Exercícios - Fluidos Densidade e Pressão

Equação da continuidade Quando o fluido é incompressível, o mesmo volume de fluido dV que entra na parte inferior sai do tubo na extremidade superior. A1 v2 dV A2 v1 dV v2 v1 A1v1 = A2v2 Equação da continuidade para um fluido incompressível Seção reta do tubo de escoamento em dois pontos (ver Figura 14.21) Velocidade de escoamento nos dois pontos Seção reta do tubo de escoamento Velocidade de escoamento Vazão volumétrica de um fluido Quando o fluido é incompressível, o produto Av (área do tubo vezes velocidade) tem o mesmo valor em todos os pontos ao longo do tubo. dV dt A2 Velocidade de escoamento dV dt = Av Equação de Bernoulli A1 v1 P1A1 v1 (a) (v_2) (b) v2 A2 dV (c) dP dV dS (d) Escoamento Equação de Bernoulli para um fluido ideal incompressível P + ρgy + 1/2 ρv^2 = constante Pressão Densidade do fluido O valor é o mesmo em todos os pontos no tubo de escoamento. Aceleração decorrente da gravidade Elevação Velocidade de escoamento y2 (b) ρ = m/V ρ = m_i/V_i ρ_i = \frac{m_i}{(\frac{4}{3}\pi(r_e-r_i)^3)} ρ_i = \frac{1.22kg}{(\frac{4}{3}\pi(0.01-0.01)^3)} ρ_i = 1.3 \times 10^3 kg/m^3 Volume da casca esférica: V_i = \frac{4}{3}\pi r_e^3 - \frac{4}{3}\pi r_i^3 V_i = \frac{4}{3}\pi(r_e-r_i)^3 Pressão • Um fluido exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido. Teorema de Stevin “A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio (repouso) é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos.” • Todas as colunas de fluido apresentam a mesma altura, independentemente de sua forma. • A pressão é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido. Exercício 1: 21 Dois recipientes cilíndricos iguais, com as bases no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica 1,30 x 10³ kg/m³. A área de cada base é 4,00 cm², mas em um dos recipientes a altura do líquido é 0,854 m e no outro é 1,560 m. Determine o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis quando os recipientes são ligados por um tubo. Lei de Pascal “A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.” Princípio de Arquimedes “Quando um corpo está parcial ou completamente imerso em um fluido, este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.” Afunda ou boia? (equilíbrio de corpos) 𝐸 = 𝑃 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 > 𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝜌𝑓𝑉𝑓𝑔 = 𝜌𝑐𝑉𝑐𝑔 𝐸 = 𝑃 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝜌𝑓𝑉𝑓𝑔 = 𝜌𝑐𝑉𝑐𝑔 𝐸 < 𝑃 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 < 𝜌𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝜌𝑓𝑉𝑓𝑔 < 𝜌𝑐𝑉𝑐𝑔 Exercício 2: 39 Uma esfera oca, de raio interno 8,0 cm e raio externo 9,0 cm, flutua com metade do volume submerso em um líquido de massa específica 800 kg/m³. (a) Qual é a massa da esfera? (b) Calcule a massa específica do material de que é feita a esfera. Algumas considerações Fluxo laminar (contínuo) Fluido não viscoso Fluido incompressível Medidor de Venturi A diferença entre as alturas é resultado de uma pressão reduzida no gargalo (ponto 2). v₁ P₁ A₁ 1 P₁ + 1/2 ρv₁² = P₂ + 1/2 ρv₂² P₂ 2 A₂ v₂ P₁ - P₂ = 1/2 ρv₁² [(A₁/A₂)² - 1] v₁ = sqrt[2gh / ((A₁/A₂)² - 1)] Exercício 2: 62 O tubo de Pitot (Fig. 14-48) é usado para medir a velocidade do ar nos aviões. É formado por um tubo