Mecânica e Resistência dos Materiais - Unicesumar - Livro Completo

Mecânica e Resistência dos Materiais Me Ronan Yuzo Takeda Violin C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância VIOLIN Ronan Yuzo Takeda Mecânica e Resistência dos Materiais Ronan Yuzo Takeda Violin MaringáPR Unicesumar 2019 Reimpresso em 2022 440 p Graduação Híbridos 1 Mecânica 2 Resistência 3 Materiais 4 EaD I Título ISBN 9788545921141 CDD 22 ed 6201 CIP NBR 12899 AACR2 NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jardim Aclimação CEP 87050900 Maringá Paraná unicesumaredubr 0800 600 6360 Impresso por Coordenador de Conteúdo Fabio Augusto Genti lin e Crislaine Rodrigues Galan Designer Educacional Janaina de Souza Pontes e Yasminn Talyta Tavares Zagonel Revisão Textual Cintia Prezoto Ferreira e Silvia Caroline Gonçalves Editoração André Morais de Freitas Ilustração Natalia de Souza Scalassara Realidade Aumentada Autoria DIREÇÃO UNICESUMAR Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor e PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes e Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Débora Leite Head de Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie Fukushima Gerência de Projetos Especiais Daniel F Hey Gerência de Produção de Conteúdos Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Curadoria Carolina Abdalla Normann de Freitas Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de Almeida Toledo Supervisão de Projetos Especiais Yasminn Talyta Tavares Zagonel Projeto Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães Cripaldi Fotos Shutterstock PALAVRA DO REITOR Em um mundo global e dinâmico nós trabalha mos com princípios éticos e profissionalismo não somente para oferecer uma educação de qualida de mas acima de tudo para gerar uma conversão integral das pessoas ao conhecimento Baseamo nos em 4 pilares intelectual profissional emo cional e espiritual Iniciamos a Unicesumar em 1990 com dois cursos de graduação e 180 alunos Hoje temos mais de 100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil nos quatro campi presenciais Maringá Curitiba Ponta Grossa e Londrina e em mais de 300 polos EAD no país com dezenas de cursos de graduação e pósgraduação Produzimos e revi samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil exemplares por ano Somos reconhecidos pelo MEC como uma instituição de excelência com IGC 4 em 7 anos consecutivos Estamos entre os 10 maiores grupos educacionais do Brasil A rapidez do mundo moderno exige dos educadores soluções inteligentes para as ne cessidades de todos Para continuar relevante a instituição de educação precisa ter pelo menos três virtudes inovação coragem e compromisso com a qualidade Por isso desenvolvemos para os cursos de Engenharia metodologias ativas as quais visam reunir o melhor do ensino presencial e a distância Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Vamos juntos Prezadoa Acadêmicoa bemvindoa à Co munidade do Conhecimento Essa é a característica principal pela qual a Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu nos professores e pela nossa sociedade Porém é importante destacar aqui que não estamos falando mais daquele conhecimento estático repetitivo local e elitizado mas de um conhecimento dinâ mico renovável em minutos atemporal global democratizado transformado pelas tecnologias digitais e virtuais De fato as tecnologias de informação e comu nicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas lugares informações da educação por meio da conectividade via internet do acesso wireless em diferentes lugares e da mobilidade dos celulares As redes sociais os sites blogs e os tablets ace leraram a informação e a produção do conheci mento que não reconhece mais fuso horário e atravessa oceanos em segundos A apropriação dessa nova forma de conhecer transformouse hoje em um dos principais fatores de agregação de valor de superação das desigualdades propagação de trabalho qualificado e de bemestar Logo como agente social convido você a saber cada vez mais a conhecer entender selecionar e usar a tecnologia que temos e que está disponível Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg modificou toda uma cultura e forma de conhecer as tecnologias atuais e suas novas ferramentas equipamentos e aplicações estão mudando a nossa cultura e transformando a todos nós Então prio rizar o conhecimento hoje por meio da Educação a Distância EAD significa possibilitar o contato com ambientes cativantes ricos em informações e interatividade É um processo desafiador que ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores oportunidades Como já disse Sócrates a vida sem desafios não vale a pena ser vivida É isso que a EAD da Unicesumar se propõe a fazer Seja bemvindoa caroa acadêmicoa Você está iniciando um processo de transformação pois quando investimos em nossa formação seja ela pessoal ou profissional nos transformamos e consequentemente transformamos também a so ciedade na qual estamos inseridos De que forma o fazemos Criando oportunidades eou estabe lecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância oa acompa nhará durante todo este processo pois conforme Freire 1996 Os homens se educam juntos na transformação do mundo Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontramse integrados à proposta pedagógica contribuindo no processo educa cional complementando sua formação profis sional desenvolvendo competências e habilida des e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade de maneira a inserilo no mercado de trabalho Ou seja estes materiais têm como principal objetivo provocar uma aproximação entre você e o conteúdo desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional Portanto nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita Ou seja acesse regularmente o Stu deo que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza gem interaja nos fóruns e enquetes assista às aulas ao vivo e participe das discussões Além disso lembrese que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliáloa em seu processo de apren dizagem possibilitandolhe trilhar com tranquili dade e segurança sua trajetória acadêmica APRESENTAÇÃO O livro está dividido em três grandes partes sendo primeira composta das Unidades 1 e 2 as quais correspondem ao embasamento contendo uma revisão de assuntos já estudados em outras disciplinas e em relação às pro priedades de figuras planas Você estudará como determinar o momento estático centroide momento de inércia e raio de giração Na Unidade 2 veremos o conceito de tensão os tipos de tensões tensões normais tensões de cisalhamento e tensões em planos oblíquo ao eixo e suas aplicações que serão extremamente importantes para o desenvolvimento do livro todo A segunda parte do livro é composta das Unidades 3 4 5 6 e 7 em que ocorrerá o aprendizado de diversos componentes A Unidade 3 irá apre sentar o efeito do carregamento axial em relação à tensão e deformação