotações relativas internas do sistema real θ d A rotação relativa interna real no caso 0 é devida às cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de temperatura T P d d d θ θ θ Sendo EI dx M d P 0 θ e h dx T T d s i T α θ Deve ser observado que o recalque de apoio não provoca rotação relativa interna só provoca movi mento de corpo rígido Assim estrutura T estrutura P estrutura estrutura M d M d M d Md U θ θ θ θ 1 1 1 dx h T T M dx EI M M U s i 1 0 1 α Exemplo 08 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 40x104 kNm2 Somente considere deformações por flexão 172 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principal e Hiperestáticos X2 X2 X1 X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP kNm M0 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 x X1 X1 1 X1 1 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 2 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP M2 x X2 X2 1 X2 1 16 1 13 16 13 16 13 13 16 13 13 16 16 Sistema de Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 3 24 6 48 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 936 3 1 9 3 1 3 1 9 3 1 3 1 72 3 1 2 2 72 3 1 2 2 216 3 1 1 10 δ EI EI 486 3 1 9 3 1 3 1 9 3 1 3 1 72 3 1 2 1 72 3 1 2 1 216 3 1 1 20 δ EI EI 16 3 1 1 3 1 4 2 2 3 1 11 δ EI EI 2 13 6 1 1 3 1 3 1 1 3 1 2 1 3 1 21 12 δ δ EI EI 7 3 1 1 6 1 3 1 1 3 1 2 1 1 3 1 22 δ Momentos fletores finais 2 2 1 1 0 M X M X M M kNm M Luiz Fernando Martha Método das Forças 173 Exemplo 09 Considere a estrutura hiperestática abaixo onde também está indicado o seu diagrama de momentos fleto res Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e podese considerar que não existem deformações axi ais e de cisalhamento nas barras M kNm Pedese Item a Determine um possível sistema principal Método das Forças para o quadro acima As incógnitas hiperestáticos também devem ser indicadas Mostre a decomposição do sistema principal em qua dros isostáticos simples triarticulados biapoiados ou engastados e em balanço Item b Considerando o sistema principal encontrado no item anterior indique os casos básicos caso 0 ca so 1 caso 2 etc utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças Determine os dia gramas de momentos fletores para todos os casos básicos Item c Escreva literalmente somente símbolos sem números o sistema de equações finais da solução desta estrutura pelo Método das Forças Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida Não é preciso completar as contas para calcular os coeficientes Indique que tipo de condição que esta equação está impondo In dique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida Item d Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistema principal escolhido determine os valores das incógnitas hiperestáticos que resultariam da solução da estrutura pelo Método das Forças Demonstre que a superposição dos casos básicos considerando os valores dos hiperestáticos encontrados resulta no diagrama de momentos fletores fornecido Item a X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g3 X2 X3 X1 X1 X2 X2 X3 174 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Item b Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 X11 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 13 X11 13 13 13 16 16 16 16 16 16 X21 M2 X2 Caso 2 X2 isolado no SP X21 13 13 13 13 13 13 X31 M3 X3 Caso 3 X3 isolado no SP 13 13 Item c Equações de Compatibilidade 0 0 0 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 30 20 10 X X X δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Considere a primeira equação deste sistema Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula isto é no ponto onde foi introduzida a rótula a rotação da elástica é contínua Termo de carga δ10 rad rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida à solicitação externa no caso 0 72 3 50 3 1 132 3 50 3 1 72 3 50 3 1 192 3 50 3 1 3 1 60 3 1 3 1 36 6 1 1 10 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ11 radkNm rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X1 1 3 50 50 3 1 4 3 1 1 3 1 2 3 1 1 6 1 1 11 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ12 radkNm rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X2 1 Luiz Fernando Martha Método das Forças 175 1 3 50 3 1 1 3 50 3 1 1 3 50 2 1 6 1 1 3 1 3 1 1 3 1 1 12 EI δ Coeficiente de flexibilidade δ13 radkNm rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devida a X3 1 1 3 50 2 1 1 3 50 3 1 1 13 EI δ Item d Os valores dos hiperestáticos podem ser ob tidos do diagrama de momentos fletores fi nais da estrutura que foi fornecido M kNm X1 351 kNm X2 282 kNm X3 891 kNm Demonstração de que a superposição dos casos básicos resulta nos momentos finais M0 M1X1 M2X2 M3X3 M Considere o momento fletor assinalado no dia grama Observase que este valor pode ser ob tido pela superposição dos momentos fletores dos casos básicos nesta seção 132 05351 10282 10891 323 O mesmo pode ser verificado para outras se ções Exemplo 10 Considere os dois pórticos mostrados abaixo As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uni formemente distribuído indicado e um aumento de temperatura Ti 16 C nas fibras inferiores da viga As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura Ts 0 C Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E 10 x 108 kNm2 e coeficiente de dilatação térmica α 105 C Todas a bar ras têm seções transversais com momento de inércia I 10 x 103 m4 altura h 060 m e centro de gravidade no meio de altura Somente considere os efeitos axiais para a variação de temperatura 176 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Pedese Item a Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática Item b Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática Item c Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com momento de inércia I 20 x 103 m4 a viga não se altera Responda c1 Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram Por que c2 Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram Por que Item a M kNm Item b X1 Sistema Principal e Hiperestático g1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 δ10 X11 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 1 X11 1 δ11 N1 1 N1 0 N1 0 Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ Sendo T q 10 10 10 δ δ δ q δ10 deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à carga distribuída no caso 0 T δ10 deslocamento horizontal da seção do apoio da direita devido à variação de temperatura no caso 0 m EI dx EI M M q 5 0 1 10 864 10 3 3 72 6 2 1 δ viga T viga T T N du M d 1 1 10 θ δ dx dx h T T d s i T 3 80 α α θ dx dx T du GC T α 8 α viga viga T N dx M dx 1 1 10 8 3 80 α α δ m T 5 10 528 10 8 6 1 6 3 3 80 α α δ Luiz Fernando Martha Método das Forças 177 3 3 6 3 3 3 3 2 1 1 2 1 11 EI dx EI M δ mkN 72 10 5 11 δ kN X X X 3 58 0 72 10 528 10 864 0 1 1 5 5 1 11 10 δ δ Momentos fletores finais 1 1 0 X M M M M kNm Item c Item c1 Na estrutura isostática o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea ções e da geometria da estrutura Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada original da estrutura Portanto o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas No caso da carga uniformente distribuída a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto res indicado no item a diagrama parabólico na viga Momentos fletores devidos à variação de temperatu ra isolada na estrutura isostática são sempre nulos Item c2 Na estrutura hiperestática por ter vínculos excedentes os esforços internos dependem da rigidez relativa entre as barras Com as colunas mais rígidas do que a viga as rotações das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas Portanto o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colunas A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item b demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transver sais das barras Exemplo 11 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 10 x 105 kNm2 178 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principal e Hiperestáticos g 2 X1 X1 X2 X2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 X1 1 X1 1 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 X1 13 13 13 13 X2 1 Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP M2 X2 X2 1 16 16 16 16 16 16 13 13 13 13 Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 43 8 14 6 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 270 3 1 18 3 1 2 1 72 6 1 3 1 72 3 1 1 10 δ EI EI 270 3 1 18 3 1 3 1 72 6 1 3 1 72 3 1 180 3 50 3 1 180 3 50 3 1 36 3 50 3 1 36 3 50 3 1 1 20 δ EI EI 8 3 1 1 3 1 1 1 6 3 1 1 3 1 1 11 δ EI EI 2 7 6 1 1 3 1 2 1 1 6 1 3 1 1 3 1 1 21 12 δ δ EI EI 5 3 1 1 6 1 3 1 1 3 2 1 3 50 50 3 4 1 1 22 δ Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 M2X2 kNm Luiz Fernando Martha Método das Forças 179 Exemplo 12 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 24 x 104 kNm2 X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g2 X2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 16 16 16 14 14 16 X11 X11 M2 X2 Caso 2 X2 isolado no SP X21 X21 14 14 14 14 14 14 Equações de Compatibilidade kNm X kNm X X X 60 6 13 0 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 δ δ δ δ δ δ EI EI 280 3 1 45 6 1 3 1 120 4 1 2 1 120 6 1 2 1 30 6 1 3 1 30 6 1 1 10 δ EI EI 430 3 1 120 4 1 2 1 120 6 1 2 1 30 6 1 1 20 δ EI EI 3 38 3 1 1 4 1 2 1 1 6 3 1 1 6 1 2 1 11 δ EI EI 3 22 3 1 1 4 1 1 1 6 1 21 12 δ δ EI EI 3 26 3 1 1 4 1 2 1 1 6 1 22 δ Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 M2X2 kNm 180 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Exemplo 13 Provão de Engenharia Civil 2002 Em uma construção a meia encosta a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante Ao inspecionar a obra para recebimento você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metálicas cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo na esquerda A fim de avaliar os esforços adicionais nessa estrutura ocasionados pelo recalque você utilizou o Método das Forças e para tanto esco lheu o Sistema Principal no qual foi colocada uma rótula no nó B e o hiperestático X1 carga momento em ambos os lados da rótula inserida em B mostrados na figura no centro A seção transversal do perfil e a orientação dos eixos x e y estão representadas na figura na direita A B C laje encosta X1 X1 x y Módulo de elasticidade do material E 20 x 108 kNm2 Momentos de inércia da seção transversal Jx 51 x 105 m4 Jy 84 x 106 m4 Com base no exposto pedese o diagrama de momentos fletores causado apenas pelo recalque em A Despreze deformações axiais das barras Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 0 ρ 001 m ρ 4 10 ρ δ 3 10 10 2 5 δ rad M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 14 VA 14 1 X11 X11 Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ δ10 é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada pelo recalque de apoio no caso 0 δ11 é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada por X1 1 no caso 1 EI EI 3 10 3 1 1 4 1 1 1 2 1 11 δ O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis tência ao momento fletor atuante Portanto o momento de inércia da seção transversal a ser adotado é o maior momento de inércia da barra I Jx 51 x 105 m4 765 10 15 3 2 10 10 10 2 5 0 1 1 5 8 3 1 11 10 X X X δ δ kNm Cálculo de δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais PFV Sistema Real Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa É o caso 0 Sistema Virtual Estrutura com momentos unitários virtuais na direção da rotação relativa que se quer cal cular É o caso 1 com X1 1 Luiz Fernando Martha Método das Forças 181 PFV WE U WE Trabalho das forças externas do sistema virtual com os correspondentes deslocamentos externos do sistema real Neste caso o trabalho externo virtual é igual ao produto de X1 1 por δ10 mais o produto da reação vertical no apoio esquerdo do caso 1 força de 14 para cima pelo recalque de apoio ρ δ A E V W 10 1 0 01 14 1 10 δ WE U Energia de deformação interna virtual O recalque de apoio não provoca deformações internas só provoca movimentos de corpo rígido das barras Portanto U 0 WE U 0 0 01 14 10 δ 3 10 10 2 5 0014 δ rad Momentos Fletores Finais M M M0 M1X1 kNm M0 0 X1 765 Exemplo 14 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 10 x 104 kNm2 X1 X1 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g2 X2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 182 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha M1 X1 Caso 1 X1 isolado no SP 13 16 X11 X11 13 13 13 16 16 16 16 16 X2 Caso 2 X2 isolado no SP M2 13 X21 X21 13 13 13 16 16 16 16 Equações de Compatibilidade 5 kNm 21 6 8 kNm 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 X X X X δ δ δ δ δ δ EI EI 147 3 1 6 3 1 2 1 6 3 1 3 1 60 6 1 3 1 18 3 1 3 1 60 3 1 1 10 δ EI EI 156 3 1 6 3 1 3 1 60 6 1 3 1 18 3 1 3 1 60 3 1 1 20 δ EI EI 9 1 1 3 3 1 1 3 1 2 3 1 1 6 1 2 1 11 δ EI EI 4 3 1 1 6 1 3 1 1 3 1 2 1 21 12 δ δ EI EI 6 3 1 1 3 1 2 3 1 1 6 1 2 1 22 δ Momentos Fletores Finais M M0 M1X1 M2X2 M kNm Exemplo 15 Utilizando o Método das Forças determine o dia grama de esforços normais para a treliça hiperestáti ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a um aumento uniforme de temperatura de 50 C em todas as barras Todas as barras têm o mesmo valor para a inércia axial EA 10 x 105 kN e para o coefi ciente de dilatação térmica α 10 x 105 C Sabe se que o deslocamento axial relativo interno para uma variação uniforme de temperatura T é igual a duT αTdx Sistema Principal e Hiperestáticos Caso 0 Solicitação externa isolada no SP N0 252 25 25252 Caso 1 X1 isolado no SP N1 1 1 0 1 1 0 0 X11 Equação de Compatibilidade δ10 δ11X1 0 Termo de carga δ10 δ10 δ10 SP δ10 SP deslocamento horizontal no apoio da direita devido à carga P 50 kN no caso 0 δ10 SP deslocamento horizontal no apoio da direita devido à variação uniforme de temperatura T 50 C no caso 0 Esforços Normais Finais N N0 N1X1 Exemplo 16 Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do quadro hiperestático ao lado Somente considere deformações por flexão Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI 96 x 10⁴ kNm² 184 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha X1 X1 X2 X2 Sistema Principal e Hiperestáticos g2 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M1 x X1 Caso 1 X1 isolado no SP 16 X11 13 16 X11 13 13 13 13 13 16 16 16 16 1 M2 Caso 2 X2 isolado no SP X21 X21 13 16 1 16 16 16 13 13 13 13 13 Equações de compatibilidade 7 kNm 29 60 6 kNm 0 0 2 1 2 1 22 21 12 11 20 10 X X X X δ δ δ δ δ δ EI EI 528 2 1 180 3 1 2 1 60 3 1 3 1 60 3 1 3 1 54 6 1 1 10 δ EI EI 420 2 1 180 3 1 2 1 60 3 1 3 1 60 3 1 1 20 δ EI EI 7 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 6 1 1 11 δ EI EI 2 7 1 1 3 3 1 1 3 1 6 1 1 3 1 1 21 12 δ δ EI EI 7 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 1 6 1 3 1 1 3 1 1 22 δ Momentos fletores finais M M0 M1X1 M2X2 M kNm x X2 Luiz Fernando Martha Método das Forças 185 Exemplo 17 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 6EI para todas as barras Sistema Principal SP e Hiperestático X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP 120 M0 kNm 240 0 T0 kNm 120 0 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 3 T1 0 x X1 3 6 3 3 6 X1 1 X1 1 Equação de Compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ GJt EI 1 6 6 120 1 3 6 3 240 1 6 6 3 240 1 3 6 6 120 1 10 δ EI EI EI 2880 6 4320 2160 10 δ GJt EI 1 6 6 6 6 3 3 1 3 6 6 6 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 11 δ EI EI EI 144 6 270 99 11 δ X1 20 kN 186 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 1 1 0 M X M M 1 1 0 T X T T 60 M kNm 180 60 T kNm 0 60 0 0 Exemplo 18 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 3EI para todas as barras Sistema Principal SP e Hiperestático X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP 24 kN 12 kN 12 kN M0 kNm T0 kNm Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 T1 x X1 X1 1 X1 1 3 3 3 0 0 3 3 3 2 1 Luiz Fernando Martha Método das Forças 187 Equação de Compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ EI EI EI GJ EI t 351 3 324 243 1 3 3 36 1 3 3 3 36 1 3 3 3 9 1 3 3 3 36 1 10 δ EI EI EI GJ EI t 54 3 54 36 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 11 δ X1 65 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 1 1 0 M X M M 24 kN 55 kN 1 kN M kNm 65 kN 1 1 0 T X T T T kNm Exemplo 19 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 3EI para todas as barras Sistema Principal SP e Hiperestático X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 kNm T0 kNm 188 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP M1 T1 x X1 X1 1 X1 1 3 3 3 0 0 3 3 3 6 Equação de Compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ X1 1025 kN EI GJ EI t 1107 1 3 36 3 1 3 3 9 3 1 3 3 36 3 1 6 3 72 3 1 3 3 36 3 1 6 3 108 3 1 6 6 36 3 1 3 6 108 3 1 10 δ EI EI EI GJ EI t 108 3 54 90 1 2 3 3 3 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 6 3 6 3 1 6 6 3 3 1 3 6 6 3 1 11 δ Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 1 1 0 M X M M M kNm 3075 525 9 3075 72 465 525 1 1 0 T X T T T kNm 3075 72 0 525 Exemplo 20 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 3EI para todas as barras Sistema Principal SP e Hiperestático X1 Luiz Fernando Martha Método das Forças 189 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 kNm T0 kNm 20 20 20 20 120 120 0 0 0 20 20 20 20 120 0 0 0 0 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP 12 0 0 0 0 M1 T1 x X1 X1 1 X1 1 3 3 12 3 3 3 3 12 12 Equação de Compatibilidade EI GJ EI t 360 1 0 1 6 3 120 6 1 10 δ EI EI EI GJ EI t 81 3 81 54 1 3 3 6 3 3 3 1 3 3 3 6 1 2 3 3 3 3 1 2 11 δ 0 1 11 10 X δ δ X1 44 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais M kNm T kNm 120 120 120 0 0 1 1 0 M X M M 1 1 0 T X T T 133 133 133 133 133 133 Exemplo 21 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 6EI para todas as barras 190 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Sistema Principal SP e Hiperestático g 1 X1 Caso 0 Solicitação externa isolada no SP M0 kNm T0 kNm 20 20 20 20 180 60 60 60 60 180 0 180 60 60 Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP 0 M1 T1 x X1 X1 1 6 3 3 3 6 0 3 X1 1 0 Equação de Compatibilidade EI EI EI GJ EI GJ EI t t 3960 6 7560 2700 7560 2700 1 6180 6 3 60 6 1 3 3 180 6 1 6 3 180 6 1 6 3 60 6 1 3 3 60 6 1 3 6 180 6 1 6 6 60 6 1 3 3 60 3 1 10 δ EI EI EI GJ EI GJ EI t t 144 6 270 99 270 99 1 6 6 6 3 3 6 1 3 6 6 6 1 3 3 3 3 1 3 11 δ 0 1 11 10 X δ δ X1 275 kN Momentos Fletores e Momentos Torçores finais M kNm T kNm 15 60 60 225 15 0 975 60 225 1 1 0 M X M M 1 1 0 T X T T 225 Exemplo 22 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado A relação entre a rigidez à torção e a rigidez à flexão é GJt 6EI para todas as barras Luiz Fernando Martha Método das Forças 191 Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ EI 1 3 3 36 3 1 3 3 18 3 1 3 3 36 3 1 3 3 36 3 1 10 δ EI GJ EI GJ t t 162 0 162 1 3 36 3 3 36 3 GJt EI 1 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 4 11 δ EI EI EI GJ EI t 45 6 54 36 54 36 11 δ 0 45 162 1 EI X EI kN 63 1 X Momentos Fletores Finais 1 1 0 X M M M kNm M Caso 0 Solicitação externa isolada no SP Caso 1 Hiperstático X1 isolado no SP kNm M0 x X1 X1 1 SP Sistema Principal e Hiperestático g 1 X1 kNm T0 M1 T1 0 3 12 12 24 18 36 36 36 36 0 0 0 36 36 1 2 3 3 3 3 0 0 0 0 Momentos Torsores Finais 1 1 0 X T T T kNm T 18 468 36 108 252 252 0 0 0 252 468 EI GJt 6 Exemplo 23 Empregandose o Método das Forças obter os dia gramas de momentos fletores e momentos torçores para a grelha ao lado Todas as barras têm a relação indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à fle xão EI EI GJt 2 3 192 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Equação de compatibilidade 0 1 11 10 X δ δ GJt EI 1 6 72 3 1 3 6 72 6 1 3 6 18 3 1 3 6 72 3 1 10 δ EI GJ EI GJ EI t t 2268 3 2 1296 1404 1296 1404 10 δ GJt EI 1 6 6 6 6 6 3 1 3 6 6 6 1 2 3 6 6 3 1 2 11 δ EI EI EI GJ EI t 432 3 2 324 216 324 216 11 δ 0 432 2268 1 X EI EI 5 25 kN 1 X Momentos Fletores Finais 1 1 0 X M M M kNm M Caso 0 Solicitação externa isolada no SP Caso 1 Hiperstático X1 isolado no SP kNm M0 x X1 X1 1 SP Sistema Principal e Hiperestático g 1 X1 kNm T0 M1 T1 0 6 48 12 18 72 72 0 0 0 72 1 2 6 6 6 6 0 0 Momentos Torsores Finais 1 1 0 X T T T kNm T 18 405 405 315 315 0 0 315 405 EI GJt 2 3 12 6 0 6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Conforme foi introduzido na Seção 23 do Capítulo 2 o Método dos Deslocamentos pode ser considerado como o método dual do Método das Forças Em ambos os métodos a solução de uma estrutura considera os três grupos de condições básicas da Análise Estrutural condições de equilíbrio condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e condições impostas pelas leis constitutivas dos ma teriais Entretanto o Método dos Deslocamentos resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas pelo modelo estrutural na ordem inver sa do que é feito pelo Método das Forças 1 Condições de compatibilidade 2 Leis constitutivas dos materiais 3 Condições de equilíbrio A dualidade entre os dois métodos fica clara quando se observa a metodologia uti lizada pelo Método dos Deslocamentos para analisar uma estrutura A metodolo gia de cálculo do método consiste em Somar uma série de soluções básicas chamadas de casos básicos que satis fazem as condições de compatibilidade mas que não satisfazem as condi ções de equilíbrio da estrutura original para na superposição restabelecer as condições de equilíbrio Esse procedimento é o inverso do que é feito na solução pelo Método das Forças mostrada no capítulo anterior Cada caso básico satisfaz isoladamente as condições de compatibilidade continui dade interna e compatibilidade com respeito aos vínculos externos da estrutura Entretanto os casos básicos não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original pois são necessários forças e momentos adicionais para manter o equilí brio As condições de equilíbrio da estrutura ficam restabelecidas quando se su perpõem todas as soluções básicas 61 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico A solução pelo Método dos Deslocamentos pode ser vista como uma superposição de soluções cinematicamente determinadas isto é de configurações deformadas conhecidas conforme ilustra a Figura 61 Essa figura mostra a configuração de formada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações defor madas elementares cada uma associada a um determinado efeito que é isolado 194 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha D1 D3 D2 0 1 3 4 D4 D6 D5 D7 2 q P q P 6 7 5 D3 D6 Figura 61 Configuração deformada de um pórtico plano formada pela superposição de configurações deformadas elementares Na Figura 61 a configuração deformada elementar do caso 0 isola o efeito da solicitação externa carregamento sendo que essa configuração deformada é tal que os nós extremidades das barras da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos A configuração deformada nesse caso corresponde à situação de engastamento perfeito da viga barra horizontal devida à carga uniformemente distribuída aplicada As demais configurações deformadas mostradas nessa figu ra dos casos 1 a 7 correspondem a imposições de deslocamentos e rotações no dais isolados isto é cada caso apresenta uma configuração deformada elementar em que somente uma componente de deslocamento ou rotação nodal tem um valor não nulo A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 61 indica que a configuração deformada final de uma estrutura reticulada pode ser parametrizada pelas componentes de deslocamentos e rotações dos nós da estrutura Isso é possí vel porque podese determinar a configuração deformada de uma barra a partir dos deslocamentos e rotações dos nós extremos da barra e do seu carregamento De fato as Equações 445 e 446 da Seção 441 do Capítulo 4 determinam a elás tica deslocamentos axiais e transversais de uma barra em função dos deslocamen tos e rotações nas extremidades das barras A elástica final da barra é obtida su perpondo o efeito da solicitação externa isolado no caso 0 Com base nisso a seguinte definição é feita Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 195 Deslocabilidades são as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão livres isto é que devem ser conhecidas para determinar a configura ção deformada de uma estrutura Dessa forma as deslocabilidades são os parâmetros que definem completamente a configuração deformada de uma estrutura As deslocabilidades são as incógnitas do Método dos Deslocamentos A seguinte notação vai ser utilizada Di deslocabilidade de uma estrutura componente de deslocamento ou rotação livre não restrita por apoio em um nó da estrutura na direção de um dos eixos globais A deslocabilidade Di também é chamada de deslocabilidade global para diferenciála de uma deslocabilidade local de uma barra isolada veja a Seção 441 No exemplo mostrado na Figura 61 D1 e D4 são deslocamentos horizontais dos nós superiores D2 e D5 são deslocamentos verticais dos nós superiores D3 e D6 são rotações dos nós superiores e D7 é a rotação do nó inferior direito As demais com ponentes de deslocamentos e rotação não são deslocabilidades livres pois são res tritas por apoios Uma estrutura que tem todas as suas deslocabilidades definidas com valores co nhecidos é denominada estrutura cinematicamente determinada No exemplo da Fi gura 61 as configurações deformadas elementares dos casos 1 a 7 são conside radas cinematicamente determinadas com exceção dos valores das deslocabilida des Di que não são desconhecidos a priori O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma estrutura cinematica mente determinada obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios Esse modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico SH O SH correspondente à estrutura da Figura 61 é mostrado na Figura 62 Os apoi os fictícios adicionados à estrutura para impedir prender as deslocabilidades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilidades Isto é o apoio 1 im pede a deslocabilidade D1 o apoio 2 impede a deslocabilidade D2 e assim por di ante 1 2 3 4 5 6 7 Figura 62 Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da Figura 61 196 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Pode parecer estranho criar uma estrutura o SH na qual todos os nós são engas tados completamente Na verdade o SH é utilizado para isolar as diversas com ponentes cinemáticas da estrutura isto é isolar os efeitos de cada uma de suas des locabilidades Como mostrado na Figura 61 em cada um dos casos básicos da solução pelo Método dos Deslocamentos no máximo uma deslocabilidade assume um valor não nulo Com base no SH essa deslocabilidade é imposta como um re calque do correspondente apoio fictício inserido na criação do SH enquanto os outros apoios fictícios fixam as demais deslocabilidades Neste ponto é interessante resgatar um paralelo que foi feito no Capítulo 2 entre o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos Conforme discutido na Seção 233 e no capítulo anterior as incógnitas do Método das Forças são os hiperestáti cos que são forças e momentos associados a vínculos excedentes à determinação estática da estrutura Por outro lado as incógnitas do Método dos Deslocamentos são as deslocabilidades que são componentes de deslocamentos e rotações nodais que definem a configuração deformada da estrutura Com respeito à estrutura uti lizada nas soluções básicas no Método das Forças essa estrutura é o Sistema Prin cipal que é uma estrutura estaticamente determinada isostática obtida da estru tura original pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos hiperestáti cos Em contraposição no Método dos Deslocamentos a estrutura utilizada nas soluções básicas é o Sistema Hipergeométrico que é uma estrutura cinematicamen te determinada obtida da estrutura original pela adição dos vínculos necessários para impedir as deslocabilidades Essa comparação evidencia a dualidade entre os dois métodos Uma observação importante é que enquanto existem vários possíveis Sistemas Principais Método das Forças para uma estrutura existe somente um Sistema Hipergeométrico Método dos Deslocamentos Isso porque para se chegar ao Sis tema Principal isostático do Método das Forças existem várias possibilidades para se eliminar vínculos da estrutura e para se chegar ao Sistema Hipergeométrico só existe uma possibilidade que é impedindo todas as deslocabilidades 62 Metodologia de análise pelo Método dos Deslocamentos O objetivo desta seção é apresentar a metodologia de análise estrutural do Método dos Deslocamentos o que