Modelos Matematicos de Sistemas Fisicos e Equacoes Diferenciais

CAPÍTULO 2 Modelos Matemáticos de Sistemas 21 Introdução 22 Equações Diferenciais de Sistemas Físicos 23 Aproximações Lineares de Sistemas Físicos 24 Transformada de Laplace 25 Função de Transferência de Sistemas Lineares 26 Modelos em Diagramas de Blocos 27 Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinal 28 Análise Computacional de Sistemas de Controle 29 Exemplos de Projeto 210 Simulação de Sistemas Usando MATLAB 211 Exemplo de Projeto Sequêncial Sistema de Leitura de Acionador de Disco 212 Sumário APRESENTAÇÃO Usamse modelos matemáticos quantitativos de sistemas físicos para projetar e analisar sistemas de controle O comportamento dinâmico é geralmente descrito através de equações diferenciais ordinárias Será considerada uma gama ampla de sistemas abrangendo sistemas mecânicos hidráulicos e elétricos Como a maioria dos sistemas físicos são nãolineares serão discutidas aproximações de linearização que permitem o uso de métodos baseados na transformada de Laplace Prosseguese então a obtenção de relações do tipo entradasaída sob a forma de função de transferência para componentes e subsistemas Os blocos com função de transferência podem ser organizados em diagramas de blocos ou em diagramas de fluxo de sinal para descrever as interconexões Os diagramas de blocos e os diagramas de fluxo de sinal constituem ferramentas naturais e convenientes para projetar e analisar sistemas de controle complicados O capítulo será concluído com o desenvolvimento de modelos sob a forma de função de transferência para diversos componentes do Exemplo de Projeto Sequencial Sistema de Leitura de Acionador de Disco 21 INTRODUÇÃO Para compreender e controlar sistemas complexos devese obter modelos matemáticos quantitativos destes sistemas Tornase necessário por conseguinte analisar as relações entre as variáveis do sistema e obter um modelo matemático Como os sistemas sob consideração são dinâmicos por natureza as equações que os descrevem são usualmente equações diferenciais Além disto se estas equações puderem ser linearizadas podese utilizar a transformada de Laplace para simplificar o método de solução Na prática a complexidade dos sistemas e o desconhecimento de todos os fatores pertinentes requerem a introdução de hipóteses relativas à sua operação Assim freqüentemente será útil considerar o sistema físico elaborar algumas hipóteses necessárias e linearizar o sistema Em seguida usando as leis físicas que descrevem o sistema linear equivalente podese obter um con formada de Laplace obtémse uma solução que descreve a operação do sistema Em resumo a abordagem aos problemas de sistemas dinâmicos pode ser listada como a seguir 1 Definir o sistema e seus componentes 2 Formular o modelo matemático e listar as hipóteses necessárias 3 Escrever as equações diferenciais que descrevem o modelo 4 Resolver as equações em função das variáveis de saída desejáveis 5 Examinar as soluções e as hipóteses 6 Se necessário reanalisar ou reprojetar o sistema 22 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SISTEMAS FÍSICOS As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema físico são obtidas utilizandose as leis físicas do processo 13 Esta abordagem se aplica igualmente bem a sistemas mecânicos 1 elétricos 3 fluidos e termodinâmicos 4 Considerese o sistema de torção molamassa na Fig 21 com o torque Tat Suponhase que o elemento mola de torção seja desprovido de massa Suponhase que se deseja medir o torque Tst transmitido à massa m Como a mola é desprovida de massa a soma dos torques que agem sobre a mola propriamente dita deve ser igual a zero ou seja Tat Tst 0 que implica em Tst Tat Constatase imediatamente que o torque externo Tat aplicado à extremidade da mola é transmitido através da mola de torção Por causa disto referese ao torque como uma variávelthrough De modo semelhante a diferença de velocidade angular associada ao elemento mola de torção é ωt ωst ωat Assim a diferença de velocidade angular é medida sobre o elemento mola de torção e é citada como uma variávelsobre Estes mesmos tipos de argumento podem ser aplicados à maioria das variáveis físicas mais comuns tais como força corrente volume vazão etc Uma discussão mais completa a respeito de variáveis através e sobre pode ser encontrada em 30 A Tabela 21 5 fornece um resumo de variáveis através e sobre de sistemas dinâmicos O Sistema Internacional SI de unidades é Fig 21 a Sistema de torção molamassa b Elemento mola TABELA 21 Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físicos Sistema Variável de Elemento Através Variável Através Integrada Variável de Elemento Sobre Variável Sobre Integrada Elétrico Corrente i Carga q Diferença de Tensão v21 Enlace de fluxo λ21 Mecânico em translação Força F Quantidade de movimento P Diferença de velocidade v21 Diferença de deslocamento y21 Mecânico em rotação Torque T Momento cinético h Diferença de velocidade angular ω21 Diferença de deslocamento angular θ21 Fluido Vazão volumétrica Q Volume V Diferença de pressão P21 Momento de pressão γ21 Térmico Fluxo térmico q Energia térmica H Diferença de temperatura T21 TABELA 22 Sistema Internacional de Unidades SI Unidade Símbolo Unidades Básicas Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Temperatura kelvin K Corrente elétrica ampère A Unidades Derivadas Velocidade metros por segundo ms Área metro quadrado m² Força newton N kgms² Torque quilôgrametro kgm Pressão pascal Pa Energia joule J Nm Potência watt W Js fornecido na Tabela 22 A Tabela 23 facilita a conversão de outros sistemas de unidades para o SI A Tabela 24 5 fornece um resumo de equações que descrevem elementos dinâmicos lineares a parâmetros concentrados As equações na Tabela 24 correspondem a descrições idealizadas e apenas aproximadas das condições reais por exemplo quando uma aproximação linear a parâmetros concentrados for utilizada para descrever um elemento a parâmetros distribuídos Nomenclatura Variávelatravés F força T torque i corrente Q vazão volumétrica de fluido q fluxo térmico Variávelsobre v velocidade de translação ω velocidade angular v tensão elétrica P pressão T temperatura Armazenamento indutivo L indutância 1k inverso da rigidez à translação ou à rotação I inertância fluida Armazenamento capacitivo C capacitância M massa J momento de inércia Cf capacitância fluida Ct capacitância térmica Dissipadores de energia R resistência b atrito viscoso Rf resistência fluida Rt resistência térmica TABELA 23 Fatores de Conversão para o Sistema Internacional de Unidades SI De Multiplicar por Para Obter Comprimento polegadas 254 milímetros pés 3048 centímetros Velocidade milhas por hora 04470 metros por segundo Massa libras 04536 quilogramas Força librasforça 4448 newtons Torque libraspé 01383 quilográmetro Potência HPhorsepower 746 watts Energia BTU British Thermal Unit 1055 joules quilowatthora 36 x 106 joules TABELA 24 Resumo das Equações Diferenciais que Descrevem os Elementos Ideais Tipo de Elemento Elemento Físico Equação de Descrição Energia E ou Potência P Símbolo Indutância elétrica v₂₁ L didt E 12 Li² Mola em translação v₂₁ 1k dFdt E 12 F²k Mola em rotação ω₂₁ 1k dTdt E 12 T²k Inércia fluida P₂₁ I dQdt E 12 IQ² Capacitância elétrica i C dv₂₁dt E 12 Cv₂₁² Massa em translação F M dv₂dt E 12 Mv₂² constante Armazenamento capacitivo Massa em rotação T J dω₂dt E 12 Jω₂² constante Capacitância fluida Q Cf dP₂₁dt E 12 Cf P₂₁² Capacitância térmica q Ct dT₂dt E Ct T₂ constante Resistência elétrica i 1R v₂₁ P 1R v₂₁² Amortecimento em translação F bv₂₁ P b v₂₁² Amortecimento em rotação T bω₂₁ P b ω₂₁² Resistência fluida Q 1Rf P₂₁ P 1Rf P₂₁² Resistência térmica q 1Rt T₂ P 1Rt T₂ Tensão elétrica vt O símbolo vt é utilizado para designar tanto a tensão em circuitos elétricos como a velocidade em sistemas mecânicos em translação e a diferença será estabelecida de acordo com o contexto de cada equação diferencial Para os sistemas mecânicos se utilizam as leis de Newton e para os sistemas elétricos a lei de Kirchhoff das tensões Por exemplo o sistema mecânico simples molamassaamortecedor mostrado na Fig22a é descrito através da segunda lei de Newton para o movimento Este sistema poderia representar por exemplo a suspensão de um automóvel O diagrama de corpo livre da massa M está mostrado na Fig 22b Neste exemplo molamassaamortecedor o atrito com as paredes foi modelado como amortecimento viscoso ou seja a força de atrito é linearmente proporcional à velocidade da massa Na realidade a força de atrito pode se comportar de uma forma mais complicada Por exemplo o atrito com as paredes pode se comportar como um amortecimento Fig 22 a Sistema molamassaamortecedor b Diagrama de corpo livre de coulomb O atrito de Coulomb também conhecido como atrito seco é uma função nãolinear da velocidade da massa e possui uma descontinuidade em torno da velocidade nula Para uma superfície bem lubrificada deslizante o uso do atrito viscoso é apropriado e será utilizado aqui e nos exemplos massamolaamortecedor subseqüentes Adicionandose as forças aplicadas sobre M e utilizandose a segunda lei de Newton resulta M d²ytdt² b dytdt kyt rt 21 onde k é a constante de mola de uma mola ideal e b é a constante de atrito viscoso A Eq 21 é uma equação diferencial linear de segunda ordem a coeficientes constantes Alternativamente podese descrever o circuito elétrico RLC da Fig 23 utilizandose a lei de Kirchhoff das correntes Obtémse então a seguinte equação integrodiferencial vtR C dvtdt 1L ₀ᵗ vt dt rt 22 Fig 23 Circuito RLC A solução da equação diferencial que descreve o processo pode ser obtida através de métodos clássicos tais como o uso dos fatores de integração e o método dos coeficientes a determinar 1 Por exemplo ao deslocar a massa inicialmente de uma distância yt y0 e depois abandonála livremente a resposta dinâmica de um sistema subamortecido é representada por uma equação do tipo yt K₁eᵅ¹ᵗ sen β₁t θ₁ 23 Uma solução semelhante é obtida para a tensão do circuito RLC quando o circuito for submetido a uma corrente constante rt 1 O valor da tensão é então vt K₂eᵅ²ᵗ cos β₂t θ₂ 24 Uma curva de tensão típica de um circuito RLC subamortecido é mostrada na Fig 24 A fim de mostrar de forma mais ampla a grande semelhança entre as equações diferenciais para os sistemas mecânico e elétrico a Eq 21 será reescrita em função da velocidade vt dytdt Temse então M ddt vt b vt k ₀ᵗ vt dt rt 25 Constatase imediatamente a equivalência das Eqs 25 e 22 onde a velocidade vt e a tensão elétrica vt são variáveis equivalentes usualmente chamadas variáveis análogas e os sistemas são sistemas análogos Em conseqüência a solução para a velocidade é semelhante à Eq 24 e a res posta para um sistema subamortecido é mostrada na Fig 24 O conceito de sistemas análogos é uma técnica muito útil e poderosa para a modelagem de sistemas A analogia tensão elétricavelocidade freqüentemente chamada analogia forçacorrente é uma analogia natural porque ela relaciona a analogia entre variáveis através e sobre de sistemas elétricos e de sistemas mecânicos Contudo uma outra analogia que relaciona as variáveis velocidade e corrente elétrica é bastante usada e é chamada analogia forçatensão elétrica 22 24 Existem modelos análogos com soluções semelhantes para sistemas elétricos mecânicos térmicos e fluidos A existência de sistemas e de soluções análogos dotam o analista da capacidade de estender a solução de um sistema a todos os sistemas análogos descritos através das mesmas equações diferenciais Assim o que se aprende acerca da análise e do projeto de sistemas elétricos é imediatamente estendido à compreensão de sistemas fluidos térmicos e mecânicos 23 APROXIMAÇÕES LINEARES DE SISTEMAS FÍSICOS Uma grande maioria de sistemas físicos são lineares dentro de uma certa gama de valores das variáveis Contudo todos os sistemas se tornam em última análise nãolineares à medida que os valores das variáveis crescem sem limites Por exemplo o sistema molamassaamortecedor da Fig 22 é linear e descrito pela Eq 21 enquanto a massa for submetida a pequenos deslocamentos yt Assim se o valor de yt for aumentado continuamente a mola poderia se distender demasiadamente e quebrar Em conseqüência a questão da linearidade e do domínio de aplicabilidade desta hipótese devem ser consideradas para cada sistema Um sistema é definido como linear em termos de excitação e da resposta do sistema No caso do circuito elétrico a excitação é a corrente de entrada rt e a resposta é a tensão elétrica vt Em geral uma condição necessária para um sistema ser linear pode ser determinada em função de uma excitação xt e de uma resposta yt Quando o sistema em repouso for submetido a uma excitação x₁t produzirá uma resposta y₁t Além disto quando o sistema for submetido a uma excitação x₂t produzirá uma resposta correspondente y₂t Para um sistema linear é necessário que a excitação x₁t x₂t produza uma resposta y₁t y₂t Isto é chamado usualmente o princípio da superposição Além disto é necessário que a magnitude do fator de escala seja preservada em um sistema linear Considerese novamente um sistema com uma entrada x que resulta em uma saída y Então é necessário que a resposta de um sistema linear a uma entrada x multiplicada