aprenderemos a diferença entre material dúctil e frágil além de compreen der a relação entre a deformação específica axial e a transversal A Unidade 4 comentará sobre a torção como determinála e suas tensões de cisalha mento o ângulo de torção seja para eixos circulares maciços ou vazados para peças com formato prismática e de parede delgada A Unidade 5 tem como objetivo desenvolver as equações base relacionadas à flexão pura em barras prismáticas que serão utilizadas nas unidades a seguir A Unidade 6 baseiase em carregamentos transversais e seus efeitos para determinar as tensões cisalhantes nas seções transversais Na Unidade 7 estudaremos como realizar a análise das tensões e deformações e entender o comportamento dos componentes das tensões e como se transformam quando ocorre a rotação dos eixos de coordenadas A terceira parte do livro é composta da aplicação que corresponde às Uni dades 8 e 9 na qual a Unidade 8 nos conduzirá para quais preocupações devemos ter para dimensionar vigas prismáticas desde os cuidados com a tensão normal e de cisalhamento A Unidade 9 tem como objetivo de terminar a declividade e deformação em vigas prismáticas e também a sua flecha máxima Assim é composta a estrutura do livro com diversos assuntos que compõem o embasamento de um engenheiro CURRÍCULO DOS PROFESSORES Me Ronan Yuzo Takeda Violin Possui mestrado em Engenharia Urbana pela Universidade Estadual de Maringá 2009 e graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual de Maringá 2007 Atualmente é engenheiro civil Estevam e Cia Ltda sócioadministrador R R Comércio e Serviços de Protensão Ltda responsável técnico Hangar Empreendimentos Imobiliários Ltda professor da graduação e pósgraduação do Centro de Ensino Superior de Maringá professor do Cen tro de Ensino Superior de Maringá UniCesumar professor da graduação de engenharia da Faculdade de Tecnologia e Ciências do Norte do Paraná Fatecie e professor da pósgradua ção de engenharia da Faculdade de Engenharia e Inovação Técnico Profissional Feitep Tem experiência na área de Engenharia Civil com ênfase em Processos Construtivos atuando principalmente nos seguintes temas construção civil concreto sustentabilidade redução e planejamento Currículo lattes disponível em httplattescnpqbr3141613962170376 Busque Conhecimento Atenção Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará pontos de atenção de fatos referentes ao conteúdo que está sendo discutido Conceituando Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará explicações de termos técnicos aplicação do conteúdo estudado na prática ou de um conceito relacionado ao assunto Saiba Mais Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará curiosidades ou assuntos que estão ligados ao tema discutido RECURSOS INTERATIVOS Pílula de Aprendizagem Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo esteja conectado e inicie o aplicativo Unicesumar Experience Selecione o ícone QRCode e aproxime seu dispositivo do elemento com o código pois ele trará vídeos que complementam o assunto discutido Realidade Aumentada Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo esteja conectado e inicie o aplicativo Unicesumar Experience Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recursos em Realidade Aumentada Explore as ferramentas do app para saber das possibilidades de interação de cada objeto Propriedades de Figuras Planas 13 Conceito de Tensão 69 Tensão e Deformação Carregamento Axial 113 Torção Flexão Pura 163 211 Carregamento Transversal 249 Análise das Tensões e Deformações Projeto de Vigas 337 Deflexão das Vigas por Integração 389 295 97 Tipo de tensões normal cisalhamento e esmagamento 125 Ensaio de tração Material dúctil 151 373 Coeficiente de Poisson Diagramas de esforço cortante e momento fletor Utilize o aplicativo Unicesumar Experience para visualizar a Realidade Aumentada PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Me Ronan Yuzo Takeda Violin Conhecer e entender o momento estático e o centroide de figuras planas Determinar o momento estático e o centroide de figuras planas com área composta Determinar o momento de inércia e raio de giração de figuras planas Entender o teorema dos eixos paralelos para determinação do momento de inércia Determinar o momento de inércia em figuras compostas planas Momento Estático de uma Área e Centroide de uma Área Determinação do Momento Estático e do Centroide de uma Área Composta Teorema dos Eixos Paralelos Determinação do Momento de Inércia de uma Área Composta Momento de Inércia de uma Área e Raio de Giração Propriedades de Figuras Planas Momento Estático de uma Área e Centroide de uma Área Olá alunoa Neste tópico iremos começar a es tudar um pouco sobre as propriedades de figuras planas para conceituar e determinar o momen to estático e o centroide ou também conhecido como centro geométrico de uma área que apre sentam enorme importância em todo o desenvol vimento dos assuntos que serão abordados nesta disciplina e em seu curso de Engenharia A importância desse conteúdo está vinculada às disciplinas básicas ou disciplinas de formação que são e serão o alicerce para as disciplinas es pecíficas que você verá mais à frente no curso Até hoje temos considerado que a atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido de nominada de força da gravidade é representada por uma única força ou um único vetor aplicado no centro de gravidade do planeta porém a Terra exerce uma força em cada partícula que constitui o corpo Assim a representação seria de várias pequenas forças distribuídas sobre todo o corpo 15 UNIDADE 1 Uma das características que podemos utilizar para substituir as diversas pequenas forças aplicadas no corpo rígido por uma única força é conhecida como força resul tante aplicada no centro de gravidade mas se em vez de um corpo rígido for uma figura plana Para isso iremos aprender um pouco sobre propriedades de figuras planas e como determinálas Tudo se iniciará pela determinação do momento estático ou momento de primeira ordem e também pela determinação do centroide de figuras planas Para determinarmos o centroide de uma figura plana de um formato irregular devemos partir do conceito de utilizar uma figura plana como apresentado na Fi gura 1 e dividirmos em pequenos elementos com áreas infinitesimais dA Centroide é um parâmetro geométrico enquanto centro de gravidade é um parâ metro físico de um corpo portanto em centro de gravidade são computadas as três dimensões além do peso específico Algumas vezes centroide e centro de gravidade são considerados sinônimos mas ao rigor da Física e da Matemática não são Observe que cada pequeno elemento partirá de uma referência ou seja da origem de uma coordenada x e y Assim toda a figura poderá ser subdivida Utilizando conceitos que você já possui e que foram desenvolvidos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral no assunto de Integral você deve lembrar que para determinar a área figura