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Matemática Aplicada ·
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Estruturas Algébricas Material Teórico História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos História da Álgebra Abstrata Anel Exemplos Nesta Unidade estudaremos alguns aspectos da História da Álgebra Abstrata e a estrutura de anel No estudo histórico iniciaremos falando sobre a álgebra clássica seguindo para a álgebra abstrata terminando com os primeiros trabalhos sobre o conceito de anel Ao estudarmos sobre o anel discorreremos sobre os diversos exemplos dessa estrutura Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir anéis OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora por meio da ferramenta Mensagens ou do Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Contextualização A História do Anel O conceito de anel aparece nos trabalhos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker sobre a teoria dos números algébricos utilizando a palavra ordem Um número complexo é algébrico se este número for raiz de uma equação da forma anXn an1Xn1 a1X a0 0 Em que a0 a1 an1 an Z No caso em que o número complexo é raiz da equação Xn an1Xn1 a1X a0 0 Onde a0 a1 an1 Z é denominado inteiro algébrico Neste contexto provase que os inteiros algébricos formam um domínio de integridade e os números algébricos um corpo Nesse contexto Dedekind define anel Em 1897 David Hilbert introduz o termo anel ainda relacionado à teoria dos números algébricos Abraham A Fraenke publicou em 1914 um artigo com a definição abstrata de anel Também expôs diversos exemplos mostrando a abrangência dessa estrutura Neste artigo a definição de anel é feita a partir de um sistema com duas operações denominadas adição e multiplicação Em relação à adição indica que o sistema é um grupo discorrendo os axiomas que são satisfeitos Em relação à multiplicação fala sobre associatividade e a distributiva em relação à adição e insere a unidade A comutatividade da adição é resultado de demonstração dos axiomas da definição Nessa definição existem dois outros axiomas relacionados a elementos regulares que não encontramos nas definições atuais Ao olharmos a definição que é atualmente utilizada observamos que não é necessário o anel ter elemento unidade Quando isto ocorre dizemos que esse é um anel com unidade A comutatividade da adição é um dos axiomas e não resultado dos axiomas Não há referência sobre os elementos regulares portanto não existem axiomas O objetivo do autor ao elaborar esse artigo era apresentar uma teoria de anéis como Ernst Steinitz tinha apresentado sobre a teoria dos corpos No entanto não conseguiu alcançar o seu objetivo pois eram necessários mais estudos para essa formalização 6 7 História da Álgebra Abstrata Dividimos a História da Álgebra em dois momentos o da Álgebra Clássica e o da Álgebra Abstrata A Álgebra Clássica era focalizada nas resoluções de equações Neste período desenvolveuse uma notação apropriada para a formulação de regras gerais para as soluções das equações As operações utilizadas eram a adição a subtração a divisão a multiplicação a potenciação e a radiciação nos conjuntos numéricos Parece que a noção de número positivo e as operações foram formalizando a partir da experiência cotidiana e com o passar do tempo foram generalizadas Vemos que os egípcios babilônios e gregos os utilizavam Mas parece que a formalização do conjunto dos números negativos foi mais complexa pois existe uma obra sobre o número negativo escrita aproximadamente em 628 d C pelo indiano Brahmagupta Figura 1 Figura 1 Brahmagupta Fonte Wikimedia Common Nessa obra o número negativo tem a noção de dívida O interessante é que apesar desse documento ser datado em 628 d C vemos que em 1543 o matemático alemão Stifel os denominava como números absurdos e o matemático Cardano Figura 2 de soluções falsas de uma equação Figura 2 Cardano Fontehttpssonhosacordadosfileswordpresscom 7 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Da mesma forma parece que aconteceu a formalização dos números irracionais Apesar de os pitagóricos por volta do século IV a C já saberem da existência de medidas de seguimentos cujas medidas não eram números racionais Em 1707 um trabalho publicado por Newton considerava esses números como representações geométricas sem existência independente Assim o desenvolvimento da Álgebra ocorreu a partir de duas necessidades marcantes o aperfeiçoamento das notações com o objetivo de facilitar o trabalho de operações e soluções de equações e a formulação de novos conjuntos numéricos Até o início do século XIX a matemática era definida como a ciência da quantidade ou extensão referida desse modo à aritmética ou à geometria Entre os séculos XVII e XVIII houve uma disputa entre Newton e Leibinz sobre o desenvolvimento do cálculo Dessa disputa originaramse dois grupos de matemáticos distintos os ingleses que apoiaram o Newton e os outros europeus do continente que respaldaram o Leibinz Cada grupo tomando uma direção O cálculo de Leibinz tinha uma notação mais adequada fazendo com que os matemáticos do continente fizessem um grande avanço em cálculo Os matemáticos ingleses isolaramse dos outros matemáticos do continente e desenvolveram o cálculo de forma mais lenta influenciados pela notação de Newton O cálculo era apresentado de modo que a compreensão era difícil para os alunos Mas uma mudança na essência da Álgebra ocorreu