por uma constante β seja igual à resposta y multiplicada pela mesma constante de modo que a saída seja βy Esta é a chamada propriedade da homogeneidade Um sistema linear satisfaz as propriedades de superposição e homogeneidade Um segundo sistema caracterizado pela relação y x² não é linear porque a propriedade da superposição não é satisfeita Um sistema representado pela relação y mx b não é linear porque não satisfaz a propriedade da homogeneidade Contudo este segundo dispositivo pode ser considerado linear em torno de um ponto de operação x₀ y₀ para pequenas variações Δx e Δy Quando x x₀ Δx e y y₀ Δy temse y mx b ou y₀ Δy mx₀ m Δx b e por conseguinte Δy mΔx que satisfaz as condições necessárias Podese admitir a linearidade de muitos elementos mecânicos e elétricos sobre um domínio razoavelmente amplo de valores das variáveis 7 Este não é usualmente o caso de elementos térmicos e fluidos que são mais frequentemente nãolineares em sua essência Felizmente contudo os elementos nãolineares são frequentemente linearizados admitindose condições de pequeno sinal Esta é a abordagem normal usada para obter um circuito linear equivalente de circuitos eletrônicos e transistores Considerese um elemento genérico com uma variável de excitação xt do tipo através e a variável de resposta yt do tipo sobre Diversos exemplos de variáveis de sistemas dinâmicos são dados na Tabela 21 A relação entre as duas variáveis pode ser escrita como yt gxt 26 onde gxt indica que yt é uma função de xt O ponto de operação normal é designado por x0 Como a curva função é contínua sobre a faixa de interesse podese utilizar uma expansão em série de Taylor em torno do ponto de operação 7 Temse então y gx gx0 dgdx xx0 xx01 d2gdx2 xx0 xx02 2 27 A inclinação da curva no ponto de operação dgdx xx0 é uma boa aproximação da curva sobre uma pequena faixa de valores de xx0 o desvio em torno do ponto de operação Assim como uma aproximação razoável e Eq 27 se torna y gx0 dgdx xx0 xx0 y0 mxx0 28 onde m é a inclinação da curva no ponto de operação Finalmente a Eq 28 pode ser reescrita como a equação linear y y0 mx x0 ou Δy m Δx 29 Considerese o caso de uma massa M apoiada sobre uma mola nãolinear como mostrado na Fig 25a O ponto normal de operação é a posição de equilíbrio que ocorre quando a força da mola equilibra a força gravitacional Mg onde g é a aceleração da gravidade Assim f0 Mg como está mostrado Para a mola nãolinear com f y2 a posição de equilíbrio é y0 Mg12 O modelo linear para pequenos desvios é Δf m Δy onde m dfdy y0 como mostrado na Fig 25b Assim m 2y0 Uma aproximação linear é igualmente precisa uma vez que a hipótese de pequenos sinais é aplicável ao problema específico Se a variável dependente y depender de diversas variáveis de excitação x1 x2 xn então a relação funcional é escrita como y gx1 x2 xn 210 A expansão em série de Taylor em torno do ponto de operação x10 x20 xn0 é útil para se obter uma aproximação linear da função nãolinear Quando os termos de ordem mais alta são desprezados a aproximação linear é escrita como y gx10 x20 xn0 gx1 xx0 x1 x10 gx2 xx0 x2 x20 gxn xx0 xn xn0 211 onde x0 é o ponto de operação Um exemplo irá ilustrar claramente a utilidade deste método EXEMPLO 21 Modelo do oscilador tipo pêndulo Considerese o oscilador tipo pêndulo mostrado na Fig 26a O torque aplicado à massa é T MgL sen θ 212 onde g é a aceleração da gravidade A condição de equilíbrio para a massa é θ0 0 A relação nãolinear entre T e θ está mostrada graficamente na Fig 26 b A primeira derivada calculada no ponto de equilíbrio fornece a aproximação linear que é T T0 MgL sen θθ θθ0 θ θ0 onde T0 0 Temse então T MgLcos 0θ 0 MgLθ 213 Esta aproximação é razoavelmente exata para π4 θ π4 Por exemplo a resposta do modelo linear para uma oscilação de 30 é a mesma da resposta do pêndulo real nãolinear a menos de um erro de 2 A transformada de Laplace existe para as equações diferenciais lineares para as quais a integral de transformação converge Por conseguinte para que exista a transformada de ft é suficiente que 0 ft eσ1 t dt para algum valor real positivo σ11 Se a magnitude de ft for ft Meαt para todos os valores positivos de t a integral convergir á para σ1 α A região de convergência é por conseguinte dada por σ1 α e σ1 é conhecida como a abscissa de convergência Sinais que sejam fisicamente realizáveis sempre possuem a transformada de Laplace A transformação de Laplace para uma função do tempo ft é Fs 0 ft est dt L ft 214 A transformada de Laplace inversa é escrita como ft 12πj σj σj Fsest ds 215 As integrais de transformação têm sido usadas para deduzir tabelas de transformadas de Laplace que são usadas comumente para a grande maioria de problemas Uma tabela de transformadas de Laplace é fornecida no Apêndice A e alguns pares importantes de transformadas de Laplace são dados na Tabela 25 Alternativamente a variável s de Laplace pode ser considerada o operador diferencial tal que s ddt 216 Além disto podese ter o operador integral 1s 0t dt 217 A transformação de Laplace inversa é usualmente obtida utilizandose a expansão em frações parciais de Heaviside Esta abordagem é particularmente útil na análise e no projeto de sistemas porque se pode observar claramente o efeito de cada raiz característica ou autovalor TABELA 25 Pares de Transformada de Laplace Importantes ft Fs Função degrau ut 1s eat 1sa sen ωt ωs2 ω2 cos ωt ss2 ω2 eat ft Fsa tn nsn1 fkt dk ftdtk sk Fs sk1f0 sk2 f0 fk10 t ft dt Fss 1s t ft dt Função impulso δt 1 Para ilustrar a utilidade da transformação de Laplace e os passos envolvidos na análise do sistema reconsiderese o sistema molamassaamortecedor descrito pela Eq 21 qual seja M d2ydt2 b dydt ky rt Desejase obter a resposta y como uma função do tempo A transformada de Laplace da Eq 218 é Ms2Ys sy0 dy0dt bsYs y0 kYs Rs Quando rt 0 e y0 y0 e dydt t0 0 temse Ms2Ys Msy0 bsYs by0 kYs 0 Resolvendose para Ys obtémse Ys Ms by0 Ms2 bs k ps qs O polinômio em denominador qs quando igualado a zero é chamado de polinômio característico porque as raízes desta equação determinam o caráter da resposta temporal As raízes desta equação característica são também chamadas os pólos do sistema As raízes do polinômio em numerador ps são chamadas os zeros do sistema para exemplo s bM é um zero da Eq 221 Pólos e zeros constituem frequências críticas Nos pólos a função Ys se torna infinita enquanto que nos zeros a função se torna igual a zero O gráfico no plano s de frequências complexas de pólos e zeros esboça graficamente o caráter da resposta transitória natural do sistema Para um caso específico considerese o sistema onde kM 2 e bM 3 Então a Eq 221 se torna Ys s 3y0 s 1s 2 Os pólos e zeros de Ys no plano s estão mostrados na Fig 27 Expandindose a Eq 222 em frações parciais obtémse Ys k1 s 1 k2 s 2 onde k1 e k2 são os coeficientes da expansão Os coeficientes ki são chamados resíduos e são calculados multiplicandose a Eq 222 pelo fator em denominador de Ys correspondente a ki e fazendo s igual à raiz Calculando k1 quando y0 1 temse k1 s s1psqs s s1 s 1s 3s 1s 2 s 1 2 e k2 1 Alternativamente os resíduos de Ys nos respectivos pólos podem ser calculados graficamente a partir do diagrama de pólos e zeros no plano s uma vez que a Eq 224 pode ser escrita como k1 s 3 s 2 s s1 1 s1 3 s1 2 s1 1 2 A representação gráfica da Eq 225 está mostrada na Fig 28 O método gráfico de cálculo dos resíduos é particularmente valioso quando a ordem da equação característica for elevada e diversos pólos forem pares complexos conjugados A transformada de Laplace inversa da Eq 222 é então yt L1 2 s 1 L1 1 s 2 Usandose a Tabela 25 obtémse yt 2et 1e2t Por fim é normalmente desejado determinar o estado estacionário ou valor final da resposta yt Por exemplo a posição final ou de repouso em estado estacionário do sistema molamassaamortecedor poderia ser calculado O teorema do valor final estabelece que limt yt lims0 sYs onde é permitido um pólo simples de Ys na origem mas se excluem pólos sobre o eixo imaginário e no semiplano da direita e pólos múltiplos na origem Assim para o caso específico da mola massa e amortecedor temse limt yt lims0 sYs 0 Portanto a posição final para a massa é a posição normal de equilíbrio y 0 Para ilustrar claramente os pontos notáveis do método da transformada de Laplace seja reconsiderado o sistema massamolaamortecedor para o caso subamortecido A equação para Ys pode ser escrita como Ys s bMy0 s2 bMs kM s 2ζωny0 s2 2ζωn s ωn2 em que ζ é a relação de amortecimento adimensional e ωn é a frequência natural do sistema As raízes da equação característica são s1 s2 ζωn ωnζ2 1 onde neste caso ωn kM e ζ b2 kM Quando ζ 1 as raízes são reais quando ζ 1 as raízes são complexas e conjugadas Quando ζ 1 as raízes são repetidas e reais e a condição é chamada de amortecimento crítico Quando ζ 1 a resposta é subamortecida e s12 ζωn jωn1 ζ2 O diagrama de pólos e zeros de Ys no plano s é mostrado na Fig 29 onde θ cos1 ζ Quando ζ variar com o valor de ωn constante as raízes complexas conjugadas percorrerão um lugar circular como está mostrado na Fig 210 A resposta transitória se torna cada vez mais oscilatória à medida que as raízes se aproximam do eixo imaginário quando ζ tende a zero A transformada de Laplace inversa pode ser calculada usandose o cálculo gráfico de resíduos A expansão em frações parciais da Eq 230 é Ys k1 s s1 k2 s s2 Como s2 é o conjugado complexo de s1 o resíduo k2 é o conjugado complexo de k1 de modo que se obtém Ys k1 s s1 k1 s s1 onde o asterisco indica a relação de conjugado O resíduo k1 é calculado a partir da Fig 211 como k1 y0s1 2ζωn s1 s1 y0M1 ejθ M2 ejπ2 Em que M1 é a magnitude de s1 2ζωn e M2 é a magnitude de s1 s1 Neste caso obtémse k1 y0ωn ejθ 2ωn 1 ζ2 ejπ2 y0 21 ζ2 ejπ2 θ onde θ cos1 ζ Por conseguinte k2 y0 21 ζ2 ejπ2 θ Finalmente encontrase usando β 1 ζ2 yt k1 es1 t k2 es2 t y0 21 ζ2 ejθ π2 eζωn t ejωn β t ejπ2 θ eζωn t ejωn β t y0 1 ζ2 eζωn t sen ωn 1 ζ2 t θ A solução Eq 237 também pode ser obtida usandose o item 18 da Tabela A1 no Apêndice A As respostas transitórias para os casos superamortecido ζ 1 e subamortecido ζ 1 estão mostradas na Fig 212 A resposta transitória que ocorre quando ζ 1 apresenta uma oscilação cuja amplitude decresce com o tempo e que é chamada de oscilação amortecida A relação direta e clara entre a localização dos pólos no plano s e a forma da resposta transitória é interpretada diretamente a partir do diagrama de pólos e zeros no plano s Além disto a magnitude da resposta devida a cada uma das raízes representada pelo resíduo é visualizada claramente examinandose os resíduos gráficos no plano s A transformação de Laplace e a abordagem do plano s constituem técnicas muito úteis para a análise e o projeto de sistemas em que a ênfase é colocada no desempenho transitório e de estado estacionário Com efeito como o estudo de sistemas de controle diz respeito basicamente ao desempenho transitório e de regime permanente estado estacionário de sistemas dinâmicos temse um motivo real para apreciar o valor das técnicas da transformada de Laplace Em conseqüência a função de transferência é obtida através da relação V2sV1s que é Gs V2sV1s 1RCs 1 1τs 1 1τs 1τ onde τ RC é a constante de tempo do circuito O pólo simples de Gs é s 1τ A Eq 242 poderia ser obtida imediatamente se fosse observado que o circuito é um divisor de tensão no qual V2sV1s Z2sZ1s Z2s e Z1s R e Z2s 1Cs Um circuito elétrico multimilhas ou um sistema mecânico análogo multimassas resultam em um sistema de equações simultâneas na variável de Laplace É usualmente mais conveniente resolver equações simultâneas usando matrizes e determinantes 1316 Uma introdução a matrizes e determinantes é fornecida no Apêndice C Considerese o comportamento de longo prazo de um sistema e determinese a resposta a determinadas entradas que permanecem depois que os transitórios desaparecem Considerese o sistema dinâmico representado pela equação diferencial expressão da Eq 244 onde yt é a resposta e rt é a entrada ou função forçante Se as condições iniciais forem todas nulas então a função de transferência é Ys GsRs psqs Rs pn1 sn1 pn2 sn2 p0sn qn1 sn1 q0 Rs A resposta na saída consiste de uma resposta natural determinada pelas condições iniciais mais uma resposta forçada determinada pela entrada Temse agora Ys msqs psqs Rs onde qs 0 é a equação característica Se a entrada possuir uma forma racional do tipo Rs nsds então Ys msqs psqs nsds Y1s Y2s Y3s onde Y1s é a expansão em frações parciais da resposta natural Y2s é a expansão em frações parciais dos termos envolvendo fatores de qs e Y3s é a expansão em frações parciais dos termos envolvendo fatores de ds Tomandose a transformada de Laplace inversa resulta yt y1t y2t y3t A resposta transitória consiste de y1t y2t e a resposta em estado estacionário é y3t A transformada de Laplace conduz a s2 Ys sy0 4sYs y0 3Ys 2Rs Como Rs 1s e y0 1 obtémse Ys s 4s2 4s 3 2ss2 4s 3 Onde qs s2 4s 3 s 1s 3 0 é a equação característica e ds s Então a expansão em frações parciais conduz a Ys 32s 1 12s 3 1s 1 13s 3 23s Y1s Y2s Y3s Assim a resposta é yt 32 et 12 e3t 1 et 13 e3t 23 E a resposta em estado estacionário é limt yt 23 EXEMPLO 23 Função de transferência de sistema Considerese o sistema mecânico mostrado na Fig 214a