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Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 1 EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 2 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1 Classifique as variáveis abaixo a Tempo para fazer um teste b Número de alunos aprovados por turma c Nível socioeconômico d Gênero e Gastos com alimentação f Opinião com relação à pena de morte g Religião h Valor de um imóvel i Conceitos em certa disciplina 2 Os dados a seguir referemse ao número de livros adquiridos no ano passado pelos 40 alunos da Turma A 4 2 1 0 3 1 2 0 2 1 0 2 1 1 0 4 3 2 3 5 8 0 1 6 5 3 2 1 6 4 3 4 3 2 1 0 2 1 0 3 a Classifique a variável b Organize os dados em uma tabela adequada c Qual o percentual de alunos que adquiriram menos do que 3 livros d Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros e A partir do item b quantos livros foram adquiridos pelos 40 alunos 3 Os dados da tabela abaixo se referem aos valores em reais de uma amostra de cheques devolvidos por falta de fundos em março de 2007 no banco BHIH Determine o percentual de cheques devolvidos com valores inferiores a R 70000 Valores R Número cheques 400 500 12 500 600 10 600 700 05 700 800 18 800 900 05 Fonte Dados fictícios 4 A altura de 60 alunos da FACEPUC foi registrada abaixo em cm 174 170 156 168 176 178 162 182 172 168 166 156 169 168 162 160 163 168 162 172 168 167 170 153 171 166 168 156 160 172 173 163 170 175 176 182 158 176 161 175 173 163 172 167 170 179 179 170 151 175 152 151 172 173 170 174 167 167 158 174 a Construa uma distribuição de frequência fechada no limite inferior com 8 classes de amplitudes iguais adotando como limite inferior da distribuição 150 cm b Qual o percentual de alunos com altura mínima de 166 cm c Quantos alunos têm menos de 162 cm d Qual o percentual de alunos com altura média de 164 cm Qual a soma total aproximada das alturas dos 60 alunos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 3 5 O revisor de um jornal fez durante um mês o levantamento dos erros ortográficos encontrados no editorial do jornal Os resultados encontrados foram 0 1 0 1 0 0 0 0 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 1 4 1 1 0 0 3 5 1 0 0 1 a Faça uma distribuição de frequência dos dados b Calcule as medidas de tendência central c Calcule as medidas de dispersão 6 Durante certo período de tempo as taxas de juros para dez ações foram as que a tabela abaixo registra Ação 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Taxa 259 264 260 262 255 261 250 263 264 269 Calcule Use 4 casas após a vírgula a a taxa média b a taxa mediana c a taxa modal d o desvio padrão das taxas e o coeficiente de variação das taxas 7 As informações abaixo indicam o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos Nº DE ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7 Nº DE MOTORISTAS 15 11 20 9 6 5 3 1 a Determine o número de motoristas com menos de 1 acidente b Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes c Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes d Qual o número total de acidentes ocorrido no período e Qual a média de acidentes E a moda de acidentes E a mediana 8 Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado 2 supervisores 1 chefe de seção e 1 gerente que ganham respectivamente R130000 R160000 R275000 R500000 Qual o valor do salário médio e do desvio padrão do salário desses funcionários 9 Considere no exercício anterior que cada funcionário em questão recebeu aumento salarial de 10 qual será o valor do salário médio desses funcionários E o desvio padrão 10 Um estudo foi realizado por um professor em três turmas obtendo a média e o desvio padrão das notas de sua disciplina conforme abaixo Qual a turma com menor variabilidade Justifique adequadamente Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 4 TURMA A B C MÉDIA 65 80 80 DESVIO PADRÃO 22 17 20 11 Uma amostra de pessoas que trabalha com salário por dia em uma empresa é formada por subgrupos com as seguintes características 15 ganham R 5000 10 ganham R 6000 15 ganham R 4500 10 ganham R 9000 10 ganham R 12000 a Determine e interprete a mediana dos salários b Determine e interprete a média dos salários 12 O tempo de espera até o atendimento de uma amostra de clientes no escritório de um contador em certa semana foi o seguinte A partir destas informações a Identifique e classifique a variável de interesse b Determine o tempo médio de espera c Determine a moda do tempo espera 13 Um banco quer verificar a quantidade de tempo necessário para aprovar uma linha de crédito habitacional medida a partir do momento da solicitação do crédito Alguns pedidos amostra de crédito foram selecionados e determinouse a quantidade de tempo em dias úteis necessária para aprovar cada pedido Os valores são 18 16 17 12 14 16 16 21 18 11 16 18 Um segundo banco apresentou de acordo com uma amostra média de 13 dias para aprovação de crédito e desvio padrão 4 Em qual dos bancos existe menor variabilidade no número de dias necessários para aprovação de crédito Justifique 14 Os operários de um setor industrial têm em uma época 1 um salário médio de 8 salários mínimos sm e desvio padrão de 23 sm Um acordo coletivo prevê para uma época 2 um aumento de 60 mais uma parte fixa correspondente a 15 sm Calcule a média e o desvio padrão dos salários na época 2 Cliente Tempo min A 15 B 10 C 5 D 15 E 105 F 15 G 215 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 5 15 O Departamento de Pessoal de certa firma fez um levantamento sobre salários mensais em salários mínimos a partir de uma amostra de 130 funcionários do setor de produção obtendo os resultados abaixo Qual o percentual de pessoas que recebem pelo menos 12 salários mínimos Salários outubro14 Salário sm Freq Acumulada F 4 8 50 8 12 90 12 16 110 16 20 130 Fonte DH Respostas 1 a Quantitativa contínua b Quantitativa discreta c Qualitativa ordinal d Qualitativa nominal e Quantitativa contínua f Qualitativa nominal g Qualitativa nominal h Quantitativa contínua i Qualitativa ordinal 2 a Quantitativa discreta b x 0 1 2 3 4 5 6 8 f f 7 9 8 7 4 2 2 1 c 60 d 225 e 92 3 Fr3 2750100 54 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 6 4 a b 70 c 12 d 10 10108 cm 5 a Xi 0 1 2 3 4 5 fi 14 8 2 3 2 1 b Xis barra 11333 Med 1 Moda 0 c S2 211954 S 14559 V 12845 6 a xis barra 2607 b med 2615 c moda 264 d s 00525 e V 201 7 a 15 b 34 c 66 d 152 e 217 2 2 Altura Nde alunos 150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174 174 178 178 182 4 3 5 6 13 15 9 5 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 7 8 Xi fi fiXi fiXiXi 1300 4 5200 6760000 1600 2 3200 5120000 2750 1 2750 7562500 5000 1 5000 25000000 Total 8 16150 44442500 µ 161508 R201875 σ raiz4444250082018752 121654 9 µ 222063 σ 133818 10 Turma B menor coeficiente de variabilidade 11 Xi fi fiXi 45 15 675 50 15 750 60 10 600 90 10 900 120 10 1200 Total 60 4125 a xis barra 6875 b med 55 12 a Quantitativa contínua b xis barra 131429 minutos c moda 15 minutos 13 Banco 1 xis barra 160833 s 27455 V 1712 Banco 2 xis barra 13 s 4 V3077 Menor coeficiente Banco 1 14 Época 1 µ8 σ 23 Época 2 µ 143 σ 368 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 8 15 Salário sm Freq Acumulada F fi 4 8 50 50 8 12 90 40 12 16 110 20 16 20 130 20 Total 130 40130 03077 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 9 2 PROBABILIDADE 1 Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças em relação ao sexo das mesmas segundo a ordem de nascimento Enumerar os eventos a ocorrência de dois filhos do sexo masculino b ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino c ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino d ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino e ocorrência de somente crianças do sexo feminino 2 Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostra S expresse em termos de operações entre eventos a A ocorre mas B não ocorre b Exatamente um dos eventos ocorre c Nenhum dos eventos ocorre 3 Determinar o valor de probabilidade de que a soma dos pontos no lançamento de dois dados seja sete 4 Um grupo de 20 homens e três mulheres concorre a um prêmio através de um sorteio Qual a probabilidade de um homem ser sorteado 5 Uma urna contém 5 bolas vermelhas 3 azuis 10 amarelas Qual a probabilidade de sortearmos uma bola e ela não ser vermelha 6 Suponhamos que uma organização de pesquisa junto a consumidores tenha estudado os serviços prestados dentro da garantia por 200 comerciantes de pneus de uma grande cidade obtendo os resultados resumidos na tabela seguinte Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16 Vendedores de qualquer marca indiscriminadamente 42 78 Selecionado aleatoriamente um desses vendedores de pneus isto é cada vendedor tem a mesma probabilidade de ser selecionado determine a probabilidade de a escolher um vendedor de determinada marca b escolher um vendedor que presta bons serviços dentro da garantia c escolher um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia d sabendose que o vendedor escolhido é de determinada marca prestar bons serviços dentro da garantia e um vendedor prestar bons serviços sob a garantia dado que não é vendedor de uma única marca determinada Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 10 7 Seja Z uma variável aleatória contínua distribuída normalmente com média zero e desvio padrão 1 isto é ZN01 Determine a P Z 1 h PZ 16 b P Z 289 i PZ 174 c P Z 2 j P 131 Z 241 d P 1 Z 203 k P Z 235 e PZ 13 l P Z 436 f PZ 0 m P Z 632 g P 1 Z 061 n P Z 421 8 Seja Z uma v a c normalmente distribuída com média 0 e desvio padrão 1 Determine 81 o valor de z1 tal que a P Z z1 00495 b P Z z1 09474 c P Z z1 00618 d P Z z1 08212 82 Sejam z1 e z2 simétricos dois particulares valores de Z Determineos tais que a P z1 Z z2 09216 b P z1 Z z2 08858 9 Seja X uma vac normalmente distribuída com média 300 e desvio padrão 2 Calcule a probabilidade de X assumir valores a menores que 30248 b maiores que 29814 c entre 2976 e 30386 10 O número de pedidos de compra de certo produto que uma cia recebe por semana distribuise normalmente com média 125 e desvio padrão de 25 Se em uma dada semana o estoque disponível é de 150 unidades determine a a probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos b qual deveria ser o estoque para se tivesse 99 de probabilidade de que todos os pedidos fossem atendidos 11 Uma máquina automática que enche garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 com desvio padrão de 10 cm3 Podese admitir que a distribuição da variável seja normal a Qual a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 b Qual a percentagem de garrafas em que o volume do líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões c O que acontecerá com a percentagem do item b se a máquina for regulada de forma que a média seja 1200 cm3 e o desvio padrão 20 cm3 12 Suponha que o peso das pessoas de certa comunidade