na Inglaterra quando vários matemáticos da Universidade de Cambridge em 1815 formam uma sociedade com o objetivo de reformular o cálculo em que utilizariam a notação do continente Um dos matemáticos desta sociedade chamado de George Peacock 1791 1858 Figura 3 em 1830 publica Treatise on Algebra Nesse trabalho a álgebra é apresentada como o desenvolvimento abstrato de alguns postulados Figura 3 Matemático George Peacock FonteWikimedia Commons 8 9 Está digitalizado o Treatise on Algebra Não se esqueça de olhar o material complementar Explor Até o ano de 1845 essa obra foi ampliada em dois volumes dando o verdadeiro início do pensamento axiomático da álgebra Nesse período Augusto de Morgan 18061871 Figura 4 também publicou um trabalho denominado Trigonometry and Double Algebra com o mesmo ponto de vista de Peacock em relação à álgebra Figura 4 Augusto de Morgan Fonte gowebprcom Está digitalizado o Trigonometry and Double Algebra Não se esqueça de olhar o material complementar Explor Esses trabalhos foram importantes para a álgebra abstrata mas apresentava limitação os axiomas eram baseados na aritmética pois até o momento não observaram que a álgebra poderia ser independente da aritmética Essa etapa foi inspirada pelos trabalhos do matemático irlandês William Rowan Hamilton 18051865 Apesar de ter uma nomenclatura diferente o conceito de anel é encontrado em trabalhos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker 1823 1891 O termo anel foi introduzido somente em 1897 por David Hilbert 1862 1943 Mas a definição abstrata foi dada em 1914 pelo alemão Abraham A Fraenkel 1891 1965 Figura 5 Figura 5 Abraham A Fraenkel 1891 1965 Fonte Wikimedia Commons 9 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Para aprofundar o conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata acesse o artigo de Milies disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Explor O próximo passo é estudarmos mais uma nova estrutura denominada anel Um exemplo muito familiar é o conjunto dos números inteiros Anel Seja A um conjunto não vazio com duas operações denominadas adição e multiplicação denotado por e respectivamente tais que A x A A e A x A A A será um anel se as seguintes condições são satisfeitas i A operação adição é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c ii A operação adição é comutativa ou seja para quaisquer que sejam a b A têmse a b b a iii O conjunto A possui elemento neutro aditivo ou seja existe 0 A tal que 0 a a para todo a A iv Todo elemento de A possui elemento inverso aditivo em A ou seja para todo a A existe a A tal que a a 0 v A operação multiplicação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b a c bc a ba ca Lembrase de que consideramos um conjunto como uma coleção de elementos Dessa forma ao referirmos ao anel A não estamos limitando aos conjuntos numéricos Por isso a operação adição e multiplicação não será necessariamente a usual Relembre os diversos conjuntos que estudamos anteriormente Nesses conjuntos existem operações que satisfaçam às condições i a iv Explor Você reparou as condições para um conjunto A ser um anel Ao relembrarmos o que estudamos na unidade II observamos que A em relação à operação adição é um grupo abeliano Isso concluímos pelas condições i a iv do anel 10 11 Como A é um grupo aditivo dos resultados que estudamos sabemos que o elemento neutro aditivo representado por 0 é único Não se esqueça de que 0 é a representação do elemento neutro em relação a operação adição Esse elemento é chamado de zero do anel Outra forma de representálo é a notação 0A que indica o zero do anel A Outra propriedade que é consequência de A ser um grupo aditivo é a unicidade do elemento inverso aditivo a de um elemento a Importante Fique atento que a é a representação do elemento inverso aditivo de a A Também é utilizado elemento oposto para indicar o elemento inverso aditivo Importante Vejamos outras condições relacionadas ao anel A A condição v nos afirma que A é associativo em relação à multiplicação E a condição vi faz a ligação entre as duas operações a adição e a multiplicação Uma representação utilizada para o Anel A é A Quando estiverem claras as operações utilizadas podemos somente indicar por A Vejamos alguns exemplos de anéis O anel dos números inteiros Z Z é o conjunto dos números inteiros com as operações e usuais O anel dos números racionais Q Q é o conjunto dos números racionais com as operações e usuais O anel dos números reais R R é o conjunto dos números reais com as operações e usuais O anel dos números complexos C C é o conjunto dos números complexos com as operações e usuais Como falamos as operações do conjunto podem ser diferentes das operações adição e multiplicação usuais Para exemplificar isso consideramos o conjunto dos números racionais Q munidos com as seguintes operações ab a b 1 a Δ b a b ab Vamos mostrar que Q Δ é um anel É importante destacar que as operações e Δ são fechadas em Q Por que as operações e são fechadas em Q 11 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Observamos que a notação Q Δ indica que a operação é a adição da definição de anel Dessa maneira precisamos verificar se satisfaz as condições i a iv i Provemos a propriedade associativa Para tanto sejam a b c Q temos abc a b 1 c ab1c 1 ab 1c1 a b c1 1 a b c 1 1 a bc 1 a bc Logo abc abc ii Agora mostraremos a propriedade comutativa Sejam a b Q temos ab a b 1 b a 1 ba Portanto ab ba iii Vamos