Funções de Interpolação de Lagrange e Elementos Finitos

VI ELEMENTOS FINITOS E FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO VI1 FAMÍLIA DE LAGRANGE Usada para elementos C 0 a Funções de interpolação para elementos unidimensionais Seja ux uma função cujos valores são conhecidos nos n 1 pontos distintos 1 2 1 nx x x sendo 1 1 u u x 2 2 u u x 1 1 n n u u x Existe um único polinômio de ordem n definido em termos da coordenada x passando por esses n 1 pontos ou seja Aα 1 1 1 1 2 3 2 1 k k n k n n n x x x x x P onde 1 2 xn x x A 1 2 1 n α Considerando que nos n 1 pontos de interpolação 1 2 1 nx x x temse u x Pn x podemse substituir as coordenadas de cada um desses pontos na expressão do polinômio obtendose n n x x x u 1 1 2 3 1 2 1 1 1 n n x x x u 2 1 2 3 2 2 2 1 2 n n n n n n x x x u 1 2 3 2 1 n n n n n n x x x u 1 1 2 1 3 1 2 1 1 ou em forma matricial u1 A1α u2 A2α α A 1 1 n un onde n i i i i x x x 2 A 1 Podese escrever ainda u Cα n onde 1 2 1 n n u u u u n n n n n n x x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 C Como 0 det C pois 1 2 1 nx x x são pontos distintos temse uma única solução para C un α 1 Podese então escrever n n u x x P AC u Aα 1 Fazendo x L x x L L n n n n 1 2 1 1 H AC temse k n k n k n x u L P x 1 1 O polinômio fica univocamente determinado pelas funções locais polinômios fundamentais de interpolação de Lagrange 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 n k k k k k k k n k k n k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L as quais possuem valor igual a 1 para x kx 0 para x 1x x 2x 1 kx x 1 kx x 1 nx x ou seja kj j n Lk x sendo kj delta de Kronecker Temse a propriedade 1 1 1 n k n k L Caso Linear dois pontos nodais n 1 2 n 1 São usados polinômios de ordem 1 2 2 1 1 2 1 1 h u h u x x P que ficam univocamente determinados pelas funções locais 1 1 2 1 2 1 L x x x x h 1 2 1 2 1 2 L x x x x h cujas representações gráficas são respectivamente Para uma coordenada adimensional r em vez de x sendo 1 r 1 temse 2 1 2 1 1 r r h 2 1 2 h r Caso quadrático três pontos nodais n 1 3 n 2 São usados polinômios de ordem 2 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 2 h u h u h u x x x P que ficam univocamente determinados pelas funções locais 3 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x h 3 2 1 2 3 1 2 x x x x x x x x h 2 3 1 3 2 1 3 x x x x x x x x h cujas representações gráficas são respectivamente Para uma coordenada adimensional r em vez de x sendo 1 r 1 2 1 2 1 1 1 r r r r h r r r r h 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 3 r r r r h b Funções de interpolação para elementos bidimensionais retangulares Os polinômios de Lagrange bidimensionais são obtidos por meio da composição dos polinômios em cada uma das duas direções Para elemento linear a x a x Q 2 1 1 b y b y R 2 1 1 xy a b a b y b a x a b Q R x y P 4 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 y x L L y u x P x y m J n I J I m n J I 1 1 1 A função local no ponto nodal xI yJ é y x L L x y h h m J n I IJ i onde n no de divisões na direção x m no de divisões na direção y n1 no de pontos na direção x m1 no de pontos na direção y 1 4 1 i i h Na direção x a x a a a a x L x 2 1 1 a a x a a a x x L 2 1 2 Na direção y b y b b b b y L y 2 1 1 b b y b b b y y L 2 1 2 Então ab y x b a L x L y h h 4 1 1 1 1 11 1 ab y x b a x L y L h h 4 1 1 1 2 21 2 ab y x b a y x L L h h 4 1 2 1 2 22 3 ab y x b a y L x L h h 4 1 2 1 1 12 4 Logo 4 4 3 3 2 2 1 1 h u h u h u h u P x y u Para as coordenadas normalizadas r e s 1 r 1 e 1 s 1 a r x b s y s r h 1 4 1 1 1 s r h 1 4 1 1 2 s r h 1 4 1 1 3 s r h 1 4 1 1 4 Têmse também elementos de ordem superior Termos gerados por uma expansão de Lagrange de ordem n x m