Exercícios Resolvidos sobre Funções Complexas - Continuidade e Derivabilidade

Questão 4 Seja fz e1z z 0 É possível definir f0 de modo que f seja contínua em z 0 Justifique Questão 5 Se fz ℜzz 1 então f é contínua em z 0 Por quê Questão 6 Seja fz ℜz Em quais pontos f é derivável E se fosse fz ℑz Questão 9 Calcule fz nos seguintes casos a fz z 1z 1 z 12 b fz z21 z24 z 0 c fz sincos z Questão 10 Verifique que a se f é uma função inteira que só assume valores reais então f é constante b se f e f são analíticas então f é constante c se f é analítica e ℜf ou ℑf é constante então f é constante d se f e g são analíticas e tais que f g em aberto conexo D C então f e g diferem por uma constante 4 Para definir f0 de modo que f seja contínua em z0 é preciso que exista lim fz daí teremos f0 lim fz No te que z 0 z 0 então lim z0 e1z lim z0 e1z lim z0 1e1z Também podemos fazer t 1z então z0 t Assim lim z0 e1z lim t 1et 1lim t et 0 Assim fazendo f0 0 vale que f é contínua em 0 5 Escrevendo z x iy temos fz Rex iyx iy 1 xx² y² 1 Em particular vale fz xz 1 x logo de 0 fz x e lim z0 x 0 pelo Teorema do Confronto temos lim z0 fz 0 logo lim z0 fz 0 6 Seja z x iy Então fz x Para fz Rez Escrevendo fz uxy ivxy com uv ℝ² ℝ temos uxy x vxy 0 xy ℝ² Assim uxxy 1 uyxy 0 vxxy 0 e vyxy 0 Como não valem as equações de CauchyRiemann em nenhum ponto temos que f não é derivável em nenhum ponto Agora se fz Imz temos uxy y e vxy 0 logo uxxy 0 uyxy 1 vxxy 0 e vyxy 0 Denovo não valem as equações de CauchyRiemann em nenhum ponto logo f não é derivável em nenhum ponto 9 a Faça gz 21 e hz 2z1 Então fz gzhz logo fz gzhzhzgzhz2 12z1 221 2z12 32z12 b Podemos simplificar f para fz z2 1 12z4 z2 2z12z4 2z14 z6 Agora faça gz 2z14 e hz z6 logo fz gzhz portando fz gzhz hzgz hz2 fz 2z42z13 z6 6z5 2z14 z12 8 z2 2z13 6 2z14 z7 2 2z13 4z2 32z1 z7 2 2z13 2z2 3 z7 c Faça gz senz e hz cosz Logo fz ghz portanto fz ghzhz coscosz senz coscoszsenz 10 a Podemos escrever fz uz ivz onde u e v assumem valores reais Como f só assume valores reais vale v 0 Escrevendo z x iy temos pelas equações de CauchyRiemann que ux vy 0 e uy vx 0 logo u é constante e portanto f é constante b Considere gz fz overlinefz e hz ifz overlinefz Então g e h são analíticas e só assumem valores reais logo pelo item a são constantes Assim fz gz ihz 2 é constante c Se Imf é constante então gz fz Imf é analítica e só assume valores reais logo é constante pelo item a Assim fz gz Imf é constante Se Ref é constante então hz ifz é analítica tal que Imh Ref é constante Pelo argumento anterior vale que h é constante logo fz ihz é constante d Fixe z0 D Dado z D existe caminho C em D ligando z0 a z Seja hz fz gz Então hz 0 z D e hz hz0 C hz dz 0 hz hz0 Assim fz gz hz gz hz0 logo f e g diferem por uma constante