e seu circuito elétrico análogo mostrado na Fig 214b O circuito elétrico é um análogo do tipo forçacorrente como assinalado na Tabela 21 As velocidades v1t e v2t do sistema mecânico são análogas diretamente às tensões dos nós v1t e v2t do circuito elétrico As equações simultâneas admitindose que as condições iniciais são nulas são M1 sV1s b1 b2V1s b1 V2s Rs M2 sV2s b1 V2s V1s ks V2s 0 Estas equações são obtidas usandose as equações de força para o sistema mecânico da Fig 214a Rearranjando as Eqs 247 e 248 obtémse M1 s b1 b2 V1s b1 V2s Rs b1 V1s M2 s b1 ks V2s 0 ou sob forma matricial resulta M1 s b1 b2 b1 b1 M2 s b1 ks V1s V2s Rs 0 Admitindose que a velocidade de M1 seja a variável de saída resolvese para V1s por meio de inversão de matrizes ou da regra de Cramer para obter 1 3 V1s M2s b1 ksRs M1s b1 b2M2s b1 ks b12 Então a função de transferência do sistema mecânico ou elétrico é Gs V1s Rs M2s b1 ks M1s b1 b2M2s b1 ks b12 M2s2 b1s k M1s b1 b2M2s2 b1s k b12s Se for desejada a função de transferência em termos da posição x1t temse então X1s Rs V1s sRs Gs s Como exemplo seja agora obter a função de transferência de um componente elétrico importante o motor de corrente contínua CC 8 Um motor CC é usado para mover cargas e é chamado de um atuador Um atuador é um dispositivo que fornece potência motriz ao processo Função de transferência de um motor CC O motor CC é um dispositivo atuador de potência que entrega energia a uma carga como está mostrado na Fig 215a um esboço de um motor CC está mostrado na Fig 215b Uma vista em corte de um motor CC do tipo panqueca é fornecida na Fig 216 O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua CC em energia mecânica rotativa Uma fração importante do torque gerado no rotor armadura do motor está disponível para acionar uma carga externa Devido a recursos tais como torque elevado possibilidade de controle de velocidade sobre uma ampla faixa de valores portabilidade característica velocidadetorque bem comportada e adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle os motores CC ainda são usados largamente em numerosas aplicações de controle incluindo manipuladores robóticos mecanismos de transporte de fitas acionadores de disco máquinasferramentas e atuadores de servoválvulas A função de transferência do motor CC será deduzida por meio de uma aproximação linear do motor real e os efeitos de segunda ordem como histerese e queda de tensão nas escovas serão desprezados A tensão de entrada pode ser aplicada aos terminais de campo ou de armadura O fluxo no entreferro do motor é proporcional à corrente de campo desde que o campo não esteja saturado ou seja φ Kf if Ímãs de campo em Alnico para relação potênciapeso elevada Escovas de vida longa Rolamentos com lubrificação permanente Carcaça de alumínio fundido para proteção ambiental completa Armadura sem ferro de baixa indutância Comutador usinado em cobre sólido para escovas de vida estendida Forma de disco rígido para integridade da armadura Condutores dos enrolamentos embutidos em epóxi fornecem alta rigidez dielétrica Ventilação forçada opcional para aumento de desempenho Eixos personalizados disponíveis para critérios de projeto críticos Forma plana para configurações compactas O torque desenvolvido pelo motor é admitido como sendo relacionado linearmente a φ e à corrente de armadura como a seguir Tm K1 φ iat K1 Kf ift iat É evidente a partir da Eq 254 que para ter um elemento linear uma das correntes deve ser mantida constante enquanto a outra se torna a corrente de entrada Primeiramente será considerado o motor controlado pela corrente de campo o qual fornece uma amplificação de potência substancial Temse então em notação de transformada de Laplace Tms K1 Kf Ia Ifs Km Ifs onde ia Ia é uma corrente de armadura constante e Km é definida como a constante do motor A corrente de campo se relaciona com a tensão de campo através de Vfs Rf Lf s Ifs O torque motor Tms é igual ao torque entregue à carga Esta relação pode ser expressa como Tms TLs Tds onde TLs é o torque na carga e Tds é o torque perturbador quase sempre desprezível Contudo muitas vezes o torque perturbador deve ser considerado em sistemas sujeitos a forças externas como as produzidas por rajadas de vento em antenas O torque de carga para inércias em rotação conforme está mostrado na Fig 215 é escrito como TLs J s2 θs b s θs Reagarranjando as Eqs 255 e 257 temse TLs Tms Tds Tms Km Ifs Ifs Vfs Rf Lf s Em consequência a função de transferência do conjunto motorcarga com Tds 0 é θsVfs Km sJ s bLf s Rf Km ss bJs RfLf O modelo em diagrama de blocos do motor CC controlado pelo campo está mostrado na Fig 217 Alternativamente a função de transferência pode ser escrita em termos das constantes de tempo do motor como sendo θsVfs Gs Km bRf sτf s 1τL s 1 onde τf LRf e τL Jb Encontrase que tipicamente τL τf e muitas vezes a constante de tempo do campo pode ser desprezada O motor CC controlado pela armadura utiliza uma corrente de campo constante e em consequência o torque motor é Tms K1 Kf If Ias Km Ias A corrente de armadura se relaciona com a tensão aplicada à armadura através da expressão Vas Ra La s Ias Vbs onde Vbs é a tensão devida à força contraeletromotriz proporcional à velocidade do motor Temse por conseguinte Vbs Kb ωs e a corrente de armadura é Ias Vas Kb ωs Ra La s As Eqs 258 e 259 representam o torque de carga e assim TLs J s2 θs b s θs Tms Tds As relações para o motor CC controlado pela armadura estão mostradas esquematicamente na Fig 218 Usando as Eqs 264 267 e 268 ou alternativamente o diagrama de blocos obtémse a função de transferência com Tds 0 Gs θsVas Km sRa La sJ s b Kb Km Km ss2 2 ζ ωn s ωn2 Contudo para muitos motores CC a constante de tempo da armadura τa LaRa pode ser desprezada e por conseguinte Gs θs Vas Km sRaJ s b Kb Km Km Ra b Kb Km sτ1 s 1 onde a constante de tempo equivalente τ1 Ra J Ra b Kb Km TABELA 26 Parâmetros Típicos de um Motor CC Fracionário em HP Constante do motor Km 50 x 103 N mA Inércia do rotor Jm 1 x 103 N m s2rad Constante de tempo do campo tf 1 ms Constante de campo do rotor τ 100 ms Potência máxima de saída 14 hp 187 W Fig 219 Faixa de valores de tempo de resposta de controle e de potência na carga para dispositivos eletromecânicos e eletrohidráulicos TABELA 27 Funções de Transferência de Elementos Dinâmicos e de Circuitos Elemento ou Sistema Gs 1 Circuito integrador filtro V2sV1s 1RCs 1 2 Circuito diferenciador V2sV1s RCsRCs 1 3 Circuito diferenciador V2sV1s s 1R1C s R1 R2R1R2C 4 Circuito de filtro de avançoatraso de fase V2sV1s 1 sτa1 sτb τaτbs2 τa τb τabs 1 1 sτa1 sτb1 sτ11 sτ2 τa R1C1 τb R2C2 τab R1C2 τ1τ2 τaτb τ1 τ2 τa τb τab 5 Motor CC controlado pelo campo atuador rotativo θsVfs Km sJs bLfs Rf 6 Motor CC controlado pela armadura atuador rotativo θsVas Km sRa LasJs b KbKm TABELA 27 Continuação Elemento ou Sistema Gs 7 Motor CA bifásico com enrolamento de controle atuador rotativo θsVcs Km sτs 1 τ Jb m m inclinação normalmente negativa da curva de torquevelocidade linearizada 8 Amplidina amplificador de tensão e de potência VosVcs KRc Rq sτc 1sτq 1 τc LcRc τq LqRq Para o caso de operação em vazio sem carga id 0 τc τq 005 s τc 05 s V12 Vq V34 Vd 9 Atuador hidráulico YsXs K sMs B K Akx kp B b A2 kp kx gx x0 kp gP P0 g gxP vazão A área do êmbolo 10 Trem de engrenagens transformador de rotação Relação de engrenagens n N1N2 N2θL N1θm θL nθm ωL nωm TABELA 27 Continuação Elemento ou Sistema Gs 11 Potenciômetro controle de tensão 12 Ponte potenciométrica para detecção de erro 13 Tacômetro sensor de velocidade 14 Amplificador CC 15 Acelerômetro sensor de aceleração TABELA 27 Continuação Elemento ou Sistema Gs 16 Sistema térmico de aquecimento 17 Cremalheira e pinhão Onde g gx P e x0 P0 é o ponto de operação A força desenvolvida pelo êmbolo do atuador é igual à área A do êmbolo multiplicada pela pressão P Esta força é aplicada à massa de modo que se tem Assim substituindose a Eq 271 na Eq 272 resulta Além disto a vazão volumétrica de fluido é relacionada ao movimento do êmbolo por Então substituindose a Eq 274 na Eq 273 e rearrumando os termos vem Assim usando a transformação de Laplace obtémse a função de transferência onde Observese que a função de transferência do atuador hidráulico é semelhante à do motor elétrico Além disto para um atuador operando em níveis de pressão elevada e requerendo resposta rápida no acionamento da carga o efeito da compressibilidade do fluido deve ser levado em conta 4 5 A Tabela B1 do Apêndice B fornece as unidades das variáveis no Sistema SI São incluídos também na Tabela B2 os fatores de conversão de unidades do Sistema Britânico para o SI O conceito e a abordagem de função de transferência é muito importante porque dota o analista e o projetista de um modelo matemático útil dos elementos do sistema A função de transferência será vista como um auxílio continuamente valioso no esforço de modelar sistemas dinâmicos A abordagem é particularmente útil porque os pólos e zeros da função de transferência no plano s representam a resposta transitória do sistema As funções de transferência de diversos elementos dinâmicos são dadas na Tabela 27 Em muitas situações de engenharia a transmissão do movimento de rotação de um eixo para outro constitui um requisito fundamental Por exemplo a potência de saída de um motor de automóvel é transferida para as rodas de tração por meio de uma caixa de mudanças e de um diferencial A caixa de engrenagens permite que o motorista escolha diferentes relações de transmissão dependendo da situação de tráfego enquanto o diferencial possui um valor fixo A velocidade do motor neste caso não é constante uma vez que está sob o controle do motorista Um outro exemplo é um conjunto de engrenagens que transfere a potência do eixo de um motor elétrico para o eixo de uma antena rotativa São exemplos de conversores mecânicos as engrenagens as correntes e as correias de acionamento Um conversor elétrico comumete usado é o transformador Um exemplo do dispositivo que converte movimento de rotação em movimento linear é o conjunto de engrenagens pinhãocremalheira mostrado no número 17 na Tabela 27 26 MODELOS EM DIAGRAMAS DE BLOCOS Os sistemas dinâmicos que abrangem os sistemas de controle automático são representados matematicamente por um conjunto de equações diferenciais simultâneas Como foi observado nas seções anteriores a introdução da transformação de Laplace reduz o problema à solução de um conjunto de equações algébricas lineares Como os sistemas de controle dizem respeito ao controle de variáveis específicas isto requer a interrelação entre as variáveis controladas e as variáveis de controle Esta relação é representada tipicamente pela função de transferência do subsistema que relaciona as variáveis de entrada e de saída Em conseqüência podese admitir corretamente que a função de transferência é uma relação importante para o engenheiro de controle A importância da relação causa e efeito da função de transferência é evidenciada pela facilidade de representar a relação entre as variáveis do sistema através de diagramas A representação das relações de sistemas em diagrama de blocos é predominante na engenharia de sistemas de controle Os diagramas de blocos consistem de blocos operacionais unidirecionais que representam a função de transferência entre as variáveis de interesse Um diagrama de blocos de motor CC e carga controlado pelo campo está mostrado na Fig 220 A relação entre o deslocamento θs e a tensão de entrada Vfs é retratada claramente pelo diagrama de blocos Para representar um sistema com várias variáveis sob controle utilizase uma interconexão de blocos Por exemplo o sistema mostrado na Fig 221 possui duas variáveis de entrada e duas variáveis de saída 6 Usando as relações de função de transferência podese escrever as equações simultâneas para as variáveis de saída como sendo onde Gijs é a função de transferência relacionando a iésima variável de saída com a jésima variável de entrada O diagrama de blocos representando este conjunto de equações está mostrado na Fig 222 Em geral para J entradas e I saídas escrevemse as equações simultâneas sob forma matricial como sendo Fig 221 Representação em diagrama de blocos genérico de um sistema com duas entradas e duas saídas Fig 222 Diagrama de blocos de um sistema interconectado ou simplesmente Y GR Aqui as matrizes Y e R são matrizes coluna contendo as I variáveis de saída e as J variáveis de entrada respectivamente e G é uma matriz função de transferência de I por J A representação matricial da interrelação entre diversas variáveis é particularmente útil em sistemas de controle complexos multivariáveis Uma introdução à álgebra matricial é fornecida no Apêndice C para os que não estejam familiarizados com esta disciplina ou para aqueles que considerem útil uma revisão sobre o assunto A representação em diagrama de blocos de um dado sistema pode muitas vezes ser reduzida a um diagrama com um número menor de blocos que o diagrama original por meio das técnicas de redução Como as funções de transferência representam sistemas lineares e invariantes no tempo a multiplicação é comutativa Portanto como na posição 1 da Tabela 28 temse X3s G2sX2s G1sG2sX1s Quando dois blocos são conectados