é necessário somar todos os elementos de área dA porém quanto menor forem melhor a aproximação do resultado esperado Figura 1 Figura Plana para determinação do Centroide Fonte o autor Sobre o conceito já adquirido em Cálculo Diferencial e Integral teremos uma definição de momento estático para o eixo x e para o eixo y Assim conceituando Momento estático entorno do eixo x Qx ydA Eq 1 Momento estático entorno do eixo y Qy xdA Eq 2 Notamos que os momentos estáticos de área A podem ser determinados como produtos da área vezes as coordenadas de seu centroide Qx yA Eq 3 Qy xA Eq 4 Observe que quando você determinar o momento estático em relação ao eixo x deverá utilizar a coordenada em relação ao eixo y Observe também que será sempre perpendicular ao momento estático e função que irá utilizar É possível determinar o centroide de uma figura plana isolando as coordenadas x e y das equações 3 e 4 Assim temos as equações para determinar o centroide equações 5 e 6 Lembrando que a informação que buscamos obter é uma coordenada para o eixo x e y ou seja um endereço a partir de um ponto de referência que geralmente é a origem da figura x QyA xdAdA Unidades em m cm mm Eq 5 y QxA ydAdA Unidades em m cm mm Eq 6 A geometria das figuras planas é tão importante quanto as equações e os cálculos Temos alguns exemplos ilustrados na Figura 2 que classificam as figuras em assimétricas simétricas em relação a um eixo x ou y ou simétricas ASSIMÉTRICAS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A UM EIXO x ou y SIMÉTRICAS Figura 2 Classificação das figuras em relação à simetria Fonte o autor 18 Propriedades de Figuras Planas Observamos que nas figuras simétricas é possível determinar o centroide por meio da divisão simétrica da figura Esse processo contudo não é possível para o caso de figuras assimétricas Para elas equações que determinam as coordenadas do centroide ou centro geométrico possuem enorme importância Para o entendimento do próximo tópico será desenvolvido um exercício para entender como determinar o momento estático e o centroide da figura com formato retangular A linha de raciocínio empregada nesse exemplo pode ser utilizada para figuras assimétricas figuras com simetria em apenas um eixo e áreas delimitadas por equações Conhecer um pouco sobre Geometria é de extrema importância para a determinação das propriedades de figuras planas Com esse conhecimento é possível determinar o centroide por meio das relações geométricas para aquelas figuras que apresentam simetria em relação a um eixo ou aquelas que são totalmente simétricas Assim podemos elucidar o exercício exemplo com a determinação das coordenadas x e y do centroide para um retângulo como apresentado na Figura 3 Figura 3 Retângulo para determinação da posição do centroide e de suas coordenadas nos eixos x e y Fonte o autor Primeiramente devemos observar se a figura apresenta simetria Com esta observação é possível determinar o centroide a partir da simetria da figura e concluir que o centroide é C b2 h2 Por este motivo devese atentar a esse detalhe E se a figura não for simétrica Determinação da área da figura Como a figura apresenta formato conhecido é possível determinar a área da figura por A bh Determinação do momento estático Qx Qx ydA UNIDADE 1 19 Considerações o elemento de área dA é determinado por uma pequena parte do retângulo parte hachurada em que sua base recebe a nomenclatura de b e sua altura de dy como na Figura 4 Figura 4 Determinação do elemento de área dA Fonte o autor Assim temos que dA bdy logo Qx ydA 0h ybdy b0h ydy Qx b y220h b2 y20h b2 h2 02 Qx bh22 Determinação da posição do centroide em relação ao eixo y y y QxA bh22bh bh22 1bh bh22bh y h2 20 Como já esperado devido à simetria De forma análoga é possível determinar o centroide x com as mesma considerações para determinação do elemento de área dA Determinação do momento estático Qy Qy xdA 0b xhdx h0b xdx Qy h x220b h2 x20b h2 b2 02 Qy b2 h2 Determinação da posição do centroide em relação ao eixo x x x QyA b2 h2 bh b2 h2 1bh b2 h2bh x b2 Neste tópico aprendemos um pouco sobre as definições de duas propriedades geométricas de figuras planas o momento estático ou momento de primeira ordem e o centroide ou centro geométrico Segundo Botelho 2017 momento estático é a integral de um elemento de área dA por sua distância a um eixo considerado UNIDADE 1 21 Determinação do Momento Estático e do Centroide de uma Área Composta Neste tópico iremos aplicar os conceitos aprendidos no tópico anterior em figuras pla nas compostas que são muitos utilizadas na Engenharia Suas propriedades terão funções muito importantes para as futuras disciplinas de seu curso principalmente as quais envolvam dimensionamento estrutural No cotidiano da Engenharia a determina ção das propriedades de figuras planas como o centroide por exemplo que é nosso foco de estudo se dará em poucas situações por meio de integração lá do Cálculo pois a grande maioria das figuras apresentam formato geo métricos conhecidos tais como perfis de aço formado a frio Figura 5 perfis de madeira Figura 6 e vigas de concreto Figura 7 23 UNIDADE 1 Figura 5 Perfis de aço Figura 6 Perfil de madeira utilizado no sistema construtivo Wood frame Figura 7 Vigas em concreto com dimensões e formatos não usuais 24 Propriedades de Figuras Planas Notase que os formatos das figuras apresentadas não são usuais Sendo assim é ne cessário determinar o seu centroide ainda na etapa de desenvolvimento do projeto para que se chegue aos resultados esperados Para podermos localizar o centroide dessas figuras planas fazse necessário di vidirmos em subfiguras conhecidas com o intuito de facilitar a determinação dos centroides de cada figura porém a resposta deverá ser sempre apenas uma única coordenada em relação ao eixo x e uma única coordenada em relação ao eixo y independentemente da quantidade de subfiguras que a figura principal for dividida A Figura 8 representa bem o que foi comentando no parágrafo anterior Figura 8 Figura geométrica composta Fonte o autor Como chegar aos resultados esperados Como determinar os valores de x e y Em quantas subfiguras devemos dividir a figura principal Todos os questionamentos são válidos porém precisamos utilizar os conceitos já estudados As áreas e os momentos estáticos de figuras planas compostas podem ser calcu lados somandose as propriedades das partes correspondentes das subfiguras Assim podemos dividir a Figura 8 em três partes ou subfiguras como descrito na Figura 9 X y O C y x A2 Figura 9 Figura geométrica composta subdividida em três partes Fonte o autor X y O C3 A1 A2 A3 C2 C1 Observe que não necessariamente a figura precise ser dividida da forma apresentada na Figura 9 é apenas uma sugestão Independentemente da quantidade de figuras subdividas o resultado deverá ser sempre o mesmo 26 Propriedades de Figuras Planas Sempre que houver uma equação que apresente somatória lembrese da possibili dade de transformála em