tenha distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 10 kg Determine a porcentagem das pessoas que pesam a 55kg ou mais b 58 kg ou menos c entre 52 e 70 kg Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 11 13 Sabese que os graus atribuídos por certo professor a seus alunos tem distribuição normal com média 5 e desvio padrão 2 O professor atribuiu conceitos da seguinte forma A grau maior ou igual a 8 B grau maior ou igual a 6 e inferior a 8 C grau maior ou igual a 4 e inferior a 6 D grau inferior a 4 Determine a porcentagem de alunos com conceito A B C e D 14 O gerente de um banco tem seu domicílio no bairro A Ele deixa sua casa às 8 h e 45 min dirigindose ao emprego e iniciando seu trabalho as 9 h A duração dessa viagem tem média de 13 min e desvio padrão 3 min Considerando que o tempo de duração da viagem tem distribuição normal determine a probabilidade de o gerente chegar atrasado ao banco 15 As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média igual a 53 unidades monetárias e desvio padrão igual a 12 um a Qual a probabilidade das vendas excederem 70 um em determinado dia b Esse restaurante deve vender no mínimo 30 um por dia para não ter prejuízo Qual a probabilidade de que em certo dia haja prejuízo 16 Suponhamos que o nível educacional de adultos de certo pais apresenta distribuição normal com média de 11 anos e desvio padrão de 2 anos determine a a probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente tenha entre 9 e 14 anos de tempo de estudo b a probabilidade de que um adulto tenha mais de 18 anos de estudo c o número de adultos que se espera que tenham menos de 7 anos considerando uma amostra de 500 adultos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 12 Respostas 1 ocorrência de dois filhos do sexo masculino Ammf fmm mfm ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino B S fff ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino C S fff ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino D mmm ocorrência de somente crianças do sexo feminino E fff 2 a A ocorre mas B não ocorre AB b Exatamente um dos eventos ocorre AB U AB c Nenhum dos eventos ocorre AB A A não ocorre B B não ocorre 3 n 36 A433425526116 PA 636 16 4 PH 2023 5 Pnão vermelha 1318 6 a 040 b 053 c 032 d 080 e 035 7 a b c d e f g 01587 00019 00228 08202 09032 05000 01123 h i j k l m n 00548 00409 00871 09906 00000 00000 00000 81 a P Z z1 00495 R 165 b P Z z1 09474 R 162 c P Z z1 00618 R 154 d P Z z1 08212 R 092 82Sejam z1 e z2 simétricos dois particulares valores de Z Determineos tais que P z1 Z z2 09216 R 176 e 176 P z1 Z z2 08858 R158 e 158 9 a 08925 b 08238 c 08581 10 Z15012525 100 a PZ100 08413 b 099 Z 233 X 12523325 183 11 a 1587 b 9544 c 9544 12 a 6915 b 4207 c 6294 13 R 668 2417 383 e 3085 14 R 02546 15 a 00778 b 00274 16 a 07745 b 0 c 1140 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 13 3 AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO 1 Uma organização governamental de estudantes está interessada em avaliar a proporção de estudantes que está a favor de mudança no tempo de duração dos cursos Uma lista de nomes e endereços dos 645 estudantes arrolados durante o corrente semestre está disponível no escritório do oficial de registro Usando números aleatórios de três dígitos na linha 10 da Tabela e movendose da esquerda para a direita identifique os primeiros 10 estudantes que seriam selecionados usando a AAS Os números aleatórios de três dígitos começam com 816 283 e 610 2 O County and City Data Book publicado pelo Departamento de Recenseamento lista informações dos 5139 condados de todos os Estados Unidos Use números aleatórios de quatro dígitos a partir da última coluna da Tabela para identificar os números correspondentes a cinco condados selecionados para a amostras Ignore os primeiros dígitos e comece com os números aleatórios de quatro dígitos 9945 8364 5702 e assim por diante 3 Suponha que queremos identificar uma amostra aleatória simples de 8 dos 372 médicos em uma determinada cidade Os nomes dos médicos estão disponíveis na organização médica local Use a oitava coluna de números aleatórios de cinco dígitos na Tabela para identificar os 8 médicos para a amostra Ignore os primeiros dois dígitos aleatórios em cada um dos grupos de números aleatórios de cinco dígitos Este processo começa com o número aleatório 108 e continua de cima para baixo na coluna de números aleatórios Tabela de Números Aleatórios Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 14 4 Os seguintes dados são de uma amostra aleatória simples AAS 5 8 10 7 10 14 a Qual é a estimativa por ponto da média da população b Qual é a estimativa por ponto do desviopadrão da população 5 Um levantamento para uma amostra de 150 indivíduos produziu 75 respostas Sim 55 respostas Não e 20 respostas Sem opinião a Qual é a estimativa por ponto da proporção na população que respondeu Sim b Qual é a estimativa por ponto da proporção na população que respondeu Não 6 Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 32 e um desviopadrão da população de 6 a Forneça um intervalo de confiança de 90 para a média da população b Forneça um intervalo de confiança de 95 para a média da população c Forneça um intervalo de confiança de 99 para a média da população 7 Informase que um intervalo de confiança de 95 para uma média da população é de 122 a 130 Se a média é 126 e o desviopadrão é 1607 que tamanho de amostra foi usado nesse estudo 8 Os seguintes dados foram coletados para uma amostra de uma população normal 10 8 12 15 13 11 6 5 a Qual é a estimativa pontual da média da população b Qual é a estimativa pontual do desviopadrão da população c Qual é o intervalo de confiança de 95 para a média da população 9 O Secretário de Saúde do Império Romano propôsse a melhorar o atendimento médico à plebe Como não há dinheiro para contratar mais médicos ele decidiu tornar o atendimento mais eficiente Para estimar o tempo médio gasto em cada consulta ele sorteou 64 pacientes de um hospital público aleatoriamente escolhido essa amostra indicou que o tempo médio de atendimento era de 10 minutos com um desvio padrão de 3 minutos Com base nisso determine o tempo médio de atendimento a um nível de confiança de 90 10 Uma pesquisa em 17 cinemas de São Paulo indicou que o ingresso custava em média US 550 com um desvio padrão de US 050 Com base nesses resultados determine a a estimativa do preço médio dos ingressos de cinema em São Paulo em nível de confiança de 95 para a estimativa b o erro máximo associado a essa estimativa 11 A Good Times mediu o tempo de duração de 50 fitas DVD O tempo médio obtido foi 618 min com um desvio padrão de 35 min Determine com nível de confiança de 95 a o erro máximo do tempo médio b a estimativa intervalar c o tamanho da amostra para que o erro fique limitado a 2 minutos 12 A Industrial ABC SA fabricante de lâmpadas elétricas desejando conhecer o tempo médio de duração de seu produto selecionou uma amostra aleatória de 10 unidades apurando os seguintes valores em horas 220 249 236 224 251 218 232 254 238 278 Determine um intervalo de 95 de confiança para a estimação desejada Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 15 13 Um comprador potencial deseja estimar o valor médio das compras em uma loja de brinquedos num aeroporto Com base em dados de outros aeroportos similares sabese que o desvio padrão de tais vendas é de US 080 Qual o tamanho mínimo que deveria ter a amostra aleatória se ele deseja estimar a média das vendas com uma precisão erro de US 025 e com uma confiança de 99 14 O diretor de recursos humanos da Informatex necessita estimar o número médio de horas de treinamento para seus vendedores Determine o tamanho mínimo de amostra necessário para tanto admitindo um fator de erro de mais ou menos quatro horas e um desvio padrão populacional de 12 horas a a um nível de confiança de 95 b a um nível de confiança de 99 c Compare os resultados de a e b Comente 15 A distribuição dos diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina tem distribuição normal Uma amostra de 5 parafusos apresentou os seguintes diâmetrosem mm 254 252 253 250 254 Construa um intervalo de 98 de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos por essa máquina 16 Numa amostra aleatória de 200 eleitores perguntouse em quem votariam na próxima eleição para governo do estado Sabendo que o mais votado recebeu 45 das intenções de voto determine um intervalo de confiança das intenções de voto para esse candidato com 1 95 17 Numa pesquisa de mercado bem conduzida 57 de 150 pessoas afirmaram que seriam compradores de certo produto a ser lançado Essa amostra é suficiente para estimar a proporção real de futuros compradores com uma precisão de 007 e uma confiabilidade de 90 Se a amostra for suficiente determine a estimativa para a proporção de compradores 18 As regras da legislação eleitoral atualmente em vigor estabelecem que os cargos majoritários sejam disputados em dois turnos exceto se um dos candidatos obtiver no 1º turno mais de 50 dos votos válidos Para as prefeituras tal regra só é válida para as cidades com mais de 200 000 habitantes Em uma dessas cidades 396 pessoas de uma amostra de 720 demonstraram a intenção de votar no candidato da situação Podemos dizer que existe uma confiança de 97 que ali a eleição será definida no primeiro turno 19 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostranos que 25 deles são casas de aluguel Qual é o intervalo de confiança que podemos razoavelmente supor que seja o da proporção de casas de aluguel Use uma confiança de 98 20 O desempenho dos vendedores de uma organização comercial foi medido através de escores de 0 a 10 Uma amostra de 200 vendedores apresentou os seguintes escores Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 16 Escore Nº vendedores 0 2 28 2 4 43 4 6 49 6 8 41 8 10 39 Total 200 Estime com 190 a proporção de vendedores com escore mínimo 6 21 O coordenador de um curso de pósgraduação em economia está interessado em determinar a proporção de alunos matriculados que tem acesso a um computador pessoal fora da universidade Determine uma estimativa com 99 de confiança se uma amostra de 150 alunos revelou que 105 têm acesso a um computador pessoal fora da universidade 22 O gerente de um banco em uma cidade pequena gostaria de determinar a proporção de seus correntistas que recebem salários semanalmente Determine uma estimativa com 90 de confiança da proporção na população de correntistas do banco que são pagos por semana se uma amostra de 145 apresentou 29 que recebiam por semana 23 Uma empresa de televisão a cabo deseja calcular a proporção de clientes que comprariam um guia de programação de tevê a cabo A empresa gostaria de ter 95 de confiança de que sua estimativa esteja correta com uma margem de erro de no máximo 005 Experiências do passado em áreas similares indicam que 30 dos clientes