em cascata como na posição 1 da Tabela 28 admitese que X3s G2sG1sX1s permanece verdadeiro Isto pressupõe que ao conectar o primeiro bloco com o segundo o efeito de carga deste sobre o primeiro bloco é desprezível Podem ocorrer o carregamento e a interação entre componentes ou sistemas interconectados Se de fato ocorrer o carregamento entre dispositivos interconectados o engenheiro deve considerar esta mudança na função de transferência e utilizar a função de transferência corrigida nos cálculos subsequentes As transformações dos diagramas de blocos e as técnicas de redução são deduzidas considerandose a álgebra com as variáveis do diagrama Por exemplo considerese o diagrama de blocos mostrado na Fig 223 Este sistema de controle com retroação negativa está descrito pela equação relativa ao sinal atuante Eas Rs Bs Rs HsYs Como a resposta se relaciona com o sinal atuante através de Gs temse Ys GsEas e portanto Ys GsRs HsYs Resolvendo em termos de Ys resulta Ys1 GsHs GsRs Por conseguinte a função de transferência relacionando a saída Ys à entrada Rs é YsRs Gs1 GsHs Esta função de transferência a malha fechada é particularmente importante porque representa muitos dos sistemas de controle práticos existentes TABELA 28 Transformações com Diagrama de Blocos Transformação Diagrama Original Diagrama Equivalente 1 Combinando blocos em cascata X1 G1s X2 G2s X3 X1 G1G2 X3 ou X1 G2G1 X3 2 Deslocando para a frente um ponto de soma situado atrás de um bloco X1 X3 X1 X3 G G X2 X2 3 Deslocando para trás um ponto de derivação situado à frente de um bloco X1 G X2 X1 G X2 X2 G X2 4 Deslocando para a frente um ponto de derivação situado atrás de um bloco X1 G X2 X1 G X2 X1 1G X1 5 Deslocando para trás um ponto de soma situado à frente de um bloco X1 X3 X1 X3 G G X2 1G X2 6 Eliminando um laço de retroação X1 X2 X1 G1 GH X2 H Fig 223 Sistema de controle com retroação negativa A redução do diagrama de blocos mostrado na Fig 223 a uma representação com um único bloco é um exemplo de diversas reduções de diagramas de blocos úteis Estas transformações de diagramas são fornecidas na Tabela 28 Todas as transformações na Tabela 28 podem ser deduzidas através de manipulações algébricas simples das equações que representam os blocos A análise de sistemas pelo método da redução de diagrama de blocos propicia uma compreensão da contribuição de cada elemento componente melhor do que a que é possível obter através da manipulação das equações A utilidade das transformações de diagramas de blocos será ilustrada através de um exemplo usando a redução de diagrama de blocos EXEMPLO 26 Redução de diagrama de blocos O diagrama de blocos de um sistema de controle multimialhas com retroação está mostrado na Fig 224 É interessante observar que o sinal de retroação H1sYs é um sinal de retroação positiva e a malha G3sG4sH1s é chamada de laço com retroação positiva O procedimento de redução do diagrama de blocos se baseia na utilização da regra 6 na Tabela 28 a qual elimina os laços de retroação Em consequência as outras transformações são usadas para colocar o diagrama em uma forma pronta para a eliminação dos laços de retroação Primeiramente para eliminar o laço G3G4H1 deslocase H2 para depois do bloco G4 usando a regra 4 e obtendose assim a Fig 225a Eliminandose o laço G3G4H1 com o uso da regra 6 obtémse a Fig 225b Em seguida eliminandose o laço interno contendo H2G4 obtémse a Fig 225c Finalmente reduzindose o laço contendo H3 obtémse a função de transferência a malha fechada do sistema como está mostrado na Fig 225d Vale a pena examinar a forma do numerador e do denominador desta função de transferência a malha fechada Observase que o numerador é composto da função de transferência em cascata dos elementos do canal de atuação à frente feedforward conectando a entrada Rs à saída Ys O denominador é composto de 1 menos a soma de cada uma das funções de transferência de laço O sinal do laço G3G4H1 Fig 224 Sistema de controle com retroação com laços múltiplos Fig 225 Redução do diagrama de blocos do sistema da Fig 224 é mais porque se trata de um laço de retroação positiva enquanto os laços G1G2G3G4H3 e G2G3H2 são laços de retroação negativa Para ilustrar este ponto o denominador pode ser reescrito como qs 1 G3G4H1 G2G3H2 G1G2G3G4H3 286 Esta forma do numerador e do denominador é bastante próxima da forma geral de sistemas multimailhas com retroação como será encontrado na seção a seguir A representação em diagrama de blocos de sistemas de controle com retroação é uma abordagem valiosa e largamente usada O diagrama de blocos fornece ao analista uma representação gráfica das interrelações entre as variáveis controlada e de entrada Além disto o projetista pode visualizar prontamente as possibilidades de adicionar blocos a um diagrama de blocos de um sistema existente de modo a alterar e melhorar o seu desempenho A transição do método de diagrama de blocos para um método que utiliza uma representação por meio de arcos orientados em vez de blocos é conseguida prontamente e será apresentada na próxima seção 27 MODELOS EM DIAGRAMAS DE FLUXO DE SINAL Os diagramas de blocos são adequados para a representação das interrelações entre variáveis controlada e de entrada Contudo para um sistema com interrelações razoavelmente complexas o procedimento de redução do diagrama de blocos é trabalhoso e quase sempre bastante difícil de concluir Um método alternativo para se determinar a relação entre variáveis de um sistema foi desenvolvido por Mason e é baseado em uma representação do sistema por meio de segmentos de arcos 4 25 A vantagem do método do percurso de arcos chamado de método do diagrama de fluxo de sinal é a disponibilidade de uma fórmula para obter o ganho de um diagrama de fluxo a qual fornece a relação entre variáveis do sistema sem requerer qualquer redução ou manipulação do diagrama de fluxo A transição de uma representação em diagrama de blocos para uma representação através de arcos orientados é fácil de obter reconsiderandose os sistemas da seção anterior Um diagrama de fluxo é um gráfico formado de nós conectados através de arcos orientados e constitui uma representação gráfica de um conjunto de relações lineares Os diagramas de fluxo são particularmente úteis nos sistemas de controle com retroação uma vez que a teoria da retroação está fundamentalmente relacionada com o fluxo e o processamento de sinais em sistemas O elemento básico de um diagrama de fluxo de sinal é um segmento de percurso unidirecional chamado ramo que relaciona a dependência de uma variável de entrada e de uma variável de saída de um modo equivalente a um bloco do diagrama de blocos Assim o ramo que relaciona a saída de um motor CC θs à tensão de campo Vfs é semelhante ao diagrama de blocos da Fig 220 e está mostrado na Fig 226 Os pontos de entrada e saída ou junções são chamados de nós De modo semelhante o diagrama de fluxo de sinal representando as Eqs 277 e 278 e a Fig 222 está mostrado na Fig 227 A relação entre as variáveis é escrita próxima do arco direcional Todos os ramos que saem de um nó passam unidirecionalmente o sinal nodal ao nó de saída de cada um dos ramos A soma de todos os sinais que entram em um nó é igual à variável deste nó Um percurso é um ramo ou uma sequência contínua de ramos que podem ser atravessados de um sinal nó a outro sinal nó Um laço é um percurso fechado que se origina e termina em um mesmo nó de modo que ao longo do percurso nenhum nó seja encontrado duas vezes Dois laços são ditos disjuntos quando não possuírem um nó comum Dois laços que se tocam nãodisjuntos compartilham um ou mais nós comuns Em consequência reconsiderando a Fig 227 obtémse Y1s G11sR1s G12sR2s 287 Y2s G21sR1s G22sR2s 288 Fig 226 Diagrama de fluxo de sinal do motor CC Fig 227 Diagrama de fluxo de um sistema interconectado O diagrama de fluxo de sinal é simplesmente um método pictográfico de se escrever um sistema de equações algébricas de modo a indicar a interdependência das variáveis Como um outro exemplo considerese o seguinte conjunto de equações algébricas simultâneas a11x1 a12x2 r1 x1 289 a21x1 a22x2 r2 x2 290 As duas variáveis de entrada são r1 e r2 e as variáveis de saída são x1 e x2 Um diagrama de fluxo de sinal representando as Eqs 289 e 290 está mostrado na Fig 228 As Eqs 289 e 290 podem ser reescritas como x11 a11 x2 a12 r1 291 x1 a21 x21 a22 r2 292 A solução simultânea das Eqs 291 e 292 usando os resultados da regra de Cramer resulta nas soluções x1 1 a22r1 a12r21 a111 a22 a12a21 1 a22Δ r1 a12Δ r2 293 x2 1 a11r2 a21r11 a111 a22 a12a21 1 a11Δ r2 a21Δ r1 294 O denominador da solução é o determinante Δ do conjunto de equações e é reescrito como Δ 1 a111 a22 a12a21 1 a11 a22 a11a22 a12a21 295 Neste caso o denominador é igual a 1 menos cada uma das malhas próprias a11 a22 e a12a21 mais o produto de dois laços disjuntos a11 e a22 Os laços a22 e a21a12 se tocam bem como os laços a11 e a21a12 O numerador para x1 com a entrada r1 é 1 vez 1 a22 que é o valor de Δ que não toca o percurso 1 de r1 a x1 Em consequência o numerador de r2 para x1 é simplesmente a12 porque o percurso através de a12 toca todos os laços O numerador para x2 é o simétrico ao de x1 Em geral a dependência linear Tij entre a variável independente xi chamada usualmente de variável de entrada e uma variável dependente xj é dada pela fórmula de Mason para o ganho do diagrama de fluxo 11 12 Tij Σk Pijk ΔijkΔ 296 onde Pijk késimo percurso entre a variável xi e a variável xj Δ determinante do diagrama Δijk cofator do percurso Pijk e o somatório é feito para todos os k percursos possíveis entre xi e xj O cofator Δijk é o determinante com todos os laços que tocam o percurso k removidos O determinante Δ é Δ 1 Σn1N Ln Σm1q1MQ LmLq ΣLrLsLt 297 onde Lq é igual ao valor da transmitância do qésimo laço Portanto a regra para calcular Δ em termos dos laços L1 L2 L3 LN é Δ 1 soma de todos os ganhos de malhas distintas soma dos produtos de ganhos de todas as combinações de malhas disjuntas 2 a 2 soma dos produtos de ganhos de todas as combinações de malhas disjuntas 3 a 3 Fig 228 Diagrama de fluxo de sinal de duas equações algébricas A fórmula do ganho é usada freqüentemente para relacionar a variável de saída Ys à variável de entrada Rs e é dada sob a forma um tanto simplificada T ΣkPk ΔkΔ 298 onde Ts YsRs O ganho de percurso ou transmitância Pk ou Pijk é definido como a sucessão contínua de ramos que são atravessados no sentido das setas e com nenhum dos nós encontrados mais de uma vez Um laço é definido como um percurso fechado no qual nenhum nó é encontrado mais de uma vez por passagem Diversos exemplos ilustrarão a utilidade e a facilidade deste método Embora a equação de ganho 296 pareça assustadora deve ser lembrado que ela representa um processo de representação resumida e não um processo complicado de solução EXEMPLO 27 Função de transferência de sistema interativo Um diagrama de fluxo de sinal com dois percursos está mostrado na Fig 229 Um exemplo de sistema de controle com múltiplos percursos de sinal é o de um robô com diversas pernas Os percursos conectando a entrada Rs e a saída Ys são percurso 1 P1 G1G2G3G4 e percurso 2 P2 G5G6G7G8 Fig 229 Sistema interativo com dois percursos Há quatro malhas próprias L1 G2H2 L2 H3G3 L3 G6H6 L4 G7H7 Os laços L1 e L2 não tocam L3 e L4 Em conseqüência o determinante é Δ 1 L1 L2 L3 L4 L1L3 L1L4 L2L3 L2L4 299 O cofator do determinante ao longo do percurso 1 é calculado a partir de Δ removendose os laços que tocam o percurso 1 Assim vem L1 L2 0 e Δ1 1 L3 L4 De modo semelhante o cofator para o percurso 2 é Δ2 1 L1 L2 Portanto a função de transferência do sistema é YsRs Ts P1Δ1 P2Δ2Δ 2100 G1G2G3G41 L3 L4 G5G6G7G81 L1 L21 L1 L2 L3 L4 L1L3 L1L4 L2L3 L2L4 EXEMPLO 28 Motor controlado pela armadura O diagrama de blocos do motor CC controlado pela armadura está mostrado na Fig 218 Este diagrama foi obtido a partir das Eqs 264268 O diagrama de fluxo de sinal pode ser obtido seja a partir das Eqs 264268 seja a partir do diagrama de blocos e está mostrado na Fig 230 Usan Fig 230 Diagrama de fluxo de sinal do motor CC controlado pela armadura do a fórmula de Mason do ganho do diagrama de fluxo de sinal seja obter a função de transferência θsVₐs com Tds 0 O percurso direto é P₁s que toca o único laço L₁s onde P₁s 1s G₁sG₂s e L₁s Kb G₁sG₂s Portanto a função de transferência é Ts P₁s 1 L₁s 1sG₁sG₂s 1 Kb G₁sG₂s Kₘ sRₐ LₐsJs b KₐKₘ Que é exatamente a expressão deduzida anteriormente Eq 269 A fórmula do ganho do diagrama de fluxo de sinal fornece uma abordagem razoavelmente direta para o cálculo de sistemas complicados Para comparar o método com o da redução do diagrama de blocos que não é na realidade muito mais difícil reconsiderese o sistema complexo do Exemplo 26 EXEMPLO 29 Função de transferência de sistema com laços múltiplos Um sistema com laços múltiplos de retroação está mostrado na Fig 224 sob a forma de diagrama de blocos Não há razão alguma para se redesenhar o diagrama sob a forma de diagrama de fluxo de sinal e portanto se prosseguirá como de hábito no uso da fórmula de Mason Eq 298 Há um percurso direto P₁ G₁G₂G₃G₄ Os laços de retroação são L₁ G₂G₃H₂ L₂ G₃G₄H₁ L₃ G₁G₂G₃H₃ 2101 Todos os laços possuem nós comuns e portanto são todos