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Resistência dos Materiais Carga axial e propriedades dos materiais Bibliografia HIBBELER R C Resistência dos Materiais BEER F P Resistência dos Materiais São Paulo Makron Books 1996 Capítulo 7 Tensão de Cisalhamento transversal Introdução Objetivo desenvolver um método para encontrar a tensão de cisalhamento em vigas com seção transversal prismática feitas de material homogêneo que se comporta de maneira linearelástica Cisalhamento em elementos retos Um elemento típico retirado do interior da seção transversal está sujeito tanto a tensões de cisalhamento transversais como longitudinais Como resultado da tensão de cisalhamento desenvolvemse deformações de cisalhamento e estas tendem a distorcer a seção transversal de maneira bem complexa 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Onde 𝜏 tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância 𝑦 do eixo neutro V força de cisalhamento interna I momento de inércia da área da seção transversal inteira calculada em torno do eixo neutro 𝑡 largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto onde 𝜏 deve ser determinada 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 Momento estático da área A em relação a linha neutra onde A é a porção superior ou inferior da área da seção transversal do elemento definido pela seção onde 𝑡 é medida e 𝑦 é a distância até o centroide de 𝐴 medida em relação ao eixo neutro Fórmula do Cisalhamento Tensões de Cisalhamento em Vigas Seção Transversal Retangular Distribuição da tensão de cisalhamento transversal Vigas de abas largas consiste de duas abas e uma alma Distribuição da tensão de cisalhamento transversal 01 A viga mostrada na figura é feita de madeira e está submetida a uma força cortante interna 𝑉 3 KN a Determinar a tensão de cisalhamento no ponto P b Calcular a tensão de cisalhamento máxima na viga Exemplos 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝑄 𝐴𝑦 É comum a todos os pontos da seção os valores do cortante interno 𝑉 3𝐾𝑁 momento de inércia 𝐼 e para a seção retangular o valor da largura 𝑡 40𝑐𝑚 Cálculo do momento de inércia 𝐼𝐿𝑁 𝑏ℎ³ 12 0405³ 12 0004167𝑚4 a Tensão de cisalhamento no ponto P 𝑄 𝐴𝑦 02 04 015 0012 𝑚³ 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 3000 0012 0004167 04 21598𝐾𝑃𝑎 b Tensão máxima ocorre na linha neutra 𝑄 𝐴𝑦 025 04 0125 00125𝑚³ 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 3000 00125 0004167 04 225𝐾𝑃𝑎 40 25 25 15 20 P 2510 125 225𝐾𝑃𝑎 21598𝐾𝑃𝑎 02 Uma viga de abas largas tem as dimensões mostradas na Figura Supondo que ela seja submetida a uma força cortante 𝑉 80 KN Traçar o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que atua sobre a área de sua seção transversal 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 É comum a todos os pontos os valores do cortante interno 𝑉 80𝐾𝑁 e o momento de inércia 𝐼 1 3 2 Teorema dos eixos paralelos 𝐼𝐿𝑁 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦² 𝐼𝐿𝑁13 03002³ 12 03 002 0112 728 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁2 0015 02³ 12 0015 02 02 1 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁 728 105 1 105 728 105 𝐼𝐿𝑁 1556 104𝑚4 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Cálculo da tensão da mesa 𝑡 03𝑚 𝑄 𝐴𝑦 03 002 011 000066𝑚³ 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 80000000066 