comprariam o guia de programação Qual o tamanho mínimo necessário da amostra 24 Um pesquisador de mercado de uma grande empresa de eletroeletrônicos gostaria de estudar os hábitos relativos a assistir televisão dos moradores de certa cidade Uma amostra de 40 moradores forneceu após uma semana de registro de seus hábitos o seguinte Tempo médio assistido por semana 153 horas Desvio Padrão 38 horas Nº moradores que assistem ao noticiário noturno no mínimo 3 noites por semana 27 a Estime com 90 de confiança o tempo médio que se assiste TV por semana nesta cidade b Estime com 96 de confiança a proporção de pessoas que assistem ao noticiário noturno pelo menos três vezes por semana Se o pesquisador quiser conduzir uma pesquisa semelhante em outra cidade c Qual o tamanho mínimo da amostra se desejar 95 de confiança de não errar mais de 2 horas e partir do pressuposto de que o desvio padrão populacional é de 5 horas d Qual o tamanho mínimo da amostra se desejar 95 de confiança e um erro de 005 ao estimar a proporção de pessoas que assistem ao noticiário noturno pelo menos 3 vezes por semana Utilize como estimativa da proporção o valor obtido na pesquisa acima Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 17 Respostas 1 283610039254568353602421638164 2 2782 3263 0493 4935 0825 3 108 290 201 292322 009 244 249 4 a 9 b 31 5 a 05 ou 50 b 037 ou 37 6 a 32165650 3060 a 3340 b 32196650 3034 a 3366 c 32258650 2981 a 3419 7 62 8 a xis barra 10 b s346 c 1023653468 710 1290 9 P938 min µ 1062 min 90 10 a PUS 524 µ US 576 95 b US 026 11 a 097 min b P6082 min µ 6277 min 95 c n12 12 P22674h µ 25320h 95 13 n69 14 a n 35 b n60 c Quanto maior a confiança maior o tamanho da amostra 15 P2498mm µ 2524mm 98 16 P38 π 52 95 17 P32 π 44 95 18Sim pois P51 π 59 97 19 P20 π 30 98 20 P34 π 46 90 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 18 21 P6035 π 7965 95 22 P1455 π 2645 90 23 n323 24 a P1431h µ 1629h 90 b P5232 π 8268 96 c n 25 d n338 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 19 4 TESTE DE HIPÓTESES 1 Uma operação de linha de produção foi programada para colocar 500 g de detergente em pó em cada caixa de papelão Uma amostra de caixas de papelão é periodicamente selecionada e pesada para determinar se está dentro do padrão Se os dados da amostra levarem à conclusão de excesso de enchimento ou falta de enchimento a linha de produção será paralisada e calibrada para se obter o enchimento apropriado das caixas a Formule as hipóteses nula e alternativa que auxiliarão a decisão de paralisar a produção b Comente a conclusão quando H0 não pode ser rejeitada c Comente a conclusão quando H0 pode ser rejeitada 2 Os americanos gastam uma média de 86 minutos por dia lendo jornais USA Today 10 de abril de 2015 Um pesquisador acredita que os indivíduos nas posições de gerência gastam mais do que o tempo médio nacional por dia lendo jornais Uma amostra dos indivíduos em posições de gerenciamento será selecionada pelo pesquisador Os dados sobre os tempos de leitura dos jornais serão usados para testar as seguintes hipóteses nula e alternativa H0 86 H1 86 a Qual é o erro do tipo I Quais são as consequências de se cometer esse erro b Qual é o erro do tipo II Quais são as consequências de se cometer esse erro 3 O pessoal de vendas da Carpetland tem tido vendas de US 8 000 por semana em média Paulo Ferreira o vicepresidente da empresa propôs um plano de compensação com novos incentivos de vendas Paulo espera que os resultados de um período experimental de vendas lhe possibilitem concluir que o plano de compensação aumenta as vendas médias por vendedor a Desenvolva as apropriadas hipóteses nula e alternativa Qual é o erro do tipo I nessa situação Quais são as consequências de se cometer esse erro b Qual é o erro tipo II nessa situação Quais são as consequências de se cometer esse erro 4 A floricultura de Jane se especializou em jardinagem com projetospadrão para as áreas residenciais O custo de mão de obra associado a uma determinada proposta de jardinagem está baseado no número de plantações de árvores arbustos etc a serem usados no projeto Para estimativas de custos os gerentes usam 2h como tempo de mão de obra para se plantar uma árvore de tamanho médio com desvio padrão de 05 hora Os tempos de uma amostra de 10 plantações durante o mês passado são apresentados a seguir em horas 19 17 28 24 26 25 28 32 16 25 Usando 005 teste se o tempo médio de plantações de uma árvore excede 2 horas Qual é sua conclusão e que recomendações você consideraria fazer aos gerentes 5 Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas de seu produto é em média de 2000 gramas com desvio padrão de 40 gramas A fiscalização de pesos e medidas investigou uma amostra de 64 latas verificando média de 1990 g Fixado o nível de significância em 5 deverá o fabricante ser multado por efetuar a venda abaixo do especificado Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 20 6 Um fabricante de lâmpadas afirma que a duração média de seu produto é de 500 horas Acreditando que a média seja inferior à anunciada um comprador selecionou 10 lâmpadas que acusou média de 490 h com desvio padrão de 12 h Teste com 5 7 A indústria ABC SA fabricante de certo equipamento eletrônico substituiu certo componente importado pelo similar nacional Um comprador da referida indústria supõe que tal substituição tenha diminuído a duração do produto que antes era anunciada como sendo em média 200 horas Para julgar sua suposição o comprador testou uma amostra de 10 unidades verificando média de 197 horas com desvio padrão de 632 h Com 5 estabeleça a conclusão alcançada pelo comprador 8 Uma cadeia de lanchonetes se propõe a instalar uma nova filial se pelo local passarem mais de 200 carros por hora em certo período do dia Em 20 horas escolhidas ao acaso passaram pelo local no período de interesse em média 2085 carros com desvio padrão de 30 carros Com 5 a nova filial deve ser instalada 9 Uma companhia de seguros está disposta a iniciar uma campanha de colocação de apólices no mercado se verificar que a quantia média segurada por família da região alvo é inferior a 10000 um Uma amostra casual de 20 famílias da referida região acusou média de 9600 um com desvio padrão de 1000 um Usando 5 de significância decida sobre se a campanha deve ou não iniciar admitindo normalidade para a população 10 Certo fabricante de parafusos anuncia que 90 do seu produto não apresenta qualquer tipo de defeito Um comprador acredita que a percentagem de parafusos perfeitos é diferente da anunciada pelo fabricante Para verificar tal hipótese examinou 400 parafusos verificando que 344 eram perfeitos Com 2 realize o teste correspondente 11 Certa organização médica afirma que um novo medicamento é de qualidade superior ao até então existente que é 80 eficaz na cura de determinada doença Examinada uma amostra de 300 pessoas que sofriam da doença constatouse que 249 ficaram curadas com o novo medicamento Com 5 teste a afirmação da organização 12 Uma agência de viagens tem um tradicional plano de férias que é oferecido a todos os possíveis clientes que procuram a agência O índice de respostas positivas é historicamente 20 Este ano uma amostra de 50 potenciais clientes mostrou que 15 adquiriam o plano de férias Teste 6 a hipótese de que o percentual de respostas positivas tenha aumentado este ano 13 Um banco de investimento calcula que 20 dos empréstimos são concedidos a pequenas empresas Com a finalidade de aumentar esta percentagem o governo resolveu subsidiar os juros para este tipo de empresa Após algum tempo de vigência desta política o banco amostrou ao acaso 40 projetos de financiamento e verificou que 12 deles se destinavam a pequenas empresas Teste ao nível de 1 a hipótese de que a política tenha sido bem sucedida 14 Um consumidor de certo produto denunciou seu fabricante afirmando que este coloca no mercado uma quantidade de unidades defeituosas que supera 20 da quantidade total Uma investigação foi conduzida com uma amostra aleatória de 50 unidades das quais 28 acusaram defeito Você diria que a investigação fundamenta a denúncia Use 10 de significância Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 21 15 Os produtores de um programa de televisão acham que devem modificálo caso sua assistência regular seja inferior a um quarto dos possuidores de aparelhos de TV Uma pesquisa foi feita em 400 domicílios selecionados aleatoriamente mostrando que em 80 o programa era assistido regularmente Qual a decisão dos produtores com 3 de significância Respostas 1 a H0 500g H1 500g b Não rejeitase Ho logo a linha de produção não será paralisada e calibrada c Rejeitase Ho logo a linha de produção será paralisada e calibrada 2 H0 86 H1 86 a Erro do tipo I rejeitar Ho 86 verdadeiro Tomase uma decisão usando 86 b Erro do tipo II não rejeitar Ho 86 quando é falso Tomase uma decisão usando 86 3 H0 8000 H1 8000 c Erro do tipo I rejeitar Ho 8000 verdadeiro Tomase uma decisão usando 8000 d Erro do tipo II não rejeitar Ho 8000 quando é falso Tomase uma decisão usando 8000 4 OneSample Z C1 Test of µ 2 vs µ 2 The assumed sigma 05 Variable N Mean StDev Z P C1 10 2400 0516 253 0006 Rej Ho 5 H0 2000 H1 2000 Rejeitar Ho se Zc165 Zc200 Rej Ho 6 OneSample T Test of µ 500 vs µ 500 N Mean StDev T P 10 490000 12000 264 0014 Rej Ho 7 H0 200 H1 200 Rejeitar Ho se Tc1833 t150 Não rejeita Ho 8 H0 200 H1 200 Rejeitar Ho se Tc 1729 Tc1267 Não Rejeita Ho 9 H0 10000 H1 10000 Rejeitar Ho se Tc 1729 R t1789 Rej Ho 10 Test for One Proportion Test of 09 vs 09 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 344 400 0860000 267 0008 Rejeitar Ho se Zc 233 e se Zc 233 1729 Rejeita Ho 11 Test of 08 vs 08 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 249 300 0830000 130 09032 Rejeitar Ho se Zc 165 Não Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 22 12 Test of 02 vs 02 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 15 50 030000 177 00384 Rejeitar Ho se Zc 156 Rejeita Ho 13 Test of 02 vs 02 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 12 40 030000 158 00571 Rejeitar Ho se Zc 233 Não Rejeita Ho 14 Test for One Proportion Test of 02 vs 02 Sample X N Sample p ZValue PValue 1 14 50 0280000 141 0079 Rejeitar Ho se Zc 128 Rejeita Ho 15 Test for One Proportion Test of 025 vs 025 Sample X N Sample p ZValue PValue 1 80 400 0200000 231 00104 Rejeitar Ho se Zc 188 Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 23 5 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 1 Um agricultor plantou um pé de feijão no quintal de sua casa anotando semanalmente sua altura Com tais dados abaixo determine a O coeficiente de correlação linear de Pearson b A equação da reta de regressão que define o crescimento do pé de feijão c A época em que o dito pé de feijão terá 60 cm de altura d A altura que o pé de feijão tinha com 35 semanas de vida e Faça o teste de significância com 5 para a correlação 2 A tabela