nãodisjuntos Além disto o percurso P₁ toca todos os laços assim Δ₁ 1 Por conseguinte a função de transferência a malha fechada é Ts YsRs P₁Δ₁ 1 L₁ L₂ L₃ 2102 G₁G₂G₃G₄ 1 G₂G₃H₂ G₃G₄H₁ G₁G₂G₃G₄H₃ EXEMPLO 210 Função de transferência de sistema complexo Será considerado finalmente um sistema razoavelmente complexo que seria difícil reduzir por meio das técnicas de diagrama de blocos Um sistema com diversos laços de retroação e percursos de ação à frente está mostrado na Fig 231 Os percursos diretos são P₁ G₁G₂G₃G₄G₅G₆ P₂ G₁G₂G₇G₆ P₃ G₁G₂G₃G₄G₈ Os laços de retroação são L₁ G₂G₃G₄G₅H₂ L₂ G₅G₆H₁ L₃ G₈H₁ L₄ G₇H₂G₂ L₅ G₄H₄ L₆ G₁G₂G₃G₄G₅G₆H₃ L₇ G₁G₂G₇G₆H₃ L₈ G₁G₂G₃G₄G₈H₃ O laço L₅ não toca o laço L₄ ou o laço L₇ o laço L₃ não toca o laço L₄ e todos os outros laços se tocam Em conseqüência o determinante é Δ 1 L₁ L₂ L₃ L₄ L₅ L₆ L₇ L₈ L₅L₇ L₅L₄ L₃L₄ 2103 Fig 231 Sistema com laços múltiplos Os cofatores são Δ₁ Δ₃ 1 e Δ₂ 1 L₅ 1 G₄H₄ Finalmente a função de transferência é Ts YsRs P₁ P₂Δ₂ P₃ Δ 2104 Os diagramas de fluxo de sinal e a fórmula de Mason para o ganho podem ser usados de forma proveitosa na análise de sistemas de controle com retroação de circuitos amplificadores eletrônicos de sistemas estatísticos e de sistemas mecânicos dentre muitos outros exemplos 28 ANÁLISE COMPUTACIONAL DE SISTEMAS DE CONTROLE Um modelo computacional de um sistema sob forma matemática conveniente para demonstrar o comportamento do sistema pode ser usado para investigar projetos de um sistema planejado sem na realidade construir o sistema propriamente dito Uma simulação em computador utiliza um modelo e as condições reais do sistema que está sendo modelado e os comandos de entrada reais aos quais o sistema será submetido Vários níveis de fidelidade de simulação isto é de exatidão estão disponíveis para o engenheiro de controle Nos estágios iniciais do processo de projetar os pacotes de software altamente interativos são eficazes Neste estágio a velocidade do computador não é tão importante quanto o tempo necessário para se obter uma solução válida inicial e interagir e ajustar com detalhe essa solução Uma boa capacidade gráfica de saída é crucial As simulações de análise são geralmente de baixa fidelidade no sentido de que muitas das simplificações como as linearizações feitas no processo de projetar são retidas na simulação Neste livro será usado o MATLAB como software de simulação mas existem muitos outros pacotes semelhantes de software para o projeto de sistemas de controle que podem ser igualmente úteis À medida que o projeto amadurece tornase geralmente necessário conduzir experimentos numéricos em um ambiente de simulação mais realista Por exemplo se o projeto de um controlador de altitude de uma nave espacial supôs a inexistência de arrasto aerodinâmico seria uma boa idéia incluir estes efeitos do arrasto no ambiente final de simulação Desta forma será possível quantificar o desempenho esperado da nave espacial quando estiver realmente em órbita Neste ponto do processo de projetar a velocidade de processamento do computador se torna mais importante uma vez que tempos muito longos de simulação reduzem necessariamente o número de experimentos em computador que podem ser obtidos e correspondentemente se elevam os custos Usualmente estas simulações de alta fidelidade são programadas em FORTRAN C C Ada ou linguagens semelhantes Supondo que um modelo e a simulação são confiavelmente exatos a simulação em computador apresenta as seguintes vantagens 14 1 O desempenho do sistema pode ser observado sob todas as condições concebíveis 2 Os resultados do desempenho de sistemas de campo podem ser extrapolados com o modelo de simulação para fins de previsão 3 As decisões relativas a sistemas futuros que se encontram presentemente no estágio conceitual podem ser examinadas 4 Ensaios com sistemas sob teste podem ser realizados em um período de tempo muito reduzido 5 Os resultados de simulação podem ser obtidos a um custo menor que o da experimentação real 6 O estudo de situações hipotéticas pode ser efetuado mesmo quando a situação hipotética for irrealizável na vida real no presente momento Fig 232 Análise e projeto usando um modelo de sistema 7 A modelagem e a simulação em computador é muitas vezes a única técnica viável ou segura para se analisar e avaliar um sistema A análise e o projeto de um sistema de controle são grandemente melhorados pelo uso da simulação como parte do processo esboçado na Fig 232 29 EXEMPLOS DE PROJETO EXEMPLO 211 Controle de um motor elétrico de tração A maioria dos trens modernos e dos veículos de trânsito local utiliza motores elétricos de tração O acionamento de um motor elétrico para um veículo de ferrovia está mostrado sob a forma de diagrama de blocos na Fig 233a incorporando o controle necessário da velocidade do veículo O objetivo do projeto é obter um modelo de sistema e a função de transferência a malha fechada do sistema ωsωₐs selecionar resistores apropriados R₁ R₂ R₃ e R₄ e então prever a resposta do sistema O primeiro passo é descrever a função de transferência de cada bloco Propõese o uso de um tacômetro para gerar uma tensão proporcional à velocidade e conectar esta tensão vᵣ a uma das entradas de um amplificador diferencial como está mostrado na Fig 233b O amplificador de potência é nãolinear e pode ser representado aproximadamente por v₂ 2e³ᵛ¹ 2 exp 3v₁ gv₁ uma função exponencial com um ponto de operação nominal de v₁₀ 15 V Usando a técnica da Seção 23 obtémse um modelo linear v₂ dgv₁dv₁v₁₀ Δv₁ 23 exp 3v₁₀ Δv₁ 2270 Δv₁ 540 Δv₁ 2105 Então descartando a notação com deltas e escrevendo a transformada de Laplace resulta V₂s 540 V₁s Igualmente para o amplificador diferencial vem v₁ 1 R₂R₁ 1 R₃R₄ vᵢₙ R₂ R₁ vᵣ 2106 Desejase obter um controle de entrada que ajuste ωₐt vᵢₙ quando as unidades de ωₐ forem rads e as unidades de vᵢₙ forem volts Então quando vᵢₙ 10V a velocidade de regime estacionário será ω 10 rads Notase que vᵣ Kₜωₐ em regime permanente e se espera que na condição de equilíbrio a saída de regime permanente v₁ seja v₁ 1 R₂R₁1 R₃R₄ vᵢₙ R₂R₁ Kₜvᵢₙ 2107 Quando o sistema estiver em equilíbrio v₁ 0 e quando Kₜ 01 temse 1 R₂R₁1 R₃R₄ R₂R₁R₁ Kₜ 1 Esta relação poderá ser alcançada quando R₂R₁ 10 e R₃R₄ 10 Fig 233 Controle de velocidade de um motor elétrico de tração Os parâmetros do motor e da carga são dados na Tabela 29 O sistema completo está mostrado na Fig 233b Usando a fórmula de Mason com o diagrama de fluxo de sinal da Fig 233d temse ωsωds 540G₁sG₂s1 01G₁G₂ 540G₁G₂ 540G₁G₂1 5401G₁G₂ 5400s 12s 05 5401 54002s² 25s 54015 2108 2700s² 125s 270075 TABELA 29 Parâmetros de um Motor CC Grande Km 10 J 2 Ra 1 b 05 La 1 Kb 01 Como a equação característica é de segunda ordem observase que ωₙ 52 e ζ 0012 e se espera que a resposta do sistema seja altamente oscilatória subamortecida EXEMPLO 212 Acelerômetro mecânico Um acelerômetro mecânico é usado para medir a aceleração de um trenó de teste suspenso em levitação como está mostrado na Fig 234 O trenó de teste levita magneticamente suspenso sobre um trilho guia a uma pequena distância δ deste O acelerômetro fornece uma medida da aceleração at do trenó uma vez que a posição y da massa M com relação à carcaça do acelerômetro é proporcional à aceleração da carcaça e do trenó O objetivo é projetar um acelerômetro com possibilidade de uma resposta dinâmica apropriada Desejase projetar um acelerômetro com um tempo aceitável para que a característica de medida desejada yt qat seja alcançada q é uma constante A soma das forças que agem sobre a massa é b dydt ky M d²dt² y x ou M d²ydt² b dydt ky M d²xdt² 2109 Como Ms d²xdt² Ft a força de propulsão temse My by ky MMs Ft ou y bM y kM y FtMs 2110 Selecionamse os coeficientes onde bM 3 kM 2 FtMs Qt e se considera a condição inicial y0 1 e ẏ 0 2 Obtémse a equação da transformada de Laplace quando a força e conseqüentemente Qt for uma função degrau como se segue s²Ys sy0 ẏ0 3sYs y0 2Ys Qs 2111 Como Qs Ps onde P é a magnitude da função degrau obtémse s²Ys s 2 3sYs 1 2Ys Ps ou s² 3s 2Ys s² s Ps 2112 Fig 234 Um acelerômetro montado sobre um trenó de teste para sistema de propulsão a jato Assim a transformada da saída é Ys s² s Pss² 3s 2 s² s Pss 1s 2 2113 Expandindo em frações parciais Ys k₁s k₂s 1 k₃s 2 2114 Temse então k₁ s² s Ps 1s 2ₛ₀ P2 2115 De modo semelhante k₂ P e k₃ P 22 Então Ys P2s Ps 1 P 22s 2 2116 Portanto a leitura de saída é yt 12P 2Peᵗ P 2e²ᵗ t 0 Fig 235 Resposta do acelerômetro Um gráfico de yt está mostrado na Fig 235 para P 3 Podese ver que yt é proporcional à magnitude da força após 5 segundos Assim em regime estacionário após 5 segundos a resposta yt é proporcional à aceleração como desejado Se este período for excessivamente longo devese aumentar a constante de mola k e o coeficiente de atrito viscoso e ao mesmo tempo reduzir a massa M Se for possível selecionar os componentes de modo que bM 12 e kM 32 o acelerômetro obterá uma resposta proporcional em um segundo Deixase ao leitor mostrar isto EXEMPLO 213 Projeto de um robô de laboratório Neste exemplo procurase mostrar o projeto físico de um dispositivo de laboratório e demonstrar a complexidade do modelo Serão mostrados também muitos dos componentes comumente usados em um sistema de controle Um robô para uso em laboratório é mostrado na Fig 116 O volume de trabalho de um robô de laboratório permite que o robô alcance toda área da bancada e possa acessar os instrumentos de análise existentes Deve haver também uma área suficiente para estocar suprimentos das operações ainda não atendidas Conjunto mãogarra Peça moldada do antebraço Capa do antebraço Peça moldada do braço superior Correias Correias Articulação do cotovelo Articulação do ombro Conjunto motor do ombro Peça moldada do tronco Conjunto de circuito impresso do cotovelo e do pulso Conjunto de circuito impresso do tronco Capa do braço superior Chassis Motor do trilho Trilho e carrinho Plataforma nervurada Fig 236 Vista explodida do robô ORCA mostrando os componentes 15 Fonte Copyright 1993 HewlettPackard Company Reproduzido com permissão Fig 237 a Estrutura em cascata e b seu diagrama de fluxo O robô de laboratório pode ser envolvido em três tipos de tarefas durante um experimento de análise A primeira é a apresentação da amostra para análise em que o robô é treinado a reconhecer um determinado número de diferentes bandejas com amostras prateleiras e recipientes e introduzilos no sistema O segundo conjunto de tarefas envolve o transporte pelo robô de amostras entre as estações especializadas automatizadas para preparação química e análise instrumental As amostras devem ser programadas e movimentadas entre estas estações quando necessário para completar a análise No terceiro grupo de tarefas para o robô uma automação flexível fornece nova capacidade para o laboratório de análise O robô deve ser programado para simular o operador humano e trabalhar com vários dispositivos Todos estes tipos de operações são requeridos para um robô de laboratório eficiente A HewlettPackard projetou o robô de laboratório ORCA que é um braço antropomórfico montado sobre um trilho projetado para ser a configuração ótima para um laboratório de análise 15 O trilho pode ser localizado em frente ou atrás de uma bancada de trabalho ou colocado no meio de uma mesa quando se requer o acesso de ambos os lados do trilho Comandos simples via software permitem mover o braço de uma extremidade à outra do trilho enquanto se mantém a posição do pulso para transferir recipientes abertos ou se trava a orientação angular do pulso para transferir objetos em praticamente qualquer orientação angular A configuração retilínea em contraste com a geometria cilíndrica usada por muitos robôs permite posicionar mais acessórios no interior do espaço de trabalho do robô e propicia uma excelente combinação com a bancada do laboratório O movimento de todas as juntas é coordenado através de software o que simplifica o uso do robô pela representação das suas posições e dos seus movimentos em um espaço de coordenadas cartesianas mais familiar As especificações físicas e de desempenho do sistema ORCA da HewlettPackard estão mostradas na Tabela 210 TABELA 210 Especificações de Hardware do Braço Robótico ORCA Braço Montagem em Trilho Articulada Dispositivo de Programação Manual Alavanca de Comando com Parada de Emergência Graus de liberdade Seis Tempo de ciclo 4 s move 1 polegada para cima 12 polegadas lateralmente 1 polegada para baixo e para trás Alcance 54 cm Velocidade máxima 75 cms Altura 78 cm Tempo de retardo 50 ms típico para deslocamentos com um único movimento Trilho 1 e 2 m Carga útil 05 kg continuamente 25 kg em transitório com restrições Peso 80 kg Deflexão vertical 15 mm com carga contínua Precisão 025 mm Seção reta da envoltória de trabalho 1 m2 Excursão do dedo garra 40 mm Rotação da garra 77 voltas O projeto do robô de laboratório ORCA continuou com a seleção das partes componentes requeridas para se obter o sistema completo A vista explodida do robô está mostrada na Fig 236 Este dispositivo utiliza seis motores de corrente contínua engrenagens correias acionadoras um trilho e um carrinho As especificações são desafiadoras e requerem que o projetista modele rigorosamente os componentes do sistema e suas