Matemática Financeira: Juros Simples e Compostos

MATEMÁTICA FINANCEIRA Profª Me Márcia Zardo de Oliveira Bein Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul ESCOLA POLITÉCNICA 2 SUMÁRIO TÓPICO 1 JUROS SIMPLES 3 TÓPICO 2 DESCONTOS SIMPLES 14 TÓPICO 3 JUROS COMPOSTOS 23 TÓPICO 4 SÉRIES DE PAGAMENTOS 38 TÓPICO 5 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 52 TÓPICO 6 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 68 APÊNDICE 1 MANUAL HP12C 77 APÊNDICE 2 FOLHA DE CONSULTA PARA PROVAS 80 3 M C J TÓPICO 1 JUROS SIMPLES CONCEITOS BÁSICOS Matemática Financeira é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro no tempo e tem por objetivo o manuseio a transformação e a comparação de fluxos de caixa Capital em uma transação financeira é o dinheiro emprestado investido ou devido inicialmente Vamos supor que você resolva aplicar o seu dinheiro em um banco ou qualquer outra instituição financeira A quantidade de dinheiro utilizada na aplicação é chamada de capital Também pode ser chamado de principal Representamos o capital por C ou por PV Juros é o aluguel que se paga ou se recebe pelo dinheiro emprestado ou aplicado É a remuneração pelo uso do capital por um certo intervalo de tempo Representamos o juro por J Montante é a soma do capital C aplicado no início da operação financeira com os juros J acumulados no final do prazo de aplicação Se você faz uma aplicação na poupança o total a ser resgatado depois de determinado tempo é chamado de montante Costuma ser indicado por M ou por FV Prazo é o intervalo de tempo durante o qual o capital é aplicado investido ou emprestado Costuma ser representado por n ou t Taxa de Juros a taxa de juros é a porcentagem do capital que será paga a título de juros em um determinado período de tempo Costuma ser indicada por i O período a que se refere a taxa de juros pode ser indicado de diversas formas conforme a tabela ao lado A taxa percentual indica a quantidade de juros produzida por um capital de 100 unidades na unidade de tempo Ex 28 aa indica que o capital de 100 rende 28 em 1 ano A taxa unitária indica a quantidade de juros produzida por um capital de 1 unidade na unidade de tempo Ex 028 aa indica que o capital de 1 rende 028 em 1 ano Importante A taxa de juros e o período devem estar na mesma unidade de tempo Período Financeiro ad ao dia am ao mês ab ao bimestre at ao trimestre aq ao quadrimestre as ao semestre aa ao ano 4 1 2 4 0 3 5 n tempo Fluxo de Caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro Um fluxo de caixa pode ser apresentado em forma de tabela ou gráfico como uma previsão de entradas e saídas de uma empresa família ou de um empréstimo isolado Por convenção em representações gráficas de um fluxo de caixa setas para cima representam entrada e setas para baixo representam saída de recursos Regimes de capitalização chamase regime de capitalização o processo de formação dos juros e a maneira de incorporálos ao capital Trataremos de dois regimes de capitalização simples e composta Capitalização simples os juros simples são calculados sobre o capital inicial permanecendo constantes em todos os períodos Capitalização composta os juros compostos são incorporados ao capital em cada período para o cálculo dos juros do período seguinte JUROS SIMPLES No regime de juros simples estes incidem sempre sobre o capital inicial Na prática esse sistema é usado especialmente em certos pagamentos cujo atraso é de apenas alguns dias Observe o que acontece com o montante de um investimento de R 100000 aplicado durante 5 meses à 10 am Juros Simples Meses Juros Montante 0 100000 1 1000 010 100 110000 2 10000 120000 3 10000 130000 4 10000 140000 5 10000 150000 5 J Cin Para o cálculo dos juros temos em 1 período J Ci em 2 períodos J Ci Ci Ci 2 em 3 períodos J Ci Ci Ci Ci 3 em n períodos J Ci Ci Ci Ci Cin Portanto temos como fórmula para o cálculo dos juros simples onde i deve ser taxa unitária i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo Cálculo do montante Sabemos que M C J então M C Cin C 1 in Logo onde i deve ser taxa unitária i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo Juros comerciais Juros exatos e Juros pela regra dos bancos Juros Comerciais são os juros obtidos quando se considera o ano com 360 dias ano comercial e o mês com 30 dias mês comercial Juros Exatos são os juros obtidos quando se considera o ano com 365 dias ou 366 dias ano bissexto e os meses 28 29 30 ou 31 dias Juros pela regra dos bancos são os juros obtidos quando se considera ano e mês comercial ou contagem exata entre as datas quando fornecidas ATENÇÃO Utilizaremos somente regra dos bancos M C 1 in 6 HP 12C Cálculo do número de dias entre duas datas VISOR Cálculo de uma data a partir de outra VISOR Convenção correspondente ao dia da semana 1 segundafeira 2 terçafeira 3 quartafeira 4 quintafeira 5 sextafeira 6 sábado 7 domingo Taxas equivalentes ou proporcionais Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal capital durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo Em juros simples estas taxas costumam ser chamadas de taxas proporcionais já que neste caso mantémse a proporção em relação ao prazo Exemplo 3 am 6 ab 9 at 12 aq são taxas proporcionais em juros simples 7 ATENÇÃO As respostas dos exercícios propostos foram gerados sem a realização de arredondamentos parciais ao longo dos cálculos Exemplo Calcular os juros de um capital de R 1200000 aplicado a uma taxa de juros simples de 43 aa durante 143 dias EXERCÍCIOS DE AULA 1 De quanto será o juro produzido por um capital de R 3560000 aplicado durante 75 dias à taxa de 15 aa R R 111250 8 2 Um investidor aplica um capital de R 1000000 por 65 dias em um banco que oferece uma renumeração de 9 at em regime de juros simples Qual o montante desse investimento R R 1065000 3 Um capital de R 28800 em 2 meses e 15 dias rendeu R 660 Qual a taxa de juros anual R 11 aa 4 Um capital emprestado a 24 ao ano rendeu em 1 ano 2 meses e 15 dias R 783000 Qual foi esse capital R R 2700000 9 5 A quantia de R 350000 foi emprestado à taxa de juros simples de 6 ab Se o valor pago foi de R 501550 de quanto tempo anos meses e dias foi o empréstimo R 1a 2m 13d 6 Um produto que à vista custa R 28000 pode ser comprado com uma entrada de R 16000 e mais um pagamento de R 13250 para 18 dias Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta operação R 1736 am 7 Um indivíduo aplicou R 350000 a juros simples por um ano sendo que nos 6 primeiros meses a taxa de juros utilizada foi de 2 am e no período final a taxa foi de 18 aa Nestas condições determine o saldo obtido no final da aplicação R R 423500 10 8 João Ricardo fez um depósito a prazo fixo por 2 anos Decorrido o prazo o montante que era de R 11424000 foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros que é o dobro da primeira aplicação Sendo o montante de R 15536640 e o regime de capitalização juros simples qual o capital aplicado inicialmente R R 8400000 9 Uma pessoa aplicou certo capital a juros simples por dois anos e meio Usando essas informações e os dados na tabela abaixo determine a O capital aplicado pelo investidor R R 420000 b O saldo do investidor no final da aplicação R R 735000 c A taxa mensal de juros utilizada nessa operação R R i 25 am n mês M R 0 10 525000 16 588000 30 11 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Determine o prazo em que esteve aplicado R 2800000 à taxa de juros simples de 10 ao trimestre se produziu um juro de R 606700 R n 6m 15d 2 Calcular os juros simples resultantes de uma aplicação de R 623500 à 36 ao ano no prazo de 1 trimestre R R 56115 3 A quantia de R 