a seguir apresenta o tempo médio de treino de um grupo de atletas e os respectivos pontos num teste de aptidão física Atleta A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 Tempo 5 3 4 1 6 8 10 9 7 2 11 Pontos 30 25 27 15 38 45 51 47 41 19 55 a Represente estes dados graficamente b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson c Determine a equação para estimar o número de pontos em função do tempo de treino d Encontre o número de pontos para um atleta que não treine e para um que treine 8 h e Faça o teste de significância 5 para a correlação 3 Há suspeitas de que a qualidade do remédio depende do tempo de maturação despendido em sua produção Para verificar isso um laboratório farmacêutico coletou os seguintes dados Tempomin 1 2 3 4 5 6 Qualidade 23 31 40 46 52 63 a Represente estes pontos graficamente b Determine o coeficiente de correlação Interprete c Determine a reta de regressão Interprete os coeficientes 4 O gerente de uma indústria de um país tropical suspeita que há correlação entre a temperatura do dia e a produtividade Dados coletados aleatoriamente ao longo de seis meses revelaram o que segue na tabela abaixo X temperatura e Y produtividade a Explique o r de Pearson b Interprete o r2 c Existe regressão Justifique d Escreva a equação de regressão linear e interprete o coeficiente b da reta e Estime a produtividade para um dia com temperatura de 25º 5 Para uma amostra de 10 tomadores de empréstimos em uma companhia financeira o coeficiente de correlação entre a renda familiar e débitos a descoberto de curto prazo foi calculado em r050 Testar a hipótese de que não existe correlação entre as duas variáveis para toda a população de tomadores de empréstimos usando α5 Idade sem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Altura cm 5 12 16 22 34 38 41 45 50 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 24 6 Os comerciantes de carros costumam ser consultados por telefone por clientes interessados na venda ou troca de seus veículos Cansados de informar simplesmente que o preço só podia ser definido vistoriando o veículo decidiram que ao menos uma estimativa devia ser dada Por exemplo com base na quilometragem do veículo no momento da consulta Para tanto tabularam a quilometragem em 1000 km e os preços de venda em 10000 de 13 unidades diferentes Obtiveram os seguintes valores Km 35 10 25 50 30 15 70 40 55 20 45 65 60 Preço 50 71 59 37 57 67 23 44 36 65 43 28 30 a Represente graficamente estes pontos b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson Interprete c Determine o coeficiente de explicação para a reta Interprete d Ajuste os dados através de uma reta de mínimos quadrados Interprete os coeficientes da reta e Estime o preço de um automóvel com 62000 km 7 Uma cadeia de supermercados financiou um estudo dos gastos realizados por família de quatro pessoas com renda mensal líquida entre oito e vinte salários mínimos sm A pesquisa levou à equação de regressão Y 12 04X onde Y representa a despesa mensal estimada através do modelo e X à renda mensal líquida em número de sm a Estime a despesa mensal de uma família com renda mensal líquida de 15 sm b A equação parece sugerir que uma família com renda mensal de 3 sm nada gasta com mercadorias O que você tem a dizer sobre isso c A equação em questão serve para estimar a despesa mensal de uma família de 5 pessoas com renda líquida de 12 sm Justifique 8 Os dados abaixo relacionam as vendas e os lucros da Brazils Ghost milhões de dólares Ano 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Vendas 246 276 374 466 686 735 839 732 900 887 919 983 Lucros 18 22 30 35 51 55 68 55 70 65 70 80 a Represente estes pontos num diagrama de dispersão b Encontre o coeficiente de correlação entre Vendas e Lucros Interpreteo c Ache o coeficiente de determinação Interpreteo d Faça o teste de significância ao nível de 5 para a correlação 9 A tabela abaixo mostra o volume de vendas em 1000 unidades e os gastos promocionais em R 10000000 Vendas 80 90 95 95 100 110 115 110 120 130 Promoção 2 4 5 6 8 10 10 12 12 15 a Represente graficamente estes pontos b Calcule o coeficiente de correlação de Pearson Interprete o resultado c Você acha conveniente estimar a reta de regressão baseado no resultado obtido anteriormente Por quê d Determine os coeficientes da reta de regressão e interpreteos e Para gastos promocionais de R 130000000 qual o provável volume de vendas f Para vendas de 98000 unidades quais os gastos promocionais que devem ser feitos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 25 g Poderíamos utilizando este modelo de regressão efetuar uma previsão de gastos promocionais para uma provável venda de 200000 unidades Explique sua resposta 10 Abaixo você encontra uma lista de situações de pesquisa Para cada uma indique se o apropriado é uma análise de correlação ou uma de regressão Justifique sua indicação a A quantidade procurada da carne gado depende do preço da carne de porco b O objetivo é estimar o tempo necessário à consecução de certa tarefa usando para tanto o tempo de treinamento do executor c O preço de uma reforma depende dos valores dos artigos usados no acabamento d Estime o número de milhas que um pneu radial possa rodar antes de ser substituído e Desejase prever quanto tempo será necessário para uma pessoa completar determinada tarefa com base no número de semanas de treinamento f Decida se o número de semanas de treinamento é uma variável importante para avaliar o tempo necessário para realizar uma tarefa Respostas 1 Idade X Altura Y X2 Y2 XY 1 5 1 25 5 2 12 4 144 24 3 16 9 256 48 4 22 16 484 88 5 34 25 1156 170 6 38 36 1444 228 7 41 49 1681 287 8 45 64 2025 360 9 50 81 2500 450 Total 45 263 285 9715 1660 a r 09887 b Y575X 04722 c 1035 sem d 206 cm e Test of ρ 0 vs ρ 0 TValue PValue 1741 0000 Rejeitar Ho se tc 23646 ou tc 23646 Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 26 2 Atleta Tempo Pontos X2 Y2 XY A1 5 30 25 900 150 A2 3 25 9 625 75 A3 4 27 16 729 108 A4 1 15 1 225 15 A5 6 38 36 1444 228 A6 8 45 64 2025 360 A7 10 51 100 2601 510 A8 9 47 81 2209 423 A9 7 41 49 1681 287 A10 2 19 4 361 38 A11 11 55 121 3025 605 Total 58 338 472 14300 2574 a b r 09955 c Y40091X 11673 d 437458 e Test of ρ 0 vs ρ 0 TValue PValue 3167 0000 Rejeitar Ho se tc 22622 ou tc 22622 Rejeita Ho 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 Pontos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 27 RESUMO DOS RESULTADOS Excel Estatística de regressão R múltiplo 0995457 RQuadrado 0990935 Rquadrado ajustado 0989928 Erro padrão 1340511 Observações 11 Coeficiente s Erro padrão Stat t valorP Interseção 1167273 0866868 134654 287E07 Variável X 1 4009091 0127813 3136692 167E10 3 a Tempomin Qualidade X2 Y2 XY 1 23 1 529 23 2 31 4 961 62 3 40 9 1600 120 4 46 16 2116 184 5 52 25 2704 260 6 63 36 3969 378 Total 21 255 91 11879 1027 b r 09962 Há uma relação quase perfeita entre tempo de maturação e qualidade do produto c Y 156 76857X a 156 é a qualidade média inicial do produto sem nenhum tempo de maturação b 76857 é o acréscimo na qualidade do produto por tempo de maturação y 76857x 156 R² 09925 0 20 40 60 80 0 2 4 6 8 Qualidade Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 28 4 a r 08512 b r2 07245 c Teste de Hípóteses Ho β 0 H1 β 0 tc 761 Tabela t 4gl α 005 27765 Rejeitase Ho logo existe a regressão α 005 d Y 198601 260807X b 260807 é o decréscimo na produtividade por aumento de uma unidade na temperatura ºC e Y 1334 5 a Teste de Hípóteses Ho ρ0 H1 ρ 0 tc1633 Tabela t 8gl α 005 23060 Não rej H0 logo não existe a correlação entre a renda familiar e débitos a descoberto de curto prazo α 005 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0851186 RQuadrado 0724518 Erro padrão 6022912 Observaçõe s 24 Coeficiente s Erro padrão Stat t valorP 95 inferiores 95 superiores Interseção 198601 9226911 2152411 286E16 1794656 2177365 Temperatura 260807 034287 760658 135E07 331914 1897 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 29 6 Km Preço X2 Y2 XY 35 5 1225 25 175 10 71 100 5041 71 25 59 625 3481 1475 50 37 2500 1369 185 30 57 900 3249 171 15 67 225 4489 1005 70 23 4900 529 161 40 44 1600 1936 176 55 36 3025 1296 198 20 65 400 4225 130 45 43 2025 1849 1935 65 28 4225 784 182 60 3 3600 9 180 520 61 25350 31648 20705 a b r 09960 Há uma relação inversa quase perfeita entre preços dos carros e quilometragem c r2 09920 9920 das variações dos preços dos carros são explicados pelas variações na quilometragem dos veículos e viceversa d Y 79407 00812X a R 7940700 é o preço médio de um carro zero km b R 81200 é o decréscimo no preço do veículo para cada 1000 km rodados y 00812x 79407 R² 0992 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Preço Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 30 e X 62 Y R 2906300 Estatística de regressão R múltiplo 09959822 RQuadrado 0991980543 Rquadrado ajustado 0991251501 Erro padrão 0148502347 Observações 13 Coeficientes Erro padrão Stat t valorP Interseção 7940659341 0097217607 8167923 115E16 Km 008120879 0002201545 368872 701E13 7 a 48 sm b A equação é para famílias de 4 pessoas c A equação é para famílias de 4 pessoas 8 Vendas Lucros X2 Y2 XY 246 18 60516 324 4428 276 22 76176 484 6072 374 3 139876 9 1122 466 35 217156 1225 1631 686 51 470596 2601 34986 735 55 540225 3025 40425 839 68 X3 Y3 XY 732 55 535824 3025 4026 90 7 8100 49 630 887 65 786769 4225 57655 919 7 844561 49 6433 983 8 966289 64 7864 Total 8043 619 5447988 32009 417326 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 31 a b r 09944 Há uma fortíssima relação direta entre Lucros e Vendas cr2 09889 9889 das variações nos Lucros são explicadas pelas variações nas Vendas e viceversa d Teste de Hípóteses Ho ρ0 H1 ρ 0 tc29788 valorp 425E11 Tabela t 10gl α 005 22281 Rej H0 logo existe a correlação entre lucros e vendas α 005 9 Vendas Promoção X2 Y2 XY 80 2 6400 4 160 90 4 8100 16 360 95 5 9025 25 475 95 6 9025 36 570 100 8 10000 64 800 110 10 12100 100 1100 115 10 13225 100 1150 110 12 12100 144 1320 120 12 14400 144 1440 130 15 16900 225 1950 1045 84 111275 858 9325 a y 00782x 00809 R² 09889 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 Lucros Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 32 b r 09733 Há uma fortíssima relação direta entre vendas e promoção c É conveniente estimar a reta de regressão pois a relação entre as variáveis é muito forte d Y 743504 35892X a e b em R 1mil a 743504 mil é o volume de vendas médio inicial quando não há investimento em promoções b 35892 mil é o acréscimo no volume de vendas quando há um investimento de 1 unidade R100 mil em propaganda e X13 Y 121010 unidades f Y 98 X R 65891000 g Não pois está fora do intervalo de variação de Y 10 a Correlação b Regressão c Correlação d Regressão e Regressão f Correlação y 02639x 19181 R² 09473 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 20 40 60 80 100 120 140 Promoção