uma tabela Isso certamente irá lhe ajudar na resolução do problema A aplicação dos conceitos pode ser desenvolvida no exercício exemplo 2 o qual solicita determinar as coordenadas do centroide C para área indicada Figura 10 Figura plana em formato de T Fonte o autor Sempre quando começamos um novo assunto ou mesmo um exercício logo surge a dúvida por onde começar Assim como você tem visto ao longo de nossa conceituação neste caso devemos inicialmente dividir a figura T em subfiguras de formato conhecido e obviamente na menor quantidade possível para diminuirmos a quantidade de contas durante o processo de determinação dos resultados Essa subdivisão é demonstrada na Figura 11 OP1 Unidades em mm 20 20 40 20 60 27 UNIDADE 1 Figura 11 Figura plana em formato de T subdividida Fonte o autor Após a subdivisão das figuras devemos localizar as coordenadas do centroide de cada uma das subfiguras adotando ou utilizando como referência a origem ponto O como exemplificado na Figura 12 OP1 Unidades em mm 20 20 40 20 60 Fig2 Fig1 Figura 12 Figura plana em formato de T subdividida com a indicação das distâncias dos centroides aos eixos Fonte o autor Fizemos tudo isso para podermos estruturar uma tabela que corresponde às equações 7 e 8 OP1 20 20 40 20 60 Fig2 Fig1 C2 C1 y1 70 x1 x2 40 y O y2 30 x 28 Propriedades de Figuras Planas A tabela terá todas as informações das equações 7 e 8 de forma discriminada e or ganizada passo a passo Então vamos lá Tabela 1 Dados das equações 7 e 8 Figura Área mm2 x mm x A mm3 X mm Fig 1 80x20 1600 x1 40 1600x40 64000 1600004000 40 Fig 2 40x60 2400 x2 40 2400x40 96000 Σ A 4000 x A Σ 160000 Fonte o autor Observe que o resultado obtido foi o valor de 40 mm Nesse caso em particular não necessitamos do desenvolvimento dos cálculos realizados já que a figura apresenta simetria em relação ao eixo Y Como já comentado no Tópico 1 devemos primeira mente observar a simetria da figura para então desenvolvermos os cálculos mini mizando o tempo e a possibilidade de erros Vamos agora determinar o centroide Y Tabela 2 Dados para determinar o centroide Figura Área mm2 y mm y A mm3 Y mm Fig 1 80x20 1600 y1 70 1600x70 112000 1840004000 46 Fig 2 40x60 2400 y2 30 2400x30 72000 Σ A 4000 x A Σ 184000 Fonte o autor Logo temos as coordenadas do centroide C 40 46 mm representado na Figura 13 Figura 13 Figura plana em formato de T subdividida com a localização do Centroide da figura inteira Fonte o autor 20 20 40 20 60 C Y 46 X 40 y O x 29 UNIDADE 1 Notase que o centroide está representado dentro da figura porém isso não é regra por ser um parâmetro geométrico ele pode estar localizado fora da figura como veremos apresentado no exercício exemplo 2 Determine as coordenadas do centroide C para área indicada 2 EXERCÍCIO Figura 14 Figura plana em formato de L Fonte o autor Seguindo o raciocínio do exercício exemplo 1 iremos primeiramente subdividira figura determinar o centroide de cada subfigura e estruturar a tabela 20 40 20 60 y O x Unidades em mm Figura 15 Figura plana em formato de L com subdivisões Fonte o autor 20 40 20 60 y O x Fig2 Fig1 C2 C1 y2 10 y1 40 x1 10 x2 40 Tabela 3 Determinação do Centroide X Figura Área mm2 x mm xA mm3 X mm Fig 1 20x80 1600 x1 10 1600x10 16000 480002400 20 Fig 2 40x20 800 x2 40 800x40 32000 Σ A 2400 Σ xA 48000 Fonte o autor Tabela 4 Determinação do Centroide Y Figura Área mm2 y mm yA mm3 Y mm Fig 1 20x80 1600 y1 40 1600x40 64000 720002400 30 Fig 2 40x20 800 y2 10 800x10 8000 Σ A 2400 Σ xA 72000 Fonte o autor Localização do Centroide na figura plana 31 UNIDADE 1 Para complementar os seus estudos as figuras planas de formato conhecido já possuem o centroide definido sendo possível utilizar tabelas prontas como apre sentado no livro Estática e Resistência dos Materiais para Arquitetura e Construção de Edificações dos autores Barry Onouye e Kevin Kane Momento de Inércia de uma Área e Raio de Giração Neste tópico iremos conceituar o momento de inércia de uma área e o seu raio de giração É de grande importância estudar esses assuntos pois uma das principais interpretações dos resultados do momento de inércia é identificar o eixo que apresenta maior resistência à flexão O raio de gi ração é uma propriedade que será aplicada em matérias de dimensionamento de estruturas de concreto aço e madeira Estamos no terceiro tópico desta Unidade 1 e iremos continuar a conceituação das proprieda des de figuras planas Observe que é uma conti nuação e o que será desenvolvido neste assunto necessitará da utilização dos conceitos aprendidos anteriormente Também será a continuação dos exercícios exemplos já resolvidos 33 UNIDADE 1 Momento de inércia O momento de inércia de área da seção transversal de uma figura plana caso seja uma peça como uma viga seria em relação a um eixo que passe pelo seu centro de gravidade medindo a sua rigidez ou seja a sua resistência à flexão em relação a esse eixo comentado Figura 17 Viga de concreto com a indicação do eixo de simetria Considerando uma área A situada no plano xy Figura 18 e o elemento de área dA com as coordenadas x e y o momento de inércia da área A em relação ao eixo x e o momento de inércia de A em relação ao eixo y são definidos pelas equações 9 e 10 Figura 18 Figura assimétrica situada no plano xy Fonte o autor X Y x A y dA O O momento de inércia da área A em relação ao eixo x é determinado por Ix A y2 dA Eq 9 Entenda que para determinar a inércia em relação ao eixo x devese utilizar a distância y ao quadrado multiplicado pela área O momento de inércia da área A em relação ao eixo y é determinado por Iy A x2 dA Eq 10 Entenda que para determinar a inércia em relação ao eixo y devese utilizar a distância x ao quadrado multiplicado pela área As integrais apresentadas para determinar o momento de inércia Ix e Iy também são conhecidas como momento de inércia retangulares por utilizar coordenadas cartesianas Para complementar existe o momento de inércia polar que baseiase na coordenada em relação à origem O representado pela letra grega Rho ρ apresentado na Figura 19 A equação 11 determina o momento de inércia polar J0 J0 A ρ2 dA Eq 11 Observe que na Figura 19 é possível desenvolver um triangulo pitagórico entre as coordenas x y e ρ como será demonstrado na equação 12 ρ2 y2 x2 Eq 12 Relacionado as equações 11 e 12 teremos o desenvolvimento a seguir J0 A ρ2dA A y2 x2dA J0 A y2dA A x2dA Eq 13 Logo sabendo que Ix A y2dA Eq 9 e Iy A x2dA Eq 10 Substituindo estes termos na Eq 13 verificamos que o momento de inércia polar pode ser determinado pela soma do momento de inércia em relação ao eixo x e o momento de inércia em relação ao eixo y representado pela equação 14 J0 Ix Iy Eq 14 Para exemplificar os conceitos comentados para determinar o momento de inércia em relação ao eixo x eixo y e polar iremos continuar com o retângulo exemplificado no Tópico 1 3 EXERCÍCIO Determine os momentos de inércia Ix Iy e J0 para figura retangular 36 Propriedades de Figuras Planas Primeiramente