Exercícios - Física Teórica e Experimental 2 - 2023-2

(MHS) Um objeto de massa igual a 0,5 kg executa um movimento identificado como MHS. Ele leva 0,25 s para se deslocar do ponto onde a velocidade é nula ao ponto onde a aceleração é nula. A distância entre as extremidades do movimento é 1 m. Calcule (a) o período, (b) a frequência angular, (c) o módulo da velocidade máxima, (d) o módulo da força máxima e (e) a constante elástica da mola que, combinada a esta massa, produziria este MHS. (Pêndulo físico) O pêndulo de um relógio de parede é formado por um disco delgado de raio 3,5 cm e massa 1,0 kg preso pela borda por um fio de comprimento 1 m. Determine: (a) o momento de inércia I do pêndulo em relação ao pivot, (b) a frequência angular ω deste pêndulo, (c) o período de oscilação, (d) o módulo da velocidade angular máxima no caso de um ângulo máximo de oscilação ser θm = 0,08 radianos e (e) a posição angular do pêndulo depois de T inicialmente de inércia de um disco é Lm = mr^2/2. (Sistema massa-mola) Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal de constante elástica k = 120 N/m, verifica-se que ele oscila com frequência linear f = 6 Hz. Se a amplitude do movimento é xm = 17 cm, calcule: (a) o período, (b) a frequência angular, (c) a massa do corpo, (d) a energia mecânica considerando que não haja perda de energia durante o movimento. (e) Se este sistema tornar-se amortecido com constante de amortecimento b = 0,25 kg/s, quanto tempo levará para que a amplitude do movimento reduza a 0,1% da amplitude inicial? (Onda transversal em corda) Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo do eixo x. A figura ao lado mostra um gráfico do deslocamento em função da posição no instante t = 0 s. A escala do eixo y é definida por ys = 4 cm. A tensão da corda é 3,6 N e a densidade linear é 25 g/m. Determine: (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (e) a velocidade da onda, (d) o período da onda e (e) a equação da onda. (Interferência de ondas) Uma corda pressa a um oscilador harmônico é tensionada... 120 cm, a densidade linear da corda é μ = 1,6 g/cm e a frequência do oscilador é 120 Hz, calcule: (a) o comprimento da onda fundamental, (b) a velocidade das ondas no modo fundamental, (c) a equação da onda estacionária fundamental, (d) a tensão necessária para provocar a onda fundamental. (e) Se um nó for introduzido forçosamente a 5 cm da extremidade P, qual será a frequência harmônica? Gravidade: 9,8 m/s^2 Formulário ω = 2π/T = 2πf κ = 2π/λ ω^2 = k/m x(t) = xm cos(ωt+δ) Ip = Icm + mh^2 ω = mgh/Ip θ(t) = θm cos(ωt+δ) y(x,t) = ym cos(κx ± ωt) v = λf = λ/T = √(T/μ) fn = nv/λ = nv/(2L) EM = kx^2m/2 = mv^2m/2 F = -kx 1) Ponto de aceleração nula = ponto de equilíbrio, ou seja, metade da distância. Logo, se a