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Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 1 EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 2 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1 Classifique as variáveis abaixo a Tempo para fazer um teste b Número de alunos aprovados por turma c Nível socioeconômico d Gênero e Gastos com alimentação f Opinião com relação à pena de morte g Religião h Valor de um imóvel i Conceitos em certa disciplina 2 Os dados a seguir referemse ao número de livros adquiridos no ano passado pelos 40 alunos da Turma A 4 2 1 0 3 1 2 0 2 1 0 2 1 1 0 4 3 2 3 5 8 0 1 6 5 3 2 1 6 4 3 4 3 2 1 0 2 1 0 3 a Classifique a variável b Organize os dados em uma tabela adequada c Qual o percentual de alunos que adquiriram menos do que 3 livros d Qual o percentual de alunos que adquiriram pelo menos 4 livros e A partir do item b quantos livros foram adquiridos pelos 40 alunos 3 Os dados da tabela abaixo se referem aos valores em reais de uma amostra de cheques devolvidos por falta de fundos em março de 2007 no banco BHIH Determine o percentual de cheques devolvidos com valores inferiores a R 70000 Valores R Número cheques 400 500 12 500 600 10 600 700 05 700 800 18 800 900 05 Fonte Dados fictícios 4 A altura de 60 alunos da FACEPUC foi registrada abaixo em cm 174 170 156 168 176 178 162 182 172 168 166 156 169 168 162 160 163 168 162 172 168 167 170 153 171 166 168 156 160 172 173 163 170 175 176 182 158 176 161 175 173 163 172 167 170 179 179 170 151 175 152 151 172 173 170 174 167 167 158 174 a Construa uma distribuição de frequência fechada no limite inferior com 8 classes de amplitudes iguais adotando como limite inferior da distribuição 150 cm b Qual o percentual de alunos com altura mínima de 166 cm c Quantos alunos têm menos de 162 cm d Qual o percentual de alunos com altura média de 164 cm Qual a soma total aproximada das alturas dos 60 alunos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 3 5 O revisor de um jornal fez durante um mês o levantamento dos erros ortográficos encontrados no editorial do jornal Os resultados encontrados foram 0 1 0 1 0 0 0 0 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 1 4 1 1 0 0 3 5 1 0 0 1 a Faça uma distribuição de frequência dos dados b Calcule as medidas de tendência central c Calcule as medidas de dispersão 6 Durante certo período de tempo as taxas de juros para dez ações foram as que a tabela abaixo registra Ação 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Taxa 259 264 260 262 255 261 250 263 264 269 Calcule Use 4 casas após a vírgula a a taxa média b a taxa mediana c a taxa modal d o desvio padrão das taxas e o coeficiente de variação das taxas 7 As informações abaixo indicam o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos Nº DE ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7 Nº DE MOTORISTAS 15 11 20 9 6 5 3 1 a Determine o número de motoristas com menos de 1 acidente b Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes c Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes d Qual o número total de acidentes ocorrido no período e Qual a média de acidentes E a moda de acidentes E a mediana 8 Em certa empresa trabalham 4 analistas de mercado 2 supervisores 1 chefe de seção e 1 gerente que ganham respectivamente R130000 R160000 R275000 R500000 Qual o valor do salário médio e do desvio padrão do salário desses funcionários 9 Considere no exercício anterior que cada funcionário em questão recebeu aumento salarial de 10 qual será o valor do salário médio desses funcionários E o desvio padrão 10 Um estudo foi realizado por um professor em três turmas obtendo a média e o desvio padrão das notas de sua disciplina conforme abaixo Qual a turma com menor variabilidade Justifique adequadamente Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 4 TURMA A B C MÉDIA 65 80 80 DESVIO PADRÃO 22 17 20 11 Uma amostra de pessoas que trabalha com salário por dia em uma empresa é formada por subgrupos com as seguintes características 15 ganham R 5000 10 ganham R 6000 15 ganham R 4500 10 ganham R 9000 10 ganham R 12000 a Determine e interprete a mediana dos salários b Determine e interprete a média dos salários 12 O tempo de espera até o atendimento de uma amostra de clientes no escritório de um contador em certa semana foi o seguinte A partir destas informações a Identifique e classifique a variável de interesse b Determine o tempo médio de espera c Determine a moda do tempo espera 13 Um banco quer verificar a quantidade de tempo necessário para aprovar uma linha de crédito habitacional medida a partir do momento da solicitação do crédito Alguns pedidos amostra de crédito foram selecionados e determinouse a quantidade de tempo em dias úteis necessária para aprovar cada pedido Os valores são 18 16 17 12 14 16 16 21 18 11 16 18 Um segundo banco apresentou de acordo com uma amostra média de 13 dias para aprovação de crédito e desvio padrão 4 Em qual dos bancos existe menor variabilidade no número de dias necessários para aprovação de crédito Justifique 14 Os operários de um setor industrial têm em uma época 1 um salário médio de 8 salários mínimos sm e desvio padrão de 23 sm Um acordo coletivo prevê para uma época 2 um aumento de 60 mais uma parte fixa correspondente a 15 sm Calcule a média e o desvio padrão dos salários na época 2 Cliente Tempo min A 15 B 10 C 5 D 15 E 105 F 15 G 215 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 5 15 O Departamento de Pessoal de certa firma fez um levantamento sobre salários mensais em salários mínimos a partir de uma amostra de 130 funcionários do setor de produção obtendo os resultados abaixo Qual o percentual de pessoas que recebem pelo menos 12 salários mínimos Salários outubro14 Salário sm Freq Acumulada F 4 8 50 8 12 90 12 16 110 16 20 130 Fonte DH Respostas 1 a Quantitativa contínua b Quantitativa discreta c Qualitativa ordinal d Qualitativa nominal e Quantitativa contínua f Qualitativa nominal g Qualitativa nominal h Quantitativa contínua i Qualitativa ordinal 2 a Quantitativa discreta b x 0 1 2 3 4 5 6 8 f f 7 9 8 7 4 2 2 1 c 60 d 225 e 92 3 Fr3 2750100 54 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 6 4 a b 70 c 12 d 10 10108 cm 5 a Xi 0 1 2 3 4 5 fi 14 8 2 3 2 1 b Xis barra 11333 Med 1 Moda 0 c S2 211954 S 14559 V 12845 6 a xis barra 2607 b med 2615 c moda 264 d s 00525 e V 201 7 a 15 b 34 c 66 d 152 e 217 2 2 Altura Nde alunos 150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174 174 178 178 182 4 3 5 6 13 15 9 5 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 7 8 Xi fi fiXi fiXiXi 1300 4 5200 6760000 1600 2 3200 5120000 2750 1 2750 7562500 5000 1 5000 25000000 Total 8 16150 44442500 µ 161508 R201875 σ raiz4444250082018752 121654 9 µ 222063 σ 133818 10 Turma B menor coeficiente de variabilidade 11 Xi fi fiXi 45 15 675 50 15 750 60 10 600 90 10 900 120 10 1200 Total 60 4125 a xis barra 6875 b med 55 12 a Quantitativa contínua b xis barra 131429 minutos c moda 15 minutos 13 Banco 1 xis barra 160833 s 27455 V 1712 Banco 2 xis barra 13 s 4 V3077 Menor coeficiente Banco 1 14 Época 1 µ8 σ 23 Época 2 µ 143 σ 368 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 8 15 Salário sm Freq Acumulada F fi 4 8 50 50 8 12 90 40 12 16 110 20 16 20 130 20 Total 130 40130 03077 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 9 2 PROBABILIDADE 1 Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças em relação ao sexo das mesmas segundo a ordem de nascimento Enumerar os eventos a ocorrência de dois filhos do sexo masculino b ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino c ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino d ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino e ocorrência de somente crianças do sexo feminino 2 Considerando dois eventos A e B de um mesmo espaço amostra S expresse em termos de operações entre eventos a A ocorre mas B não ocorre b Exatamente um dos eventos ocorre c Nenhum dos eventos ocorre 3 Determinar o valor de probabilidade de que a soma dos pontos no lançamento de dois dados seja sete 4 Um grupo de 20 homens e três mulheres concorre a um prêmio através de um sorteio Qual a probabilidade de um homem ser sorteado 5 Uma urna contém 5 bolas vermelhas 3 azuis 10 amarelas Qual a probabilidade de sortearmos uma bola e ela não ser vermelha 6 Suponhamos que uma organização de pesquisa junto a consumidores tenha estudado os serviços prestados dentro da garantia por 200 comerciantes de pneus de uma grande cidade obtendo os resultados resumidos na tabela seguinte Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16 Vendedores de qualquer marca indiscriminadamente 42 78 Selecionado aleatoriamente um desses vendedores de pneus isto é cada vendedor tem a mesma probabilidade de ser selecionado determine a probabilidade de a escolher um vendedor de determinada marca b escolher um vendedor que presta bons serviços dentro da garantia c escolher um vendedor de determinada marca e que presta bons serviços dentro da garantia d sabendose que o vendedor escolhido é de determinada marca prestar bons serviços dentro da garantia e um vendedor prestar bons serviços sob a garantia dado que não é vendedor de uma única marca determinada Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 10 7 Seja Z uma variável aleatória contínua distribuída normalmente com média zero e desvio padrão 1 isto é ZN01 Determine a P Z 1 h PZ 16 b P Z 289 i PZ 174 c P Z 2 j P 131 Z 241 d P 1 Z 203 k P Z 235 e PZ 13 l P Z 436 f PZ 0 m P Z 632 g P 1 Z 061 n P Z 421 8 Seja Z uma v a c normalmente distribuída com média 0 e desvio padrão 1 Determine 81 o valor de z1 tal que a P Z z1 00495 b P Z z1 09474 c P Z z1 00618 d P Z z1 08212 82 Sejam z1 e z2 simétricos dois particulares valores de Z Determineos tais que a P z1 Z z2 09216 b P z1 Z z2 08858 9 Seja X uma vac normalmente distribuída com média 300 e desvio padrão 2 Calcule a probabilidade de X assumir valores a menores que 30248 b maiores que 29814 c entre 2976 e 30386 10 O número de pedidos de compra de certo produto que uma cia recebe por semana distribuise normalmente com média 125 e desvio padrão de 25 Se em uma dada semana o estoque disponível é de 150 unidades determine a a probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos b qual deveria ser o estoque para se tivesse 99 de probabilidade de que todos os pedidos fossem atendidos 11 Uma máquina automática que enche garrafas de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 com desvio padrão de 10 cm3 Podese admitir que a distribuição da variável seja normal a Qual a percentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 b Qual a percentagem de garrafas em que o volume do líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões c O que acontecerá com a percentagem do item b se a máquina for regulada de forma que a média seja 1200 cm3 e o desvio padrão 20 cm3 12 Suponha que o peso das pessoas