devemos utilizar o conceito de integral por meio da discretização da figura em pequenas partes como apresentado na Figura 21 com a indicação das medidas para determinarmos a área do pequeno elemento Figura 21 Discretização da Figura retangular em relação ao eixo x Fonte o autor Daremos a essa pequena área o nome de dA Observe que a área hachurada asseme lhase a um retângulo sendo possível determinála multiplicando o valor da base pela altura Assim temos que dA b dy Eq 15 O y x b h dy y h2 h2 Sempre que possível para determinar o momento de inércia recomendase calcular primeiramente a área pois ela será utilizada para determinação do momento de inércia em relação ao eixo x e y Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y Iremos discretizar a figura com o conceito de integral para determinar a equação da área e depois realizar os cálculos A representação da área discretizada encontrase na Figura 22 Figura 22 Discretização da Figura retangular em relação ao eixo y Fonte o autor Cálculo da área do retângulo hachurado dA hdx Eq 16 Desenvolvimento do cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y por meio da equação 10 Iy A x2 dA A x2hdx b2b2 x2hdx Iy h b2b2 x2dx h x33b2b2 h3 x3b2b2 Após determinarmos a função do elemento de área dA iremos determinar os momentos de inércia Primeiramente determinaremos o momento de inércia em relação ao eixo x Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x Utilizando a equação 9 Ix A y2dA iremos substituir o elemento de área dA pela função encontrada Depois devemos substituir na integral os limites de integração Vamos lá Ix A y2dA A y2bdy h2h2 y2bdy Ao distribuir a multiplicação e isolar as constantes temos que Ix b h2h2 y2dy Realizando a integração Ix b y33h2h2 b3 y3h2h2 b3 h23 h23 Ix b3 h38 h38 b3 h38 h38 Ix b3 2h38 b3 h34 bh312 Assim determinamos o momento de inércia para uma figura plana retangular em relação ao eixo x Iremos agora determinar o momento de inércia em relação ao eixo y que seguirá a mesma linha de raciocínio anterior Continuando o Tópico 3 iremos complementar o assunto com o chamado Raio de Giração que é outra propriedade importante para figuras planas e terá muita aplicação em disciplinas específicas de seu curso Raio de giração de uma figura não tem significado físico óbvio Podemos considerálo como sendo a distância do eixo de referência em que toda a área da figura poderia ser concentrada e ainda ter o mesmo momento de inércia que a figura original O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza de r x ou por i x que satisfaz a relação apresentada na equação 17 I x r x 2 A Eq 17 Isolando o raio de giração em relação ao eixo x rx temos r x I x A Eq 18 Em que Ix é o momento de inércia da área da figura em relação ao eixo x A é área da figura plana em estudo ou seja de toda a figura De forma análoga é possível determinar o raio de giração em relação ao eixo y e para o raio de giração polar temos a equação 19 e a equação 20 respectivamente r y I y A Eq 19 r 0 J 0 A Eq 20 A relação entre o momento de inércia polar com o momento de inércia retangular permitenos determinar a equação 21 J 0 I x I y r 0 2 A r x 2 A r y 2 A A r 0 2 r x 2 r y 2 Eq 21 I y h 3 b23 b23 h 3 b3 8 b3 8 I y h 3 b3 8 b3 8 h 3 2 b3 8 h 3 b3 4 b3 h 12 Dessa maneira também se determinou o momento de inércia em relação ao eixo y para uma figura retangular plana Todas as vezes que precisar determinar o momento de inércia de uma figura retangular não será mais necessário realizar os cálculos por meio de integração mas sim utilizar os resultados das deduções que foram realizadas Lembrese que para figuras planas de formato conhecido existem tabelas com equações para determinar os momentos de inércia Aproveite Depois dessas várias páginas de cálculos parece que acabamos o exercício contudo fica a dica sempre que achar que você acabou o exercício leia o enunciado novamente Isso irá lhe ajudar a não esquecer de nenhum detalhe Sendo assim ainda temos que calcular o momento de inércia polar Cálculo do momento de inércia polar J 0 O momento de inércia polar pode ser determinado pela equação 14 que representa a soma dos momentos de inércia em relação ao eixo x e y J 0 I x I y b h3 12 b3 h 12 b h 12 h2 b2 Assim foi finalizado o exercício exemplo 3 com os seguintes resultados Momento de inércia em relação ao eixo x I x b h3 12 Momento de inércia em relação ao eixo y I y b3 h 12 Momento de inércia polar J 0 b h 12 h2 b2 41 UNIDADE 1 Para podemos realizar a fixação do assunto de raio de giração continuaremos com o exercício exemplo 3 Determinar o raio de giração rx ry e r0 da figura com área retangular Figura 23 Figura com área retangular Fonte o autor Para o desenvolvimento do exercício completo seria necessário determinar o centroi de da figura depois calcular os momentos de inércia e posteriormente determinar o raio de giração Aqui iremos somente determinar o raio de giração pois as demais propriedades já foram calculadas nos Tópicos 1 e 2 Raio de Giração em relação ao eixo x rx Utilizaremos a equação 18 para o desenvolvimento r I A bh bh bh bh h h x x 3 3 2 12 12 1 12 12 O y x b h Raio de Giração em relação ao eixo y r y Utilizaremos a equação 19 para o desenvolvimento r y I y A b3 h 12 b h b3 h 12 b h b2 12 b 12 Raio de Giração polar r 0 Utilizaremos a equação 21 para o desenvolvimento r 0 2 r x 2 r y 2 h2 122 b2 122 h2 12 b2 12 r 0 h2 12 b2 12 h2 b2 12 Dessa forma finalizamos a conceituação e desenvolvemos uma linha de raciocínio para podermos desenvolver os futuros exercícios 43 UNIDADE 1 Teorema dos Eixos Paralelos Neste tópico iremos conceituar o Teorema de Steiner também conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos que é uma forma de calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O que pode ser a origem ou mesmo uma referên cia predefinida A importância desse assunto que compõe a formação do estudante de Engenharia está relacionada à Mecânica Clássica e à determi nação dos esforços internos sejam de peças estru turas ou qualquer tipo de material por exemplo concreto aço madeira e materiais compósitos Esse teorema surgiu em homenagem ao grande matemático suíço Jacob Steiner 17961863 que se concentrou na Geometria pura com a busca do aperfeiçoamento no campo sintético excluindo a Geometria Analítica que segundo ele atrapalhava a Geometria Por meio do rigor de suas demons trações e por suas fontes foi considerado o maior gênio da Geometria pura desde o Apolônio de Perga matemático grego precursor da Geometria O teorema dos eixos paralelos é um conceito que permite determinar o momento de inércia de um sólido ou figura plana relativo a um eixo de rotação definido pela origem O nos sistemas de coordenadas cartesianas Nesse caso consideramos os eixos x abcissas e y ordenadas quando conhecemos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo o qual passa no centroide da figura a uma distância entre os eixos Resumidamente este teorema nos