encontrar o zero do anel representado por 0Q Para todo b Q temos 0Q b 0Q b 1 Como 0Q é o zero do anel temos 0Q b b então 0Q b 1 b 0Q b1 b 1 b b1 0Q b1 b1 b b 1 0Q 1 Logo 0Q 1 Vale ressaltar que o zero do anel 0Q é somente um representante pois nesse caso particular vimos que o zero deste anel é 1 iv Provemos que todo número inteiro possui o oposto Seja b Q e vamos supor que o elemento oposto de b é x então x b 1 12 13 Porém xb x b 1 Assim x b 1 1 x b 2 Portanto o elemento inverso de b é b2 Logo todo Q tem elemento inverso em relação a Vejamos a condição v para a operação Δ v Provemos a propriedade associativa Para tanto sejam a b c Q temos a Δ b Δ c a b ab Δ c ab abc a b abc ab ab c ac bcabc a b c bc ab ac abc a b c bc ab c bc aΔb c bc a ΔbΔc Logo aΔbΔc aΔbΔc vi Mostraremos que vale a distributiva a Δ b c aΔ bc1 a bc1 abc1 a bc1 abaca a b ab ac ac 1 a Δ b a Δ c 1 a Δ b a Δ c Logo a Δ b c a Δ b a Δ c Analogamente podemos mostrar que bcΔa bΔacΔa Então não perca tempo mostre Portanto Q com as operações e Δ é um anel ou seja Q Δ é um anel Atenção Você percebeu que para mostrarmos Q Δ utilizamos diversas vezes as propriedades dos números racionais Até este momento apresentamos anéis de conjuntos numéricos Agora veremos anéis de funções 13 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Consideramos F f f R R Sejam f g F definimos a adição f g por fgx fx gx para todo x R E a operação multiplicação f g por fg x fxgx para todo x R Mostraremos que F é um anel Temos i A operação adição é associativa Sejam f g h F para qualquer x R temos f g hx fgx hx fx gx hx fx gx hx fx ghx f ghx Logo fgh fgh ii A operação adição é comutativa Sejam f g F para qualquer x R temos fgx fx gx gx fx gfx Portanto fg gf iii O zero do anel F é a função constantemente nula 0A Seja f F para qualquer x R temos f 0A x fx 0Ax fx 0 fx Portanto o zero do anel é a função constantemente nula iv Cada elemento f F possui elemento oposto f F Temos para quaisquer x R f fx fx fx 0 0Ax Portanto f é o elemento oposto de f F v A operação multiplicação é associativa Sejam f g h F para todo x R temos 14 15 fghx fgx hx fxgxhx fxgxhx fxghx fghx Logo fgh fgh vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição Sejam f g h F para todo x R temos fgh x fxghx fxgx hx fx gx fxhx fgx fhx fg fhx Logo fgh fg fh Analogamente mostramos que gh f gf hf Portanto F é um anel Você percebeu que para mostrarmos que F f f R R é um anel utilizamos diversas vezes as propriedades dos números reais Você percebeu que provamos que o F f f R R com as operações adição e multiplicação é um anel Mas podemos generalizar esse caso colocando o domínio e o contradomínio sendo Z Q C Outro exemplo é o anel dos polinômios representado por PRa0 a1x a2x2anxn a0 an R Com as operações de adição e multiplicação usuais que tal mostrar que ele um anel Deixaremos para você estudar Suponhamos que A e A são anéis e consideramos o produto cartesiano A x A Definimos a operação adição e multiplicação aab b ab ab aab b ab ab Para todo a b A e a b A Então A x A é um anel Onde o zero do anel é 0A 0A Verifique 15 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Vamos agora retornar ao conceito do anel A Observamos que a A é um grupo abeliano Porém não existem diversas condições relacionadas à operação multiplicação Mas isso pode acontecer Por exemplo suponha que o anel A possua o elemento neutro da multiplicação ou seja existe b A tal que b a a b a para todo a A Esse elemento é denominado unidade do anel e representado por 1 Quando o anel possui o elemento neutro da multiplicação dizemos que A é um anel com unidade Se A é um anel com unidade uma observação a destacar é a unicidade da unidade Explique o motivo Não se esqueça de que 1 é a representação do elemento neutro da multiplicação Esse elemento é chamado de unidade do anel A Outra forma de representalo é a notação 1A Observamos que os conjuntos numéricos Z Q R C com as operações de adição e multiplicação usuais são exemplos de anel com unidade Vejamos se o anel Q Δ é um anel com unidade Para tanto é necessário encontrar o elemento x tal que a Δ x x Δ a a para qualquer a Z a Δ x a x ax Temos a x ax a x ax 0 x1a 0 Como a é qualquer inteiro temos x0 Logo Q Δ é um anel com unidade Observe que o elemento unidade é o 0 Consideramos o anel F A função constante 1 é o elemento unidade de F Portanto F é um anel com unidade Se nos basearmos somente nesses exemplos alguém poderá deduzir que todo anel tem unidade Mas isso não é verdade como podemos verificar no próximo exemplo Consideramos o conjunto dos números pares com as operações de adição e multiplicação usuais 2Z é um anel Por quê Mostre que 2Z é um anel Apesar de 2Z é um anel ele não possui unidade Vimos que 2Z é um anel Será que 3Z é um anel com as operações de adição e multiplicação usuais Consideramos n N Temos nZ com as operações adição e multiplicação usuais como anel Explor 16 17 Continuamos analisando o anel A em relação à operação multiplicação Suponhamos que a operação multiplicação seja comutativa isto é para quaisquer que sejam a b A têmse a b b a Dizemos que A é um anel comutativo Os conjuntos numéricos Z Q R C com as operações adição e multiplicação usuais são exemplos de anel comutativo com unidade Também temos Q Δ e F como outros exemplos de anel comutativo com unidade O anel 2Z é comutativo mas não tem unidade Seja n N temos nZ como exemplos de anel comutativo Vejamos um exemplo de um anel que não é comutativo Seja M2R