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Informática ·
Matemática Aplicada
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Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia IFBA Matematica Aplicada Unidade I Allan de Sousa Soares Vitoria da Conquista BA 2023 Sumario 1 Logica Proposicional 5 11 Introducao 5 12 Operador Negacao e os Conectivos Conjuncao e Disjuncao 6 13 Proposicoes Condicionais 8 14 Exercıcios 10 15 Respostas dos Exercıcios 10 16 Links 10 2 Equivalˆencia Logica 13 21 Equivalˆencia Logica 13 22 Exercıcios 16 23 Respostas dos Exercıcios 16 24 Links 17 3 Conjuntos 19 31 Conjunto Representacao e Relacao de Pertinˆencia 19 32 Relacao de Inclusao 21 33 Conjunto das Partes 22 34 Exercıcios 23 35 Respostas dos Exercıcios 23 36 Links 23 4 Operacoes Com Conjuntos 26 41 Uniao Intersecao e Diferenca 26 42 Identidades 30 43 Exercıcios 32 44 Respostas dos Exercıcios 32 45 Links 33 1 Introducao Estas sao notas de aula referente a Unidade I disciplina Matematica Aplicada presente na grade do curso de Tecnico Nıvel Medio Subsequente do Instituto Federal da Bahia campus Vitoria da Conquista Na unidade I abordaremos a Logica Matematica e a Teoria dos Conjuntos Tais assuntos proporcionarao ao estudante dos semestres iniciais uma melhor desenvoltura durante o curso uma vez que programar tem muito haver com logica e conjuntos 2 Organizacao Deste Material e Algumas Outras Dicas A organizacao deste material foi cuidadosamente pensada para promover um aprendizado significativo acerca dos assuntos abordados Aqui seguem algumas dicas de como usalo 1 Teoremas e definicoes sao em geral seguidos de exemplos Recomendase que o leitor entenda bem tais resultados explicitandoos na resolucao de um problema assim como feito no material Se possıvel o repita ate conseguir um texto proprio 2 Leia atentamente a solucao dos exemplos vejam como se emprega o jargao da materia Notem que a solucao nao e simplesmente apresentar um calculo seco mas sim apresentar a explicacao passo a passo da mesma Seu professor fica emocionado quando vocˆe discorre textualmente em uma questao de matematica Colega olha so como meu aluno resolveu esta questao Ele escreveu uma bela resposta 3 Ao final de cada capıtulo na versao digital PDF o leitor encontrara Links de videoaulas referentes aos assuntos abordados Por fim a producao deste material bem como todos os materiais didaticos que elaboramos enquanto professores do Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia nao tem qualquer pretensao financeira Seu unico objetivo e a difusao do conhecimento Ele pode ser copiado reproduzido e melhorado a vontade Email para sugestoes allansoares007gmailcom 3 Plano de Aula Aula 1 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Logica Proposicional Tema da Aula Negacao e Conectivos Logicos Duracao 100 min Objetivos Identificar Proposicoes Entender como se processa a negacao de uma proposicao Entender como se processa o operador conjuncao Entender como se processa o operador disjuncao Entender como se processa o operador condicional Entender como se processa o operador bicondicional Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 4 Capıtulo 1 Logica Proposicional 11 Introducao O entendimento do raciocınio logico matematico tem numerosas aplicacoes na ciˆencia da computacao Suas regras sao usadas na construcao de designs de circuitos de computador na construcao de programas e muitas outras formas Definicao 1 Chamase proposicao toda expressao que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como verdadeira ou falsa Exemplo 1 Seguem alguns exemplos de proposicoes a Salvador e a capital da Bahia b O sapo e um mamıfero c 2 2 4 d 1 1 3 As proposicoes 1 e 3 sao verdadeiras e 2 e 4 sao falsas No Exemplo 1 foram utilizadas proposicoes cujo valor verdade e conhecido a priori isto e pelos conhecimentos que adquirimos na escola na vida etc Alem destas temos tambem uma proposicao quando dizemos Paulo foi de carro ao shoping na terca feira Contudo nao sabemos seu valor verdade a priori pelo menos nao esta explicitado Sabemos que uma vez conhecendo o Paulo de quem estamos falando podemos a classificar tal proposicao em verdadeira ou falsa Neste tipo de proposicao que nao temos um valor previo preestabelecido mas sabemos que ela so pode assumir um e somente um entre V Paulo de fato foi de carro ao shopping na terca feira ou FPaulo de fato nao foi de carro ao shopping na terca feira poderemos estudar esses dois casos ou perceber tratarse de um desses casos e nao o outro nas entrelinhas do problemasituacao Definicao 2 Chamase sentenca aberta a toda expressao que encerra um pensamento de sentido completo mas nao pode ser classificada como verdadeira ou falsa Em uma sentenca aberta nao se pode determinar o sujeito Exemplo 2 As sentencas a seguir nao sao proposicoes a Aquele e jogador do flamengoQuem e ele b x 5 10Quem e o x E numero E objetoO que e c Que dia mais quente Frase exclamativa Note que a sentenca e Aquele e jogador do flamengo nos coloca em uma situacao complicada Se vocˆe esta assistindo a TV e um amigo aponta para o jogador vocˆe pode classificar a sentenca como ou verdadeira ou falsa Neste 5 caso poderıamos admitir ser uma proposicao Porem colocada aqui no texto o pronome demonstrativo aquele nao deixa claro quem e o sujeito em questao 12 Operador Negacao e os Conectivos Conjuncao e Disjuncao As proposicoes podem ser negadas bem como unidas a outras dando origem a novas proposicoes compostas Sabendose o valor verdade de algumas proposicoes podese por exemplo determinar o valor verdade do agrupamento destas De modo geral indicaremos as proposicoes pelas letras p q r s Definicao 3 Seja p uma proposicao a negacao de p indicada por p e a sentenca Nao e o caso de p ou Nao e verdade que p A proposicao p e lida como nao p O valor verdade de p e o oposto do valor verdade de p Com base na Definicao 3 temos a nossa primeira tabela verdade p p V F F V Exemplo 3 Encontre a negacao das proposicoes a O homem e um mamıfero b Carlos e rico c Paulo nao tem um carro Solucao No item a temos Nao e o caso de o homem ser um mamıfero Poderıamos tambem escrever a negacao da proposicao de outras duas formas a segunda sera a mais usada Nao e verdade que o homem e um mamıfero O homem nao e um mamıfero No item b temos Carlos nao e rico Tome bastante cuidado para nao confundir a negacao de uma proposicao com a ideia de antˆonimo Por exemplo e errado dizer que a negacao de Carlos e rico seja algo do tipo Carlos e pobre Note que nao ser rico pode representar muitos outros casos como ser pobre miseravel classe media muito rico bilionario etc c Uma forma de obtermos a negacao de uma sentenca literal negativa corresponde a removermos o nao de sua escrita p tem o mesmo valor logico de p Assim temos a seguintes negacoes de p Nao e verdade que Paulo nao tem um carro Ou melhor como mencionamos Paulo tem um carro Definicao 4 Sejam p e q proposicoes A conjuncao de p e q indicada por pq e a proposicao p e q A conjuncao p q e verdadeira quando ambas p e q sao verdadeiras e falsa em qualquer outro caso Temos nossa segunda tabela verdade p q p q V V V V F F F V F F F F 6 Exemplo 4 Encontre a conjuncao das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A conjuncao p q e dada por p q Joao foi a feira hoje e Maria foi ao shopping ontem O valor verdade dessa proposicao esta atrelado aos valores verdades de p e q sendo esta verdadeira somente nos casos em que p e q sejam ambas verdadeiras Se por exemplo Joao nao tiver ido a feira hoje temos que a disjuncao sera falsa Exemplo 5 Determine o valor logico das seguintes posicoes a O macaco e um mamıfero e o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 29 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O macaco e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a conjuncao dada tem valor logico falso b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 V q 2 33 29 V Assim temos que V V V Portanto a conjuncao dada tem valor logico verdadeiro Definicao 5 Sejam p e q proposicoes A disjuncao de p e q indicada por pq e a proposicao p ou q A conjuncao p q e falsa quando ambas p e q sao falsas e verdadeira em qualquer outro caso Considere a tabela verdade da disjuncao p q p q V V V V F V F V V F F F Exemplo 6 Encontre a disjuncao das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A disjuncao p q e dada por p q Joao foi a feira hoje ou Maria foi ao shopping ontem O valor verdade dessa proposicao esta atrelado aos valores verdades de p e q sendo esta verdadeira caso pelo menos uma das proposicoes p ou q seja verdadeira Se por exemplo Joao tiver ido a feira hoje temos que a disjuncao sera verdadeira independe de Maria ter ido ou nao ao Shopping Exemplo 7 Determine o valor logico das seguintes posicoes a O macaco e um mamıfero ou o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O macaco e um mamıfero V 7 q O rato e um peixe F Assim temos V F V Portanto a disjuncao dada tem valor logico verdadeiro b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 F q 2 33 27 F Assim temos que F F F Portanto a disjuncao dada tem valor logico falso 13 Proposicoes Condicionais Uma outra forma de se combinar proposicoes se da por meio dos conectivos condicional e bicondicional Definicao 6 Sejam p e q proposicoes A proposicao condicional indicada por p q e a proposicao se se p entao q A condicional p q e falsa quando p e verdadeira e q e falsa e verdadeira em qualquer outro caso Considere a tabela verdade da disjuncao p q p q V V V V F F F V V F F V Ha algumas outras formas equivalentes a se p entao q Algumas delas p implica q se p q p e suficiente para q q quando ocorrer p uma condicao necessaria para p e q Exemplo 8 Encontre a condicional p q das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A