distância entre as extremidades do movimento é 1 m, e ele percorre metade dessa distância em 0,25 s, portanto ele percorre 1/4 de período em 0,25 s. a) O período é, portanto, T = 4 * 0,25 => T = 1 s b) Temos ω = 2π/T => ω = 2π rad/s ≈ 6,28 rad/s c) A Velocidade máxima é dada por V_{max} = \omega A. \text{Mas,} \ A = 0,5\ m \ [\text{metade da distância entre as extremidades do movimento}.] \\ \text{Logo, } V_{max} = 2\pi \cdot 0,5 \Rightarrow V_{max} = \pi \ \frac{m}{s} \approx 3,14\ \frac{m}{s} \\ \text{d) A aceleração máxima é} \\ a_{max} = \omega^2 A = 2\pi^2\ \frac{m}{s^2}. \ \text{Logo,} \\ F_{max} = m a_{max} = 0,5\cdot 2\pi^2 \Rightarrow F_{max} = \pi^2 \ N \approx 9,87\ N \\ \text{e) Temos } \omega^2 = \frac{k}{m} \Rightarrow k = \omega^2 m \\ k = 4\pi^2 \cdot 0,5 \Rightarrow k = 2\pi^2 \ \frac{N}{m} \approx 19,7 \ \frac{N}{m} \\ 2) \ \ \ \\ a) \ \text{Pelo teorema dos eixos paralelos:} \\ I = I_{cm} + m(L+ A)^2 \\ L \text{é a distância do C.M. ao pivô}. \\ \text{Logo,} \ I = \ \frac{mR^2}{2} + m(L+ A)^2 = \frac{0,035^2 + (1,035)^2}{2} \\ \boxed{I = 1,072\ kg\cdot m^2} \\ \text{b) Temos } \omega = \sqrt{\frac{mg(L+ A)}{I}} = \sqrt{\frac{9,8\ (1,035)}{1,072}} \\ \boxed{\omega = 3,076\ \frac{rad}{s}} \\ \text{c) Como } T = \frac{2\pi}{\omega}, \ \text{logo } T = \frac{2\pi}{3,076} \\ \boxed{T = 2,043\ s} \\ d) \text{Se a amplitude é } \Theta_m = 0,08\ rad, \ \text{temos} \\ \dot{\Theta}_m = \omega\ \Theta_m = 3,076 \cdot 0,08 \Rightarrow \dot{\Theta}_m = 0,246 \ \frac{rad}{s} \\ \boxed{\dot{\Theta}_m = 0,246 \ \frac{rad}{s}} \\ e) \text{Supondo que o pêndulo foi solto da posição} \\ \Theta_0 = 0,08\ rad, \ \text{temos: } \Theta(t) = 0,08\cos\ \omega t \\ \text{Após } t = 17\ s \ : \Theta(17) = 0,08\cos\ (3,076\cdot 17) \\ \boxed{\Theta(17) = 0,0489\ rad} \\ 3) \\ a) \ \text{Como a frequência é } f = 6\ Hz, \ \text{então} \\ o \text{período é } T = \frac{1}{f} = \frac{1}{6}\ s \approx 0,167\ s \\ \text{b) Temos } \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{6} \ \Rightarrow \omega = \frac{\pi}{3} \ \frac{rad}{s} \approx 1,05\ \frac{rad}{s} \\ c) Temos w^{2} = \frac{k}{m} \Rightarrow m = \frac{k}{w^{2}} = \frac{120}{\left(\frac{\pi}{3}\right)^{2}} Logo, m = \frac{1080}{\pi^{2}} \approx 109,4 \ kg d) Em pontos de amplitude máxima, E = \frac{k x_{m}^{2}}{2} = \frac{120 \cdot 0,17^{2}}{2} \Rightarrow E = 1,734 \ J e) A amplitude varia com o tempo pela seguinte expressão: A(t) = A_{0} e^{- bt/2m} Logo, de \ A(t) = 0,001 \ A_{0}, \ temos: 0,001 = e^{- bt/2m} \ln{(0,001)} = -\frac{bt}{2m} \Rightarrow t = \frac{2m \ln{\frac{1}{0,001}}}{b} Logo, t = \frac{2 \cdot 109,4 \ln \frac{l}{0,001}}{0,25} = 6045,7 \ s 4) a) Pelo gráfico, vemos que A = 5 \ cm, pois é o maior valor que y assume. Logo, A = 0,05 \ m. b) Novamente pelo