externo com pequenos furos B (quatro são mostrados na figura) que permitem a entrada de ar no tubo; esse tubo está ligado a um dos lados de um tubo em forma de U. O outro lado do tubo em forma de U está ligado ao furo A na frente do medidor, que aponta no sentido do movimento do avião. Em A, o ar fica estagnado, de modo que v_A = 0. Em B, porém, a velocidade do ar é presumivelmente igual à velocidade v do ar em relação ao avião. (a) Use a equação de Bernoulli para mostrar que v = sqrt[2ρgh / ρ_ar] em que ρ é a massa específica do líquido contido no tubo em U e h é a diferença entre os níveis do líquido no tubo. (b) Suponha que o tubo contém álcool e que a diferença de nível h é de 26,0 cm. Qual é a velocidade do avião em relação ao ar? A massa específica do ar é 1,03 kg/m³ e a do álcool é 810 kg/m³. Figura 14-48 Problemas 62 e 63. N_A = 0 y_A = y_B Δp = p_A - p_B = ρgh a) Pela equação de Bernoulli: p_A + 1/2 ρ_ar v_A² + ρ_ar g y_A = p_B + 1/2 ρ_ar v_B² + ρ_ar g y_B p_A - p_B = 1/2 ρ_ar v_B² ρgh = 1/2 ρ_ar v_B² v_B² = 2ρgh / ρ_ar ⋅⋅ v_B = sqrt[2ρgh / ρ_ar] b) h = 26cm ρ_ar = 1.03kg/m³ ρ_álcool = 810kg/m³ v = sqrt[2ρgh / ρ_ar] v = sqrt[2⋅810⋅9.8⋅0.26 / 1.03] v = 63,13m/s Movimento Harmônico Simples (MHS) Ԧ𝐹: Força restauradora Lei de Hooke: 𝑘: constante elástica Obs: Mola com massa desprezível e ausência de atrito Descrição matemática do MHS Pela 2ª Lei de Newton: Definindo: Chegamos a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem: Solução: • Período (T): Tempo de execução de um ciclo completo • Frequência (f): Número de ciclos completos por unidade de tempo. • Velocidade(v): • Aceleração (a): Relação entre o MHS e MCU Considere um ponto P’ que descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular 𝜔. A projeção do ponto P’ no eixo x é um ponto P cujo movimento pode ser descrito pela equação 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) que é a equação do MHS. O MHS é, portanto, a projeção do movimento circular uniforme no diâmetro as circunferência na qual acontece o movimento circular A Energia do MHS • A energia cinética (K) de um oscilador está associada à sua velocidade: Usando a identidade trigonométrica: Chegamos a: • Portanto: • 𝐾 = 0 𝑠𝑒 𝑥 = ±𝐴 • 𝐾 = 1 2 𝑚𝜔2𝐴2 𝑠𝑒 𝑥 = 0 • A energia potencial do oscilador está associada à mola: Valor máximo • Portanto: • 𝑈 = 1 2 𝑘𝐴2 𝑠𝑒 𝑥 = ±𝐴 • 𝑈 = 0 𝑠𝑒 𝑥 = 0 • A energia total (E) é a soma das energias cinética e potencial: Na Fig. 15-37, dois blocos (m = 1,8 kg e M = 10 kg) e uma mola (k = 200 N/m) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema blocos-mola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar? Aplicando a 2a lei de Newton ao m: F = m . a M . m . g = m . a M . x_m . g = x_m(K/(m+M)) x_m = M . g (m+M) / K F_at = μ . N F_at = 0,4 . m . g F_at = μ . m . g amax: w^2xm w = sqrt(K/(m+M)) w^2 = K/(m+M) amax = K/(m+M) . x_m x_m = M . g (m+M) / K x_m = 0,40 . 9,8 (1,8+10) / 200 x_m = 0,23 m Na Fig. 15-41, o bloco 2, com massa de 2,0 kg, oscila na extremidade de uma mola, executando um MHS com um período de 20 ms. A posição do bloco é dada por x = (1,0 cm) cos(ωt + π/2). O bloco 1, de massa 4,0 kg, desliza em direção ao bloco 2 com uma velocidade de módulo 6,0 m/s. Os dois blocos sofrem uma colisão perfeitamente inelástica no instante t = 5,0 ms. (A duração do choque é muito menor que o período do movimento.) Qual é a amplitude do MHS após o choque? calculando a constante K da mola: m_2 = 2 kg T = 20ms = 0,02s w = 2π/T √K/m = 2π/T K/m = (4π^2)/T^2 K = 4π^2 (2) / (0.02)^2 K = 1.97 . 10^5 N/m Função posição do bloco 2: x(t) = (1 cm) cos(Wt + π/2) no instante da colisão: Wt = π/2 x(0.005) = (1 cm) cos(π/2 + π/2) = (1 cm) cos(π) = -1 cm Após o choque: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)vf 4 . 6 + 2 . 0 = (4 + 2) vf 24 = 6 vf vf = 4 m/s K = \frac{mv^2}{2} = \frac{(m + m2) vf^2}{2} = \frac{6 . 4^2}{2} = 48 J U = \frac{K1^2}{2} = \frac{(1.9\times 10^5)(-0.01)^2}{2} = 10 J E = K + U = 48 + 10 = 58 J U_{max} = \frac{1}{2}Kx_{max}^2 = 58 J \frac{1}{2}Kx_{max}^2 = 58 J x_{max}^2 = \frac{2 . 58}{K} x_{max} = \sqrt{\frac{2. 58}{1.9\times 10^5}} x_{max} = 0.024 m Descrição matemática do MHS Pela 2ª Lei de Newton: Definindo: Chegamos a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem: Solução: Similarmente, para o movimento angular: Pêndulo Simples Suponha que o fio não tenha massa e seja inextensível. O peso é considerado uma massa pontiforme. A força restauradora sobre o peso é proporcional a senθ, não a θ. Entretanto, para um θ pequeno, senθ ≈ θ, então o movimento é aproximadamente harmônico simples. Fθ = -mg senθ Fθ = -mgθ = -mg \frac{x}{L} = -\frac{mg}{L} x ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{mg/L}{m}} = \sqrt{\frac{g}{L}} Frequência angular do pêndulo simples, pequena amplitude Aceleração da gravidade Massa do pêndulo (anula-se) Comprimento do pêndulo f = \frac{ω}{2π} = \frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{L}} Frequência do pêndulo simples, pequena amplitude Aceleração da gravidade Comprimento do pêndulo Período do pêndulo simples, pequena amplitude T = 2π \sqrt{\frac{L}{g}} = \frac{1}{f} Frequência angular Frequência Comprimento do pêndulo Aceleração da gravidade Pêndulo Físico O corpo pode girar livremente ao redor do eixo z A força gravitacional atua sobre o corpo em seu centro de gravidade (cg) O torque restaurador sobre o corpo é proporcional a sen θ, não a θ. Apesar disso, quando θ é pequeno, sen θ ≈ θ, então o movimento é aproximadamente harmônico simples. τz = −(mg) (d sen θ) τz = −(mgd)θ −(mgd)θ = Iαz = I \frac{d^2θ}{dt^2} \frac{d^2θ}{dt^2} = −\frac{mgd}{I} θ ω = \sqrt{\frac{mgd}{I}} Frequência angular do pêndulo físico, pequena amplitude Massa Aceleração da gravidade Distância do eixo de rotação ao centro de gravidade Momento de inércia T = 2π \sqrt{\frac{I}{mgd}} Período do pêndulo físico, pequena amplitude Momento de inércia Distância do eixo de rotação ao centro de gravidade Massa Aceleração decorrente da gravidade Oscilações amortecidas • Situação real. • Força externa (geralmente o atrito) causa dissipação de energia e diminuição gradual da amplitude • −𝑘𝑥 é a conhecida força restauradora • −𝜆 𝑑𝑥 𝑑𝑡 é a força de atrito (amortecedora), proporcional à velocidade. 𝜆 é uma constante que descreve a rigidez da força de atrito. • Para o oscilador amortecido: • 𝑥(𝑡) é a elongação e 𝐴𝑒 −𝜆 2𝑚𝑡 é a amplitude ω = √(ω₀² - (λ/2m)²) ω₀ = √(k/m) Frequência natural A e^(λ/2m t) • 𝜔 pode atingir o valor zero, quando: a b c Elongação de um objeto que executa oscilações amortecidas, em função do tempo. (a) oscilações sub-amortecidas, (b) oscilações com amortecimento crítico e (c) oscilações com super-amortecimento. Nos casos (b) e (c) não existe nenhuma frequência angular associada ao movimento. Energia nas oscilações amortecidas • Energia mecânica não se conserva. Oscilações Forçadas • Força propulsora: • Solução: A amplitude é constante, mas depende de vários fatores Pico de amplitude provocado por uma força cuja frequência está próxima da frequência natural do sistema, ou seja, 𝜔 = 𝜔0 Ressonância 51 Na Fig. 15-46, uma barra, de comprimento L = 1,85 m, oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão O corresponde ao menor período? (b) Qual é esse período? L: 1.85 m Para pêndulo físico: T = 2π √(I/mgh) a) I = (1/12) ml² + mh² = m(L²/12 + x²) T = 2π √(m(L²/12 + x²)/mgx) = 2π √((L²/12x² + 12x) impõe: minimizar T minimizar (12gT²/4π²) = (12gT²/4π²) = L²/x + 12x d/dx (L^2/x + 12x) = -L^2/x^2 + 12 = 0 -L^2/x^2 = -12 x^2 = L^2/12 x = L/sqrt{12} = 1.85 m/sqrt{12} = 0.53 m b) T = 2π sqrt{L^2 + 12.x^2/12gx} = 2π sqrt{(1.85)^2 + 12(0.53)^2/9.8*0.53} = 2.07 s Equação geral da onda ∂^2 y/∂x^2 = 1/v^2 ∂^2 y/∂t^2 Solução: Função de onda para uma onda senoidal movendo-se no sentido +x y(x,t) = A cos [2π (x/λ - t/T)] Amplitude Comprimento de onda Posição Tempo Período Função de onda para uma onda senoidal movendo-se no sentido +x y(x,t) = A cos(kx - ωt) Amplitude Número de onda 2π/λ Posição Tempo Frequência angular = 2πf Velocidade da Onda em uma Corda Esticada 𝑣 = 𝑇 𝜇 A velocidade de uma onda em uma corda ideal depende apenas da tensão e da massa específica linear da corda e não varia com a frequência da onda. Same Wave Velocity Different Frequencies Long Wavelength Max Min Wave Velocity v Short Wavelength Max Min Wave Velocity v isvr Energia total contida em um comprimento de onda Taxa de transferência de energia por ondas senoidais em cordas A energia cinética K, para um comprimento de onda da corda: 𝐾𝜆 = 1 2 𝜇𝜔2𝐴2 ∙ 1 2 𝜆 = 1 4 𝜇𝜔2𝐴2𝜆 Similarmente, para a energia potencial: 𝑈𝜆 = 1 4 𝜇𝜔2𝐴2𝜆 Como a energia mecânica se conserva: 𝐸𝜆 = 𝐾𝜆 + 𝑈𝜆 = 1 2 𝜇𝜔2𝐴2𝜆 Intensidade das ondas senoidais A Intensidade de uma onda se define como potência média carregada pela onda por unidade de área perpendicular à direção de propagação. 𝐼 = 𝑃𝑚é𝑑 𝐴 A unidade de intensidade é o W/m². 5) A função de onda para uma onda progressiva em uma corda esticada é (em unidades do SI): y(x,t) = (0,350m) ⋅ sen(10π t - 3π x + π/4) a) Quais são a velocidade e a direção de deslocamento da onda? b) Qual é o deslocamento vertical da corda em t = 0, x = 0,100 m? c) Quais são o comprimento de onda e a frequência da onda? d) Qual é o valor máximo da velocidade transversal da corda? v(x,t) = A sen(ωt + φ) y(x,t) = 0,350 m ⋅ (-3π x + 10πt + π/4) a) v = λ ⋅ f ω = 2π f 10π = 2π f f = 10/2 = 5 Hz v = λ ⋅ f K = 2π/λ λ = 2π/K v = λ ⋅ f v = 2/3 ⋅ 5 v = 10/3 = 3,33 m/s b) y(0,1; 0) = 0,350 m ⋅ (-3π (0,1) + 10π (0) + π/4) y(0,1; 0) = 0,350 m ⋅ (-0,3π + π/4) = -0,055 m c) λ = 2/3 ≈ 0,667 m f = 5 Hz d) vy_max = ωA vy_max = 10π ⋅ (0,35) vy_max = 11 m/s 9) Uma onda senoidal transversal em uma corda tem um período T = 25ms e se desloca no sentido negativo de x com uma velocidade de 30,0 m/s. Em t = 0, uma partícula da corda em x = 0 tem um deslocamento de 2,00 cm e está se deslocando para baixo com uma velocidade de 2,00 m/s. a) Qual é a amplitude da onda? b) Qual é o ângulo de fase inicial? c) Qual é a velocidade transversal máxima da corda? d) Escreva a função de onda para essa onda. Sentido negativo de x: y(x,t) = A sen (Kx + ωt + φ) vy(x,t) = ωA cos (Kx + ωt + φ) Dados: T = 25 ms = 25 ⋅ 10⁻³ s = 0,025 s v = 30 m/s y(0,0) = -2,00 cm vy(0,0) = 2,0 m/s ω = 2π/T = 2π/0,025 = 251,33 rad/s a) A = ? y(0,0) = A sen (φ) A sen(φ) = -0,02 m vy(0,0) = ωA cos(φ) ωA cos(φ) = 2 A cos(φ) = 2/ω = 2/251,33 = 0,008 A cos(φ) = 0,008 { A \sin \varphi = -0,02 \newline A \cos \varphi = 0,008 } \newline A / (\sin \varphi + \cos \varphi) = -0,012 \newline elevando \ aos \ quadrados: \newline \{ A^2 \sin^2 \varphi = 0,0004 \newline A^2 \cos^2 \varphi = 0,000064 } \newline A^2 (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi) = 0,0000464, \ como \ \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1, \ temos: \newline A^2 = 0,0000464 \newline A = 0,0215 \ m \ ou \ 2,15 \ cm \newline b) \ A \sin \varphi = -0,02 \newline \sin \varphi = \frac{-0,02}{A} = \frac{-0,02}{0,0215} = -0,93 \newline \varphi = 1,19 \ rad c) \ v_{y \_{máx}} = WA \newline v_{y \_{máx}} = 251,33 \cdot 0,0215 \newline v_{y \_{máx}} = 5,14 \ m/s \newline d) \ \nu = \frac{\lambda}{T} \therefore \lambda = \nu \cdot T = 30 \ m/s \cdot 0,025 \ s = 0,75 \ m \newline k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0,75} = 8,38 \ rad/m \newline y(x,t) = A \sin ( kx + \omega t + \varphi ) \newline y(x,t) = 0,0215 \sin ( 8,38x + 251,33t - 1,19 ) Superposição de ondas Princípio da superposição: o deslocamento resultante do meio é a soma dos deslocamentos provocados pelas ondas individuais. Combinação de ondas: interferência 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡 Interferência construtiva Aumento da amplitude e intensidade Interferência destrutiva Diminuição da amplitude e intensidade Análise matemática dos efeitos de interferência • Duas ondas propagando-se no mesmo sentido 𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 • Se as ondas coincidem no meio: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴[𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 ] • Sabendo que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 cos 𝛼−𝛽 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 2 , temos: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜑 2 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑 2 ] A amplitude depende do ângulo 𝜑 da fase. Também é uma onda senoidal, com 𝑓 e 𝜆 iguais aos das ondas individuais. 1.Se 𝝋 = 𝟎, 𝟐𝝅, 𝟒𝝅, … Amplitude da onda resultante: 2A As ondas estão em fase 2. Se 𝝋 = 𝝅, 𝟑𝝅, 𝟓𝝅, … Amplitude = 0 As ondas se anulam 3. Se 𝝋 está entre 0 e 𝝅 Amplitude entre 0 e 2A Situação intermediária Interferência construtiva Interferência destrutiva Situação intermediária E se as ondas propagarem-se em direções opostas? 𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴[𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡 + 𝜑 ] • Sabendo que 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 cos 𝛼−𝛽 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼+𝛽 2 , temos: 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜑 2 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜑 2 E percebemos que a função resultante y(x,t) não descreve uma onda progressiva, pois não possui argumento (kx±ωt). Mas, se 𝜑 = 0, 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 MHS com amplitude 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 Ondas estacionárias • Padrão de oscilação resultante de duas ondas idênticas que se propagam nos sentidos opostos. 