fornece uma relação entre o momento de inércia relativo a um eixo centroidal e ao momento de inércia relativo a qualquer eixo paralelo conforme a Figura 24 Figura 24 Aplicação da conceituação do Teorema dos Eixos Paralelos Fonte o autor Observamos que o eixo x foi deslocado a uma distância d1 para o centroide da figura exemplificada isso também ocorreu no eixo y para uma distância d2 notamos que os eixos passaram a ser chamados de xc e yc que corresponde aos eixos centroidais tem origem no ponto C que é centroide da figura Assim podemos determinar o momento de inércia por meio da equação 22 Ix A y d12 dA Eq 22 No desenvolvimento da equação 22 podemos obter que Ix A y d12 dA Ix A y d1 y d1 dA Ix A y2 2d1 y d12 dA Ix A y2 dA 2d1 A y dA d12 A dA Observe que ao final do desenvolvimento você já conhece as expressões pois já foram apresentadas nos tópicos anteriores estudados Dessa forma podemos dizer que O momento de inércia em relação ao eixo centroidal x é Ixc A y2 dA O momento de estático em relação ao eixo centroidal x é Qx A y dA A área da figura estuda é A A dA Assim substituindo as correlações já estudadas na equação 22 chegamos à equação 23 Ix Ixc 2 d1 Qx d12 A Eq 23 Para o caso de os eixos x e y passarem pelo eixo centroidal teremos que a distância do eixo até o centroide é nula Nesse caso podemos considerar que o momento estático é igual a zero ou seja não existe momento estático Assim podemos reduzir equação 23 ficando com Ix Ixc d12 A Eq 24 De forma análoga podemos determinar o momento de inércia para o eixo y Também podemos determinar o momento de inércia polar por meio das equações 25 e 26 Iy Iyc d22 A Eq 25 Jo Joc d2 A Eq 26 46 Propriedades de Figuras Planas Para melhor entendimento iremos continuar a calcular as propriedades da Figu ra 20 utilizando os resultados já obtidos anteriormente Você observará que essas propriedades de figuras planas que estamos determinando são interdependentes e funcionam de forma sequencial Determine os momentos de inércia Ix Iy e J0 para figura retangular Observe que a origem O foi deslocada 4 EXERCÍCIO A utilização das equações 24 25 e 26 serve para determinar um momento de inércia Para determinar o momento de inércia da figura devese determinar primeiramen te a inércia centroidal o Ixc lembra Você deverá determinar o centroide da figura e depois calcular o momento de inércia da figura como um todo ou por partes Já conhecidos os valores do centroide e do momento de inércia agora você poderá determinar o momento de inércia da figura a partir da nova referência ponto O com as equações 24 25 e 26 Há uma distância ao quadrado d2 que corresponde à distância entre os eixos seja para x y e entre as origens comumente conhecido como a distância entre centroi des ou seja o centroide da figura total e o centroide de cada figura da subdivisão O y x b h y c c Figura 25 Figura retangular para determinar os momentos de inércia Fonte o autor Primeiramente iremos verificar as informações já obtidas nos tópicos estudados anteriormente Assim sabemos que Momento de inércia centroidal em relação ao eixo x Ix bh3 12 Momento de inércia centroidal em relação ao eixo y Iy b3 h 12 Momento de inércia polar centroidal Jo bh12 h2 b2 Área da figura A b h Tudo isso talvez tenha lhe gerado alguma dúvida porque antes conversamos sobre momento de inércia e agora as expressões são para um momento de inércia centroidal Observe que no Tópico 3 todas as inércias foram calculadas no centroide de cada figura Dessa forma foi determinado o momento de inércia centroidal O que estamos buscando agora é determinar o momento de inércia a partir de uma referência Então vamos resolver Momento de inércia em relação ao eixo x Ix utilizando a equação 24 Ix Ixc d12 A Ix b h312 y2 b h Mas o que é afinal o y É a distância do eixo x para o eixo xc que corresponde à metade da altura ou seja h2 Assim ao substituirmos h2 na expressão anterior temos Ix Ixc d12 A Ix b h312 y2 b h Ix b h312 h22 b h Ix b h312 h24 b h Ix b h312 b h34 b h33 Agora iremos determinar o momento de inércia em relação ao eixo y Iy Iyc d² A Iy b³h12 x² bh Iy b³h12 b2² bh Iy b³h12 b²4 bh Iy b³h12 b³h4 b³h3 E para o momento de inércia polar temos Jo Joc d² A Jo bh12 h² b² x² y²² bh Jo bh12 h² b² x² y² bh Jo bh12 h² b² h2² b2² bh Jo bh12 h² b² h²4 b²4 bh Jo bh12 h² b² bh4 h² b² Jo bh3 h² b² Assim foi finalizado o exercício exemplo 4 com os seguintes resultados Momento de inércia em relação ao eixo x Ix bh³3 Momento de inércia em relação ao eixo y Iy b³h3 Momento de inércia polar Jo bh3 h² b² Finalizamos a conceituação e a aplicação dos conceitos do Teorema dos Eixos Paralelos no desenvolvimento de uma linha de raciocínio para aplicação em exercícios Determinação do Momento de Inércia de uma Área Composta Neste tópico iremos aplicar todos os conceitos aprendidos desde o Tópico 1 até o Tópico 4 pois iremos determinar o momento de inércia de uma figura com área composta ou seja uma figura pla na que dividiremos em mais de uma parte casos que se assemelham à nossa realidade do cotidiano como exemplo um perfil de aço Este pode ser de aço laminado a quente com as dimensões comerciais mas também pode ser um perfil de chapa dobrada ou mesmo um perfil fabricado sob medida per sonalizado para a solicitação Nesse tipo de situação que não é comercial fazse necessário determinar todos as propriedades do formato do perfil Nesse exemplo vemos a aplicabilidade do que nós estamos estudando no decorrer dos tópicos Momento de inércia em relação ao eixo x I b h x 3 3 Momento de inércia em relação ao eixo y I b h y 3 3 Momento de inércia polar J b h h b o 3 2 2 50 Propriedades de Figuras Planas Lembrese que os materiais usuais e os formatos usuais estão mudando de forma acelerada Já pensou em construir componentes da construção em impressão 3D Quem irá determinar as propriedades destas figuras agora e depois de impressas essas peças Quando consideremos uma área composta A constituída de várias partes por exemplo A1 A2 A3 etc a integral que calcula o momento de inércia de A pode ser sub divida em integrais para as áreas que compõem a figura A ou seja a figura principal Assim podemos pensar que o momento de inércia da figura A em relação a um eixo poderá ser determinado a partir da soma do momento de inércia das diversas subfiguras que formam a figura principal sendo no mesmo eixo No entanto antes de somar simplesmente os valores dos momentos de inércia das partes componentes devemos utilizar o teorema dos eixos paralelos para transferir cada momento de inércia para o eixo desejado Desta forma para ficar mais claro e elucidar o que estamos estudamos primeira mente iremos desenvolver alguns exercícios que pertencem a esta unidade de estudo Determine o momento de inércia Ix Iy e Jo da Figura 26 para área indicada 5 EXERCÍCIO Figura 26 Figura plana em formato de T Fonte o autor OP1 Unidades em mm 20 20 40 20 60 51 UNIDADE 1 Notase que é a mesma figura do exercício exemplo 1 do Tópico 