é feito com base em um exemplo numérico cujos dados são mostrados na Figura 63 Os cálculos dos coeficientes que aparecem na solução não vão ser indicados nesta seção mas serão explicados em seções subseqüentes a Seção 663 mostra os cálculos dos coeficientes para a estrutura da Figura 63 Todas as barras da estrutura do exemplo têm as mesmas propriedades elásticas e de seção transversal O material adotado tem módulo de elasticidade E 12107 kNm2 A seção transversal das barras tem área A 12102 m2 e momento de i Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 197 nércia I 12103 m4 A solicitação externa é uma carga uniformemente distribuída q 5 kNm aplicada na barra horizontal D3 D2 D1 Deslocabilidades D1 D3 D2 Figura 63 Estrutura utilizada para a descrição da metodologia do Método dos Deslocamentos e suas deslocabilidades A Figura 63 também indica a configuração deformada da estrutura com uma am plificação de 450 vezes e as deslocabilidades D1 D2 e D3 correspondendo respec tivamente aos deslocamentos horizontal e vertical e à rotação do nó interno A figura também serve para apresentar uma notação para deslocamentos e rotações uma seta com um traço perpendicular na base Essa notação permite indicar as deslocabilidades sem desenhar a configuração deformada da estrutura que em geral é complicada ou desconhecida Como foi dito a configuração deformada da estrutura fica parametrizada pelas deslocabilidades Observe que existem infinitos valores para D1 D2 e D3 satisfa zendo as condições de compatibilidade Isto é existem infinitas configurações de formadas que satisfazem as condições de compatibilidade com respeito aos víncu los externos apoios que satisfazem as condições de continuidade do campo de deslocamentos no interior das barras e que satisfazem a continuidade de ligação entre as barras as barras permanecem ligadas e com o mesmo ângulo entre si no nó interno Entretanto somente uma dessas configurações deformadas está asso ciada ao equilíbrio da estrutura Conforme discutido na Seção 37 do Capítulo 3 o Método dos Deslocamentos tem como estratégia procurar dentre todas as configu rações deformadas que satisfazem a compatibilidade aquela que também faz com que o equilíbrio seja satisfeito O equilíbrio da estrutura é imposto na forma de equilíbrio dos nós isolados consi derando também que as barras isoladas estão em equilíbrio Portanto a solução desse problema pelo Método dos Deslocamentos recai em encontrar os valores que D1 D2 e D3 devem ter para que o nó interno fique em equilíbrio visto que os nós dos apoios têm seu equilíbrio automaticamente satisfeito pelas reações de apoio Dentro da metodologia do Método dos Deslocamentos aplicada ao exemplo da Figura 63 soluções básicas casos básicos isolam o efeito da solicitação externa carregamento e os efeitos de cada uma das deslocabilidades Cada efeito isolado 198 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha afeta o equilíbrio do nó interno Na superposição dos casos básicos é imposto o equilíbrio do nó interno O Sistema Hipergeométrico SH para a estrutura do exemplo é mostrado na Figu ra 64 Os casos básicos utilizam esse SH como estrutura auxiliar através da qual os efeitos isolados são impostos 1 2 3 Figura 64 Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 63 No exemplo em estudo existem quatro casos básicos casos 0 1 2 e 3 con forme descrito a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH O caso 0 mostrado na Figura 65 isola o efeito da solicitação externa isto é do carregamento aplicado Dessa forma a carga externa é a aplicada no SH com D1 0 D2 0 e D3 0 Nesse caso as forças e os momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH são chamados de termos de carga βi0 Um termo de carga é definido formalmente como βi0 reação no apoio fictício associado à deslocabilidade Di para equilibrar o SH quando atua a solicitação externa isoladamente isto é com deslocabilidades com valores nulos 10 0 β 15 20 β kN 15 30 β kNm Figura 65 Solicitação externa isolada no SH da estrutura da Figura 63 Neste exemplo são três os termos de carga conforme indicado na Figura 65 sen do que β10 é a reação horizontal β20 é a reação vertical e β30 é a reação momento nos três apoios fictícios do nó interno Essas reações correspondem à situação de en gastamento perfeito do SH e os seus valores são calculados de maneira a equili brar o nó interno levando em conta o carregamento uniformemente distribuído que atua na barra horizontal As reações de engastamento de barras carregadas são calculadas tal como mostrado na Seção 444 do Capítulo 4 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 199 Também os esforços internos no caso 0 são esforços em barras cujos nós extremos são engastados Dessa forma somente as barras que têm carga no seu interior a presentam esforços internos e deformações Isto pode ser entendido pelo fato de os apoios fictícios adicionados no SH isolarem as barras com respeito a deforma ções Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH O caso 1 mostrado na Figura 66 isola o efeito da deslocabilidade D1 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D2 e D3 Conforme indicado nessa figura a deslocabilidade D1 é colocada em evidência Considerase um valor unitário para D1 sendo o efeito de D1 1 multiplicado pelo valor final que D1 deverá ter 35252 7 11 K kNm K11 21 K 31 K 2764 8 31 K kNmm 13160 4 21 K kNm D1 1 x D1 Figura 66 Deslocabilidade D1 isolada no SH da estrutura da Figura 63 Para impor a configuração deformada onde D1 1 e as demais deslocabilidades são mantidas nulas é necessário aplicar um conjunto de forças e momentos nodais que mantém o SH em equilíbrio nessa configuração tal como indicado na Figura 66 As forças e momentos que aparecem nos apoios fictícios do SH para equilibrálo quando é imposta uma configuração onde D1 1 são chamados de coeficientes de rigidez globais Kij Formalmente o coeficiente de rigidez global é definido como Kij coeficiente de rigidez global força ou momento que deve atuar na direção de Di para manter a estrutura na verdade o SH em equilíbrio quando é imposta uma configuração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas No caso 1 os coeficientes de rigidez globais são a força horizontal K11 a força ver tical K21 e o momento K31 Por definição as unidades dos coeficientes de rigidez correspondem às unidades de força ou momento divididas pela unidade da deslo cabilidade em questão Nesse exemplo no caso 1 a unidade de D1 é a de deslo camento em metros Conforme vai ser visto ainda neste capítulo os coeficientes de rigidez globais são obtidos em função de coeficientes de rigidez das barras isoladas que por sua vez 200 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha são tabelados veja a Seção 442 do Capítulo 4 Uma das vantagens do Método dos Deslocamentos em relação ao Método das Forças é que o cálculo dos coeficien tes de rigidez é baseado em valores tabelados o que exige um esforço menor na solução manual da estrutura quando comparado com o cálculo dos coeficientes de flexibilidade do Método das Forças mostrado no capítulo anterior Essa vantagem também facilita a implementação computacional do Método dos Deslocamentos Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH De maneira análoga no caso 2 a deslocabilidade D2 é colocada em evidência considerando o efeito devido a um valor unitário de D2 multiplicado pelo seu valor final tal como indicado na Figura 67 Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D2 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D3 13160 4 12 K kNm 22 K 326 4 32 K kNmm 19729 7 22 K kNm x D2 K12 32 K D2 1 Figura 67 Deslocabilidade D2 isolada no SH da estrutura da Figura 63 A força horizontal K12 a força vertical K22 e o momento K32 que aparecem nos a poios fictícios do SH para mantêlo em equilíbrio quando é imposta uma configu ração deformada onde D2 1 são os coeficientes de rigidez globais que aparecem no caso 2 As unidades desses coeficientes por definição são unidades de força ou momento divididas pela unidade da deslocabilidade D2 metro tal como mos trado na Figura 67 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Do mesmo modo no caso 3 a deslocabilidade D3 é colocada em evidência como mostra a Figura 68 Esse caso isola o efeito da deslocabilidade D3 mantendo nulos os valores das deslocabilidades D1 e D2 A figura também mostra os coeficientes de rigidez globais desse caso Observe que as unidades desses coeficientes são unida des de força ou momento divididas por radiano pois a deslocabilidade D3 é uma rotação Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 201 2764 8 13 K kNrad K13 K23 K33 21120 0 33 K kNmrad 326 4 23 K kNrad D3 1 x D3 Figura 68 Deslocabilidade D3 isolada no SH da estrutura da Figura 63 Restabelecimento das condições de equilíbrio A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados acima podese utilizar a su perposição dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó interior A resultante de forças e momentos externos neste nó deve ser nula tal como feito a seguir Somatório das forças externas horizontais que atuam no nó interior 0 3 13 2 12 1 11 10 K D K D K D β Somatório das forças externas verticais que atuam no nó interior 0 3 23 2 22 1 21 20 K D K D K D β Somatório dos momentos externos que atuam no nó interior 0 3 33 2 32 1 31 30 K D K D K D β Podese generalizar esses resultados escrevendo uma equação de equilíbrio na direção da deslocabilidade Di para uma estrutura com n deslocabilidades 0 1 0 n j j j ij i D K β 61 A solução do sistema formado pelas três equações de equilíbrio do exemplo desta seção com os valores mostrados anteriormente para os termos de carga βi0 e para os coeficientes de rigidez globais Kij resulta nos seguintes valores para as desloca bilidades 3 1 0 45 10 D m 3 2 1 05 10 D m 3 3 0 75 10 D rad 202 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Esses valores fazem com que as resultantes de forças e momentos externos que a tuam no nó interno da estrutura sejam nulas Dessa forma atingiuse a solução correta da estrutura pois além de satisfazer as condições de compatibilidade que sempre foram satisfeitas nos casos 0 1 2 e 3 ela também satisfaz as condi ções de equilíbrio haja vista que não existem forças e momentos externos fictícios aplicados ao nó O equilíbrio dos outros dois nós sempre foi satisfeito pelas rea ções de apoio cujos valores finais podem obtidos pela superposição dos valores das reações obtidos em cada caso Os sinais das deslocabilidades são determinados pelos sentidos em que foram im postos os deslocamentos unitários e a rotação unitária nos casos básicos Assim o sinal positivo de D1 indica que esse deslocamento tem o mesmo sentido da es querda para a direita do deslocamento horizontal imposto no caso 1 O sinal negativo de D2 indica que esse deslocamento vertical é para baixo pois é contrário ao deslocamento unitário imposto no caso 2 E o sinal negativo de D3 mostra que esta rotação é no sentido horário pois é contrária à rotação unitária imposta no caso 3 Determinação dos esforços internos Uma vez determinados os valores das deslocabilidades os diagramas finais de es forços da estrutura do exemplo em estudo também podem ser obtidos pela super posição dos diagramas de cada um dos casos básicos conforme vai ser mostrado na seqüência deste capítulo Por exemplo os momentos fletores finais M podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos fletores Mi dos casos básicos 3 3 2 2 1 1 0 M D M D M D M M sendo que o diagrama M0 corresponde ao caso 0 e os diagramas M1 M2 e M3 são provocados por valores unitários das deslocabilidades nos casos 1 2 e 3 res pectivamente Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços internos esforços normais finais N esforços cortantes finais Q e momentos fletores finais M de uma estrutura com n deslocabilidades n j j Nj Dj N N 1 0 62 n j j Qj Dj Q Q 1 0 63 n j j Mj Dj M M 1 0 64 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 203 Sendo N0 diagrama de esforços normais da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é imposta a solicitação externa com todas as deslocabili dades mantidas nulas Nj diagrama de esforços normais da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é imposta uma configuração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas Q0 diagrama de esforços cortantes da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é imposta a solicitação externa com todas as deslocabili dades mantidas nulas Qj diagrama de esforços cortantes da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é imposta uma configuração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas M0 diagrama de momentos fletores da estrutura na verdade do SH no caso 0 isto é quando é imposta a solicitação externa com todas as desloca bilidades mantidas nulas Mj diagrama de momentos fletores da estrutura na verdade do SH no caso j isto é quando é imposta uma configuração deformada onde Dj 1 e as demais deslocabilidades são nulas 63 Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga Podese reescrever o sistema de equações de equilíbrio do exemplo da seção ante rior de uma forma matricial 0 0 0 3 33 2 32 1 31 30 3 23 2 22 1 21 20 3 13 2 12 1 11 10 D K D K D K D K D K D K D K D K D K β β β 0 0 0 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 30 20 10 D D D K K K K K K K K K β β β No caso geral de uma estrutura com n deslocabilidades podese escrever 0 0 K D β 65 Sendo β0 vetor dos termos de carga K matriz de rigidez global D vetor das deslocabilidades 204 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O número de equações de equilíbrio na Equação matricial 65 é igual ao número de deslocabilidades sendo cada equação dada pela Equação 61 que corresponde a uma deslocabilidade genérica Di Observase que a matriz de rigidez global independe da solicitação externa carre gamento que só é considerada no vetor dos termos de carga A matriz K é uma característica da estrutura apenas já que só existe um possível Sistema Hipergeo métrico para cada estrutura A exemplo do que foi feito na Seção 442 do Capítulo 4 para uma barra isolada duas observações podem ser feitas com respeito à matriz de rigidez global A pri meira é que pelo Teorema de Maxwell versão para deslocamento unitário impos to Equação 442 a matriz é simétrica Ou seja ij ji K K 66 A segunda observação é que os coeficientes de rigidez que correspondem a uma dada configuração deformada elementar casos 1 2 e 3 da seção anterior têm o mesmo índice j Podese dizer então A jésima coluna da matriz de rigidez K global da estrutura corresponde ao conjunto de forças generalizadas forças e momentos que atuam nas dire ções das deslocabilidades para equilibrála quando é imposta uma configu ração deformada tal que Dj 1 deslocabilidade j D com valor unitário e as demais deslocabilidades com valor nulo O Método dos Deslocamentos é assim chamado pois as incógnitas são deslocamen tos ou rotações O método também é chamado de Método do Equilíbrio pois as equações finais expressam condições de equilíbrio Ele também é chamado de Mé todo da Rigidez pois envolve coeficientes de rigidez em sua solução É interessante rever uma comparação que foi feita no Capítulo 2 entre o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos no que diz respeito aos sistemas de e quações resultantes dos métodos e aos coeficientes dessas equações Conforme discutido na Seção 233 e no capítulo anterior as condições expressas pelo sistema de equações finais do Método das Forças são condições de compatibi lidade Essas condições são impostas nas direções dos vínculos eliminados para se chegar ao Sistema Principal SP Por outro lado as equações finais do Método dos Deslocamentos expressam condições de equilíbrio que são impostas nas direções das deslocabilidades ou seja nas direções dos vínculos introduzidos para se che gar ao Sistema Hipergeométrico SH No Método das Forças os hiperestáticos mantêm o equilíbrio e recompõem a com patibilidade ao passo que no Método dos Deslocamentos as deslocabilidades mantêm a compatibilidade e recompõem o equilíbrio Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 205 Os termos de carga no Método das Forças são deslocamentos ou rotações provoca dos pela solicitação externa atuando no SP com hiperestáticos com valores nulos Já no Método dos Deslocamentos os termos de carga são forças ou momentos ne cessários para equilibrar o SH com deslocabilidades com valores nulos submetido à solicitação externa Isto é no Método dos Deslocamentos os termos de carga são reações de engastamento perfeito Finalmente os coeficientes da matriz de flexibilidade do Método das Forças são deslocamentos ou rotações provocados por hiperestáticos com valores unitários atuando no SP Os coeficientes da matriz de rigidez global do Método dos Deslo camentos são forças ou momentos necessários para equilibrar o SH submetido a deslocabilidades com valores unitários 64 Convenções de sinais do Método dos Deslocamentos As equações finais do Método dos Deslocamentos expressam o equilíbrio dos nós da estrutura nas direções das deslocabilidades Por isso é conveniente introduzir uma convenção de sinais para forças e momentos que facilite a definição de condi ções de equilíbrio Isto vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais esforços cortantes e momentos fletores em quadros planos A Tabela 61 resume a convenção de sinais adotada no método para quadros planos Tabela 61 Convenção de sinais adotada para quadros planos no Método dos Deslocamentos Deslocamentos horizontais Deslocamentos verticais Rotações Forças horizontais Forças verticais Momentos Esforços axiais em extremidades de barra Esforços cortantes em extremidades de barra Momentos fletores em extremidades de barra 206 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observase na Tabela 61 que os deslocamentos e forças horizontais são positivos quando têm o sentido da esquerda para a direita e negativos quando têm o sentido contrário Os deslocamentos e forças verticais são positivos quando têm o sentido de baixo para cima e negativos quando voltados para baixo As rotações e os mo mentos são positivos quando têm o sentido antihorário e são negativos quando têm o sentido horário A convenção para esforços atuando nas extremidades das barras é a mesma porém se refere a direções no sistema de eixos locais da barra direção axial e direção transversal ao eixo da barra A convenção de sinais para momentos fletores vai ser explorada para descrever os diagramas de momentos fletores nos passos intermediários do método Ao invés de desenhar os diagramas de momentos fletores dos casos básicos do Método dos Deslocamentos os momentos fletores serão indicados nas extremidades da barras segundo a convenção de sinais apresentada acima Devese observar que confor me foi explicado na Seção 41 do Capítulo 4 o traçado do diagrama de momentos fletores em uma barra da qual se conhecem os momentos fletores nas extremidades e o carregamento no interior da barra é um procedimento simples pendurase a partir da linha reta que une os momentos nas extremidades da barra o diagrama de momentos fletores devido ao carregamento em uma viga biapoida de mesmo comprimento Uma das utilidades da convenção de sinais mostrada acima é condensar informa ções sobre os esforços que atuam em uma barra Por exemplo considere a viga biengastada mostrada na Figura 69 l EI const q A B VA ql2 MA ql212 VA VB MA MB Reações de apoio e seus sinais VB ql2 MB ql212 Diagrama de momentos fletores traçado do lado das fibras tracionadas ql212 ql212 ql28 Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais ql212 ql212 Figura 69 Indicação de momentos fletores em uma viga biengastada utilizando a convenção de sinais do Método dos Deslocamentos A Figura 69 indica valores de reações de apoio com seus sentidos físicos e com os sinais da convenção adotada O diagrama de momentos fletores para essa viga Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 207 biengastada está mostrado na sua forma usual isto é desenhado do lado da fibra da seção transversal que é tracionada Também está mostrado como se indicam os momentos fletores nas extremidades usando a convenção de sinais do método Observase que os momentos fletores nas extremidades da barra têm o mesmo si nal das reações momento Soluções básicas de vigas biengastadas também chamadas de soluções de engasta mento perfeito veja a Seção 444 do Capítulo 4 são necessárias para a utilização do Método dos Deslocamentos Isso porque o caso 0 da superposição de casos bási cos do método corresponde a uma situação de engastamento perfeito veja a Seção 62 As reações de apoio de vigas biengastadas e por conseguinte os momentos fletores são tabelados para diversos tipos de carregamento tal como indicado na Seção 444 Outras soluções fundamentais que são necessárias dentro da metodologia do Mé todo dos Deslocamentos são soluções para deslocamentos ou rotações impostos isoladamente em uma das extremidades de uma barra Conforme visto na Seção 442 essas soluções resultam em coeficientes de rigidez de barra Para exemplificar a convenção de sinais adotada são mostradas na Figura 610 as soluções para rota ções impostas às seções extremas de uma barra isolada l l θ EI l 4 θ θ θ 2 6 l EI θ 2 6 l EI θ 2 6 l EI θ 2 6 l EI θ 2EI l θ 4EI l θ EI l 2 Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais θ 4EI l θ 4EI l θ 2EI l θ 2EI l Figura 610 Indicação de momentos fletores resultantes da imposição de rotações nas extremidades de uma barra isolada utilizando a convenção de sinais do Método dos Deslocamentos Na próxima seção é mostrado um exemplo de uma viga contínua que tem por obje tivo utilizar a convenção de sinais na solução pelo Método dos Deslocamentos Alguns conceitos importantes do método serão salientados nessa solução 65 Exemplo de solução de uma viga contínua Considere a viga contínua mostrada na Figura 611 O valor da rigidez à flexão da viga é EI 12 x 104 kNm2 O valor da carga uniformemente distribuída é q 12 kNm 208 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Figura 611 Viga contínua para exemplo de solução pelo Método dos Deslocamentos As únicas deslocabilidades da estrutura da Figura 611 são as rotações D1 e D2 dos nós dos apoios internos Isto é indicado na Figura 612 com o correspondente Sis tema Hipergeométrico SH Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico 1 2 D1 D2 Figura 612 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 611 Uma vez identificadas as deslocabilidades e o SH a metodologia do Método dos Deslocamentos segue com a superposição de casos básicos cada um isolando um determinado efeito no SH tal como definido na Seção 62 Isso é mostrado a se guir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH 1 2 β10 β20 Figura 613 Configuração deformada exagerada do caso 0 da estrutura da Figura 611 Neste caso é imposta uma configuração deformada indicada na Figura 613 de forma ampliada na qual as rotações dos nós dos apoios internos são mantidas nu las enquanto atua o carregamento Para que o SH fique em equilíbrio com essa condição imposta aparecem reações momentos nas chapas fictícias do SH Essas reações nos apoios fictícios do SH são chamadas de termos de carga conforme vis to anteriormente Os termos de carga β10 e β20 são apresentados genericamente na Figura 613 com seus sentidos positivos A interpretação física desses termos pode Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 209 ser entendida com auxílio do diagrama de momentos fletores para o caso 0 mos trado na Figura 614 M0 kNm 1 2 β10 β20 1 2 β10 20 kNm β20 32 kNm 16 16 36 36 4 4 Figura 614 Diagrama de momentos fletores do caso 0 da estrutura da Figura 611 Os momentos fletores para o caso 0 são determinados a partir da solução conhe cida para uma viga biengastada com carregamento uniformemente distribuído conforme mostrado anteriormente Os momentos de engastamento perfeito nas extremidades de uma barra têm valores em módulo igual a ql212 sendo l o com primento da barra Os momentos fletores são mostrados na Figura 614 de duas maneiras Na primeira o diagrama é traçado na convenção usual isto é do lado da fibra da seção transversal que é tracionada Na segunda os valores dos mo mentos fletores são indicados nas extremidades das barras de acordo com a con venção de sinais adotada no Método dos Deslocamentos Observamse no dia grama traçado as descontinuidades do diagrama de momentos fletores indicando condições de equilíbrio da estrutura original sem as chapas fictícias que são vio ladas Entretanto o equilíbrio do SH é satisfeito com a introdução dos termos de carga β10 e β20 Fica clara a interpretação física desses termos na Figura 614 Notase também a simplicidade para a obtenção dos valores dos termos de carga Como o sentido das reações momento é compatível com o sentido dos momentos fletores que atuam nas extremidades das barras para obter os valores dos termos de carga basta somar os valores com sinal dos momentos fletores nas seções adja centes ao nó do termo de carga Dessa forma β10 q4212 q6212 16 36 20 kNm β20 q6212 q2212 36 4 32 kNm Como dito anteriormente ao invés de desenhar os diagramas de momentos fleto res dos casos básicos do Método dos Deslocamentos os momentos fletores serão indicados nas extremidades da barras de acordo com a segunda maneira apresen 210 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha tada na Figura 614 No exemplo desta seção as duas maneiras são mostradas para caracterizar bem o sentido físico dos termos de carga Isso também será feito para caracterizar os coeficientes de rigidez globais nos dois outros casos básicos deste exemplo Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH x D1 1 2 M1 kNmrad 1 2 K21 K11 1 2 K11 20x103 kNmrad K21 4x103 kNmrad 6000 12000 8000 4000 0 D1 1 K11 K21 0 Figura 615 Configuração deformada e diagrama de momentos fletores do caso 1 da estrutura da Figura 611 No caso 1 é imposta uma configuração deformada na qual a rotação D1 é unitária colocando o seu valor a ser determinado em evidência tal como mostrado na Figu ra 615 A figura também mostra o diagrama de momentos fletores M1 que corres ponde ao valor unitário de D1 Os valores dos momentos fletores são obtidos dos coeficientes de rigidez de barra 4EIl e 2EIl provocados por rotações impostas em suas extremidades tal como indicado na Figura 610 com θ 1 Os momentos fletores são mostrados na forma de um diagrama traçado do lado da fibra tracio nada e com valores nas extremidades das barras Devese observar que a barra da direita na Figura 615 não sofre deformações no caso 1 e portanto tem momentos fletores nulos Também estão indicadas na fi gura as interpretações físicas dos coeficientes de rigidez globais K11 e K21 corres pondem às descontinuidades no diagrama de momentos fletores Em outras pala vras esses coeficientes são os momentos necessários para manter em equilíbrio o SH quando é imposta uma configuração deformada onde D1 1 isoladamente É Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 211 evidente que outros momentos e forças são necessários para manter o SH em equi líbrio nessa configuração deformada mas eles são reações nos apoios reais da es trutura Os coeficientes de rigidez globais são os momentos neste exemplo que aparecem nos apoios fictícios do SH Os valores de K11 e K21 são obtidos pelas somas dos momentos fletores com sinal nas seções adjacentes ao nó correspondente K11 4EI4 4EI6 12000 8000 20000 kNmrad K21 2EI4 4000 kNmrad A soma dos coeficientes de rigidez locais de barra 4EI4 e 4EI6 para a obtenção do coeficiente de rigidez global K11 pode ser entendida de outra maneira o esfor ço K11 necessário para girar a estrutura de D1 1 é a soma dos esforços os coeficientes de rigidez das barras necessários para girar cada barra em separado Essa soma de con tribuições de coeficientes de rigidez de barra para compor um coeficiente de rigi dez global da estrutura é uma das características mais importantes do Método dos Deslocamentos Essa característica proporciona a concepção de algoritmos simples para a implementação computacional do método Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 2 1 M2 kNmrad 1 2 K12 K22 1 2 K12 4x103 kNmrad K22 32x103 kNmrad 12000 24000 4000 8000 0 0 D2 1 K12 K22 x D2 Figura 616 Configuração deformada e diagrama de momentos fletores do caso 2 da estrutura da Figura 611 212 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O caso 2 mostrado na Figura 616 é inteiramente análogo ao caso 1 Os valores dos coeficientes de rigidez globais obtidos nesse caso são K12 2EI4 4000 kNmrad K22 4EI6 4EI2 