1275000 foi aplicada a juros simples a taxa de 34 ao ano Determine o valor dos juros sabendo que o prazo de aplicação foi de 4 meses e 5 dias R R 150521 4 Uma loja vende uma mercadoria por R 4200000 à vista A prazo vende mediante uma entrada de R 1000000 e mais um pagamento de R 3920000 no prazo de 45 dias Determine a taxa de juros simples mensal operada pela loja R i 15 am 12 5 Uma pessoa deposita num banco um capital que após 3 meses de aplicação resulta no montante de R 181800 Este montante após ser resgatado é novamente aplicado à mesma taxa de juros simples resultando após 6 meses de aplicação no novo montante de R 185436 Calcular a taxa de juros simples anual e o capital inicial R i 4 aa R C R 180000 6 Uma loja vende seus produtos e nas operações a prazo utiliza uma taxa de juros simples de 4 am Oferece ainda as seguintes opções de pagamento para um eletrodoméstico Opção A um único pagamento 30 dias após a compra de R 182000 Opção B uma entrada de R 60000 e o saldo devedor em 50 dias Determine o saldo a ser pago 50 dias após a entrada sugerida na opção B considerando que ambas as opções tiveram como base o mesmo preço à vista R R 122667 7 Aplicase 38 de um capital a 4 ao mês e o restante a 25 ao mês obtendose um juro mensal de R 17297 Qual o capital aplicado R R 564800 13 8 Dois capitais o primeiro colocado a 35 ao mês durante 7 meses e o segundo a 26 ao mês durante 10 meses rendem juros iguais Se a diferença entre os capitais é R 357000 e o primeiro é maior que o segundo determine os capitais R R 5831000 R 6188000 9 Aplicouse R 680000 durante 83 dias e R 800000 durante 47 dias a uma mesma taxa de juros simples Os juros conseguidos na primeira aplicação excederam em R 94200 os juros da segunda aplicação Determine a taxa de juros simples mensal utilizada R i 15 am 10 Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples com taxa de 4 am para que o seu valor seja triplicado R 4a 2m 11 Um eletrodoméstico é vendido à vista por R 185000 ou então por uma entrada mais uma parcela de R 120000 após 3 meses Sabendo que a taxa de juros simples utilizada na operação é de 30 aa encontre o valor da entrada R R 73372 14 D N A TÓPICO 02 DESCONTOS SIMPLES É comum acontecer que uma pessoa ao assumir uma dívida entregue ao credor um documento chamado título de crédito como comprovante da dívida Esse documento tem uma data de vencimento e um valor combinado a ser pago nessa data no entanto se o devedor resolver pagar a dívida antes do prazo recebe um abatimento chamado desconto Os títulos de crédito comumente usados nas operações financeiras são as notas promissórias as duplicatas e as letras de câmbio nota promissória é um comprovante de dívida com vencimento prédeterminado usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e jurídica duplicata é um título emitido por pessoa jurídica para pagamento de bens ou serviços prestados a pessoas físicas ou jurídicas segundo um contrato letra de câmbio é um comprovante de aplicação de capital com vencimento pré determinado é um título ao portador emitido exclusivamente por instituição financeira Com os títulos de crédito pode ocorrer que o devedor queira efetuar o pagamento antes da data determinada nesse caso ele faz jus a um abatimento que corresponde ao juro que seria gerado por esse dinheiro no prazo que falta para o vencimento o credor necessite do dinheiro antes da data do vencimento nesse caso ele pode negociar o título com um terceiro que lhe pagará um valor menor que o fixado no título valor esse que se aplicado renderia no prazo que falta para o vencimento um juro correspondente à diferença entre o valor fixado e o que recebeu Nos dois casos há uma compensação definida pela diferença entre as duas quantidades o valor fixado e o valor recebido Essa diferença é chamada desconto Valor nominal N é o valor de face o valor indicado no título a ser pago na data do vencimento Valor atual A é o valor líquido resgatado antes da data do vencimento Desconto D é a diferença entre o valor nominal e o atual Prazo n período de tempo entre a data do desconto e a data do vencimento Taxa de juros i taxa calculada sobre o valor atual Taxa de descontos d taxa calculada sobre o valor nominal Existem dois modos de calcular o desconto simples que dão origem a dois tipos de desconto o desconto simples racional e o desconto simples comercial Esquema 15 Desconto racional simples Dr Sendo 𝐷𝑟 𝑁 𝐴𝑟 então 𝐴𝑟 𝑁 𝐷𝑟 Substituindose esta expressão de Ar na fórmula do desconto Dr anterior vem Logo Exemplo 1 Uma nota promissória foi descontada por R 950000 à taxa de juros simples de 18 as faltando 95 dias para o seu vencimento Qual o valor do desconto e qual o valor de face do título R D R 90250 N R 1040250 Exemplo 2 Uma duplicata de R 800000 foi descontada 185 dias antes do seu vencimento Determine o valor do desconto sabendose que taxa de juros simples da operação foi de 22 aa R Dr R 81258 A in D r r in 1 Nin Dr 𝐷𝑟 𝑁 𝐷𝑟 𝑖𝑛 𝐷𝑟 𝑁𝑖𝑛 𝐷𝑟𝑖𝑛 𝐷𝑟 𝐷𝑟𝑖𝑛 𝑁𝑖𝑛 𝐷𝑟1 𝑖𝑛 𝑁𝑖𝑛 in 1 N Ar 16 Dc Ndn Desconto comercial simples Dc Também chamado desconto por fora ou bancário é o desconto calculado aplicando uma taxa de descontos simples d sobre o valor nominal N do título considerando o prazo de antecipação do pagamento Sendo então Substituindose Dc na expressão do valor atual comercial Ac e simplificandose a expressão obtida vem Exemplo 3 Uma nota promissória foi descontada por R 2500000 no dia 05032022 à taxa de desconto simples de 15 as sabendose que o desconto foi de R 293000 Qual a data de vencimento da nota promissória e qual o seu valor R 09072022 R 2793000 Exemplo 4 Uma Nota Promissória foi emitida em 05012022 com seu vencimento para o dia 20052022 Em 02042022 foi descontada à taxa de desconto simples de 6 ao trimestre por R 145800 Qual o valor do desconto R R 4820 dn N 1 Ac 𝐴𝑐 𝑁 𝐷𝑐 𝐷𝑐 𝑁 𝐴𝑐 17 i d 1 dn N 1 in N 1 dn 1 1 dn 1 in Taxas equivalentes As taxas de juros e de descontos são equivalentes quando ao descontar um título o valor atual pelo método racional é igual ao valor atual pelo método comercial Então i e d equivalentes Ar Ac de onde se conclui e Exemplo 5 Determine a taxa de juros simples mensal equivalente à taxa de descontos simples de 12 ao mês no prazo de 53 dias R i 15228 am Exemplo 6 Determine a taxa de descontos simples mensal equivalente à taxa de juros simples de 14 ao semestre no prazo de 120 dias R d 2134 am d i 1 in 18 Equivalência de capitais A equivalência de capitais é muito usada na substituição de títulos por outros com novos vencimentos renegociação de dívida Dois capitais são equivalentes se ao ser descontados numa determinada data apresentam o mesmo valor atual Este conceito pode ser estendido também para um número maior de capitais Se tivermos um conjunto de capitais podese obter o valor atual desse conjunto somando os valores atuais desses capitais numa referida data Exemplo 7 Calcular o valor de um título único com vencimento para 60 dias que deverá substituir dois outros um de R 800000 para 80 dias e outro de R 600000 para 50 dias sendo a taxa de descontos simples de 15 aa R R 1395726 Exemplo 8 Uma dívida representada por dois títulos de R 500000 e R 700000 vencíveis em 60 e 90 dias respectivamente será reformulada substituindose por 2 títulos de mesmo valor final vencíveis em 120 e 180 dias respectivamente Sendo a taxa de descontos simples de 2 am determine o valor dos novos títulos R R 632222 19 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 O título de valor de R 5000000 com vencimento no dia 14 de agosto foi descontado no dia 17 de julho do mesmo ano com a taxa de juros de 27 ao mês Determine qual o valor líquido