interconexões I1 V1 V2G I2 V2 V3G V2 I1 I2R V3 I2Z onde G 1R Zs 1Cs e I1s I1 foi omitido o s O diagrama de fluxo de sinal construído para as quatro equações está mostrado na Fig 237b Os três laços são L1 GR 1 L2 GR 1 e L3 GZ Todos os laços tocam o percurso direto Os laços L1 e L3 são disjuntos Em conseqüência a função de transferência é Ts V3 V1 P1 1 L1 L2 L3 L1L3 GZ 3 2GZ 1 3RCs 2 13RC s 23RC Observese que o ganho estático é 12 como esperado Desejase pólo em p 2π1061 6667 20003 Em conseqüência requerse RC 0001 Selecionandose R 1 kΩ vem C 1 μF Assim se obtém o filtro Ts 33335 s 6667 y0015 wnsqrt2 zeta132sqrt2 zeta212sqrt2 t00110 unforced unforcedm Calcula a Resposta Livre a uma Condição Inicial t1acoszeta1ones1lengtht t2acoszeta2ones1lengtht c1y0sqrt1zeta12 c2y0sqrt1zeta22 y1c1expzeta1wntsinwnsqrt1zeta12tt1 y2c2expzeta2wntsinwnsqrt1zeta22tt2 buc2expzeta2wntblbu plotty1ty2butbl grid xlabelTempos ylabelDeslocamento yt m text02085zeta1 superamortecido num2strzeta1 sc text02080zeta2 subamortecido num2strzeta2 sc Os comandos em MATLAB para gerar o gráfico da resposta livre estão mostrados na Fig 238 Ao início do uso do MATLAB os valores das variáveis e parâmetros y0 ωn t ζ1 e ζ2 são digitados no espaço de trabalho ao nível de comando Em seguida executase o programa sistemalivrem para gerar os gráficos desejados Isto cria uma possibilidade de análise interativa que permite analisar os efeitos da frequência natural e do amortecimento na resposta livre do deslocamento da massa Podese investigar os efeitos da frequência natural e do amortecimento sobre a resposta temporal entrandose com novos valores de ωn ζ1 e ζ2 no sinal de pedido de comando prompt e rodando novamente o programa sistemalivrem O gráfico da resposta temporal está mostrado na Fig 239 Observese que o programa rotula o gráfico automaticamente com os valores dos coeficientes de amortecimento Isto evita confusão ao se executarem muitas simulações interativas O valor da frequência natural poderia ser assinalado no gráfico A utilização de programas constitui um aspecto importante do desenvolvimento de uma capacidade efetiva de análise e projeto interativos no MATLAB Para o problema molamassaamortecedor a solução livre da equação diferencial estava prontamente disponível Em geral ao simular sistemas de controle com retroação a malha fechada sujeitos a diversas entradas e condições iniciais é difícil tentar obter analiticamente uma solução Nestes casos podese usar o MATLAB para calcular as soluções numericamente e exibir a solução graficamente O MATLAB pode ser usado para analisar sistemas descritos por meio de funções de transferência Como a função de transferência é uma relação entre dois polinômios começase investigando como o MATLAB manipula polinômios recordando que trabalhar com funções de transferência significa que tanto o polinômio do numerador quanto o polinômio do denominador devem ser especificados No MATLAB os polinômios são representados por vetores linha contendo os coeficientes do polinômio em ordem decrescente Por exemplo o polinômio ps s3 3s2 4 é introduzido como está mostrado na Fig 240 Observese que mesmo com o coeficiente de s sendo igual a zero ele é incluído na definição de entrada de ps Se p for um vetor linha contendo os coeficientes de ps em ordem decrescente então rootsp é um vetor coluna contendo as raízes do polinômio Reciprocarmente se r for um vetor coluna contendo as raízes do polinômio então polyr é um vetor linha com os coeficientes do polinômio em ordem decrescente Podese calcular as raízes do polinômio ps s3 3s2 4 com a função roots como está mostrado na Fig 240 A função roots1 também calcula as raízes de um polinômio mas fornece um resultado mais exato quando o polinômio possui raízes repetidas Na Fig 240 é mostrado também como remontar o polinômio com a função poly A multiplicação de polinômios é efetuada com a função conv Suponhase que se deseje expandir o polinômio ns onde ns 3s2 2s 1s 4 Os comandos MATLAB associados usando a função conv estão mostrados na Fig 241 Assim o polinômio expandido é ns 3s3 14s2 9s 4 A função polyval é usada para calcular o valor de um polinômio para um dado valor da variável O polinômio ns tem o valor n5 66 conforme está mostrado na Fig 241 No próximo exemplo será obtido um gráfico com as localizações dos pólos e zeros no plano complexo Isto será realizado usando a função pzmap mostrada na Fig 242 No gráfico de pólos e zeros os zeros serão representados por um o e os pólos por um x Se a função pzmap for chamada sem os argumentos da esquerda da igualdade o gráfico será gerado automaticamente p1 3 0 4 rrootsp r 33553e00 17765e0110773e00i 17765e0110773e00i ppolyr p 10000 30000 00000 00000i 40000 00000i p3 2 1 q1 4 nconvpq n 3 14 9 4 valuepolyvaln5 value 66 P localização de pólos em um vetor coluna Z localização de zeros em um vetor coluna PZpzmapnumden EXEMPLO 215 Funções de transferência Consideremse as funções de transferência Gs 6s2 1 s3 3s2 3s 1 e Hs s 1s 2 s 2is 2is 3 Utilizando um script em MATLAB podese calcular os pólos e zeros de Gs a equação característica de Hs e dividir Gs por Hs Podese também obter um gráfico com o diagrama de pólos e zeros de GsHs no plano complexo O diagrama de pólos e zeros da função de transferência GsHs está mostrado na Fig 243 e os comandos em MATLAB associados estão mostrados na Fig 244 O diagrama de pólos e zeros mostra claramente as cinco localizações dos zeros mas parece que há apenas dois pólos Este não pode ser o caso pois se sabe que o número de pólos deve ser maior ou igual ao número de zeros Usando a função roots1 é possível certificarse de que na realidade há quatro pólos em s 1 Deste modo numg6 0 1 deng1 3 3 1 Zrootsnumg z 0 04082i 0 04082i proots1deng p 1 1 1 n11 1 n21 2 d11 2i d21 2i d31 3 numhconvn1n2 denhconvd1convd2d3 printsysnumhdenh numden s2 3 s 2 s3 3 s2 4 s 12 numconvnumgdenh denconvdengnumh printsysnumden numden 6 s5 18 s4 25 s3 75 s2 4 s 12 s5 6 s4 14 s3 16 s2 9 s 2 pzmapnumden titleDiagrama de Pólos e Zeros pólos múltiplos ou zeros múltiplos na mesma localização não podem ser discernidos no diagrama de pólos e zeros Modelos em Diagramas de Blocos Suponhase que foram desenvolvidos modelos matemáticos na forma de funções de transferência para o processo a controlar representado por Gs para o controlador representado por Gcs e possivelmente muitos outros componentes do sistema como sensores e atuadores O objetivo é interconectar estes componentes para formar um sistema de controle Serão utilizadas funções do MATLAB para efetuar as transformações de diagramas de blocos Um sistema de controle simples a malha aberta pode ser obtido interconectandose em cascata um processo e um controlador como está ilustrado na Fig 245 É possível usar o MATLAB para calcular a função de transferência de Rs para Ys como se segue Fig 245 Sistema de controle a malha aberta sem retroação EXEMPLO 216 Conexão em cascata Seja o processo representado pela função de transferência Gs Gs 1500s² e seja o controlador representado pela função de transferência Gcs Gcs s1s2 É possível usar a função series para colocar em cascata duas funções de transferência G1s e G2s como está mostrado na Fig 246 num den seriesnum1 den1 num2 den2 Fig 246 a Diagrama de blocos b A função series A função de transferência GcsGs pode ser calculada usando a função series como está mostrado na Fig 247 A função de transferência resultante GcsGs é GcsGs numden s1500s³ 1000s² Os diagramas de blocos apresentam muitas vezes funções de transferência em paralelo Nestes casos a função parallel pode ser bastante útil A função parallel está descrita na Fig 248 Fig 248 a Diagrama de blocos b A função parallel Fig 249 Sistema de controle básico com retroação unitária Um sinal de retroação pode ser introduzido em um sistema de controle fechandose a malha com retroação unitária conforme está mostrado na Fig 249 O sinal Eas é um sinal de erro o sinal Rs é a entrada de referência Neste sistema de controle o controlador está no percurso de ação à frente e a função de transferência a malha fechada é Ts GcsGs 1 GcsGs Há duas funções que podem ser usadas para auxiliar o procedimento de redução de diagramas de blocos no sentido de obter funções de transferência a malha fechada para sistemas de controle mono e multimalhas Estas funções são cloop e feedback A função cloop calcula a função de transferência a malha fechada como está mostrado na Fig 250 com a configuração de sistema associada e pressupõe como default retroação unitária negativa A função feedback está mostrada na Fig 251 com a configuração de sistema associada que inclui Hs no percurso de retroação Para ambas as funções cloop e feedback se a entrada sign for omitida será suposta retroação negativa Fig 250 a Diagrama de blocos b A função cloop Fig 251 a Diagrama de blocos b A função feedback EXEMPLO 217 A função cloop Seja o processo Gs e o controlador Gcs como na Fig 247a Para aplicar a função cloop utilizase primeiro a função series para calcular GcsGs seguida da função cloop para fechar a ma lha A sequência de comandos é mostrada na Fig 252b A função de transferência a malha fechada como está mostrada na Fig 252b é Ts GcsGs 1 GcsGs numden s 1 500 s³ 1000 s² s 1 Uma outra configuração básica de sistema de controle com retroação está mostrada na Fig 253 Fig 253 Sistema de controle básico com o controlador na malha de retroação Neste caso o controlador está localizado na malha de retroação A função de transferência a malha fechada é Ts Gs 1 GsHs A função feedback Seja o processo Gs e o controlador Hs como está mostrado na Fig 254a Para calcular a função de transferência a malha fechada com o controlador na malha de retroação usase a função feedback A seqüência de comandos está mostrada na Fig 254b A função de transferência a malha fechada é Ts numden s 2 500 s3 1000 s2 s 1 As funções do MATLAB series cloop e feedback podem ser usadas como auxílio nas manipulações de diagramas de blocos com malhas múltiplas Redução multimalhas Um sistema com múltiplas malhas de retroação está mostrado na Fig 224 O objetivo é calcular a função de transferência a malha fechada Ts YsRs onde G1s 1s10 G2s 1s1 G3s s2 1s2 4s 4 G4s s 1s 6 e H1s s 1s 2 H2s 2 H3s 1 Para este exemplo será adotado um procedimento de cinco passos Passo 1 Entrar com as funções de transferência do sistema no MATLAB Passo 2 Deslocar H2 para atrás de G4 Passo 3 Eliminar o laço G3G4H1 Passo 4 Eliminar o laço que contém H2 Passo 5 Eliminar o laço restante e calcular Ts Os cinco passos são utilizados na Fig 255 e a redução de diagrama de blocos correspondente está mostrada na Fig 225 O resultado da execução dos comandos em MATLAB é numden s5 4s4 6s3 6s2 5s 212s6 205s5 1066s4 2517s3 3128s2 2196s 712 Devese ter cautela em chamar isto de função de transferência a malha fechada A função de transferência é definida pela relação entradasaída depois do cancelamento de pólos e zeros Se forem calculados os pólos e zeros de Ts descobrese que os polinômios em numerador e em denominador possuem o fator comum s 1 Isto deve ser cancelado antes que se possa afirmar ter a função de transferência a malha fechada Para ajudar no cancelamento de pólos e zeros será usada a função minreal A função minreal mostrada na Fig 256 remove os fatores de pólos e zeros comuns da função de transferência O passo final no procedimento da redução do diagrama de blocos consiste em cancelar os fatores comuns como está mostrado na Fig 257 A função de transferência a malha fechada está dada na Fig 257 como Ts numden Depois da aplicação da função minreal en Fig 255 Redução de diagrama de blocos multimalha Fig 256 A função minreal Fig 257 Aplicação da função minreal ng11 dg11 10 ng21 dg21 1 ng31 0 1 dg31 4 4 ng41 1 dg41 6 nh11 1 dh11 2 nh22 dh21 nh31 dh31 n1convnh2dg4 d1convdh2ng4 n2ad2aseriesng3dg3ng4dg4 n2d2feedbackn2ad2anh1dh11 n3ad3aseriesng2dg2n2d2 n3d3feedbackn3ad3an1d1 n4d4seriesng1dg1n3d3 numdencloopn4d41 Sem fatores comuns Ts numden Possíveis fatores comuns Gs numgdeng numdenminrealnumgdeng numg1 4 6 6 5 2 deng12 205 1066 2517 3128 2196 712 numdenminrealnumgdeng printsysnumden um pólo e um zero cancelados Entra com a função de transferência antes do cancelamento de pólos e zeros Cancela fatores comuns numden 008333 s4 025 s3 025 s2 025 s 01667 s5 1608 s4 7275 s3 137 s2 1237 s 5933 contrase que o grau do polinômio do denominador foi reduzido de seis para cinco implicando no cancelamento de um pólo com um zero Controle de um motor elétrico de tração Finalmente considerese o sistema motor elétrico de tração do Exemplo 211 O diagrama de blocos está mostrado na Fig 233c O objetivo é calcular a função de transferência a malha fechada e investigar a resposta de ωs a um comando ωds O primeiro passo como está mostrado na Fig 258 consiste em calcular a função de transferência ωsωds Ts A equação característica a malha fechada é de segunda ordem com ωn 52 e ζ 0012 Como o amortecimento é pequeno esperase que a resposta seja altamente oscilatória Podese investigar a resposta ωt para uma entrada de referência ωdt utilizando a função step A função step mostrada na Fig 259 calcula a resposta de um sistema linear a um degrau unitário Fig 258 Redução do diagrama de blocos do motor elétrico de tração num110 den11 1 num21 