2 é determinada no momento estático e no centroide de uma área composta permitindo a utilização das informações já calculadas para o desenvolvimento São elas Tabela 5 Dados para obtenção dos centroides X e Y Figura Área mm2 x mm y mm X mm Y mm Fig 1 1600 x1 40 y1 70 40 46 Fig 2 2400 x2 40 y2 30 Fonte o autor Conhecida as coordenadas do centroide iremos dividir a figura em formato de T em figuras simples retângulos para determinação dos momentos de inércia em relação ao eixo x e y como apresentado na Figura 27 Figura 27 Figura plana em formato de T subdividida Fonte o autor 20 20 40 20 60 Fig2 Fig1 Após a subdivisão das figuras iremos localizar as coordenadas do centroide e as coordenadas das figuras subdivididas utilizando como referência a origem O como exemplificado na Figura 28 Figura 28 Figura plana em formato de T subdividida com a localização do centroide da figura inteira Fonte o autor Com as informações apresentadas e representadas na Figura 28 iremos determinar as informações que estão faltando para determinar o momento de inércia Para isso iremos calcular primeiramente o eixo x e de forma análoga iremos repetir o procedimento para o eixo y Cálculo do momento de inércia centroidal em relação ao eixo x Fig 1 IxC1 bh³12 8020³12 5333333 mm⁴ Fig 2 IxC2 bh³12 4060³12 72000000 mm⁴ Cálculo do momento de inércia centroidal em relação ao eixo y Fig 1 IyC1 b³h12 80³2012 85333333 mm⁴ Fig 2 IyC2 b³h12 40³6012 32000000 mm⁴ Agora iremos determinar o momento de inércia da figura plana completa assim continuaremos com o mesmo raciocínio Primeiramente será determinado em relação ao eixo x e depois em relação ao eixo y Para isso utilizaremos e aplicaremos o teorema dos eixos paralelos Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x Ix Ix₁ Ix₂ Calculemos o Ix₁ e o Ix₂ para somálos ao final Portanto temos Ix₁ IxC1 A₁ d² b₁ h₁³12 b₁ h₁ ȳ y₁² Ix₁ 80 20³12 80 20 46 70² Ix₁ 5333333 1600 24² Ix₁ 5333333 92160000 97493333 mm⁴ E para Ix₂ IxC2 A₂ d² b₂ h₂³12 b₂ h₂ ȳ y₂² Ix₂ 40 60³12 40 60 46 30² Ix₂ 72000000 2400 16² Ix₂ 72000000 61440000 133440000 mm⁴ Logo temos que Ix Ix₁ Ix₂ Ix 97493333 133440000 Ix 230933333 mm⁴ Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y Iy Iy₁ Iy₂ Assim calcularemos o Ix₁ e o Ix₂ para somálos ao final Portanto temos Iy₁ IyC₁ A₁ d² b₁³ h₁12 b₁ h₁x x₁² Iy₁ 80³ 2012 80 20 40 40² Iy₁ 85333333 1600 0² Iy₁ 85333333 000 85333333 mm⁴ E para Iy₂ IyC₂ A₂ d² b₂³ h₂12 b₂ h₂x x₂² Iy₂ 40³ 6012 40 6040 40² Iy₂ 32000000 2400 0² Iy₂ 32000000 000 32000000 mm⁴ Logo temos que Iy Iy₁ Iy₂ Iy 85333333 32000000 Iy 117333333 mm⁴ O momento de inércia polar da figura é determinado por Jo Ix Iy Jo 230933333 117333333 Jo 348266666 mm⁴ Assim foi finalizado o exercício exemplo 5 com os seguintes resultados Momento de inércia em relação ao eixo x Ix230933333mm⁴ Momento de inércia em relação ao eixo y Iy117333333mm⁴ Momento de inércia polar Jo348266666mm⁴ 55 UNIDADE 1 Contudo questiono você a interpretar esses resultados o que significa esses valores Para análises estruturais podemos entender que o momento de inércia está rela cionado à resistência à flexão devido à forma da figura Dessa maneira concluímos que a resistência à flexão em torno do eixo x é maior do que em relação ao eixo y observadas e comparadas por meio dos resultados obtidos no momento de inércia Finalizamos o primeiro exercício exemplo determinando as propriedades rela cionadas a figuras planas em uma situação em que o formato das peças não é usual Agora iremos finalizar outro exercício exemplo para consolidarmos o conheci mento adquirido Determine o momento de inércia Ix Iy e Jo da Figura 29 para área indicada 6 EXERCÍCIO Figura 29 Figura plana em formato de L Fonte o autor Notase que é a mesma figura do exercício exemplo 2 do Tópico 2 que determina o momento estático e o centroide de uma área composta Assim permitese utilizar as informações já calculadas para o desenvolvimento São elas Tabela 6 Dados para obtenção dos centroides X e Y Figura Área mm2 x mm y mm X mm Y mm Fig 1 1600 x1 10 y1 40 20 30 Fig 2 800 x2 40 y2 10 Fonte o autor 20 40 20 60 y O x Unidades em mm 56 Propriedades de Figuras Planas Conhecidas as coordenadas do centroide iremos dividir a figura em formato de L em figuras simples retângulos para determinação dos momentos de inércia em relação ao eixo x e y como apresentado na Figura 30 Figura 30 Figura plana em formato de L com subdivisões Fonte o autor Após a subdivisão das figuras iremos localizar as coordenadas do centroide e as coordenadas das figuras subdivididas utilizando como referência a origem O como exemplificado na Figura 31 20 40 20 60 y O x Fig2 Fig1 C2 C1 y2 10 y1 40 x1 10 x2 40 Figura 31 Figura plana em formato de L com subdivisões e a localização do Centroide da figura inteira Fonte o autor 20 40 20 60 y O x Fig2 Fig1 C2 C1 y2 10 y1 40 x1 10 C 20 30 Y 30 x2 40 X 20 E para Ix₂ IxC₂ A₂ d² b₂ h₂³12 b₂ h₂y y₂² Ix₂ 2666667 800 30 10² Ix₂ 2666667 800 20² Ix₂ 2666667 32000000 34666667 mm⁴ Logo temos que Ix Ix₁ Ix₂ Ix 101333333 34666667 Ix 1360000000 mm⁴ Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y Iy Iy₁ Iy₂ Calcularemos o Ix₁ e o Ix₂ para somálos ao final Portanto temos Iy₁ IyC₁ A₁ d² b₁³ h₁12 b₁ h₁x x₁² Iy₁ 5333333 1600 20 10² Iy₁ 5333333 1600 10² Iy₁ 5333333 16000000 21333333 mm⁴ E para Iy₂ IyC₂ A₂ d² b₂³ h₂12 b₂ h₂x x₂² Iy₂ 10666667 800 20 40² Iy₂ 10666667 800 20² Iy₂ 10666667 32000000 42666667 mm⁴ Com as informações apresentadas e representadas na Figura 31 iremos determinar as informações que estão faltando para determinar o momento de inércia Para isso iremos calcular primeiramente o eixo x e de forma análoga iremos repetir o procedimento para o eixo y Cálculo do momento de inércia centroidal em relação ao eixo x Fig 1 IxC1 bh³12 2080³12 85333333 mm⁴ Fig 2 IxC2 bh³12 4020³12 2666667 mm⁴ Cálculo do momento de inércia centroidal em relação ao eixo y Fig 1 IyC1 b³h12 20³8012 5333333 mm⁴ Fig 2 IyC2 b³h12 40³2012 10666667 mm⁴ Iremos determinar agora o momento de inércia da figura plana completa Assim continuaremos com o mesmo raciocínio Primeiramente o momento de inércia será determinado em relação ao eixo x e depois em relação ao eixo y Para isso iremos utilizar e aplicar o teorema dos eixos paralelos Cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x Ix Ix₁ Ix₂ Calcularemos o Ix₁ e o Ix₂ para somálos ao final Portanto temos Ix₁ IxC₁ A₁ d² b₁ h₁³12 b₁ h₁y y₁² Ix₁ 85333333 1600 30 40² Ix₁ 85333333 1600 10² Ix₁ 85333333 16000000 101333333 mm⁴ Logo temos que IyIy1Iy2 Iy2133333342666667 Iy64000000mm⁴ O momento de inércia polar da figura é determinado por JoIxIy Jo13600000064000000 Jo200000000 mm⁴ Foi finalizado o exercício exemplo 5 com os seguintes resultados Momento de inércia em relação ao eixo x Ix136000000mm⁴ Momento de inércia em relação ao eixo y Iy64000000mm⁴ Momento de inércia polar Jo200000000mm⁴ Finalizamos mais um exercício exemplo no qual determinamos as propriedades da figura plana em relação à