o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Sejam B D M2 R tais que B D Temos a operação adição B D E a operação multiplicação é BD Mostraremos que M2R com as operações adição e multiplicação é um anel Para tanto sejam B D E M2 R tais que B D E i A operação adição é associativa B D E B D E Portanto B D E B DE 17 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel ii A operação adição é comutativa Temos B D D B Portanto BD DB iii O elemento neutro aditivo é a matriz nula representada por 0 De fato para qualquer B M2R temos B 0 B Portanto B0 B para qualquer B M2R iv O oposto de B M2R é a matriz B De fato temos B B 0 Logo B B 0 v A operação multiplicação é associativa De fato B D E 18 19 BDE Logo BD E BDE vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição temos B D E B D B E Logo BDE BD BE Analogamente mostramos que DEB DB EB Portanto M2R é um anel A matriz identidade I2 é a unidade de M2R De fato B I2 I2 B 19 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Logo I2 é a unidade de M2 R Portanto M2R é um anel com unidade Mas o M2 R não é comutativo Podemos exemplificar esse fato por meio da multiplicação das matrizes abaixo Portanto M2R é um anel com unidade porém não é comutativo Você percebeu que provamos que o M2R com as operações adição e multiplicação é um anel Por que esse caso particular Será que outros conjuntos de matrizes com a operação adição e multiplicação usuais não podem ser anel Em resposta afirmamos que um conjunto de matrizes depende de algumas variáveis Vejamos algumas As matrizes têm que ser quadradas e não depende da ordem Veja como são definidas as operações de adição e multiplicação usuais no conjunto de matrizes Qual é a diferença entre operar matrizes quadradas e operar matrizes em que o número de linhas é diferente do número de colunas que representaremos por Mnxm K Qual é a condição em que Mnxm K não satisfaz para ser um anel O conjunto das entradas das matrizes Ao observarmos o exemplo feito em que as entradas eram números reais observamos que para provar cada condição utilizamos as propriedades dos conjuntos reais Tente imaginar o conjunto de matrizes de ordem 2 com entradas dos naturais representado por M2N Quais as características em que o conjunto dos números naturais diferem do conjunto dos números reais Por que M2N não é um anel Mostramos que M2R é um anel de matrizes por acreditarmos que seria mais fácil a compreensão Mas esse caso pode ser generalizado MnR sendo n 2 Verifique Ou ainda podemos variar os conjuntos de entrada M2Z M2Q M2C Você percebeu a variedade de exemplos de anéis Conjuntos diversos com operações diversas entretanto possuem a mesma estrutura Também destacamos que para verificarmos que esses exemplos eram anéis sempre utilizávamos as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos Porém existem muitas propriedades sobre anéis Esse será um dos assuntos tratados na próxima unidade 20 21 Exemplos 1 Mostre que Z com a adição usual e a multiplicação definida por ab0 ab Z é um anel Resolução as propriedades de associatividade comutatividade elemento oposto e elemento neutro são válidas na operação de adição em Z Então falta verificarmos se são válidas as propriedades verificadas em relação à operação multiplicação definida acima Para tanto sejam a b c Z temos I Associatividade abc0c 0 a0 abc Logo abc abc II Distributiva abc 0 0 0 ab ac bca 0 0 0 bc ca Então abc abac e bca bcca Portanto Z com as operações definidas acima é um anel 2 Seja A um anel e a b c A mostre que a b a c então b c Resolução Sejam ab c A tal que a b a c a ab a ac a a b aa c 0b 0c bc 3 Determine a unidade do anel Z x 0 com as operações de adição e multiplicações usuais Resolução Seja a unidade a 0 do anel Z x 0 Para todo z0 Z x 0 temos a0 z0 z0 Como a0 z0 az0 temos az0 z0 Assim az z se e somente se a1 Portanto 10 é a unidade de Z x 0 21 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta unidade estudamos a História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Algébrica Anel Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se desenvolveu a álgebra abstrata e o conceito de anel indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 Leitura Breve história da Álgebra Abstrata MILIES C P In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Acesso em 11 jun 2015 httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Treatise on Algebra PEACOCK G Ed J J J Deighton Londres 1830 Acesso em 05 ago 2015 httpsgooglWDGB8b Trigonometry and Double Algebra MORGAN A Ed Taylor Walton and Maberly 1849 Acesso em 05 ago 2015 httpsgooglb1gFuW 22 23 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Webgrafi a MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 23 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional
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Estruturas Algébricas Material Teórico História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Ana Paula Teles de Oliveira Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos História da Álgebra Abstrata Anel Exemplos Nesta Unidade estudaremos alguns aspectos da História da Álgebra Abstrata e a estrutura de anel No estudo histórico iniciaremos falando sobre a álgebra clássica seguindo para a álgebra abstrata terminando com os primeiros trabalhos sobre o conceito de anel Ao estudarmos sobre o anel discorreremos sobre os diversos exemplos dessa estrutura Ao término deste estudo esperamos que você consiga distinguir anéis OBJETIVO DE APRENDIZADO Para um bom aproveitamento da aula realize a leitura integral do conteúdo teórico refazendo os exemplos resolvidos Quando aparecer alguma dúvida entre em contato com seusua tutora por meio da ferramenta Mensagens ou do Fórum de Dúvidas ORIENTAÇÕES História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Contextualização A História do Anel O conceito de anel aparece nos trabalhos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker sobre a teoria dos números algébricos utilizando a palavra ordem Um número complexo é algébrico se este número for raiz de uma equação da forma anXn an1Xn1 a1X a0 0 Em que a0 a1 an1 an Z No caso em que o número complexo é raiz da equação Xn an1Xn1 a1X a0 0 Onde a0 a1 an1 Z é denominado inteiro algébrico Neste contexto provase que os inteiros algébricos formam um domínio de integridade e os números algébricos um corpo Nesse contexto Dedekind define anel Em 1897 David Hilbert introduz o termo anel ainda relacionado à teoria dos números algébricos Abraham A Fraenke publicou em 1914 um artigo com a definição abstrata de anel Também expôs diversos exemplos mostrando a abrangência dessa estrutura Neste artigo a definição de anel é feita a partir de um sistema com duas operações denominadas adição e multiplicação Em relação à adição indica que o sistema é um grupo discorrendo os axiomas que são satisfeitos Em relação à multiplicação fala sobre associatividade e a distributiva em relação à adição e insere a unidade A comutatividade da adição é resultado de demonstração dos axiomas da definição Nessa definição existem dois outros axiomas relacionados a elementos regulares que não encontramos nas definições atuais Ao olharmos a definição que é atualmente utilizada observamos que não é necessário o anel ter elemento unidade Quando isto ocorre dizemos que esse é um anel com unidade A comutatividade da adição é um dos axiomas e não resultado dos axiomas Não há referência sobre os elementos regulares portanto não existem axiomas O objetivo do autor ao elaborar esse artigo era apresentar uma teoria de anéis como Ernst Steinitz tinha apresentado sobre a teoria dos corpos No entanto não conseguiu alcançar o seu objetivo pois eram necessários mais estudos para essa formalização 6 7 História da Álgebra Abstrata Dividimos a História da Álgebra em dois momentos o da Álgebra Clássica e o da Álgebra Abstrata A Álgebra Clássica era focalizada nas resoluções de equações Neste período desenvolveuse uma notação apropriada para a formulação de regras gerais para as soluções das equações As operações utilizadas eram a adição a subtração a divisão a multiplicação a potenciação e a radiciação nos conjuntos numéricos Parece que a noção de número positivo e as operações foram formalizando a partir da experiência cotidiana e com o passar do tempo foram generalizadas Vemos que os egípcios babilônios e gregos os utilizavam Mas parece que a formalização do conjunto dos números negativos foi mais complexa pois existe uma obra sobre o número negativo escrita aproximadamente em 628 d C pelo indiano Brahmagupta Figura 1 Figura 1 Brahmagupta Fonte Wikimedia Common Nessa obra o número negativo tem a noção de dívida O interessante é que apesar desse documento ser datado em 628 d C vemos que em 1543 o matemático alemão Stifel os denominava como números absurdos e o matemático Cardano Figura 2 de soluções falsas de uma equação Figura 2 Cardano Fontehttpssonhosacordadosfileswordpresscom 7 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Da mesma forma parece que aconteceu a formalização dos números irracionais Apesar de os pitagóricos por volta do século IV a C já saberem da existência de medidas de seguimentos cujas medidas não eram números racionais Em 1707 um trabalho publicado por Newton considerava esses números como representações geométricas sem existência independente Assim o desenvolvimento da Álgebra ocorreu a partir de duas necessidades marcantes o aperfeiçoamento das notações com o objetivo de facilitar o trabalho de operações e soluções de equações e a formulação de novos conjuntos numéricos Até o início do século XIX a matemática era definida como a ciência da quantidade ou extensão referida desse modo à aritmética ou à geometria Entre os séculos XVII e XVIII houve uma disputa entre Newton e Leibinz sobre o desenvolvimento do cálculo Dessa disputa originaramse dois grupos de matemáticos distintos os ingleses que apoiaram o Newton e os outros europeus do continente que respaldaram o Leibinz Cada grupo tomando uma direção O cálculo de Leibinz tinha uma notação mais adequada fazendo com que os matemáticos do continente fizessem um grande avanço em cálculo Os matemáticos ingleses isolaramse dos outros matemáticos do continente e desenvolveram o cálculo de forma mais lenta influenciados pela notação de Newton O cálculo era apresentado de modo que a compreensão era difícil para os alunos Mas uma mudança na essência da Álgebra ocorreu na Inglaterra quando vários matemáticos da Universidade de Cambridge em 1815 formam uma sociedade com o objetivo de reformular o cálculo em que utilizariam a notação do continente Um dos matemáticos desta sociedade chamado de George Peacock 1791 1858 Figura 3 em 1830 publica Treatise on Algebra Nesse trabalho a álgebra é apresentada como o desenvolvimento abstrato de alguns postulados Figura 3 Matemático George Peacock FonteWikimedia Commons 8 9 Está digitalizado o Treatise on Algebra