recebido e qual o valor do desconto R R 3993610 R 1006390 2 Um título com valor de R 7242480 foi descontado a taxa de juros de 26 ao mês O desconto foi de R 1572480 perguntase qual o prazo do desconto e qual o valor líquido recebido R R 5670000 32 dias 3 O título de R 10180000 com vencimento no dia 14 de dezembro descontado a taxa de juros de 405 ao trimestre resulta no valor líquido de R 9034750 Qual a data em que o título está sendo descontado R 16 de novembro 20 4 Uma NP emitida em 10062021 para vencer em 255 dias foi descontada em 15122021 à taxa de juros simples de 225 ao mês por R 1021621 Determine o valor do título na data do vencimento e a taxa de desconto simples mensal equivalente R R 1534986 1497 am 5 Uma Nota Promissória foi descontada por R 2303760 a taxa de desconto de 78 ao trimestre faltando 39 dias para o vencimento Qual o valor do desconto e qual o valor da promissória R R 1176240 R 34 80000 6 O desconto de um título foi de R 14775000 e o valor líquido recebido de R 83725000 adotandose a taxa de desconto de 30 ao trimestre Se o título foi descontado no dia 14 de outubro qual a data do vencimento do título R 28 de novembro 21 7 Uma Nota Promissória foi emitida em 15032021 com seu vencimento para o dia 30072021 Em 12062021 foi descontada à taxa de desconto simples de 36 ao trimestre por R 458000 Qual o valor do desconto R R 1 08832 8 Qual a taxa de juros simples equivalente na operação de desconto simples que utiliza a taxa de desconto de 24 ao mês no prazo de 126 dias R 2669 ao mês 9 Determinado negociante deseja trocar dois títulos um no valor de R 1000000 e outro no valor de R 2000000 com vencimentos em 24 dias e 36 dias respectivamente por um único com vencimento em 45 dias Se a taxa de desconto simples adotada é de 25 am qual o valor nominal do novo título R R 3520000 22 10 Dois títulos de valores nominais de R 500000 e R 800000 vencem respectivamente em 15 dias e 21 dias O devedor pretende reformálos de modo a fazer dois pagamentos sendo o primeiro igual ao dobro do segundo respectivamente em 30 e 45 dias Qual o valor desses pagamentos se o credor desconta comercialmente a taxa de desconto de 21 ao mês R R 997704 R 498852 11 Um título de R 135000 vencível em 120 dias será substituído por outro de R 156000 a vencer em 180 dias Calcule a taxa de desconto simples anual utilizada R 63636 aa 12 Um negociante deseja trocar dois títulos um no valor de R 500000 e outro no valor de R 300000 com vencimentos em 30 e 60 dias respectivamente por um único título de R 842857 Se a taxa de desconto simples adotada é de 9 ao trimestre qual deverá ser o prazo de vencimento do novo título R 90 dias 23 TÓPICO 03 JUROS COMPOSTOS Nos juros compostos o juro de cada período será calculado sobre o saldo montante do início de cada período Ou seja os juros de cada intervalo de tempo são incorporados ao capital inicial e passam a render juros também Observe o que acontece com o montante de um investimento de R 100000 aplicado durante 5 meses à 10 am Vamos analisar esta situação genericamente Montante do mês 1 M C i C C 1 i1 Montante do mês 2 M C 1 i1 i C 1 i1 C 1 i2 Montante do mês 3 M C 1 i2 i C 1 i2 C 1 i3 Montante do mês n M C 1 in Nos juros compostos usaremos FV em lugar de M PV em lugar de C então a fórmula para o cálculo do montante fica onde 1in é chamado fator de capitalização i deve ser taxa unitária i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo Gráfico comparativo entre Juros Simples e Juros compostos Juros Compostos Meses Juros Montante 0 100000 1 10000 110000 2 11000 121000 3 12100 133100 4 13310 146410 5 14641 161051 FV PV 1 in 24 Taxa efetiva e taxa nominal A taxa de juros compostos 12 aa indica que os juros são incorporados ao capital ao final de cada ano também costuma ser apresentada como 12 aaa sendo chamada de taxa efetiva podendo ser usada diretamente nos cálculos A taxa de 12aam chamada de taxa nominal indica que os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês e corresponde a uma taxa efetiva de 1amm i período de referência período de capitalização período de referência é o período ao qual se refere a taxa período de capitalização indica a periodicidade com que os juros são incorporados ao capital A taxa efetiva apresenta o período de referência igual ao período de capitalização e é a que realmente funciona sendo essa a taxa usada nos cálculos A taxa nominal apresenta o período de referência diferente do período de capitalização serve apenas para apresentação devendo ser transformada em efetiva para efetuar os cálculos Exemplo 1 Um capital de R 256000 é aplicado à taxa de juros compostos de 47 amm Calcular o montante acumulado ao final de 10 meses R R 405235 Exemplo 2 Qual o capital que resultou no montante de R 630900 aplicado à taxa de juros compostos de 36 aam durante 3 anos R R 217681 25 Exemplo 3 Ao aplicar R 165400 durante 8 meses resgatouse o montante de R 184500 Qual a taxa bimestral de juros compostos usada na operação R i 277 abb Utilização da HP 12C Na calculadora HP12C temos as seguintes teclas para o cálculo de juros compostos É importante ressaltar que a calculadora HP12C precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja é preciso informar quando temos uma entrada ou uma saída Na HP12C a tecla serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um número do inglês Present Value representa o capital do inglês Future Value representa o montante i do inglês interest representa a taxa n representa o número de períodos FV PV CHS 26 Do ponto de vista de quem recebe um empréstimo Do ponto de vista do emprestador FV saída FV entrada PV saída Observação Quando utilizamos a função f FIN Estaremos apagando somente os registros das memórias financeiras da HP12C enquanto a função f REG apagará todos os registros armazenados nas memórias da calculadora Cálculo do prazo Quando efetuamos o cálculo usando as teclas financeiras da HP12C o prazo retorna em períodos inteiros Na verdade qualquer prazo efetuado através da HP12C será sempre para período maior Neste caso para saber o período exato é necessário calcular através de logaritmo 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖𝑛 𝑙𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑙𝑛1 𝑖𝑛 𝑙𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑛 ln 1 𝑖 𝑛 𝑙𝑛 𝐹𝑉 𝑃𝑉 𝑙𝑛1 𝑖 Portanto o prazo deve ser calculado pela seguinte fórmula Na calculadora HP12C para usar logaritmo aperte g 𝒍𝒏 0 1 PV entrada 0 1 i n 1 l PV n FV l n 27 Exemplo 4 Um montante de R 630000 foi obtido após a aplicação de R 570000 a uma taxa de juros compostos igual a 3 aaa Qual foi a duração da aplicação R n 3a 4m 19d Taxas equivalentes na capitalização composta Vamos introduzir o assunto através de exemplos O capital de R 100000 aplicado à taxa de juros compostos de 15 aaa durante 1 ano produz o seguinte montante FV 1000001 0151 115000 Se tomarmos o prazo de 1 anos em meses 12 meses e a taxa de 15 aaa substituirmos por 1512 125 ao mês teremos como montante FV 10001 0012512 116075 Os montantes são diferentes Isso ocorre porque as taxas não são equivalentes Qual será a taxa mensal equivalente a 15 aaa 28 1 id 360 1 im 12 1 ib 6 1 it 4 1 iq 3 1 is 2 1 ia Qual será a taxa anual equivalente a 125 amm Exemplo Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 3 ams R i 5672 abb Observação O cálculo das taxas equivalentes não depende do valor do capital Generalizando destas igualdades tomandose determinada taxa efetiva podemos calcular outra taxa efetiva 29 FV PV 1 i a b c FV PV 1 i 1 i a b c Juros compostos com prazo fracionário Quando o prazo da aplicação não é um período inteiro temos duas