de certa comunidade tenha distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 10 kg Determine a porcentagem das pessoas que pesam a 55kg ou mais b 58 kg ou menos c entre 52 e 70 kg Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 11 13 Sabese que os graus atribuídos por certo professor a seus alunos tem distribuição normal com média 5 e desvio padrão 2 O professor atribuiu conceitos da seguinte forma A grau maior ou igual a 8 B grau maior ou igual a 6 e inferior a 8 C grau maior ou igual a 4 e inferior a 6 D grau inferior a 4 Determine a porcentagem de alunos com conceito A B C e D 14 O gerente de um banco tem seu domicílio no bairro A Ele deixa sua casa às 8 h e 45 min dirigindose ao emprego e iniciando seu trabalho as 9 h A duração dessa viagem tem média de 13 min e desvio padrão 3 min Considerando que o tempo de duração da viagem tem distribuição normal determine a probabilidade de o gerente chegar atrasado ao banco 15 As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média igual a 53 unidades monetárias e desvio padrão igual a 12 um a Qual a probabilidade das vendas excederem 70 um em determinado dia b Esse restaurante deve vender no mínimo 30 um por dia para não ter prejuízo Qual a probabilidade de que em certo dia haja prejuízo 16 Suponhamos que o nível educacional de adultos de certo pais apresenta distribuição normal com média de 11 anos e desvio padrão de 2 anos determine a a probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente tenha entre 9 e 14 anos de tempo de estudo b a probabilidade de que um adulto tenha mais de 18 anos de estudo c o número de adultos que se espera que tenham menos de 7 anos considerando uma amostra de 500 adultos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 12 Respostas 1 ocorrência de dois filhos do sexo masculino Ammf fmm mfm ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino B S fff ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino C S fff ocorrência de nenhuma criança do sexo feminino D mmm ocorrência de somente crianças do sexo feminino E fff 2 a A ocorre mas B não ocorre AB b Exatamente um dos eventos ocorre AB U AB c Nenhum dos eventos ocorre AB A A não ocorre B B não ocorre 3 n 36 A433425526116 PA 636 16 4 PH 2023 5 Pnão vermelha 1318 6 a 040 b 053 c 032 d 080 e 035 7 a b c d e f g 01587 00019 00228 08202 09032 05000 01123 h i j k l m n 00548 00409 00871 09906 00000 00000 00000 81 a P Z z1 00495 R 165 b P Z z1 09474 R 162 c P Z z1 00618 R 154 d P Z z1 08212 R 092 82Sejam z1 e z2 simétricos dois particulares valores de Z Determineos tais que P z1 Z z2 09216 R 176 e 176 P z1 Z z2 08858 R158 e 158 9 a 08925 b 08238 c 08581 10 Z15012525 100 a PZ100 08413 b 099 Z 233 X 12523325 183 11 a 1587 b 9544 c 9544 12 a 6915 b 4207 c 6294 13 R 668 2417 383 e 3085 14 R 02546 15 a 00778 b 00274 16 a 07745 b 0 c 1140 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 13 3 AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO 1 Uma organização governamental de estudantes está interessada em avaliar a proporção de estudantes que está a favor de mudança no tempo de duração dos cursos Uma lista de nomes e endereços dos 645 estudantes arrolados durante o corrente semestre está disponível no escritório do oficial de registro Usando números aleatórios de três dígitos na linha 10 da Tabela e movendose da esquerda para a direita identifique os primeiros 10 estudantes que seriam selecionados usando a AAS Os números aleatórios de três dígitos começam com 816 283 e 610 2 O County and City Data Book publicado pelo Departamento de Recenseamento lista informações dos 5139 condados de todos os Estados Unidos Use números aleatórios de quatro dígitos a partir da última coluna da Tabela para identificar os números correspondentes a cinco condados selecionados para a amostras Ignore os primeiros dígitos e comece com os números aleatórios de quatro dígitos 9945 8364 5702 e assim por diante 3 Suponha que queremos identificar uma amostra aleatória simples de 8 dos 372 médicos em uma determinada cidade Os nomes dos médicos estão disponíveis na organização médica local Use a oitava coluna de números aleatórios de cinco dígitos na Tabela para identificar os 8 médicos para a amostra Ignore os primeiros dois dígitos aleatórios em cada um dos grupos de números aleatórios de cinco dígitos Este processo começa com o número aleatório 108 e continua de cima para baixo na coluna de números aleatórios Tabela de Números Aleatórios Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 14 4 Os seguintes dados são de uma amostra aleatória simples AAS 5 8 10 7 10 14 a Qual é a estimativa por ponto da média da população b Qual é a estimativa por ponto do desviopadrão da população 5 Um levantamento para uma amostra de 150 indivíduos produziu 75 respostas Sim 55 respostas Não e 20 respostas Sem opinião a Qual é a estimativa por ponto da proporção na população que respondeu Sim b Qual é a estimativa por ponto da proporção na população que respondeu Não 6 Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 32 e um desviopadrão da população de 6 a Forneça um intervalo de confiança de 90 para a média da população b Forneça um intervalo de confiança de 95 para a média da população c Forneça um intervalo de confiança de 99 para a média da população 7 Informase que um intervalo de confiança de 95 para uma média da população é de 122 a 130 Se a média é 126 e o desviopadrão é 1607 que tamanho de amostra foi usado nesse estudo 8 Os seguintes dados foram coletados para uma amostra de uma população normal 10 8 12 15 13 11 6 5 a Qual é a estimativa pontual da média da população b Qual é a estimativa pontual do desviopadrão da população c Qual é o intervalo de confiança de 95 para a média da população 9 O Secretário de Saúde do Império Romano propôsse a melhorar o atendimento médico à plebe Como não há dinheiro para contratar mais médicos ele decidiu tornar o atendimento mais eficiente Para estimar o tempo médio gasto em cada consulta ele sorteou 64 pacientes de um hospital público aleatoriamente escolhido essa amostra indicou que o tempo médio de atendimento era de 10 minutos com um desvio padrão de 3 minutos Com base nisso determine o tempo médio de atendimento a um nível de confiança de 90 10 Uma pesquisa em 17 cinemas de São Paulo indicou que o ingresso custava em média US 550 com um desvio padrão de US 050 Com base nesses resultados determine a a estimativa do preço médio dos ingressos de cinema em São Paulo em nível de confiança de 95 para a estimativa b o erro máximo associado a essa estimativa 11 A Good Times mediu o tempo de duração de 50 fitas DVD O tempo médio obtido foi 618 min com um desvio padrão de 35 min Determine com nível de confiança de 95 a o erro máximo do tempo médio b a estimativa intervalar c o tamanho da amostra para que o erro fique limitado a 2 minutos 12 A Industrial ABC SA fabricante de lâmpadas elétricas desejando conhecer o tempo médio de duração de seu produto selecionou uma amostra aleatória de 10 unidades apurando os seguintes valores em horas 220 249 236 224 251 218 232 254 238 278 Determine um intervalo de 95 de confiança para a estimação desejada Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 15 13 Um comprador potencial deseja estimar o valor médio das compras em uma loja de brinquedos num aeroporto Com base em dados de outros aeroportos similares sabese que o desvio padrão de tais vendas é de US 080 Qual o tamanho mínimo que deveria ter a amostra aleatória se ele deseja estimar a média das vendas com uma precisão erro de US 025 e com uma confiança de 99 14 O diretor de recursos humanos da Informatex necessita estimar o número médio de horas de treinamento para seus vendedores Determine o tamanho mínimo de amostra necessário para tanto admitindo um fator de erro de mais ou menos quatro horas e um desvio padrão populacional de 12 horas a a um nível de confiança de 95 b a um nível de confiança de 99 c Compare os resultados de a e b Comente 15 A distribuição dos diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina tem distribuição normal Uma amostra de 5 parafusos apresentou os seguintes diâmetrosem mm 254 252 253 250 254 Construa um intervalo de 98 de confiança para o diâmetro médio de todos os parafusos produzidos por essa máquina 16 Numa amostra aleatória de 200 eleitores perguntouse em quem votariam na próxima eleição para governo do estado Sabendo que o mais votado recebeu 45 das intenções de voto determine um intervalo de confiança das intenções de voto para esse candidato com 1 95 17 Numa pesquisa de mercado bem conduzida 57 de 150 pessoas afirmaram que seriam compradores de certo produto a ser lançado Essa amostra é suficiente para estimar a proporção real de futuros compradores com uma precisão de 007 e uma confiabilidade de 90 Se a amostra for suficiente determine a estimativa para a proporção de compradores 18 As regras da legislação eleitoral atualmente em vigor estabelecem que os cargos majoritários sejam disputados em dois turnos exceto se um dos candidatos obtiver no 1º turno mais de 50 dos votos válidos Para as prefeituras tal regra só é válida para as cidades com mais de 200 000 habitantes Em uma dessas cidades 396 pessoas de uma amostra de 720 demonstraram a intenção de votar no candidato da situação Podemos dizer que existe uma confiança de 97 que ali a eleição será definida no primeiro turno 19 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostranos que 25 deles são casas de aluguel Qual é o intervalo de confiança que podemos razoavelmente supor que seja o da proporção de casas de aluguel Use uma confiança de 98 20 O desempenho dos vendedores de uma organização comercial foi medido através de escores de 0 a 10 Uma amostra de 200 vendedores apresentou os seguintes escores Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 16 Escore Nº vendedores 0 2 28 2 4 43 4 6 49 6 8 41 8 10 39 Total 200 Estime com 190 a proporção de vendedores com escore mínimo 6 21 O coordenador de um curso de pósgraduação em economia está interessado em determinar a proporção de alunos matriculados que tem acesso a um computador pessoal fora da universidade Determine uma estimativa com 99 de confiança se uma amostra de 150 alunos revelou que 105 têm acesso a um computador pessoal fora da universidade 22 O gerente de um banco em uma cidade pequena gostaria de determinar a proporção de seus correntistas que recebem salários semanalmente Determine uma estimativa com 90 de confiança da proporção na população de correntistas do banco que são pagos por semana se uma amostra de 145 apresentou 29 que recebiam por semana 23 Uma empresa de televisão a cabo deseja calcular a proporção de clientes que comprariam um guia de programação de tevê a cabo A empresa gostaria de ter 95 de confiança de que sua estimativa esteja correta com uma margem de erro de no máximo 005 Experiências do passado em áreas similares indicam que 30 