Método de Ritz ou de Rayleigh Ritz: Soluções Aproximadas e Condições de Convergência

II MÉTODOS NUMÉRICOS APROXIMADOS II1 MÉTODOS VARIACIONAIS II11 MÉTODO DE RITZ OU DE RAYLEIGH RITZ Características Permite a obtenção de uma solução aproximada para problemas de valor de contorno PVC e para problemas de valor inicial PVI escritos em termos de equações integrais em que a solução é obtida a partir da minimização do funcional envolvido Considera as funções envolvidas escritas em termos de funções de interpolação e de parâmetros incógnitos que não costumam ter significado físico Montase um sistema de equações algébricas para a obtenção dos valores das incógnitas Os valores das funções envolvidas são calculados em pontos do domínio a partir dos valores obtidos para os parâmetros ajustáveis Para melhorar a solução utilizase um número maior de termos na solução aproximada Possui limitações quando as funções envolvidas são de ordem mais elevada Formulação para o método de Ritz Seja um funcional u e seja uma solução aproximada n i i i u 1 sendo i parâmetros constantes incógnitos i funções de interpolação conhecidas as quais devem ser linearmente independentes e satisfazer individualmente de forma exata as condições de contorno essenciais Substituindo a solução aproximada no funcional obtémse o funcional aproximado u Mas como i representa funções conhecidas u e suas derivadas dependem apenas de i Logo i Extremizando em relação aos parâmetros i 0 0 2 2 1 1 n n 0 1 n i i i Como as variações i são arbitrárias devese ter 0 i para i 1 2 n que representa um sistema de n equações algébricas e n incógnitas cuja resolução fornece os valores de i Condições de Convergência 1 As funções aproximadas devem ser funções admissíveis para o funcional isto é devem ser contínuas bem como suas derivadas até uma ordem n1 sendo n a ordem da derivada de maior ordem que aparece no funcional devem satisfazer exatamente as condições de contorno essenciais do problema 2 A sequência de funções deve ser completa ou seja no limite quando n tende para infinito o erro médio quadrático deve ser nulo 0 2 d u u onde u u erro da solução Aplicação Determinar uma solução aproximada para o problema variacional representado pelo funcional e pelas condições de contorno seguintes utilizando o método de Ritz xudx ux u 1 0 2 2 2 u0 u1 0 Solução Considerando o conjunto de funções de interpolação i x xi 1 temse uma solução aproximada escrita como n x xn x x x x u 1 1 1 2 2 1 ou n i i ix x u 1 1 que satisfaz as condições de contorno ou seja 0 1 0 u u Admitindo n 1 temse 1 2 1 1 x x x x u 2 1 1 x ux Substituindo em e integrando obtémse dx x x x x x x 1 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 dx x x x x x x x 1 0 1 3 2 4 3 2 2 2 1 2 2 4 4 1 1 0 4 3 1 1 0 5 4 3 2 2 1 4 3 2 5 2 2 x x x x x x x 1 2 1 6 1 10 3 Extremizando em relação a 1 0 0 1 1 Como 1 é arbitrário devese ter 0 1 0 6 1 10 3 2 1 1 Resolvendo para 1 obtémse 1 0278 Logo a solução aproximada para u tornase x x u x u 0 278 1 Admitindo n 2 temse u x x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 x x x ux Substituindo em e integrando obtémse em função de 1 e 2 Em seguida extremizando em relação a 1 e 2 0 0 2 2 1 1 Como 1 e 2 são arbitrários devese ter 0 1 0 2 Resolvendo este sistema de equações são obtidos 1 01924 2 01707 Conseqüentemente a solução aproximada para u torna se 2 01707 1 01924 