8000 24000 32000 kNmrad Equações de equilíbrio Para se resolver a estrutura pelo Método dos Deslocamentos como visto na Seção 62 são impostas condições de equilíbrio que determinam que os momentos exter nos totais introduzidos pelas chapas fictícias do SH sejam nulos Utilizando a su perposição dos casos básicos essas condições de equilíbrio resultam no seguinte sistema de equações de equilíbrio 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 D K D K D K D K β β 0 0 32 4 4 20 10 32 20 2 1 3 D D A solução desse sistema de equações fornece os seguintes valores para as desloca bilidades D1 123 x 103 rad D2 115 x 103 rad O valor negativo de D1 indica que a rotação da seção do apoio interno da esquerda se dá no sentido horário e o valor positivo de D2 indica que a rotação na seção do outro nó interno tem o sentido antihorário Esses sentidos de rotação são compa tíveis com a configuração deformada da estrutura para este carregamento que é mostrada ampliada exageradamente na Figura 617 D2 D1 Figura 617 Configuração deformada da estrutura da Figura 611 Determinação do diagrama de momentos fletores finais Após a determinação dos valores das deslocabilidades resta a determinação dos efeitos finais na estrutura Isto é feito utilizando a superposição de casos básicos sendo que agora os casos 1 e 2 são ponderados com os valores encontrados para D1 e D2 Por exemplo os momentos fletores finais na estrutura são obtidos por M M0 M1 D1 M2 D2 M M0 123x103 x M1 115x103 x M2 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 213 Essa superposição é feita individualmente para todas as seções extremas das bar ras honrando o sinal da convenção do método que aparece nos diagramas dos ca sos básicos O resultado é mostrado na Figura 618 Podese observar que a soma dos momentos fletores finais com sinais das duas seções adjacentes a cada nó in terno é nula indicando que o equilíbrio do nó à rotação está sendo satisfeito M kNm 86 308 308 317 317 98 Figura 618 Momentos fletores da estrutura da Figura 611 utilizando a convenção de sinais do Método dos Deslocamentos Entretanto essa forma de apresentação de resultados de momentos fletores não é adequada É preciso traçar o diagrama de momentos fletores ao longo da estrutu ra sendo que o diagrama é desenhado usualmente do lado da fibra tracionada das seções transversais Portanto é preciso interpretar a convenção de sinais de mo mentos fletores verificando o sentido dos momentos nas duas extremidades de cada barra Isto é mostrado na Figura 619 que indica os sentidos dos momentos fletores que atuam nas extremidades das barras e sobre os nós da viga contínua Essa figura também mostra o traçado do diagrama de momentos fletores finais da estrutura 86 308 308 317 317 98 M kNm 86 308 317 98 24 54 6 86 98 Figura 619 Momentos fletores da estrutura da Figura 611 desenhados do lado da fibra das seções transversais A partir da solução do exemplo desta seção podemse fazer alguns comentários Em todas as etapas do Método dos Deslocamentos os esforços nas barras e as rea ções de apoio são sempre determinados com base em configurações deformadas conhecidas É sempre assim conhecese a configuração deformada e daí se tiram os es forços e reações Esse é certamente um raciocínio característico do método bem dife 214 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha rente da forma como que se resolvem estruturas isostáticas por equilíbrio ou estru turas hiperestáticas pelo Método das Forças Apesar dessa metodologia não ser intuitiva para quem começa a aprender o Método dos Deslocamentos a solução de cada caso básico é bem simples Isso porque as deformações impostas são sempre configurações muito simples ou são a solução de engastamento perfeito do caso 0 ou é imposta apenas uma deslocabilidade isolada nos outros casos Os esforços e reações em cada caso básico são obtidos de soluções tabeladas Esta metodologia simples também permite algoritmos de fácil implementação computacional 66 Exemplos de solução de pórticos simples Foi observado na seção anterior que os coeficientes de rigidez globais que com põem o sistema de equações de equilíbrio do Método dos Deslocamentos são for mados pela contribuição de coeficientes de rigidez de barras individualmente No exemplo da seção anterior como só havia deslocabilidades do tipo rotação só se levaram em conta coeficientes de rigidez à rotação Nesta seção a utilização dos coeficientes de rigidez de barra vai ser generalizada com a consideração adicional de coeficientes de rigidez axial e transversal Como visto na Seção 442 do Capítulo 4 o objetivo dos coeficientes de rigidez de barra é tabelar soluções para os esforços que devem atuar em uma barra isolada devidos a deslocamentos ou rotações impostos isoladamente em uma extremidade da barra Esses coeficientes também são chamados de coeficientes de rigidez locais Três exemplos são apresentados nesta seção com o objetivo de mostrar a metodo logia do Método dos Deslocamentos principalmente no que se refere ao cálculo dos coeficientes de rigidez globais em função dos coeficientes de rigidez locais das bar ras Nos dois primeiros exemplos as barras são horizontais ou verticais Isso faz com que os coeficientes de rigidez locais nas direções locais sejam horizontais ou verticais podendo ser somados diretamente para compor os coeficientes de rigidez globais O terceiro exemplo mostra que é necessário projetar os coeficientes de ri gidez locais de uma barra inclinada para fazer essa composição 661 Pórtico com três deslocabilidades Considere o pórtico mostrado na Figura 620 As duas barras têm o mesmo materi al com módulo de elasticidade E e têm a mesma seção transversal cuja relação en tre área A e momento de inércia I é dada por AI 2 m2 O objetivo do exemplo é a determinação do diagrama de momentos fletores Na Figura 621 estão indicadas as deslocabilidades da estrutura e o correspondente Sistema Hipergeométrico SH Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 215 Figura 620 Exemplo de solução de pórtico com três deslocabilidades D1 D2 D3 1 2 3 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH Figura 621 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 620 A solução pelo Método dos Deslocamentos apresentada neste capítulo utiliza uma superposição de casos básicos utilizando como estrutura auxiliar o SH Isto é mos trado a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β10 β20 β30 β10 10 kN β20 6 kN β30 0 kNm M0 kNm 0 0 0 0 Figura 622 Caso 0 da estrutura da Figura 620 Os termos de carga β10 β20 e β30 do caso 0 são indicados na Figura 622 com seus sentidos positivos O sentido real vai ser dado pelo sinal do termo Se for negati vo isso indica que o sentido é contrário ao desenhado Nesse caso como as cargas são aplicadas diretamente sobre o nó onde foram colocados os apoios fictícios do SH os termos de carga são obtidos diretamente pelo equilíbrio do nó resultando 216 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha nos valores indicados Como não existem cargas aplicadas no interior das barras estas não apresentam deformações Se não existem deformações não existem es forços Por isso os momentos fletores M0 no caso 0 são nulos conforme indicado na Figura 622 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH M1 0 0 6EI42 6EI42 x D1 D1 1 K11 K21 K31 K11 EA6 12EI43 K21 0 0 K31 0 6EI42 EA6 EA6 12EI43 6EI42 6EI42 12EI43 Figura 623 Caso 1 da estrutura da Figura 620 O caso 1 está indicado na Figura 623 Observase nessa figura como os coeficien tes de rigidez locais das barras contribuem para os coeficientes de rigidez globais da estrutura Por exemplo a força K11 que deve atuar na direção global de D1 para dar configuração deformada onde D1 1 é obtida pela soma do coeficiente de ri gidez axial EA6 da barra horizontal com o coeficiente de rigidez transversal 12EI43 da barra vertical Vêse também que em nenhuma das duas barras apare cem forças verticais no nó deslocado para dar a configuração deformada imposta Assim não há contribuição para o coeficiente de rigidez global K21 o que resulta em um valor nulo De forma análoga o coeficiente de rigidez global K31 recebe uma contribuição nula da barra horizontal pois esta sofre apenas uma deformação axial e uma contribuição do momento 6EI42 vindo da barra vertical Na Figura 623 também estão mostrados o valores dos momentos fletores M1 para D1 1 nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais apresentada na Seção 64 Neste caso somente a barra vertical apresenta momentos fletores Nos casos seguintes os coeficientes de rigidez globais são calculados de maneira análoga sendo todos indicados nas Figuras 624 e 625 Também estão indicados Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 217 nas figuras os momentos fletores M2 e M3 para D2 e D3 com valores unitários nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais do método Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH M2 0 0 6EI62 6EI62 EA4 EA4 12EI63 6EI62 6EI62 12EI63 K12 0 0 K22 12EI63 EA4 K32 6EI62 0 D2 1 K12 K22 K32 x D2 Figura 624 Caso 2 da estrutura da Figura 620 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH M3 4EI4 2EI4 D3 1 K13 K23 K33 K13 0 6EI42 K23 6EI62 0 K33 4EI6 4EI4 6EI42 4EI4 2EI4 6EI42 4EI6 2EI6 6EI62 4EI6 2EI6 6EI62 D3 1 x D3 Figura 625 Caso 3 da estrutura da Figura 620 218 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Equações de equilíbrio Conforme visto anteriormente veja as Seções 62 e 65 a solução pelo Método dos Deslocamentos recai em equações de equilíbrio que impõem reações finais nulas nos apoios fictícios do SH Para o exemplo desta seção essas equações são 0 0 0 3 33 2 32 1 31 30 3 23 2 22 1 21 20 3 13 2 12 1 11 10 D K D K D K D K D K D K D K D K D K β β β Utilizando a relação fornecida entre o valor da área e do momento inércia da seção transversal das barras AI 2 m2 podese colocar os coeficientes de rigidez glo bais em função do parâmetro de rigidez à flexão EI Isso resulta no seguinte siste ma de equações cuja solução também é indicada em função de EI 0 0 0 5 3 1 6 3 8 1 6 5 9 0 3 8 0 48 25 0 6 10 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 4010 595 9 085 22 3 2 1 A configuração deformada final da estrutura é mostrada na Figura 626 Observa se que os sinais dos deslocamentos e da rotação são consistentes D1 é positivo da esquerda para a direita D2 é negativo de cima para baixo e D3 é negativo senti do horário D3 D2 D1 D3 Figura 626 Configuração deformada com ampliação exagerada da estrutura da Figura 620 Determinação do diagrama de momentos fletores finais Os momentos fletores finais na estrutura são obtidos pela superposição de efeitos dos casos básicos sendo M0 nulo M M0 M1 D1 M2 D2 M3 D3 Isso resulta nos valores com sinais dos momentos fletores nas extremidades das barras indicados na esquerda da Figura 627 Esses sinais são interpretados segun do a convenção do método resultando nos sentidos indicados no meio da figura Finalmente o diagrama de momentos fletores é desenhado do lado da fibra tracio nada conforme indicado na direita da Figura 627 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 219 43 29 43 63 43 43 63 29 M kNm M kNm Figura 627 Diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 620 662 Pórtico com articulação interna Esta seção mostra a solução pelo Método dos Deslocamentos de um pórtico sim ples com seis deslocabilidades e uma articulação rótula interna tal como mostra do na Figura 628 As três barras têm a mesma seção transversal com área A e momento de inércia I e material com módulo de elasticidade E A relação entre A e I é dada por AI 2 m2 A Figura 629 mostra as deslocabilidades e o correspon dente Sistema Hipergeométrico Figura 628 Exemplo de solução de pórtico com articulação interna D1 D2 D3 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH D4 D5 D6 1 2 3 4 5 6 Figura 629 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 628 Assim como no exemplo da seção anterior o objetivo principal deste exemplo é mostrar a determinação dos coeficientes de rigidez globais em função dos coefici entes de rigidez locais da barras Essa determinação é simples pois as barras da 220 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha estrutura são perpendiculares entre si Quando existem barras inclinadas é preci so converter coeficientes de rigidez locais das direções locais para as direções glo bais Isso porque os coeficientes de rigidez globais são formados por somas de contribuições dos coeficientes de rigidez locais das diversas barras Para poderem ser somados os coeficientes locais devem ter as mesmas direções horizontais ou verticais A próxima seção apresenta um exemplo com barra inclinada onde vai ser mostrado como se faz esta conversão Observe nas Figuras 628 e 629 que a articulação do nó superior direito é conside rada na extremidade direita da barra horizontal da viga A outra possibilidade para considerar a rótula seria na seção superior da barra vertical coluna da direi ta Ainda haveria uma outra possibilidade que seria considerar as duas barras arti culadas neste nó Isso geraria como será mostrado no próximo capítulo uma in determinação do sistema de equações finais de equilíbrio quanto ao valor da rota ção D6 Na verdade isso resulta em um truque de cálculo em que esta rotação não é considerada como deslocabilidade Essa discussão vai ser deixada para o próximo capítulo A superposição de casos básicos utilizando como estrutura auxiliar o SH é mostra da a seguir Em cada caso básico são mostradas as configurações deformadas im postas e estão indicados os correspondentes momentos fletores nas extremidades das barras seguindo a convenção de sinais apresentada na Seção 64 Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β10 β20 β30 M0 kNm 45 0 0 0 β40 β50 β60 0 0 β10 10 kN β20 375 kN β30 45 kNm β40 0 β50 225 kN β60 0 Figura 630 Caso 0 da estrutura da Figura 628 Os termos de carga βi0 são indicados na Figura 630 com seus sentidos positivos O sentido real vai ser dado pelo sinal do termo Se for negativo isso indica que o sentido é contrário ao desenhado Para o caso 0 é necessária a solução prévia das reações de engastamento perfeito de uma viga engastada na esquerda e articulada Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 221 na direita devido a uma carga uniformemente distribuída Essa solução é mostra da na Seção 4441 do Capítulo 4 veja a Figura 443 O momento fletor que apare ce na extremidade esquerda da viga da estrutura é igual a 10628 45 kNm tal como indicado na Figura 630 Os valores com sinal dos termos de carga mostrados na Figura 630 são obtidos com base nas cargas aplicadas e na solução de engastamento perfeito para a viga com uma rótula na extremidade direita veja a Figura 443 Os procedimentos para a determinação dos coeficientes de rigidez globais Kij do exemplo desta seção são análogos aos que foram feitos para o exemplo da seção anterior e estão mostrados nas Figuras 631 a 636 Entretanto essas figuras não indicam os esforços que atuam nas extremidades das barras isoladas em cada caso básico O raciocínio para a obtenção dos coeficientes globais pode ser feito consul tando as figuras dos coeficientes de rigidez locais da Seção 442 do Capítulo 4 Os coeficientes de rigidez globais dos casos 1 a 6 estão indicados com seus sen tidos positivos nas Figuras 631 a 636 O sentido real é dado pelo sinal Se o sinal for negativo o sentido real é contrário ao desenhado Os valores dos coeficientes dos casos 1 a 6 também estão mostrados nas figuras correspondentes em função dos parâmetros de rigidez axial EA e de rigidez à flexão EI É interessante observar a influência da articulação da barra horizontal na determi nação dos coeficientes de rigidez da estrutura Por exemplo devido a essa articu lação nos casos básicos 2 3 e 5 Figuras 632 633 e 635 os coeficientes K62 K63 e K65 são nulos apesar de a barra horizontal estar sendo mobilizada à flexão Note também que a barra horizontal não é mobilizada à flexão no caso 6 Figura 636 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 K21 K31 M1 0 K41 K51 K61 0 0 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D1 1 K11 EA6 12EI43 K21 0 0 K31 0 6EI42 K41 EA6 K51 0 K61 0 x D1 Figura 631 Caso 1 da estrutura da Figura 628 222 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH K12 K22 K32 M2 0 0 0 K42 K52 K62 0 0 3EI62 EA4 K12 0 0 K22 3EI63 EA4 K32 3EI62 0 K42 0 K52 3EI63 K62 0 D2 1 x D2 Figura 632 Caso 2 da estrutura da Figura 628 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH D3 1 K13 K23 K33 M3 0 K43 K53 K63 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K13 0 6EI42 K23 3EI62 0 K33 3EI6 4EI4 K43 0 K53 3EI62 K63 0 D3 1 x D3 Figura 633 Caso 3 da estrutura da Figura 628 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 223 Caso 4 Deslocabilidade D4 isolada no SH K14 K24 K34 M4 0 K44 K54 K64 0 0 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 K44 EA6 12EI43 K54 0 0 K64 0 6EI42 K14 EA6 K24 0 K34 0 D4 1 x D4 Figura 634 Caso 4 da estrutura da Figura 628 Caso 5 Deslocabilidade D5 isolada no SH K15 K25 K35 M5 0 0 0 K45 K55 K65 0 0 3EI62 EA4 K45 0 0 K55 3EI63 EA4 K65 0 0 K15 0 K25 3EI63 K35 3EI62 D5 1 x D5 Figura 635 Caso 5 da estrutura da Figura 628 224 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso 6 Deslocabilidade D6 isolada no SH D6 1 K16 K26 K36 M6 0 K46 K56 K66 0 0 x D6 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 0 K46 0 6EI42 K56 0 0 K66 0 4EI4 K16 0 K26 0 K36 0 Figura 636 Caso 6 da estrutura da Figura 628 Equações de equilíbrio O sistema de equações de equilíbrio do Método dos Deslocamentos expressão 65 para o exemplo desta seção contém seis condições de equilíbrio uma para cada deslocabilidade Utilizando a relação fornecida AI 2 m2 podese colocar os coeficientes de rigidez globais em função do parâmetro de rigidez à flexão EI Isso resulta no sistema de equações mostrado em seguida cuja solução também é indi cada em função de EI 0 0 0 0 0 0 1 0 3 8 0 0 0 0 37 72 0 1 12 1 72 0 3 8 0 25 48 0 0 1 3 0 1 12 0 3 2 1 12 3 8 0 1 72 0 1 12 37 72 0 0 0 1 3 3 8 0 48 25 0 22 5 0 45 0 37 5 0 10 6 5 4 3 2 1 D D D D D D EI EI D EI D EI D EI D EI D EI D 45 51 65 56 25 137 75 68 35 63 55 156 6 5 4 3 2 1 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 225 Determinação do diagrama de momentos fletores finais A configuração deformada final da estrutura e o diagrama de momentos fletores obtido pela superposição dos diagramas dos casos básicos dada pela Equação 64 estão indicados na Figura 637 D2 D1 D6 D3 D3 D4 D5 101 0 101 243 M kNm 257 0 M kNm 101 101 243 257 Diagrama de momentos fletores traçado do lado das fibras tracionadas Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais Configuração deformada ampliada exageradamente Sentidos dos momentos fletores nas extremidades das barras Figura 637 Configuração deformada e diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 628 Observase pela solução do exemplo desta seção que o Método dos Deslocamentos tem uma metodologia com procedimentos simples e padronizados Entretanto neste exemplo e no anterior só foram consideradas barras horizontais e verticais A próxima seção vai mostrar a solução de uma estrutura com uma barra inclinada 663 Pórtico com barra inclinada Nos exemplos apresentados nas Seções 65 661 e 662 as barras são horizontais ou verticais Isso faz com que os coeficientes de rigidez locais nas direções locais se jam horizontais ou verticais podendo ser somados diretamente para determinar os coeficientes de rigidez globais da estrutura Esta seção mostra os procedimentos necessários para considerar uma barra inclinada O mesmo exemplo mostrado na Seção 62 Figura 63 vai ser estudado nesta seção para mostrar os cálculos dos coeficientes de rigidez globais quando uma das barras é inclinada O caso básico 0 desse exemplo mostrado na Figura 65 não sofre a 226 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha influência da barra inclinada visto que somente a barra horizontal tem carrega mento O cálculos dos coeficientes de rigidez globais dos casos básicos 1 2 e 3 são ex plicados nas Figuras 638 639 e 640 Esse cálculo continua sendo feito somando se os valores dos coeficientes de rigidez locais das barras que são mobilizadas na configuração deformada imposta em cada caso Entretanto para uma barra incli nada a imposição de uma deslocabilidade na direção horizontal ou vertical acarre ta deformações axiais e transversais combinadas Por outro lado esforços axiais e transversais na barra inclinada devem ser projetados para as direções horizontal e vertical para compor um coeficiente de rigidez global Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH 11 K K21 K31 D1 1 x D1 1 θ 1 6EI52senθ EA5cosθ 12EI53senθ cosθ 35 senθ 45 6EI52senθ EA5cosθ 12EI53senθ EA6 EA6 K11 EA5cos2θ 12EI53sen2θ EA6 K21 EA5cosθsenθ 12EI53senθcosθ K31 6EI52senθ Figura 638 Cálculo dos coeficientes de rigidez do caso 1 da estrutura da Figura 63 O caso básico 1 da solução da estrutura da Figura 63 está detalhado na Figura 638 Observase nessa figura que o deslocamento horizontal D1 1 imposto quando projetado nas direções dos eixos locais da barra inclinada tem uma com ponente axial igual a cosθ e uma componente transversal igual a senθ sendo θ o ângulo que a barra inclinada faz com o eixo horizontal da estrutura Dessa forma a barra inclinada é mobilizada tanto axialmente quanto transversalmente Com base nas componentes axial e transversal do deslocamento imposto é possí vel determinar as forças e os momentos que devem atuar nas extremidades da bar ra inclinada para ela alcançar o equilíbrio na configuração deformada imposta Os valores das forças e dos momentos são obtidos em função dos coeficientes de rigi Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 227 dez locais da barra e estão indicados na Figura 638 nas direções dos seus eixos lo cais com seus sentidos físicos reais Resta calcular os coeficientes de rigidez globais para o caso 1 Para determinar os coeficientes K11 e K21 é necessário projetar as forças axial e transversal que atuam no topo da barra inclinada nas direções horizontal e vertical desses coeficientes O coeficiente de rigidez K11 é obtido pela soma das projeções horizontais das forças axial e transversal com a força axial que atua na barra horizontal O coeficiente de rigidez K21 é obtido pela soma das projeções verticais das forças axial e transversal no topo da barra inclinada sendo que não há uma contribuição da barra horizontal para esse coeficiente Finalmente o coeficiente de rigidez K31 é calculado pela so ma dos momentos que atuam nas extremidades das barras inclinada e horizontal considerando os seus sentidos reais Os valores desses coeficientes estão mostrados na Figura 638 em função dos pa râmetros de rigidez axial EA e de rigidez à flexão EI Os valores numéricos dos coeficientes indicados na Figura 66 foram calculados considerando o módulo de elasticidade do material E 12107 kNm2 a área A 12102 m2 e o momento de inércia I 12103 m4 da seção transversal das barras Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH 1 θ 6EI52cosθ EA5senθ 12EI53cosθ senθ 45 cosθ 35 6EI52cosθ EA5senθ 12EI53cosθ K12 EA5senθcosθ 12EI53cosθsenθ K22 EA5sen2θ 12EI53cos2θ 12EI63 K32 6EI52cosθ 6EI62 K22 K12 K32 D2 1 12EI63 6EI62 12EI63 6EI62 x D2 Figura 639 Cálculo dos coeficientes de rigidez do caso 2 da estrutura da Figura 63 A Figura 639 mostra o caso básico 2 da solução dessa estrutura As projeções nas direções dos eixos locais da barra inclinada do deslocamento vertical D2 1 resul tam em uma componente axial igual a senθ e em uma componente transversal i gual a cosθ 228 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Utilizando os coeficientes de rigidez locais da barra inclinada determinamse as forças e os momentos que atuam nas suas extremidades para essa configuração deformada imposta O coeficiente de rigidez global K12 é obtido pela soma das projeções horizontais das forças axial e transversal no topo da barra inclinada sendo que a barra horizontal não contribui para esse coeficiente não foi mobilizada axialmente O coeficiente de rigidez global K22 é calculado pela soma das projeções verticais das forças axial e transversal da barra inclinada com a força transversal da barra horizontal O coefi ciente de rigidez global K32 é obtido pela soma com sinal dos momentos que atu am nas duas barras nas extremidades que se tocam Os valores finais desses três coeficientes estão indicados na Figura 67 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH 1 θ 6EI52 senθ 45 cosθ 35 K13 6EI52senθ K23 6EI52cosθ 6EI62 K33 4EI5 4EI6 4EI6 6EI62 6EI62 x D3 K13 K23 K33 D3 1 1 6EI52 2EI6 4EI5 2EI5 Figura 640 Cálculo dos coeficientes de rigidez do caso 3 da estrutura da Figura 63 O caso básico 3 do exemplo da barra inclinada é mais simples pois a rotação D3 1 imposta provoca apenas configurações deformadas elementares não compostas nas duas barras Para obter os coeficientes de rigidez globais desse caso basta pro jetar a contribuição da barra inclinada nas direções dos eixos globais e somála com a contribuição da barra horizontal Isso está mostrado na Figura 640 Os valores finais desses coeficientes estão indicados na Figura 68 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos 229 Determinação do diagrama de momentos fletores finais O sistema de equações de equilíbrio do Método dos Deslocamentos para o exemplo da barra inclinada já foi mostrado nas Seções 62 e 63 A solução dessas equações resulta nos valores das deslocabilidades da estrutura 3 1 0 45 10 D m 3 2 1 05 10 D m 3 3 0 75 10 D rad Com base nesses valores é possível determinar o diagrama de momentos fletores finais da estrutura o que é feito pela superposição dos diagramas dos casos básicos indicada na Figura 641 15 0 0 15 M0 kNm 0 0 M1 6EI52senθ 6EI52senθ para D1 1 M3 para D3 1 M2 para D2 1 211 53 M kNm M kNm 6EI52cosθ 6EI62 6EI62 6EI52cosθ 4EI6 2EI6 4EI5 2EI5 M M0 M1 D1 M2 D2 M3 D3 53 09 Figura 641 Diagrama de momentos fletores finais da estrutura da Figura 63 Observase pelo exemplo desta seção que a solução de uma estrutura com barra inclinada é um pouco mais complexa do que a solução de uma estrutura só com barras horizontais e verticais No caso de barras inclinadas os coeficientes de rigi dez locais nas direções locais não podem ser somados diretamente para compor os coeficientes de rigidez globais O procedimento adotado para determinar a con tribuição dos coeficientes de rigidez locais de uma barra inclinada é dividido em duas etapas Primeiro uma deslocabilidade global do tipo deslocamento que é 230 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha imposta é decomposta em uma componente axial e outra transversal em relação à barra inclinada Segundo os coeficientes de rigidez locais gerados independente mente para as componentes axial e transversal da deslocabilidade são projetados nas direções da deslocabilidade global da estrutura horizontal ou vertical Esse procedimento pode ser implementado de uma forma genérica em um pro grama de computador para a análise de estruturas pelo Método dos Deslocamen tos Isso será mostrado no Capítulo 9 como um dos procedimentos do Método da Rigidez Direta Os exemplos mostrados neste capítulo salientam a característica mais marcante do Método dos Deslocamentos a soma de contribuições de coeficientes de rigidez locais de barras para compor um coeficiente de rigidez global da estrutura Essa característica permite a concepção de algoritmos simples para a análise de estruturas Isso é ex plorado na implementação de programas de computador que em geral utilizam esse método O Capítulo 9 mostra o algoritmo que é utilizado para montagem da matriz de rigidez global em função das matrizes de rigidez locais das barras que compõem a estrutura Entretanto a resolução manual de uma estrutura pelo método é dificultada pelo número excessivo de equações de equilíbrio geradas uma para cada deslocabili dade A presença de barras inclinadas também torna a análise manual de estrutu ras muito trabalhosa Podese concluir que a solução manual de uma estrutura pelo Método dos Deslocamentos para uma estrutura genérica com muitas barras sendo algumas inclinadas é muito difícil de ser realizada Realmente atualmente não se concebe mais analisar uma estrutura sem o auxílio de um programa de computador Entretanto algumas vezes é necessário analisar manualmente uma estrutura Isso é feito em geral para se adquirir sensibilidade sobre o comportamento da estrutura ou para entender a metodologia de análise do Método dos Deslocamentos Com esses objetivos o próximo capítulo considera uma série de simplificações que são