155610403 11311054 𝑃𝑎 113 𝑀𝑃𝑎 Cálculo da tensão da alma 𝑡 0015𝑚 𝑄 𝐴𝑦 03 002 011 000066𝑚³ 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 80000000066 15561040015 22622108 𝑃𝑎 226𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Cálculo da tensão na linha neutra tensão máxima 𝑄1 03 002 011 000066𝑚³ 𝑄2 0015 01 005 0000075𝑚³ 𝑄 0000735𝑚³ 𝜏𝑚𝑎𝑥 800000000735 15561040015 25192802𝑃𝑎 252𝑀𝑃𝑎 1 2 03a A viga mostrada na Figura é feita de duas tábuas Determinar a tensão de cisalhamento máxima na cola necessária para manter as tábuas unidas ao longo da junção Os apoios em B e C exercem somente reações verticais sobre a viga Para calcular a tensão máxima na cola precisamos Calcular o diagrama de cortante Calcular o centro de gravidade da seção Calcular o momento inércia Calcular a tensão 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Calcular o diagrama de cortante Reação 𝑀𝐵 0 𝐶𝑦8 65 4 6 0 𝐶𝑦 195𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 𝐵𝑦 65 4 195 0 𝐵𝑦 65𝐾𝑁 D S1 0 𝑥 4 𝐹𝑦 0 65 𝑉 0 𝑉 𝑥 65𝐾𝑁 S2 4 𝑥 8 𝐹𝑦 0 65 65 𝑥 4 𝑉 0 𝑉 𝑥 65𝑥 325 𝑉 4 65𝐾𝑁 𝑉 8 195𝐾𝑁 Calcular o diagrama de cortante D S1 0 𝑥 4 𝑉 𝑥 65𝐾𝑁 S2 4 𝑥 8𝑉 𝑥 65𝑥 325 𝑉 4 65𝐾𝑁 𝑉 8 195𝐾𝑁 65 195 VKN 𝑉𝑚𝑎𝑥 195𝐾𝑁 Calcular o centro de gravidade da seção 1 2 𝑦 𝐴𝑦 𝐴 𝑦 015 003 0165 003 015 0075 015 003 003 015 𝑦 012m Momento de inércia Teorema dos eixos paralelos 𝐼𝐿𝑁 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦² 𝐼𝐿𝑁1 015003³ 12 015 003 00452 945 106𝑚4 𝐼𝐿𝑁2 003015³ 12 003 015 00452 1755 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁 945 106 1755 105 27 105𝑚4 Calcular a tensão no ponto D 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝑄 𝐴𝑦 𝑄 015 003 0045 𝑄 2025 104𝑚³ 𝜏𝐷 19500 2025 104 27 105 003 𝜏𝐷 4875 𝑀𝑃𝑎 03b Determinar a tensão de cisalhamento máxima da viga Tensão máxima de cisalhamento transversal ocorre na linha neutra De 03a temos os valores de 𝑉𝑚á𝑥 e 𝐼𝐿𝑁 falta calcular o valor do momento estático 𝑄 𝐴𝑦 para os pontos na linha neutra 𝑄 𝐴𝑦 003 0120 006 𝑄 0000216𝑚³ 𝜏𝑚𝑎𝑥 19500 0000216 27 105 003 52𝑀𝑃𝑎 04 Considere a viga biapoiada formada por duas tábuas de mesmas medidas unidas por cola A seção transversal retangular dessa viga possui 25X60cm Sabendo que a tensão da cola que une as duas tábuas vale 12 MPa qual é a máxima carga distribuída que essa viga suporta 25cm 60cm 5m w cola 25cm 60cm 5m w cola 𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎 12𝑀𝑃𝑎 𝑉𝑄 𝐼𝑡 A tensão da cola neste caso estará na posição da linha neutra O valor do momento estático na Linha neutra vale 𝑄𝐿𝑁 025 03 015 001125𝑚3 Momento de inércia 𝐼𝐿𝑁 025 060³ 12 00045𝑚4 𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎 12 106 𝑉001125 00045 025 𝑉 120000𝑁 120𝐾𝑁 5m w Ay By Reações 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦5 𝑤5 25 0 𝐵𝑦 25𝑤𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 5𝑤 25𝑤 0 𝐴𝑦 25𝑤𝐾𝑁 S 0 𝑥 5 Calculo do cortante interno 25𝑤 𝑤𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑤𝑥 25𝑤 𝑉 0 25𝑤 𝑉 5 25𝑤 25𝑤 25𝑤 A cola suporta no máximo o cortante interno 𝑉 120𝐾𝑁 25𝑤 𝑤 48𝐾𝑁𝑚 Anexo A Dedução das equações Fórmula do Cisalhamento Será determinado usando a relação a derivada do momento fletor interno em relação ao eixo horizontal 𝑥 é o esforço cortante interno 𝑉 𝑑𝑀 𝑑𝑥 Considere o equilíbrio da força horizontal de uma parte do elemento tirado da viga mostrada abaixo Em c têmse a distribuição da tensão