Vetores: Definições, Propriedades e Operações

Vetores Arthur Batista de Souza IFTO Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 1 24 1 Vetores Definicoes e Notacoes Basicas Operacoes Geometricas com Vetores ˆAngulo entre dois Vetores 2 Vetores no R2 3 Igualdade e Operacoes com vetores Igualdade Adicao Produto por Escalar Vetor Definido por Dois Pontos Condicao de Paralelismo de Dois Vetores 4 Vetores no R3 Divisao dos Octantes e Pontos no R3 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 2 24 Vetores Reta Orientada Eixo Segmento Orientado Representacao AB Observacao 1 Se A B dizse que o segmento e nulo BA e o segmento oposto de AB Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 3 24 Medida de um Segmento Apos ter fixado uma unidade de medida a medida de um segmento orientado e o seu comprimento ou modulo Notacao AB Observacao 2 O segmento e nulo tem medida igual a zero AB BA Direcao e Sentido Dois segmentos orientados nao nulos AB e CD tˆem a mesma direcao se as retas suportes desses segmentos sao paralelas ou coincidentes Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 4 24 Observacao 3 So se compara os sentidos de segmentos orientados se eles tˆem a mesma direcao Dois segmentos orientados opostos tˆem sentidos contrarios Segmentos Equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD sao equipolentes se tˆem a mesma direcao modulo e sentido Notacao AB CD Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 5 24 Propriedades 1 i AB AB Reflexiva ii Se AB CD entao CD AB Simetrica iii Se AB CD e CD EF entao AB EF Transitiva iv Dado um segmento AB e um pontos C existe um unico ponto D tal que AB CD Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 6 24 Definicao 1 Vetor Um vetor v determinado por um segmento orientado AB e o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB Notacao v XY XY AB AB B A Observacao 4 As caracterısticas de uma vetor v sao as mesmas de qualquer um de seus representantes isto e modulo direcao e sentido Para indicar o modulo ou a norma de um vetor v sera utilizada a seguinte notacao v ou v Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 7 24 Definicoes e Notacoes Basicas Vetores Iguais AB CD AB CD Vetor Nulo Sera denotado por 0 Qualquer ponto no espaco e um representante do vetor nulo Vetores Opostos Dado v AB o vetor BA AB v e o oposto de v Vetor Unitario O v e unitario se v v 1 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 8 24 Versor O versor de um vetorv 0 e um vetor unitario de mesma direcao e sentido de v u1 e o versor de v Vetores Colineares ou Paralelos Dois vetores u e v sao colineares se tiverem a mesma direcao Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 9 24 Vetores Coplanares Os vetores u v e w sao coplanares se pertencem a um mesmo plano Observacao 5 Dois vetores sao sempre coplanares Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 10 24 Operacoes Geometricas com Vetores Adicao Diferenca Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 11 24 Multiplicacao por um Numero Real ou por Escalar Versor O versor de um vetor v e um vetor u v v Note que v 1 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 12 24 ˆAngulo entre dois Vetores ˆAngulo O ˆangulo entre dois vetores u OA e v OB nao nulos e o ˆangulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π Propriedades 2 i Se θ π u e v tˆem a mesma direcao e sentidos opostos ii Se θ 0 u e v tˆem a mesma direcao e sentido i Se θ π 2 u e v sao ortogonais isto e formam um ˆangulo de 90º Notacao u v Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 13 24 Vetores no R2 O conjunto R2 R R x y x y R e interpretado geometricamente como sendo o plano x y Combinacao Linear Dados dois vetores v1 e v2 nao colineares qualquer vetor v coplanar com v1 e v2 pode ser decomposto segundo as direcoes de v1 e v2 Neste caso dizse que o vetor v e combinacao linear de v1 e v2 e escrevese v a1v1 a2v2 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 14 24 Observacao 6 Se os vetores v1 e v2 nao sao colineares dizse que o conjunto v1v2 forma uma base do R2 a1 e a2 sao chamadas de componentes ou coordenadas de v na base v1v2 v a1v1 a2v2 a1 0 e a2 0 v a1v1 0v2 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 15 24 Bases Ortonormais Uma base e1 e2 e dita ortonormal se os vetores e1 e e2 sao ortogonais e unitarios isto e e1 e2 e e1 e2 1 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 16 24 Bases Canˆonica E uma base formada pelos vetores i j sendo i 1 0 e j 0 1 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 17 24 Assim dado um vetor v ele pode ser escrito como combinacao linear dos vetores da base canˆonica i j da seguinte forma v xi yj Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 18 24 Expressao Analıtica de um Vetor A expressao analıtica de um vetor no plano e um par ordenado x y de numeros reais e se representa por v x y Notase que v x y xi yj A componente x e chamada de abscissa A componente y e chamada de ordenada Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 19 24 Igualdade e Operacoes com vetores Sejam os vetores u x1 y1 e v x2 y2 e α R Igualdade Os vetores u e v sao iguais se e somente se x1 y1 x2 y2 x1 x2 e y1 y2 Adicao u v x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 Produto por Escalar αu αx1 y1 αx1 αy1 Exemplo 1 Inventar exemplos envolvendo soma um vetor a determinar e combinacao linear Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 20 24 Propriedades 3 Sejam os vetores u v w R2 e a b R P1 u v v u P2 u v w u v w P3 u 0 u P4 u u 0 P5 abu abu P6 a bu au bu P6 au v au av P8 1 u u Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 21 24 Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem Ax1 y1 e extremidade Bx2 y2 como na figura entao o vetor AB B A Condicao de Paralelismo de Dois Vetores Os vetores u x1 y1 e v x2 y2 sao colineares ou paralelos se existe k R tal que u kv isto e x1 y1 kx2 y2 x1 y1 kx2 ky2 x1 kx2 e y1 ky2 k x1 x2 e k y1 y2 x1 x2 y1 y2 k Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 22 24 Vetores no R3 O conjunto R3 R R R x y z x y z R e interpretado geometricamente como sendo o espaco x y z De forma analoga ao que foi feito para o R2 segue Qualquer conjunto v1 v2 v3 de trˆes vetores nao coplanares e uma base do R3 A bases canˆonica do R3 e a base ortonormal formada pelos vetores i j k sendo i 1 0 0 e j 0 1 0 e k 0 0 1 A expressao analıtica de um vetor no espaco e um terna ordenada x y z de numeros reais e se representa por v x y z Notase que v x y z xi yj zk A componente x e chamada de abscissa A componente y e chamada de ordenada A componente z e chamada de cota Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 23 24 Divisao dos Octantes e Pontos no R3 Prof Arthur arthursouzaiftoedubr G A A L 24 24