adotadas para viabilizar a resolução manual de uma estrutura por esse método 7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS DEFORMAÇÕES O Método dos Deslocamentos conforme apresentado no capítulo anterior tem uma metodologia de cálculo bem mais simples do que a metodologia do Método das Forças apresentado no Capítulo 5 Alguns aspectos podem ser enumerados para caracterizar esse fato Por exemplo no Método dos Deslocamentos só existe uma opção para a escolha do Sistema Hipergeométrico estrutura cinematicamente determinada utilizada nos casos básicos enquanto que no Método das Forças exis tem várias opções para a escolha do Sistema Principal estrutura estaticamente de terminada utilizada nos casos básicos Também pode ser observado que o cálculo dos valores dos coeficientes de rigidez do sistema de equações finais de equilíbrio do Método dos Deslocamentos é muito mais simples soma direta de coeficientes de rigidez de barras do que o cálculo dos coeficientes de flexibilidade do Método das Forças integrais de energia de deformação Esses dois fatores justificam o fato da maioria dos programas de computador para análise de estruturas adotar o Método dos Deslocamentos em suas implementações Entretanto a aplicação do método na forma apresentada no capítulo anterior pa ra a resolução manual de uma estrutura é muito trabalhosa Isso se deve ao núme ro excessivo de incógnitas deslocabilidades que resulta da solução mesmo para estruturas simples e à complexidade na consideração de barras inclinadas Na verdade a forma apresentada no capítulo anterior para o Método dos Deslo camentos é dirigida para uma solução por computador A formalização do método para uma implementação computacional será vista no Capítulo 9 onde é apresen tado o Método da Rigidez Direta Este capítulo faz uma apresentação do Método dos Deslocamentos de uma forma clássica voltada para a resolução manual sem auxílio de computador procurando diminuir ao máximo o número de deslocabilidades Essa é forma em que o méto do era apresentado em livros tradicionais de análise de estruturas reticuladas co mo o de Süssekind 19773 Para tanto são introduzidas simplificações no comportamento das barras com res peito às suas deformações Isto é são adotadas restrições nas deformações das bar ras como por exemplo a hipótese de que as barras não se deformam axialmente Essa hipótese também é adotada comumente na resolução manual pelo Método das Forças quando se despreza a parcela de energia de deformação axial no cálculo dos coeficientes de flexibilidade e termos de carga 232 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Resumindo este capítulo apresenta o Método dos Deslocamentos com restrições nas deformações de barras com os seguintes objetivos Reduzir o número de deslocabilidades da estrutura visando principalmente uma resolução manual Caracterizar o comportamento de pórticos quadros com respeito aos efeitos de deformações axiais e de deformações transversais por flexão das barras Embora a motivação inicial seja reduzir o número de deslocabilidades de uma es trutura o segundo objetivo é o mais importante na presente abordagem O ele mentos estruturais de um pórtico real têm deformações axiais muito menores do que as deformações transversais por flexão Portanto a consideração de barras sem deformação axial chamadas de barras inextensíveis é uma aproximação razoá vel para o comportamento de um quadro A hipótese de barras inextensíveis pos sibilita o entendimento do conceito de contraventamento ou travejamento de pórticos que é muito importante no projeto de estruturas A apresentação desse conceito é um dos principais objetivos deste capítulo Além disso este capítulo apresenta alguns macetes de cálculo tal como eliminação de trechos em balanço que também reduzem o número de incógnitas na solução pelo Método dos Deslocamentos sem introduzir nenhuma simplificação quanto ao comportamento das estruturas 71 Classificação das simplificações adotadas Podese classificar as simplificações adotadas para diminuir o número de desloca bilidades na solução de uma estrutura reticulada em quatro tipos Eliminação de trechos em balanço Consideração de barras inextensíveis Eliminação de deslocabilidades do tipo rotação de nós quando todas as bar ras adjacentes são articuladas no nó Consideração de barras infinitamente rígidas A primeira simplificação é na verdade um macete de cálculo visto que trechos em balanço de pórticos podem ter seus esforços internos determinados isostaticamente basta calcular os esforços a partir das extremidades livres do balanço A Figura 71 mostra um exemplo dessa simplificação A estrutura é dividida em duas partes o trecho em balanço e o restante O balanço é calculado como uma estrutura isostática engastada no ponto de contato com o restante do pórtico O pórtico sem o balanço é calculado para uma força e um momento obtidos pelo transporte da força que atua no balanço para o ponto de contato Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 233 l P P M Pl P Figura 71 Separação do trecho em balanço de um pórtico plano A conseqüência da solução do pórtico da Figura 71 com a eliminação do trecho em balanço é evidente Considerando que cada nó sem restrição de apoio tem 3 deslocabilidades a estrutura completa com balanço tem 21 deslocabilidades A mesma estrutura sem o balanço tem apenas 6 deslocabilidades É obvio que o cálculo de deslocamentos nos pontos do balanço depende da respos ta do restante da estrutura Entretanto esse cálculo pode ser feito por superposi ção de efeitos somandose aos deslocamentos do balanço considerado como en gastado o movimento de corpo rígido associado aos deslocamentos e à rotação do ponto de contato do restante do pórtico com o balanço 72 Consideração de barras inextensíveis Uma simplificação comumente adotada na resolução manual de estruturas pelo Método dos Deslocamentos é a de que as barras não se deformam axialmente Essa simplificação é chamada de hipótese de barras inextensíveis e está fundamentada no fato de que as barras usuais de um pórtico têm em geral uma deformação axial muito menor do que as deformações transversais devidas ao efeito de flexão Um exemplo disso foi mostrado na Seção 4311 do Capítulo 4 Devese observar que a solução de uma estrutura com base nessa hipótese difere um pouco da solução sem a simplificação Portanto devese tomar cuidado com a adoção dessa hipótese que só se justifica para a resolução manual de pórticos pla nos pequenos A consideração de barras sem deformação axial com o objetivo de diminuir o nú mero de deslocabilidades de uma estrutura reticulada está sempre associada à hi pótese de pequenos deslocamentos A combinação dessas duas simplificações tem como conseqüência uma redução drástica no número de deslocabilidades do tipo translação não afetando o número de deslocabilidades do tipo rotação Isso é ex plicado em seguida 234 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Considere o pórtico da Figura 72 cujas colunas barras verticais por hipótese não têm deformação axial Com essa hipótese a distância entre um nó superior de um lado da estrutura e o nó correspondente na base não pode se alterar Como os nós da base são fixos os nós superiores têm seus movimentos restringidos a um arco de círculo centrado no nó correspondente da base tal como indica a Figura 72a Esses arcos de círculo são os lugares geométricos LG que definem as possíveis posi ções que os nós superiores do pórtico podem ocupar quando se considera as colu nas inextensíveis a b LG do nó superior para grandes deslocamentos LG do nó superior para pequenos deslocamentos Figura 72 Lugares geométricos LG dos nós superiores de um pórtico com colunas inextensíveis Adotandose também a hipótese de pequenos deslocamentos podese aproximar o arco de círculo por uma tangente ao círculo tal como indicado na Figura 72b Dessa forma o LG de um nó superior é uma reta horizontal transversal ao eixo da coluna correspondente Podese generalizar a conseqüência da combinação da hipótese de barras inexten síveis com a hipótese de pequenos deslocamentos da seguinte maneira Hipótese de barras inextensíveis com pequenos deslocamentos os dois nós ex tremos de uma barra só podem se deslocar relativamente na direção trans versal ao eixo da barra Com base nessa hipótese analisase a configuração deformada do pórtico da Figu ra 73 As três barras do pórtico são inextensíveis e a solicitação é uma carga hori zontal P aplicada no topo b P b h Figura 73 Configuração deformada ampliada exageradamente de um pórtico com barras inextensíveis para uma carga horizontal no topo Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 235 Observe na Figura 73 que os nós superiores na configuração deformada têm a mesma cota vertical h em relação à base da configuração indeformada embora as colunas apresentem deslocamentos transversais por flexão Aparentemente as co lunas deveriam ter se alongado para isso ser possível De maneira análoga os dois nós superiores continuam tendo a mesma distância b entre si na configuração de formada os nós superiores têm o mesmo deslocamento horizontal embora a viga tenha se deformado transversalmente Essas aparentes inconsistências só fazem sentido se os deslocamentos realmente forem pequenos Na verdade o que se considera com a hipótese de barras inex tensíveis com pequenos deslocamentos é a distância na direção do eixo indeformado entre os dois nós extremos de uma barra não se altera quando esta se deforma transversal mente por flexão A consideração de barras inextensíveis para a estrutura da Figura 73 resulta na redução do número de deslocabilidades do tipo translação A Figura 74a indica as deslocabilidades dessa estrutura para o caso de barras extensíveis e a Figura 74 b indica as deslocabilidades para o caso de barras inextensíveis Neste caso como os LGs dos dois nós superiores são retas horizontais esses nós não têm desloca mentos verticais Portanto D2 0 e D5 0 isto é duas deslocabilidades do tipo translação são eliminadas Além disso os dois nós superiores têm deslocamentos horizontais que são iguais portanto D4 D1 Isso elimina mais uma deslocabilida de do tipo translação pois o mesmo parâmetro de deslocabilidade horizontal está associado aos dois nós superiores Portanto o número de deslocabilidades é redu zido de 6 para 3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D1 D2 0 D3 D4 D1 D6 D5 0 a b barras extensíveis barras inextensíveis Figura 74 Redução do número de deslocabilidades para o pórtico da Figura 73 Como foi dito a consideração de barras inextensíveis não afeta as deslocabilidades do tipo rotação Essa hipótese apenas reduz o número de deslocabilidades do tipo translação Entretanto essa vantagem é acompanhada de uma desvantagem que é a comple xidade na identificação das deslocabilidades do tipo translação A Seção 722 re sume as regras que são utilizadas para determinar deslocabilidades do tipo trans lação em pórticos planos com barras inextensíveis 236 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Com a simplificação de barras inextensíveis é feita uma renumeração das desloca bilidades resultantes É costume numerar primeiro as deslocabilidades do tipo rotação e depois as deslocabilidades do tipo translação Para a estrutura da Figura 73 isso resulta na numeração mostrada na Figura 75 A Figura 75a indica as deslocabilidades com a notação adotada e a Figura 75b indica a interpretação física das deslocabilidades D3 D1 D3 D2 a b D3 D3 D1 D2 D1 D2 Figura 75 Renumeração das deslocabilidades para o pórtico da Figura 73 No restante deste livro a seguinte terminologia será adotada Süssekind 19773 Deslocabilidades internas são as deslocabilidades do tipo rotação Deslocabilidades externas são as deslocabilidades do tipo translação di número total de deslocabilidades internas de número total de deslocabilidades externas Na estrutura da Figura 75 D1 e D2 são deslocabilidades internas D3 é uma deslo cabilidade externa di 2 e de 1 721 Exemplo de solução de pórtico com barras inextensíveis Para exemplificar a solução de um pórtico plano com barras inextensíveis pelo Mé todo dos Deslocamentos o exemplo adotado na Seção 662 será analisado nova mente O objetivo é fazer uma comparação com a solução com barras extensíveis do capítulo anterior A Figura 76 mostra o modelo estrutural desse exemplo Figura 76 Exemplo de pórtico com barras inextensíveis e articulação na viga Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 237 Assim como na Seção 662 a articulação do nó superior direito é considerada na extremidade direita da barra horizontal da viga A Seção 73 vai mostrar outras possibilidades para considerar essa articulação As três barras inextensíveis têm a mesma seção transversal com momento de inér cia I e material com módulo de elasticidade E Na Seção 662 foi adotada uma relação entre a área e o momento de inércia da seção transversal dada por AI 2 m2 A hipótese de barras inextensíveis é análoga a considerar um valor infinito para essa relação A Figura 77 mostra as deslocabilidades e o correspondente Sistema Hipergeomé trico SH da estrutura da Figura 76 Observase nessa figura que o SH apresenta apenas três apoios fictícios D3 D1 Deslocabilidades Sistema Hipergeométrico SH D3 D2 3 1 2 Figura 77 Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico da estrutura da Figura 76 Com respeito às deslocabilidades internas as chapas 1 e 2 do SH fixam as rotações D1 e D2 dos nós superiores Observase que a chapa 2 impede a rotação da seção do topo da coluna pois a articulação interna está sendo considerada modelada na extremidade direita da viga Vêse que a consideração de barras inextensíveis não altera a adição de apoios para o impedimento de deslocabilidades internas na cria ção do SH uma chapa fictícia é adicionada para cada rotação livre Por outro lado a adição de apoios no SH para impedir deslocabilidades externas requer uma análise adicional Como os nós superiores não têm deslocamentos ver ticais colunas inextensíveis não é necessário adicionar apoios fictícios para impe dir esses deslocamentos Além disso apenas um apoio o apoio 3 é necessário para fixar o deslocamento horizontal D3 dos dois nós superiores Como a viga é inextensível o apoio 3 adicionado no nó superior esquerdo também impede o des locamento horizontal do nó superior direito Na verdade o apoio 3 pode ser colo cado indistintamente em qualquer um dos dois nós superiores Nas duas situações o movimento horizontal dos nós superiores fica impedido Esse exemplo mostra que a criação do SH e a identificação das deslocabilidades de um pórtico com barras inextensíveis não é tão direta como é para o caso de bar ras extensíveis Com barras extensíveis cada nó superior do pórtico tem três des locabilidades dois deslocamentos e uma rotação Portanto a criação do SH é 238 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha simples basta adicionar três apoios fictícios por nó veja a Figura 629 Já no caso de barras inextensíveis a criação do SH do exemplo é feita em duas fases Na pri meira são inseridas duas chapas para impedir as deslocabilidades internas Na segunda é feita uma análise para identificar que é necessário inserir apenas um apoio fictício no SH para fixar a deslocabilidade externa Essa análise adicional é o preço que se paga para diminuir o número de deslocabi lidades quando se adota a hipótese de barras inextensíveis Isso pode ser relativa mente complexo no caso geral principalmente quando existirem barras inclinadas A Seção 722 a seguir estabelece regras gerais para a adição de apoios fictícios no SH para impedir deslocabilidades externas de pórticos planos com barras inexten síveis Uma vez obtido o SH da estrutura da Figura 76 a metodologia de cálculo do Mé todo dos Deslocamentos segue o procedimento padrão de superposição de casos básicos Como a estrutura tem três deslocabilidades existem quatro casos básicos o caso 0 isola o efeito da solicitação externa no SH e os demais casos isolam indi vidualmente os efeitos das deslocabilidades Isso é mostrado a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 45 0 0 0 β20 0 0 β10 45 kNm β20 0 β30 10 kN Figura 78 Caso 0 da estrutura da Figura 76 A Figura 78 mostra que o caso 0 desse exemplo é semelhante ao do exemplo da Seção 662 com barras extensíveis A principal diferença está na transmissão dos esforços cortantes das extremidades da viga para esforços normais nas colunas Como não foram adicionados apoios fictícios no SH para impedir os deslocamen tos verticais dos nós superiores a viga vai buscar apoio na base da estrutura Isto é os cortantes que devem atuar nas extremidades da viga com os dois nós extre mos engastados são fornecidos pelas reações verticais dos apoios originais da base da estrutura Vêse que as colunas por serem inextensíveis têm que transmitir via esforço axial as reações da base para os cortantes nas extremidades da viga Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 239 Essa análise leva a concluir que as colunas inextensíveis têm esforços normais inde finidos a priori Isto é os esforços normais nas colunas são conseqüência dos esfor ços cortantes na viga De fato como a barra não tem deformação axial o seu esfor ço axial pode assumir qualquer valor Visto de uma outra forma as colunas inextensíveis são requisitadas a transmitir via esforço normal os esforços cortantes das extremidades da viga em substitui ção aos apoios fictícios que não foram necessários para criar o SH Observase também que a determinação das reações nos apoios do SH tanto reais quanto fictícios é feita com base na configuração deformada que é imposta No caso 0 mostrado na Figura 78 as reações verticais da base foram determinadas pelos valores dos esforços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga para que ela tenha uma configuração deformada com todos os nós fixos e a solici tação externa atuando Isso é uma característica do Método dos Deslocamentos É sempre assim conhece se a configuração deformada e então se determinam os esforços e reações de apoio Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 0 K21 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K11 3EI6 4EI4 K21 0 K31 6EI42 D1 1 x D1 3EI62 3EI62 Figura 79 Caso 1 da estrutura da Figura 76 O caso 1 desse exemplo está mostrado na Figura 79 Os coeficientes de rigidez globais correspondentes a esse caso também estão indicados na figura Como no caso 0 acima as reações verticais dos apoios da base são determinadas pelos es forços cortantes que devem atuar nas extremidades da viga que são transmitidos via esforços normais pelas colunas Essa transmissão pode ser entendida com base na Figura 710 que mostra as barras do caso 1 isoladas indicando os esforços que atuam nas suas extremidades Ob servase que o coeficiente K11 é obtido pela soma dos momentos que devem atuar nas extremidades da viga e da coluna que sofrem a rotação D1 1 que é imposta 240 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O coeficiente K21 é nulo pois a viga é articulada na direita não aparecendo um momento na chapa 2 O coeficiente K31 corresponde ao esforço cortante no topo da coluna da esquerda E finalmente observase que os esforços cortantes nas extre midades da viga correspondem aos esforços normais nas colunas x D1 D1 1 6EI42 2EI4 D1 1 3EI62 3EI62 3EI62 6EI42 4EI4 3EI6 3EI62 3EI62 3EI62 K11 3EI6 4EI4 K31 6EI42 Figura 710 Isolamento das barras no caso 1 da estrutura da Figura 76 É interessante comparar esse caso com o correspondente para barras extensíveis indicado na Figura 633 Para barras extensíveis como existem apoios fictícios no SH que impedem os deslocamentos verticais dos nós superiores os cortantes nas extremidades da viga não são transmitidos para as colunas e morrem logo nos apoios adjacentes Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 0 K12 0 K22 0 4EI4 K32 6EI42 x D2 Figura 711 Caso 2 da estrutura da Figura 76 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 241 A Figura 711 indica o caso 2 desse exemplo com os correspondentes coeficientes de rigidez globais A característica mais importante a ser observada nesse caso é que o coeficiente de rigidez K32 corresponde ao esforço cortante no topo da coluna da direita Isto é o apoio 3 que fica na esquerda do pórtico está recebendo o es forço cortante da coluna do outro lado Esse esforço cortante está sendo transmiti do via esforço normal pela viga tal como é mostrado na Figura 712 x D2 2EI4 6EI42 6EI42 D2 1 6EI42 6EI42 4EI4 K22 4EI4 K32 6EI42 Figura 712 Isolamento das barras no caso 2 da estrutura da Figura 76 Observe que a configuração deformada do SH nesse caso é a mesma que no caso correspondente para barras extensíveis mostrado na Figura 636 Entretanto na quele caso a viga não é solicitada a esforço normal pois existe um apoio adjacente ao nó superior direito que impede o seu deslocamento horizontal Esse tipo de análise evidencia a complexidade adicional da resolução pelo Método dos Deslocamentos para barras inextensíveis A grande vantagem desse método era justamente a simplicidade nos procedimentos que podiam ser facilmente au tomatizados Por isso na implementação computacional do método considerase em geral barras sem nenhuma restrição nas deformações embora isso acarrete um maior número de incógnitas A análise com a hipótese de barras inextensíveis como dito só se justifica na resolução manual Existe uma maneira alternativa para se determinar o valor do coeficiente de rigidez K32 que é baseada no equilíbrio global do SH O ponto de partida dentro da meto dologia do Método dos Deslocamentos é sempre a configuração deformada impos ta Com base na configuração deformada do caso 2 na qual é imposta uma rota ção D2 1 os esforços cortantes e momentos fletores de todas as barras ficam de terminados Por conseguinte as reações de apoio na base da estrutura também ficam determinadas Nesse caso como mostra a Figura 711 a reação horizontal na coluna da esquerda é nula e a reação horizontal na coluna da direita é igual a 6EI42 da direita para a esquerda Finalmente o coeficiente de rigidez K32 é deter minado impondo que o somatório de todas as forças horizontais seja nulo Essa maneira alternativa nem sempre é possível de ser aplicada Nesse caso foi possível pois existia apenas uma incógnita com relação ao equilíbrio na direção 242 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha horizontal Essa alternativa por equilíbrio global do SH vai ser salientada em ou tros exemplos no restante do capítulo Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 6EI42 0 K33 12EI43 12EI43 12EI43 6EI42 D3 1 6EI42 6EI42 x D3 Figura 713 Caso 3 da estrutura da Figura 76 O último caso desse exemplo é mostrado na Figura 713 O caso 3 mostra que a análise para barras inextensíveis pode ser bastante diferente da análise para barras extensíveis Com barras inextensíveis quando é imposto um deslocamento D3 1 no caso 3 os dois nós superiores sofrem o mesmo movimento horizontal pois a viga nunca pode ter seu comprimento alterado Isso significa que um deslocamen to imposto em um nó pode acarretar um deslocamento de outro nó o que nunca acontece para o caso de barras extensíveis Dessa forma as duas colunas são mobilizadas se deformam quando o desloca mento D3 1 é imposto Por outro lado a viga não se deforma pois as rotações nas extremidades estão fixas tendo apenas um movimento de corpo rígido A Figura 714 explica a determinação dos coeficientes de rigidez globais desse caso Como se vê nessa figura os coeficientes de rigidez K13 e K23 correspondem aos momentos fletores que devem atuar no topo das colunas quando é imposto um deslocamento horizontal unitário no topo mantendo a rotação fixa O coeficiente de rigidez K33 corresponde aos esforços cortantes no topo das colunas sendo que o esforço cortante da coluna da direita é transmitido ao apoio fictício 3 do SH via esforço normal na viga Alternativamente o coeficiente de rigidez K33 pode ser determinado pelo equilíbrio global do SH Para tanto as reações horizontais na base do pórtico ficam determi nadas a priori pela configuração deformada das colunas iguais a 12EI43 da direi ta para esquerda A imposição de somatório nulo das forças horizontais resulta em K33 24EI43 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 243 12EI43 6EI42 D3 1 12EI43 6EI42 D3 1 x D3 12EI43 6EI42 12EI43 6EI42 12EI43 12EI43 K13 6EI42 K33 12EI43 12EI43 K23 6EI42 Figura 714 Isolamento das barras no caso 3 da estrutura da Figura 76 Equações de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fletores finais O sistema de equações de equilíbrio do Método dos Deslocamentos para esse e xemplo é mostrado abaixo com a correspondente solução para as deslocabilidades em função de 1EI 0 0 0 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 30 20 10 D D D K K K K K K K K K β β β 0 0 0 3 8 3 8 3 8 3 8 1 0 3 8 0 2 3 10 0 45 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 15106 66 56 78 67 3 2 1 Observase que os valores das deslocabilidades para a solução com barras inexten síveis são ligeiramente diferentes dos valores das deslocabilidades corresponden tes na solução com barras extensíveis da Seção 662 do Capítulo 6 A rotação D1 da presente solução corresponde à rotação D3 6875EI do exemplo da Seção 662 A rotação D2 acima corresponde à rotação D6 5145EI para barras extensíveis Finalmente o deslocamento horizontal D3 da solução com barras inextensíveis tem um valor intermediário entre os valores das deslocabilidades horizontais D1 15655EI e D4 13725EI dos nós superiores do pórtico com barras extensí veis A configuração deformada final da estrutura e o diagrama de momentos fletores obtido pela superposição dos diagramas dos casos básicos dada pela Equação 64 estão indicados na Figura 715 Comparando essa figura com a Figura 637 da so lução com barras extensíveis observase que os momentos fletores finais das duas soluções são próximos 244 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha D3 D2 D1 D1 D3 111 0 111 228 M kNm 283 0 M kNm 111 111 228 283 Diagrama de momentos fletores traçado do lado das fibras tracionadas Indicação dos momentos fletores usando a convenção de sinais Configuração deformada ampliada exageradamente Sentidos dos momentos fletores nas extremidades das barras Figura 715 Configuração deformada e diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 76 Na comparação entre as soluções do pórtico analisado com e sem a consideração da hipótese de barras inextensíveis devese levar em conta que na Seção 662 foi adotada uma relação entre a área e o momento de inércia da seção transversal dada por AI 2 m2 que é um valor pequeno em relação a valores utilizados em estru turas usuais Quanto maior for esta relação para uma barra mais próxima ela esta rá do comportamento inextensível Apesar disso as diferenças entre as duas solu ções analisadas não são muito grandes Isso demonstra que a hipótese de barras inextensíveis fornece uma boa aproximação para a solução de pórticos feita manu almente 722 Regras para determinação de deslocabilidades externas de pórticos planos com barras inextensíveis No exemplo resolvido na seção anterior foi visto que a identificação das deslocabi lidades externas quando se adota a hipótese de barras inextensíveis requer uma análise adicional para identificar as possíveis translações que os nós de um pórtico podem sofrer O exemplo estudado é relativamente simples pois só tem uma bar ra horizontal e duas verticais O objetivo desta seção é estabelecer regras para a identificação de deslocabilidades externas translações de um pórtico plano qualquer com barras inextensíveis in cluindo barras inclinadas Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 245 Na verdade como vai ser visto a maneira mais simples de se determinar as deslo cabilidades externas de um pórtico com barras inextensíveis é introduzindo os a poios fictícios para a criação do SH a cada apoio necessário para fixar uma translação nodal é identificada uma deslocabilidade externa As regras apresentadas a seguir são chamadas de regras de triangulação Para en tender essas regras considere o pórtico com duas barras inextensíveis mostrado na Figura 716 LG do nó superior com relação ao inferior esquerdo LG do nó superior com relação ao inferior direito Figura 716 Triangulação formada por um nó ligado a dois nós fixo por duas barras De acordo com a hipótese de barras inextensíveis o nó superior da estrutura da Figura 716 só pode se deslocar relativamente ao nó inferior esquerdo perpendicu larmente à barra da esquerda Isso define um lugar geométrico LG para o nó su perior Outro LG é definido com relação ao nó