den22 05 num3540 den31 num401 den41 nadaseriesnum1den1num2den2 nbdbfeedbacknadanum4den41 ncdcseriesnum3den3nbdb numdencloopncdc1 printsysnumden numden 5400 2 s2 25 s 5402 Excitação em degrau Sistema Gs Saída yt rt a yt resposta no instante t xt estado no instante t t instante de tempo da simulação Gs num den t instantes de tempo nos quais a resposta ao degrau está sendo calculada opcional yxtstepnumdent b Fig 259 A função step A função step é muito importante uma vez que as especificações de desempenho de sistemas de controle são dadas freqüentemente em termos da resposta ao degrau unitário A resposta de estado dada por xt é uma saída da função step e será discutida em detalhes no Cap 3 Modelos em Variáveis de Estado Foi incluído x na lista de argumentos à esquerda do sinal de igualdade mas no momento esta variável não está sendo considerada Se o único objetivo for traçar o gráfico da saída yt podese usar a função step sem os argumentos da esquerda e obter o gráfico automaticamente com as legendas dos eixos Se yt for necessário para qualquer outra finalidade além do gráfico devese usar a função step com os argumentos da esquerda seguida da função plot para traçar o gráfico da saída yt Definese t como um vetor linha contendo os instantes em que se deseja o valor da variável de saída yt Fig 260 a Resposta ao degrau da velocidade de eixo de um motor de tração b Programa em MATLAB A resposta ao degrau de um motor elétrico de tração está mostrada na Fig 260 Como esperado a velocidade do eixo dada pela saída yt é altamente oscilatória Observese que a saída é yt ωt 211 EXEMPLO DE PROJETO SEQUENCIAL SISTEMA DE LEITURA DE ACIONADOR DE DISCO Na Seção 112 foi desenvolvido um objetivo inicial para o sistema de acionamento de disco posicionar a cabeça leitora com precisão em uma determinada trilha e deslocála de uma trilha para a outra em 10 ms se possível Neste capítulo serão completados os passos 4 e 5 do procedimento de projeto Fig 119 Tornase necessário identificar o atuador o sensor e o controlador passo 4 Em seguida será obtido o model do processo a controlar Gs e do sensor O cabeçote de leitura do acionador de disco usa um motor CC de ímã permanente para mover angularmente o braço de leitura ver Fig 124 O motor CC é chamado um motor de bobina de áudio voice coil na indústria de acionadores de disco A cabeça leitora é montada em um dispositivo deslizante que é conectado ao braço como está mostrado na Fig 261 Uma lâmina mola metálica é usada para permitir que a cabeça fique suspensa acima do disco a uma distância inferior a 100 nm A cabeça de filme fino lê o fluxo magnético e fornece um sinal a um amplificador O sinal de erro da Fig 262a é fornecido pela leitura do erro a partir de uma trilha de índice prégravada Admitindose uma cabeça leitora de precisão o sensor possui uma função de transferência Hs 1 como está mostrado na Fig 262b O modelo Fig 261 Montagem de um cabeçote de leitura mostrando a lâmina Fig 262 Diagrama de blocos do modelo de um sistema de leitura de acionador de disco do motor de ímã permanente e o do amplificador estão mostrados na Fig 262b Como uma boa aproximação utilizase o modelo do motor CC controlado pela armadura como foi mostrado anteriormente na Fig 218 com Kb 0 O modelo mostrado na Fig 262b admite que a lâmina seja inteiramente rígida e não apresente deflexão significativa No Cap 4 será considerado o modelo em que a lâmina não pode ser considerada completamente rígida A Tabela 211 apresenta parâmetros típicos para o sistema de acionamento de disco Temse então Gs Km sJs bLs R 2117 5000 ss 20s 1000 Podese escrever também Gs como Gs KmbR sτLs 1τs 1 2118 Onde τL Jb 50 ms e τ LR 1 ms Como ττL freqüentemente se despreza τ Em consequência temse Gs KmbR sτLs 1 025 s005s 1 ou Gs 5 ss 20 TABELA 211 Valores Típicos de Parâmetros para a Leitora do Acionador de Disco Parâmetro Símbolo Valor Típico Inércia do braço e da cabeça leitora J 1 Nms²rad Coeficiente de atrito viscoso b 20 kgms Ganho do amplificador Ka 10 1000 Resistência de armadura R 1Ω Constante de torque do motor Km 5 NmA Indutância da armadura L 1 mH Fig 263 Diagrama de blocos de sistema a malha fechada O diagrama de blocos do sistema a malha fechada está mostrado na Fig 263 Usandose a transformação de diagrama de blocos da Tabela 28 resulta YsRs KaGs1 KaGs 2119 Usando o modelo aproximado de segunda ordem para Gs obtémse YsRs 5Ka s² 20s 5Ka Quando Ka 40 resulta Ys 200 s² 20s 200 Rs Usando a função step do MATLAB obtémse a resposta ao degrau para Rs 01s rad como está mostrado na Fig 264 Fig 264 Resposta do sistema mostrado na Fig 263 para Rs 01s 212 SUMÁRIO Neste capítulo tratouse de modelos matemáticos quantitativos de componentes e de sistemas de controle Foram utilizadas equações diferenciais para construir modelos matemáticos que descrevem o desempenho dinâmico de sistemas físicos Os sistemas físicos sob consideração abrangeram sistemas mecânicos elétricos fluidos e termodinâmicos Para obter uma aproximação linear de pequeno sinal para os componentes de controle nãolineares utilizouse uma aproximação linear usando a expansão em série de Taylor nas proximidades de um ponto de operação Em seguida com a aproximação linear foi possível utilizar a transformação de Laplace e sua relação entradasaída resultante dada pela função de transferência A abordagem de sistemas lineares via função de transferência permite ao analista determinar a resposta do sistema a vários sinais de entrada em termos da localização de pólos e zeros da função de transferência Foram desenvolvidos modelos de sistemas de componentes interconectados usando as notações de funções de transferência Foram obtidas as relações de blocos Adicionalmente foi investigado um modo alternativo de uso de modelos sob a forma de função de transferência por meio dos diagramas de fluxo de sinal Foi examinada a fórmula de Mason para determinação do ganho em diagramas de fluxo de sinal útil na obtenção de relações entre variáveis de um sistema em sistemas com retroação complexos A vantagem do método do diagrama de fluxo reside na disponibilidade da regra de Mason a qual fornece a relação entre as variáveis de sistema sem a necessidade de recorrer a qualquer tipo de redução ou da manipulação do diagrama de fluxo de sinal Assim no Cap 2 foi obtido um modelo matemático útil para sistemas de controle com retroação Isto foi feito através do desenvolvimento do conceito de função de transferência de sistemas lineares e da relação entre as variáveis de sistema sob a forma de diagramas de blocos e de diagramas de fluxo de sinal Considerouse a utilidade da simulação em computador de sistemas lineares e nãolineares para determinar a resposta de um sistema em diversas situações envolvendo valores de parâmetros e condições do ambiente Finalmente foi dada sequência ao desenvolvimento do Sistema de Leitura de Acionador de Disco através da obtenção de um modelo sob a forma de função de transferência do motor e do braço EXERCÍCIOS Os exercícios constituem aplicações diretas dos conceitos do capítulo E21 Um sistema com retroação unitária possui uma função nãolinear y fe e2 como está mostrado na Fig E21 Para uma entrada r na faixa de 0 a 4 calcule e trace a curva da saída versus entrada com o sistema a malha aberta e com o sistema a malha fechada Mostre que a retroação produz uma relação mais linear E22 Um termistor apresenta uma resposta à temperatura representada por R R0 e01 T onde R0 10000 Ω R resistência e T temperatura em graus Celsius Obter um modelo linear para o termistor operando em T 20C e para uma pequena faixa de variação de temperatura Resposta ΔR 135 ΔT E23 A curva característica de força versus deslocamento de uma mola integrante do sistema molamassaamortecedor da Fig 21 está mostrada na Fig E23 Obtenha graficamente a constante de mola referente ao ponto de equilíbrio y 05 cm e a uma faixa de operação de 15 cm E24 Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimir rapidamente cópias para um computador O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada rt tal que Ys 5 s 100s2 60 s 500 Rs A entrada rt representa a posição desejada do feixe de laser a Determine a saída yt quando rt for um degrau unitário de entrada b Qual o valor final de yt Resposta a yt 100 1125 e10 t 125 e50 t b yss 100 E25 Um circuito de chaveamento é usado para converter um nível de tensão CC em uma saída de tensão CC O circuito do filtro destinado a eliminar as frequências altas está mostrado na Fig E25 Calcule a função de transferência V2sV1s Resposta V2sV1s C1C1 C2 L s2 C1 C2 E26 Um dispositivo nãolinear é representado pela função y fx x12 onde o ponto de operação para a entrada x0 14 é y0 12 Determinar a aproximação linear na forma da Eq 29 Resposta Δy Δx2 E27 A intensidade luminosa de uma lâmpada permanece constante quando monitorada por uma malha de retroação controlada por meio de um fototransistor Quando a tensão de alimentação cai a saída luminosa da lâmpada também cai e o fototransistor Q1 conduz uma corrente menor Como resultado um transistor de potência conduz menos e carrega um capacitor mais rapidamente 25 A tensão no capacitor controla diretamente a tensão na lâmpada Um diagrama de fluxo do sistema está mostrado na Fig E27 Determinar a função de transferência a malha fechada IsRs quando Is é a intensidade luminosa da lâmpada e Rs é o comando ou seja o nível de iluminação desejado E28 Um engenheiro de controle N Minorsky nos anos 1930 projetou um sistema de direção de navio inovador para a Marinha dos Estados Unidos O sistema está representado pelo diagrama de fluxo de sinal mostrado na Fig E28 onde Ys é o curso do navio Rs é o curso desejado e As é o ângulo do leme 17 Determinar a função de transferência YsRs Resposta YsRs K G1s G2ss1 G1s H3s G1s G2s H1s H2s K G1s G2ss E29 Um sistema antibloqueio do sistema de freio nas quatro rodas de um automóvel utiliza retroação eletrônica para controlar a força de frenagem em cada uma das rodas16 Um diagrama de fluxo simplificado do sistema de controle do freio está mostrado na Fig E29 onde Ffs e FRs são respectivamente as forças de frenagem nas rodas dianteiras e traseiras e Rs é a resposta desejada do automóvel em uma pista gelada de rodovia Determinar FfsRs E210 Veículos para transitar fora de estrada são submetidos a muitas perturbações ao percorrer terrenos acidentados Um sistema de suspensão ativa pode ser controlado por um sensor que veja antecipadamente as condições da estrada Um exemplo de sistema de suspensão simples que pode amoldar os solavancos está mostrado na Fig E210 Determinar o ganho apropriado K1 de modo que o veículo não pule quando a deflexão desejada for Rs 0 e a perturbação for Ds Resposta K1 K2 1 E211 Uma mola apresenta uma característica força versus deslocamento conforme está mostrado na Fig E211 Para pequenos desvios a partir do ponto de operação determinar a constante de mola quando xo for a 14 b 0 c 35 Durante o deslocamento do êmbolo principal o desequilíbrio de pressão entre as faces do êmbolo principal é usado para controlar o amortecimento O êmbolo ativo varia o volume interno do cilindro Este sistema com retroação é mostrado na Fig E212 Desenvolver um modelo linear para este dispositivo usando a modelagem em diagrama de blocos E213 Determinar a função de transferência Y1sR2s para o sistema multivariável na Fig E213 E214 Obter equações diferenciais em termos de i1 e de i2 para o circuito da Fig E214 E215 O sistema de controle de posição de uma plataforma espacial é governado pelas seguintes equações d2pdt2 2 dpdt 4 p θ v1 r p dθdt 06 v2 v2 7 v1 As variáveis envolvidas são as seguintes rt posição desejada da plataforma pt posição real da plataforma v1t tensão de entrada no amplificador v2t tensão de saída do amplificador θt posição angular do eixo do motor Esboçar um diagrama de fluxo de sinal do sistema identificando as partes componentes e suas transmitâncias Em seguida determinar a função de transferência do sistema PsRs E216 Uma mola usada em um sistema amortecedor de choques para automóveis desenvolve uma força f representada pela relação f kx3 onde x é o deslocamento da mola Determinar um modelo linear para a mola quando xo 1 E217 A saída y e a entrada x de um dispositivo são relacionados por y x 04 x3 a Obter os valores da saída para a operação em estado estacionário em dois pontos de operação xo 1 e xo 2 b Obter um modelo linearizado para ambos os pontos de operação e comparálos E218 A função de transferência de um sistema é YsRs 10s 2s2 8 s 15 Determinar yt quando rt for um degrau unitário de entrada Resposta yt 133 167 e3 t 3 e5 t t 0 E219 Determinar a função de transferência VosVs do circuito com amplificador operacional mostrado na Fig E219 Supor que o amplificador operacional seja ideal Determinar a função de transferência quando R1 R2 100 kΩ C1 10 μF e C2 5 μF E220 O sistema de posicionamento de alta precisão de uma peça deslizante está mostrado na Fig E220 Determinar a função de transferência XpsXins quando o coeficiente de atrito viscoso da haste acionadora é bd 1 a constante de mola da haste acionadora é kd 3 mc 23 e o atrito de deslizamento é bs 1 E221 A velocidade de rotação ω de um satélite mostrado na Fig E221 é ajustada mudandose o comprimento L da barra A