condicional p q e dada por p q Se Joao foi a feira hoje entao Maria foi ao shopping ontem Note que uma condicao suficiente para que Maria tenha ido ao shopping ontem e Joao ter ido a feira hoje Se esta primeira ocorrer a segunda deve tambem ocorrer Do contrario teremos uma proposicao falsa Contudo Se Joao nao foi a feira hoje nada podemos inferir sobre Maria para que tenhamos uma proposicao verdadeira Ela pode ou nao ter ido ao shopping hoje Em qualquer caso teremos uma condicional verdadeira1 1Em muitas linguagens de programacao a construcao da forma seentao funciona de forma diferente da vista na logica matematica Na declaracao if p then q em muitas linguagens de programacao em que p e uma proposicao e q e uma ou mais acoes a serem executadas Mas a acao q no caso da linguagem de programacao so e executada se p e verdadeira e nao e executada se p for falsa Exemplo 9 O valor da variavel x depois da declaracao if 2 2 4 then x x 1 se x 0 antes da declaracao ser encontrada Solucao Como p 2 2 4 e uma proposicao verdadeira temos que a declaracao sera executada Portanto x 0 1 1 apos a declaracao ser executada 8 Exemplo 10 Determine o valor logico das seguintes posicoes a Se o gato e um mamıfero entao o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O gato e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a condicional dada tem valor logico falso b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 V q 2 33 27 V Assim temos que V V V Portanto a condicional dada tem valor logico verdadeiro Definicao 7 Sejam p e q proposicoes A proposicao bicondicional indicada por p q e a proposicao se p se e somente se q A bicondicional p q e verdadeira quando p e q tem o mesmo valor verdade e e falsa do contrario Considere a tabela verdade da bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V Exemplo 11 Encontre a bicondicional p q das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A bicondicional p q e dada por p q Joao foi a feira hoje se e somente se Maria foi ao shopping ontem Exemplo 12 Determine o valor logico das seguintes proposicoes a O gato e um mamıfero se e somente se o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O gato e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a bicondicional dada tem valor logico falso b Temos que p 2 3 5 F q 2 33 27 F Assim temos F F V Portanto a bicondicional dada tem valor logico verdadeiro Exemplo 13 Considere as proposicoes p q e r cujos valores logicos sao dados a seguir p q r F V V Determine o valor logico das proposicoes a seguir a p q b r p c r p d q p e p r q f q r r p 9 Solucao Basta substituirmos e prosseguir fazendo os calculos a p q F V F b r p V V V c r p V F F d q p V F F V F e p r q F V V F V V f q r r p V V V F F V V V V V V 14 Exercıcios Exercıcio 1 Considere as proposicoes a seguir p Maria joga tˆenis q Joao joga vˆolei r Paulo nao gosta de futebol Determine em lıngua portuguesa o que se coloca em sımbolos a p q b p r c r p d q p Exercıcio 2 Considere a tabela a seguir com as proposicoes p q r e s p q r s V V F F Determine o valor logico das proposicoes a seguir a p s b q p c p s d p r s e q r s r Exercıcio 3 Classifique cada uma das proposicoes a seguir em verdadeira ou falsa a A Terra e um planeta do Sistema Solar ou 1 1 3 b O macaco e um peixe e a Terra nao e um planeta do Sistema Solar c Se 1 1 3 entao o gato e um mamıfero d A Terra e um Planeta do Sistema Solar se e somente se 1 1 2 15 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 1 a Maria joga tˆenis e Joao joga vˆolei b Maria joga tˆenis ou Paulo gosta de futebol c Se Paulo nao gosta de futebol entao Maria joga tˆenis d Joao nao joga vˆolei se e somente se Maria joga tˆenis Resposta do Exercıcio 2 a V b F c V d F e F Resposta do Exercıcio 3 a V b F c V d V 16 Links 10 Links 1 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 3 Logica Proposicional Negacao de Proposicoes Simples Conectivos Logicos Conjuncao Conectivos Logicos Disjuncao Proposicao Condicional Proposicao Bicondicional Exemplo Calculo do Valor Logico de Proposicoes Compostas Exercıcio 1 Conversao de Uma Proposicao Logica em Lıngua Portuguesa Exercıcio 2 Calculo do Valor Logico de Uma Proposicao Exercıcio 3 Calculo do Valor Logico de Uma Proposicao 11 Plano de Aula Aula 2 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Logica Proposicional Tema da Aula Equivalˆencia Logica Duracao 100 min Objetivos Entender o conceito de equivalˆencia logica Aprender a verificar se duas proposicoes logicas sao equivalentes ou nao Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 12 Capıtulo 2 Equivalˆencia Logica Agora aprofundaremos um pouco mais no estudo da logica proposicional tendo em vista o que foi exposto anteriormente 21 Equivalˆencia Logica Um importante passo usado na argumentacao matematica e a substituicao de um argumento por outro como mesmo valorverdade Definicao 8 Uma proposicao composta que e sempre verdadeira qualquer que sejam os valoresverdade das pro posicoes que ocorrem nela e chamada de tautologia Uma proposicao composta que e sempre falsa qualquer que sejam os valoresverdade das proposicoes que a compoe e chamada de contradicao Uma proposicao composta que nao e nem tautologia nem contradicao e chamada de contingˆencia Exemplo 14 Classifique cada uma das proposicoes a seguir em tautologia contradicao e contingˆencia a p p b p p c p p d p p q Solucao Basta construirmos as respectivas tabelas verdade a p p p p V F V F V V b p p p p V F F F V V c p p p p V F F F V F d p q p p p p p q V V F F V V F F F V F V V F V F F V F V Temos portanto que os itens a b c e d nesta ordem sao tautologia contingˆencia contradicao e tautologia Definicao 9 Duas proposicoes compostas p e q sao chamadas logicamente equivalente se p q e uma tautologia A notacao p q indica que p e q sao logicamente equivalentes A Definicao 9 nos diz que as tabelas verdade associadas as proposicoes equivalentes tem suas colunas finais iguais Exemplo 15 Mostre que p q e p q sao logicamente equivalentes Solucao Basta construirmos a seguinte tabela verdade 13 p q p q p q p q p q p q p q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V Logo temos que as proposicoes p q e p q sao logicamente equivalentes Exemplo 16 Mostre que p q p r p q r Solucao Basta observamos as seguintes tabelas verdade p q r p q p r p q q r V V V V V V V V F V F F V F V F V F V F F F F F F V V V V V F V F V V V F F V V V V F F F V V V p q r q r p q r V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V V V V F V F F V F F V F V F F F F V Como as ultimas colunas coincidem temos uma equivalˆencia Exemplo 17 Verifique quais das sentencas a seguir sao equivalentes a Nao e verdade que Joao foi assaltado e Maria nao ganhou na loteria Joao nao foi assaltado ou Maria ganhou na loteria b O gato e mamıfero ou o sapo e inseto Se o gato nao e um mamıfero entao o sapo e um inseto Solucao a Tomemos as seguintes proposicoes p Joao foi assaltado q Maria ganhou na loteria Queremos saber se as proposicoes p q e p q sao logicamente equivalentes Vejamos p q q p q p q V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V Como as tabelas verdade sao iguais temos que se trata de uma equivalˆencia logica b Tomemos as seguintes proposicoes p O gato e um mamıfero q O sapo e um inseto Temos as seguintes tabelas verdade p q p q V V V V F V F V V F F F p q p p q V V F V V F F V F V V V F F V F Como as tabelas verdade sao iguais temos que se trata de uma equivalˆencia logica 14 As tabelas a seguir mostram algumas equivalˆencias importantes envolvendo a conjuncao e a disjuncao e seus respectivos nomes Verifique algumas Seguem outras equivalˆencias logicas importantes referente as sentencas condicionais e sentencas bicondicionais 15 Exemplo 18 Escreva a negacao das proposicoes a seguir usando as leis de De Morgan a Maria foi de carro e Joao nao foi de trem b Se o Sol nao e amarelo entao a Lua e azul Solucao a Identificando as proposicoes como no Exemplo 17 temos p Maria foi de carro q Joao foi de trem Assim queremos negar a proposicao p q isto e p q Usando a lei de De Morgan temos p q p q p q Segue que a negacao procurada e dada por Maria nao foi de carro ou Joao foi de trem b Temos pela tabela de Equivalˆencias Logicas Envolvendo Sentencas Condicionais temos que p q p q Contudo ajustando as proposicoes dadas temos p O Sol e amarelo q A Lua e azul Assim temos p q p q p q p q Em palavras temos O Sol e nao e amarelo e a Lua nao e azul 22 Exercıcios Exercıcio 4 Determine por meio de tabelas verdade quais dos pares de proposicoes a seguir sao equivalentes a p q e p q b p q e p q c p q r e p q r Exercıcio 5 Apresente a negacao das seguintes frases usando equivalˆencias logicas a Maria andou de carro e Joao nao andou de bicicleta b O cachorro nao e bıpede ou o homem nao e inteligente c Se saio de casa entao nao chove Exercıcio 6 Reescreva a proposicao a seguir sem alterar seu sentido de modo que nao haja implicacao alguma presente nela Se o homem e um mamıfero e o sapo nao e um anfıbio entao o cavalo e um quadrupede 23 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 4 Os itens a e c apresentam proposicoes equivalentes Resposta do Exercıcio 5 Para este exercıcio negue as equivalˆencias nas tabelas anteriormente dadas As respostas nao sao as unicas a Maria nao andou de carro ou Joao andou de bicicleta b O cachorro e bıpede e o homem e inteligente c Saio de casa e chove Resposta do Exercıcio 6 O homem nao e um mamıfero ou o sapo e um anfıbio ou o cavalo e um quadrupede 16 24 Links Links 2 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 4 Tautologia Contradicao e Contingˆencia Equivalˆencia Logica Exemplo Equivalˆencia Logica Exemplo Negando Proposicoes Usando as Leis de De Morgan Exercıcio 1 Tabela Verdade e Equivalˆencia