1 x x x x u x u Obs Solução exata do problema Equação de EulerLagrange 0 ux I dx d u I sendo xu u u I x 2 2 2 x u u I 2 2 x x u u I 2 xx x u u I dx d 2 Logo substituindo fica 0 2 2 2 uxx x u 0 x u uxx Resolvendo analiticamente esta equação diferencial com as condições de contorno dadas obtémse a função u que extremiza o funcional acima na forma x x u sin1 sin II2 MÉTODOS DE RESÍDUOS PONDERADOS Características São métodos que permitem a obtenção de uma solução aproximada para problemas de valor de contorno PVC e para problemas de valor inicial PVI escritos em termos de equações diferenciais Consideram as funções envolvidas escritas em termos de funções de interpolação e de parâmetros que não costumam ter significado físico Montase um sistema de equações algébricas para a obtenção dos valores das incógnitas Os valores das funções envolvidas são calculados em pontos do domínio a partir dos valores obtidos para os parâmetros ajustáveis Para melhorar a solução utilizase um número maior de termos na solução aproximada Possuem limitações quando as funções envolvidas são de ordem mais elevada Formulação Para os Métodos de Resíduos Ponderados Seja uma equação diferencial u p ou u p 0 válida no domínio do problema sendo operador diferencial p função conhecida Seja também uma solução aproximada n i i i u 1 que satisfaz todas as condições de contorno do problema sendo i parâmetros constantes incógnitas i funções de interpolação conhecidas as quais devem ser linearmente independentes suficientemente regulares para permitir as operações de integração e satisfazer as condições de contorno essenciais e naturais Substituindose a solução aproximada na equação diferencial temse um resíduo ou erro em cada ponto u p p n i i i 1 Para a solução exata 0 Para a solução aproximada em geral 0 Porém este erro deve ser pequeno em todos os pontos do domínio Considerandose uma solução aproximada do tipo acima estes métodos consistem em se determinarem os valores de i de modo que uma média ponderada do erro se anule Considerase assim um conjunto de funções de peso ou de ponderação i e determinamse os i a partir das condições de ortogonalidade do resíduo ao conjunto e funções de peso i d 0 com i 1 2 n Estas equações formam um sistema com n equações e n incógnitas cuja resolução fornece os valores de i Os vários métodos de resíduos ponderados diferem com relação às funções de peso consideradas II21 MÉTODO DE GALERKIN Considerase na equação do erro i i ou seja 0 i d com i 1 2 n Obs Com este método operadores lineares simétricos e positivos definidos geram sistemas de equações lineares com matriz de coeficientes simétrica e positiva definida II22 MÉTODO DA COLOCAÇÃO Consiste em se anular o resíduo em n pontos distintos xi de fazendo i i onde i função generalizada delta de Dirac ou função impulso com singularidade no ponto xi e que possui a seguinte propriedade ix i f d f sendo f f x Então neste caso 0 i d com i 1 2 n sendo x Considerando a propriedade acima para i temse 0 ix com i 1 2 n 0 ix p u com i 1 2 n Obs Para as mesmas funções de aproximação os resultados variam quando se altera a localização dos pontos de colocação II23 MÉTODO DE SUBREGIÕES Consiste em dividir o domínio de integração do problema em n subregiões e anular a integral do resíduo sobre cada subregião 0 d i com i 1 2 n sendo i domínio da subregião i Neste caso temse i 1 