normal Essa distribuição é provocada pelos momentos fletores 𝑀 e 𝑀 𝑑𝑀 Excluímos do diagrama de corpo livre os efeitos de 𝑉 𝑉 𝑑𝑉 e 𝑤𝑥 uma vez que essas cargas são verticais e portanto não serão incluídas no somatório da força horizontal Considerando o segmento superior do elemento secionado a uma distância 𝑦 do eixo neutro EN 𝐹𝑥 0 será satisfeita somente se a tensão de cisalhamento longitudinal 𝜏 atue sobre a face inferior do segmento Supondo que essa tensão de cisalhamento é constante em toda a largura t da face inferior do segmento e atue sobre a área 𝑡 𝑑𝑥 𝐹𝑥 0 𝐴 𝜎𝑑𝐴 𝐴 𝜎𝑑𝐴 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 0 𝐴 𝑀 𝑑𝑀 𝐼 𝑦𝑑𝐴 𝐴 𝑀 𝐼 𝑦𝑑𝐴 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 0 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝜏𝑡 𝑑𝑥 𝜏 1 𝐼𝑡 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝜏 1 𝐼𝑡 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝐴 𝑦𝑑𝐴 Essa equação pode ser simplificada já que 𝑉 𝑑𝑀𝑑𝑥 A localização do centroide da área 𝐴 é determinada por 𝑦 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝐴 podese também escrever 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 Assim a fórmula de cisalhamento será 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Onde 𝜏 tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância 𝑦 do eixo neutro V força de cisalhamento interna I momento de inércia da área da seção transversal inteira calculada em torno do eixo neutro 𝑡 largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto onde 𝜏 deve ser determinada 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 onde A é a porção superior ou inferior da área da seção transversal do elemento definido pela seção onde 𝑡 é medida e 𝑦 é a distância até o centroide de 𝐴 medida em relação ao eixo neutro ecosistema ãNIMA
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Resistência dos Materiais Carga axial e propriedades dos materiais Bibliografia HIBBELER R C Resistência dos Materiais BEER F P Resistência dos Materiais São Paulo Makron Books 1996 Capítulo 7 Tensão de Cisalhamento transversal Introdução Objetivo desenvolver um método para encontrar a tensão de cisalhamento em vigas com seção transversal prismática feitas de material homogêneo que se comporta de maneira linearelástica Cisalhamento em elementos retos Um elemento típico retirado do interior da seção transversal está sujeito tanto a tensões de cisalhamento transversais como longitudinais Como resultado da tensão de cisalhamento desenvolvemse deformações de cisalhamento e estas tendem a distorcer a seção transversal de maneira bem complexa 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Onde 𝜏 tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância 𝑦 do eixo neutro V força de cisalhamento interna I momento de inércia da área da seção transversal inteira calculada em torno do eixo neutro 𝑡 largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto onde 𝜏 deve ser determinada 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 Momento estático da área A em relação a linha neutra onde A é a porção superior ou inferior da área da seção transversal do elemento definido pela seção onde 𝑡 é medida e 𝑦 é a distância até o centroide de 𝐴 medida em relação ao eixo neutro Fórmula do Cisalhamento Tensões de Cisalhamento em Vigas Seção Transversal Retangular Distribuição