Logica Exercıcio 2 Equivalˆencia Logica Exercıcio 3 Equivalˆencia Logica 17 Plano de Aula Aula 3 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Conjuntos Tema da Aula Conjuntos Duracao 100 min Objetivos Compreender a ideia de conjunto e suas representacoes Entender a relacao de pertinˆencia Entender a relacao de inclusao Entender o conceito de conjunto das partes de um conjunto Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 18 4 Capitulo 3 Conjunt 31 Conjunto Representagao e Relagao de Pertinéncia Agora estudaremos a estrutura discreta fundamental sob a qual todas as demais estruturas discretas sAéo cons truidas o conjunto Definigao 10 Um conjunto é uma colecao de objetos Os elementos de um conjunto costumam ser escritos entre chaves separados por virgulas Exemplo 19 Seguem alguns conjuntos a O conjunto V de todas as vogais da lingua portuguesa pode ser escrito como V ae70 u b O conjunto dos ntimeros inteiros maiores que 2 e menores que 9 pode ser escrito como A 34567 8 c O conjunto dos planetas do Sistema Solar atualmente conhecidos pode ser escrito como P Merctrio Vénus Terra Marte Jupiter Saturno Urano e Netuno d Um conjunto cujos elementos nao tem qualquer relacaéo aparente B 1 a carro A listagem utilizada acima na qual se explicitam os elementos de um conjunto é chamada de representagao tabular de um conjunto A ordem na qual os elementos de um conjunto sao listados nao é necessariamente importante Por exemplo escrever 123 6 0 mesmo que escrever 32 1 Contudo anotar seguindo um padrao é sempre aconselhavel Se um certo elemento x pertence a um conjunto A escrevemos x A do contrario escrevemos A Esta é uma relacgao de elemento para conjunto Exemplo 20 Considerando o Exemplo 19 temos que i e V ii b V iii Terra P iv Plutéo P Seguem alguns conjuntos numéricos importantes para o nosso estudo N 0123 o conjunto dos nimeros naturais Z 3210123 o conjunto dos nimeros inteiros Q 2p qEZjqF 0 o conjunto dos nimeros racionais Q o conjunto dos nimeros reais irracionais Sao aqueles ntimeros reais que nao sdo racionais isto 6 nao podem ser representados por uma fracao da forma F pqEeZqF0 R 2x Q V a VJ 0 conjunto dos ntimeros reais C a bilab E Ri 1 o conjuntos dos niumeros complexos Um na parte superior direita da letra que representa um conjunto numérico indica que se consideram os nimeros nao negativos analogamente um na parte superior direita indica que se consideram somente o nuimeros nao positivos 19 por fim um na parte inferior direita da letra que representa um conjunto numerico indica que se consideram os numeros nao nulos Por exemplo Z 0 1 2 3 Z 3 2 1 0 e Z 3 2 1 1 2 3 O entendimento de conjuntos numericos e de fundamental importˆancia em linguagem de programacao Em algumas linguagens de programacao o usuario deve especificar o tipo de variavel que se esta considerando em uma situacao inteira real literal booleana etc Dentre os conjutos numericos apresentados dois se destacam Z e R1 Uma outra forma de se escrever um certo conjunto e da escrevˆelo por meio de uma propriedade que identifique todos os seus elementos Exemplo 21 Seguem alguns conjuntos dados no Exemplo 19 listados por meio de uma propriedade a V x x e vogal da lıngua portuguesa b P x x e planeta do Sistema Solar c A x Z3 x 9 Exemplo 22 Classifique as sentencas a seguir em verdadeiras ou falsas Solucao a 1 N b 2 3 R c π Q d 0 3333 Q e 0 Z a Verdadeira trivial b Falsa trivial c Note que nao existem p q Z q 0 tal que π p q Logo a proposicao e falsa Em particular π e irracional isto e e real mas nao e racional d Note que 0 3333 1 3 e portanto 0 3333 Q Logo a pertinˆencia e verdadeira e Note que Z 1 2 3 Logo a proposicao e falsa Definicao 11 Dois conjuntos A e B sao iguais se e somente se tˆem os mesmo elementos Em sımbolos temos A B xx A x B Uma outra forma interessante e bastante ilustrativa de se representar um conjunto se da pela utilizacao dos chamados diagramas de Venn Nesta representacao os elementos pertencentes a um dado conjunto ficam limitados por uma regiao Os elementos nao pertencentes ficam na parte de fora Exemplo 23 A representacao em diagramas de Venn do conjunto V dado no Exemplo 19 e a seguinte Figura 31 Representacao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da Lıngua Portuguesa Caso o nosso conjunto universo U consistisse de todas as letras do alfabeto da lıngua portuguesa esta deveriam ser postas do lado de fora do cırculo que representa V mas ainda dentro da regiao retangular que representa U conforme a Figura 23 1Em linguagem C por exemplo temos variaveis do tipo int armazena valores numericos inteiros char armazena caracteres float armazena numeros com ponto flutuante reais com precisao simples double armazena numeros com ponto flutuante com precisao dupla ou seja normalmente possui o dobro da capacidade de uma variavel do tipo float 20 Figura 32 Representacao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da Lıngua Portuguesa Alguns conjuntos sao bastante importantes para o nosso estudo o conjunto vazio U o conjunto universo O vazio obviamente e um conjunto que nao possui elemento algum Por outro lado dado uma situacao ou um problema ha sempre um conjunto que deve conter todos os elementos envolvidos isto e o universo da questao Outros conjuntos importantes sao os conjuntos unitarios isto e aqueles que possuem um so elemento os conjuntos finitos aqueles que possuem uma quantidade finita de elementos o conjunto infinito aqueles que nao sao finitos Indicamos por nA o numero de elementos de um conjunto finito A 32 Relacao de Inclusao Nesta secao apresentaremos uma importante relacao entre dois conjuntos a relacao de inclusao Definicao 12 O conjunto A e um subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A for tambem um elemento de B Usamos a notacao A B para indicar que A e um subconjunto de B Simbolicamente temos A B xx A x B Se A nao for subconjunto de um conjunto B indicaremos por A B Se a inclusao for estrita usamos o sımbolo ao inves de Quando A e subconjunto de B tendo em vista a Definicao 12 costumamos dizer que A esta contido em B ou que B contem A escrevese B A Em termos de diagramas de Venn a inclusao A B pode ser vista conforme indicado na Figura 33 na qual todo conjunto A e desenhado internamente ao conjunto B Figura 33 Representacao da inclusao A B Exemplo 24 Classifique as sentencas a seguir em verdadeiras ou falsas a 1 2 3 Z b 1 0 1 N c 1 R d N Z e Z Q f N Z Q R Solucao a Note que todo elemento do conjunto 1 2 3 e tambem inteiro Logo a inclusao e verdadeira b Note que 1 1 0 1 e 1 N Logo a afirmacao e falsa 21 c Verdadeira trivial d Verdadeira trivial e Temos que Q 2p qe ZqF 0 Tomando gq 1 mostramos que Z C Q Logo a afirmagao é verdadeira f Verdadeira Esta 6 uma importante inclusdo que relaciona alguns dos principais conjuntos numéricos O teorema que sera apresentado a seguir embora pareca trivial possui grande importancia teérica Teorema 1 Para todo conjunto S iOCcS ii SCS 33 Conjunto das Partes Muitos problemas necessitam de saber todas as combinacoes possiveis de elementos de um dado conjunto na formagao de subconjuntos deste Definigao 13 Dado um conjunto S o conjunto das partes de S é 0 conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto S O conjunto das partes do conjunto S é indicado por PS Exemplo 25 Determine 0 conjunto das partes dos seguintes conjuntos a A 1 b B12 cC123 d 0 e 0 Solugao a PA 1 b PB 0 1 2 1 2h c PC 0 1 2 3 1 2h 1 3 2 3 1 2 3h d PO 0 e PO 0 0 Note que nao é 0 conjunto vazio Usamos fortemente o Teorema 1 uma vez que os conjuntos e S sao subconjuntos de S sendo S 0 conjunto considerado Teorema 2 Se um conjunto S possui n elementos entao PS possui 2 elementos Exemplo 26 Determine 0 numero de subconjuntos de um conjunto A composto por 10 elementos Solugdo Temos que n PA 24 21 1024 Logo A tem 1024 subconjuntos Sem o Teorema 1 estartamos em uma fria Exemplo 27 Sendo A 12 classifique cada uma das sentengas a seguir em verdadeira ou falsa a 1 PA b1E PA cOCPA d2CPA e Oe PA f 0 C PA Solugao Antes de tudo observe que PA 9 1 2 1 2 a Note que 0 conjunto 1 é um elemento do conjunto PA Observe que 1 esta dentro das chaves de PA Logo a afirmacao é verdadeira b Note que 1 nao é elemento de PA Observe que 1 nao esta dentro das chaves de PA Logo a afirmacao é falsa c Pelo Teorema 1 esta é uma afirmacao verdadeira d Note que 2 é um elemento e portanto nao vale qualquer relacao de incluséo Logo esta é uma afirmacao falsa e Note que nao é um elemento de PA Nao confundir 9 com Logo a afirmagao é falsa f Note que 6 um subconjunto de PA Logo a afirmacao é verdadeira 22 34 Exercıcios Exercıcio 7 Represente os conjuntos a seguir na forma tabular a x N3 x 10 b x Rx2 9 c x Z2x2 x 1 0 Exercıcio 8 Classifique como V ou F cada uma das afirmacoes a seguir a 3 1 2 3 b 2 3 1 1 2 3 c 2 1 2 d 2 1 2 e 2 3 4 1 2 3 4 f 1 2 g 1 2 h 3 5 2 3 5 Exercıcio 9 Considere os conjuntos A a b c B d e C f g h e D a i j a Quantos conjuntos de trˆes elementos podemos formar com exatamente um elemento de A um de B e um de C b Quantos conjuntos de trˆes elementos podemos formar com exatamente um elemento de A um de B e um de D Exercıcio 10 Classifique em V ou F cada uma das afirmacoes sobre o conjunto A 1 2 e seu conjunto das partes PA a 1 PA b 1 A c 2 PA d 2 PA e 1 PA Exercıcio 11 Se um conjunto A possui 64 subconjuntos qual o numero de elementos de A Exercıcio 12 Um conjunto A possui 512 subconjuntos Ao removermos dois elementos do conjunto A este novo conjunto passara a possuir quantos subconjuntos Exercıcio 13 Um grupo de amigos e formado por 5 integrantes De quantos modos eles podem fazer uma viagem levando ao menos dois dos membros 35 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 7 a 3 4 5 6 7 8 9 b 3 3 c 1 Resposta do Exercıcio 8 a V b V c F d