Não se esqueça de olhar o material complementar Explor Até o ano de 1845 essa obra foi ampliada em dois volumes dando o verdadeiro início do pensamento axiomático da álgebra Nesse período Augusto de Morgan 18061871 Figura 4 também publicou um trabalho denominado Trigonometry and Double Algebra com o mesmo ponto de vista de Peacock em relação à álgebra Figura 4 Augusto de Morgan Fonte gowebprcom Está digitalizado o Trigonometry and Double Algebra Não se esqueça de olhar o material complementar Explor Esses trabalhos foram importantes para a álgebra abstrata mas apresentava limitação os axiomas eram baseados na aritmética pois até o momento não observaram que a álgebra poderia ser independente da aritmética Essa etapa foi inspirada pelos trabalhos do matemático irlandês William Rowan Hamilton 18051865 Apesar de ter uma nomenclatura diferente o conceito de anel é encontrado em trabalhos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker 1823 1891 O termo anel foi introduzido somente em 1897 por David Hilbert 1862 1943 Mas a definição abstrata foi dada em 1914 pelo alemão Abraham A Fraenkel 1891 1965 Figura 5 Figura 5 Abraham A Fraenkel 1891 1965 Fonte Wikimedia Commons 9 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Para aprofundar o conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata acesse o artigo de Milies disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Explor O próximo passo é estudarmos mais uma nova estrutura denominada anel Um exemplo muito familiar é o conjunto dos números inteiros Anel Seja A um conjunto não vazio com duas operações denominadas adição e multiplicação denotado por e respectivamente tais que A x A A e A x A A A será um anel se as seguintes condições são satisfeitas i A operação adição é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c ii A operação adição é comutativa ou seja para quaisquer que sejam a b A têmse a b b a iii O conjunto A possui elemento neutro aditivo ou seja existe 0 A tal que 0 a a para todo a A iv Todo elemento de A possui elemento inverso aditivo em A ou seja para todo a A existe a A tal que a a 0 v A operação multiplicação é associativa ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b c vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição ou seja para quaisquer que sejam a b c A têmse a b c a b a c bc a ba ca Lembrase de que consideramos um conjunto como uma coleção de elementos Dessa forma ao referirmos ao anel A não estamos limitando aos conjuntos numéricos Por isso a operação adição e multiplicação não será necessariamente a usual Relembre os diversos conjuntos que estudamos anteriormente Nesses conjuntos existem operações que satisfaçam às condições i a iv Explor Você reparou as condições para um conjunto A ser um anel Ao relembrarmos o que estudamos na unidade II observamos que A em relação à operação adição é um grupo abeliano Isso concluímos pelas condições i a iv do anel 10 11 Como A é um grupo aditivo dos resultados que estudamos sabemos que o elemento neutro aditivo representado por 0 é único Não se esqueça de que 0 é a representação do elemento neutro em relação a operação adição Esse elemento é chamado de zero do anel Outra forma de representálo é a notação 0A que indica o zero do anel A Outra propriedade que é consequência de A ser um grupo aditivo é a unicidade do elemento inverso aditivo a de um elemento a Importante Fique atento que a é a representação do elemento inverso aditivo de a A Também é utilizado elemento oposto para indicar o elemento inverso aditivo Importante Vejamos outras condições relacionadas ao anel A A condição v nos afirma que A é associativo em relação à multiplicação E a condição vi faz a ligação entre as duas operações a adição e a multiplicação Uma representação utilizada para o Anel A é A Quando estiverem claras as operações utilizadas podemos somente indicar por A Vejamos alguns exemplos de anéis O anel dos números inteiros Z Z é o conjunto dos números inteiros com as operações e usuais O anel dos números racionais Q Q é o conjunto dos números racionais com as operações e usuais O anel dos números reais R R é o conjunto dos números reais com as operações e usuais O anel dos números complexos C C é o conjunto dos números complexos com as operações e usuais Como falamos as operações do conjunto podem ser diferentes das operações adição e multiplicação usuais Para exemplificar isso consideramos o conjunto dos números racionais Q munidos com as seguintes operações ab a b 1 a Δ b a b ab Vamos mostrar que Q Δ é um anel É importante destacar que as operações e Δ são fechadas em Q Por que as operações e são fechadas em Q 11 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Observamos que a notação Q Δ indica que a operação é a adição da definição de anel Dessa maneira precisamos verificar se satisfaz as condições i a iv i Provemos a propriedade associativa Para tanto sejam a b c Q temos abc a b 1 c ab1c 1 ab 1c1 a b c1 1 a b c 1 1 a bc 1 a bc Logo abc abc ii Agora mostraremos a propriedade comutativa Sejam a b Q temos ab a b 1 b a 1 ba Portanto ab ba iii Vamos encontrar o zero do anel representado por 0Q Para todo b Q temos 0Q b 0Q b 1 Como 0Q é o zero do anel temos 0Q b b então 0Q b 1 b 0Q b1 b 1 b b1 0Q b1 b1 b b 1 0Q 1 Logo 0Q 1 Vale ressaltar que o zero do anel 0Q é somente um representante pois nesse caso particular vimos que o zero deste anel é 1 iv Provemos que todo número inteiro possui o oposto Seja b Q e