da tensão de cisalhamento transversal Vigas de abas largas consiste de duas abas e uma alma Distribuição da tensão de cisalhamento transversal 01 A viga mostrada na figura é feita de madeira e está submetida a uma força cortante interna 𝑉 3 KN a Determinar a tensão de cisalhamento no ponto P b Calcular a tensão de cisalhamento máxima na viga Exemplos 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝑄 𝐴𝑦 É comum a todos os pontos da seção os valores do cortante interno 𝑉 3𝐾𝑁 momento de inércia 𝐼 e para a seção retangular o valor da largura 𝑡 40𝑐𝑚 Cálculo do momento de inércia 𝐼𝐿𝑁 𝑏ℎ³ 12 0405³ 12 0004167𝑚4 a Tensão de cisalhamento no ponto P 𝑄 𝐴𝑦 02 04 015 0012 𝑚³ 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 3000 0012 0004167 04 21598𝐾𝑃𝑎 b Tensão máxima ocorre na linha neutra 𝑄 𝐴𝑦 025 04 0125 00125𝑚³ 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 3000 00125 0004167 04 225𝐾𝑃𝑎 40 25 25 15 20 P 2510 125 225𝐾𝑃𝑎 21598𝐾𝑃𝑎 02 Uma viga de abas largas tem as dimensões mostradas na Figura Supondo que ela seja submetida a uma força cortante 𝑉 80 KN Traçar o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que atua sobre a área de sua seção transversal 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 É comum a todos os pontos os valores do cortante interno 𝑉 80𝐾𝑁 e o momento de inércia 𝐼 1 3 2 Teorema dos eixos paralelos 𝐼𝐿𝑁 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦² 𝐼𝐿𝑁13 03002³ 12 03 002 0112 728 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁2 0015 02³ 12 0015 02 02 1 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁 728 105 1 105 728 105 𝐼𝐿𝑁 1556 104𝑚4 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Cálculo da tensão da mesa 𝑡 03𝑚 𝑄 𝐴𝑦 03 002 011 000066𝑚³ 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 80000000066 155610403 11311054 𝑃𝑎 113 𝑀𝑃𝑎 Cálculo da tensão da alma 𝑡 0015𝑚 𝑄 𝐴𝑦 03 002 011 000066𝑚³ 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 80000000066 15561040015 22622108 𝑃𝑎 226𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 𝜏𝑚𝑒𝑠𝑎 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Cálculo da tensão na linha neutra tensão máxima 𝑄1 03 002 011 000066𝑚³ 𝑄2 0015 01 005 0000075𝑚³ 𝑄 0000735𝑚³ 𝜏𝑚𝑎𝑥 800000000735 15561040015 25192802𝑃𝑎 252𝑀𝑃𝑎 1 2 03a A viga mostrada na Figura é feita de duas tábuas Determinar a tensão de cisalhamento máxima na cola necessária para manter as tábuas unidas ao longo da junção Os apoios em B e C exercem somente reações verticais sobre a viga Para calcular a tensão máxima na cola precisamos Calcular o diagrama de cortante Calcular o centro de gravidade da seção Calcular o momento inércia Calcular a tensão 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Calcular o diagrama de cortante Reação 𝑀𝐵 0 𝐶𝑦8 65 4 6 0 𝐶𝑦 195𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 𝐵𝑦 65 4 195 0 𝐵𝑦 65𝐾𝑁 D S1 0 𝑥 4 𝐹𝑦 0 65 𝑉 0 𝑉 𝑥 65𝐾𝑁 S2 4 𝑥 8 𝐹𝑦 0 65 65 𝑥 4 𝑉 0 𝑉 𝑥 65𝑥 325 𝑉 4 65𝐾𝑁 𝑉 8 195𝐾𝑁 Calcular o diagrama de cortante D S1 0 𝑥 4 𝑉 𝑥 65𝐾𝑁 S2 4 𝑥 8𝑉 𝑥 65𝑥 325 𝑉 4 65𝐾𝑁 𝑉 8 195𝐾𝑁 65 195 VKN 𝑉𝑚𝑎𝑥 195𝐾𝑁 Calcular o centro de gravidade da seção 1 2 𝑦 𝐴𝑦 𝐴 𝑦 015 003 0165 003 015 0075 015 003 003 015 𝑦 012m Momento de inércia Teorema dos eixos paralelos 𝐼𝐿𝑁 𝐼𝑥 𝐴𝑑𝑦² 𝐼𝐿𝑁1 015003³ 12 015 003 00452 945 106𝑚4 𝐼𝐿𝑁2 003015³ 12 003 015 00452 1755 105𝑚4 𝐼𝐿𝑁 945 106 1755 105 27 105𝑚4 Calcular a tensão no ponto