maneiras de remunerar o capital a convenção exponencial e a convenção linear Convenção exponencial Remunera calculando juros compostos em todo o período inclusive o fracionário Temos então Convenção linear Remunera calculando juros compostos no período inteiro e juros simples no período fracionário Temos então Cálculos utilizando a convenção exponencial através das teclas funcionais da HP12C devem ser feitos observandose a presença do símbolo C no campo inferior do visor da calculadora Este símbolo é obtido através dos comandos STO EEX digitados separadamente e nesta ordem No caso de utilização da convenção linear via HP12C o símbolo C não deve permanecer no visor Caso esteja o símbolo pode ser retirado dos comandos STO EEX digitados separadamente e nesta ordem Exemplo O capital de R 263000 foi aplicado à taxa de 28 aat durante 1a 8m 18d Calcule montante segundo a convenção exponencial R R 418528 b convenção linear R R 418636 30 EXERCÍCIOS DE AULA 1 Um Banco remunera as aplicações dos seus clientes a juros compostos a uma taxa de 18 asm Se uma pessoa aplica hoje R 850000 e R 1000000 daqui a 3 meses qual será seu saldo daqui a 6 meses R R 2107671 2 Um capital de R 300000 foi aplicado a juros compostos durante 15 meses Sabendo que a taxa de juros dos 7 primeiros meses foi de 3 amm e que a do período restante foi de 4 amm calcular o montante desta aplicação R R 504950 31 3 Um eletrodoméstico cujo preço à vista é R 780000 é negociado à prazo através de uma entrada de 30 e o restante em uma parcela única após 90 dias Utilizando uma taxa de juros de 6 atm calcule o valor desta parcela R R 579420 4 Sabendo que o capital de R 1500000 aplicado a juros compostos durante 18 meses rendeu R 425000 pedese a a taxa bimestral de juros efetiva aplicada na operação b o rendimento caso o capital fosse aplicado durante os mesmos 18 meses a uma taxa de 73 att R a i 281 abb b R 789231 5 Uma empresa obteve um financiamento cujo pagamento ocorreu da seguinte forma 1ª parcela após 60 dias de R 1244000 2ª parcela após 90 dias de R 1360000 Determine o valor de financiamento sabendose que foi utilizada uma taxa de juros compostos de 9 abm R R 2330931 32 6 Uma pessoa obteve um empréstimo a juros compostos com um amigo comprometendose a saldar sua dívida em exatamente dois anos A taxa de juros foi fixada no momento do empréstimo e mantida durante todo o processo Com base nas informações apresentadas na tabela abaixo determine a A taxa de juros praticada na negociação b O valor do empréstimo c O saldo devedor na data do pagamento N mês M montante R 0 10 1173171 21 1514704 24 R a i 235 amm b R 930000 c R 1624020 7 Uma loja financia um aparelho eletrônico cujo preço à vista é R 200000 através de dois pagamentos iguais sendo um dado como entrada e o restante após 30 dias Sabendose que a taxa de juros utilizada pela loja é de 12 aqm Calcule o valor dos pagamentos R R 101478 33 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Calcular o montante obtido ao aplicar um capital de R 6000000 durante 3 anos à taxa de juros compostos de 10 aaa R R 7986000 2 Aplicase um valor à taxa de 36 aat que ao fim de 3a 6m transformase em R 785600 Qual o valor aplicado R R 235088 3 Um capital de R 250000 aplicado durante 4 meses produziu um montante de R 350000 Qual a taxa mensal de juros compostos R 878 amm 34 4 Um capital de R 3730000 foi aplicado a juros compostos à taxa de 4 amm Determinar o montante produzido em 1 ano e 3 meses R R 6717519 5 O capital de R 1700000 esteve aplicado durante um ano resultando no montante de R 4920000 Se a taxa de juros dos 4 primeiros meses foi de 72 amm qual a taxa de juros do período restante R i103 amm 6 Qual o prazo necessário para que R 5000000 aplicado à taxa de 12 aaq tenha um rendimento de R 984600 R 1a 6m 10d 35 7 Um capital de R 253500 aplicado à taxa de juros de 24 aab produziu um montante de R 537590 Durante quanto tempo o capital esteve aplicado R 3a 2m 10d 8 Uma mercadoria está à venda por R 1000000 a vista ou de forma equivalente com uma entrada e mais 3 parcelas sendo a primeira de R 220000 60 dias após a compra a segunda de R 350000 90 dias após a compra e a terceira de R 400000 150 dias após a compra Se a loja trabalha com uma taxa de 6 abm determine o valor da entrada R R 127286 9 Contraíuse uma dívida de R 1000000 para ser paga em 3a acrescida de juros de 36 aab Foram pagas 3 parcelas uma de R 435000 ao fim de 1a 2m outra de R 520000 ao fim de 2a e outra de R 640000 ao fim de 2a 6m Quanto deverá ser pago na data do vencimento para quitar a dívida R R 528699 36 10 Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 386 aas R 2985 amm 11 Indique a melhor opção para um investidor fazer uma aplicação usando uma taxa de a 3 amm b 18 ast c 36 aab R Opção a Taxa a 3 amm Taxa b 2914 amm Taxa c 2956 amm 37 12 O capital de R 4800000 foi aplicado à taxa de 26 aat durante 1a 5m 12d Calcule o montante a segundo a convenção exponencial b segundo a convenção linear R a R 6916223 b 6918390 13 Qual o valor do capital que no prazo de 4a 8m 16d produziu o montante de R 5130000 sendo a taxa de juros compostos de 55 aaa R exp R 3986323 lin R 3985158 14 Uma mercadoria cujo preço a vista é de R 310000 pode ser paga através de duas parcelas iguais com vencimentos em 30 e 60 dias Se a taxa de juros é de 4 amm qual o valor das prestações R R 164361 38 TÓPICO 04 SÉRIES DE PAGAMENTOS Conceito Uma Renda ou uma Série de Pagamentos é uma sucessão de capitais termos da renda que podem ser pagamentos eou recebimentos ocorridos em pontos diversos no tempo Fluxo de Caixa Exemplos Recebimento do salário pagamento de taxas luz água pagamento de uma prestação recebimento dos juros da Poupança etc O pagamento de 3 prestações mensais de 15000 sem entrada para a compra de um produto cujo preço à vista é 38000 constitui uma renda que é assim representada 0 1 2 3 150 Classificação e Simbologia Em geral as condições de prazo valores dos termos taxa de juros periodicidade são pré estabelecidas o que implica numa classificação para as rendas As rendas podem ser classificadas quanto ao prazo temporárias o prazo dos pagamentos ou recebimentos é finito perpétuas prazo infinito quanto aos valores dos termos uniformes termos iguais variáveis termos distintos quanto à periodicidade periódicas períodos iguais não periódicas períodos distintos 380 meses 39 quanto à ocorrência dos termos postecipadas os termos da renda ocorrem nos finais dos períodos de pagamento antecipadas os termos da renda ocorrem nos inícios dos períodos de pagamento quanto à ocorrência do 1o termo imediatas ocorre no 1o período de pagamento diferidas ocorre após o 1o período Vamos trabalhar com Rendas Temporárias Uniformes e Periódicas que serão postecipadas ou antecipadas imediatas ou diferidas Teremos a seguinte simbologia com seus respectivos significados i taxa de juros n número de termos PMT termos da renda pagamentos ou recebimentos PV Valor Atual parcela única que equivale à soma de todos os termos devidamente descapitalizados FV Montante parcela única que equivale à soma de todos os termos devidamente capitalizados Rendas Postecipadas END Os termos da renda ocorrem nos FINAIS dos períodos de pagamento Esquema gráfico PV Um momento antes do primeiro pagamento FV Junto com o último pagamento 40 Exemplo Calcule o preço à vista de uma mercadoria adquirida a prazo com taxa de juros de 2 amm cujo pagamento das prestações ocorre da seguinte forma a 3 parcelas mensais e iguais de R 25000 após 30 60 e 90 dias R a R 72097 b 3 parcelas mensais e iguais de R 25000 após 90 120 e 150 dias b R 69297 41 Cálculo do Valor Presente PV