Análise Matemática do Movimento Harmônico Simples

1 Observar fenômenos físicos 2 Construir um modelo matemático que representa o fenômeno 3 Resolver o problema matemático EDO 4 Solução matemática 5 Validar a consistência do modelo condições iniciais 2ª lei de Newton P de Conservação da energia Observar um fenômeno físico 3 Resolver o problema matemático EDO 4 Solução matemática 2ª lei de Newton 1 Observar fenômenos físicos 5 Validar a consistência do modelo condições iniciais 𝑥 𝑡 𝑥𝑚 cos 𝜔 𝑡 2 modelo matemático P de Conservação da energia 5 Verificando a coerência da solução matemática Funções senoidais no gráfico trigonométrico 𝒚 𝒎 𝒚 𝒎 𝒚 𝒎 5 Verificando a coerência do modelo O movimeno harmônico simples MHS é a projeção do movimento circular uniforme Em outras plavras o MHS é o movimento circular uniforme visto de perfil 5 Verificando a coerência do modelo Assim A projeção do vetor posição do ponto P no eixo x fornece a localização xt de P 5 Verificando a coerência do modelo 5 Verificando a coerência do modelo Lembrando que a fase é uma forma de definir a origem em um ponto diferente de 0 em t0 servindo para deslocar a função senoidal Observação 𝑥 𝑡 𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 cos𝑎𝑏cos𝑎cos𝑏𝑠𝑒𝑛𝑎𝑠𝑒𝑛𝑏 Ex 1 Determine a fase com as seguintes condições iniciais Resolução Sabese que Aplicando as condições iniciais temos 3 Resolver o problema matemático 4 Solução matemática 1 Observar fenômenos físicos 5 Validar a consistência do modelo 2 modelo matemático P de Conservação da energia 𝑬 𝒎𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕 𝐸𝑚 𝑚 2 𝑥 2 𝑘 2 𝑥 ² Y0 Ex 2 Um fabricante de máquinas agrícolas projetou um amortecedor de massa para reduzir as vibrações em uma colheitadeira O amortecedor é composto por uma massa de 10 kg projetado para oscilar em uma frequência de 1125 Hz Quando a colheitadeira está em operação a massa oscila com uma amplitude de 5 cm a Qual é a energia mecânica total E do sistema massamola b Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio Ex 2a Qual é a energia mecânica total E do sistema massamola Vimos que a Energia mecânica pode ser escrita em termos da amplitude Sabemos também que a frequência angular de um oscilador harmônico simples é Juntando essas informações ficamos com Substituindo as condições do problema Ex 2 b Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio No ponto de equilíbrio logo a energia mecânica é igual a energia potencial elástica e a velocidade nesse ponto é máxima Do problema anterior Ex2 a encontramos que Então Substituindo as condições iniciais do problema temos 𝒗 𝒎 á 𝒙 𝟐 𝑬𝒎 𝒎