inferior direito ele só pode se des locar transversalmente à barra da direita Como o movimento do nó superior tem que satisfazer simultaneamente aos seus dois LGs o deslocamento do nó é nulo Isto é a única posição possível do nó na configuração deformada da estrutura é a sua posição original Portanto o nó superior não tem deslocabilidades externas Com base nesse raciocínio para impedir deslocabilidades externas de um pórtico plano com barras inextensíveis são definidas duas regras para a adição de apoios fictícios no SH 1 Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas barras inex tensíveis não alinhadas formando um triângulo também fica fixo à transla ção Portanto não é necessário adicionar um apoio fictício a esse nó Caso o nó só esteja ligado a um nó fixo por uma barra ou a dois nós fixos por duas barras alinhadas devese adicionar um apoio para impedir o deslocamento na direção transversal ao eixo dessas barras 2 Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma triangulação se comporta como um corpo rígido para translações Portanto devese procu rar adicionar apoios para impedir o movimento de corpo rígido do conjunto Alguns exemplos da aplicação dessas regras são apresentados a seguir para a de terminação do SH de pórticos com barras inextensíveis As deslocabilidades não são indicadas cada uma é identificada por um apoio fictício necessário para fixar os nós da estrutura 246 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Esses exemplos são analisados apenas com respeito às deslocabilidades externas Entretanto as chapas fictícias que são adicionadas para impedir deslocabilidades internas também são indicadas Uma chapa fictícia é adicionada para cada nó que tem a sua rotação livre Os apoios fictícios são numerados da seguinte maneira primeiro numeramse as chapas que impedem as deslocabilidades internas em seguida os apoios que impedem as deslocabilidades externas são numerados O primeiro exemplo corresponde a um pórtico com dois pavimentos Existem três situações pavimentos sem barras diagonais Figura 717 primeiro pavimento com uma diagonal e segundo pavimento sem diagonal Figura 718 e os dois pavimen tos com diagonal Figura 719 1 2 3 4 5 6 Figura 717 SH de um pórtico com dois pavimentos sem barras diagonais 1 2 4 5 3 Figura 718 SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagonal no primeiro pavimento 1 2 4 3 Figura 719 SH de um pórtico com dois pavimentos e uma diagonal em cada pavimento No pórtico da Figura 717 pela regra 1 é necessário adicionar o apoio 5 para impe dir o movimento horizontal do nó da esquerda do primeiro pavimento o nó que tem a chapa 3 Isso faz com que também pela regra 1 o nó da direita desse pavi mento não tenha deslocamento Isto é o nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está ligado por duas barras inextensíveis e não alinhadas a dois nós Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 247 fixos à translação o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita formando uma triangulação Portanto não é necessário inserir mais apoios fictícios nesse pavi mento Observe que o apoio 5 pode ser colocado tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o deslocamento horizontal desse pavimento os nós do pavimento não têm deslocamentos verticais pois as colunas são inextensíveis Por raciocínio análogo no segundo pavimento do pórtico da Figura 717 é neces sário adicionar apenas o apoio 6 para fixar os nós desse pavimento Partese da condição de que os nós do primeiro pavimento já estão fixos Para essa estrutura contabilizando o número de chapas e apoios fictícios que fo ram inseridos para criar o SH o número de deslocabilidades internas é di 4 e o número de deslocabilidades externas é de 2 No pórtico com uma diagonal no primeiro pavimento mostrado na Figura 718 já existe uma triangulação formada pelos dois nós da base com o nó que tem a chapa 3 Portanto pela regra 1 este nó já está fixo e não é necessário adicionar um apoio para impedir a translação horizontal do primeiro pavimento Para o segundo pa vimento o comportamento é igual ao da estrutura anterior e é necessário adicio nar o apoio 5 fixar os nós do pavimento Nesse caso di 4 e de 1 No último pórtico dessa série o pórtico com duas diagonais mostrado na Figura 719 observase que pela regra 1 de triangulação não é necessário inserir nenhum apoio para impedir deslocabilidades externas di 4 e de 0 Esse pórtico por não ter deslocabilidades do tipo translação é chamado de pórtico indeslocável Süs sekind 19773 As barras inclinadas dos exemplos acima têm a função de impedir deslocamentos horizontais dos pavimentos Essas barras são chamadas de barras de contraventa mento ou travejamento em uma alusão ao fato que essas barras enrijecem a estrutu ra para resistir a cargas laterais de vento Na verdade elas aumentam a rigidez do pórtico não somente para resistir a cargas laterais mas também a cargas verticais que também podem provocar deslocamentos horizontais dependendo da configu ração do pórtico O conceito de contraventamento de pórticos isto é de inserção de barras diagonais em painéis da estrutura é muito importante no projeto estrutural principalmente no caso de estruturas metálicas que têm as peças estruturais mais esbeltas do que no caso de estruturas de concreto armado por exemplo É necessário contraventar uma estrutura para impedir o aparecimento de grandes deslocamentos horizontais Um pórtico sem barras inclinadas de contraventamento pode apresentar apenas por causa das deformações por flexão das barras deslocamentos horizontais muito grandes incompatíveis com o bom funcionamento de uma estrutura civil É necessário entender que sempre vão aparecer deslocamentos horizontais em um pórtico mesmo com barras de contraventamento pois estas também se deformam axialmente Entretanto como a deformação axial de uma barra usual de uma es 248 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha trutura é muito menor do que as deformações transversais por flexão os desloca mentos horizontais são muito menores quando se projeta uma estrutura com bar ras de contraventamento Um outro exemplo de um pórtico contraventado é mostrado na Figura 720 É in teressante observar que para tornar esta estrutura indeslocável só é necessário introduzir uma barra inclinada por pavimento em apenas um compartimento ou baia por pavimento Isto é como as vigas do pavimento são inextensíveis basta que um nó do pavimento tenha o seu movimento horizontal impedido para que todos os outros nós do pavimento também tenham seus deslocamentos horizontais impedidos Na estrutura da Figura 720 por triangulação o nó com a chapa 7 está fixo Também por triangulação todos os outros nós do pavimento ficam fixos Para o pavimento superior o mesmo raciocínio se aplica Partindo do fato de que os nós do primeiro pavimento estão fixos observase que a única diagonal do segundo pavimento é suficiente para contraventar esse pavimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 720 SH de um pórtico com dois pavimentos e contraventado em uma baia por pavimento No contraventamento de pórticos é comum colocar duas diagonais com inclina ções opostas por pavimento Isso porque dependendo do sentido das cargas late rais uma diagonal vai trabalhar à compressão e a outra à tração Esse procedimen to é adotado para evitar que o contraventamento deixe de surtir efeito no caso da diagonal que trabalha à compressão perder a estabilidade quando submetida a va lores altos de esforços axiais a perda de estabilidade de barras submetidas a esfor ços de compressão é um fenômeno que se denomina flambagem A Figura 721 mostra o exemplo de um pórtico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento Um tirante contraventa o pavimento para cargas laterais da esquerda para direita e o outro tirante para cargas laterais no sentido oposto Figura 721 Pórtico com dois pavimentos contraventado com dois tirantes por pavimento Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 249 A seqüência de pórticos mostrados nas Figuras 722 a 725 analisa a criação do SH para uma estrutura com três painéis no segundo pavimento mas sem as colunas centrais no primeiro pavimento 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 12 Figura 722 SH de um pórtico com três painéis sem diagonais 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 723 SH de um pórtico com três painéis e uma diagonal no painel central 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 724 SH de um pórtico com três painéis e duas diagonais 9 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 725 SH de um pórtico com três painéis e três diagonais O primeiro pórtico mostrado na Figura 722 não tem barras inclinadas nos painéis Nesse caso o apoio 9 adicionado no nó da esquerda do primeiro pavimento é sufi ciente para impedir o movimento horizontal de todos os nós desse pavimento Entretanto somente os nós que têm as chapas 5 e 8 têm os deslocamentos verticais fixos pois não existem colunas no pavimento inferior para restringir os desloca mentos verticais dos outros nós Portanto os apoios 10 e 11 são inseridos para im pedir esses deslocamentos verticais Para o segundo pavimento como não existem barras inclinadas é necessário inserir o apoio 12 para impedir o deslocamento ho 250 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha rizontal do pavimento Os deslocamentos verticais de todos os nós do segundo pavimento são nulos pois eles estão ligados por colunas inextensíveis aos nós do primeiro pavimento que estão todos fixos Portanto mais nenhum apoio é neces sário para criar o SH O resultado em termos do número de deslocabilidades é di 8 e de 4 O segundo pórtico dessa série Figura 723 tem uma diagonal no painel central do seu segundo pavimento Após a inserção dos apoios 10 e 11 essa barra inclinada é suficiente para impedir as translações dos nós do segundo pavimento Isso por que por triangulação o nó que tem a chapa 2 fica fixo à translação pois está ligado aos nós fixos que têm as chapas 6 e 7 por duas barras não alinhadas Os demais nós do segundo pavimento também ficam fixos por triangulação resultando em di 8 e de 3 É interessante observar que após a adição do apoio 10 o apoio 11 do SH da Figura 723 poderia ter sido colocado alternativamente fixando o movimento horizontal do nó que tem a chapa 1 Nesse caso por triangulação os nós que têm as chapas 2 7 3 e 4 nesta ordem também ficariam fixos Isso mostra que quando se adota a hipótese de barras inextensíveis não existe só um SH possível embora as alterna tivas sejam semelhantes como no caso da estrutura da Figura 723 Conforme observado anteriormente essa hipótese elimina em parte a vantagem que o Método dos Deslocamentos tem na facilidade de automatização dos seus procedimentos A própria análise que se faz nesta seção explorando as regras de triangulação mostra que não é simples criar um algoritmo para identificar deslo cabilidades externas em um pórtico com barras inextensíveis A Figura 724 mostra o terceiro pórtico da seqüência com diagonal nos dois pai néis da esquerda Nesse caso após a adição do apoio 10 o nó que tem a chapa 1 fica fixo por causa da barra inclinada no painel da esquerda Depois disso assim como para o SH da Figura 723 os demais nós também ficam fixos resultando em di 8 e de 2 Finalmente na Figura 725 vêse o SH do pórtico com diagonal nos três painéis Intuitivamente pela seqüência de pórticos estudada é de se imaginar que o nú mero de deslocabilidades externas desse pórtico seja de 1 Entretanto mesmo depois de adicionar o apoio 9 para prender o movimento horizontal do primeiro pavimento não é possível encontrar outro nó que se ligue a dois nós fixos por duas barras não alinhadas A única maneira de demonstrar que de 1 é lançando mão da regra 2 que até agora não foi utilizada Observe que o conjunto de barras dos três painéis forma uma triangulação completa Esse conjunto pela regra 2 tem um comportamento de corpo rígido para translações Para prender os movimento de corpo rígido desse conjunto considerando que os deslocamentos verticais dos nós do topo das colunas inextensíveis do primeiro pavimento são nulos vêse que só é necessário fixar o movimento horizontal em um ponto o que é feito pelo apoio 9 Aliás esse apoio poderia ser colocado em qualquer nó da triangulação Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 251 Dois exemplos adicionais são considerados para exemplificar a criação de SH para pórticos planos com barras inextensíveis Eles estão mostrados nas Figuras 726 e 727 1 2 3 4 7 8 5 6 Figura 726 SH de um pórtico com um apoio simples do 1º gênero O pórtico da Figura 726 é semelhante ao pórtico da Figura 717 com exceção de que o suporte da direita é um apoio simples que só restringe o deslocamento verti cal do nó apoio do 1º gênero Nesse caso na criação do SH tanto a deslocabili dade interna quanto o deslocamento horizontal desse nó têm que ser fixados cha pa 5 e apoio 6 1 2 3 5 4 1 2 3 5 4 Figura 727 Duas opções para SH de um pórtico com vigas inclinadas Por último a Figura 727 mostra um pórtico com duas vigas inclinadas mas sem uma barra horizontal que una os nós no topo das colunas Pela regra 1 de triangu lação é preciso inserir o apoio 4 e o apoio 5 para impedir os deslocamentos hori zontais desses nós tal como indicado no centro da figura O nó que tem a chapa 1 fica fixo após a inserção desses apoios Alternativamente conforme indicado à direita da figura podese fixar os movimentos do nó com a chapa 1 com os apoios 4 horizontal e 5 vertical Isso fixa por triangulação os dois outros nós 73 Simplificação para articulações completas Na Seção 721 foi analisado um pórtico simples com barras inextensíveis e uma articulação rótula interna Essa articulação embora tenha sido considerada na extremidade direita da viga veja a Figura 76 também articulou a seção no topo da coluna da direita De fato o momento fletor final no topo da coluna também é nulo veja a Figura 715 Esse resultado é óbvio uma rótula na qual convergem duas barras articula as seções adjacentes de ambas as barras 252 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Mas fica a pergunta e se a seção no topo da coluna também tivesse sido modelada com uma rótula Pela observação acima isso seria uma redundância visto que uma única rótula já é suficiente para articular a seção da extremidade direita da viga e a seção no topo da coluna Entretanto conforme será mostrado nesta seção essa redundância pode resultar na diminuição de uma deslocabilidade interna na solução do problema a rotação do nó completamente articulado Isso se configura em um macete de cálculo que não modifica os resultados Para justificar esse truque de cálculo a rótula da estrutura da Seção 721 vai ser modelada de mais duas formas diferentes uma com a coluna articulada e outra com a viga e a coluna articuladas Portanto ao todo são mostradas três maneiras de se considerar a articulação da estrutura da Figura 76 a Viga articulada na extremidade direita e coluna direita não articulada já mostrado na Seção 721 b Coluna direita articulada no topo e viga não articulada Seção 731 c Viga e coluna articuladas no nó superior direito Seção 732 731 Pórtico com articulação no topo de uma coluna Como dito a mesma estrutura analisada na Seção 721 vai ser analisada nesta se ção A diferença é que nesta seção a articulação interna vai ser considerada no to po da coluna direita tal como indicado na Figura 728 ao invés de considerála na extremidade direita da viga A solução b com a rótula no topo da coluna é seme lhante à solução a comentada na Seção 721 Portanto apenas alguns pontos em que as duas soluções diferem entre si serão salientados Figura 728 Exemplo de pórtico com barras inextensíveis e articulação em coluna As deslocabilidades da estrutura são basicamente as mesmas da solução a veja a Figura 77 excetuandose o fato de que a rotação D2 agora corresponde à rotação da seção da extremidade direita da viga Como conseqüência a chapa 2 do SH da Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 253 solução b fica acima da rótula no topo da coluna da direita Isso pode ser visto nas figuras dos casos básicos dessa solução mostrados a seguir Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 30 30 0 0 β20 0 0 β10 30 kNm β20 30 kNm β30 10 kN 3 1 2 Figura 729 Caso 0 da estrutura da Figura 728 O caso 0 da solução b mostrado na Figura 729 difere do caso 0 da solução a Figura 78 nos momentos de engastamento da viga que agora é considerada sem articulação Por conseguinte os termos de carga β10 e β20 mostrados na Figura 729 correspondem à solução de viga biengastada O termo de carga β30 é igual ao da solução a Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 K21 0 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 4EI6 K11 4EI6 4EI4 K21 2EI6 K31 6EI42 D1 1 2EI6 x D1 6EI62 6EI62 Figura 730 Caso 1 da estrutura da Figura 728 O caso 1 da solução b com articulação na coluna Figura 730 também difere do caso 1 da solução a Figura 79 somente na viga que agora se comporta como 254 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha uma barra biengastada Isso altera os coeficientes de rigidez K11 e K21 Este último é nulo na solução a e diferente de zero na solução b Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 4EI6 2EI6 0 K12 2EI6 K22 4EI6 0 K32 0 x D2 6EI62 6EI62 Figura 731 Caso 2 da estrutura da Figura 728 O caso 2 das soluções com articulação na viga Figura 711 e com articulação na coluna Figura 731 são bastante diferentes Na primeira solução a rotação D2 1 é imposta no topo da coluna e na segunda a rotação D2 1 é imposta na seção da extremidade direita da viga Com isso o coeficiente de rigidez K12 não é mais nulo como é na solução a e o coeficiente de rigidez global K22 agora corresponde ao coeficiente de rigidez à rotação da viga e não da coluna como é na solução a Uma outra diferença marcante é o fato da coluna da direita não sofrer flexão na solução b não aparecendo também esforço cortante nessa coluna Dessa forma o coeficiente de rigidez global K32 que está associado ao esforço cortante no topo da coluna é nulo na solução b Também se observa que não existem reações de apoio horizontais no caso 2 da Figura 731 mostrando de forma alternativa que por equilíbrio global de forças na direção horizontal o coeficiente K32 é igual a zero Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH Finalmente o caso 3 da solução b mostrado na Figura 732 difere do caso 3 da solução a apenas no comportamento da coluna da direita Com isso o coeficiente de rigidez global K23 é nulo na solução b pois o topo da coluna é articulado O coeficiente de rigidez K33 também é diferente pois o esforço cortante na coluna da direita agora corresponde ao de uma barra com engaste na base e articulação no topo Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 255 K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 0 0 K33 12EI43 3EI43 3EI43 3EI42 D3 1 3EI42 0 x D3 Figura 732 Caso 3 da estrutura da Figura 728 Equações de equilíbrio Com base nos casos básicos da solução b para o exemplo que está sendo analisa do montase o correspondente sistema de equações de equilíbrio Isso está indica do abaixo juntamente com os valores obtidos para as deslocabilidades em função de 1EI 0 0 0 15 64 0 3 8 0 2 3 3 1 3 8 1 3 3 5 10 30 30 3 2 1 D D D EI EI D EI D EI D 15106 88 78 78 67 3 2 1 Notase que os valores obtidos para a rotação D1 e para o deslocamento horizontal D3 são os mesmos obtidos na solução a Seção 721 Entretanto o valor obtido para a rotação D2 difere do valor obtido anteriormente Isso era esperado haja vis ta que essa rotação tem interpretações físicas diferentes nas duas soluções tal como indicado na Figura 733 Essa figura mostra as configurações deformadas da solu ção a viga articulada e da solução b coluna articulada Configuração deformada viga articulada D3 D1 D1 D3 Configuração deformada coluna articulada D3 2 a D D1 D1 D3 2 D b Figura 733 Configurações deformadas das estruturas das Figuras 76 e 728 256 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Observase na Figura 733 que a rotação D2 da solução a é no sentido horário cor respondendo ao valor negativo 2 D a 5666EI enquanto que na solução b o sentido é antihorário compatível com o valor positivo 2 D b 7888EI Fica cla ro na figura que 2 D a corresponde à rotação da seção do topo da coluna quando a articulação pertence à viga e que 2 D b corresponde à rotação na extremidade direi ta da viga para o caso da articulação pertencer à coluna Portanto os valores de D2 tinham mesmo que ser diferentes nas duas soluções Apesar disso como não podia deixar de ser os resultados finais para os esforços internos e reações de apoio obtidos pela solução b são os mesmos da solução a Por exemplo podese verificar que a superposição dos diagramas de momentos fletores M M0 M1D1 M2D2 M3D3 da solução b resulta no mesmo dia grama da solução a mostrado na Figura 715 732 Pórtico com articulação dupla na viga e coluna Finalmente o pórtico analisado nas Seções 721 e 731 será analisado nesta seção considerando que tanto a viga quanto a coluna da direita contêm uma rótula no nó superior direito solução c Conforme mencionado anteriormente o objetivo dessa análise é justificar um truque de cálculo que elimina a deslocabilidade interna de um nó com articulação completa com as seções adjacentes rotuladas O modelo estrutural da solução c está mostrado na Figura 734 onde a articulação completa do nó superior direito está indicada As Figuras 735 736 737 e 738 mostram os casos 0 1 2 e 3 respectivamente Figura 734 Exemplo de pórtico com barras inextensíveis e articulação dupla na viga e coluna Quase todos os casos básicos da solução c têm aspectos semelhantes aos da solu ção a ou da solução b Por exemplo o caso 0 mostrado na Figura 735 tem os mesmos resultados do caso 0 da solução a Figura 78 Salientase o fato de que tudo o que se refere à deslocabilidade D2 na solução c é nulo Dessa forma o termo de carga β20 é igual a zero O coeficiente de rigidez K21 do caso 1 Figura 736 que é semelhante ao caso 1 da solução a Figura 79 Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 257 também é nulo Analogamente no caso 3 Figura 738 que é semelhante ao caso 3 da solução b Figura 732 o coeficiente K23 0 O único caso básico da solução c que não tem semelhante nas outras soluções é o caso 2 mostrado na Figura 737 Observase nesse caso que não existe resistência do SH para a rotação D2 1 que é imposta Portanto os coeficientes de rigidez desse caso são nulos assim como os momentos fletores ou qualquer outro esforço interno pois as barras não têm deformação Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH β30 β10 M0 kNm 45 0 0 0 β20 0 β10 45 kNm β20 0 β30 10 kN 0 Figura 735 Caso 0 da estrutura da Figura 734 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH D1 1 K31 K11 M1 0 K21 0 6EI42 2EI4 2EI4 4EI4 3EI6 K11 3EI6 4EI4 K21 0 K31 6EI42 D1 1 x D1 0 3EI62 3EI62 Figura 736 Caso 1 da estrutura da Figura 734 258 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH D2 1 K32 K12 M2 0 K22 0 0 0 K12 0 K22 0 K32 0 x D2 D2 1 0 0 Figura 737 Caso 2 da estrutura da Figura 734 Caso 3 Deslocabilidade D3 isolada no SH K33 K13 M3 0 K23 0 12EI43 6EI42 6EI42 6EI42 D3 1 K13 6EI42 0 K23 0 K33 12EI43 3EI43 D3 1 x D3 3EI43 3EI42 3EI42 0 Figura 738 Caso 3 da estrutura da Figura 734 Equações de equilíbrio O sistema de equações de equilíbrio da solução c é indicado abaixo 0 0 0 15 64 0 3 8 0 0 0 3 8 0 2 3 10 0 45 3 2 1 D D D EI Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 259 Observase que a matriz de rigidez global desse sistema de equações é singular pois tem a segunda linha e a segunda coluna nulas Isso quer dizer que esse siste ma pelo menos na forma como está apresentado não tem solução Na verdade isso é consistente com o fato da articulação estar sendo considerada de forma re dundante Entretanto se a segunda linha da equação for eliminada bem como a influência da deslocabilidade D2 eliminando a segunda coluna da matriz isso resulta em um sistema de equações que tem solução para D1 e D3 0 0 15 64 8 3 3 8 2 3 10 45 3 1 D D EI EI D EI D 06 151 78 67 3 1 Notase que os valores de D1 e D3 são os mesmos obtidos nas soluções a e b Os momentos fletores ou qualquer outro esforço interno ou reações de apoio tam bém resultam nos mesmos valores obtidos nas outras soluções Também se obser va que na solução c a superposição envolve apenas três casos M M0 M1D1 M3D3 Este é justamente o macete de cálculo simplesmente desconsiderase a deslocabilidade interna de um nó completamente articulado Esta é a terceira simplificação adotada quando se resolve manualmente uma estrutura pelo método dos deslocamentos Como visto na análise desta seção essa simplificação não modifica os resultados apenas deixa uma deslocabilidade interna indefinida Quando se adota essa simplificação entretanto devemse tomar alguns cuidados Por exemplo só se pode fazer a simplificação quando realmente todas as barras que chegam no nó têm as seções adjacentes articuladas Por exemplo a Figura 739 mostra um exemplo em que somente uma barra é articulada em um nó e um e xemplo correspondente onde todas as barras são articuladas nesse nó Os SHs dos dois casos estão também indicados na figura No primeiro caso a deslocabilidade interna do nó com articulação tem que ser considerada e no segundo caso essa deslocabilidade pode ser eliminada 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 SH SH a b Figura 739 Estrutura em que não se pode desconsiderar a rotação do nó da articulação a e estrutura em que a simplificação pode ser feita b 260 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Outro macete de cálculo pode ser feito no caso de um apoio simples do 2º gênero apoio que fixa deslocamentos e libera a rotação no qual converge apenas uma barra O truque consiste em interpretar a liberação da rotação como uma articu lação da barra considerando o apoio como um engaste Isso é exemplificado na Figura 740 Dessa forma eliminase a deslocabilidade interna do nó do apoio 1 2 3 Interpretação SH Figura 740 Simplificação para o caso de apoio do 2º gênero no qual só converge uma barra Nos exemplos mostrados neste e no próximo capítulo essa interpretação estará sendo feita implicitamente sem que se desenhe o apoio como um engaste e a barra articulada na extremidade do apoio Entretanto será dessa forma que a barra esta rá sendo considerada Essa simplificação também deve ser usada com cuidado A Figura 741 mostra um exemplo em que duas barras convergem para um nó com um apoio do 2º gênero sem que exista uma articulação Nesse caso o truque não é possível e a desloca bilidade interna do nó do apoio deve ser considerada 1 2 3 SH Figura 741 Situação em que não é possível adotar a simplificação para apoio do 2º gênero 733 Exemplo de solução de pórtico com duas articulações Esta seção mostra um exemplo de solução de uma estrutura com barras inextensí veis em que se adota a simplificação para nós completamente articulados O mo delo estrutural e sua solução estão mostrados na Figura 742 Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI onde E é o módulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da seção transversal das barras Existe uma articulação inter na e uma articulação externa apoio do 2º gênero no qual converge apenas uma barra De acordo com a simplificação que foi introduzida na seção anterior nos dois nós correspondentes a essas articulações as deslocabilidades internas não se rão consideradas Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 261 1 2 SH Sistema Hipergeométrico Equações de equilíbrio 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 D K D K D K D K β β 0 0 9 6 6 72 32 39 16 2 1 D D EI EI D EI D 153 21696 153 720 2 1 Momentos Fletores Finais 2 2 1 1 0 D M D M M M kNm 24 M 0 466 0 668 325 301 0 kNm 24 M 466 668 325 301 24 20 β20 β10 kNm M0 20 0 0 0 0 0 16 16 β20 39 kN β10 16 kNm Caso 0 Solicitação externa isolada no SH 10458 25 124 2 24 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH M1 K11 9EI4 x D1 0 0 0 2EI4 3EI6 4EI4 3EI4 0 K21 K11 K21 3EI42 3EI42 6EI42 2EI4 D1 1 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH M2 K12 3EI42 x D2 0 0 3EI42 K22 K12 K22 18EI43 6EI42 6EI42 3EI42 0 0 6EI42 12EI43 3EI43 3EI43 3EI42 D2 1 Figura 742 Solução de um pórtico com uma articulação interna e outra externa 262 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Na solução mostrada na Figura 742 devese observar que o termo de carga β20 e os coeficientes de rigidez K21 e K22 podem ser calculados de duas maneiras Eles po dem ser determinados