Valor Atual Postecipado i i 1 1 i 1 PMT PV i 1 1 i 1 1 i 1 1 PMT PV i 1 i 1 i 1 PV n n n 2 n 2 PMT PMT PMT Cálculo do Valor Futuro FV Montante Postecipado EXERCÍCIOS DE AULA 1 As condições de venda de um automóvel são as seguintes uma entrada de R 500000 mais 4 prestações mensais vencendo a primeira 3 meses após a compra O valor da prestação é de R 452000 e a taxa de juros é de 24 aam Calcular o preço à vista R R 2154261 Sn de uma PG 42 2 João deseja construir um fundo para ajudar a complementar a sua aposentadoria do INSS Para isso pretende economizar depositando ao final de cada mês e durante os próximos 25 anos a quantia de R 15000 numa aplicação que lhe renderá 08 amm a Calcular o valor do fundo na data da última aplicação R R 18597030 b Suponha que se passaram 25 anos e João dispõe hoje do referido fundo Se a taxa de juros se mantiver em 08 amm e ele desejar efetuar retiradas mensais de R 180000 quantas retiradas poderá fazer R 220 retiradas 3 Entre outubro de 2015 e agosto de 2016 foram depositados mensalmente R 78000 Se a taxa usada é 25 amm calcular o valor acumulado em novembro de 2016 RR 1048580 43 4 Uma compra é efetuada na seguinte condição entrada de R 30000 10 prestações mensais de R 25000 sendo a primeira prestação paga um mês após a compra mais 2 reforços de R 40000 dados junto com a 4ª e a 7ª prestação Qual seria o valor à vista se a taxa usada é de 28 amm R R 314234 5 O preço à vista de uma mercadoria é R 145000 Calcular o valor que deve ser dado de entrada para poder financiar o saldo em 5 prestações trimestrais de R 28500 sendo que a primeira prestação vence 1 ano após a compra e à taxa de juros de 65 att RR 46952 44 6 Um cidadão faz os seguintes depósitos R 200000 em janeiro22 R 50000 em fevereiro22 março22 junho22 um depósito extra de R 80000 em abril22 Avaliar o montante em junho22 se a taxa de juros é de 35 amm R R 591359 7 Uma motocicleta cujo preço à vista é R 780000 está à venda numa concessionária nas seguintes condições uma entrada de R 200000 e o restante em 18 prestações mensais e iguais ocorrendo o primeiro pagamento 90 dias após a compra Determine o valor destas prestações sabendo que é utilizada a taxa de juros i 35 amm R R 47106 45 Rendas Antecipadas BEGIN Os termos da renda ocorrem nos INÍCIOS dos períodos de pagamento Esquema gráfico Cálculo do Valor Presente PV Valor Atual Antecipado Valor atual PV EXERCÍCIOS DE AULA 1 Calcular o preço à vista de um automóvel nas seguintes condições 9 prestações mensais iguais sendo a 1a dada como entrada O valor da prestação é de R 262624 e a taxa de juros é de 24 aam R R 2186471 PV Junto com o primeiro pagamento FV Um momento após o último pagamento 46 2 Uma coleção de livros é vendida por R 65000 à vista ou em 6 prestações mensais iguais e consecutivas sendo a primeira no ato da compra Considerando uma taxa de juros compostos de 24 atm determinar o valor das prestações R R 13019 3 Calcule o preço à vista de um eletrodoméstico pago em 10 prestações mensais e antecipadas sendo as seis primeiras de R 80000 e as demais de R 50000 Considere uma taxa de juros compostos de 6 aqm R R 641505 47 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Efetuamse 12 depósitos mensais de R 48500 Qual o montante apurado dez meses após o último depósito se a taxa de juros é de 8 amm R R 1987054 2 Calcular o preço à vista de uma máquina se o comprador deu R 420000 de entrada mais 9 prestações bimestrais de R 385000 cada a partir de 1 ano após a encomenda sendo a taxa de juros de 54 aab R R 1920152 48 3 Um terreno foi adquirido através do pagamento de uma entrada de R 500000 seguida de 15 prestações mensais de R 150000 e mais um reforço extra pago juntamente com a 7a prestação O financiamento foi calculado a uma taxa de juros de 45 amm Calcular o valor do reforço sabendo que o valor total pago avaliado no momento da quitação do imóvel foi de R 4440774 R R 250000 4 Alguém contraiu uma dívida que deverá se paga na seguinte condição 1 pagamento de R 50000 em set05 mais 10 pagamentos de R 25000 nos meses de jan06 a out06 mais 1 pagamento de R 30000 em jan07 Supondo que se queira pagar a dívida com um único pagamento em mai06 calcular o valor deste pagamento se a taxa de juros utilizada é de 3 amm R R 334242 49 5 Uma mercadoria está à venda na seguinte condição uma entrada de R 200000 seguida de 12 prestações mensais iguais no valor de R 500000 mais um pagamento efetuado 120 dias após a compra de R 300000 Calcular o preço à vista a uma taxa de juros de 9 amm RR 3992890 6 Uma loja coloca à venda uma mercadoria na seguinte condição entrada de R 380000 mais 6 prestações mensais de R 55000 vencendo a primeira 120 dias após a entrada Um cliente propõe pagála do modo seguinte entrada de R 200000 e o restante em 4 prestações mensais iguais vencendo a primeira 180 dias após a entrada Determinar o valor das prestações se a taxa de juros é de 2 amm RR 136370 50 7 Um estudante foi agraciado com uma bolsa mensal de estudos no valor de R 100000 recebidos ao final de cada um dos 24 meses de seu mestrado Após o término do curso o estudante deve ressarcir a agência que concedeu a bolsa através do pagamento de 48 prestações mensais iguais e postecipadas Determinar o valor dessas prestações sabendo que a taxa de juros é de 1 amm R R 71031 8 Uma mercadoria é oferecida para pagamento em 6 prestações mensais iguais e antecipadas de R 1860000 com taxa de juros compostos de 16 abm Determine o valor à vista dessa mercadoria R R 9286441 51 9 Uma loja de automóveis financia integralmente um veículo no valor de R 1650000 em 12 parcelas iguais mensais e consecutivas de R 209310 Calcular a taxa mensal de juros compostos cobrada sabendose que a primeira prestação é paga no ato da compra R 876 amm 10 Um produto financiado será pago em 10 prestações mensais antecipadas sendo que as 5 prestações iniciais serão de R 35000 e as demais de R 25000 além de um reforço de R 40000 pago junto com a sétima prestação Calcule o preço à vista desse produto sabendo que a taxa de juros utilizada será de 2 amm R R 312652 52 Quota de amortização Quota de Juros TÓPICO 05 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Generalidades Entendese por Amortização o processo de extinção de uma dívida De um modo geral temos o esquema abaixo para o referido processo Conforme a composição das prestações temos os Sistemas de Amortização tais como Sistema de Amortização Progressiva Francês SAP Sistema de Amortização Constante SAC SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA SAP Tratase de um sistema amplamente adotado no Brasil nas instituições financeiras e no comércio em geral Característica básica O pagamento da dívida é efetuado através de prestações iguais periódicas e nos finais dos períodos Portanto tratase de uma Renda Imediata Postecipada Conceitos Principal ou Empréstimo PV é o valor do capital contraído como empréstimo Quotas de Amortização Ap são as parcelas que compõe as prestações e referemse ao pagamento do capital emprestado principal Quotas de Juros Jp são as parcelas que compõe as prestações e referemse ao custo do capital emprestado São calculadas segundo o regime de juros compostos incidindo a taxa de juros sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior Prestações Dívida Empréstimo 53 Prestação PMT ao final de cada período de pagamento p a prestação vale PMT Jp Ap Total Amortizado ou Montante Amortizado FVp é o total da dívida já amortizada após o pagamento da prestação ao final de um dado período p Corresponde à soma de todas as quotas de amortização Saldo Devedor PVp é o valor ou estado da dívida após o pagamento da