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Química ·
Cálculo
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IMECC Universidade Estadual de Campinas Prova 2 MA311 - Cálculo III — Matutino 05/07/2021 ATENÇÃO com as Instruções: ANTES de iniciar a resolução das questões, determine quais lhe correspondem! IMPORTANTE: Ao acessar o Ambiente Google Classroom para realizar, e entregar a prova, cada estudante estará automaticamente de acordo com a seguinte declaração, conforme as tradições da Unicamp: “Declaro que não estou recebendo ajuda de outras pessoas durante o período de realização da prova, nem faço uso de recursos não permitidos. Comprometo-me a não compartilhar qualquer assunto referente a esta prova por 24h após sua realização." Qualquer tentativa de cola ou fraude acarretará nota zero nesta Prova para todos os implicados, além das sanções previstas no Regimento Geral da UNICAMP (em particular, o Art. 227, inciso VII, e os Art. 228 a 231). Determine quais questões devem ser resolvidas por você via planilha Google Sheet anexa a esta Prova no Google Classroom. Nela, insira seu RA no campo em amarelo, aperte ENTER e observe as questões indicadas. NÃO altere quaisquer outras células da planilha. Para cada questão A, B, C, existem três possibilidades 0, 1, 2. Anote quais lhe correspondem de acordo com a planilha. Para o caso (improvável) de você acidentalmente apagar a sua cópia da planilha sem ter anotado as questões, o Google Classroom lhe apresenta a opção de “FAZER UMA CÓPIA” novamente. É SUA responsabilidade assegurar-se de que você resolverá as questões designadas a você. Caso você resolva questões diferentes das que lhe forem designadas, elas nem sequer serão corrigidas. Para esta Prova, estima-se que 1h40 são suficientes para se realizar a solução das questões e redigir as resoluções. Você terá ainda 20 minutos adicionais que devem ser alocados para você poder calmamente escanear e submeter suas Resoluções via Google Classroom da forma como foi submetida a Prova 1. Submissões feitas após o término do horário regulamentar (10:00hs) serão consideradas atrasadas mas ainda assim serão corrigidas se esse atraso não for maior que 30 minutos. Submissões feitas após às 10:30hs ou que forem enviadas fora do Google Classroom não serão corrigidas e automaticamente receberão nota zero! Sem exceção. Por se tratar de avaliação de conhecimentos adquiridos por cada aluno, a resolução desta Prova deve ser um trabalho individual sem consulta direta ou indireta a outras pessoas. Justifique detalhadamente todas as respostas. Indique as propriedades que estão sendo utilizadas em cada passo, e mostre suas contas de forma organizada. As submissões devem seguir estritamente o seguinte formato: (a) As resoluções devem ser manuscritas, sem rasuras, escaneadas, formando um único documento PDF. (b) Sugerimos que o arquivo deve ser nomeado na forma RAXXXXXX.pdf (c) No topo da primeira página das suas resoluções, coloque seu nome e RA de forma bem legível e, em seguida, a sua assinatura conforme esta conste em seu RG ou CNH. (d) Inicie a resolução de CADA questão no topo de uma nova página indicando claramente o número da questão. (e) É sua responsabilidade garantir que o arquivo escaneado seja legível. Para isso, recomenda-se o uso de um aplicativo para celular (Android ou iOS) como Adobe Scan (ou CamScanner ou Office Lens ou similar) para escanear as páginas manuscritas e, em seguida, fazer os devidos ajustes de contraste. Esses Apps facilitam a inclusão de múltiplas páginas em um único PDF. (f) Submissões constituídas meramente de arquivos de fotos (jpg, png, etc.), serão desconsideradas e receberão nota zero. QUESTÃO A A.0. (3,0 pontos) (i) Verifique se a sequência (an = (−1)ⁿln n) ∞ n=1 converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule seu