pela soma dos esforços cortantes que atuam nas colunas no nível do pavimento ou podem ser calculados impondose o equilíbrio global do SH na direção horizontal Σ Fx 0 Por exemplo no caso 0 pela soma dos cortantes nas colunas no nível do pavimen to β20 10438 1242 39 kN Pelo equilíbrio global devese considerar todas as forças horizontais atuantes inclusive as resultantes das cargas distribuí das Σ Fx β20 104 124 10458 1242 0 Isso resulta no mesmo valor para β20 74 Consideração de barras infinitamente rígidas O último tipo de simplificação adotada para reduzir o número de deslocabilidades na solução de um pórtico pelo Método dos Deslocamentos é a consideração de bar ras com rigidez infinita isto é de barras que não têm nenhuma deformação Essa consideração não é feita para todas as barras de um pórtico e só faz sentido para um caso especial de análise simplificada do comportamento global do pórtico Por exemplo na análise de um prédio para cargas laterais de vento por exemplo podese considerar que o conjunto de lajes e vigas de um pavimento do prédio forma um diafragma rígido quando o pórtico se desloca lateralmente Em outras palavras em situações especiais o pavimento pode ser considerado como um ele mento infinitamente rígido em comparação com as colunas do prédio elementos estruturais que têm deformações transversais por flexão Para entender como a consideração de pavimentos ou barras rígidas influencia a determinação das deslocabilidades de um pórtico o exemplo da Figura 743 vai ser analisado Nesse pórtico as colunas são inextensíveis com uma inércia à flexão EI constante A viga é considerada como uma barra infinitamente rígida A solicita ção externa é uma carga horizontal P atuando no pavimento rígido P b h Figura 743 Pórtico com uma viga infinitamente rígida Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 263 Considerando que as colunas do pórtico da Figura 743 são inextensíveis os nós do pavimento do pórtico só podem se deslocar na direção horizontal Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido Portanto o único movimento que a viga infinitamente rígida pode ter é o deslocamento horizontal mostrado na Figura 744 D1 D1 Figura 744 Configuração deformada da estrutura da Figura 743 Vêse na configuração deformada mostrada na Figura 744 que os nós do pavimen to não sofrem rotações pois a viga se desloca horizontalmente mantendose reta é uma barra que não pode se deformar Dessa forma a estrutura só tem uma deslo cabilidade que é o deslocamento horizontal D1 do pavimento Através dessa análise podese avaliar como a consideração de barras infinitamente rígidas influencia na redução do número de deslocabilidades de um pórtico Se as barras do pórtico adotado como exemplo não tivessem nenhuma restrição quanto às suas deformações o número total de deslocabilidades seria 6 3 em cada nó do pavimento Considerando as três barras sem deformação axial o número de des locabilidades reduz para 3 veja a Figura 75 Finalmente com a consideração da viga infinitamente rígida o número de deslocabilidades se reduz a 1 É evidente que tanto a hipótese de barras inextensíveis quanto a consideração de barra com rigidez infinita modificam os resultados da solução de um pórtico quando comparados com a solução sem essas simplificações As restrições nas de formações de barras devem ser consideradas tendo com objetivo uma análise sim plificada em geral relacionada com a resolução manual de uma estrutura Outro ponto a ser considerado é que a identificação das deslocabilidades de pórti cos com barras infinitamente rígidas só pode ser feita caso a caso Muitas vezes é necessário visualizar a priori através de esboços por exemplo a configuração de formada de uma estrutura para identificar suas deslocabilidades Seria muito difí cil estabelecer regras a para determinação de deslocabilidades de pórticos que têm pelo menos uma barra rígida tal como foi feito na Seção 722 para pórticos com apenas barras inextensíveis Apesar disso para pórticos simples com poucas barras infinitamente rígidas não é difícil identificar as deslocabilidades Assim como para pórticos só com barras i nextensíveis a maneira mais simples de se determinar as deslocabilidades de um pórtico com barras inextensíveis e rígidas é introduzindo os apoios fictícios para a criação do SH a cada apoio necessário para fixar os nós da estrutura é identificada uma 264 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha deslocabilidade Isso vai ser considerado nos exemplos que contêm barras infinita mente rígidas deste capítulo Voltando ao pórtico da Figura 743 a sua solução recai na superposição dos casos 0 e 1 mostrados nas Figuras 745 e 746 O SH desse exemplo está mostrado na Figura 745 onde só foi necessário adicionar um apoio fictício o apoio 1 para fixar a estrutura podendose identificar dessa forma a deslocabilidade D1 Como os nós superiores da estrutura não têm rotações não é necessário inserir chapas fictícias que fixam deslocabilidades internas no SH Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH P β10 β10 P M0 0 0 0 0 0 0 SH 1 Figura 745 Sistema Hipergeométrico SH e caso 0 da estrutura da Figura 743 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 12EIh3 12EIh3 M1 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 6EIh2 12EIh3 6EIh2 12EIh3 6EIh2 12EIh3 6EIh2 K11 24EIh3 12EIh3 6EIh2 12EIh3 12EIh3 12EIh2b 6EIh2 6EIh2 x D1 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b 12EIh2b D1 1 D1 1 Figura 746 Caso 1 da estrutura da Figura 743 O fato de não existirem chapas fictícias no SH faz com que a determinação dos es forços nas barras no caso 1 Figura 746 exija uma análise mais detalhada Como sempre no Método dos Deslocamentos o ponto de partida para a solução de cada caso básico é a configuração deformada que é imposta Nesse caso é imposto um deslocamento D1 1 As colunas do pórtico são deformadas de tal maneira que há um deslocamento transversal nos nós superiores sem que eles girem A viga se desloca como um corpo rígido Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 265 Com base na configuração deformada das colunas no caso 1 os esforços cortantes e momentos fletores nas suas extremidades são conhecidos coeficientes de rigidez de barra veja a Figura 430 do Capítulo 4 Por outro lado o fato da viga não ter deformação por flexão não acarreta a condição de momentos fletores nulos Assim como para colunas inextensíveis os esforços normais não são conhecidos a priori os momentos fletores na viga rígida também não podem ser determinados antecipa damente De fato a viga rígida pode ter qualquer distribuição para momentos fle tores já que ela sempre se mantém reta Assim os momentos fletores na viga rígi da devem ser determinados para satisfazer o equilíbrio da estrutura Isso pode ser entendido com base no isolamento das barras no caso 1 tal como indicado na Figura 746 A viga rígida tem que ter momentos nas suas extremida des de forma a estabelecer o equilíbrio de momentos nos nós superiores Assim os sentidos dos momentos fletores que atuam nas seções da viga são sempre opostos aos sentido dos momentos nas colunas Utilizando a convenção de sinais do Mé todo dos Deslocamentos os momentos fletores do diagrama M1 têm sinais positi vos nas colunas e negativos na viga resultando em um somatório de momentos nulos em cada nó Essa análise pode ser vista de uma outra maneira A presença da viga rígida fez com que não fosse necessário inserir chapas fictícias no SH para impedir deslocabi lidades internas Então a viga rígida tem que fazer o papel das chapas fictícias Esse papel é feito equilibrando os momentos fletores que atuam nas colunas para a configuração deformada imposta O isolamento das barras na Figura 746 também mostra que devem aparecer esfor ços cortantes nas extremidades da viga rígida que são transmitidos via esforço normal nas colunas para os apoios da base A determinação do coeficiente de rigidez K11 pode ser feita de duas maneiras Ele pode ser obtido pela soma dos esforços cortantes no topo das colunas ou pelo equi líbrio global de forças horizontais De ambas as maneiras o valor resultante é K11 24EIh3 Equação de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fletores finais Com base na superposição dos casos básicos 0 e 1 é estabelecido o equilíbrio da estrutura original Isso é feito obrigando o efeito final do apoio fictício na estrutura ser igual a zero 0 1 11 10 K D β 0 24 1 3 D h EI P A solução dessa equação de equilíbrio resulta no valor da deslocabilidade da estru tura EI P h D 24 3 1 266 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Finalmente o diagrama de momentos fletores mostrado na Figura 747 é obtido com base na relação M M0 M1D1 onde nesse exemplo M0 0 É interessante observar que os valores dos momentos fletores independem da largura b do pórti co Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 Ph4 M M Figura 747 Diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 743 741 Exemplo de solução de pórtico com dois pavimentos Esta seção analisa uma estrutura com dois pavimentos rígidos mostrada na Figura 748 As colunas são inextensíveis com uma inércia à flexão EI constante Figura 748 Pórtico com dois pavimentos rígidos Diferentes condições de articulação são consideradas para as colunas A coluna do segundo pavimento à esquerda é articulada no topo No mesmo pavimento a co luna da direita é articulada na base A coluna da esquerda no primeiro pavimento é considerada articulada na base apoio do 2º gênero A única coluna que não tem articulação é a coluna do primeiro pavimento à direita A solução dessa estrutura pelo Método dos Deslocamentos está mostrada na Figu ra 749 As únicas deslocabilidades são os deslocamentos horizontais D1 e D2 dos dois pavimentos Isso é identificado pelos apoios fictícios 1 e 2 do SH necessários para fixar os deslocamentos horizontais dos pavimentos Como os nós da estrutu ra não têm deslocamentos verticais colunas inextensíveis e as vigas são infinita Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 267 mente rígidas não são necessários mais apoios para prender a estrutura Portanto só existem duas deslocabilidades Equações de equilíbrio 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 D K D K D K D K β β 0 0 6 6 6 21 216 10 10 2 1 D D EI EI D EI D 648 288 2 1 Momentos Fletores Finais 2 2 1 1 0 D M D M M M Sistema Hipergeométrico 1 2 SH Caso 0 Solicitação externa isolada no SH β20 kNm M0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 β20 10 kN β10 10 kN β10 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH M1 K11 21EI63 x D1 0 3EI62 K21 3EI62 0 0 0 0 3EI62 3EI62 6EI62 6EI62 6EI62 K11 K21 6EI63 6EI62 3EI63 12EI63 D1 1 Caso 2 Deslocabilidade D2 isolada no SH M2 K12 6EI63 x D2 0 0 3EI62 3EI62 0 0 0 0 0 0 3EI62 3EI62 K22 K12 K22 6EI63 D2 1 kNm 24 M 0 0 54 30 30 30 48 48 48 0 kNm M 24 54 30 30 30 48 48 48 Figura 749 Solução da estrutura da Figura 748 268 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Na solução do pórtico com dois pavimentos mostrada na Figura 749 observase que no caso 0 os momentos fletores são nulos pois as colunas não têm deforma ções nem cargas no seu interior Nesse caso as forças horizontais aplicadas são transmitidas via esforço normal nas vigas rígidas diretamente para os apoios fictí cios do SH As reações nos apoios fictícios são os termos de carga β10 e β20 Nos casos 1 e 2 o ponto de partida são as deformações conhecidas que são im postas para as colunas Essas deformações induzem momentos fletores e esforços cortantes nas extremidades das colunas coeficientes de rigidez de barras com e sem articulação veja as Figuras 430 432 e 434 do Capítulo 4 Os momentos fletores que aparecem nas extremidades das vigas rígidas são tais que equilibram os momentos nas extremidades das colunas Isto é os momentos fletores dos dia gramas M1 e M2 que aparecem nas extremidades das vigas rígidas têm valores e sinais que fazem com que o somatório dos momentos em cada nó seja nulo Os coeficientes de rigidez dessa estrutura K11 K21 K12 e K22 correspondem aos es forços cortantes nas colunas em cada pavimento Por exemplo o coeficiente K11 é calculado no caso 1 pela soma dos cortantes nas extremidades das colunas no primeiro pavimento K11 3EI62 3EI62 3EI62 12EI62 21EI62 No mesmo caso o coeficiente K21 é obtido pela soma dos cortantes no topo das colunas do segundo pavimento K21 3EI62 3EI62 6EI62 Para essa estrutura não é possível determinar os coeficientes de rigidez impondose apenas o equilíbrio glo bal da estrutura na direção horizontal pois em cada caso existem duas incógnitas para uma equação de equilíbrio 742 Exemplo de barra rígida com giro Nos dois exemplos anteriores as barras infinitamente rígidas sofriam um desloca mento horizontal sem rotação Nesta seção é considerado um pórtico mostrado na Figura 750 que tem uma barra rígida que sofre um giro Esse pórtico tem a coluna da esquerda considerada infinitamente rígida sendo que a viga e a outra coluna são flexíveis com inércia à flexão igual a EI e inextensíveis P b h Figura 750 Pórtico com uma coluna infinitamente rígida que sofre um giro Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 269 Como a coluna rígida da estrutura da Figura 750 está articulada na base apoio do 2º gênero existe a possibilidade dessa barra girar tendo como centro de rotação o ponto do apoio Isso é indicado na Figura 751 que mostra a única configuração deformada possível para esse pórtico Como o ângulo entre a coluna rígida e a viga não pode se alterar ligação rígida sem articulação o giro θ1 da coluna induz uma rotação igual na extremidade esquerda da viga D1 θ1 D1h θ1 θ1 h D1 Figura 751 Configuração deformada da estrutura da Figura 750 Considerando que os deslocamentos são pequenos o ângulo θ1 pode ser aproxi mado pela sua tangente Portanto θ1 D1h sendo h o comprimento da coluna rígida Observase que um deslocamento D1 da esquerda para a direita induz uma rotação θ1 no sentido horário A hipótese de pequenos deslocamentos também permite que se considere que o movimento do nó no topo da coluna rígida não tenha uma componente vertical Como a rotação θ1 do nó está associada ao seu deslocamento horizontal D1 só exis te um parâmetro que define o movimento do nó Portanto esse nó só tem uma deslocabilidade Podese adotar para esse parâmetro tanto o deslocamento hori zontal D1 quanto a rotação θ1 Nesse exemplo o deslocamento horizontal D1 foi adotado como deslocabilidade pois também corresponde ao deslocamento horizontal do nó superior direito Co mo esse nó tem uma articulação completa a única deslocabilidade resultante da estrutura é D1 A Figura 752 mostra o SH correspondente onde somente o apoio fictício 1 é necessário para prender completamente a estrutura Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SH P β10 β10 P M0 0 0 0 0 0 0 SH 1 Figura 752 Sistema Hipergeométrico SH e caso 0 da estrutura da Figura 750 270 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O caso 0 desse exemplo também está mostrado na Figura 752 Como as barras flexíveis não estão deformadas pois não têm carga no seu interior não aparecem momentos fletores nessas barras Portanto também não aparece momento fletor na coluna rígida A carga P aplicada é transmitida via esforço na viga para o apoio 1 do SH resultando no termo de carga β10 P Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH K11 K11 3EIbh2 3EIh3 3EIh3 D1 1 θ1 1h θ1 θ1 b h 3EIh2 3EIh3 3EIbθ1 3EIbθ1b 3EIbθ1b 3EIbθ1 3EIbθ1b 3EIbθ1b 3EIbθ1h 3EIbθ1h 3EIbθ1h 3EIbθ1h 3EIbθ1b 3EIbθ1b x D1 M1 3EIbh 3EIh2 0 0 0 3EIbh Figura 753 Caso 1 da estrutura da Figura 750 O caso 1 dessa solução mostrado na Figura 753 merece atenção especial É im posta uma configuração deformada tal que D1 1 Isso provoca uma rotação θ1 1h no sentido horário na extremidade esquerda da viga Com base nessa rotação imposta à viga todos os esforços atuantes nas barras do SH ficam determinados no caso 1 Isso pode ser entendido analisando o equilíbrio das barras isoladas conforme mos trado na Figura 753 A rotação θ1 imposta na extremidade esquerda da viga pro voca um momento nessa extremidade igual a 3EIbθ1 no sentido horário No diagrama M1 isso corresponde ao valor negativo 3EIbh na seção esquerda da viga Para que haja equilíbrio de momentos no nó superior esquerdo aparece um momento fletor no topo da coluna rígida igual a 3EIbh Os esforços cortantes nas extremidades da viga e da coluna rígida são calculados de forma a equilibrar essas barras Portanto esses esforços são sempre iguais em valores e com sentidos opostos formando conjugados que equilibram os momentos nas barras Luiz Fernando Martha Método dos Deslocamentos com Restrições nas Deformações 271 Por outro lado o momento fletor e os esforços cortantes nas extremidades da colu na flexível da direita ficam determinados pela condição de deslocamento horizon tal unitário imposto no topo veja os coeficientes de rigidez de barra com articula ção mostrados na Figura 432 do Capítulo 4 Para completar o equilíbrio das barras isoladas no caso 1 desse exemplo é neces sário determinar os esforços normais em todas as barras Como indica a Figura 753 os esforços normais são determinados por último de forma a equilibrar os esforços cortantes nas barras A Figura 753 também indica o valor do coeficiente de rigidez K11 que corresponde à soma dos esforços cortantes no topo das colunas Equação de equilíbrio e determinação do diagrama de momentos fletores finais Com base no termo de carga β10 e no coeficiente de rigidez K11 podese determinar o valor da deslocabilidade D1 o que é feito a partir da equação de equilíbrio mos trada abaixo 0 1 11 10 K D β 0 3 1 3 D b h b h EI P h b b EI P h D 3 3 1 Finalmente os momento fletores finais na estrutura podem ser determinados utili zando a superposição de efeitos M M0 M1D1 onde M0 0 O diagrama de momentos fletores finais está mostrado na Figura 754 Ph2bh M M 0 0 0 Ph2bh Ph2bh Ph2bh Pbhbh Pbhbh Figura 754 Diagrama de momentos fletores da estrutura da Figura 750 8 PROCESSO DE CROSS O Processo de Cross ou Método da Distribuição de Momentos White et al 1976 é um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas contínuas pórticos planos grelhas e até em pórticos espaciais Este processo é ba seado no Método dos Deslocamentos e só se aplica para estruturas sem deslocabi lidades externas do tipo translação isto é ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação Apesar desta limi tação o método criado por Hardy Cross na década de 1930 Analysis of Continu ous Frames by Distributing FixedEnd Moments Transactions ASCE Paper no 1793 vol 96 1936 ainda é utilizado hoje para o cálculo de estruturas O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou a solu ção manual de estruturas hiperestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas com alto grau de hiperestaticidade A aplicação prática do Processo de Cross diminuiu bastante pois atualmente se faz uso de programas de computador para a análise de estruturas que geralmente uti lizam o Método dos Deslocamentos embora alguns programas utilizem o Processo de Cross como procedimento de análise de vigas contínuas Apesar do uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas últimas décadas a sua apre sentação neste livro tem um objetivo acadêmico pois ele tem um apelo intuitivo muito forte e por isso serve para uma melhor compreensão do comportamento à flexão de estruturas reticuladas Este capítulo foi escrito baseado nos livros de White Gergely e Sexsmith 1976 e de Süssekind 19773 Existem muitas outras referências clássicas para o Processo de Cross que não são mencionadas Entretanto devido à sua relevância no Brasil não se pode deixar de mencionar o livro do professor Jayme Ferreira da Silva Juni or Método de Cross McGrawHill 1975 O capítulo começa com uma seção de apresentação de uma interpretação física do Processo de Cross como foi introduzido de forma muito conveniente por White et al As duas seções seguintes apresentam os dois pontos básicos que fundamentam o método A distribuição de um momento aplicado em um nó de um pórtico por parce las de momentos fletores equilibrantes nas barras adjacentes Seção 82 A solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do Método dos Des locamentos para uma estrutura que só tem rotações como deslocabilidades Seção 83 274 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Devese observar que o Processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com deslocabilidades externas isto é com translações nodais Isso é feito aplican dose a metodologia do Método dos Deslocamentos mostrada nos Capítulos 6 e 7 considerando como incógnitas apenas as deslocabilidades externas Isso resulta em uma série de casos básicos sendo cada um deles resolvido pelo Processo de Cross A Seção 86 vai apresentar esta metodologia 81 Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos White Gergely e Sexsmith 1976 apresentaram de forma brilhante um experimen to físico que serve para entender intuitivamente o Processo de Cross A Figura 81 mostra imagens desse experimento Pela Figura 81 o Método da Distribuição de Momentos pode ser entendido com a aplicação física de sucessivos travamentos e liberações de rotações nodais de uma viga contínua com três vãos Inicialmente a viga tem todas as suas rotações nodais travadas Figura 81a Em seguida se aplica uma carga concentrada na posição média do vão central Figura 81b Como todos os nós têm as suas rotações artifi cialmente fixadas o efeito inicial da carga só é sentido no vão central Isto é os dois vãos extremos não sofrem nenhuma deformação portanto não apresentam momentos fletores Nesta situação existe um desequilíbrio de momentos fletores nos dois nós intermediários este desequilíbrio está sendo artificialmente equili brado por momentos externos aplicados pelas travas que fixam as rotações Se a rotação do segundo nó da esquerda para a direita for liberada o nó gira até atingir uma situação de equilíbrio Figura 81c Nesta situação os momentos fle tores nas seções adjacentes desse nó têm que estar em equilíbrio pois a trava libe rada não pode introduzir nenhum momento externo O primeiro e o segundo vãos da viga se deformam em conseqüência da liberação da rotação acarretando em uma modificação na distribuição de momentos fletores nos vãos Enquanto isso o terceiro vão permanece indeformado e sem momentos fletores No passo seguinte do processo o segundo nó é travado novamente e o terceiro nó tem sua rotação liberada Figura 81d O resultado é uma modificação da confi guração deformada apenas nos dois vãos adjacentes ao nó liberado o primeiro vão permanece com a deformação do passo anterior e uma nova distribuição de mo mentos fletores nos vãos afetados A repetição desse processo de sucessivos passos de travamento de um nó e libera ção de um outro nó vai acarretar em uma acomodação da viga em uma situação em que não é mais necessário travar as rotações nodais pois o equilíbrio de mo mentos fletores nos nós é atingido Esta situação final é mostrada na Figura 81e Luiz Fernando Martha Processo de Cross 275 Figura 81 Experimento físico para interpretação física do Processo de Cross imagens reproduzidas do livro de White Gergely e Sexsmith 1976 276 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Podese salientar alguns aspectos importantes desse experimento Em cada passo do processo iterativo apenas um nó tem a rotação liberada sendo que todos os outros nós têm as rotações fixadas Quando um nó é equilibrado através da liberação de sua rotação as barras adjacentes ao nó se deformam ocorrendo uma redistribuição de momentos fletores nessas barras e afetando o equilíbrio dos nós adjacentes Após cada passo a rotação do nó liberado é fixada com o valor acumulado dos incrementos de rotação de todos os passos anteriores O equilíbrio de um nó que tem a sua rotação travada só é atingido artificial mente através da aplicação de um momento externo pela trava Quando os momentos fletores nas seções adjacentes a um nó estão em equi líbrio não é necessário travar o nó Neste caso a trava liberada não exerce nenhum momento externo no nó Com base nesse experimento podese adiantar dois pontos chaves do Processo de Cross O primeiro é a distribuição de momentos fletores nas barras adjacentes de um nó que tem a sua rotação liberada A próxima seção faz uma análise dessa re distribuição de momentos fletores O outro ponto chave é o próprio processo itera tivo e incremental de determinação das rotações nodais A Seção 83 analisa a so lução incremental do sistema de equações de equilíbrio de uma viga contínua Após a análise desses dois pontos chaves o Processo de Cross vai ser formalizado na Seção 84 82 Distribuição de momentos fletores em um nó Considere o quadro da Figura 82 que tem barras inextensíveis todas com igual valor para o parâmetro de rigidez à flexão EI O pórtico tem um nó central com a rotação livre e um momento externo ME aplicado Todos os outros nós têm suas rotações fixas engastes Apenas uma das barras tem uma articulação na extremi dade oposta ao nó central Para se analisar a distribuição do momento ME por momentos fletores nas barras da estrutura da Figura 82 o Método dos Deslocamentos vai ser empregado Como as barras são inextensíveis a estrutura só tem uma deslocabilidade que é a rotação do nó central veja o Capítulo 7 O Sistema Hipergeométrico SH e os casos bási cos da solução pelo método estão mostrados na Figura 83 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 277 l1 l2 l3 l4 ME EI const Figura 82 Aplicação de um momento externo em um nó com rotação liberada Caso 0 Momento externo isolado no SH 1 β10 ME M0 0 ME 1 4 1 11 i Ki K M1 0 x D1 D1 1 2EIl1 2EIl2 2EIl3 K1 4EIl1 K4 3EIl4 K2 4EIl2 K3 4EIl3 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH 1 Figura 83 Casos básicos da solução pelo Método dos Deslocamentos da estrutura da Figura 82 Na solução mostrada na Figura 83 é utilizada a seguinte notação Ki coeficiente de rigidez à rotação da barra i Os valores para rigidez à rotação de barras com EI constante foram deduzidos na Seção 442 do Capítulo 4 i i EI l K 4 barra sem articulação i i EI l K 3 barra com articulação na extremidade oposta à extremidade que sofre o giro A equação de equilíbrio resultante da solução pelo Método dos Deslocamentos pa ra esta estrutura é 0 1 11 10 K D β onde os valores do termo de carga β10 e coeficiente de rigidez global K11 estão indi cados na Figura 83 A solução dessa equação resulta no valor da deslocabilidade rotação D1 i E K M D1 278 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha A determinação dos momentos fletores finais nas barras é feita por superposição dos efeitos dos casos 0 e 1 M M0 M1D1 sendo que M0 é nulo Com base nos valores obtidos acima temse os valores dos momentos fletores finais mostrados na Figura 84 nas seções extremas das barras Esses valores estão definidos em função do parâmetro iγ de cada barra sendo iγ coeficiente de distribuição de momento da barra i O coeficiente de distribuição de momento de uma barra com relação a um nó é a razão entre o coeficiente de rigidez à rotação da barra e o somatório dos coeficientes de rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó i i i K K γ 81 O somatório de todos os coeficientes de distribuição de momento de todas as bar ras adjacentes a um nó com respeito a este nó é unitário i i 1 γ 82 M 0 1 2 E γ M 2 ME γ 1 E γ M 4 E γ M 3 E γ M 3 2 ME γ 2 2 E γ M Figura 84 Momentos fletores finais nas extremidades das barras da estrutura da Figura 82 Observase também pela Figura 84 que a distribuição do momento externo aplica do no nó acarreta em momentos fletores nas outras extremidades das barras O valor do momento fletor na outra extremidade é igual à metade do valor na extre midade adjacente ao nó equilibrado para o caso de barra sem articulação ou igual a zero para o caso de barra articulada Definese então o coeficiente de transmissão de momento da barra i 12 it coeficiente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articulação it 0 coeficiente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articulada Para o caso da barra sem articulação o valor 12 corresponde à relação entre os coeficientes de rigidez 2EIl e 4EIl devidos a uma rotação imposta Luiz Fernando Martha Processo de Cross 279 Concluise que o momento externo ME aplicado no nó é distribuído nas barras por mo mentos fletores nas seções adjacentes ao nó chamados de parcelas equilibrantes que são proporcionais aos coeficientes de distribuição de momento no nó i E i M M γ 83 Nas seções das barras opostas ao nó aparecem momentos fletores chamados de parcelas