prestação no final de um período p Exemplo Um empréstimo de R 600000 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 amm Construir a planilha financeira de amortização da dívida Planilha de Amortização SAP p Prestação PMT Juros J p Amortização Ap Saldo devedor PV p Total amortizado FV p 0 1 2 3 4 5 54 PV PMT 1 i n 1 1 i i n Jp PVp1i J p PMT Ap FVp A1 1 i p 1 i FVp PV PVp Formulações SAP Cálculo da prestação PMT então Cálculo dos juros Jp Os juros são calculados sobre o saldo devedor ou como Cálculo da quota de amortização de um período qualquer p Ap Como as quotas de amortização constituem uma PG de razão 1i temos sendo 1 1 J PMT A Total Amortizado após o pagamento de uma prestação p FVp Temos que PMT PV 1 i n i 1 i 1 n PMT Ap Jp Ap A11 ip 1 55 Saldo Devedor após o pagamento de p prestações PVp Sabendose o valor de p FV temos p 0 p FV PV PV Como p PV também corresponde ao valor atual das n p prestações futuras temos Prestações pagas com atraso Exemplo Um empréstimo de R 600000 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 amm pagandose as prestações 2 e 3 junto com a 4ª Construir a planilha financeira de amortização da dívida p Prestação PMT Juros J p Amortização Ap Saldo devedor PV p Total amortizado FV p 0 1 2 3 4 5 p p FV PV PV i i 1 1 i 1 PMT PV p n p n p 56 Prestações pagas antecipadas Exemplo Um empréstimo de R 600000 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 10 amm pagandose a prestação 3 junto com a 2ª Construir a planilha financeira de amortização da dívida p Prestação PMT Juros J p Amortização Ap Saldo devedor PV p Total amortizado FV p 0 1 2 3 4 5 57 Exercício Um empréstimo no valor de R 2000000 será amortizado pelo SAP Sistema Francês no prazo de 3 anos em prestações mensais à taxa de juros compostos de 5 amm Determine a o valor das prestações b a 14ª cota de amortização c os juros pagos na 19ª prestação d o saldo devedor após o pagamento da 25ª prestação e o total amortizado após o pagamento da 25ª prestação 58 COMANDO VISOR SIGNIFICADO 59 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE SAC Características os pagamentos são postecipados os juros pagos em cada prestaçao são calculados sobre o saldo devedor do período anterior as cotas de amortização são iguais Exemplo Um empréstimo de R 6 00000 foi contraído via SAC em 5 prestações mensais à taxa de 10 amm Construir a planilha financeira de amortização da dívida Planilha de Amortização SAC p Prestação PMTp Juros J p Amortização A Saldo Devedor PVp Total Amortizado FVp 0 1 2 3 4 5 60 A PV n PVp PV pA FV p p A Formulações SAC Quota de Amortização A Saldo Devedor PVp Prestações PMTp Juros pagos numa prestação Jp Total Amortizado FVp Exemplo Um empréstimo foi amortizado mensalmente via SAC em 20 anos Sabendose que as quotas de amortização eram de R 14500 e que a instituição financeira trabalha com uma taxa de juros de 24 aam determine a Os juros pagos na 15ª prestação R J15 R 65540 b O valor da 36ª prestação R PMT36R 73950 J p PVp 1 i PMTp J p A 61 EXERCÍCIOS 1 Um empréstimo de R 24530000 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 7 anos a uma taxa de juros de 36 aam Calcule o que se pede abaixo indicando todos os passos utilizados a os juros pagos na 21a prestação R J21 R 681855 b a 42a cota de amortização R A42 R 225260 c o saldo devedor após o pagamento da 50a prestação RPV50 R 16967676 d o total amortizado após o pagamento da 67a prestação RFV67 R 13958348 2 Um empréstimo de R 5200000 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 5 anos a uma taxa de juros de 15 asm Calcule o que se pede abaixo indicando todos os passos utilizados a a 15a cota de amortização R A15 R 54029 b o total amortizado após o pagamento da 24a prestação R FV24 R 1236951 c os juros pagos na 39a prestação R J39 R 70514 d o saldo devedor após o pagamento da 50a prestação R PV50 R 1472427 62 3 Um empréstimo de R 1200000 será pago em 6 prestações mensais pelo SAP a uma taxa de juros de 5 amm vencendo a 1a prestação 4 meses após a liberação do empréstimo Construir a planilha de amortização sabendo que no período de carência nada é pago e os juros são incorporados ao saldo devedor p PMT J p Ap PV p FV p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 63 4 Um cidadão faz um empréstimo de R 100000 a 5 amm via SAP em 6 prestações mensais Ele pagará a 3a e a 4a prestações juntamente com a 5a prestação e na data desta Construir a planilha de amortização p PMT J p Ap PV p FV p 0 1 2 3 4 5 6 5 Um empréstimo no valor de R 1050000 foi contraído via SAP para ser amortizado em 36 prestações mensais a uma taxa de juros de 35 amm A 1a prestação foi dada 120 dias após ter sido firmado o contrato e durante este período os juros foram incorporados ao saldo devedor Calcular a o valor das prestações R PMT R 57374 b 15a quota de amortização R A15 R 26917 64 6 Um empréstimo no valor de R 6000000 seria amortizado em 15 anos mediante prestações mensais pelo sistema SAP utilizando uma taxa de juros compostos i 2 amm Imediatamente após o pagamento da 24ª prestação o devedor deu um reforço de R 700000 e decidiu refinanciar a dívida resultante em 5 anos com prestações também mensais via SAP à taxa de 1 amm Calcule o valor das prestações após o refinanciamento R PMT R 115529 7 Um empréstimo de R 850000 foi amortizado mensalmente pelo SAP durante 2 anos Os juros pagos na 1a prestação foram de R 38250 Determinar os juros pagos na última prestação R R 2525 8 Um financiamento no valor de R 2500000 foi amortizado via SAP durante 5 anos Se a taxa de juros é de 42 aam calcular o valor necessário para quitar o empréstimo após o pagamento da 15a prestação R R 2254529 65 9 Um empréstimo será amortizado mensalmente pelo SAP durante 3 anos a uma taxa de juros de 30 aam Após o pagamento da 20a prestação o saldo devedor ficou em R 1245000 Calcular o valor pago por ocasião da última prestação sabendo que com esta foram pagas as prestações 34a e 35a R R 293309 10 Um empréstimo no valor de R 8000000 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais A taxa de juros da operação é de 4 amm Determinar a o valor das amortizações mensais R R 200000 b o valor dos juros e da prestação referente ao 22o pagamento R R 152000 R 352000 c o valor da última prestação R R 208000 d o saldo devedor após o pagamento da 10a prestação R R 6000000 e o total amortizado após o pagamento da 16a prestação R R 3200000 66 11 Um empréstimo de R 25000000 deve ser pago com juros de 8 amm em 20 parcelas mensais pelo SAC Calcular os valores do 2o e do último pagamentos R R 3150000 R 1350000 12 Um empréstimo de R 1000000 foi amortizado mensalmente pelo SAC em 3 anos Os juros pagos na 1a prestação foram de R 45000 Calcular os juros pagos na última prestação R R 1250 13 Um automóvel no valor de R 4000000 é comprado sem entrada para ser pago em 5 prestações vencendo a primeira prestação 90 dias após a compra à base de 9 amm de juros capitalizados durante a carência O financiamento foi feito pelo SAC Apresentar a planilha de amortização p PMT J p A PVp FVp 0 1 2 3 4 5 6 7 67 14 Um empréstimo de R 605000 será amortizado mensalmente pelo SAC em 5 prestações à taxa de juros de 10 amm Obter a planilha de amortização sabendo que os juros são pagos mensalmente mas as amortizações só começam daqui a 4 meses p PMT J p A PVp FVp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 15 Um empréstimo no valor de R 6000000 seria amortizado em 15 anos mediante prestações mensais pelo sistema SAP utilizando uma taxa de juros compostos i 2 amm Imediatamente após o pagamento da 24ª prestação o devedor deu um reforço de R 700000 e decidiu refinanciar a dívida