V e F f V g F h V Resposta do Exercıcio 9 a 18 b 16 Resposta do Exercıcio 10 a V b V c F d F e V Resposta do Exercıcio 11 6 Resposta do Exercıcio 12 128 Resposta do Exercıcio 13 26 36 Links 23 Links 3 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 6 Conjunto Conjuntos Numericos Conjuntos Importantes Relacao de Inclusao Conjunto das Partes Exercıcio 1 Representacao Tabular de Um Conjunto Exercıcio 2 Relacoes de Pertinˆencia e Inclusao V ou F Exercıcio 3 Princıpio da Contagem Exercıcio 4 Conjunto das Partes e Relacoes de Pertinˆencia e Inclusao V ou F Exercıcio 5 Conjunto das Partes Exercıcio 6 Conjunto das Partes Exercıcio 7 Contagem de Subconjuntos 24 Plano de Aula Aula 4 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Conjuntos Tema da Aula Operacoes Com Conjuntos Duracao 100 min Objetivos Entender as operacoes de uniao intersecao diferenca e complementar de conjuntos Compreender as operacoes de uniao intersecao diferenca e complementar de conjuntos por meio de diagramas de Venn Entender metodos de validacao de identidades de conjuntos Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios Referˆencia Principal 1 ROSEN Kenneth Discrete Mathematics and its Applications 7rd McGRAWHILL 2007 Bibliografia 2 DAGHLIAN J Logica e algebra de Boole 4 ed Sao Paulo Atlas 1995 3 FILHO E de A Teoria Elementar dos Conjuntos 13 ed Sao Paulo Nobel 1972 25 Capıtulo 4 Operacoes Com Conjuntos Dois conjuntos podem ser combinados de diversas formas dando origem a novos conjuntos Neste capıtulo veremos as combinacoes fundamentais entre elementos de dois ou mais conjuntos 41 Uniao Intersecao e Diferenca Definicao 14 Sejam A e B conjuntos A uniao dos conjuntos A e B indicada por A B e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou pertencem a ambos Em sımbolos A B xx A x B A partes destacadas na Figura 41 referese aos casos possıveis para a uniao 1 A e B tem elementos em comum mas ambos possuem elementos exclusivos 2 ambos A e B nao compartilham qualquer elemento 3 Neste caso um dos conjuntos esta contido no outro isto e A B Figura 41 Representacao em Diagramas de Venn Para a Uniao de Dois Conjuntos Exemplo 28 Determine a uniao dos conjuntos A 1 3 6 e B 1 2 3 e determine as unioes a seguir e representeas em diagramas de Venn considerando U N Solucao Temos que A B 1 3 6 1 2 3 1 2 3 6 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o primeiro caso da Figura 41 26 Figura 42 Definicao 15 Sejam A e B conjuntos A intersecao dos conjuntos A e B indicada por AB e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e pertencem a B simultaneamente Em sımbolos A B xx A x B Analogamente a uniao temos a interseccao representada em diagramas de Venn na Figura 43 Figura 43 Representacao em Diagramas de Venn Para a Intersecao de Dois Conjuntos Exemplo 29 Dados os conjuntos A 1 3 6 B 1 2 3 C 4 5 6 e U N determine a A B b B C Solucao a Temos que A B 1 3 6 1 2 3 1 3 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o primeiro caso da Figura 43 Figura 44 b Temos que A B 1 2 3 4 5 6 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o segundo caso da Figura 43 27 Figura 45 Definicao 16 Dois conjuntos sao chamados disjuntos se sua intersecao e o conjunto vazio Note que no item b do Exemplo 29 os conjuntos B e C sao disjuntos Note que se A e B sao disjuntos temos que nA B nA nB Caso A e B possuam intersecao nao vazia utilizase a formula nA B nA nB nA B Exemplo 30 Foram entrevistadas 50 pessoas sobre suas preferˆencias entre dois canais A e B de televisao Os resultados da pesquisa sao precisamente 21 pessoas responderam que assistem ao canal A 10 pessoas responderam que assistem aos canais A e B 5 pessoas responderam que nao assistem nenhum dos dois canais De acordo com esses dados quantas pessoas assistem somente ao canal B Solucao Note que ao afirmar que 21 pessoas responderam que assistem ao canal A por exemplo nao podemos inferir que todas estas assistem somente ao canal A Parte destas tambem pode assistir ao canal B Neste tipo de questao e indicado comecarmos pela intersecao dos conjuntos e pelo complementar Caso nao conhecamos devemos colocar uma variavel no local Considere a Figura 46 Sendo 50 o total de entrevistados temos que Figura 46 x 5 10 11 50 x 24 Assim o numero de pessoas que assiste somente ao canal B e igual a 24 Definicao 17 Sejam A e B conjuntos A diferenca dos conjuntos A e B indicada por A B e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e nao pertencem a B Em sımbolos A B xx A x B Um pouco diferente da uniao e da interseccao na diferenca temos um caso adicional pra representarmos em diagramas de Venn uma vez que A B e em geral diferente de B A Para os casos em que um conjunto B estiver inteiramente contido em um conjunto A a diferenca AB e comumente chamada de complementar de B em relacao a A indicada por B A Em sımbolos B A B A xx A x B 28 Figura 47 Representacao em Diagramas de Venn Para a Diferenca de Dois Conjuntos A B A notacao A indica o complementar de A em realacao ao universo U isto e A U A Note que um elemento x A se e somente se x A A representacao em diagramas de Venn do complementar esta ilustrada no item 4 da Figura 47 Exemplo 31 Dados os conjuntos A 1 2 4 6 7 B 1 2 5 C 1 2 6 D 1 2 e U 1 2 3 4 5 6 7 8 determine os conjuntos a seguir e apresente suas representacoes em diagramas de Venn dos conjuntos envolvidos em cada item juntamente com o universo U a A B b B A c C A d B C e C B f B Solucao a A B 1 2 4 6 7 1 2 5 4 6 7 b B A 1 2 5 1 2 4 6 7 5 c C A C A A C 1 2 4 6 7 1 2 6 4 7 d B C 1 2 5 1 2 6 5 e C B C B f B U B U B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 5 3 4 6 7 8 As representacoes em diagramas de Venn dos itens acima sao dadas na Figura 48 a seguir Figura 48 29 E muitas situacoes costumamos aplicar as operacoes de uniao e interseccao em mais de dois conjuntos Neste caso podemos usar as seguintes generalizacoes A U Ag UU An J Ai 2 Ai V Ag V V An i1 isto 6 um elemento x pertencera a uniao se este pertencer a ao menos um dos conjuntos da colecao ALN AgNM An Ai aa Ai A a Av Avs A a An i1 isto 6 um elemento x pertencera a intersecao se este pertencer a todos os conjuntos da colecao simultaneamente Exemplo 32 Considere os conjuntos A 1234 B 1356 C 1378 e D 1159 Determine os elementos dos conjuntos a AUBUCUD b ANBNCND Solugaéo a Temos que AUBUCUD 123 4 U 13 5 6 U 1 3 78 U 1 15 9 1 1 23 4 5 67 8 9 b Temos que ANBOCND 1234 9 1356 9 13 78 N 1 15 9 1 42 Identidades A tabela a seguir nos mostra algumas identidades bastante uiteis Demonstraremos algumas delas utilizando diferentes métodos Em todos eles utilizaremos de conceitos desenvolvidos durante o estudo da légica proposicional TABELA 1 Identidades de Conjuntos Identidade Name AUBA Propriedades dos elementos AntvA neuirgs 1 4 fuji AU T Propnedades de domimacao Ang8 AUAA Propnedades idempotentes A0dA A4 Propriedades da complementagiio AU RBuUA Propriedades comutativas ANB8NA Figura 49 30 Figura 410 Exemplo 33 Demonstre que A B A B Solucao Usemos as chamadas tabelas de pertinˆencias1 Pois bem A B A B A B A B A B 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Como duas ultimas colunas sao iguais colunas resultado temos provado a identidade Aqui usamos um raciocınio semelhante ao usado na demonstracao por exaustao Exemplo 34 Mostre a equivalˆencia A B C A B A C Solucao Consideremos a tabela de pertinˆencia a seguir A B C A B A C B C A B C A B A C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Como duas ultimas colunas sao iguais colunas resultado temos provado a identidade 1Devemos considerar cada combinacao de pertinˆencia pertinˆencia possıvel de elementos em conjuntos e verificar se os elementos per tencem a ambos conjuntos na identidade Para indicar que um elemento esta no conjunto usamos o 1 ou o sımbolo V da logica para indicar que um elemento nao esta no conjunto usamos o 0 ou o sımbolo F da logica Por fim comparamos as colunas resultado e caso sejam iguais temos verificada a igualdade 31 43 Exercıcios Exercıcio 14 Considere os conjuntos A 1 2 3 4 5 B 3 4 5 6 7 C 2 3 4 5 8 9 D 10 11 e universo U A B C D Determine a A B C b A B D c A C B D d A B C e A B C D Exercıcio 15 Destaque na figura abaixo as regioes correspondentes ao conjunto A C B Exercıcio 16 Mostre as seguintes identidades utilizando tabelas de pertinˆencia a A B B A b A B A B c A B C A B A C Exercıcio 17 Em uma turma de ensino basico composta de 34 alunos constatouse que 18 praticavam futebol 12 vˆolei e 3 praticavam tanto vˆolei quanto futebol Nestas condicoes quantos alunos nao praticavam esporte algum Exercıcio 18 Em uma turma 80 dos alunos leem o Jornal A e 50 leem o Jornal B Sabendo que todo aluno e leitor de pelo menos um dos Jornais qual e a porcentagem de alunos que leem apenas um dos jornais 44 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 14 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b 3 4 5 c 1 2 8 9 d 1 2 6 7 8 9 10 11 e 1 2 6 7 8 9 Resposta do Exercıcio 15 Resposta do Exercıcio 16 Construa as tabelas de pertinˆencia e verifique que as colunas resultado sao iguais Em caso de duvida consulte o professor Resposta do Exercıcio 17 7 Resposta do Exercıcio 18 70 32 45 Links Links 4 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 7 Uniao de Dois Conjuntos Intersecao de Dois Conjuntos Diferenca de Dois Conjuntos Exemplo Expressoes Envolvendo Conjuntos Exemplo Problemas Envolvendo Conjuntos Demonstrando Identidades Envolvendo Conjuntos Exemplo Demonstrando Identidades Envolvendo Conjuntos Exercıcio 1 Operacoes Com Conjuntos Exercıcio 2 Diagramas de Venn Exercıcio 3 Verificacao de Identidades Exercıcio 4 Problema Envolvendo Conjuntos Exercıcio 5 Problema Envolvendo Conjuntos 33