transmitidas que são iguais ao produto das parcelas equilibrantes pelo coeficiente de transmissão de momento de cada barra No caso de barras que não têm seção transversal constante os coeficientes de rigi dez à rotação não correspondem aos valores 4EIl ou 3EIl assim como o coefici ente de transmissão de momento da barra sem articulação não é igual a 12 O apêndice B veja a Seção B6 apresenta uma metodologia que possibilita a deter minação dos coeficientes de rigidez à rotação de barras que pode ser aplicada para uma barra que não tem a seção transversal constante De uma forma genérica quando a inércia à flexão EI varia ao longo do comprimen to de uma barra o coeficiente de transmissão de momento da barra pode ser avali ado pelos coeficientes de rigidez à rotação da barra conforme indicado na Figura 85 Süssekind 19773 MB KBAθA A B l VB VA MA VA θA MB VB MA KAAθA VA MA MBl Figura 85 Coeficientes de rigidez à rotação de uma barra com inércia à flexão EI variável Utilizando a notação adotada na Figura 85 para uma rotação θA imposta na ex tremidade A de uma barra enquanto a outra extremidade B permanece fixa o coe ficiente de transmissão de momento de A para B tAB é igual à razão entre o valor do momento fletor MB na extremidade oposta e o valor do momento fletor MA na extremidade que sofre o giro Ou seja AA BA AB K K t 84 sendo KAA e KBA coeficientes de rigidez à rotação indicados na Figura 85 280 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 83 Solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio Conforme apresentado na Seção 81 o Método da Distribuição de Momentos é um processo iterativo de sucessivos passos de travamento de um nó e liberação de um outro nó Esta seção procura dar uma interpretação matemática para o processo mostrando que ele se constitui em uma solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do Método dos Deslocamentos Isso vai ser mostrado com auxílio de um exemplo que é uma viga contínua com três vãos mostrada na Figura 86 A viga tem uma inércia à flexão EI 24 x 104 kNm2 O primeiro apoio simples do 2º gênero apoio que fixa deslocamentos e li bera a rotação está sendo considerado como uma articulação na extremidade da barra sendo que a rotação do nó do primeiro apoio não está sendo considerada como incógnita veja a Seção 732 do Capítulo 7 Portanto a viga só tem duas deslocabilidades que são as rotações D1 e D2 das seções dos dois apoios internos Figura 86 Viga contínua com duas deslocabilidades A solução da viga da Figura 86 pelo Método dos Deslocamentos resulta no seguin te sistema de equações de equilíbrio veja os Capítulos 6 e 7 0 6 4 6 4 6 2 84 114 0 6 2 6 4 8 3 114 64 2 1 2 1 D EI EI D EI D EI D EI EI Substituindo o valor fornecido para EI e passando os termos de carga para o lado direito do sinal de igual temse 30 32000 8000 50 8000 25000 2 1 2 1 D D D D 85 86 A solução direta do sistema formado pelas equações 85 e 86 resulta nos seguin tes valores para as rotações D1 e D2 rad 25000 10 3 1 D rad 1 5625 10 3 2 D Uma alternativa para a solução do sistema de equações de equilíbrio acima é uma solução iterativa do tipo GaussSeidel Esta solução é o segundo ponto chave para o Método de Distribuição de Momentos o primeiro é a distribuição de momentos em um nó mostrada na Seção 82 A solução iterativa é iniciada admitindo um valor nulo para D2 e encontrando um valor para D1 com base na equação 85 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 281 rad 20000 10 50 8000 0 25000 3 1 1 D D O segundo passo da solução iterativa consiste em utilizar este valor encontrado para D1 na equação 86 para determinar um valor para D2 rad 1 4375 10 30 8000 8000 20000 10 3 2 2 3 D D No terceiro passo a equação 85 é utilizada novamente com o último valor obtido para D2 para determinar um novo valor para D1 resultando em rad 24600 10 50 1 4375 10 8000 25000 3 1 3 1 D D A Tabela 81 indica os resultados da solução iterativa após quatro ciclos completos de passagem pelo par de equações 85 e 86 Os valores exatos da solução direta também estão mostrados na tabela Podese verificar que os valores obtidos pela solução iterativa são bastante próximos dos valores exatos Na verdade a solução exata sempre pode ser atingida para um determinado grau de precisão desejado bastando para isso executar um número suficiente de ciclos Tabela 81 Solução iterativa das equações 85 e 86 D1 rad D2 rad Valores iniciais 0 Primeiro ciclo 20000103 14375103 Segundo ciclo 24600103 15525103 Terceiro ciclo 24968103 15617103 Quarto ciclo 24997103 15624103 Valores exatos 25000103 15625103 O processo de solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio mostrado a cima é uma interpretação matemática do experimento mostrado na Seção 81 Isso é mostrado em seguida com base na Figura 87 Podese imaginar que a situação inicial designada Estágio 0 corresponde a uma configuração de engastamento dos nós interiores da viga contínua da Figura 86 isto é com rotações fixadas com valores nulos No Estágio 1 ocorre uma liberação da rotação D1 enquanto a rotação D2 é mantida nula Este estágio corresponde ao resultado do primeiro passo da solução iterativa resultando no primeiro valor en contrado para D1 No Estágio 2 a rotação D1 é fixada com o valor obtido no estágio anterior e a rotação D2 é liberada exatamente como feito no segundo passo da solu ção iterativa O Estágio 3 corresponde a um congelamento da rotação D2 com o va lor obtido no estágio anterior e uma liberação da rotação D1 No Estágio 4 a rota ção D1 é fixada e a rotação D2 é liberada Esse processo continua até atingir a con vergência das rotações dos nós Isso ocorre quando os incrementos de rotação dos nós são desprezíveis 282 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha rad 20000 10 3 1 D rad 20000 10 3 1 D rad 1 4375 10 3 2 D rad 24600 10 3 1 D rad 1 4375 10 3 2 D rad 24600 10 3 1 D rad 1 5525 10 3 2 D D2 0 D2 0 D1 0 1 D 2 D 1 D 2 D 1 D 2 D 1 D 2 D 1 D 2 D Estágio 0 Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3 Estágio 4 Figura 87 Interpretação física da solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio da viga da Figura 86 configurações deformadas com fator de amplificação igual a 150 Devese observar que em cada estágio da solução iterativa mostrada na Figura 87 os momentos fletores nas barras da viga poderiam ser determinados com base nos no valores correntes da rotações D1 e D2 Dessa forma podese acompanhar a evo lução da distribuição dos momentos fletores nas barras e o desequilíbrio de mo mentos fletores nos nós ao longo do processo A analogia da solução iterativa indicada na Figura 87 com o experimento mostra do na Seção 81 é evidente Em cada estágio do processo iterativo apenas um nó tem a rotação liberada O nó liberado gira até atingir um estado de equilíbrio O incremento de rotação corresponde ao valor do desequilíbrio de momentos fletores no nó Com o giro do nó as barras adjacentes se deformam ocorrendo uma redis tribuição de momentos fletores nessas barras e afetando o equilíbrio do nó adjacen te No estágio seguinte a rotação do nó liberado é fixada com o valor acumulado de rotação de todos os estágios anteriores O equilíbrio de momentos fletores no nó fixado é alterado pela liberação da rotação do nó adjacente O nó que tem a sua rotação fixada artificialmente só fica equilibrado com a aplicação de um momento externo O processo iterativo continua até que a estrutura atinja uma situação de equilíbrio global onde não é necessário aplicar momentos externos nos nós interio res Luiz Fernando Martha Processo de Cross 283 84 Formalização do Processo de Cross O Método da Distribuição de Momentos pode ser visto como a junção de duas i déias apresentadas nas Seções 82 e 83 A solução do método segue a mesma linha do processo iterativo mostrado na seção anterior A diferença é que as rotações não são calculadas em cada estágio do processo Ao invés disso é feito um acom panhamento detalhado da evolução dos valores dos momentos fletores nas extre midades de todas as barras Os valores dos momentos fletores nas barras são de terminados em cada estágio com base na distribuição de parcelas equilibrantes que foi estudada na Seção 82 Inicialmente o Processo de Cross é mostrado para uma estrutura que tem apenas um nó a equilibrar Em seguida na Seção 842 o processo é formalizado com auxílio da viga contínua estudada na Seção 83 841 Processo de Cross para um pórtico com uma deslocabilidade O Processo de Cross é formulado nesta seção para um pórtico que só tem uma ro tação nodal livre O objetivo aqui é mostrar que utilizando o princípio básico de distribuição de momento externo aplicado em um nó dado pela expressão 83 podese determinar os valores das parcelas equilibrantes de momentos fletores nas barras diretamente não é necessário calcular a rotação do nó Considere o pórtico mostrado na Figura 88 que tem barras inextensíveis e rigidez à flexão EI constante para todas as barras As barras estão numeradas conforme mostrado na figura sendo que a barra 1 tem uma articulação na base 1 2 3 Figura 88 Pórtico com uma deslocabilidade interna Os coeficientes de rigidez à rotação das três barras do exemplo com relação ao nó central livre são 5 3 1 K EI 4 4 2 K EI e 6 4 3 K EI 284 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Utilizando a expressão 81 podese determinar os coeficientes de distribuição de momento das três barras no nó livre 0 26 3 2 1 1 1 K K K K γ 0 44 3 2 1 2 2 K K K K γ e 0 30 3 2 1 3 3 K K K K γ A Figura 89 mostra o estágio inicial do Processo de Cross para o pórtico estudado A figura também indica os valores dos coeficientes de distribuição de momento das três barras com relação ao nó central Neste estágio o nó tem a rotação fixada com valor nulo isto é o nó está completamente engastado Nesta situação as bar ras descarregadas não apresentam momentos fletores e a barra carregada tem mo mentos fletores de engastamento perfeito que são obtidos da Figura 443 do Capí tulo 4 Observase que os momentos fletores nas seções adjacentes ao nó central não estão equilibrados 300 300 0 0 0 0 M kNm Figura 89 Estágio inicial do Processo de Cross para o pórtico da Figura 88 No segundo estágio do processo o nó central tem a rotação liberada Figura 810 De acordo com o que foi visto na Seção 82 o momento total desequilibrante no nó com valor de 300 kNm é equilibrado por parcelas equilibrantes de momentos fletores nas três barras adjacentes ao nó 300 300 90 132 78 66 45 t 12 t 12 t 0 300 026 78 300 044 132 300 030 90 Parcelas Equilibrantes M kNm 0 Figura 810 Estágio final do Processo de Cross para o pórtico da Figura 88 Luiz Fernando Martha Processo de Cross 285 As parcelas equilibrantes indicadas na Figura 810 são proporcionais aos valores dos coeficientes de distribuição de momento e têm sentido contrário ao momento desequilibrante O sentido contrário é indicado pelo sinal contrário das parcelas equilibrantes em relação ao momento desequilibrante o que é consistente com a convenção de sinais adotada no Processo de Cross que é a mesma do Método dos Deslocamentos Também conforme visto na Seção 82 o equilíbrio do nó central acarreta em um transporte das parcelas equilibrantes para os outros nós das barras As parcelas transmitidas de momentos fletores são determinadas pelos coeficientes de trans missão de momento t indicados na Figura 810 As parcelas equilibrantes e transmitidas de momentos fletores nas barras que são obtidas no segundo estágio do processo se acumulam aos momentos fletores do estágio inicial de engastamento perfeito Este acúmulo é consistente com o acúmu lo de rotações nodais que é uma característica do processo iterativo mostrado na Seção 83 Os valores finais acumulados de momentos fletores nas extremidades das barras do pórtico estudado são mostrados na Figura 811 O diagrama de mo mentos fletores desenhado com ordenadas do lado da fibra tracionada também está indicado na figura 210 345 132 78 66 210 345 132 78 66 45 M kNm 0 Figura 811 Diagrama final de momentos fletores para o pórtico da Figura 88 Observase pela análise do pórtico desta seção que a aplicação do Processo de Cross para uma estrutura com apenas uma deslocabilidade é muito simples Os momentos fletores nas barras são determinados sem que se precise calcular rota ções Esta simplicidade é mantida para o caso de se ter mais do que uma deslocabilidade conforme vai ser visto em seguida 842 Processo de Cross para uma viga com duas deslocabilidades No exemplo da seção anterior após o estágio inicial foi necessário apenas um pas so para equilibrar o nó e terminar o processo iterativo Isso porque existia apenas um nó a equilibrar Quando a estrutura tem mais do que uma deslocabilidade isto 286 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha é quando a estrutura tem mais do que um nó a equilibrar a mesma metodologia de equilíbrio nodal baseado nos coeficientes de distribuição de momento é aplica da Neste caso entretanto as parcelas transmitidas de momentos fletores no equi líbrio de um nó acarretam em desequilíbrio de nós adjacentes já equilibrados Portanto para atingir a convergência final do processo é necessário repetir ciclos de equilíbrio nodal até que as parcelas transmitidas sejam desprezíveis Este é jus tamente o processo iterativo que foi mostrado na Seção 83 A única diferença é que no Processo de Cross formalizado nesta seção as rotações dos nós equilibrados não são calculadas Ao invés disso os valores dos momentos fletores nas barras são determinados em cada estágio Para exemplificar a metodologia de cálculo do Processo de Cross para estruturas com mais do que uma deslocabilidade a mesma viga contínua estudada na Seção 83 Figura 86 vai ser analisada A Figura 812 indica todos os estágios dessa solu ção Apenas os dois nós interiores são equilibrados a primeira barra é considerada articulada na extremidade esquerda É adotada uma precisão de 01 kNm para momentos fletores Isto é adotase uma casa decimal para representar os valores dos momentos fletores Estágio 0 0 640 1140 1140 840 840 Estágio 1 0 180 320 160 Estágio 2 0 115 230 230 115 Estágio 3 0 41 74 37 Estágio 4 0 09 19 18 09 Estágio 5 0 03 06 03 Estágio 6 0 0 01 02 01 Final 0 864 864 1090 1090 715 036 064 050 050 A B C D Figura 812 Processo de Cross para a viga contínua da Figura 86 momentos em kNm Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 812 Os cálculos destes coeficientes para o primeiro nó são 0 36 6 4 8 3 8 3 EI EI EI γBA e 0 64 6 4 8 3 6 4 EI EI EI γBC Para o segundo nó temse 0 50 6 4 6 4 6 4 EI EI EI CD CB γ γ Luiz Fernando Martha Processo de Cross 287 O processo mostrado na Figura 812 inicia no Estágio 0 que corresponde a uma si tuação de engastamento perfeito Os valores dos momentos fletores iniciais nas barras são determinados com base na Figura 443 do Capítulo 4 Observase que existe desequilíbrio de 640 1140 500 kNm no primeiro nó O segundo nó tem um desequilíbrio de 1140 840 300 kNm No Estágio 1 o primeiro nó é equilibrado No caso geral de uma estrutura com vá rias deslocabilidades não existe uma ordem preferencial para equilíbrio dos nós qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado Entretanto o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado Süssekind 19773 O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas equilibrantes 500 036 180 kNm 500 064 320 kNm Conforme está mostrado na Figura 812 após o equilíbrio do nó as parcelas equili brantes são sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele nó estão em equilíbrio somados dão um valor nulo O equilíbrio desse nó não transmite momento fletor para a esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articulada A parcela transmitida para a direita é igual à metade da parcela equilibrante t 12 320 12 160 kNm Esta parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na seção à esquerda do segundo nó Como este nó ainda não foi equilibrado o seu desequilíbrio total ago ra é 1140 840 160 460 kNm No Estágio 2 o equilíbrio do segundo nó resulta em parcelas equilibrantes iguais as parcelas aparecem sublinhadas na Figura 812 460 050 230 kNm As parcelas transmitidas nesse equilíbrio são iguais também 230 12 115 kNm A parcela transmitida para a direita vai para a seção do engaste A única conse qüência é que esta parcela se soma ao momento fletor inicial na seção do engaste que absorve qualquer valor de momento fletor A parcela transmitida para a es querda por sua vez desequilibra o primeiro nó já equilibrado Não tem problema é só começar um novo ciclo de equilíbrio nodal iterando até convergir 288 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha O desequilíbrio de 115 kNm no primeiro nó é equilibrado no Estágio 3 As parce las equilibrantes são 115 036 41 kNm 115 064 74 kNm Estes valores foram aproximados de tal maneira que utilizando uma casa decimal resultasse em uma soma exatamente igual a 115 kNm dessa forma forçando o equilíbrio de momentos fletores dentro da precisão desejada Observase que um procedimento semelhante é feito no Estágio 4 que equilibra a parcela transmitida de 37 kNm Os valores das parcelas equilibrantes de 19 kNm e 18 kNm foram obtidos de maneira a somar exatamente 37 kNm mesmo que em princípio eles devessem ser iguais os dois coeficientes de distribuição de momento no nó são iguais a 050 Com esse procedimento os momentos fletores finais do processo vão satisfazer o equilíbrio com o número de casas decimais es pecificado para precisão No Estágio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita são iguais 09 kNm Como se está utilizando apenas uma casa decimal para representar os valores de momentos o arredondamento da metade de 19 kNm poderia ter sido para cima ou para baixo Optouse por arredondar para baixo pois isso vai fazer o pro cesso iterativo convergir mais rapidamente Observe que as diferenças de valores são muito pequenas da ordem da precisão especificada No último estágio Estágio 6 ocorre o mesmo que no Estágio 4 As parcelas equili brantes de 01 kNm e 02 kNm não são iguais mas equilibram o momento dese quilibrante de 03 kNm com uma casa decimal Neste estágio a parcela transmi tida para a esquerda metade de 01 kNm foi arredondada para um valor nulo Dessa forma o primeiro nó permaneceu em equilíbrio e o processo termina Devese observar que as parcelas transmitidas sempre decrescem em módulo o que garante a convergência do processo iterativo Isso se deve a dois motivos Pri meiro as parcelas equilibrantes decrescem em módulo em relação ao momento desequilibrante em cada nó pois os coeficientes de distribuição de momento são no máximo iguais a uma unidade em geral menores do que uma unidade Segundo porque os coeficientes de transmissão de momento também são menores do que uma unidade Os valores dos momentos finais nas extremidades de todas as barras mostrados no final da tabela da Figura 812 são determinados com base no acúmulo soma com sinal dos momentos fletores de todos os estágios do processo O diagrama de momentos fletores na viga contínua é mostrado na Figura 813 desenhado do lado da fibra tracionada Luiz Fernando Martha Processo de Cross 289 1090 64 M kNm 171 126 864 715 Figura 813 Diagrama de momentos fletores da viga contínua da Figura 86 85 Aplicação do Processo de Cross a quadros planos A metodologia do Processo de Cross apresentada na seção anterior pode ser apli cada diretamente para pórticos planos indeslocáveis sem translações nodais Isso vai ser exemplificado com a solução do quadro plano mostrado na Figura 814 O objetivo desta solução é obter o diagrama de momentos fletores do quadro pelo Processo de Cross utilizando uma precisão de 1 KNm isto é sem nenhuma casa decimal Todas as barras do pórtico são inextensíveis e têm a mesma inércia à fle xão EI para todas as seções A B C D E F G Figura 814 Exemplo de pórtico plano para solução pelo Processo de Cross Conforme estudado no Capítulo 7 o pórtico da Figura 814 só tem deslocabilidades internas rotações nodais As deslocabilidades do nó E não são consideradas pois o nó corresponde a uma extremidade livre de balanço A rotação do nó F não está sendo considerada como deslocabilidade pois a barra superior da direita está sen do considerada articulada no nó F veja a Seção 732 Dessa forma o quadro têm quadro deslocabilidades internas que são as rotações dos nós A B C e D A solução iterativa do Processo de Cross do quadro da Figura 814 está mostrada na Figura 815 Esta figura indica os coeficientes de distribuição de momento de cada barra para cada nó a ser equilibrado No nó A somente as barras AB e AC são consideradas para a determinação dos coeficientes pois a barra AE é um balanço Os cálculos dos coeficientes para este nó são 290 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 3 1 5 4 10 4 10 4 EI EI EI γ AB e 3 2 5 4 10 4 5 4 EI EI EI γ AC Para o nó B os cálculos dos coeficientes são 0 27 5 4 10 3 10 4 10 4 EI EI EI EI γBA 0 20 5 4 10 3 10 4 10 3 EI EI EI EI γBF e 0 53 5 4 10 3 10 4 5 4 EI EI EI EI γBD No nó C temse 0 40 5 4 10 4 5 4 5 4 EI EI EI EI CG CA γ γ e 0 20 5 4 10 4 5 4 10 4 EI EI EI EI γCD Finalmente os coeficientes de distribuição de momento para o nó D são 3 2 5 4 10 4 5 4 EI EI EI γDB e 3 1 5 4 10 4 10 4 EI EI EI γDC 39 35 1 1 78 17 2 78 3 39 1 72 93 207 38 75 053 027 020 22 44 3 7 375 36 23 13 04 02 04 13 23 3 336 111 55 95 47 2 1 1 107 25 250 24 17 2 0 311 250 49 8 4 0 168 167 28 39 11 1 167 56 19 22 0 1 0 107 135 135 0 Figura 815 Processo de Cross para o quadro plano da Figura 814 momentos em kNm O Processo de Cross mostrado na Figura 815 é iniciado com o cálculo dos momen tos de engastamento perfeito das barras carregadas Nas barras AB BF e CD os momentos de engastamento são obtidos da Figura 443 do Capítulo 4 Observase que os momentos fletores iniciais da barra CD foram arredondados para a precisão desejada O momento de engastamento no nó A da barra EA é calculado conforme indica o detalhe no topo esquerdo da Figura 815 cálculo isostático de reações de engastamento de uma barra em balanço com uma carga uniformemente distribuí Luiz Fernando Martha Processo de Cross 291 da O momento fletor desta barra em A é negativo pois atua na extremidade da barra no sentido horário Em cada passo do processo vai se procurar sempre equilibrar o nó que tem o maior momento desequilibrante em módulo No estágio inicial os nós C e D têm o valor máximo em módulo de momento desequilibrante e optouse por equilibrar o nó D momento desequilibrante igual a 167 kNm no primeiro passo Considerando os coeficientes de distribuição de momento neste nó temse como parcelas equilibran tes 111 kNm na barra DB e 56 kNm na barra DC As parcelas transmitidas são 55 kNm arredondada para baixo para o nó B e 28 kNm para o nó C No passo seguinte o nó C é o que tem o maior momento desequilibrante em mó dulo 167 28 195 kNm O equilíbrio deste nó acarreta na transmissão de momentos para os nós A e D que passa a ficar desequilibrado novamente O pró ximo nó a ser equilibrado é o nó B em seguida o nó A e assim sucessivamente até que os momentos transmitidos sejam menores do que 1 kNm a precisão desejada A Figura 815 mostra os momentos fletores finais nas extremidades de todas as bar ras Os valores finais são calculados superpondo os valores dos momentos de to dos os estágios do processo O diagrama de momentos fletores finais deste exem plo é indicado na Figura 816 135 207 311 336 72 93 168 107 107 75 38 25 375 375 250 34 M kNm Figura 816 Diagrama de momentos fletores do quadro plano da Figura 814 10 CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS LINHAS DE INFLUÊNCIA 101 Introdução Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis Exemplos são pontes rodoviárias e fer roviárias ou pórticos industriais que suportam pontes rolantes para transporte de cargas Os esforços internos nestes tipos de estrutura não variam apenas com a magnitude das cargas apli cadas mas também com a posição de atuação das cargas Portanto o projeto de um elemento estrutural como uma viga de ponte envolve a determinação das posições das cargas móveis que produzem valores extremos dos esforços nas seções do elemento No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas a posição de atuação de cargas acidentais de ocupação também influencia na determinação dos esforços dimensionantes Por exemplo o momento fletor máximo em uma determinada seção de uma viga contínua com vários vãos não é determinado pelo posicionamento da carga acidental de ocupação em todos os vãos Posições selecionadas de atuação da carga acidental vão determinar os valores limites de momento fletor na seção Assim o projetista terá que determinar para cada seção a ser dimensionada e para cada esforço dimensionante as posições de atuação das cargas acidentais que provocam os va lores extremos máximos e mínimos de um determinado esforço Uma alternativa para este problema seria analisar a estrutura para várias posições das cargas móveis ou acidentais e selecionar os valores extremos Este procedimento não é prático nem eficiente de uma maneira geral exceto para estruturas e carregamentos simples O procedimen to geral e objetivo para determinar as posições de cargas móveis e acidentais que provocam va lores extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura é feito com auxílio de Linhas de Influência Linhas de Influência LI descrevem a variação de um determinado efeito por exemplo uma reação de apoio um esforço cortante ou um momento fletor em uma seção em função da posi ção de uma carga unitária que passeia sobre a estrutura Assim a LI de momento fletor em uma seção é a representação gráfica ou analítica do momento fletor na seção de estudo produzida por uma carga concentrada unitária geralmente de cima para baixo que percorre a estrutura Isso é exemplificado na figura 101 que mostra a LI de momento fletor em uma seção S indica da Nesta figura a posição da carga unitária P 1 é dada pelo parâmetro x e uma ordenada genérica da LI representa o valor do momento fletor em S em função de x isto é LIMS MSx Em geral os valores positivos dos esforços nas linhas de influência são desenhados para baixo e os valores negativos para cima S MSx P 1 x Figura 101 Linha de Influência de momento fletor em uma seção de uma viga contínua Com base no traçado de LIs é possível obter as chamadas envoltórias limites de esforços que são necessárias para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas móveis ou acidentais As envoltórias limites de momento fletor em uma estrutura descrevem para um conjunto de cargas móveis ou acidentais os valores máximos e mínimos de momento fletor em cada uma 294 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha das seções da estrutura de forma análoga ao que descreve o diagrama de momentos fletores para um carregamento fixo Assim o objetivo da Análise Estrutural para o caso de cargas mó veis ou acidentais é a determinação de envoltórias de máximos e mínimos de momentos fleto res esforços cortantes etc o que possibilitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo de solicitação As envoltórias são em geral obtidas por interpolação de valores máximos e mínimos respectivamente de esforços calculados em um determinado número de seções trans versais ao longo da estrutura A determinação de valores máximos e mínimos de um esforço interno em uma seção de estudo é exemplificada para o caso do momento fletor na seção S da figura anterior O carregamento permanente constituído do peso próprio da estrutura é representado por uma carga unifor memente distribuída g tal como indica a figura 102 g S LIMS Figura 102 Carga permanente uniformemente distribuída atuando em uma viga contínua Considerando que a ordenada de LIMS MSx é função de uma carga concentrada unitária o valor do momento fletor em S devido ao carregamento permanente pode ser obtido por inte gração do produto da carga infinitesimal gdx por MSx ao longo da estrutura 12 0 12 0 gdx LIM gdx x M M S S g S Considere que existe um carregamento acidental de ocupação que é representado por uma car ga uniformamente distribuída q Por ser acidental a carga q pode atuar parcialmente ao longo da estrutura O que se busca são as posições de atuação da carga q que maximizam ou minimi zam o momento fletor em S O valor máximo de MS é obtido quando a carga q está posicionada sobre ordenadas positivas da LIMS e o valor mínimo é obtido quando a carga q está posiciona da sobre ordenadas negativas da LIMS Isso é mostrado nas figuras 103 e 104 q q S LIMS Figura 103 Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar máximo momento fletor em uma seção q S LIMS Figura 104 Posicionamento de carga acidental uniformemente distribuída para provocar mínimo momento fletor em uma seção Os valores máximos e mínimos de MS devidos somente ao carregamento acidental podem ser obtidos por integração do produto LIMSqdx nos trechos positivos e negativos respectivamente da linha de influência 12 9 4 0 qdx LIM qdx LIM M S S máx q S 9 4 qdx LIM M S mín q S Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 295 Assim os valores máximos e mínimos finais de MS provocados pelo carregamento permanente e pelo carregamento acidental são q máx S g S S máx M M M q mín S g S S mín M M M Observe que no caso geral o valor máximo final de um determinado esforço em uma seção não é necessariamente positivo nem o valor mínimo final é necessariamente negativo Isto vai de pender da magnitude dos valores provocados pelos carregamentos permanente e acidental Quando máximos e mínimos tiverem o mesmo sinal o esforço dimensionante será o que tiver a maior magnitude Quando máximos e mínimos tiverem sentidos opostos principalmente no caso de momento fletor ambos podem ser dimensionantes 102 Linhas de influência para uma viga biapoiada A determinação das expressões analíticas de linhas de influência é relativamente simples para o caso de estruturas isostáticas Neste caso um enfoque baseado no equilíbrio explícito da estru tura submetida a uma carga concentrada unitária pode ser utilizado para determinar as linhas de influência Tome por exemplo a viga biapoiada mostrada na figura 105 O equilíbrio de forcas verticais e de momentos em relação ao ponto A por exemplo determina os valores das reações de apoio VA lx l e VB x l Estas equações nada mais são do que as próprias ex pressões analíticas das linhas de influência das reações de apoio pois expressam a variação de VA e VB em função da posição x da carga concentrada unitária VAx lx l P 1 x l VA VB 1 LIVA A B VBx x l 1 LIVB Figura 105 Linhas de Influência de reações de apoio em uma viga biapoiada A imposição direta do equilíbrio também pode ser utilizada para determinar as linhas de influ ência do esforço cortante e do momento fletor em uma seção genérica S da viga biapoiada tal como mostrado na figura 106 Para isso duas situações são consideradas uma quando a carga concentrada unitária está à esquerda da seção S e outra quando a carga está à direita Esforço cortante P 1 à esquerda de S x a QS VB LIQS LIVB x l P 1 à direita de S x a QS VA LIQS LIVA lx l Momento fletor P 1 à esquerda de S x a MS bVB LIMS bLIVB bx l P 1 à direita de S x a MS aVA LIMS aLIVA alx l 296 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha QSx lx l P 1 x l VA VB 1 LIQS A B MSx bx l LIMS S a b QS MS MS 1 QSx x l MSx alx l a b a bl Figura 106 Linhas de Influência de esforço cortante e momento fletor em uma seção da viga biapoiada 103 Método cinemático para o traçado de LI O Princípio dos Deslocamentos Virtuais PDV oferece um método alternativo para o traçado de linhas de influência Considere que a viga biapoiada da seção anterior sofreu um campo de deslocamentos virtuais vx conforme indicado na figura 107 onde o apoio da esquerda é des locado virtualmente para baixo de uma unidade de distância Como a viga biapoiada é isostáti ca o movimento do apoio vai impor um deslocamento de corpo rígido para a viga Isto é a vi ga permanece reta e não existem deformações internas Devese observar que por uma questão de consistência com a convenção adotada para o traçado de LIs está sendo considerado como positivo um deslocamento transversal vx para baixo e negativo para cima vx lx l P 1 x l VA VB 1 A B Figura 107 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de reação de apoio de uma viga biapoiada O PDV diz que o trabalho virtual produzido pelas forças externas reais da estrutura pelos cor respondentes deslocamentos externos virtuais é igual à energia de deformação internal virtual que no caso é nula não existem deformações internas virtuais Portanto o trabalho virtual das forças externas é nulo isto é VA1 Pvx VB0 0 VAx lx l Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 297 Vêse que a aplicação do PDV resultou na expressão analítica encontrada anteriormente para a LIVA Não podia deixar de ser desta maneira pois o PDV nada mais é do que uma forma alter nativa para se impor condições de equilíbrio As linhas de influência do esforço cortante e do momento fletor em uma seção S da viga biapoi ada também podem ser determinadas pelo PDV O campo de deslocamentos virtuais para a obtenção de LIQS está mostrado na figura 108 VA VB 1 QS MS MS vx x l QS P 1 x l a b vx lx l VA VB 1 QS MS MS QS P 1 x bl al bl al Figura 108 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de esforço cortante em uma seção de uma viga biapoiada O campo de deslocamentos virtuais da figura 108 é tal que a viga é cortada na seção S e é im posto um deslocamento transversal relativo nesta seção igual a uma unidade de distância Com a seção cortada por ser a viga isostática ela se transforma em um mecanismo em uma cadeia cinemática que não oferece resistência ao movimento imposto Portanto os movimentos virtu ais dos dois segmentos de viga após o corte são de corpo rígido sem deformação virtual inter na Além disso as inclinações dos dois segmentos de viga à esquerda e à direita de S devem permanecer iguais para que não haja rotação relativa nesta seção desta forma evitando que o momento fletor MS produza trabalho virtual Notase também na figura 108 que o deslocamen to transversal relativo na seção S é contrário às direções positivas do esforço cortante QS isto é o segmento à esquerda de S sobe de a l enquanto o segmento à direita desce de b l A aplicação do PDV à estrutura da figura 108 resulta em P 1 à esquerda de S x a QSa l QSb l MS1 l MS1 l Px l VA0 VB0 0 QSx x l P 1 à direita de S x a QSa l QSb l MS1 l MS1 l Plx l VA0 VB0 0 QSx lx l Como podese notar estas expressões são as mesmas obtidas anteriormente para a LIQS por aplicação de condições de equilíbrio diretamente O campo de deslocamentos virtuais para determinar a linha de influência de momento fletor em uma seção S da viga biapoiada é mostrado na figura 109 Este campo de deslocamentos é tal que a continuidade de rotação da viga é liberada na seção S e é imposta uma rotação relativa unitária θ 1 rad nesta seção consideramse pequenos deslocamentos isto é um arco de cír 298 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha culo é aproximado por sua corda Notase na figura 109 que o segmento de viga à esquerda da seção S sofre um giro com um ângulo igual a bl no sentido horário que é contrário à direção positiva de MS na extremidade do segmento Observase também que o segmento à direita de S gira de al no sentido antihorário que é contrário à direção positiva de MS na porção da direita vx bx l l a b P 1 x vx alx l a b θ 1 VA VB QS MS MS a bl Figura 109 Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de momento fletor em uma seção de uma viga biapoiada Aplicando o PDV à estrutura da figura 109 obtemse P 1 à esquerda de S x a QSab l QSab l MSb l MSa l Pbx l VA0 VB0 0 MSx b x l P 1 à direita de S x a QSab l QSab l MSb l MSa l Palx l VA0 VB0 0 MSx a lxl Isso resulta nas mesmas expressões para LIMS obtidas anteriormente Podese resumir a a obtenção de linhas de influência de um efeito reação de apoio esforço cor tante ou momento fletor na viga biapoiada por aplicação do PDV da seguinte maneira Süsse kind JC Curso de Análise Estrutural Editora Globo 1977 Para se traçar a linha de influência de um efeito E esforço ou reação procedese da seguinte forma rompese o vínculo capaz de transmitir o efeito E cuja linha de influência se deseja determinar na seção onde atua o efeito E atribuise à estrutura no sentido oposto ao de E positivo um deslo camento generalizado unitário que será tratado como sendo muito pequeno a configuração deformada elástica obtida é a linha de influência O deslocamento generalizado que se faz referência depende do efeito em consideração tal como indicado na figura 1010 No caso de uma reação de apoio o deslocamento generalizado é um deslocamento absoluto da seção do apoio Para um esforço cortante o deslocamento generali zado é um deslocamento transversal relativo na seção do esforço cortante E para um momento fletor o deslocamento generalizado é uma rotação relativa entre as tangentes à elástica adjacen tes à seção do momento fletor Esta maneira de se determinar linhas de influência embora só tenha sido mostrada para uma viga biapoiada se aplica para qualquer tipo de estrutura inclusive estrutura hiperestática Este método foi formulado por MüllerBreslau no final do século 19 e por isso é chamado de Princí pio de MüllerBreslau White RN Gergely P e Sexsmith RG Structural Enginnering John Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 299 Wiley New York 1976 Süssekind JC Curso de Análise Estrutural Editora Globo 1977 tam bém conhecido como método cinemático para o traçado de LI θ 1 V Q M M Q Reação de apoio Esforço cortante Momento fletor 1 1 Efeito Deslocamento generalizado Figura 1010 Deslocamentos generalizados utilizados no método cinemático para traçado de LI A demonstração do Princípio de MüllerBreslau para estruturas hiperestáticas vai ser feita utili zandose o Teorema de Betti que é uma conseqüência do PDV Considere as duas vigas contí nuas hiperestáticas com mesmo comprimento mostradas na figura 1011 A viga 1 tem uma carga concentrada unitária P1 1 aplicada a uma distância x do início da viga A viga 2 difere da primeira pela inexistência do primeiro apoio sendo que nesta posição é aplicada uma carga concentrada P2 que provoca no seu ponto de aplicação um deslocamento para baixo de uma unidade de distância P1 1 VA P2 1 v2x 1 2 x v1x Figura 1011 Aplicação do Teorema de Betti a duas vigas contínuas O PDV é aplicado para as vigas 1 e 2 da figura 1011 sendo que os campos de deslocamentos virtuais utilizados são os deslocamentos da outra viga isto é o campo de deslocamentos virtu ais imposto à viga 1 é a elástica v2x da viga 2 e para a viga 2 é imposta a elástica v1x co mo campo de deslocamentos virtuais Considerando um comportamento elásticolinear as ex pressões do PDV para as duas vigas são dx GA Q Q dx EI M M F v c 2 1 2 1 1 2 dx GA Q Q dx EI M M F v c 1 2 1 2 2 1 300 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Nestas expressões o somatório do lado esquerdo do sinal de igualdade representa o trabalho virtual das forças externas isto é ΣF1v2 é o trabalho das forças da viga 1 com os corresponden tes deslocamentos externos da viga 2 e ΣF2v1 é o inverso As integrais do lado direito do sinal de igualdade representam a energia de deformação virtual interna A primeira integral é a e nergia de deformação por flexão e a segunda é a energia de deformação por cisalhamento M1 e Q1 são os diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga 1 e M2 e Q2 são os diagra mas da viga 2 O parâmetro E é o módulo de elasticidade do material o parâmetro G é o mó dulo de cisalhamento I é momento de inércia da seção transversal e Ac é a área efetiva para cisalhamento da seção transversal Observase que as energia de deformação virtual interna das duas expressões são iguais Portanto 1 2 1 2 F v F v Esta é a expressão do Teorema de Betti que só é válido para estruturas elásticaslineares o trabalho da forças externas de uma estrutura com os correspondentes deslocamentos externos de outra estrutura é igual ao trabalho das forças externas da outra estrutura com os correspondentes deslocamentos da primeira Aplicando o Teorema de Betti para as duas vigas da figura 1011 temse VA1 P1v2x P20 VAx v2x LIVA v2x Como a elástica v2x da viga 2 corresponde justamente à imposição de um deslocamento uni tário na direção oposta à reação de apoio VA com a liberação do vínculo associado fica de monstrado que o Princípio de MüllerBreslau também é válido para vigas hiperestáticas De monstrações análogas poderiam ser feitas para linhas de influência de esforço cortante e mo mento fletor ou mesmo para outros tipos de estruturas como pórticos hiperestáticos Um fato importante a ser destacado e que transparece da figura 1011 é que as linhas de influ ência para estruturas hiperestáticas são formadas por trecho curvos enquanto que para estrutu ras isostáticas elas são formadas por trechos retos conforme mencionado anteriormente O método cinemático fornece uma explicação intuitiva para isso No caso de estruturas isostáti cas a liberação do vínculo associado ao efeito que se quer determinar a LI resulta em um estru tura hipostática que se comporta como uma cadeia cinemática quando o deslocamento genera lizado é imposto Como a cadeia cinemática não oferece resistência alguma ao deslocamento imposto as barras da estrutura sofrem movimentos de corpo rígido isto é permanecem retas Assim as LI para estruturas isostáticas são formadas por trechos retos Entretanto a liberação do vínculo no caso de uma estrutura hiperestática resulta em uma estru tura que ainda oferece resistência ao deslocamento generalizado imposto Isto significa que a estrutura sofre deformações internas para se ajustar ao deslocamento imposto isto é as barras se flexionam Se forem desprezadas deformações por cisalhamento e considerando barras prismáticas seções transversais constantes a equação diferencial que governa o comportamen to de barras à flexão é a Equação de Navier EI x q dx d v x 4 4 onde vx é o deslocamento transversal da barra qx é a taxa de carregamento transversal dis tribuído E é o módulo de elasticidade do material e I é o momento de inércia da seção transver sal Como no caso do método cinemático para o traçado de LI a taxa de carregamento distribuí do é nula a elástica resultante que é a própria LI é regida pela seguinte equação diferencial 0 4 4 4 4 dx d LI dx d v x Portanto no caso geral as LIs para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos que são descritos matematicamente por polinômios do 3º grau Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 301 O método cinemático é bastante útil para a determinação do aspecto de uma LI isto é quando se deseja obter apenas a forma da LI Isto é freqüente utilizado no projeto de estruturas subme tidas a cargas acidentais uniformemente distribuídas conforme foi exemplificado na seção 101 No exemplo mostrado a forma da LI de momento fletor na seção de estudo é suficiente para determinar os posicionamentos da carga acidental que maximizam ou minimizam o momento fletor na seção Os valores máximos e mínimos do momento fletor na seção não precisam ser calculados necessariamente com base na LI qualquer outro método poderia ser utilizado As sim somente os aspectos da LIs possibilitam a determinação de valores máximos e mínimos de esforços ao longo da estrutura Para exemplificar formas típicas de LIs as figuras 1012 a 1017 mostram LIs para uma viga Gerber isostática e para uma viga contínua hiperestática As figuras 1012 e 1013 mostram LIs de reações de apoio A B VA VB 1 LIVA 1 LIVB Figura 1012 Linhas de influência de reações de apoio para uma viga Gerber isostática A B VA VB 1 LIVA 1 LIVB Figura 1013 Linhas de influência de reações de apoio para uma viga contínua hiperestática As figuras 1014 e 1015 mostram LIs de esforços cortantes No caso de seções de apoio como existe uma descontinuidade da LI nestes pontos sempre são consideradas seções imediatamen te à esquerda e à direita dos pontos dos apoios Observase nestas figuras que as linhas de in fluência de esforços cortantes para seções de um determinado vão entre apoios têm um compor tamento típico Assim a seção Adir do primeiro vão após o balanço tem LI de esforço cortante com descontinuidade localizada próxima ao apoio A sendo que fora do vão a LI é igual às LIs das seções S1 e Besq ou de qualquer outra seção do mesmo vão Em outras palavras duas seções 302 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha de um mesmo vão têm LIs de esforço cortante diferindo apenas pela localização da descontinu idade que fica sobre a seção Aesq Adir S1 Besq Bdir 1 LIQAesq 1 LIQAdir 1 LIQS1 1 LIQBesq 1 LIQBdir Figura 1014 Linhas de influência de esforços cortantes para uma viga Gerber isostática Aesq Adir S1 Besq Bdir S2 1 LIQAesq 1 LIQAdir 1 LIQS1 1 LIQBesq 1 LIQBdir 1 LIQS2 Figura 1015 Linhas de influência de esforços cortantes para uma viga contínua hiperestática Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 303 E finalmente as figuras 1016 e 1017 mostram LIs de momentos fletores A S1 B θ 1 LIMA θ 1 LIMS1 θ 1 LIMB Figura 1016 Linhas de influência de momentos fletores para uma viga Gerber isostática A S1 B S2 C θ 1 LIMA θ 1 LIMS1 θ 1 LIMB θ 1 LIMS2 θ 1 LIMC Figura 1017 Linhas de influência de momentos fletores para uma viga contínua hiperestática 304 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha 104 Metodologia para cálculo de LIs pelo método cinemático A seção anterior mostrou que o Princípio de MüllerBreslau é útil para a determinação qualita tiva dos aspectos de linhas de influência Entretanto este método cinemático também pode ser utilizado para determinar equações e valores de LIs de uma maneira geral A metodologia descrita a seguir foi apresentada pelo Prof B Ernani Diaz Revista RBE 1984 que demonstrou que o método cinemático pode ser implementado computacionalmente com poucas modifica ções em qualquer programa genérico para análise de estruturas reticuladas A determinação de uma LI baseada no método cinemático é feita pela superposição de duas configurações deformadas elásticas para uma mesma estrutura Isto é exemplificado para o caso da LI de esforço cortante em uma seção genérica de uma viga contínua que é indicada na figura 1018 V1 V2 I M1 M2 V1 V2 M1 M2 1 1 V1 V2 II M1 M2 III 1 Figura 1018 Determinação de LI de esforço cortante de uma seção de uma viga contínua por superposição de efeitos Nesta figura a viga contínua é submetida a dois tipos de solicitações mostradas nos casos I e II O caso I corresponde a um deslocamento generalizado para o traçado da LI imposto localizadamente à barra que contém a seção de estudo No exemplo da figura considerouse deliberadamente que a barra em questão não abrange todo o vão central entre apoios Dessa forma está se considerando uma situação mais geral O campo de deslocamentos imposto no caso I fica restrito à barra da seção de estudo pois ele corresponde a uma situação de engasta mento perfeito da barra isto é como se ela fosse biengastada Podese notar que esta situação corresponde ao caso 0 da metodologia de cálculo do Método dos Deslocamentos capítulo 5 Assim as reações de apoio V1 M1 V2 e M2 da barra biengastada submetida ao deslocamento generalizado imposto são os chamados termos de carga βi0 do Método dos Deslocamentos O caso II da superposição considera o efeito global do deslocamento generalizado imposto Este efeito global é determinado pelo cálculo da elástica global da estrutura devida a uma solici tação onde as reações de engastamento do caso I são aplicadas aos nós extremos da barra em questão com seus sentidos opostos tal como indica a figura 1018 Estas forças e momentos com os sentidos opostos são chamados de cargas equivalentes nodais para a solicitação do caso Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 305 I Notase que na superposição dos dois casos as forças e momentos aplicados aos nós da barra se cancelam resultando somente no deslocamento generalizado imposto à viga como um todo Dessa forma podese observar que a metodologia adotada para o cálculo da LI pelo método cinemático segue o formalismo do Método da Rigidez Direta no caso I e considerado o efeito da solicitação externa e no caso II a estrutura é resolvida globalmente solicitada por cargas equivalentes nodais A única novidade é que a solicitação externa neste caso é um deslocamen to generalizado imposto à barra que contém a seção de estudo com as extremidades engastadas Por esse motivo qualquer programa de computador que implemente o Método da Rigidez Di reta procedimento padrão e determine valores da elástica pode ser facilmente modificado para calcular LIs pelo método cinemático Portanto para implementar computacionalmente este método é necessário fornecer soluções de engastamento perfeito para linhas de influência típicas em uma barra Estas soluções devem conter as reações de engastamento perfeito e a equação da elástica devida a um deslocamento generalizado imposto Isso é feito a seguir para LIs de esforço cortante e momento fletor em uma seção genérica de uma viga biengastada 105 Linha de influência de esforço cortante em viga biengastada A figura 1019 mostra a solução de uma viga biengastada à qual é imposto um deslocamento generalizado para o traçado de LI de esforço cortante em uma seção genérica A barra é consi derada prismática com módulo de elasticidade E e momento de inércia da seção transversal I A convenção de sinais adotada para reações de apoio é tal que reações forças verticais são posi tivas quando orientadas para cima e negativas para baixo Reações momentos são positivas quando no sentido antihorário e negativas quando no sentido horário A convenção de sinais para a elástica é tal que deslocamentos tranversais vx são positivos quando para baixo e nega tivos para cima Como dito anteriormente a inversão da convenção para deslocamentos trans versais se deve a um costume de se indicar ordenadas positivas de linhas de influência para baixo 1 V1 V2 M1 M2 vesqx vdirx l a b S Figura 1019 Solução de uma viga biengastada para determinação de LI de esforço cortante em uma seção A solução para a elástica da viga da figura 1019 foi obtida considerando a seguinte equação diferencial equação de Navier com taxa nula de carregamento transversal distribuído e as se guintes condições de contorno e de continuidade Equação diferencial 0 4 4 dx d v x 306 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Condições de contorno 0 0 v 0 v l 0 0 dx dv 0 dx dv l Condições de continuidade à esquerda e à direita da seção considerada 1 a v a v esq dir dx a dv dx a dv esq dir Isso resulta na seguinte solução para a elástica da viga isto é para a linha de influência do es forço cortante em uma seção genérica 3 2 2 3 l x l x x v LIQ esq S para 0 x a 3 2 2 3 1 l x l x x v LIQ dir S para l x a Na figura 1019 as reações de apoio são mostradas com o sentido físico correspondente à LI in dicada Considerando a convenção de sinais adotada as reações de engastamento têm os seguintes valores 3 1 12 l EI V 3 2 12 l EI V 2 1 6 l EI M 2 2 6 l EI M 106 Linha de influência de momento fletor em viga biengastada A determinação da LI de momento fletor em uma seção qualquer da viga biengastada é análoga ao que foi feito para a LI de esforço cortante Isto é mostrado na figura 1020 V1 V2 M1 M2 θ 1 vesqx vdirx l a b S Figura 1020 Solução de uma viga biengastada para determinação de LI de momento fletor em uma seção A equação diferencial e as condições de contorno são as mesmas da LI de esforço cortante A penas as condições de continuidade são diferentes Condições de continuidade à esquerda e à direita da seção considerada a v a v dir esq 1 dx a dv dx a dv dir esq Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 307 A solução para a linha influência de momento fletor é mostrada abaixo 2 2 1 3 2 l x l a l x l a x x v LIM esq S para 0 x a a l x l a l x l a x x v LIM dir S 2 2 1 3 2 1 para l x a E finalmente as reações de engastamento perfeito têm os seguintes valores consistentes com a convenção de sinais adotada 2 1 12 6 l EI l a V 2 2 12 6 l EI l a V l EI l a M 6 4 1 l EI l a M 6 2 2 Na figura 1020 as reações estão indicadas com o sentido físico correspondente à LI exemplifi cada 107 Exemplo de determinação de envoltórias de esforços internos Viga biapoiada com balanços carga permanente e carga móvel Carga Móvel Carga Permanente A B C D E F G Besq Bdir Fesq Fdir Estrutura e seções trans versais para envoltórias Esforços internos da carga permanente A C D E G Besq Bdir Fesq Fdir A B C D E F G Carga Permanente Esforços Cortantes kN Carga Permanente Momentos Fletores kNm 308 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móvel Posição da carga móvel para QBesq mínimo Posição da carga móvel para QBesq máximo carga móvel não atuando LIQBesq Besq kN Q c m Besq mín 6000 1 00 10 3 1 00 10 1 00 20 0 c m QBesq máx Posição da carga móvel para QBdir mínimo Posição da carga móvel para QBdir máximo LIQBdir Bdir kN Q c m Bdir mín 8 75 0 25 3 50 10 0 25 20 kN Q c m Bdir máx 9125 12 1 00 50 10 3 0 25 50 10 10 0 75 20 1 00 Posição da carga móvel para QC mínimo Posição da carga móvel para QC máximo LIQC C kN Q c m C mín 1250 0 25 3 50 10 0 25 3 50 10 0 25 20 kN Q c m C máx 5750 9 0 75 50 10 3 0 25 50 10 10 0 50 20 0 75 Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 309 Posição da carga móvel para QD mínimo Posição da carga móvel para QD máximo LIQD D kN Q c m D mín 3125 0 25 3 50 10 0 50 6 50 10 0 25 10 0 50 20 kN Q c m D máx 3125 3 0 25 50 10 6 0 50 50 10 10 0 25 20 0 50 Posição da carga móvel para QE mínimo Posição da carga móvel para QE máximo LIQE E kN Q c m E mín 5750 0 25 3 50 10 0 75 9 50 10 0 50 10 0 75 20 kN Q c m E máx 1250 3 0 25 50 10 3 0 25 50 10 20 0 25 Posição da carga móvel para QFesq mínimo Posição da carga móvel para QFesq máximo LIQFesq Fesq kN Q c m Fesq mín 9125 0 25 3 50 10 1 00 12 50 10 0 75 10 1 00 20 kN Q c m Fesq máx 8 75 3 0 25 50 10 20 0 25 Posição da carga móvel para QFdir mínimo Posição da carga móvel para QFdir máximo carga móvel não atuando LIQFdir Fdir 0 c m QFdir mín kN Q c m Fdir máx 6000 10 3 1 00 10 1 00 20 1 00 310 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Envoltórias de Esforços Cortantes Envoltórias de Esforços Cortantes kN Seção Carga Carga Móvel Envoltórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A 0 2000 0 2000 0 Besq 60 6000 0 12000 6000 Bdir 120 875 9125 11125 21125 C 60 1250 5750 4750 11750 D 0 3125 3125 3125 3125 E 60 5750 1250 11750 4750 Fesq 120 9125 875 21125 11125 Fdir 60 0 6000 6000 12000 G 0 0 2000 0 2000 O esforço cortante devido à carga móvel na extremidade livre do balanço corresponde à carga de 20 kN posicionada sobre esta seção 120 Envoltórias Esforços Cortantes kN 20 60 20 120 60 mínimos máximos 21125 11125 21125 11125 4750 11750 4750 11750 3125 3125 carga permanente faixa de trabalho Determinação dos momentos fletores mínimos e máximos da carga móvel Posição da carga móvel para MB mínimo Posição da carga móvel para MB máximo LIMB carga móvel não atuando B kNm M c m B mín 10500 3 00 3 50 10 3 00 20 0 c m MB máx Luiz Fernando Martha Cargas Acidentais e Móveis Linhas de Influência 311 Posição da carga móvel para MC mínimo Posição da carga móvel para MC máximo LIMC C kNm M c m C mín 9000 0 75 3 50 10 2 25 3 50 10 2 25 20 kNm M c m C máx 19500 12 2 25 50 10 10 1 50 20 2 25 Posição da carga móvel para MD mínimo Posição da carga móvel para MD máximo LIMD D kNm M c m D mín 7500 1 50 3 50 10 1 50 3 50 10 1 50 20 kNm M c m D máx 25500 12 3 00 50 10 10 1 50 20 3 00 Posição da carga móvel para ME mínimo Posição da carga móvel para ME máximo LIME E kNm M c m E mín 9000 2 25 3 50 10 0 75 3 50 10 2 25 20 kNm M c m E máx 19500 12 2 25 50 10 10 1 50 20 2 25 312 Métodos Básicos da Análise de Estruturas Luiz Fernando Martha Posição da carga móvel para MF mínimo Posição da carga móvel para MF máximo LIMF carga móvel não atuando F kNm M c m F mín 10500 3 00 3 50 10 3 00 20 0 c m MF máx Envoltórias de Momentos Fletores Envoltórias de Momento Fletor kNm Seção Carga Carga Móvel Envoltórias Permanente mínimo máximo mínimo máximo A 0 0 0 0 0 B 90 105 0 195 90 C 180 90 195 90 375 D 270 75 255 195 525 E 180 90 195 90 375 F 90 105 0 195 90 G 0 0 0 0 0 Envoltórias Momentos Fletores kNm mínimos máximos carga permanente faixa de trabalho 195 195 90 90 90 90 195 525 375 375 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Assan 1999 AE Assan Método dos Elementos Finitos Primeiros Passos Editora da Unicamp Campinas São Paulo 1999 Beaufait 1977 FW Beaufait Basic Concepts of Structural Analysis PrenticeHall Englewood Cliffs New Jersey 1977 Beer Johnston 1996 FP Beer e E R Johnston Jr Resistência dos Materi ais Terceira Edição MAKRON Books São Paulo 1996 Boresi Chong 1987 AP Borsei e K P Chong Elasticity in Engineering Mechanics Elsevier Science 1987 Campanari 1985 FA Campanari Teoria das Estruturas Vols 1 2 3 e 4 Editora Guanabara Dois Rio de Janeiro 1985 Candreva 1981 P Candreva Considerações sobre Equilíbrio e Compa tibilidade Estrutural Editora do Grêmio Politécnico São Paulo 1981 Cook et al 1989 RD Cook DS Malkus e ME Plesha Concepts and Applications of Finite Element Analysis John Wiley Sons New York 1989 Diaz 1984 Ernani Diaz B Observação sobre a 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