resultante em 5 anos com prestações também mensais via SAC à taxa de 1 amm Calcular o valor da primeira e da última prestação após o refinanciamento R PMT1 R 138497 PMT60 R 87426 68 TÓPICO 06 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Veremos dois métodos para a avaliação e seleção de projetos de investimentos o método do Valor Líquido Presente NPV e o método da Taxa Interna de Retorno IRR Generalidades e Conceitos Análise de Investimentos é um tema no âmbito da Engenharia Econômica que trata da utilização de técnicas que visam auxiliar a quem detém o capital nas tomadas de decisões A ferramenta utilizada é a Matemática Financeira As técnicas de análise de investimento podem ser entendidas como metodologias para medir o retorno dos investimento Em geral levam em consideração o valor do dinheiro em função do tempo com base no prazo e no retorno monetário Um projeto ou uma alternativa de investimento consiste na inversão aplicação de capital num determinado empreendimento com a finalidade de obter receitas futuras Exemplos aplicar na poupança comprar uma máquina para a linha de montagem de uma fábrica alugar uma padaria É essencial para a análise de um projeto estimar o horizonte de planejamento estimar as receitas e os desembolsos ocorridos ao longo do tempo de duração do projeto vida útil caso o projeto seja levado a efeito suporemos aqui que as receitas e os desembolsos ocorram em períodos de tempo de igual amplitude reconhecer o valor do dinheiro no tempo através de uma taxa de juros apropriada Taxa de Mínima Atratividade TMA Para analisar um investimento é essencial conhecer o mínimo que o investidor estaria disposto a ganhar com o projeto Este valor é dado através de uma taxa de juros conhecida como Taxa de Mínima Atratividade TMA A TMA geralmente varia de investidor para investidor de empresa para empresa É uma taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros Geralmente ela está associada a investimentos de baixo risco e leva também em consideração as incertezas quanto aos retornos advindos da execução do projeto 69 NPV PV entrada ou saídas de caixa Investimento Inicial Critério de AceitaçãoRejeição o projeto será aceito é economicamente viável se NPV 0 o projeto não é aceito é inviável se NPV 0 o projeto não oferece ganho e nem prejuízo NPV 0 Método do Valor Presente Líquido NPV VLP O NPV Net Present Value consiste na diferença entre todas as entradas ou saídas obtidas ao longo do desenvolvimento de um projeto e o capital inicial investido Todos os valores envolvidos no cálculo devem ser considerados na mesma data o que naturalmente requer a descapitalização das entradas e saídas para a data zero do processo com base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada Podemos então afirmar que o objetivo do NPV é verificar se projetos de ou alternativas de investimentos são interessantes a seus patrocinadores em relação aos custos ou seja se possuem NPV positivo Seu cálculo reflete as preferências entre consumo presente e consumo futuro e a incerteza associada aos fluxos de caixa futuros O processo por meio dos quais os fluxos de caixa são ajustados a esses fatores chamase desconto e a magnitude desses fatores é refletida na taxa de desconto usada O processo de desconto converte os fluxos de caixa futuros em valores presentes pois fluxos de épocas diferentes não podem ser comparados nem agregados enquanto não forem colocados em uma mesma época Exemplo Zeca Gellato está analisando a compra de uma nova máquina para incrementar a sua sorveteria no verão16 Suas expectativas com relação às receitas e desembolsos são as seguintes desembolso inicial de R 500000 com a compra do equipamento em dez15 despesa de R 50000 e receita de R1500 em jan16 receita líquida de R 250000 em fev16 receitas líquidas de R 150000 em mar16 e abr16 quando então a máquina será vendida pelo valor de R 50000 valor residual Considerando que os fluxos monetários ocorrem em períodos de igual amplitude 1 mês e que Zeca deseja obter uma rentabilidade ou lucratividade mínima de 8 amm ajudeo a decidir sobre a viabilidade de seu projeto R NPV R 73008 Projeto aceito 70 EXERCÍCIOS DE AULA 1 Um projeto de investimento inicial de R 12000000 deverá gerar o seguinte fluxo de caixa nos próximos 6 anos entradas anuais de R 3200000 gastos anuais de R 480000 com manutenção Considerando uma taxa de 12 aaa decida sobre o aceite do projeto R NPV R 816972 Projeto rejeitado 2 Um investimento de R 800000 gerou entradas de caixa da seguinte forma R 200000 após 30 dias R 190000 após 90 dias R 450000 após 150 dias Calcular o NPV da operação considerando um custo de oportunidade de 3 amm R NPV R 43774 Projeto rejeitado 71 NPV 0 Critério de AceitaçãoRejeição o projeto será aceito é economicamente viável se IRR TMA o projeto não é aceito é inviável se IRR TMA 3 Um automóvel anunciado por R 5200000 à vista pode ser adquirido a prazo com 25 de entrada e mais 24 prestações mensais de R 190000 Qual a melhor opção segundo o critério do NPV para um comprador que possui seu dinheiro aplicado à taxa de 15 amm R NPV R 94223 compra a prazo é favorável Método da Taxa Interna de Retorno IRR TIR A IRR Internal Rate Return pode ser definida como sendo a taxa que faz com que a diferença entre as receitas provenientes de um projeto e o investimento inicial seja nula Matematicamente é a taxa que proporciona o NPV nulo de um projeto ou seja Em outras palavras podemos afirmar que a IRR é a taxa de retorno esperada do projeto de investimento O método da IRR não tem como finalidade a avaliação da rentabilidade absoluta a um determinado custo de capital processo de atualização como o NPV mas ao contrário seu objetivo é encontrar uma taxa intrinseca de rendimento 72 EXERCÍCIOS DE AULA 1 Um produto comercializado à vista por R 150000 é oferecido a prazo em 5 parcelas mensais de R 35000 sendo a primeira delas paga em 120 dias após a compra Calcule a taxa de juros mensal cobrada pela loja R IRR 261 amm 2 Um automóvel anunciado por R 5200000 à vista pode ser adquirido a prazo com 25 de entrada e mais 24 prestações mensais de R 190000 Qual a melhor opção segundo o critério do IRR para um comprador que possui seu dinheiro aplicado à taxa de 15 amm R IRR 129 amm compra a prazo é favorável 73 3 Um projeto de investimento tem as seguintes características custo inicial R 1000000 vida útil estimada 5 anos receitas anuais R 420000 custos anuais R 120000 valor residual 10 do investimento inicial A empresa tem a opção de aplicar os seus recursos em papéis que rendem não menos do que 15 aaa Analisar pelos métodos do NPV e da IRR se o projeto é vantajoso R NPV R 55364 IRR 1723 aaa projeto viável 74 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Um investidor dispõe de um capital de R 2400000 podendo aplicálo num empreendimento que lhe proporcionará um retorno mensal de R 574410 nos cinco primeiros meses após a aplicação Existe outra alternativa que é aplicar os R 2400000 e receber R 3226920 ao final do quinto mês após a aplicação Com o auxílio da taxa interna de retorno verifique qual a melhor alternativa para o investidor R A primeira pois apresenta maior taxa interna de retorno IRR1 63 amm IRR2 61 amm 2 Decida pelo NPV qual das alternativas abaixo é a mais atrativa para um investimento de R 5000000 caso se espere obter uma lucratividade mínima de 62 amm 80000 25000 25000 25000 a c 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 50000 50000 38000 38000 12000 b d 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 50000 50000 R NPVA R 576258 NPVB R 821284 NPVC R 924559 NPVD R 863891 O mais atrativo C 75 3 Um