Método dos Elementos Finitos e Princípio dos Trabalhos Virtuais

IV MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS MEF O MEF permite aplicar as aproximações correspondentes aos métodos anteriores em partes do domínio do problema chamados elementos finitos tendose então soluções aproximadas locais IV1 CONSIDERANDO PELO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Seja um corpo tridimensional genérico em equilibrio Em relação aos eixos x1 x2 e x3 têmse Forças de domínio b b1 b2 b3 T Forças de contorno p p1 p2 p3 T Força concentrada num ponto i T 3 2 1 i i i i F F F F Deslocamentos U u1 u2 u3 T Deformações específicas 11 22 33 12 23 31 T Obs j i i j ij u u 2 1 Para i j j i i j ij u u 2 ij ij ij ij 2 Tensões normais e cisalhantes 11 22 33 12 23 31 T Domínio Contorno u Relação entre tensões e deformações Iε C ε σ onde C matriz de constantes elásticas I deformações específicas iniciais Em forma vetorial o Princípio dos Trabalhos Virtuais pode ser escrito como cn i i i T T T T d d d 1 U F U p U b ε σ 1 onde nc número de pontos onde há força concentrada aplicada δ δ11 δ22 δ33 δ12 δ23 δ31 T δU δu1 δu2 δu3 T Considerase então que o corpo é discretizado em elementos finitos sendo os elementos interconectados nos pontos nodais situados nos contornos dos elementos Assumese que os deslocamentos em um sistema local de coordenadas para um ponto qualquer do interior de um elemento são escritos em função dos deslocamentos dos pontos nodais como n e e U H U 2 onde e referese ao elemento e e H matriz de interpolação de deslocamentos para o elemento e n U vetor que contém as componentes de deslocamentos de todos os pontos nodais incluindo os pontos nodais situados nos apoios referidos ao sistema global de coordenadas n número de pontos nodais n n n n T u u u u u u u u u 3 2 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 U Obs Embora todos os deslocamentos dos pontos nodais estejam listados em n U apenas os deslocamentos nos pontos nodais de um elemento afetam as distribuições de deslocamentos e deformações no interior do elemento As deformações num elemento serão n e e ε B U 3 sendo e B matriz deformação deslocamento As linhas de e B são obtidas diferenciando apropriadamente e combinando linhas da matriz e H e e H B Operadores diferenciais As tensões nos elementos são dadas por I e e e e σ C ε σ 4 sendo e C matriz de constantes elásticas do elemento e σIe tensões iniciais no elemento e A eq 1 pode ser escrita em forma discretizada como c e e e n i i i T e T e m e e T e m e e T e m e d d d 1 1 1 1 F U p U b U σ ε 5 onde m número de elementos e domínio do elemento e e contorno do elemento e Obs Podem ser usados em geral sistemas e coordenadas diferentes em cada elemento Substituindose as eqs 2 3 e 4 na eq 5 F U p H U b H U σ C B U B U n T e s e T T n m e e e T T n m e I e n e e e T T n m e e e e d d d 1 1 1 onde Hse matriz de interpolação de deslocamentos de contorno obtida da matriz de interpolação e H em 2 e substituindo as coordenadas dos pontos do contorno dos elementos F vetor que contém as cargas externamente aplicadas aos nós da malha de elementos a késima componente em F é a força nodal concentrada que corresponde à k ésima componente de deslocamento em n U Assim F σ B p H b H U U C B B U e e e e d d d d I e T e m e e e T s m e e T e m e T n n e e T e m e T n 1 1 1 1 6 Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais são impostos deslocamentos virtuais unitários em cada componente de deslocamento independentemente tendose então I U nT sendo I matriz identidade Escrevendo agora U U n a eq de equilíbrio 6 pode ser escrita como P KU onde K matriz de rigidez da malha de elementos e m e e e e T e m e K d 1 1 C B B K P vetor de cargas C I S B P P P P P sendo B P vetor que contém as forças de domínio dos elementos m e e B e T e m e B e d 1 1 P b H P PS vetor que contém as forças de contorno dos elementos m e e S e e T s m e S e d 1 1 P p H P IP vetor que contém as tensões iniciais nos elementos m e e I I e T e m e I e d 1 1 P σ B P C P vetor que contém as cargas concentradas P F C Obs Tratase da utilização do método da rigidez direta para obtenção das matrizes do modelo a partir das matrizes dos elementos Na prática as matrizes de rigidez dos elementos são calculadas em forma compacta tendo a ordem dependendo do número de graus de liberdade do elemento Interpretação física As propriedades da estrutura rigidez e as cargas internas e