gráfico, vemos que y = 0 em x = 15 \ cm e em x = 35 \ cm. Esses dois pontos equivalem a meio comprimento de onda. Logo, \lambda = 2 \cdot [ 35 - 15 ] = 40 \ cm = 0,4 \ m c) Temos v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, onde T é a tensão. v = \sqrt{\frac{3,6}{25 \cdot 10^{-3}}} = 12 \ m/s, \ onde \ usamos \ quer 25 \ g/m = 25 \cdot 10^{-3} \ kg/m. d) Temos T = \frac{1}{f} = \frac{\lambda}{v}, \ pois \ f = \frac{v}{\lambda}. Logo, T = \frac{0,4}{12} = 0,033 \ s e) Temos uma equação do tipo y = A \sin{kx + wt + \Phi} Logo, rearranjando: y = A \sin{\left[ \frac{2\pi}{\lambda}x + 2\pi f t + \Phi \right]} Portanto, y = 0,05 \sin{\left[ 15,71 x + 188,5 t + \Phi \right]} \ m\ Mas, \ at \ t = 0 \ e \ x = 0, y = 0,04. Logo, 0,05 \sin{\Phi} = 0,04 \Rightarrow \Phi = \sin^{-1}{\left(\frac{0,04}{0,05}\right)} \Phi = 53,13^\circ = 0,93 \ rad Por fim: y(x,t) = 0,05 \sin{\left[ 15,71 x + 188,5 t + 0,93 \right]} \ m 5) a) Como a corda esta presa nas duas extremidades, f = \frac{n v}{2 L} , Como \lambda = \frac{v}{f}, \Rightarrow \lambda = \frac{2L}{n} Se n=1, temos o comprimento de onda funda- mental : \lambda_{c} = 2L = 240 \hspace{0.2cm} cm = 2,4 \hspace{0.2cm} m b) Temos v = \frac{2 L \hspace{0.1cm} b}{n} \Rightarrow v_{0} = 2 L f = 2,4 \cdot 120 \hspace{3cm} v_{o} = 288 \hspace{0.2cm} \frac {m}{s} c) Temos a soma de duas ondas do tipo y_{f}(x,t) = A\hspace{0.1cm} {sen \left( kx -\omega t \right)} + A{sen \left( kx + \omega t \right)}. Como \hspace{0.1cm} \hspace{0.2cm} sen \hspace{0.1cm} a +\hspace{0.1cm} sen \hspace{0.1cm} b = 2 \hspace{0.1cm} sen \hspace{0.2cm} \left( \frac{a+b}{2} \right) \hspace{0.1cm} cos \hspace{0.1cm} \left( \frac{a-b}{2}\right), logo y_{f}(x,t) = 2 \hspace{0.1cm} A \hspace{0.1cm} sen \hspace{0.1cm} kx \hspace{0.1cm} cos \hspace{0.1cm} \omega t = 2 A \hspace{0.1cm} sen \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right) \hspace{0.1cm} cos(2\pi f \hspace{0.1cm} t) Portanto substituindo os valores : y_{f}(x,t) = 0,01 \hspace{0.1cm} sen \left(2,62 \hspace{0.1cm} x \right) \hspace{0.1cm} cos\left(754 \hspace{0.1cm} t \right) \hspace{0.1cm} m d) Como \hspace{0.1cm} f = \frac{n\hspace{0.1cm} v}{2L} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \Rightarrow T = \frac{4L^{2}f^{2}}{n^{2}\mu}. Se \hspace{0.1cm} n=1, \hspace{0.1cm} T_{o} = \frac{4 L^{2}f^{2}}{\mu} = \frac{4 \cdot 1,2^{2} \cdot 120^{2}}{0,16} \hspace{1cm} T_{o} = 518400 \hspace{0.1cm} N e) Teremos a adição de \hspace{0.1cm} \frac{120\hspace{0.1cm} cm}{5\hspace{0.1cm} cm} = 24 \hspace{0.1cm} nós. \hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} Logo, no total, \hspace{0.1cm} temos \hspace{0.1cm} 26 \hspace{0.1cm} nós, \hspace{0.1cm} que \hspace{0.1cm} corresponde \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} n=13.