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Engenharia Aeronáutica ·
Cálculo 4
· 2022/2
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2. Mostre que, para todo x ∈ R, com |x| > 1, a série ∑ n5x⁻ⁿ é absolutamente convergente. 3. Mostre que, para todo α > 1, a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹ 1/nα é absolutamente convergente e condicionalmente convergente quando α ≤ 1. 4. Mostre que, para todo α > 1, a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹ log n/nα é absolutamente convergente e condicionalmente convergente quando α ≤ 1. 5. Seja p(x) = ∑ bₖxᵏ um polinômio de grau m ∈ N. Determine se a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹p(n)e⁻ⁿ é uma série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. 6. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = x/n, converge simples- mente para a função nula em todo o R. 7. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ/n!, converge simples- mente para a função nula em todo o R. 8. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ, não converge simplesmente quando x > 1. 9. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ, converge unifor- mente para a função nula no intervalo [0, 1/2]. 10. Dado um intervalo [0, b], com b > 0. Mostre que a sequência de funções fₙ : [0, b] ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ/mⁿ, converge uniformemente para a função nula em [0, b]. Mais ainda, dado ε > 0, determine o menor n₀ ∈ N tal que o gráfico de fₙ₀ entra na faixa ℘(0; ε). 11. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = cos(xⁿ)/n², converge uniformemente para a função nula em todo o R. 12. Determine se a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = (1 + x/n)ⁿ, converge simplesmente para alguma função f em todo o R.
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2. Mostre que, para todo x ∈ R, com |x| > 1, a série ∑ n5x⁻ⁿ é absolutamente convergente. 3. Mostre que, para todo α > 1, a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹ 1/nα é absolutamente convergente e condicionalmente convergente quando α ≤ 1. 4. Mostre que, para todo α > 1, a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹ log n/nα é absolutamente convergente e condicionalmente convergente quando α ≤ 1. 5. Seja p(x) = ∑ bₖxᵏ um polinômio de grau m ∈ N. Determine se a série ∑ (−1)ⁿ⁺¹p(n)e⁻ⁿ é uma série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. 6. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = x/n, converge simples- mente para a função nula em todo o R. 7. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ/n!, converge simples- mente para a função nula em todo o R. 8. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ, não converge simplesmente quando x > 1. 9. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ, converge unifor- mente para a função nula no intervalo [0, 1/2]. 10. Dado um intervalo [0, b], com b > 0. Mostre que a sequência de funções fₙ : [0, b] ⟶ R, dada por fₙ(x) = xⁿ/mⁿ, converge uniformemente para a função nula em [0, b]. Mais ainda, dado ε > 0, determine o menor n₀ ∈ N tal que o gráfico de fₙ₀ entra na faixa ℘(0; ε). 11. Mostre que a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = cos(xⁿ)/n², converge uniformemente para a função nula em todo o R. 12. Determine se a sequência de funções fₙ : R ⟶ R, dada por fₙ(x) = (1 + x/n)ⁿ, converge simplesmente para alguma função f em todo o R.