Modelo de Deslocamentos com Elementos Isoparamétricos em Treliças

VII APLICAÇÕES A PROBLEMAS ESPECÍFICOS USANDO O MODELO DESLOCAMENTOS COM ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS VII1 TRELIÇAS U u u dx du dx du ε p p p b b b x x σ C E E Ex com elemento linear Determinação da matriz de rigidez a Supondo que o eixo da barra se situa no eixo global X Relação entre as coordenadas cartesianas XY e a coordenada natural r 1 r 1 2 1 2 1 1 2 1 1 r X r X X 2 1 e i hi Xi X HX 1 onde 2 1 1 1 r h 2 1 1 2 r h Deslocamentos globais no elemento 2 1 2 1 1 2 1 1 r u r u u 2 1 e i hi ui u HU 2 Deformações no elemento dX dr dr du dX ε du Da eq 2 temse 2 1 2 u u dr du Usando a eq 1 obtémse 2 2 1 2 L X X dr dX 3 e consequentemente L dr dX dX dr 1 2 Logo L u u 2 1 e consequentemente a matriz de transformação deformação deslocamento é 1 1 1 B L Matriz de rigidez d T B CB K sendo dr A A dX d det J A área da seção transversal da barra Então dr L AE J K 1 det 1 1 1 1 2 1 4 Da eq 3 temse 2 2 L L J 2 det J L Substituindo em 4 e integrando obtémse 1 1 1 1 L AE K b Supondo que o eixo da barra se situa no plano XY U HUe 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 v u v u r r r r v u 2 2 1 1 2 2 1 1 cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos e v u v u v u v u RU Então U H U e sendo cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 r r r r H H HR R matriz de rotação Obs Apenas a 1ª linha de H é necessária para a construção da matriz B c Supondo que o eixo da barra se situa no espaço XYZ O procedimento é análogo ao caso anterior VII2 ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL VII21 ESTADO PLANO DE TENSÃO EPT Condições i as faces perpendiculares ao eixo z não possuem cargas atuando ii as forças de superfície atuantes nas faces paralelas a z não dependem da coordenada z e consequentemente pz 0 iii as forças de volume não dependem da coordenada z e consequentemente bz 0 iv a espessura h é muito menor que as dimensões nas direções x e y Neste caso consideramse v u U y x p p p y x b b b xy y x ε xy y x σ Relações entre deformações específicas e deslocamentos dx εx du dy εy dv dx dv dy du xy Relações constitutivas para materiais isótropos 1 2 y x x E 1 2 y x y E xy xy E 2 1 ou em notação matricial σ Cε onde 2 1 0 0 0 1 0 1 1 2 E C VII22 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO EPD Cada seção exceto possivelmente as seções extremas possui mesmas cargas geometria e condições de contorno Considerandose uma fatia de espessura unitária devem ser satisfeitas as mesmas condições i ii e iii do EPT Consideramse os mesmos U p b ε e σ do EPT Relações entre deformações específicas e deslocamentos dx εx du dy εy dv dx dv dy du xy Relações constitutivas para materiais isótropos 2 1 1 1 y x x E 2 1 1 1 x y y E xy xy E 2 1 ou em notação matricial σ Cε onde 1 2 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 1 1 E C Obs Substituindose E e respectivamente por 2 1 E E e 1 na matriz Cdo EPT obtémse a matriz Cdo EPD Portanto podese englobar estes dois casos em uma formulação única com essa consideração Ex com elemento linear de 4 nós Determinação da matriz de rigidez 4 1 i hi xi x 4 1 i hi yi y 4 1 i hi ui u 4 1 i hi vi v onde 1 4 1 1 1 s r h 1 4 1 1 2 s r h 1 4 1 1 3 s r h 1 4 1 1 4 s r h x v y u y v x u ε Para o cálculo das derivadas de deslocamentos é necessário determinar y x s y s x r y r x s r sendo J s y s x r y r x e também 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 s x s x s x s x r x h r x i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 r x r x r x r x s x h s x i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 s y s y s y s y r y h r y i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 r y r y r y r y s y h s y i i i Assim calculando em r ir e s js temse ij ij ij s r y x J 1 Têmse também 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 s u s u s u s u r u h r u i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 r u r u r u r u s u h s u i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 s v s v s v s v r v h r v i i i 4 3 2 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 r v r v r v r v s v h s v i i i Logo 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 1 e i i i i j j j j ij ij ij ij r r r r s s s s s u r u y u x u U J J 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 4 1 e i i i i j j j j ij ij ij ij r r r r s s s s s v r v y v x v U J J onde 4 4 3 3 2 2 1 1 v u v u v u v u U e Assim podese obter e ij ij ε B U Se r x e s y ou seja considerandose um elemento quadrado de lados iguais a 2 o operador jacobiano é a matriz identidade Logo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 4 1 j i j i j i j i i i i i j j j j ij s r s r s r s r r r r r s s s s B Então a matriz de rigidez será J I j i ij ij ij T ij ij T T T h drds h dxdy h d 1 1 1 1 1 det det det J CB B J CB B J B CB B CB K sendo ir e js coordenadas dos pontos de integração Determinação do vetor de cargas Para o caso de forças de superfície considerando que existe uma carga no lado 12 Como s 1 no lado 12 obtémse 2 1 2 1 1 2 1 1 r u r u us 2 1 2 1 1 2 1 1 r v r v vs e também 2 1 2 1 1 2 1 1 r x r x x 2 1 2 1 1 2 1 1 r y r y y Vetor de cargas d T s S p H P com 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 r r r r Hs T y x p p p dr h h dl d det Js 2 2 det r y r x Js Considerando que s 1 no lado 12 temse 2 2 1 x x r x 2 2 1 y y r y Então I i s i i i s T i i s T s T s T s S h dr h dl h d 1 1 1 det det J p H J p H p H p H P Para o caso de existirem forças de volume J I j i ij ij ij T ij ij T T T B h dr ds h dx dy h d 1 1 1 1 1 det det J b H J b H b H H b P Para o caso de existirem tensões iniciais J I j i ij ij I ij T ij ij I T I T I T I h dr ds h dx dy h d 1 1 1 1 1 det det J σ B J σ B σ B B σ P Construção de funções de interpolação para elementos triangulares a partir das funções de interpolação para elementos planos de quatro nós Assumese o mesmo número de nó global consequentemente as mesmas coordenadas para dois nós de canto do elemento Ex 4 1 i hi xi x 4 1 i hi yi y Fazendo 2 1 x x e 2 1 y y obtêmse 4 4 3 3 2 2 1 2 h x h x h x h x x 4 4 3 3 2 2 2 1 h y h y h y h y y ou ainda 4 4 3 3 2 2 h x h x h x x 4 4 3 3 2 2 h y h y h y y sendo 2 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 2 1 2 s s r s r h h h Temse também 4 4 3 3 2 2 h u h u h u u 4 4 3 3 2 2 h v h v h v v