vamos supor que o elemento oposto de b é x então x b 1 12 13 Porém xb x b 1 Assim x b 1 1 x b 2 Portanto o elemento inverso de b é b2 Logo todo Q tem elemento inverso em relação a Vejamos a condição v para a operação Δ v Provemos a propriedade associativa Para tanto sejam a b c Q temos a Δ b Δ c a b ab Δ c ab abc a b abc ab ab c ac bcabc a b c bc ab ac abc a b c bc ab c bc aΔb c bc a ΔbΔc Logo aΔbΔc aΔbΔc vi Mostraremos que vale a distributiva a Δ b c aΔ bc1 a bc1 abc1 a bc1 abaca a b ab ac ac 1 a Δ b a Δ c 1 a Δ b a Δ c Logo a Δ b c a Δ b a Δ c Analogamente podemos mostrar que bcΔa bΔacΔa Então não perca tempo mostre Portanto Q com as operações e Δ é um anel ou seja Q Δ é um anel Atenção Você percebeu que para mostrarmos Q Δ utilizamos diversas vezes as propriedades dos números racionais Até este momento apresentamos anéis de conjuntos numéricos Agora veremos anéis de funções 13 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Consideramos F f f R R Sejam f g F definimos a adição f g por fgx fx gx para todo x R E a operação multiplicação f g por fg x fxgx para todo x R Mostraremos que F é um anel Temos i A operação adição é associativa Sejam f g h F para qualquer x R temos f g hx fgx hx fx gx hx fx gx hx fx ghx f ghx Logo fgh fgh ii A operação adição é comutativa Sejam f g F para qualquer x R temos fgx fx gx gx fx gfx Portanto fg gf iii O zero do anel F é a função constantemente nula 0A Seja f F para qualquer x R temos f 0A x fx 0Ax fx 0 fx Portanto o zero do anel é a função constantemente nula iv Cada elemento f F possui elemento oposto f F Temos para quaisquer x R f fx fx fx 0 0Ax Portanto f é o elemento oposto de f F v A operação multiplicação é associativa Sejam f g h F para todo x R temos 14 15 fghx fgx hx fxgxhx fxgxhx fxghx fghx Logo fgh fgh vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição Sejam f g h F para todo x R temos fgh x fxghx fxgx hx fx gx fxhx fgx fhx fg fhx Logo fgh fg fh Analogamente mostramos que gh f gf hf Portanto F é um anel Você percebeu que para mostrarmos que F f f R R é um anel utilizamos diversas vezes as propriedades dos números reais Você percebeu que provamos que o F f f R R com as operações adição e multiplicação é um anel Mas podemos generalizar esse caso colocando o domínio e o contradomínio sendo Z Q C Outro exemplo é o anel dos polinômios representado por PRa0 a1x a2x2anxn a0 an R Com as operações de adição e multiplicação usuais que tal mostrar que ele um anel Deixaremos para você estudar Suponhamos que A e A são anéis e consideramos o produto cartesiano A x A Definimos a operação adição e multiplicação aab b ab ab aab b ab ab Para todo a b A e a b A Então A x A é um anel Onde o zero do anel é 0A 0A Verifique 15 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Vamos agora retornar ao conceito do anel A Observamos que a A é um grupo abeliano Porém não existem diversas condições relacionadas à operação multiplicação Mas isso pode acontecer Por exemplo suponha que o anel A possua o elemento neutro da multiplicação ou seja existe b A tal que b a a b a para todo a A Esse elemento é denominado unidade do anel e representado por 1 Quando o anel possui o elemento neutro da multiplicação dizemos que A é um anel com unidade Se A é um anel com unidade uma observação a destacar é a unicidade da unidade Explique o motivo Não se esqueça de que 1 é a representação do elemento neutro da multiplicação Esse elemento é chamado de unidade do anel A Outra forma de representalo é a notação 1A Observamos que os conjuntos numéricos Z Q R C com as operações de adição e multiplicação usuais são exemplos de anel com unidade Vejamos se o anel Q Δ é um anel com unidade Para tanto é necessário encontrar o elemento x tal que a Δ x x Δ a a para qualquer a Z a Δ x a x ax Temos a x ax a x ax 0 x1a 0 Como a é qualquer inteiro temos x0 Logo Q Δ é um anel com unidade Observe que o elemento unidade é o 0 Consideramos o anel F A função constante 1 é o elemento unidade de F Portanto F é um anel com unidade Se nos basearmos somente nesses exemplos alguém poderá deduzir que todo anel tem unidade Mas isso não é verdade como podemos verificar no próximo exemplo Consideramos o conjunto dos números pares com as operações de adição e multiplicação usuais 2Z é um anel Por quê Mostre que 2Z é um anel Apesar de 2Z é um anel ele não possui unidade Vimos que 2Z é um anel Será que 3Z é um anel com as operações de adição e multiplicação usuais Consideramos n N Temos nZ com as operações adição e multiplicação usuais como anel Explor 16 17 Continuamos analisando o anel A em relação à operação multiplicação Suponhamos que a operação multiplicação seja comutativa isto é para quaisquer que sejam a b A têmse a b b a Dizemos que A é um anel comutativo Os conjuntos numéricos Z Q R C com as operações adição e multiplicação usuais são exemplos de anel comutativo com unidade Também temos Q Δ e F como outros exemplos de anel comutativo com unidade O anel 2Z é comutativo mas não tem unidade Seja n N temos nZ como exemplos de anel comutativo Vejamos um exemplo de um anel que não é comutativo Seja M2R o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Sejam B D M2 R tais que B D Temos a operação adição B D E a operação multiplicação é BD Mostraremos que M2R com as operações adição e multiplicação é um anel Para tanto sejam B D E M2 R tais que B D E i A operação adição é associativa B D E B D E Portanto B D E B DE 17 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel ii A operação adição é comutativa Temos B D D B Portanto BD DB iii O elemento neutro aditivo é a matriz nula representada por 0 De fato para qualquer B M2R temos B 0 B Portanto B0 B para qualquer B M2R iv O oposto de B M2R é a matriz B De fato temos B B 0 Logo B B 0 v A operação multiplicação é associativa De fato B D E 18 19 BDE Logo BD E BDE vi A operação multiplicação é distributiva em relação à adição temos B D E B D B E Logo BDE BD BE Analogamente mostramos que DEB DB EB Portanto M2R é um anel A matriz identidade I2 é a unidade de M2R De fato B I2 I2 B 19 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Logo I2 é a unidade de M2 R Portanto M2R é um anel com unidade Mas o M2 R não é comutativo Podemos exemplificar esse fato por meio da multiplicação das matrizes abaixo Portanto M2R é um anel com unidade porém não é comutativo Você percebeu que provamos que o M2R com as operações adição e multiplicação é um anel Por que esse caso particular Será que outros conjuntos de matrizes com a operação adição e multiplicação usuais não podem ser anel Em resposta afirmamos que um conjunto de matrizes depende de algumas variáveis Vejamos algumas As matrizes têm que ser quadradas e não depende da ordem Veja como são definidas as operações de adição e multiplicação usuais no conjunto de matrizes Qual é a diferença entre operar matrizes quadradas e operar matrizes em que o número de linhas é diferente do número de colunas que representaremos por Mnxm K Qual é a condição em que Mnxm K não satisfaz para ser um anel O conjunto das entradas das matrizes Ao observarmos o exemplo feito em que as entradas eram números reais observamos que para provar cada condição utilizamos as propriedades dos conjuntos reais Tente imaginar o conjunto de matrizes de ordem 2 com entradas dos naturais representado por M2N Quais as características em que o conjunto dos números naturais diferem do conjunto dos números reais Por que M2N não é um anel Mostramos que M2R é um anel de matrizes por acreditarmos que seria mais fácil a compreensão Mas esse caso pode ser generalizado MnR sendo n 2 Verifique Ou ainda podemos variar os conjuntos de entrada M2Z M2Q M2C Você percebeu a variedade de exemplos de anéis Conjuntos diversos com operações diversas entretanto possuem a mesma estrutura Também destacamos que para verificarmos que esses exemplos eram anéis sempre utilizávamos as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos Porém existem muitas propriedades sobre anéis Esse será um dos assuntos tratados na próxima unidade 20 21 Exemplos 1 Mostre que Z com a adição usual e a multiplicação definida por ab0 ab Z é um anel Resolução as propriedades de associatividade comutatividade elemento oposto e elemento neutro são válidas na operação de adição em Z Então falta verificarmos se são válidas as propriedades verificadas em relação à operação multiplicação definida acima Para tanto sejam a b c Z temos I Associatividade abc0c 0 a0 abc Logo abc abc II Distributiva abc 0 0 0 ab ac bca 0 0 0 bc ca Então abc abac e bca bcca Portanto Z com as operações definidas acima é um anel 2 Seja A um anel e a b c A mostre que a b a c então b c Resolução Sejam ab c A tal que a b a c a ab a ac a a b aa c 0b 0c bc 3 Determine a unidade do anel Z x 0 com as operações de adição e multiplicações usuais Resolução Seja a unidade a 0 do anel Z x 0 Para todo z0 Z x 0 temos a0 z0 z0 Como a0 z0 az0 temos az0 z0 Assim az z se e somente se a1 Portanto 10 é a unidade de Z x 0 21 UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Nesta unidade estudamos a História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Algébrica Anel Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se desenvolveu a álgebra abstrata e o conceito de anel indicamos algumas leituras Livros Elementos de álgebra abstrata ALENCAR FILHO Edgard de 4 ed São Paulo Nobel 1988 Álgebra Moderna DOMINGUES HH IEZZI G São Paulo Atual 2003 Elementos de Álgebra GARCIA A LEQUAIN Y Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 Introdução à Álgebra GONÇALVES A Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 Tópicos de Álgebra HEIRSTEIN I NSão Paulo Universidade e Polígono 1970 Iniciação às estruturas algébricas MONTEIRO L H Jacy 6 ed São Paulo Nobel 1973 Leitura Breve história da Álgebra Abstrata MILIES C P In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Acesso em 11 jun 2015 httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Treatise on Algebra PEACOCK G Ed J J J Deighton Londres 1830 Acesso em 05 ago 2015 httpsgooglWDGB8b Trigonometry and Double Algebra MORGAN A Ed Taylor Walton and Maberly 1849 Acesso em 05 ago 2015 httpsgooglb1gFuW 22 23 Referências ALENCAR FILHO Edgard de Elementos de Álgebra Abstrata 3 ed São Paulo Nobel 1982 DOMINGUES HH IEZZI G Álgebra Moderna São Paulo Atual 2003 GARCIA A LEQUAIN Y Elementos de Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2002 GONÇALVES A Introdução à Álgebra Rio de Janeiro Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada 2003 HEIRSTEIN I N Tópicos de Álgebra São Paulo Editora da Universidade e Polígono 1970 MONTEIRO L H Jacy Iniciação às estruturas algébricas 6 ed São Paulo Nobel 1973 Webgrafi a MILIES C P Breve história da Álgebra Abstrata In II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática Salvador 2004 Disponível em httpwwwbienasbmufbabrM18pdf Acesso em 11 jun 2015 23 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional