Exercícios Resolvidos de Funções Complexas - Equações de Cauchy-Riemann e Derivabilidade

a Encontre uma função inteira f cuja parte real seja uxy x3 3xy2 x2 y2 y 1 b Calcule f0 e fi Considere a função fz eiz z C a Encontre uxy Refx iy e vxy Imfx iy b Mostre que f não é derivável em nenhum ponto de C Seja f C C uma função inteira a Se f só assume valores reais mostre que f é constante b Se fz 1 para todo z C mostre que f é constante Resolução 9 de dezembro de 2022 Capítulo 1 Exercício 11 a Seja fxy uxy ivxy a função que desejamos encontrar Usaremos das Equações de CauchyRiemann para encontrar a função vxy Por essas equações vx vx uy uy 6xy 2y 1 Integrando essa expressão com respeito a x vx dx 6xy 2y 1dx vxy 3x2 y 2xy x gy em que gy é uma função que depende apenas de y Agora a outra equação de CauchyRiemann vy ux 3x2 3y2 2x e agora integrando com respeito a y vy dy 3x2 3y2 2xdy vxy 3x2 y y3 2xy hx em que hx é uma função em x Daí comparando o resultado das duas integrais obtemos hx x e gy y3 logo vxy 3x2 y y3 2xy x k k R satisfazem as equações Com isso fxy x3 3xy2 x2 y2 y 1 3x2 y y3 2xy xi é uma função inteira que satisfaz o enunciado b Veja que podemos escrever fx0 y0 uxx0 y0 ivxx0 y0 assim fxy 3x2 6xy 6xy 2y 1i e aplicando nos pontos desejados f0 f00 0 0 0 0 1i i e também fi f01 2 1i 3i Capítulo 1 Exercício 12 a Veja que substituindo z x yi fx yi eixyi eixy eycosx isenx eycosx isenx logo fx yi eycosx ieysenx logo Refx yi eycosx e Imfx yi ieysenx b Mostremos que f não satisfaz as equações de CauchyRiemann Para isso escreva uxy eycosx e vxy eysenx Daí ux eysenx eysenx vy e vx eycosx eycosx eycosx uy Daí não existe x yi C tal que u e v satisfaçam as equações de CauchyRiemann Portanto f não é derivável em nenhum ponto do plano complexo Exercício 13 a Se f só assume valores reais então fz i para todo z C Suponha que f não é constante Assim veja que fz i fz2 1 1 1fz i 1 daí defina gx 1fz i z C Observe que g é uma função inteira por ser a razão de duas funções inteiras e não nulas e é limitada pois gz 1 Pelo Teorema de Liouville g é constante implicando que f também é constante Contradição Portanto f deve ser constante b Esse resultado segue diretamente do Teorema de Liouville pois fz 1 2 limitada pela constante 2 Observação Teorema de Liouville Se f C C é uma função inteira e limitada então f é constante