limite. (ii) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série ∑∞ n=1 (x − 1)ⁿ / nn A.1. (3,0 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série ∑∞ n=1 1 / n (x + 1)ⁿ. A.2. (3,0 pontos) (i) Verifique se a sequência (an = ln |ln n|ⁿ converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule seu limite. Dica: Use propriedade de logaritmo. (ii) Considere a série (−1)ⁿ n / n² + 1. A série dada é convergente? Justifique. QUESTÃO B B.0. (4,0 pontos) Sabendo que x = 0 é um ponto ordinário da EDO (3 - x^2)y'' - 3xy' - y = 0 (1) (i) (1,5 ptos) Determine a Fórmula de Recorrência da solução em série da EDO (1). (ii) (1,5 ptos) Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução em série da EDO (1). (iii) (1,0 pto) Encontre a solução geral da EDO (1) em série de potências em torno de x = 0. B.1. (4,0 pontos) Considere a EDO 2y'' + (x + 1 + 3y = 0 (2) (i) (1,0 pto) Mostre que x = 2 é um ponto ordinário para a EDO (2). (ii) (1,5 ptos) Determine a Fórmula de Recorrência da solução em série em torno de x = 2 da EDO (2). (iii) (1,5 ptos) Determine os 3 primeiros termos de cada uma das soluções em série em torno de x = 2 da EDO (2) e escreva estas soluções. B.2. (4,0 pontos) Considere a EDO y'' + 4y' + - (3) (i) (2,0 ptos) Mostre que a EDO (3) não possui pontos singulares. (ii) (2,0 ptos) Determine o raio de convergência da solução em série de potências em torno de QUESTÃO C C.0. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 0 -1 ] X + [ 0 ] [ 1 0 ] [ sec t ] . (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado. C.1. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 3 -18 ] X + [ 0 ] e^{-3t}. [ 2 -9 ] [ t ] (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado. C.2. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 2 -3 ] X + [ 0 ] [ 1 -2 ] [ 2sen t ] . (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado.
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IMECC Universidade Estadual de Campinas Prova 2 MA311 - Cálculo III — Matutino 05/07/2021 ATENÇÃO com as Instruções: ANTES de iniciar a resolução das questões, determine quais lhe correspondem! IMPORTANTE: Ao acessar o Ambiente Google Classroom para realizar, e entregar a prova, cada estudante estará automaticamente de acordo com a seguinte declaração, conforme as tradições da Unicamp: “Declaro que não estou recebendo ajuda de outras pessoas durante o período de realização da prova, nem faço uso de recursos não permitidos. Comprometo-me a não compartilhar qualquer assunto referente a esta prova por 24h após sua realização." Qualquer tentativa de cola ou fraude acarretará nota zero nesta Prova para todos os implicados, além das sanções previstas no Regimento Geral da UNICAMP (em particular, o Art. 227, inciso VII, e os Art. 228 a 231). Determine quais questões devem ser resolvidas por você via planilha Google Sheet anexa a esta Prova no Google Classroom. Nela, insira seu RA no campo em amarelo, aperte ENTER e observe as questões indicadas. NÃO altere quaisquer outras células da planilha. Para cada questão A, B, C, existem três possibilidades 0, 1, 2. Anote quais lhe correspondem de acordo com a planilha. Para o caso (improvável) de você acidentalmente apagar a sua cópia da planilha sem ter anotado as questões, o Google Classroom lhe apresenta a opção de “FAZER UMA CÓPIA” novamente. É SUA responsabilidade assegurar-se de que você resolverá as questões designadas a você. Caso você resolva questões diferentes das que lhe forem designadas, elas nem sequer serão corrigidas. Para esta Prova, estima-se que 1h40 são suficientes para se realizar a solução das questões e redigir as resoluções. Você terá ainda 20 minutos adicionais que devem ser alocados para você poder calmamente escanear e submeter suas Resoluções via Google Classroom da forma como foi submetida a Prova 1. Submissões feitas após o