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Agronomia ·
Álgebra Linear
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Igor Martins da Silva Álgebra Linear O que é um Espaço Vetorial Um espaço vetorial real é uma trinca V que cumpre multiplicação adição nome do espaço Regras V é um conjunto não vazio Dados u₁ u₂ V u₁ u₂ também dur pertence a V Dados u V a multiplicação por escalar α R também dur pertencer a V As operações devem cumprir 8 axiomas regrinhas para ai sim podermos falar que estes aqueles conjuntos são espaços vetoriais Sobre Soma A soma dur ser comutativa u₁ u₂ u₂ u₁ A soma dur ser associativa u₁ u₂ u₃ u₁ u₂ u₃ Elemento neutro Dentro do espaço vetorial dur existir um elemento 0 tal que u 0 u Elemento simétrico Para todo u dentro do V dur existir algum u tal que u u 0 Associatividade αβu αβu Elemento neutro da multiplicação Dur existir um elemento 1 tal que 1u u Subespaço Vetorial Se tivermos um espaço vetorial V se S um subconjunto não vazio da V se S for espaço vetorial então ela é um subespaço vetorial da V Mas como sabemos se S é ou não um espaço vetorial Vamos ter que provar cada um daqueles 8 axiomas para ele Não Nós vamos aproveitar que V já é um espaço vetorial e aí podemos diminuir isso Para que W seja subespaço vetorial temos que ter 0 W W₁ W₂ W para todo W₁ W₂ W αW W para todo α R W W Todo espaço vetorial V tem pelo menos 2 subespaços distintos Ele mesmo 0 Exemplos Verifique se W xy R² y0 é um subespaço de R² I 00 y0 00 W II W₁ W₂ W W₁ a0 W₂ b0 W₁ W₂ a0 b0 W Subespaço Vetorial de R² ab0 W Verifique se W xy R² y0 é um subespaço de R² I 00 y0 00 W II W₁ a₁y₁ W W₂ b₂y₂ W W₁ W₂ a₁y₁ by₂ aby₁y₂ W W Subespaço Vetorial de R² O que é a base de um espaço vetorial Para reproduzir cores em meios digitais utilizamos o sistema RGB que define cada cor como uma combinação de três cores primárias vermelho Red verde Green e azul Blue Isso significa que cada cor que vemos na tela pode ser escrita como uma combinação dessas três cores Podemos dizer que o sistema RGB é a base do espectro de cores que você vê na sua tela pois Gerar xyz R³ xyz a100b010c001 xyz abc ax by cz Siga o subespaço de M2x2 W a bc d c2adatb Encontre uma base para W 211 221 00 1𝑔1 𝑔1 1x₁y₁z₁ x₁y₁z₁ 1x₁y₁z₁ 000 V R3 x y z x y z xx yy zz Kxyz 000 αx₁ x₂ 2αx₁ x₂ 3αx₂ S não é Subespaço i 0 ε S 0 0² 0 0 ii v₁ v₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁² x₂ x₂² x₁ x₂ x₁² x₂² x₄ x₂₁ x₂² x₂² 2 2² 2² 2² b S x y z y x 2 x z 0 m não é Subespaço i 0 ε S y x 2 0 2 0 S y 0 2 iii αv₁ v a v₁ b v₂ 7 3 1 2 a2 3 2 b1 2 4 2a b 7 3a 2b 2a 4b 2a b 7 2a4b2 2a 2b 4
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Igor Martins da Silva Álgebra Linear O que é um Espaço Vetorial Um espaço vetorial real é uma trinca V que cumpre multiplicação adição nome do espaço Regras V é um conjunto não vazio Dados u₁ u₂ V u₁ u₂ também dur pertence a V Dados u V a multiplicação por escalar α R também dur pertencer a V As operações devem cumprir 8 axiomas regrinhas para ai sim podermos falar que estes aqueles conjuntos são espaços vetoriais Sobre Soma A soma dur ser comutativa u₁ u₂ u₂ u₁ A soma dur ser associativa u₁ u₂ u₃ u₁ u₂ u₃ Elemento neutro Dentro do espaço vetorial dur existir um elemento 0 tal que u 0 u Elemento simétrico Para todo u dentro do V dur existir algum u tal que u u 0 Associatividade αβu αβu Elemento neutro da multiplicação Dur existir um elemento 1 tal que 1u u Subespaço Vetorial Se tivermos um espaço vetorial V se S um subconjunto não vazio da V se S for espaço vetorial então ela é um subespaço vetorial da V Mas como sabemos se S é ou não um espaço vetorial Vamos ter que provar cada um daqueles 8 axiomas para ele Não Nós vamos aproveitar que V já é um espaço vetorial e aí podemos diminuir isso Para que W seja subespaço vetorial temos que ter 0 W W₁ W₂ W para todo W₁ W₂ W αW W para todo α R W W Todo espaço vetorial V tem pelo menos 2 subespaços distintos Ele mesmo 0 Exemplos Verifique se W xy R² y0 é um subespaço de R² I 00 y0 00 W II W₁ W₂ W W₁ a0 W₂ b0 W₁ W₂ a0 b0 W Subespaço Vetorial de R² ab0 W Verifique se W xy R² y0 é um subespaço de R² I 00 y0 00 W II W₁ a₁y₁ W W₂ b₂y₂ W W₁ W₂ a₁y₁ by₂ aby₁y₂ W W Subespaço Vetorial de R² O que é a base de um espaço vetorial Para reproduzir cores em meios digitais utilizamos o sistema RGB que define cada cor como uma combinação de três cores primárias vermelho Red verde Green e azul Blue Isso significa que cada cor que vemos na tela pode ser escrita como uma combinação dessas três cores Podemos dizer que o sistema RGB é a base do espectro de cores que você vê na sua tela pois Gerar xyz R³ xyz a100b010c001 xyz abc ax by cz Siga o subespaço de M2x2 W a bc d c2adatb Encontre uma base para W 211 221 00 1𝑔1 𝑔1 1x₁y₁z₁ x₁y₁z₁ 1x₁y₁z₁ 000 V R3 x y z x y z xx yy zz Kxyz 000 αx₁ x₂ 2αx₁ x₂ 3αx₂ S não é Subespaço i 0 ε S 0 0² 0 0 ii v₁ v₂ x₁ y₁ x₂ y₂ x₁² x₂ x₂² x₁ x₂ x₁² x₂² x₄ x₂₁ x₂² x₂² 2 2² 2² 2² b S x y z y x 2 x z 0 m não é Subespaço i 0 ε S y x 2 0 2 0 S y 0 2 iii αv₁ v a v₁ b v₂ 7 3 1 2 a2 3 2 b1 2 4 2a b 7 3a 2b 2a 4b 2a b 7 2a4b2 2a 2b 4