D 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 𝑄 𝐴𝑦 𝑄 015 003 0045 𝑄 2025 104𝑚³ 𝜏𝐷 19500 2025 104 27 105 003 𝜏𝐷 4875 𝑀𝑃𝑎 03b Determinar a tensão de cisalhamento máxima da viga Tensão máxima de cisalhamento transversal ocorre na linha neutra De 03a temos os valores de 𝑉𝑚á𝑥 e 𝐼𝐿𝑁 falta calcular o valor do momento estático 𝑄 𝐴𝑦 para os pontos na linha neutra 𝑄 𝐴𝑦 003 0120 006 𝑄 0000216𝑚³ 𝜏𝑚𝑎𝑥 19500 0000216 27 105 003 52𝑀𝑃𝑎 04 Considere a viga biapoiada formada por duas tábuas de mesmas medidas unidas por cola A seção transversal retangular dessa viga possui 25X60cm Sabendo que a tensão da cola que une as duas tábuas vale 12 MPa qual é a máxima carga distribuída que essa viga suporta 25cm 60cm 5m w cola 25cm 60cm 5m w cola 𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎 12𝑀𝑃𝑎 𝑉𝑄 𝐼𝑡 A tensão da cola neste caso estará na posição da linha neutra O valor do momento estático na Linha neutra vale 𝑄𝐿𝑁 025 03 015 001125𝑚3 Momento de inércia 𝐼𝐿𝑁 025 060³ 12 00045𝑚4 𝜏𝑐𝑜𝑙𝑎 12 106 𝑉001125 00045 025 𝑉 120000𝑁 120𝐾𝑁 5m w Ay By Reações 𝑀𝐴 0 𝐵𝑦5 𝑤5 25 0 𝐵𝑦 25𝑤𝐾𝑁 𝐹𝑦 0 𝐴𝑦 5𝑤 25𝑤 0 𝐴𝑦 25𝑤𝐾𝑁 S 0 𝑥 5 Calculo do cortante interno 25𝑤 𝑤𝑥 𝑉 0 𝑉 𝑥 𝑤𝑥 25𝑤 𝑉 0 25𝑤 𝑉 5 25𝑤 25𝑤 25𝑤 A cola suporta no máximo o cortante interno 𝑉 120𝐾𝑁 25𝑤 𝑤 48𝐾𝑁𝑚 Anexo A Dedução das equações Fórmula do Cisalhamento Será determinado usando a relação a derivada do momento fletor interno em relação ao eixo horizontal 𝑥 é o esforço cortante interno 𝑉 𝑑𝑀 𝑑𝑥 Considere o equilíbrio da força horizontal de uma parte do elemento tirado da viga mostrada abaixo Em c têmse a distribuição da tensão normal Essa distribuição é provocada pelos momentos fletores 𝑀 e 𝑀 𝑑𝑀 Excluímos do diagrama de corpo livre os efeitos de 𝑉 𝑉 𝑑𝑉 e 𝑤𝑥 uma vez que essas cargas são verticais e portanto não serão incluídas no somatório da força horizontal Considerando o segmento superior do elemento secionado a uma distância 𝑦 do eixo neutro EN 𝐹𝑥 0 será satisfeita somente se a tensão de cisalhamento longitudinal 𝜏 atue sobre a face inferior do segmento Supondo que essa tensão de cisalhamento é constante em toda a largura t da face inferior do segmento e atue sobre a área 𝑡 𝑑𝑥 𝐹𝑥 0 𝐴 𝜎𝑑𝐴 𝐴 𝜎𝑑𝐴 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 0 𝐴 𝑀 𝑑𝑀 𝐼 𝑦𝑑𝐴 𝐴 𝑀 𝐼 𝑦𝑑𝐴 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 0 𝑑𝑀 𝐼 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝜏𝑡 𝑑𝑥 𝜏 1 𝐼𝑡 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝜏 1 𝐼𝑡 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝐴 𝑦𝑑𝐴 Essa equação pode ser simplificada já que 𝑉 𝑑𝑀𝑑𝑥 A localização do centroide da área 𝐴 é determinada por 𝑦 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝐴 podese também escrever 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 Assim a fórmula de cisalhamento será 𝜏 𝑉𝑄 𝐼𝑡 Onde 𝜏 tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância 𝑦 do eixo neutro V força de cisalhamento interna I momento de inércia da área da seção transversal inteira calculada em torno do eixo neutro 𝑡 largura da área da seção transversal do elemento medida no ponto onde 𝜏 deve ser determinada 𝑄 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝑦𝐴 onde A é a porção superior ou inferior da área da seção transversal do elemento definido pela seção onde 𝑡 é medida e 𝑦 é a distância até o centroide de 𝐴 medida em relação ao eixo neutro ecosistema ãNIMA