Elasticidade Tridimensional e Problemas Axissimétricos

VII3 ELASTICIDADE TRIDIMENSIONAL Consideramse w v u U z y x p p p p z y x b b b b zx yz xy z y x ε zx yz xy z y x σ σ σ σ σ σ σ Equações de equilíbrio 0 x xz xy x b z y x 0 y yz y xy b z y x 0 z z yz xz b z y x Relações entre deformações específicas e deslocamentos dx εx du dx dv dy du xy dy εy dv dy dw dz dv yz dz εz dw dz du dx dw zx Domínio Contorno u Relação entre tensões e deformações Iε C ε σ onde C matriz de constantes elásticas I deformações específicas iniciais Para material isótropo 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 E C O procedimento é análogo ao caso bidimensional Funções de aproximação para os deslocamentos em cada elemento e k n k e hku u e 1 e k n k e hkv v e 1 e k n k e hk w w e 1 Construção de funções de interpolação para elementos tridimensionais de faces triangulares a partir das funções de interpolação para elementos tridimensionais de oito nós com faces quadrilaterais Assumese o mesmo número de nó global consequentemente as mesmas coordenadas para dois ou mais nós do elemento Ex O procedimento é análogo ao caso bidimensional VII4 PROBLEMAS AXISSIMÉTRICOS No caso de sólidos de revolução é conveniente escrever as equações da elasticidade baseadas em um sistema de coordenadas cilíndricas constituído de um ângulo polar e das coordenadas r e z Deslocamentos u u r z v v r z w w r z Relações entre deformações específicas e deslocamentos r u r r v r v u r r 1 v r r u 1 r w z u rz z w z w r z v z 1 No caso de sólidos de revolução quando além da simetria na geometria existe também simetria no carregamento aplicado e nas condições de contorno as expressões ficam como se segue Deslocamentos u u r z 0 v r z v w w r z Relações entre deformações específicas e deslocamentos r u r z w z r u r w z u rz 0 z r Logo neste caso consideramse w u U z r p p p z r b b b rz z r ε rz z r σ Relações constitutivas σ Cε Para material isótropo 1 0 1 1 0 1 2 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 E C São usados elementos em forma de toroide e as interseções desse elemento com planos que passam pelo eixo z têm forma de figura plana Como cada seção que contém o eixo z se deforma igualmente podese analizar apenas uma seção procedendo de forma análoga ao EPT e ao EPD fazendo r x e z y Para cargas não simétricas podese aplicar essa formulação mas as cargas os deslocamentos e as deformações específicas são desenvolvidas em série de Fourier Fazse então uma análise para cada harmônica da série e somamse os resultados dessas análises a fim de se obterem os resultados finais Exemplo Calcular as forças nodais do elemento axissimétrico abaixo quando submetido a uma força centrífuga d T B H b P 0 2R b b y x b densidade velocidade angular rads R r R R R r R r R R 2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 0 s s S s S S 0 2 2 0 1 0 1 2 R r R R R b 4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h H ih funções de interpolação bidimensionais 1 4 1 1 1 s r h 1 4 1 1 2 s r h 1 4 1 1 3 s r h 1 4 1 1 4 s r h 2 1 0 0 2 0 1 R R s S s R r S r R J R dr ds d det J Considerando um ângulo de um radiano temse R r drds R R R R R Rdrds d 2 2 4 det 0 1 0 1 0 1 J Então 1 1 1 1 det Rdrds T B J H b P drds R r R R R s r s r s r s r s r s r s r s r R R B 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 64 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 P Fazendo 0 1 R R A e 0 1 R R B temse 0 2 4 3 6 2 0 2 4 3 6 2 0 2 4 3 6 2 0 2 4 3 6 2 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B AB A B AB A B AB A B AB A B B P