𝑦 𝑥, 𝑡 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 • Cada elemento do meio oscila como MHS • A amplitude depende da posição [amplitude = 2𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 ] • Amplitude máxima (2A): 𝑘𝑥 = 𝜋 2 , 3𝜋 2 , 5𝜋 2 , … 𝑥 = 𝜋 2𝑘 , 3𝜋 2𝑘 , 5𝜋 2𝑘 , …, mas 𝑘 = 2𝜋 𝜆 , logo: 𝑥 = 𝜆 4 , 3𝜆 4 , 5𝜆 4 , … = 2𝑛 + 1 𝜆 4 ; 𝑛 = 0,1,2, … • Amplitude mínima (0): 𝑘𝑥 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … 𝑥 = 0, 𝜋 𝑘 , 2𝜋 𝑘 , 3𝜋 𝑘 , …, mas 𝑘 = 2𝜋 𝜆 , logo: 𝑥 = 0, 𝜆 2 , 2𝜆 2 , 3𝜆 2 , … = 𝑛𝜆 2 ; 𝑛 = 0,1,2, … Ventres Nós Nós e ventres repetem-se alternadamente espaçados por um intervalo de 𝜆 4 . ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS • Fonte sonora de todos os instrumentos musicais de corda (violão, violino, piano etc). • Corda fixada nos dois lados, superposição contínua de ondas incidentes e refletidas. Extremidades fixas: nós. • Possíveis comprimentos de onda: 𝜆1 = 2𝐿 ; 𝜆2 = 2𝐿 2 ; 𝜆3 = 2𝐿 3 ; … ; 𝜆𝑛 = 2𝐿 𝑛 , 𝑛 = 1, 2, 3, … • Frequências possíveis: 𝑓 = 𝑣 𝜆 = 1 𝜆 𝑇 𝜇 𝑓𝑛 = 1 𝜆𝑛 𝑇 𝜇 = 𝑛 2𝐿 𝑇 𝜇 𝑓𝑛 = 𝑛 2𝐿 𝑇 𝜇 , 𝑛 = 1, 2, 3, … • 𝑓1 = 1 2𝐿 𝑇 𝜇 → primeiro harmônico (frequência fundamental) • 𝑓2 = 2𝑓1 → segundo harmônico • 𝑓𝑛 = 𝑛𝑓1 → n-ésimo harmônico 59 Na Fig. 16-43, um fio de alumínio, de comprimento L_{1} = 60,0 \ cm, seção reta 1,00 \times 10^{-2} \ cm^{2} e massa específica 2,60 \ g/cm^{3}, está soldado a um fio de aço, de massa específica 7,80 \ g/cm^{3} e mesma seção reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m = 10,0 \ kg, está disposto de tal forma que a distância L_{2} entre o ponto de solda e a polia é 86,6 \ cm. Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de frequência variável; um nó é situado na polia. (a) Determine a menor frequência que produz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) Quantos nós são observados para essa frequência? \newline Dados: \newline L_{1}: 60 \ cm \newline L_{2}: 86,6 \ cm \newline \rho_{1} = 2,6 \ g/cm^{3} \newline \rho_{2} = 7,8 \ g/cm^{3} \newline m = 10 \ kg \newline A = 1 \cdot 10^{-2} \ cm^{2} \newline T = mg \newline \text{Para o onda de alumínio:} \newline f_{m_{1}} = \frac{m_{1}}{2L_{1}} \sqrt{\frac{T}{\rho_{1} \cdot A}} \newline \text{Para o onda de aço:} \newline f_{m_{2}} = \frac{m_{2}}{2L_{2}} \sqrt{\frac{T}{\rho_{2} \cdot A}} \newline f_{m_{1}} = f_{m_{2}} fm2 = fm1 \frac{m1}{L1}\sqrt{\frac{T}{p1\cdot A}} = \frac{m2}{L2}\sqrt{\frac{T}{p2\cdot A}} \frac{m1}{L1\sqrt{p1}} = \frac{m2}{L2\sqrt{p2}} \frac{m2}{m1} = \frac{L2\sqrt{p2}}{L1\sqrt{p1}} = \frac{86\cdot10\sqrt{7.8}}{60\sqrt{2.6}} = 2.15 m2 = 5 e m1 = 2 fm1 = \frac{m1}{2L1}\sqrt{\frac{T}{p1\cdot A}} = \frac{2}{2\cdot60\cdot10^3}\cdot\sqrt{\frac{10\cdot9.8}{2.6\cdot10^3\cdot1.10}} = 324\, Hz m1 = 2 -> 2º harmonico m2 = 5 -> 5º harmonico b) 8 ms Bibliografia • HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl, Fundamentos de física, Volume 2, 10ª ed., 2016; • YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A., FISICA II - Termodinâmica e Ondas, 14ª ed., 2015.