projeto de investimento tem as seguintes previsões para os desembolsos e receitas investimento inicial de R 15000 em jan15 despesas de R 100000 em fev15 mar15 e abr15 receitas iguais às despesas em mai15 e jun15 receitas líquidas de R 400000 de jul15 a dez15 A rentabilidade mínima exigida pelo investidor é de 5 amm Formular o método do NPV para o referido projeto e verificar a sua viabilidade econômica Determinar também seu IRR R NPV R 181550 IRR 3603 amm projeto inviável 4 A Empresa XYZ estuda a compra de dois equipamentos A e B com as seguintes características A B custo inicial vida útil R 2800000 5 anos R 300000 5 anos custos anuais R 400000 R 300000 receitas anuais R 1200000 R 1000000 valor residual R 1200000 R 1000000 Apresentar o modelo matemático relativo ao método do NPV para os equipamentos A e B verificando por este método se ambos os projetos são viáveis e neste caso qual deles é o mais atrativo Analise também os projetos via método da IRR A TMA da empresa é de 18 aaa R IRRA 2105 aaa IRRB 2332 aaa NPVA R 226268 NPVB R 326129 ambos viáveis B 76 5 Uma lavanderia analisa duas alternativas para melhorar os seus serviços de entrega a Comprar uma caminhonete custo de aquisição R 4000000 vida útil 10 anos valor de venda após 10 anos valor residual R 400000 custos anuais de manutenção R 800000 b Alugar uma caminhonete custos anuais com o aluguel e manutenção R1500000 com pagamento no final de cada ano Qual a melhor opção se a TMA da lavanderia é de 15 aaa R NPVA R 7916141 NPVB R 7528153 opção b 6 Uma empresa de reflorestamento objetiva realizar um investimento de R 100000000 para obter um retorno que seja superior a sua taxa de mínima atratividade de 55 aaa O projeto apresentado pelo engenheiro da firma dará um retorno anual de R 60000000 durante 10 anos O projeto é vantajoso Justifique a resposta R É vantajoso NPV R 7727985 7 Uma indústria pretende adquirir uma máquina avaliada em R 5000000 e que pode ser financiada através de uma entrada de 10 e o restante em 24 prestações mensais de R 210000 vencendo a primeira 120 dias após a compra Nestas condições calcule a taxa de juros do financiamento Este plano de financiamento é conveniente para a indústria que dispondo de recursos para comprar à vista mantém uma aplicação à taxa i 08 amm R Taxa do financiamento i 074 amm Compra a prazo favorável 77 APÊNDICE 1 COMO USAR A HP12C Ligar e desligar Aperte a tecla ON Apertando ON novamente a calculadora desliga Se não desligada manualmente a calculadora desligará automaticamente entre 8 e 17 minutos depois do último uso Indicador de carga da bateria Um ícone de bateria mostrado no canto superior esquerdo do mostrador quando a calculadora está ligada significa que a bateria está fraca O teclado Observe que uma mesma tecla pode ter até 3 funções diferentes reconhecidas pelos caracteres impressos Em branco face superior da tecla Em azul abaixo da tecla Em laranja acima da tecla Para utilizarmos as funções alternativas laranja ou azul de determinada tecla basta pressionarmos antes as teclas de prefixo correspondentes f laranja e g azul Quantidade de Casas Decimais no Visor Pressione a tecla f seguida do número de casas decimais desejado Exemplo f 9 fixa nove casas decimais após a vírgula Como vamos trabalhar Separadores de dígitos A calculadora HP12C possui duas formas de separar a parte fracionária da parte inteira de um número utilizando ponto ou vírgula Para mudar de uma forma para outra proceda do seguinte modo desligue a calculadora Depois pressione ao mesmo tempo as teclas ON e ponto Faça essa operação novamente para voltar à configuração original de separador de dígitos no mostrador Números negativos Para trocar o sinal de um número no mostrador tanto um que acabou de ser digitado quanto um que resultou de um cálculo aperte CHS 78 Cálculos aritméticos simples A HP12C opera com o sistema de entrada de dados RPN Notação Polonesa Reversa onde introduzimos primeiro os dados separados pela tecla ENTER e depois as operações Para executar uma operação aritmética 1 Digite o primeiro número 2 Aperte ENTER para separar o segundo número do primeiro 3 Digite o segundo número 4 Aperte x ou para executar a operação desejada Armazenamento e recuperação de números Para armazenar um número que aparece no mostrador em um registro de armazenamento de dados 1 Aperte STO armazenar 2 Digite o número do registro 0 a 9 para os registros de R0 a R9 ou 0 a 9 para os registros de R0 a R9 3 Da mesma maneira para recuperar para o mostrador um número em um registro de armazenamento aperte RCL recuperar e depois digite o número do registro Essa ação copia para o mostrador o número armazenado no registro o qual permanecerá inalterado no registro de armazenamento Apagando um registro ou o mostrador Há várias operações que apagam ou zeram registros na Hp12c como mostrado abaixo CLX apaga o mostrador e registro f REG apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros da pilha e mostrador f FIN apaga os registros financeiros Funções de Calendário DiaMêsAno Para configurar o formato para diamêsano aperte g DMY diamêsano Para entrar uma data com esse formato ativado 1 digite o dia com dois dígitos 2 aperte a tecla do ponto decimal 3 digite o mês com dois dígitos 4 digite os quatro dígitos do ano Quando o formato da data está configurado para diamêsano o indicador de estado DMY está presente no mostrador Se o DMY não estiver presente o formato da data será mêsdiaano O formato de data permanece ativo até ser alterado não é necessário configurálo toda vez que a calculadora é ligada Porém se a Memória Contínua for reinicializada o formato de data será configurado para mêsdiaano Número de dias entre datas Para calcular o número de dias entre duas datas 1 digite a data mais antiga 2 aperte ENTER 3 digite a data mais recente 4 aperte g DYS A resposta exibida no mostrador é o número exato de dias entre as duas datas 79 Exemplo Data de referência 14032021 Data futura 11072021 Cálculo f REG g DMY Digite a data de referência na forma DDMMAAAA 14032021 ENTER Digite a data futura 11072021 g DYS Visor aparece 119 dias Datas futuras ou passadas Para calcular a data e dia que é um certo número de dias depois ou antes de uma data fornecida 1 digite a data fornecida 2 aperte ENTER 3 digite o número de dias se a outra data estiver no passado aperte CHS 4 aperte g DATE OBS O número que aparece ao lado é o dia da semana 1 Segunda Feira 2 TerçaFeira 3 QuartaFeira 4 QuintaFeira 5 SextaFeira 6 Sábado 7 Domingo Exemplo Partindo do dia 14032021 que data e dia da semana será após 119 dias f REG g DMY Digite a data de referência na forma DDMMAAAA 14032021 ENTER Digite 119 g DATE Visor aparece 11072021 7 80 APÊNDICE 2 FOLHA DE CONSULTA PARA PROVA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES n i 1 C M j C M n i C j ou Desconto Simples D N A n d 1 N N d n D i n 1 A N n i 1 N n i D n i A D Ac c r r r r ou Comercial ou ou Racional Relação entre taxa de juros i e taxa de desconto d d n 1 d i n i 1 i d e CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA i 1 ln PV ln FV n i 1 FV PV n Taxas Equivalentes 360 12 6 4 3 2 d m b t q s a i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 1 Convenções período fracionário período inteiro Linear l Exponencia c b a c b i 1 i 1 PV FV i 1 FV PV a b c a Séries Uniformes i 1 i n 1 i 1 PMT FV i 1 i n i 1 1 i 1 PMT PV i 1 i 1 PMT FV i i 1 1 i 1 PMT PV n n n n Antecipadas Postecipadas Sistemas de Amortização i 1 i 1 FV A i 1 A A PV i J i i 1 1 i 1 PV PMT A J PMT i i 1 1 i 1 PV PMT PMT J A n A PV PV p A PV PV i J p 1 p p n p n n n 1 p 1 p 1 p p p p p p p p p 1 p SAP SAC