função de transferência entre ωs e a variação incremental do comprimento da barra ΔLs é ωsΔLs 25 s 2s 5 s 12 A variação de comprimento da barra é ΔLs 14 s Determinar a resposta de velocidade ωt Resposta ωt 14 3128 e5 t 35128 et 532 t et PROBLEMAS Os problemas requerem uma extensão dos conceitos do capítulo para novas situações P21 Um circuito elétrico está mostrado na Fig P21 Obter um conjunto de equações íntegrodiferenciais simultâneas que representem a rede Fig P21 Circuito elétrico P22 Um amortecedor de vibrações mecânicas está mostrado na Fig P22 Este sistema é representativo de muitas situações envolvendo a vibração de máquinas contendo componentes desbalanceados Os parâmetros M₂ e k₁₂ podem ser escolhidos de tal modo que a massa principal M₁ não vibre quando Ft a sen ω₀t a Esboçar o circuito elétrico análogo baseado na analogia forçacorrente b Obter as equações diferenciais que descrevem o sistema Fig P22 Amortecedor de vibrações P23 Um sistema molamassa acopladas está mostrado na Fig P23 Admitese que as massas e molas são iguais a Esboçar um circuito elétrico análogo baseado na analogia forçacorrente b Obter as equações diferenciais que descrevem o sistema Fig P23 Sistema de duas massas P24 Um amplificador nãolinear pode ser descrito pela seguinte curva característica v₀t vin² vin 0 vin² vin 0 O amplificador será operado sobre uma faixa de valores para vin de 05 volt em torno do ponto de operação Descrever o amplificador por meio de uma aproximação linear a quando o ponto de operação for vin 0 e b quando o ponto de operação for vin 1 volt Obter o esboço da função nãolinear e a aproximação para cada caso P25 O escoamento de um fluido através de um orifício pode ser representado pela equação nãolinear Q KP₁ P₂¹² onde as variáveis são mostradas na Fig P25 e K é uma constante 2 a Determinar uma aproximação linear para a equação de escoamento do fluido b O que acontece com a aproximação obtida na parte a se o ponto de operação for P₁ P₂ 0 Fig P25 Escoamento através de orifício P26 Usando a transformação de Laplace obter a corrente I₂s do Problema 21 Admitir que todas as correntes iniciais são iguais a zero que a tensão inicial nos terminais do capacitor C₁ é zero vt é zero e a tensão inicial nos terminais do capacitor C₂ é 10 volts P27 Obter a função de transferência do circuito diferenciador mostrado na Fig P27 Fig P27 Circuito diferenciador P28 Estruturas em T são usadas frequentemente como filtro em sistemas de controle de corrente alternada 8 A Fig P28 mostra um destes circuitos em T Mostrar que a função de transferência da rede é V₀sVᵢₙs 1 2R₁Cs R₁R₂C²s² 1 2R₁ R₂Cs R₁R₂C² s² Esboce o diagrama de pólos e zeros quando R₁ 05 R₂ 1 e C 05 Fig P28 Estrutura em T P29 Determinar a função de transferência X₁sFs para o sistema molamassa acopladas do Problema 23 Esboce o diagrama de pólos e zeros no plano s para baixo amortecimento quando M 1 bk 1 e ζ 12 bkM 01 P210 Determinar a função de transferência Y₁sFs para o sistema amortecedor de vibrações do Problema P22 Determinar os valores de parâmetros M₂ e k₁₂ tais que a massa M₁ não vibre quando Ft a sen ω₀t P211 Amplificadores rotativos são freqüentemente usados em sistemas eletromecânicos que requeiram grandes amplificações de potência 18 19 O amplidine é um amplificador de potência rotativo Na Fig P211 estão mostrados um amplidine e um servomotor Obter a função de transferência θsVcs e desejar o diagrama de blocos do sistema Admitir vd k₂iq e vq k₁iq P212 Um sistema de escoamento de fluido está mostrado na Fig P212 onde um fluido incompressível está alimentando um reservatório aberto Podese supor que a variação na vazão de saída ΔQ₂ seja proporcional à variação da altura de coluna ΔH Em estado estacionário Q₁ Q₂ e Q₂ kH¹² Usando uma aproximação linear obter a função de transferência do reservatório ΔQ₂sΔQ₁s 19 Fig P212 Sistema de escoamento de fluido P213 Um sistema de controle a malha aberta eletromecânico está mostrado na Fig P213 O gerador acionado com velocidade constante fornece a tensão de campo para o motor O motor possui uma inércia Jm e um atrito viscoso bm nos mancais Obter a função de transferência θlsVfs e desenhar um diagrama de blocos do sistema A tensão do gerador vg pode ser suposta proporcional à corrente de campo if P214 Uma carga rotativa é conectada através de um sistema de engrenagens a um motor elétrico CC controlado pelo campo Supõese que o motor seja linear Ao se fazer um teste aplicando uma tensão constante de 80 V nos terminais de alimentação do motor constatase que a carga alcança uma velocidade de 1 rads em 12 s A velocidade de saída em estado estacionário é de 24 rads Determinar a função de transferência do motor θsVfs em radV A indutância do campo pode ser desprezada ver Fig 217 Observe também que a aplicação de 80 V aos terminais de alimentação do motor corresponde a um degrau de entrada com 80 V de magnitude P215 Considerese o sistema massamola esboçado na Fig P215 Determinar uma equação diferencial que descreva o movimento da massa m Obter a resposta do sistema a um deslocamento inicial x0 1 Fig P211 Amplidine e motor controlado pela armadura Sistemas de Controle Modernos b Determinar YsRs para a Fig E228b Fig E228 b E229 Um sistema está mostrado na Fig E229 a Determinar a função de transferência a malha fechada YsRs quando Gs 24s² 30s 176 b Determinar Ys quando a entrada rt for um degrau unitário c Determinar yt e traçar o gráfico correspondente mostrando também o degrau desejado de entrada Fig E229 E230 Determinar os resíduos para a expansão de Vs em frações parciais através de a cálculo numérico e b cálculo gráfico no plano s Vs 540 s² 8s 540 82 Sistemas de Controle Modernos Fig P213 Motor e gerador Fig P215 Sistema suspenso massamola P216 Obter um diagrama de fluxo de sinal para representar o seguinte conjunto de equações algébricas onde x1 e x2 são consideradas as variáveis dependentes e 6 e 11 são as entradas x1 15x2 6 2x1 4x2 11 Determinar o valor de cada uma das variáveis dependentes usando a fórmula do ganho Depois de resolver para x1 por meio da fórmula de Mason verifique a solução através da regra de Cramer P217 Um sistema mecânico mostrado na Fig P217 é submetido a um deslocamento conhecido x3t com respeito à referência a Determinar as duas equações independentes do movimento b Obter as equações do movimento em termos da transformada de Laplace considerando que as condições iniciais sejam nulas c Esboçar um diagrama de fluxo de sinal representando as equações do sistema d Obter a relação entre X1s e X3s T13s usando a fórmula de Mason para o ganho do diagrama de fluxo de sinal Compare o trabalho necessário para obter T13s pelo método de matrizes com o do uso da fórmula de Mason Fig P217 Sistema mecânico Atrito P218 Uma rede LC em cascata está mostrada na Fig P218 Podese escrever as equações que descrevem a rede como a seguir I1 V1 VaY1 Va I1 IaZ2 Ia Va V2Y3 V2 IaZ4 Construir um diagrama de fluxo de sinal a partir das equações e determinar a função de transferência V2sV1s Fig P218 Rede LC em cascata P219 O amplificador operacional básico nãoinversor está mostrado na Fig P219a e a representação das equações do circuito sob a forma de diagrama de fluxo está mostrada na Fig P219b 8 a Escrever as equações de tensão e verificar a representação no diagrama de fluxo de sinal b Usando o diagrama de fluxo de sinal calcular o ganho do amplificador e verificar que Ts R1 RfR1 quando A 10³ Fig P219 Circuito nãoinversor com amplificador operacional P220 O amplificador seguidor de tensão oferece uma baixa impedância de saída e um ganho essencialmente unitário O diagrama do circuito está mostrado na Fig P220a e o modelo de pequeno sinal está mostrado na Fig P220b Este circuito utiliza um FET transistor de efeito de campo e fornece um ganho aproximadamente unitário Admitir que R2 R1 para fins de polarização e que Rg R2 a Calcular o ganho do amplificador b Calcu lar o ganho quando gm 2000 μmhos e Rs 10 Kohms sendo Rs R1 R2 c Esboçar um diagrama de fluxo de sinal que representa as equações do circuito Fig P220 O amplificador seguidor de tensão ou de dreno comum usando um FET P221 Um servomecanismo hidráulico com retroação mecânica está mostrado na Fig P221 19 O êmbolo de potência possui uma área igual a A Ao deslocar a haste da válvula de uma pequena quantidade Δz o óleo fluirá para o cilindro a uma taxa p Δz onde p é o coeficiente do orifício Admitese que a pressão de entrada do óleo seja constante a Determinar um diagrama de fluxo de sinal a malha fechada para este sistema mecânico b Obter a função de transferência a malha fechada YsXs Cilindro de potência Pressão de entrada Entrada x Saída y Fig P221 Servomecanismo hidráulico P222 A Fig P222 mostra dois pêndulos suspensos através de pivôs sem atrito e interconectados por uma mola ligada aos pontos médios 1 Considerar que o pêndulo possa ser representado por uma massa M na extremidade de uma barra sem massa de comprimento L Considerar também que os deslocamentos são pequenos e que se podem usar aproximações para senθ e cosθ A mola está situada entre os pontos médios das barras e fica não distendida quando θ1 θ2 A força de entrada é representada por ft que influencia somente a barra da esquerda a Obter as equações do movimento e esboçar um diagrama de fluxo de sinal para elas b Determinar a função de transferência Ts θ1sFs c Esboçar a localização de pólos e zeros de Ts no plano s Fig P222 Cada uma das barras possui comprimento L e as extremidades da mola estão situadas em L2 P223 Um circuito equivalente para pequenos sinais relativo a um amplificador a transistor na configuração de emissor comum está mostrado na Fig P223 O circuito amplificador inclui um resistor de retroação Rf Obter um modelo em forma de diagrama de fluxo de sinal para o amplificador com retroação e determinar a relação entradasaída vcevin Fig P223 Amplificador de emissor comum P224 Um amplificador de tensão transistorizado de dois estágios com retroação está mostrado na Fig P224a Este circuito equivalente para corrente alternada omite os resistores de polarização e os capacitores em derivação A Fig P224b mostra uma representação deste circuito sob a forma de diagrama de fluxo de sinal Este diagrama de fluxo despreza os efeitos de hre que é usualmente uma aproximação precisa e considera que R2 RD R1 a Determinar o ganho de tensão eoein b Determinar o ganho de corrente ieibi c Determinar a impedância de entrada einibi P225 Quase sempre esquecido é o fato de que H S Black que se notabilizou pelo desenvolvimento de um amplificador com retroação negativa em 1927 tenha inventado três anos antes uma técnica conhecida como correção por ação à frente feedforward 20 Experimentos recentes têm mostrado que esta técnica oferece o potencial para produzir uma excelente estabilização de amplificadores O amplificador de Black está mostrado na Fig P225a na forma em que foi registrada em 1924 O diagrama de fluxo de sinal está mostrado na Fig P225b Determinar a função de transferência entre a saída Ys e a entrada Rs e entre a saída e uma perturbação Ds Gs é usada para o amplificador representado por μ na Fig P225a 84 Sistemas de Controle Modernos Fig P224 Amplificador com retroação Fig P225 Amplificador de H S Black P226 Um robô apresenta uma flexibilidade significativa nos membros do braço com uma carga pesada na garra 6 21 Um modelo de duas massas do robô está mostrado na Fig P226 Determinar a função de transferência YsFs Fig P226 Modelo molamassaamortecedor de um braço robótico P227 A levitação magnética de trens propicia uma alternativa de alta velocidade e muito baixo atrito para rodas de aço sobre trilhos de aço O trem flutua sobre um colchão de ar como está mostrado na Fig P227 27 A força de levitação FL é controlada pela corrente i nas bobinas de levitação e pode ser aproximada por FL k i2z2 onde z é o espaçamento de ar Esta força é oposta à força para baixo F mg Determinar as relações linearizadas entre o espaçamento de ar z e a corrente de controle nas proximidades da condição de equilíbrio P228 Um modelo multimaltas de um sistema ecológico urbano deve incluir as seguintes variáveis número de pessoas na cidade P modernização M migração para a cidade C instalações para saneamento S número de doenças D bactériasárea B e quantidade de lixo por área G onde o símbolo para a variável é dado entre parênteses Os seguintes laços de causa e efeito são considerados como hipóteses 1 P G B D P 2 P M C P 3 P M S D P 4 P M S B D P Esboçar um diagrama de fluxo de sinal para estas relações de causalidade usando símbolos apropriados para os ganhos Indicar se supõese ser positivo ou negativo o ganho da transmitância Por exemplo o elo causal de S para B é negativo porque um aumento das instalações de saneamento conduz a uma redução do número de bactériasárea Quais das quatro malhas são laços de retroação positiva e quais são laços de retroação negativa P229 Desejase equilibrar uma esfera que rola sobre uma barra oscilante como está mostrado na Fig P229 Admitese que a corrente de entrada i no motor controla o torque com atrito desprezível Supõese que a barra possa ser equilibrada próximo à horizontal φ 0 temse assim um pequeno desvio φ Determinar a função de transferência XsIs e desenhar um diagrama