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Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia IFBA Matematica Aplicada Unidade I Allan de Sousa Soares Vitoria da Conquista BA 2023 Sumario 1 Logica Proposicional 5 11 Introducao 5 12 Operador Negacao e os Conectivos Conjuncao e Disjuncao 6 13 Proposicoes Condicionais 8 14 Exercıcios 10 15 Respostas dos Exercıcios 10 16 Links 10 2 Equivalˆencia Logica 13 21 Equivalˆencia Logica 13 22 Exercıcios 16 23 Respostas dos Exercıcios 16 24 Links 17 3 Conjuntos 19 31 Conjunto Representacao e Relacao de Pertinˆencia 19 32 Relacao de Inclusao 21 33 Conjunto das Partes 22 34 Exercıcios 23 35 Respostas dos Exercıcios 23 36 Links 23 4 Operacoes Com Conjuntos 26 41 Uniao Intersecao e Diferenca 26 42 Identidades 30 43 Exercıcios 32 44 Respostas dos Exercıcios 32 45 Links 33 1 Introducao Estas sao notas de aula referente a Unidade I disciplina Matematica Aplicada presente na grade do curso de Tecnico Nıvel Medio Subsequente do Instituto Federal da Bahia campus Vitoria da Conquista Na unidade I abordaremos a Logica Matematica e a Teoria dos Conjuntos Tais assuntos proporcionarao ao estudante dos semestres iniciais uma melhor desenvoltura durante o curso uma vez que programar tem muito haver com logica e conjuntos 2 Organizacao Deste Material e Algumas Outras Dicas A organizacao deste material foi cuidadosamente pensada para promover um aprendizado significativo acerca dos assuntos abordados Aqui seguem algumas dicas de como usalo 1 Teoremas e definicoes sao em geral seguidos de exemplos Recomendase que o leitor entenda bem tais resultados explicitandoos na resolucao de um problema assim como feito no material Se possıvel o repita ate conseguir um texto proprio 2 Leia atentamente a solucao dos exemplos vejam como se emprega o jargao da materia Notem que a solucao nao e simplesmente apresentar um calculo seco mas sim apresentar a explicacao passo a passo da mesma Seu professor fica emocionado quando vocˆe discorre textualmente em uma questao de matematica Colega olha so como meu aluno resolveu esta questao Ele escreveu uma bela resposta 3 Ao final de cada capıtulo na versao digital PDF o leitor encontrara Links de videoaulas referentes aos assuntos abordados Por fim a producao deste material bem como todos os materiais didaticos que elaboramos enquanto professores do Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia nao tem qualquer pretensao financeira Seu unico objetivo e a difusao do conhecimento Ele pode ser copiado reproduzido e melhorado a vontade Email para sugestoes allansoares007gmailcom 3 Plano de Aula Aula 1 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Logica Proposicional Tema da Aula Negacao e Conectivos Logicos Duracao 100 min Objetivos Identificar Proposicoes Entender como se processa a negacao de uma proposicao Entender como se processa o operador conjuncao Entender como se processa o operador disjuncao Entender como se processa o operador condicional Entender como se processa o operador bicondicional Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 4 Capıtulo 1 Logica Proposicional 11 Introducao O entendimento do raciocınio logico matematico tem numerosas aplicacoes na ciˆencia da computacao Suas regras sao usadas na construcao de designs de circuitos de computador na construcao de programas e muitas outras formas Definicao 1 Chamase proposicao toda expressao que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como verdadeira ou falsa Exemplo 1 Seguem alguns exemplos de proposicoes a Salvador e a capital da Bahia b O sapo e um mamıfero c 2 2 4 d 1 1 3 As proposicoes 1 e 3 sao verdadeiras e 2 e 4 sao falsas No Exemplo 1 foram utilizadas proposicoes cujo valor verdade e conhecido a priori isto e pelos conhecimentos que adquirimos na escola na vida etc Alem destas temos tambem uma proposicao quando dizemos Paulo foi de carro ao shoping na terca feira Contudo nao sabemos seu valor verdade a priori pelo menos nao esta explicitado Sabemos que uma vez conhecendo o Paulo de quem estamos falando podemos a classificar tal proposicao em verdadeira ou falsa Neste tipo de proposicao que nao temos um valor previo preestabelecido mas sabemos que ela so pode assumir um e somente um entre V Paulo de fato foi de carro ao shopping na terca feira ou FPaulo de fato nao foi de carro ao shopping na terca feira poderemos estudar esses dois casos ou perceber tratarse de um desses casos e nao o outro nas entrelinhas do problemasituacao Definicao 2 Chamase sentenca aberta a toda expressao que encerra um pensamento de sentido completo mas nao pode ser classificada como verdadeira ou falsa Em uma sentenca aberta nao se pode determinar o sujeito Exemplo 2 As sentencas a seguir nao sao proposicoes a Aquele e jogador do flamengoQuem e ele b x 5 10Quem e o x E numero E objetoO que e c Que dia mais quente Frase exclamativa Note que a sentenca e Aquele e jogador do flamengo nos coloca em uma situacao complicada Se vocˆe esta assistindo a TV e um amigo aponta para o jogador vocˆe pode classificar a sentenca como ou verdadeira ou falsa Neste 5 caso poderıamos admitir ser uma proposicao Porem colocada aqui no texto o pronome demonstrativo aquele nao deixa claro quem e o sujeito em questao 12 Operador Negacao e os Conectivos Conjuncao e Disjuncao As proposicoes podem ser negadas bem como unidas a outras dando origem a novas proposicoes compostas Sabendose o valor verdade de algumas proposicoes podese por exemplo determinar o valor verdade do agrupamento destas De modo geral indicaremos as proposicoes pelas letras p q r s Definicao 3 Seja p uma proposicao a negacao de p indicada por p e a sentenca Nao e o caso de p ou Nao e verdade que p A proposicao p e lida como nao p O valor verdade de p e o oposto do valor verdade de p Com base na Definicao 3 temos a nossa primeira tabela verdade p p V F F V Exemplo 3 Encontre a negacao das proposicoes a O homem e um mamıfero b Carlos e rico c Paulo nao tem um carro Solucao No item a temos Nao e o caso de o homem ser um mamıfero Poderıamos tambem escrever a negacao da proposicao de outras duas formas a segunda sera a mais usada Nao e verdade que o homem e um mamıfero O homem nao e um mamıfero No item b temos Carlos nao e rico Tome bastante cuidado para nao confundir a negacao de uma proposicao com a ideia de antˆonimo Por exemplo e errado dizer que a negacao de Carlos e rico seja algo do tipo Carlos e pobre Note que nao ser rico pode representar muitos outros casos como ser pobre miseravel classe media muito rico bilionario etc c Uma forma de obtermos a negacao de uma sentenca literal negativa corresponde a removermos o nao de sua escrita p tem o mesmo valor logico de p Assim temos a seguintes negacoes de p Nao e verdade que Paulo nao tem um carro Ou melhor como mencionamos Paulo tem um carro Definicao 4 Sejam p e q proposicoes A conjuncao de p e q indicada por pq e a proposicao p e q A conjuncao p q e verdadeira quando ambas p e q sao verdadeiras e falsa em qualquer outro caso Temos nossa segunda tabela verdade p q p q V V V V F F F V F F F F 6 Exemplo 4 Encontre a conjuncao das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A conjuncao p q e dada por p q Joao foi a feira hoje e Maria foi ao shopping ontem O valor verdade dessa proposicao esta atrelado aos valores verdades de p e q sendo esta verdadeira somente nos casos em que p e q sejam ambas verdadeiras Se por exemplo Joao nao tiver ido a feira hoje temos que a disjuncao sera falsa Exemplo 5 Determine o valor logico das seguintes posicoes a O macaco e um mamıfero e o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 29 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O macaco e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a conjuncao dada tem valor logico falso b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 V q 2 33 29 V Assim temos que V V V Portanto a conjuncao dada tem valor logico verdadeiro Definicao 5 Sejam p e q proposicoes A disjuncao de p e q indicada por pq e a proposicao p ou q A conjuncao p q e falsa quando ambas p e q sao falsas e verdadeira em qualquer outro caso Considere a tabela verdade da disjuncao p q p q V V V V F V F V V F F F Exemplo 6 Encontre a disjuncao das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A disjuncao p q e dada por p q Joao foi a feira hoje ou Maria foi ao shopping ontem O valor verdade dessa proposicao esta atrelado aos valores verdades de p e q sendo esta verdadeira caso pelo menos uma das proposicoes p ou q seja verdadeira Se por exemplo Joao tiver ido a feira hoje temos que a disjuncao sera verdadeira independe de Maria ter ido ou nao ao Shopping Exemplo 7 Determine o valor logico das seguintes posicoes a O macaco e um mamıfero ou o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O macaco e um mamıfero V 7 q O rato e um peixe F Assim temos V F V Portanto a disjuncao dada tem valor logico verdadeiro b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 F q 2 33 27 F Assim temos que F F F Portanto a disjuncao dada tem valor logico falso 13 Proposicoes Condicionais Uma outra forma de se combinar proposicoes se da por meio dos conectivos condicional e bicondicional Definicao 6 Sejam p e q proposicoes A proposicao condicional indicada por p q e a proposicao se se p entao q A condicional p q e falsa quando p e verdadeira e q e falsa e verdadeira em qualquer outro caso Considere a tabela verdade da disjuncao p q p q V V V V F F F V V F F V Ha algumas outras formas equivalentes a se p entao q Algumas delas p implica q se p q p e suficiente para q q quando ocorrer p uma condicao necessaria para p e q Exemplo 8 Encontre a condicional p q das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A condicional p q e dada por p q Se Joao foi a feira hoje entao Maria foi ao shopping ontem Note que uma condicao suficiente para que Maria tenha ido ao shopping