Lista de Exercícios Resolvidos: Eletromagnetismo - Cargas, Campos e Energia

418 Três cargas puntiformes Q1 9μC Q2 4μC e Q3 36μC estão posicionadas ao longo de uma reta A distância entre as cargas Q1 e Q3 é 9 cm Afirmase que pode ser selecionada uma posição para a carga Q2 de tal forma que a força resultante sobre cada carga seja nula Encontre esta localização 421 Uma carga linear de densidade uniforme ρl forma um semicírculo de raio b no plano xy superior Determine a magnitude e a direção da intensidade de campo elétrico no centro do semicírculo 423 Duas superfícies cilíndricas coaxiais infinitamente longas ρ a e ρ b b a possuem respectivamente densidades superficiais psa e psb a Determine a intensidade de campo elétrico em todas as regiões do espaço b qual deve ser a relação entre a e b de maneira que o campo elétrico seja nulo para ρ b 427 Calcule a energia desprendida ao mover uma carga puntiforme de 500 pC desde o ponto 2 π6 1 ao ponto 4 π2 1 na presença do campo elétrico E 6ρ sin ϕ eρ 3ρ cos ϕ eϕ Vm fazendo a primeiro movendo em ρ 2 de ϕ π6 a ϕ π2 e depois movendo em ϕ π2 de ρ 2 a ρ 4 e b primeiro movendo em ϕ π6 de ρ 2 a ρ 4 e depois movendo em ρ 4 de ϕ π3 a ϕ π2 418 Suponha que Q1 está em x0 Logo Q2 deve ficar entre as cargas pois é a única região onde ela pode sofrer uma força nula em x 0 e x 0 com os campos das cargas q e 4q possuem o mesmo sentido Vamos posicionar Q2 em x Para Q2 estar em equilíbrio Q1Q24πε0x² Q2Q34πε0Lx² onde L 9 cm Logo como Q3 4Q1 Lx² 4x² 3x² 2xL L² 0 x 2L 4L² 12L² 6 onde já excluímos a solução negativa x 2L 4L 6 x L3 93 3 cm De fato a força total sobre Q1 será F1 k 36 10⁶ 003² k 324 10⁶ 009² 0 que é igual em módulo à força sobre Q3 421 Seja o esquema acima Pela Lei de Coulomb sabemos que o vetor campo elétrico devido a um elemento de carga dq é dE 1 4πε₀ r r r r³ dq r é o vetor que liga a origem ao ponto onde vamos calcular o campo e r é o vetor que liga a origem ao elemento de carga No caso do semicírculo acima r 0 e r b cosθ x b senθ y de modo que r r³ r³ b² cos²θ b² sen²θ³ b³ Além disso dq ρₗ dl ρₗ b dθ elemento de comprimento do arco Logo dE ρₗ b 4πε₀ b cosθ x b³ b senθ y b³ dθ Integrando de 0 a π E ρₗ 4πε₀ b ₀π cosθ dθ x ₀π senθ dθ y E ρₗ 4πε₀ b senθ₀π x cosθ₀π y λ 4πε₀ b 1 1 y E ρₗ 2πε₀ b y 423 a Vamos usar a Lei de Gauss sendo a superfície Gaussiana um cilindro de raio ρ e comprimento L coaxial ao sistema Se ρ a E 0 pois não há carga engenhada Se a ρ b E dA 1 ε₀ ρₛₐ da E 2πρL ρₛₐ 2πaL ε₀ E ρₛₐ a ε₀ ρ Se ρ b basta somarmos os campos devidos à ρₛₐ e ρₛb E ρₛₐ a ε₀ ρ ρₛb b ε₀ b b Para E0 se ρ b devemos ter ρsa a ρob b 0 ab ρob ρsa 427 O elemento de caminho em coordenadas cilíndricas é dℓ 𝜌 dρ Φ ρ dΦ z dz e o trabalho é W Q E dℓ a W 5 1010 3 22 cos Φ dΦ 6 sin Π7 ρ dρ com limites Π6 a Π2 para a integral de Φ e limites 2 a 4 para a integral de ρ 5 1010 12 sen Φ Π6Π2 6 6 5 1010 18 36 W 27 109 J b Agora temos W 5 1010 3 42 cos Φ dΦ 6 sin Π6 ρ dρ com limites Π3 a Π2 para integral de Φ e limites 2 a 4 para integral de ρ 5 1010 48 sen Φ Π3Π2 3 6 W 5 1010 72 18 W 27 109 J