dos clientes comprariam o guia de programação Qual o tamanho mínimo necessário da amostra 24 Um pesquisador de mercado de uma grande empresa de eletroeletrônicos gostaria de estudar os hábitos relativos a assistir televisão dos moradores de certa cidade Uma amostra de 40 moradores forneceu após uma semana de registro de seus hábitos o seguinte Tempo médio assistido por semana 153 horas Desvio Padrão 38 horas Nº moradores que assistem ao noticiário noturno no mínimo 3 noites por semana 27 a Estime com 90 de confiança o tempo médio que se assiste TV por semana nesta cidade b Estime com 96 de confiança a proporção de pessoas que assistem ao noticiário noturno pelo menos três vezes por semana Se o pesquisador quiser conduzir uma pesquisa semelhante em outra cidade c Qual o tamanho mínimo da amostra se desejar 95 de confiança de não errar mais de 2 horas e partir do pressuposto de que o desvio padrão populacional é de 5 horas d Qual o tamanho mínimo da amostra se desejar 95 de confiança e um erro de 005 ao estimar a proporção de pessoas que assistem ao noticiário noturno pelo menos 3 vezes por semana Utilize como estimativa da proporção o valor obtido na pesquisa acima Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 17 Respostas 1 283610039254568353602421638164 2 2782 3263 0493 4935 0825 3 108 290 201 292322 009 244 249 4 a 9 b 31 5 a 05 ou 50 b 037 ou 37 6 a 32165650 3060 a 3340 b 32196650 3034 a 3366 c 32258650 2981 a 3419 7 62 8 a xis barra 10 b s346 c 1023653468 710 1290 9 P938 min µ 1062 min 90 10 a PUS 524 µ US 576 95 b US 026 11 a 097 min b P6082 min µ 6277 min 95 c n12 12 P22674h µ 25320h 95 13 n69 14 a n 35 b n60 c Quanto maior a confiança maior o tamanho da amostra 15 P2498mm µ 2524mm 98 16 P38 π 52 95 17 P32 π 44 95 18Sim pois P51 π 59 97 19 P20 π 30 98 20 P34 π 46 90 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 18 21 P6035 π 7965 95 22 P1455 π 2645 90 23 n323 24 a P1431h µ 1629h 90 b P5232 π 8268 96 c n 25 d n338 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 19 4 TESTE DE HIPÓTESES 1 Uma operação de linha de produção foi programada para colocar 500 g de detergente em pó em cada caixa de papelão Uma amostra de caixas de papelão é periodicamente selecionada e pesada para determinar se está dentro do padrão Se os dados da amostra levarem à conclusão de excesso de enchimento ou falta de enchimento a linha de produção será paralisada e calibrada para se obter o enchimento apropriado das caixas a Formule as hipóteses nula e alternativa que auxiliarão a decisão de paralisar a produção b Comente a conclusão quando H0 não pode ser rejeitada c Comente a conclusão quando H0 pode ser rejeitada 2 Os americanos gastam uma média de 86 minutos por dia lendo jornais USA Today 10 de abril de 2015 Um pesquisador acredita que os indivíduos nas posições de gerência gastam mais do que o tempo médio nacional por dia lendo jornais Uma amostra dos indivíduos em posições de gerenciamento será selecionada pelo pesquisador Os dados sobre os tempos de leitura dos jornais serão usados para testar as seguintes hipóteses nula e alternativa H0 86 H1 86 a Qual é o erro do tipo I Quais são as consequências de se cometer esse erro b Qual é o erro do tipo II Quais são as consequências de se cometer esse erro 3 O pessoal de vendas da Carpetland tem tido vendas de US 8 000 por semana em média Paulo Ferreira o vicepresidente da empresa propôs um plano de compensação com novos incentivos de vendas Paulo espera que os resultados de um período experimental de vendas lhe possibilitem concluir que o plano de compensação aumenta as vendas médias por vendedor a Desenvolva as apropriadas hipóteses nula e alternativa Qual é o erro do tipo I nessa situação Quais são as consequências de se cometer esse erro b Qual é o erro tipo II nessa situação Quais são as consequências de se cometer esse erro 4 A floricultura de Jane se especializou em jardinagem com projetospadrão para as áreas residenciais O custo de mão de obra associado a uma determinada proposta de jardinagem está baseado no número de plantações de árvores arbustos etc a serem usados no projeto Para estimativas de custos os gerentes usam 2h como tempo de mão de obra para se plantar uma árvore de tamanho médio com desvio padrão de 05 hora Os tempos de uma amostra de 10 plantações durante o mês passado são apresentados a seguir em horas 19 17 28 24 26 25 28 32 16 25 Usando 005 teste se o tempo médio de plantações de uma árvore excede 2 horas Qual é sua conclusão e que recomendações você consideraria fazer aos gerentes 5 Um fabricante de conservas anuncia que o conteúdo líquido das latas de seu produto é em média de 2000 gramas com desvio padrão de 40 gramas A fiscalização de pesos e medidas investigou uma amostra de 64 latas verificando média de 1990 g Fixado o nível de significância em 5 deverá o fabricante ser multado por efetuar a venda abaixo do especificado Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 20 6 Um fabricante de lâmpadas afirma que a duração média de seu produto é de 500 horas Acreditando que a média seja inferior à anunciada um comprador selecionou 10 lâmpadas que acusou média de 490 h com desvio padrão de 12 h Teste com 5 7 A indústria ABC SA fabricante de certo equipamento eletrônico substituiu certo componente importado pelo similar nacional Um comprador da referida indústria supõe que tal substituição tenha diminuído a duração do produto que antes era anunciada como sendo em média 200 horas Para julgar sua suposição o comprador testou uma amostra de 10 unidades verificando média de 197 horas com desvio padrão de 632 h Com 5 estabeleça a conclusão alcançada pelo comprador 8 Uma cadeia de lanchonetes se propõe a instalar uma nova filial se pelo local passarem mais de 200 carros por hora em certo período do dia Em 20 horas escolhidas ao acaso passaram pelo local no período de interesse em média 2085 carros com desvio padrão de 30 carros Com 5 a nova filial deve ser instalada 9 Uma companhia de seguros está disposta a iniciar uma campanha de colocação de apólices no mercado se verificar que a quantia média segurada por família da região alvo é inferior a 10000 um Uma amostra casual de 20 famílias da referida região acusou média de 9600 um com desvio padrão de 1000 um Usando 5 de significância decida sobre se a campanha deve ou não iniciar admitindo normalidade para a população 10 Certo fabricante de parafusos anuncia que 90 do seu produto não apresenta qualquer tipo de defeito Um comprador acredita que a percentagem de parafusos perfeitos é diferente da anunciada pelo fabricante Para verificar tal hipótese examinou 400 parafusos verificando que 344 eram perfeitos Com 2 realize o teste correspondente 11 Certa organização médica afirma que um novo medicamento é de qualidade superior ao até então existente que é 80 eficaz na cura de determinada doença Examinada uma amostra de 300 pessoas que sofriam da doença constatouse que 249 ficaram curadas com o novo medicamento Com 5 teste a afirmação da organização 12 Uma agência de viagens tem um tradicional plano de férias que é oferecido a todos os possíveis clientes que procuram a agência O índice de respostas positivas é historicamente 20 Este ano uma amostra de 50 potenciais clientes mostrou que 15 adquiriam o plano de férias Teste 6 a hipótese de que o percentual de respostas positivas tenha aumentado este ano 13 Um banco de investimento calcula que 20 dos empréstimos são concedidos a pequenas empresas Com a finalidade de aumentar esta percentagem o governo resolveu subsidiar os juros para este tipo de empresa Após algum tempo de vigência desta política o banco amostrou ao acaso 40 projetos de financiamento e verificou que 12 deles se destinavam a pequenas empresas Teste ao nível de 1 a hipótese de que a política tenha sido bem sucedida 14 Um consumidor de certo produto denunciou seu fabricante afirmando que este coloca no mercado uma quantidade de unidades defeituosas que supera 20 da quantidade total Uma investigação foi conduzida com uma amostra aleatória de 50 unidades das quais 28 acusaram defeito Você diria que a investigação fundamenta a denúncia Use 10 de significância Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 21 15 Os produtores de um programa de televisão acham que devem modificálo caso sua assistência regular seja inferior a um quarto dos possuidores de aparelhos de TV Uma pesquisa foi feita em 400 domicílios selecionados aleatoriamente mostrando que em 80 o programa era assistido regularmente Qual a decisão dos produtores com 3 de significância Respostas 1 a H0 500g H1 500g b Não rejeitase Ho logo a linha de produção não será paralisada e calibrada c Rejeitase Ho logo a linha de produção será paralisada e calibrada 2 H0 86 H1 86 a Erro do tipo I rejeitar Ho 86 verdadeiro Tomase uma decisão usando 86 b Erro do tipo II não rejeitar Ho 86 quando é falso Tomase uma decisão usando 86 3 H0 8000 H1 8000 c Erro do tipo I rejeitar Ho 8000 verdadeiro Tomase uma decisão usando 8000 d Erro do tipo II não rejeitar Ho 8000 quando é falso Tomase uma decisão usando 8000 4 OneSample Z C1 Test of µ 2 vs µ 2 The assumed sigma 05 Variable N Mean StDev Z P C1 10 2400 0516 253 0006 Rej Ho 5 H0 2000 H1 2000 Rejeitar Ho se Zc165 Zc200 Rej Ho 6 OneSample T Test of µ 500 vs µ 500 N Mean StDev T P 10 490000 12000 264 0014 Rej Ho 7 H0 200 H1 200 Rejeitar Ho se Tc1833 t150 Não rejeita Ho 8 H0 200 H1 200 Rejeitar Ho se Tc 1729 Tc1267 Não Rejeita Ho 9 H0 10000 H1 10000 Rejeitar Ho se Tc 1729 R t1789 Rej Ho 10 Test for One Proportion Test of 09 vs 09 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 344 400 0860000 267 0008 Rejeitar Ho se Zc 233 e se Zc 233 1729 Rejeita Ho 11 Test of 08 vs 08 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 249 300 0830000 130 09032 Rejeitar Ho se Zc 165 Não Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 22 12 Test of 02 vs 02 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 15 50 030000 177 00384 Rejeitar Ho se Zc 156 Rejeita Ho 13 Test of 02 vs 02 Sample x n Sample p ZValue PValue 1 12 40 030000 158 00571 Rejeitar Ho se Zc 233 Não Rejeita Ho 14 Test for One Proportion Test of 02 vs 02 Sample X N Sample p ZValue PValue 1 14 50 0280000 141 0079 Rejeitar Ho se Zc 128 Rejeita Ho 15 Test for One Proportion Test of 025 vs 025 Sample X N Sample p ZValue PValue 1 80 400 0200000 231 00104 Rejeitar Ho se Zc 188 Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 23 5 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 1 Um agricultor plantou um pé de feijão no quintal de sua casa anotando semanalmente sua altura Com tais dados abaixo determine a O coeficiente de correlação linear de Pearson b A equação da reta de regressão que define o crescimento do pé de feijão c A época em que o dito pé de feijão terá 60 cm de altura d A altura que o pé de feijão tinha com 35 semanas de vida e Faça o teste de significância com 5 para a correlação 