ontem e Joao ter ido a feira hoje Se esta primeira ocorrer a segunda deve tambem ocorrer Do contrario teremos uma proposicao falsa Contudo Se Joao nao foi a feira hoje nada podemos inferir sobre Maria para que tenhamos uma proposicao verdadeira Ela pode ou nao ter ido ao shopping hoje Em qualquer caso teremos uma condicional verdadeira1 1Em muitas linguagens de programacao a construcao da forma seentao funciona de forma diferente da vista na logica matematica Na declaracao if p then q em muitas linguagens de programacao em que p e uma proposicao e q e uma ou mais acoes a serem executadas Mas a acao q no caso da linguagem de programacao so e executada se p e verdadeira e nao e executada se p for falsa Exemplo 9 O valor da variavel x depois da declaracao if 2 2 4 then x x 1 se x 0 antes da declaracao ser encontrada Solucao Como p 2 2 4 e uma proposicao verdadeira temos que a declaracao sera executada Portanto x 0 1 1 apos a declaracao ser executada 8 Exemplo 10 Determine o valor logico das seguintes posicoes a Se o gato e um mamıfero entao o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O gato e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a condicional dada tem valor logico falso b Em linguagem logica temos p q em que p 2 3 5 V q 2 33 27 V Assim temos que V V V Portanto a condicional dada tem valor logico verdadeiro Definicao 7 Sejam p e q proposicoes A proposicao bicondicional indicada por p q e a proposicao se p se e somente se q A bicondicional p q e verdadeira quando p e q tem o mesmo valor verdade e e falsa do contrario Considere a tabela verdade da bicondicional p q p q V V V V F F F V F F F V Exemplo 11 Encontre a bicondicional p q das proposicoes p e q dadas a seguir p Joao foi a feira hoje q Maria foi ao shopping ontem Solucao A bicondicional p q e dada por p q Joao foi a feira hoje se e somente se Maria foi ao shopping ontem Exemplo 12 Determine o valor logico das seguintes proposicoes a O gato e um mamıfero se e somente se o rato e um peixe b 2 3 5 2 33 27 Solucao a Em linguagem logica temos p q em que p O gato e um mamıfero V q O rato e um peixe F Assim temos V F F Portanto a bicondicional dada tem valor logico falso b Temos que p 2 3 5 F q 2 33 27 F Assim temos F F V Portanto a bicondicional dada tem valor logico verdadeiro Exemplo 13 Considere as proposicoes p q e r cujos valores logicos sao dados a seguir p q r F V V Determine o valor logico das proposicoes a seguir a p q b r p c r p d q p e p r q f q r r p 9 Solucao Basta substituirmos e prosseguir fazendo os calculos a p q F V F b r p V V V c r p V F F d q p V F F V F e p r q F V V F V V f q r r p V V V F F V V V V V V 14 Exercıcios Exercıcio 1 Considere as proposicoes a seguir p Maria joga tˆenis q Joao joga vˆolei r Paulo nao gosta de futebol Determine em lıngua portuguesa o que se coloca em sımbolos a p q b p r c r p d q p Exercıcio 2 Considere a tabela a seguir com as proposicoes p q r e s p q r s V V F F Determine o valor logico das proposicoes a seguir a p s b q p c p s d p r s e q r s r Exercıcio 3 Classifique cada uma das proposicoes a seguir em verdadeira ou falsa a A Terra e um planeta do Sistema Solar ou 1 1 3 b O macaco e um peixe e a Terra nao e um planeta do Sistema Solar c Se 1 1 3 entao o gato e um mamıfero d A Terra e um Planeta do Sistema Solar se e somente se 1 1 2 15 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 1 a Maria joga tˆenis e Joao joga vˆolei b Maria joga tˆenis ou Paulo gosta de futebol c Se Paulo nao gosta de futebol entao Maria joga tˆenis d Joao nao joga vˆolei se e somente se Maria joga tˆenis Resposta do Exercıcio 2 a V b F c V d F e F Resposta do Exercıcio 3 a V b F c V d V 16 Links 10 Links 1 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 3 Logica Proposicional Negacao de Proposicoes Simples Conectivos Logicos Conjuncao Conectivos Logicos Disjuncao Proposicao Condicional Proposicao Bicondicional Exemplo Calculo do Valor Logico de Proposicoes Compostas Exercıcio 1 Conversao de Uma Proposicao Logica em Lıngua Portuguesa Exercıcio 2 Calculo do Valor Logico de Uma Proposicao Exercıcio 3 Calculo do Valor Logico de Uma Proposicao 11 Plano de Aula Aula 2 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Logica Proposicional Tema da Aula Equivalˆencia Logica Duracao 100 min Objetivos Entender o conceito de equivalˆencia logica Aprender a verificar se duas proposicoes logicas sao equivalentes ou nao Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 12 Capıtulo 2 Equivalˆencia Logica Agora aprofundaremos um pouco mais no estudo da logica proposicional tendo em vista o que foi exposto anteriormente 21 Equivalˆencia Logica Um importante passo usado na argumentacao matematica e a substituicao de um argumento por outro como mesmo valorverdade Definicao 8 Uma proposicao composta que e sempre verdadeira qualquer que sejam os valoresverdade das pro posicoes que ocorrem nela e chamada de tautologia Uma proposicao composta que e sempre falsa qualquer que sejam os valoresverdade das proposicoes que a compoe e chamada de contradicao Uma proposicao composta que nao e nem tautologia nem contradicao e chamada de contingˆencia Exemplo 14 Classifique cada uma das proposicoes a seguir em tautologia contradicao e contingˆencia a p p b p p c p p d p p q Solucao Basta construirmos as respectivas tabelas verdade a p p p p V F V F V V b p p p p V F F F V V c p p p p V F F F V F d p q p p p p p q V V F F V V F F F V F V V F V F F V F V Temos portanto que os itens a b c e d nesta ordem sao tautologia contingˆencia contradicao e tautologia Definicao 9 Duas proposicoes compostas p e q sao chamadas logicamente equivalente se p q e uma tautologia A notacao p q indica que p e q sao logicamente equivalentes A Definicao 9 nos diz que as tabelas verdade associadas as proposicoes equivalentes tem suas colunas finais iguais Exemplo 15 Mostre que p q e p q sao logicamente equivalentes Solucao Basta construirmos a seguinte tabela verdade 13 p q p q p q p q p q p q p q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V Logo temos que as proposicoes p q e p q sao logicamente equivalentes Exemplo 16 Mostre que p q p r p q r Solucao Basta observamos as seguintes tabelas verdade p q r p q p r p q q r V V V V V V V V F V F F V F V F V F V F F F F F F V V V V V F V F V V V F F V V V V F F F V V V p q r q r p q r V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V V V V F V F F V F F V F V F F F F V Como as ultimas colunas coincidem temos uma equivalˆencia Exemplo 17 Verifique quais das sentencas a seguir sao equivalentes a Nao e verdade que Joao foi assaltado e Maria nao ganhou na loteria Joao nao foi assaltado ou Maria ganhou na loteria b O gato e mamıfero ou o sapo e inseto Se o gato nao e um mamıfero entao o sapo e um inseto Solucao a Tomemos as seguintes proposicoes p Joao foi assaltado q Maria ganhou na loteria Queremos saber se as proposicoes p q e p q sao logicamente equivalentes Vejamos p q q p q p q V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V p q p p q V V F V V F F F F V V V F F V V Como as tabelas verdade sao iguais temos que se trata de uma equivalˆencia logica b Tomemos as seguintes proposicoes p O gato e um mamıfero q O sapo e um inseto Temos as seguintes tabelas verdade p q p q V V V V F V F V V F F F p q p p q V V F V V F F V F V V V F F V F Como as tabelas verdade sao iguais temos que se trata de uma equivalˆencia logica 14 As tabelas a seguir mostram algumas equivalˆencias importantes envolvendo a conjuncao e a disjuncao e seus respectivos nomes Verifique algumas Seguem outras equivalˆencias logicas importantes referente as sentencas condicionais e sentencas bicondicionais 15 Exemplo 18 Escreva a negacao das proposicoes a seguir usando as leis de De Morgan a Maria foi de carro e Joao nao foi de trem b Se o Sol nao e amarelo entao a Lua e azul Solucao a Identificando as proposicoes como no Exemplo 17 temos p Maria foi de carro q Joao foi de trem Assim queremos negar a proposicao p q isto e p q Usando a lei de De Morgan temos p q p q p q Segue que a negacao procurada e dada por Maria nao foi de carro ou Joao foi de trem b Temos pela tabela de Equivalˆencias Logicas Envolvendo Sentencas Condicionais temos que p q p q Contudo ajustando as proposicoes dadas temos p O Sol e amarelo q A Lua e azul Assim temos p q p q p q p q Em palavras temos O Sol e nao e amarelo e a Lua nao e azul 22 Exercıcios Exercıcio 4 Determine por meio de tabelas verdade quais dos pares de proposicoes a seguir sao equivalentes a p q e p q b p q e p q c p q r e p q r Exercıcio 5 Apresente a negacao das seguintes frases usando equivalˆencias logicas a Maria andou de carro e Joao nao andou de bicicleta b O cachorro nao e bıpede ou o homem nao e inteligente c Se saio de casa entao nao chove Exercıcio 6 Reescreva a proposicao a seguir sem alterar seu sentido de modo que nao haja implicacao alguma presente nela Se o homem e um mamıfero e o sapo nao e um anfıbio entao o cavalo e um quadrupede 23 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 4 Os itens a e c apresentam proposicoes equivalentes Resposta do Exercıcio 5 Para este exercıcio negue as equivalˆencias nas tabelas anteriormente dadas As respostas nao sao as unicas a Maria nao andou de carro ou Joao andou de bicicleta b O cachorro e bıpede e o homem e inteligente c Saio de casa e chove Resposta do Exercıcio 6 O homem nao e um mamıfero ou o sapo e um anfıbio ou o cavalo e um quadrupede 16 24 Links Links 2 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 4 Tautologia Contradicao e Contingˆencia Equivalˆencia Logica Exemplo Equivalˆencia Logica Exemplo Negando Proposicoes Usando as Leis de De Morgan Exercıcio 1 Tabela Verdade e Equivalˆencia Logica Exercıcio 2 Equivalˆencia Logica Exercıcio 3 Equivalˆencia Logica 