em cada subregião i Aplicação Resolver pelos métodos de Galerkin Colocação e Sub Regiões a equação diferencial com as condições de contorno abaixo 0 x u uxx u0 u1 0 Solução Operador diferencial d dx 2 2 1 x p A equação diferencial pode ser escrita como p A u d dx u x 2 2 1 Considerando i i 1 xx temse uma solução aproximada escrita como n i i ix x u 1 1 a Pelo Método de Galerkin Admitindo n 1 temse 1 2 1 1 x x x x u 2 1 1 x ux uxx 21 u p dx 1 0 1 0 onde u u A u xx Substituindo as funções e integrando 0 2 1 0 2 1 2 1 dx x x x x x 0 2 1 3 1 2 1 0 4 1 3 1 2 1 1 dx x x x x 0 5 4 2 1 3 3 1 2 1 0 5 1 4 1 3 1 2 1 x x x x 0 12 1 10 3 1 Resolvendo para 1 obtémse 1 0278 Logo a solução aproximada para u tornase x x u 0 278 1 Admitindo n 2 temse u x x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 x x x ux 2 1 6 2 2 x uxx u p dx 1 0 1 0 u p dx 2 0 1 0 Substituindo as funções 0 6 2 2 2 1 0 1 3 2 1 2 2 1 dx x x x x x x x x 0 6 2 2 3 2 1 0 2 3 2 1 2 2 1 dx x x x x x x x x Integrando obtêmse 0 0 08333333 015 30 2 1 0 0 05 01238096 015 2 1 Resolvendo o sistema para 1 e 2 são obtidos 1 01924 2 01707 Logo a solução aproximada para u tornase u x x x x 01924 1 01707 1 2 Obs Os resultados com este método são os mesmos obtidos com o Método de Ritz b Pelo Método de Colocação Admitindo n 1 temse 1 2 1 1 x x x x u 2 1 1 x ux uxx 21 Anulando o erro no ponto 50 x1 0 50 50 p u 0 2 50 1 2 1 50 x x x 0 50 0 25 50 2 1 1 02857 Logo a solução aproximada para u tornase x x u 0 2857 1 Admitindo n 2 temse u x x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 x x x ux 2 1 6 2 2 x uxx Anulando o erro nos pontos x1 13 e x2 23 0 6 2 2 13 2 3 2 1 2 2 1 13 x x x x x x 0 6 2 2 23 2 3 2 1 2 2 1 23 x x x x x x Então 0 3 1 27 2 9 16 2 1 0 3 2 27 50 9 16 2 1 Resolvendo o sistema 1 01947 2 01731 Logo a solução aproximada para u tornase 2 017311 01947 1 x x x x u c Pelo Método de SubRegiões Admitindo n 1 1 subregião temse 1 2 1 1 x x x x u 2 1 1 x ux uxx 21 0 1 0 dx 0 1 0 p dx u 0 2 1 0 1 2 1 x dx x x 0 2 3 2 2 1 0 2 1 3 2 x x x x 0 2 1 6 11 1 1 02727 Logo a solução aproximada para u tornase x x u 0 2727 1 Admitindo n 2 2 subregiões temse u x x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 x x x ux 2 1 6 2 2 x uxx 0 6 2 2 50 0 2 3 2 1 2 2 1 x dx x x x x x 0 6 2 2 1 50 2 3 2 1 2 2 1 x dx x x x x x Integrando obtêmse 0 0125 0 2760416 0 9166666 2 1 0 0 375 11927083 0 9166666 2 1 Resolvendo o sistema para 1 e 2 são obtidos 1 01876 2 01702 Logo a solução aproximada para u tornase 2 01702 1 01876 1 x x x x u II3 MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em minimizar o funcional representado pela integral d F 2 em relação aos i Como p p u n i i i 1 temse então i F F Extremizando F F 0 0 2 2 1 1 n n F F F 0 1 n i i i F Como as variações i são arbitrárias devese ter 0 i F para i 1 2 n Logo 0 2 d i para i 1 2 n 0 2 d i para i 1 2 n 0 2 d i para i 1 2 n 0 2 d A i para i 1 2 n 0 d A i para i 1 2 n Esta expressão representa a ortogonalidade do resíduo ao conjunto de funções i A Portanto este método também pode ser considerado um método de resíduos ponderados As n equações algébricas acima formam um sistema de equações lineares que uma vez resolvido fornece os valores dos parâmetros i Neste caso o sistema de equações sempre terá uma matriz de coeficientes simétrica Aplicação Resolver pelo Método de Mínimos Quadrados a equação diferencial com