2 A tabela a seguir apresenta o tempo médio de treino de um grupo de atletas e os respectivos pontos num teste de aptidão física Atleta A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 Tempo 5 3 4 1 6 8 10 9 7 2 11 Pontos 30 25 27 15 38 45 51 47 41 19 55 a Represente estes dados graficamente b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson c Determine a equação para estimar o número de pontos em função do tempo de treino d Encontre o número de pontos para um atleta que não treine e para um que treine 8 h e Faça o teste de significância 5 para a correlação 3 Há suspeitas de que a qualidade do remédio depende do tempo de maturação despendido em sua produção Para verificar isso um laboratório farmacêutico coletou os seguintes dados Tempomin 1 2 3 4 5 6 Qualidade 23 31 40 46 52 63 a Represente estes pontos graficamente b Determine o coeficiente de correlação Interprete c Determine a reta de regressão Interprete os coeficientes 4 O gerente de uma indústria de um país tropical suspeita que há correlação entre a temperatura do dia e a produtividade Dados coletados aleatoriamente ao longo de seis meses revelaram o que segue na tabela abaixo X temperatura e Y produtividade a Explique o r de Pearson b Interprete o r2 c Existe regressão Justifique d Escreva a equação de regressão linear e interprete o coeficiente b da reta e Estime a produtividade para um dia com temperatura de 25º 5 Para uma amostra de 10 tomadores de empréstimos em uma companhia financeira o coeficiente de correlação entre a renda familiar e débitos a descoberto de curto prazo foi calculado em r050 Testar a hipótese de que não existe correlação entre as duas variáveis para toda a população de tomadores de empréstimos usando α5 Idade sem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Altura cm 5 12 16 22 34 38 41 45 50 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 24 6 Os comerciantes de carros costumam ser consultados por telefone por clientes interessados na venda ou troca de seus veículos Cansados de informar simplesmente que o preço só podia ser definido vistoriando o veículo decidiram que ao menos uma estimativa devia ser dada Por exemplo com base na quilometragem do veículo no momento da consulta Para tanto tabularam a quilometragem em 1000 km e os preços de venda em 10000 de 13 unidades diferentes Obtiveram os seguintes valores Km 35 10 25 50 30 15 70 40 55 20 45 65 60 Preço 50 71 59 37 57 67 23 44 36 65 43 28 30 a Represente graficamente estes pontos b Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson Interprete c Determine o coeficiente de explicação para a reta Interprete d Ajuste os dados através de uma reta de mínimos quadrados Interprete os coeficientes da reta e Estime o preço de um automóvel com 62000 km 7 Uma cadeia de supermercados financiou um estudo dos gastos realizados por família de quatro pessoas com renda mensal líquida entre oito e vinte salários mínimos sm A pesquisa levou à equação de regressão Y 12 04X onde Y representa a despesa mensal estimada através do modelo e X à renda mensal líquida em número de sm a Estime a despesa mensal de uma família com renda mensal líquida de 15 sm b A equação parece sugerir que uma família com renda mensal de 3 sm nada gasta com mercadorias O que você tem a dizer sobre isso c A equação em questão serve para estimar a despesa mensal de uma família de 5 pessoas com renda líquida de 12 sm Justifique 8 Os dados abaixo relacionam as vendas e os lucros da Brazils Ghost milhões de dólares Ano 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 Vendas 246 276 374 466 686 735 839 732 900 887 919 983 Lucros 18 22 30 35 51 55 68 55 70 65 70 80 a Represente estes pontos num diagrama de dispersão b Encontre o coeficiente de correlação entre Vendas e Lucros Interpreteo c Ache o coeficiente de determinação Interpreteo d Faça o teste de significância ao nível de 5 para a correlação 9 A tabela abaixo mostra o volume de vendas em 1000 unidades e os gastos promocionais em R 10000000 Vendas 80 90 95 95 100 110 115 110 120 130 Promoção 2 4 5 6 8 10 10 12 12 15 a Represente graficamente estes pontos b Calcule o coeficiente de correlação de Pearson Interprete o resultado c Você acha conveniente estimar a reta de regressão baseado no resultado obtido anteriormente Por quê d Determine os coeficientes da reta de regressão e interpreteos e Para gastos promocionais de R 130000000 qual o provável volume de vendas f Para vendas de 98000 unidades quais os gastos promocionais que devem ser feitos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 25 g Poderíamos utilizando este modelo de regressão efetuar uma previsão de gastos promocionais para uma provável venda de 200000 unidades Explique sua resposta 10 Abaixo você encontra uma lista de situações de pesquisa Para cada uma indique se o apropriado é uma análise de correlação ou uma de regressão Justifique sua indicação a A quantidade procurada da carne gado depende do preço da carne de porco b O objetivo é estimar o tempo necessário à consecução de certa tarefa usando para tanto o tempo de treinamento do executor c O preço de uma reforma depende dos valores dos artigos usados no acabamento d Estime o número de milhas que um pneu radial possa rodar antes de ser substituído e Desejase prever quanto tempo será necessário para uma pessoa completar determinada tarefa com base no número de semanas de treinamento f Decida se o número de semanas de treinamento é uma variável importante para avaliar o tempo necessário para realizar uma tarefa Respostas 1 Idade X Altura Y X2 Y2 XY 1 5 1 25 5 2 12 4 144 24 3 16 9 256 48 4 22 16 484 88 5 34 25 1156 170 6 38 36 1444 228 7 41 49 1681 287 8 45 64 2025 360 9 50 81 2500 450 Total 45 263 285 9715 1660 a r 09887 b Y575X 04722 c 1035 sem d 206 cm e Test of ρ 0 vs ρ 0 TValue PValue 1741 0000 Rejeitar Ho se tc 23646 ou tc 23646 Rejeita Ho Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 26 2 Atleta Tempo Pontos X2 Y2 XY A1 5 30 25 900 150 A2 3 25 9 625 75 A3 4 27 16 729 108 A4 1 15 1 225 15 A5 6 38 36 1444 228 A6 8 45 64 2025 360 A7 10 51 100 2601 510 A8 9 47 81 2209 423 A9 7 41 49 1681 287 A10 2 19 4 361 38 A11 11 55 121 3025 605 Total 58 338 472 14300 2574 a b r 09955 c Y40091X 11673 d 437458 e Test of ρ 0 vs ρ 0 TValue PValue 3167 0000 Rejeitar Ho se tc 22622 ou tc 22622 Rejeita Ho 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 Pontos Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 27 RESUMO DOS RESULTADOS Excel Estatística de regressão R múltiplo 0995457 RQuadrado 0990935 Rquadrado ajustado 0989928 Erro padrão 1340511 Observações 11 Coeficiente s Erro padrão Stat t valorP Interseção 1167273 0866868 134654 287E07 Variável X 1 4009091 0127813 3136692 167E10 3 a Tempomin Qualidade X2 Y2 XY 1 23 1 529 23 2 31 4 961 62 3 40 9 1600 120 4 46 16 2116 184 5 52 25 2704 260 6 63 36 3969 378 Total 21 255 91 11879 1027 b r 09962 Há uma relação quase perfeita entre tempo de maturação e qualidade do produto c Y 156 76857X a 156 é a qualidade média inicial do produto sem nenhum tempo de maturação b 76857 é o acréscimo na qualidade do produto por tempo de maturação y 76857x 156 R² 09925 0 20 40 60 80 0 2 4 6 8 Qualidade Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 28 4 a r 08512 b r2 07245 c Teste de Hípóteses Ho β 0 H1 β 0 tc 761 Tabela t 4gl α 005 27765 Rejeitase Ho logo existe a regressão α 005 d Y 198601 260807X b 260807 é o decréscimo na produtividade por aumento de uma unidade na temperatura ºC e Y 1334 5 a Teste de Hípóteses Ho ρ0 H1 ρ 0 tc1633 Tabela t 8gl α 005 23060 Não rej H0 logo não existe a correlação entre a renda familiar e débitos a descoberto de curto prazo α 005 RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0851186 RQuadrado 0724518 Erro padrão 6022912 Observaçõe s 24 Coeficiente s Erro padrão Stat t valorP 95 inferiores 95 superiores Interseção 198601 9226911 2152411 286E16 1794656 2177365 Temperatura 260807 034287 760658 135E07 331914 1897 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 29 6 Km Preço X2 Y2 XY 35 5 1225 25 175 10 71 100 5041 71 25 59 625 3481 1475 50 37 2500 1369 185 30 57 900 3249 171 15 67 225 4489 1005 70 23 4900 529 161 40 44 1600 1936 176 55 36 3025 1296 198 20 65 400 4225 130 45 43 2025 1849 1935 65 28 4225 784 182 60 3 3600 9 180 520 61 25350 31648 20705 a b r 09960 Há uma relação inversa quase perfeita entre preços dos carros e quilometragem c r2 09920 9920 das variações dos preços dos carros são explicados pelas variações na quilometragem dos veículos e viceversa d Y 79407 00812X a R 7940700 é o preço médio de um carro zero km b R 81200 é o decréscimo no preço do veículo para cada 1000 km rodados y 00812x 79407 R² 0992 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Preço Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 30 e X 62 Y R 2906300 Estatística de regressão R múltiplo 09959822 RQuadrado 0991980543 Rquadrado ajustado 0991251501 Erro padrão 0148502347 Observações 13 Coeficientes Erro padrão Stat t valorP Interseção 7940659341 0097217607 8167923 115E16 Km 008120879 0002201545 368872 701E13 7 a 48 sm b A equação é para famílias de 4 pessoas c A equação é para famílias de 4 pessoas 8 Vendas Lucros X2 Y2 XY 246 18 60516 324 4428 276 22 76176 484 6072 374 3 139876 9 1122 466 35 217156 1225 1631 686 51 470596 2601 34986 735 55 540225 3025 40425 839 68 X3 Y3 XY 732 55 535824 3025 4026 90 7 8100 49 630 887 65 786769 4225 57655 919 7 844561 49 6433 983 8 966289 64 7864 Total 8043 619 5447988 32009 417326 Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 31 a b r 09944 Há uma fortíssima relação direta entre Lucros e Vendas cr2 09889 9889 das variações nos Lucros são explicadas pelas variações nas Vendas e viceversa d Teste de Hípóteses Ho ρ0 H1 ρ 0 tc29788 valorp 425E11 Tabela t 10gl α 005 22281 Rej H0 logo existe a correlação entre lucros e vendas α 005 9 Vendas Promoção X2 Y2 XY 80 2 6400 4 160 90 4 8100 16 360 95 5 9025 25 475 95 6 9025 36 570 100 8 10000 64 800 110 10 12100 100 1100 115 10 13225 100 1150 110 12 12100 144 1320 120 12 14400 144 1440 130 15 16900 225 1950 1045 84 111275 858 9325 a y 00782x 00809 R² 09889 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 Lucros Profª Drª ROSSANA FRAGA BENITES rbenitespucrsbr 32 b r 09733 Há uma fortíssima relação direta entre vendas e promoção c É conveniente estimar a reta de regressão pois a relação entre as variáveis é muito forte d Y 743504 35892X a e b em R 1mil a 743504 mil é o volume de vendas médio inicial quando não há investimento em promoções b 35892 mil é o acréscimo no volume de vendas quando há um investimento de 1 unidade R100 mil em propaganda e X13 Y 121010 unidades f Y 98 X R 65891000 g Não pois está fora do intervalo de variação de Y 10 a Correlação b Regressão c Correlação d Regressão e Regressão f Correlação y 02639x 19181 R² 09473 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 20 40 60 80 100 120 140 Promoção