17 Plano de Aula Aula 3 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Conjuntos Tema da Aula Conjuntos Duracao 100 min Objetivos Compreender a ideia de conjunto e suas representacoes Entender a relacao de pertinˆencia Entender a relacao de inclusao Entender o conceito de conjunto das partes de um conjunto Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios 18 4 Capitulo 3 Conjunt 31 Conjunto Representagao e Relagao de Pertinéncia Agora estudaremos a estrutura discreta fundamental sob a qual todas as demais estruturas discretas sAéo cons truidas o conjunto Definigao 10 Um conjunto é uma colecao de objetos Os elementos de um conjunto costumam ser escritos entre chaves separados por virgulas Exemplo 19 Seguem alguns conjuntos a O conjunto V de todas as vogais da lingua portuguesa pode ser escrito como V ae70 u b O conjunto dos ntimeros inteiros maiores que 2 e menores que 9 pode ser escrito como A 34567 8 c O conjunto dos planetas do Sistema Solar atualmente conhecidos pode ser escrito como P Merctrio Vénus Terra Marte Jupiter Saturno Urano e Netuno d Um conjunto cujos elementos nao tem qualquer relacaéo aparente B 1 a carro A listagem utilizada acima na qual se explicitam os elementos de um conjunto é chamada de representagao tabular de um conjunto A ordem na qual os elementos de um conjunto sao listados nao é necessariamente importante Por exemplo escrever 123 6 0 mesmo que escrever 32 1 Contudo anotar seguindo um padrao é sempre aconselhavel Se um certo elemento x pertence a um conjunto A escrevemos x A do contrario escrevemos A Esta é uma relacgao de elemento para conjunto Exemplo 20 Considerando o Exemplo 19 temos que i e V ii b V iii Terra P iv Plutéo P Seguem alguns conjuntos numéricos importantes para o nosso estudo N 0123 o conjunto dos nimeros naturais Z 3210123 o conjunto dos nimeros inteiros Q 2p qEZjqF 0 o conjunto dos nimeros racionais Q o conjunto dos nimeros reais irracionais Sao aqueles ntimeros reais que nao sdo racionais isto 6 nao podem ser representados por uma fracao da forma F pqEeZqF0 R 2x Q V a VJ 0 conjunto dos ntimeros reais C a bilab E Ri 1 o conjuntos dos niumeros complexos Um na parte superior direita da letra que representa um conjunto numérico indica que se consideram os nimeros nao negativos analogamente um na parte superior direita indica que se consideram somente o nuimeros nao positivos 19 por fim um na parte inferior direita da letra que representa um conjunto numerico indica que se consideram os numeros nao nulos Por exemplo Z 0 1 2 3 Z 3 2 1 0 e Z 3 2 1 1 2 3 O entendimento de conjuntos numericos e de fundamental importˆancia em linguagem de programacao Em algumas linguagens de programacao o usuario deve especificar o tipo de variavel que se esta considerando em uma situacao inteira real literal booleana etc Dentre os conjutos numericos apresentados dois se destacam Z e R1 Uma outra forma de se escrever um certo conjunto e da escrevˆelo por meio de uma propriedade que identifique todos os seus elementos Exemplo 21 Seguem alguns conjuntos dados no Exemplo 19 listados por meio de uma propriedade a V x x e vogal da lıngua portuguesa b P x x e planeta do Sistema Solar c A x Z3 x 9 Exemplo 22 Classifique as sentencas a seguir em verdadeiras ou falsas Solucao a 1 N b 2 3 R c π Q d 0 3333 Q e 0 Z a Verdadeira trivial b Falsa trivial c Note que nao existem p q Z q 0 tal que π p q Logo a proposicao e falsa Em particular π e irracional isto e e real mas nao e racional d Note que 0 3333 1 3 e portanto 0 3333 Q Logo a pertinˆencia e verdadeira e Note que Z 1 2 3 Logo a proposicao e falsa Definicao 11 Dois conjuntos A e B sao iguais se e somente se tˆem os mesmo elementos Em sımbolos temos A B xx A x B Uma outra forma interessante e bastante ilustrativa de se representar um conjunto se da pela utilizacao dos chamados diagramas de Venn Nesta representacao os elementos pertencentes a um dado conjunto ficam limitados por uma regiao Os elementos nao pertencentes ficam na parte de fora Exemplo 23 A representacao em diagramas de Venn do conjunto V dado no Exemplo 19 e a seguinte Figura 31 Representacao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da Lıngua Portuguesa Caso o nosso conjunto universo U consistisse de todas as letras do alfabeto da lıngua portuguesa esta deveriam ser postas do lado de fora do cırculo que representa V mas ainda dentro da regiao retangular que representa U conforme a Figura 23 1Em linguagem C por exemplo temos variaveis do tipo int armazena valores numericos inteiros char armazena caracteres float armazena numeros com ponto flutuante reais com precisao simples double armazena numeros com ponto flutuante com precisao dupla ou seja normalmente possui o dobro da capacidade de uma variavel do tipo float 20 Figura 32 Representacao em Diagramas de Venn Para o Conjunto das Vogais da Lıngua Portuguesa Alguns conjuntos sao bastante importantes para o nosso estudo o conjunto vazio U o conjunto universo O vazio obviamente e um conjunto que nao possui elemento algum Por outro lado dado uma situacao ou um problema ha sempre um conjunto que deve conter todos os elementos envolvidos isto e o universo da questao Outros conjuntos importantes sao os conjuntos unitarios isto e aqueles que possuem um so elemento os conjuntos finitos aqueles que possuem uma quantidade finita de elementos o conjunto infinito aqueles que nao sao finitos Indicamos por nA o numero de elementos de um conjunto finito A 32 Relacao de Inclusao Nesta secao apresentaremos uma importante relacao entre dois conjuntos a relacao de inclusao Definicao 12 O conjunto A e um subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A for tambem um elemento de B Usamos a notacao A B para indicar que A e um subconjunto de B Simbolicamente temos A B xx A x B Se A nao for subconjunto de um conjunto B indicaremos por A B Se a inclusao for estrita usamos o sımbolo ao inves de Quando A e subconjunto de B tendo em vista a Definicao 12 costumamos dizer que A esta contido em B ou que B contem A escrevese B A Em termos de diagramas de Venn a inclusao A B pode ser vista conforme indicado na Figura 33 na qual todo conjunto A e desenhado internamente ao conjunto B Figura 33 Representacao da inclusao A B Exemplo 24 Classifique as sentencas a seguir em verdadeiras ou falsas a 1 2 3 Z b 1 0 1 N c 1 R d N Z e Z Q f N Z Q R Solucao a Note que todo elemento do conjunto 1 2 3 e tambem inteiro Logo a inclusao e verdadeira b Note que 1 1 0 1 e 1 N Logo a afirmacao e falsa 21 c Verdadeira trivial d Verdadeira trivial e Temos que Q 2p qe ZqF 0 Tomando gq 1 mostramos que Z C Q Logo a afirmagao é verdadeira f Verdadeira Esta 6 uma importante inclusdo que relaciona alguns dos principais conjuntos numéricos O teorema que sera apresentado a seguir embora pareca trivial possui grande importancia teérica Teorema 1 Para todo conjunto S iOCcS ii SCS 33 Conjunto das Partes Muitos problemas necessitam de saber todas as combinacoes possiveis de elementos de um dado conjunto na formagao de subconjuntos deste Definigao 13 Dado um conjunto S o conjunto das partes de S é 0 conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto S O conjunto das partes do conjunto S é indicado por PS Exemplo 25 Determine 0 conjunto das partes dos seguintes conjuntos a A 1 b B12 cC123 d 0 e 0 Solugao a PA 1 b PB 0 1 2 1 2h c PC 0 1 2 3 1 2h 1 3 2 3 1 2 3h d PO 0 e PO 0 0 Note que nao é 0 conjunto vazio Usamos fortemente o Teorema 1 uma vez que os conjuntos e S sao subconjuntos de S sendo S 0 conjunto considerado Teorema 2 Se um conjunto S possui n elementos entao PS possui 2 elementos Exemplo 26 Determine 0 numero de subconjuntos de um conjunto A composto por 10 elementos Solugdo Temos que n PA 24 21 1024 Logo A tem 1024 subconjuntos Sem o Teorema 1 estartamos em uma fria Exemplo 27 Sendo A 12 classifique cada uma das sentengas a seguir em verdadeira ou falsa a 1 PA b1E PA cOCPA d2CPA e Oe PA f 0 C PA Solugao Antes de tudo observe que PA 9 1 2 1 2 a Note que 0 conjunto 1 é um elemento do conjunto PA Observe que 1 esta dentro das chaves de PA Logo a afirmacao é verdadeira b Note que 1 nao é elemento de PA Observe que 1 nao esta dentro das chaves de PA Logo a afirmacao é falsa c Pelo Teorema 1 esta é uma afirmacao verdadeira d Note que 2 é um elemento e portanto nao vale qualquer relacao de incluséo Logo esta é uma afirmacao falsa e Note que nao é um elemento de PA Nao confundir 9 com Logo a afirmagao é falsa f Note que 6 um subconjunto de PA Logo a afirmacao é verdadeira 22 34 Exercıcios Exercıcio 7 Represente os conjuntos a seguir na forma tabular a x N3 x 10 b x Rx2 9 c x Z2x2 x 1 0 Exercıcio 8 Classifique como V ou F cada uma das afirmacoes a seguir a 3 1 2 3 b 2 3 1 1 2 3 c 2 1 2 d 2 1 2 e 2 3 4 1 2 3 4 f 1 2 g 1 2 h 3 5 2 3 5 Exercıcio 9 Considere os conjuntos A a b c B d e C f g h e D a i j a Quantos conjuntos de trˆes elementos podemos formar com exatamente um elemento de A um de B e um de C b Quantos conjuntos de trˆes elementos podemos formar com exatamente um elemento de A um de B e um de D Exercıcio 10 Classifique em V ou F cada uma das afirmacoes sobre o conjunto A 1 2 e seu conjunto das partes PA a 1 PA b 1 A c 2 PA d 2 PA e 1 PA Exercıcio 11 Se um conjunto A possui 64 subconjuntos qual o numero de elementos de A Exercıcio 12 Um conjunto A possui 512 subconjuntos Ao removermos dois elementos do conjunto A este novo conjunto passara a possuir quantos subconjuntos Exercıcio 13 Um grupo de amigos e formado por 5 integrantes De quantos modos eles podem fazer uma viagem levando ao menos dois dos membros 35 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 7 a 3 4 5 6 7 8 9 b 3 3 c 1 Resposta do Exercıcio 8 a V b V c F d V e F f V g F h V Resposta do Exercıcio 9 a 18 b 16 Resposta do Exercıcio 10 a