externas são consideradas concentradas nos pontos nodais da malha de elementos IV2 CONSIDERANDO PELO MÉTODO DE RAYLEIGHRITZ Seja u um funcional para um problema associado a uma única incógnita u e a um domínio o qual é dividido em m elementos finitos O funcional aproximado será m e e u u 1 1 Admitese a seguinte solução aproximada para a função incógnita u em cada elemento ep k e k e k u 1 2 sendo k e parâmetros constantes incógnitas k e funções de interpolação conhecidas pe número de parâmetros constantes para o elemento e Em forma matricial e escrevendo por simplicidade u em vez de u temse e e u A α 3 onde e p e e e e 2 A 1 e p e e e e 2 1 α Introduzindo a eq 3 na eq1 obtémse m e e k e 1 com k1 2 pe onde agora as únicas incógnitas são os parâmetros e k Aplicando a condição de ponto estacionário 0 ou 0 1 m e e k e ou 0 1 1 m e e k p e k e e Como as variações e k são arbitrárias a eq acima será satisfeita se 0 e k e com e 1 2 m k1 2 pe Os parâmetros incógnitos e k podem ser determinados resolvendose este sistema Substituindo os valores obtidos na eq 2 podem ser calculados os valores de u em qualquer ponto do elemento Este processo de solução pode ser denominado método de Ritz localizado Porém no MEF os parâmetros e k são eliminados e as incógnitas passam a ser os valores de u nos pontos nodais da malha Isto pode ser feito escrevendose a expressão de u dada pela eq 3 para cada ponto nodal i do elemento ou seja e e i iue A α para i 1 2 ne sendo ne número de pontos nodais do elemento e e iu valor de u no ponto nodal i do elemento e e i A matriz de funções de interpolação para o elemento e calculada com as coordenadas do nó i Agrupando essas expressões temse e e e U C α 4 onde e n e e e e u u u 2 1 U vetor de incógnitas nodais do elemento e e n e e e e A A A C 2 1 Para ne pe a matriz e C será quadrada e regular e poderá ser invertida Assim multiplicando a eq 4 por Ce 1 obtémse e e e U C α 1 Substituindo esta expressão na eq 3 temse e e e u U C A 1 Chamando 1 e e e A C H Podese escrever e e u H U Esta expressão permite calcular u em qualquer ponto de um elemento a partir dos valores de u nos pontos nodais desse elemento Para evitar a inversão da matriz podese obter a matriz e H diretamente Para isto considerase que e k n k e k e e u u e 1 H U onde e k funções de interpolação referidas às incógnitas nodais e k u Substituindo a expressão acima no funcional resulta m e e k e u u 1 onde agora será função apenas das incógnitas nodais e k u Extremizando 0 ou 0 1 m e e k e u ou 0 1 1 m e e k p e k e u u e Como as variações e uk são arbitrárias devese ter e k eu 0 com e 1 2 m k1 2 ne Os valores de e k u podem ser determinados resolvendose este sistema de equações Obs Este procedimento pode ser estendido ao caso de mais de uma incógnita nodal IV3 CONSIDERANDO PELO MÉTODO DE GALERKIN A equação básica do método de Galerkin é 0 ud ud p u a qual corresponde à minimização em um sentido médio do erro sobre todo o domínio de integração No MEF este domínio será dividido em m elementos cada um com um domínio de integração e e a integral anterior para um elemento genérico e fica 0 e ud Esta equação permite calcular as matrizes características dos elementos em forma análoga àquela correspondente ao enfoque pelo método de Ritz IV4 TIPOS DE ELEMENTOS FINITOS Os elementos finitos caracterizamse por forma geométrica funções de aproximação utilizadas para as incógnitas e geralmente também para geometria tipo de problema Classificação Elementos isoparamétricos Possuem as mesmas funções para aproximar a geometria e as incógnitas do problema Elementos subparamétricos Possuem funções de ordem mais baixa para aproximar a geometria do que para aproximar as incógnitas Elementos superparamétricos Possuem funções de ordem mais alta para aproximar a geometria do que para aproximar as incógnitas Os pontos nodais variam em número e posição de acordo com o tipo de elemento e podem ser externos ou internos Exs de elementos unidimensionais Retos geometria linear Isoparamétricos Exs de elementos bidimensionais Com geometria linear Isoparamétricos Exs de elementos tridimensionais Com geometria linear Isoparamétricos IV5 ETAPAS PARA A SOLUÇÃO PELO MEF 1 Definição da malha de elementos finitos 2 Cálculo das matrizes características dos elementos 3 Formação do sistema total de equações 4 Introdução das condições de contorno 5 Solução do sistema de equações 6 Cálculo de resultados secundários