término do horário regulamentar (10:00hs) serão consideradas atrasadas mas ainda assim serão corrigidas se esse atraso não for maior que 30 minutos. Submissões feitas após às 10:30hs ou que forem enviadas fora do Google Classroom não serão corrigidas e automaticamente receberão nota zero! Sem exceção. Por se tratar de avaliação de conhecimentos adquiridos por cada aluno, a resolução desta Prova deve ser um trabalho individual sem consulta direta ou indireta a outras pessoas. Justifique detalhadamente todas as respostas. Indique as propriedades que estão sendo utilizadas em cada passo, e mostre suas contas de forma organizada. As submissões devem seguir estritamente o seguinte formato: (a) As resoluções devem ser manuscritas, sem rasuras, escaneadas, formando um único documento PDF. (b) Sugerimos que o arquivo deve ser nomeado na forma RAXXXXXX.pdf (c) No topo da primeira página das suas resoluções, coloque seu nome e RA de forma bem legível e, em seguida, a sua assinatura conforme esta conste em seu RG ou CNH. (d) Inicie a resolução de CADA questão no topo de uma nova página indicando claramente o número da questão. (e) É sua responsabilidade garantir que o arquivo escaneado seja legível. Para isso, recomenda-se o uso de um aplicativo para celular (Android ou iOS) como Adobe Scan (ou CamScanner ou Office Lens ou similar) para escanear as páginas manuscritas e, em seguida, fazer os devidos ajustes de contraste. Esses Apps facilitam a inclusão de múltiplas páginas em um único PDF. (f) Submissões constituídas meramente de arquivos de fotos (jpg, png, etc.), serão desconsideradas e receberão nota zero. QUESTÃO A A.0. (3,0 pontos) (i) Verifique se a sequência (an = (−1)ⁿln n) ∞ n=1 converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule seu limite. (ii) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série ∑∞ n=1 (x − 1)ⁿ / nn A.1. (3,0 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série ∑∞ n=1 1 / n (x + 1)ⁿ. A.2. (3,0 pontos) (i) Verifique se a sequência (an = ln |ln n|ⁿ converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule seu limite. Dica: Use propriedade de logaritmo. (ii) Considere a série (−1)ⁿ n / n² + 1. A série dada é convergente? Justifique. QUESTÃO B B.0. (4,0 pontos) Sabendo que x = 0 é um ponto ordinário da EDO (3 - x^2)y'' - 3xy' - y = 0 (1) (i) (1,5 ptos) Determine a Fórmula de Recorrência da solução em série da EDO (1). (ii) (1,5 ptos) Determine a fórmula para o coeficiente geral da solução em série da EDO (1). (iii) (1,0 pto) Encontre a solução geral da EDO (1) em série de potências em torno de x = 0. B.1. (4,0 pontos) Considere a EDO 2y'' + (x + 1 + 3y = 0 (2) (i) (1,0 pto) Mostre que x = 2 é um ponto ordinário para a EDO (2). (ii) (1,5 ptos) Determine a Fórmula de Recorrência da solução em série em torno de x = 2 da EDO (2). (iii) (1,5 ptos) Determine os 3 primeiros termos de cada uma das soluções em série em torno de x = 2 da EDO (2) e escreva estas soluções. B.2. (4,0 pontos) Considere a EDO y'' + 4y' + - (3) (i) (2,0 ptos) Mostre que a EDO (3) não possui pontos singulares. (ii) (2,0 ptos) Determine o raio de convergência da solução em série de potências em torno de QUESTÃO C C.0. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 0 -1 ] X + [ 0 ] [ 1 0 ] [ sec t ] . (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado. C.1. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 3 -18 ] X + [ 0 ] e^{-3t}. [ 2 -9 ] [ t ] (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado. C.2. Considere o sistema de equações lineares de primeira ordem não homogeneo: X' = [ 2 -3 ] X + [ 0 ] [ 1 -2 ] [ 2sen t ] . (a) (1,5 pontos) Usando o método de autovalores e autovetores, determine a solução geral do sistema homogêneo associado. (b) (1,5 pontos) Usando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular do sistema dado.