Diagonalização de Operadores Lineares em Álgebra Linear

Algebra Linear Disciplina Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Professora Fernanda Capucho Cezana Curso Engenharia Eletrica 20211 Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao de Operadores Nosso objetivo nessa aula e encontrar uma base do espaco vetorial na qual a matriz de um determinado operador linear seja a mais simples possıvel Dada uma transformacao linear operador linear T V V a cada base β de V corresponde uma matriz TB que representa T na base β Desejamos obter uma base do espaco V de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao de Operadores Teorema Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T V V sao linearmente independentes Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao de Operadores Corolario Seja T V V um operador linear tal que dimV n e T possui n autovalores distintos o conjunto v1 v2 vn formado pelos correspondentes autovetores e uma base de V Observacao Sempre que tivermos um operador T R2 R2 com λ1 λ2 o conjunto v1 v2 formado pelos autovetores associados sera uma base do R2 Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Seja o operador linear T R2 R2 tal que Tx y 4x 5y 2x y Determine os autovalores e autovetores de T Os autovetores de T formam uma base de R2 Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Pergunta Pergunta E se tivermos uma base de um espaco formada por autovetores e conhecermos os autovalores associados Poderemos determinar o operador nesse espaco Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Os autovalores de uma operador linear T R2 R2 sao λ1 2 e λ2 3 sendo v1 1 1 e v2 1 0 os respectivos vetores associados Determinar Tx y Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra ait elg Diagonalizagao de Operadores Exemplo Consideremos a base dada no exemplo aneron262 Vamos chamala de Aa Dra Observemos que Jeg Ae TC 111 Y an cepa T11 11 F 1 052 rns book B Tsz T52 652 COl 1 465 2 Logo 1 0 Ts 0 6 representa o operador T na base dos autovetores e 6 uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal sad fiagonal cujos elementos da diag re 3 Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao matriz diagonal da TL Em geral temos 1 Se T R R com autovalores distintos A1 e A2 com es associados v1 v2 respectivamente Temos que GB v1 vo uma base de R Entdo QD 0 T3 D que é uma matriz diagonal Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao matriz diagonal da TL 2 Se T R3 R3 com autovalores distintos λ1 λ2 e λ3 com autovetores associados v1 v2 v3 respectivamente Temos que β v1 v2 v3 e uma base de R3 Entao Tβ λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3 D que e uma matriz diagonal Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Diagonalizacao de Operadores Definicao A matriz A e diagonalizavel se existe uma matriz inversıvel P tal que P1AP seja diagonal P e uma matriz cujas colunas sao os autovetores do operador T e dizemos que P diagonaliza A ou que P e a matriz diagonalizadora De forma equivalente podemos dizer Definicao Um operador T V V e diagonalizavel se existe uma base de V formada por autovetores de T Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Seja T R3 R3 um operador linear cuja matriz em relacao a base canˆonica e Tβ β 3 0 4 0 3 5 0 0 1 Determine os autovalores de autovetores associados de T T e diagonalizavel Determine sua matriz diagonalizadora Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Seja T R3 R3 um operador linear cuja matriz em relacao a base canˆonica e Tβ β 3 3 4 0 3 5 0 0 1 Mostre que T nao e diagonalizavel T e diagonalizavel Determine sua matriz diagonalizadora Engenharia Eletrica Algebra Linear Algebra Linear Diagonalizacao de Operadores Exemplo Determine uma mati P gy diagonaliza 4 5 A 2 1