V b V c F d F e V Resposta do Exercıcio 11 6 Resposta do Exercıcio 12 128 Resposta do Exercıcio 13 26 36 Links 23 Links 3 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 6 Conjunto Conjuntos Numericos Conjuntos Importantes Relacao de Inclusao Conjunto das Partes Exercıcio 1 Representacao Tabular de Um Conjunto Exercıcio 2 Relacoes de Pertinˆencia e Inclusao V ou F Exercıcio 3 Princıpio da Contagem Exercıcio 4 Conjunto das Partes e Relacoes de Pertinˆencia e Inclusao V ou F Exercıcio 5 Conjunto das Partes Exercıcio 6 Conjunto das Partes Exercıcio 7 Contagem de Subconjuntos 24 Plano de Aula Aula 4 Instituicao Instituto Federal de Educacao Ciˆencia e Tecnologia da Bahia Professor Allan de Sousa Soares Disciplina Matematica Aplicada Conteudo Pragmatico Conjuntos Tema da Aula Operacoes Com Conjuntos Duracao 100 min Objetivos Entender as operacoes de uniao intersecao diferenca e complementar de conjuntos Compreender as operacoes de uniao intersecao diferenca e complementar de conjuntos por meio de diagramas de Venn Entender metodos de validacao de identidades de conjuntos Metodologia Aula Expositiva Participada Recursos Didaticos Apostila Pincel e quadro branco Datashow Avaliacao Observacao Resolucao de exercıcios Referˆencia Principal 1 ROSEN Kenneth Discrete Mathematics and its Applications 7rd McGRAWHILL 2007 Bibliografia 2 DAGHLIAN J Logica e algebra de Boole 4 ed Sao Paulo Atlas 1995 3 FILHO E de A Teoria Elementar dos Conjuntos 13 ed Sao Paulo Nobel 1972 25 Capıtulo 4 Operacoes Com Conjuntos Dois conjuntos podem ser combinados de diversas formas dando origem a novos conjuntos Neste capıtulo veremos as combinacoes fundamentais entre elementos de dois ou mais conjuntos 41 Uniao Intersecao e Diferenca Definicao 14 Sejam A e B conjuntos A uniao dos conjuntos A e B indicada por A B e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou pertencem a ambos Em sımbolos A B xx A x B A partes destacadas na Figura 41 referese aos casos possıveis para a uniao 1 A e B tem elementos em comum mas ambos possuem elementos exclusivos 2 ambos A e B nao compartilham qualquer elemento 3 Neste caso um dos conjuntos esta contido no outro isto e A B Figura 41 Representacao em Diagramas de Venn Para a Uniao de Dois Conjuntos Exemplo 28 Determine a uniao dos conjuntos A 1 3 6 e B 1 2 3 e determine as unioes a seguir e representeas em diagramas de Venn considerando U N Solucao Temos que A B 1 3 6 1 2 3 1 2 3 6 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o primeiro caso da Figura 41 26 Figura 42 Definicao 15 Sejam A e B conjuntos A intersecao dos conjuntos A e B indicada por AB e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e pertencem a B simultaneamente Em sımbolos A B xx A x B Analogamente a uniao temos a interseccao representada em diagramas de Venn na Figura 43 Figura 43 Representacao em Diagramas de Venn Para a Intersecao de Dois Conjuntos Exemplo 29 Dados os conjuntos A 1 3 6 B 1 2 3 C 4 5 6 e U N determine a A B b B C Solucao a Temos que A B 1 3 6 1 2 3 1 3 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o primeiro caso da Figura 43 Figura 44 b Temos que A B 1 2 3 4 5 6 A representacao em diagramas de Venn deste item segue o segundo caso da Figura 43 27 Figura 45 Definicao 16 Dois conjuntos sao chamados disjuntos se sua intersecao e o conjunto vazio Note que no item b do Exemplo 29 os conjuntos B e C sao disjuntos Note que se A e B sao disjuntos temos que nA B nA nB Caso A e B possuam intersecao nao vazia utilizase a formula nA B nA nB nA B Exemplo 30 Foram entrevistadas 50 pessoas sobre suas preferˆencias entre dois canais A e B de televisao Os resultados da pesquisa sao precisamente 21 pessoas responderam que assistem ao canal A 10 pessoas responderam que assistem aos canais A e B 5 pessoas responderam que nao assistem nenhum dos dois canais De acordo com esses dados quantas pessoas assistem somente ao canal B Solucao Note que ao afirmar que 21 pessoas responderam que assistem ao canal A por exemplo nao podemos inferir que todas estas assistem somente ao canal A Parte destas tambem pode assistir ao canal B Neste tipo de questao e indicado comecarmos pela intersecao dos conjuntos e pelo complementar Caso nao conhecamos devemos colocar uma variavel no local Considere a Figura 46 Sendo 50 o total de entrevistados temos que Figura 46 x 5 10 11 50 x 24 Assim o numero de pessoas que assiste somente ao canal B e igual a 24 Definicao 17 Sejam A e B conjuntos A diferenca dos conjuntos A e B indicada por A B e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e nao pertencem a B Em sımbolos A B xx A x B Um pouco diferente da uniao e da interseccao na diferenca temos um caso adicional pra representarmos em diagramas de Venn uma vez que A B e em geral diferente de B A Para os casos em que um conjunto B estiver inteiramente contido em um conjunto A a diferenca AB e comumente chamada de complementar de B em relacao a A indicada por B A Em sımbolos B A B A xx A x B 28 Figura 47 Representacao em Diagramas de Venn Para a Diferenca de Dois Conjuntos A B A notacao A indica o complementar de A em realacao ao universo U isto e A U A Note que um elemento x A se e somente se x A A representacao em diagramas de Venn do complementar esta ilustrada no item 4 da Figura 47 Exemplo 31 Dados os conjuntos A 1 2 4 6 7 B 1 2 5 C 1 2 6 D 1 2 e U 1 2 3 4 5 6 7 8 determine os conjuntos a seguir e apresente suas representacoes em diagramas de Venn dos conjuntos envolvidos em cada item juntamente com o universo U a A B b B A c C A d B C e C B f B Solucao a A B 1 2 4 6 7 1 2 5 4 6 7 b B A 1 2 5 1 2 4 6 7 5 c C A C A A C 1 2 4 6 7 1 2 6 4 7 d B C 1 2 5 1 2 6 5 e C B C B f B U B U B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 5 3 4 6 7 8 As representacoes em diagramas de Venn dos itens acima sao dadas na Figura 48 a seguir Figura 48 29 E muitas situacoes costumamos aplicar as operacoes de uniao e interseccao em mais de dois conjuntos Neste caso podemos usar as seguintes generalizacoes A U Ag UU An J Ai 2 Ai V Ag V V An i1 isto 6 um elemento x pertencera a uniao se este pertencer a ao menos um dos conjuntos da colecao ALN AgNM An Ai aa Ai A a Av Avs A a An i1 isto 6 um elemento x pertencera a intersecao se este pertencer a todos os conjuntos da colecao simultaneamente Exemplo 32 Considere os conjuntos A 1234 B 1356 C 1378 e D 1159 Determine os elementos dos conjuntos a AUBUCUD b ANBNCND Solugaéo a Temos que AUBUCUD 123 4 U 13 5 6 U 1 3 78 U 1 15 9 1 1 23 4 5 67 8 9 b Temos que ANBOCND 1234 9 1356 9 13 78 N 1 15 9 1 42 Identidades A tabela a seguir nos mostra algumas identidades bastante uiteis Demonstraremos algumas delas utilizando diferentes métodos Em todos eles utilizaremos de conceitos desenvolvidos durante o estudo da légica proposicional TABELA 1 Identidades de Conjuntos Identidade Name AUBA Propriedades dos elementos AntvA neuirgs 1 4 fuji AU T Propnedades de domimacao Ang8 AUAA Propnedades idempotentes A0dA A4 Propriedades da complementagiio AU RBuUA Propriedades comutativas ANB8NA Figura 49 30 Figura 410 Exemplo 33 Demonstre que A B A B Solucao Usemos as chamadas tabelas de pertinˆencias1 Pois bem A B A B A B A B A B 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Como duas ultimas colunas sao iguais colunas resultado temos provado a identidade Aqui usamos um raciocınio semelhante ao usado na demonstracao por exaustao Exemplo 34 Mostre a equivalˆencia A B C A B A C Solucao Consideremos a tabela de pertinˆencia a seguir A B C A B A C B C A B C A B A C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Como duas ultimas colunas sao iguais colunas resultado temos provado a identidade 1Devemos considerar cada combinacao de pertinˆencia pertinˆencia possıvel de elementos em conjuntos e verificar se os elementos per tencem a ambos conjuntos na identidade Para indicar que um elemento esta no conjunto usamos o 1 ou o sımbolo V da logica para indicar que um elemento nao esta no conjunto usamos o 0 ou o sımbolo F da logica Por fim comparamos as colunas resultado e caso sejam iguais temos verificada a igualdade 31 43 Exercıcios Exercıcio 14 Considere os conjuntos A 1 2 3 4 5 B 3 4 5 6 7 C 2 3 4 5 8 9 D 10 11 e universo U A B C D Determine a A B C b A B D c A C B D d A B C e A B C D Exercıcio 15 Destaque na figura abaixo as regioes correspondentes ao conjunto A C B Exercıcio 16 Mostre as seguintes identidades utilizando tabelas de pertinˆencia a A B B A b A B A B c A B C A B A C Exercıcio 17 Em uma turma de ensino basico composta de 34 alunos constatouse que 18 praticavam futebol 12 vˆolei e 3 praticavam tanto vˆolei quanto futebol Nestas condicoes quantos alunos nao praticavam esporte algum Exercıcio 18 Em uma turma 80 dos alunos leem o Jornal A e 50 leem o Jornal B Sabendo que todo aluno e leitor de pelo menos um dos Jornais qual e a porcentagem de alunos que leem apenas um dos jornais 44 Respostas dos Exercıcios Resposta do Exercıcio 14 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b 3 4 5 c 1 2 8 9 d 1 2 6 7 8 9 10 11 e 1 2 6 7 8 9 Resposta do Exercıcio 15 Resposta do Exercıcio 16 Construa as tabelas de pertinˆencia e verifique que as colunas resultado sao iguais Em caso de duvida consulte o professor Resposta do Exercıcio 17 7 Resposta do Exercıcio 18 70 32 45 Links Links 4 Links das Vıdeo Aulas Referentes ao Capıtulo 7 Uniao de Dois Conjuntos Intersecao de Dois Conjuntos Diferenca de Dois Conjuntos Exemplo Expressoes Envolvendo Conjuntos Exemplo Problemas Envolvendo Conjuntos Demonstrando Identidades Envolvendo Conjuntos Exemplo Demonstrando Identidades Envolvendo Conjuntos Exercıcio 1 Operacoes Com Conjuntos Exercıcio 2 Diagramas de Venn Exercıcio 3 Verificacao de Identidades Exercıcio 4 Problema Envolvendo Conjuntos Exercıcio 5 Problema Envolvendo Conjuntos 33