as condições de contorno abaixo 0 x u uxx u0 u1 0 Solução Admitindo n 1 temse 1 2 1 1 x x x x u 2 1 1 x ux uxx 21 e também 1 2 1 x x x x 2 1 1 x x 2 1 xx 0 1 0 1 A dx 0 1 0 1 dx p u 0 2 2 2 1 0 1 2 1 dx x x x x x 0 2 2 1 0 2 1 2 2 x dx x x x x 0 2 4 4 5 2 1 0 2 3 1 2 3 4 x dx x x x x x x 0 12 11 30 101 1 1 02723 Logo a solução aproximada para u tornase x x u 0 2723 1 Admitindo n 2 temse u x x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 x x x ux 2 1 6 2 2 x uxx e também 1 2 1 x x x x 2 1 1 x x 2 1 xx 1 3 2 2 2 x x x x 3 2 2 2 x x x x xx 6 2 2 0 1 0 1 dx p u 0 1 0 2 dx p u 0 2 6 2 2 2 1 0 2 3 2 1 2 2 1 dx x x x x x x x x 0 6 2 6 2 2 3 2 1 0 2 3 2 1 2 2 1 x dx x x x x x x x x Integrando obtêmse 0 0 9166667 1683333 3 366666 2 1 0 0 95 3 7428571 1683333 2 1 Resolvendo o sistema para 1 e 2 são obtidos 1 01875 2 01695 Logo a solução aproximada para u tornase 2 01695 1 01875 1 x x x x u II4 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS MDF Neste método as derivadas que aparecem na equação diferencial do problema a ser resolvido são escritas de forma aproximada por meio de fórmulas de diferenças Em seguida a equação diferencial aproximada obtida é calculada em uma série de pontos selecionados situados de um modo geral no domínio do problema podendo também estar situados ligeiramente fora do mesmo Assim obtémse um sistema de equações algébricas que quando resolvido permite o cálculo dos valores das incógnitas nos pontos considerados Características A solução obtida não é contínua sendo os valores das incógnitas calculados somente para alguns pontos de interesse no domínio As incógnitas costumam ter significado físico Para melhorar a solução utilizase um número maior de pontos onde as derivadas aproximadas são calculadas Possui limitações quando as derivadas envolvidas são de ordem mais elevada Derivadas aproximadas Por definição temse a derivada de uma função fx df dx x f x x f x x lim 0 Aproximadamente podese escrever essa derivada como df dx f x h f x h h x 2 2 onde h não é um incremento infinitesimal Para as derivadas de ordem superior podem ser obtidas expressões aproximadas aplicandose a fórmula acima reiteradamente Para a derivada segunda temse h h h h f x h h x f h h h f x h h x f dx f d x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h f x x f h f x h x f dx f d x 2 2 2 2 2 2 h h f x f x h x f dx f d x Observase que o método pode ser estendido para problemas bi e tridimensionais Aplicação Seja a equação diferencial seguinte definida no intervalo 0 x 1 e sujeita às condições de contorno dadas d f dx f x 2 2 4 4 f0 f1 0 A equação diferencial acima pode ser escrita de forma aproximada como f x h f x f x h h f x x 2 4 4 2 Considerando a derivada aproximada calculada no ponto x 12 temse x0 x12 x1 4 12 1 2 4 2 1 0 1 2 2 1 2 f f f f 2 1 2 4 4 1 0 1 2 2 0 f f f 12 1 2 3 f 016666 16 1 2 f Considerando as derivadas aproximadas calculadas nos pontos x 13 e x 23 temse x0 x13 x23 x1 f f f f 2 3 2 1 3 0 1 3 4 1 3 4 1 3 2 f f f f 1 2 2 3 1 3 1 3 4 2 3 4 2 3 2 Logo 43 1 3 4 9 1 0 1 3 2 2 3 f f f 83 4 2 3 9 1 1 3 2 2 3 0 f f f Então 4 27 2 3 1 3 66 f f 8 66 2 3 1 3 27 f f Resolvendo este sistema de equações são obtidos os valores f13 013234 f23 017535 Obs Solução exata para este problema x e e e e x f x x 2 2 2 2 Os valores obtidos nesses mesmos pontos pela solução exata são f13 01355 f12 01759 f23 01800