sua geometria A partir de agora você está apto a determinar as propriedades em qualquer formato de figura sejam com a forma conhecida por meio das propriedades que já conhece ou mesmo de formas irregulares por meio das integrais Continue praticando para não esquecer Fazendo isso certamente você irá aumentar os seus conhecimentos nesses assuntos Ótimo estudo Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code 60 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução A seção transversal de uma viga de aço é constituída de uma cantoneira em Z com uma placa de cobertura de 360 mm x 30 mm soldada ao flange superior como apresentado na figura a seguir Você foi contratado pela empresa para poder determinar as propriedades da figura plana Então deverá fornecer as propriedades para o seu dimensionamento futuro Fonte o autor 1 Localize as coordenadas do centroide C da área de seção transversal a x 000 mm y 525 mm b x 525 mm y 300 mm c x 300 mm y 500 mm d x 500 mm y 000 mm e Nenhuma das alternativas 30 mm 30 mm 30 mm 30 mm 90 mm 90 mm 120 mm 180 mm 180 mm 105 mm 15 mm C O x y y 61 2 Determine o momento de inércia em relação ao eixo x Ix e em relação ao eixo y Iy a Ix 10927406250 mm4 Iy 10456593750 mm4 b Ix 10456593750 mm4 Iy 10927406250 mm4 c Ix 10456593750 mm Iy 14126906250 mm4 d Ix 10927406250 mm4 Iy 14126906250 mm4 e Nenhum das alternativas 3 Determine o raio de giração em relação ao eixo x rx e em relação ao eixo y ry a rx 7113 mm ry 6958 mm b rx 6958 mm ry 8087 mm c rx 6958 mm ry 7113 mm d rx 8087 mm ry 6958 mm e Nenhum das alternativas 62 Resistência dos materiais Autor Ferdinand Pierre Beer e E Russell Johnston Jr Editora Pearson Makron Books Sinopse um livro clássico na mecânica dos sólidos Descreve e apresenta toda Mecânica Clássica abordando os assuntos comentados nesta unidade O livro apresenta diversos exercícios para fixação e desenvolvimento dos conteúdos LIVRO 63 BOTELHO M H C Resistência dos Materiais Para Entender e Gostar 4 ed São Paulo Blucher 2017 64 1 A Primeiramente iremos subdividir a figura em outras figuras com propriedades conhecidas para podermos calcular o centroide por meio da tabela apresentada no Tópico 2 O x y 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura Área mm2 x mm y mm xA mm3 yA mm3 X mm Y mm 1 540000 9000 10500 48600000 56700000 000 5250 2 540000 9000 10500 48600000 56700000 3 135000 750 4500 1012500 6075000 4 315000 5250 7500 16537500 23625000 5 90000 750 3000 675000 2700000 6 270000 6000 7500 16200000 20250000 7 135000 750 4500 1012500 6075000 8 135000 750 4500 1012500 6075000 Σ 2160000 Σ 000 Σ 113400000 65 2 C Utilizando as informações já calculadas iremos calcular o momento de inércia como solicitado Para facilitar o desenvolvimento montaremos as informações em forma de tabela e por fim realizaremos as contas O x y 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura Dimensões Momento inércia centroidal Área mm2 b mm h mm Ixc mm4 Iyc mm4 1 180 30 40500000 1458000000 540000 2 180 30 40500000 1458000000 540000 3 90 15 2531250 91125000 135000 4 105 30 23625000 289406250 315000 5 60 15 1687500 27000000 90000 6 90 30 20250000 182250000 270000 7 15 90 91125000 2531250 135000 8 15 90 91125000 2531250 135000 Σ 2160000 66 Figura Centroide da figura total Centroide de cada figura Diferença entre centroide ao quadrado Momento de inércia de cada figura X mm Y mm xi mm yi mm Xxi2 Yyi2 Ix mm4 Iy mm4 1 000 5250 9000 10500 810000 275625 1528875000 5832000000 2 9000 10500 810000 275625 1528875000 5832000000 3 750 4500 5625 5625 10125000 98718750 4 5250 7500 275625 50625 183093750 1157625000 5 750 3000 5625 50625 47250000 32062500 6 6000 7500 360000 1625625 4409437500 1154250000 7 750 4500 5625 950625 1374468750 10125000 8 750 4500 5625 950625 1374468750 10125000 Σ 10456593750 14126906250 3 B Determinação do raio de giração em relação ao eixo x r I A mm x x 104 565 937 50 21 600 00 69 58 Determinação do raio de giração em relação ao eixo y r I A mm y y 141 269 062 50 21 600 80 87 Diário de Bordo Diário de Bordo PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Entender o conceito de tensão e aprender a diferença entre forças e tensões Determinar as tensões normais devido a carregamentos axiais Determinar a tensão de cisalhamento com carregamento cortante Determinar a tensão de esmagamento em superfície de contato Determinar a tensões em um plano oblíquo ao eixo Forças e Tensões Forças Axiais e Tensões Normais Tensões de Esmagamento Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo Tensões de Cisalhamento Me Ronan Yuzo Takeda Violin Conceito de Tensão Forças e Tensões Olá alunoa Neste tópico iremos começar a estudar um pouco sobre o conceito de tensão e aprender a diferença entre ela e a força Isso pro porcionará ao engenheiro os meios e métodos que habilitam a análise e o desenvolvimento de projetos de várias estruturas sejam de máqui nas estruturas de concreto estruturas metálicas estruturas de madeira ou seja realizar a análise em vários tipos de materiais sujeitos a diferentes carregamentos A importância desse conteúdo está vinculada às disciplinas básicas ou seja as disciplinas de formação que são e serão o alicerce para as dis ciplinas específicas que você verá mais à frente no curso 71 UNIDADE 2 A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem no interior do corpo Esse assunto envolve o cálculo das deformações do corpo e proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeita a forças externas Todos os conceitos comentados caminham para o equilibro do corpo em estudo ou das peças a serem desenvolvidas ou mesmo da estrutura a ser dimensionada com os princípios da Estática O desenvolvimento histórico da Resistência dos Materiais ou Mecânica dos Materiais é uma combinação fascinante de teoria e com experimento em alguns casos a teoria apontou o caminho para os resultados úteis e o experimento também o fez em outros Pessoas famosas tais como Leonardo da Vinci 14521519 e Galileu Galilei 15641642 conduziram experimentos para determinar a resistência de fios barras e vigas embora não tenham desenvolvido teorias adequadas pelos padrões atuais para explicar o resultado de seus testes Em contraste o famoso matemático Leonhard Euler 17071783 desenvolveu a teoria matemática de colunas e calculou a carga crítica de uma coluna em 1744 muito antes de qualquer evidência experi mental existir para mostrar a significância de seus resultados Sem testes apropriados para apoiar suas teorias os resultados de Euler permaneceram inúteis por mais de cem anos embora hoje sejam a base para o projeto e análise da maioria das colunas Os conceitos mais fundamentais na Resistência dos Materiais são a tensão e de formação Esses conceitos podem ser ilustrados em suas formas mais elementares considerando uma barra prismática sujeita a forças axiais Cargas Externas podem retratar os carregamentos aplicados a uma estrutura ou peso próprio dessa mesma estrutura ou elemento em estudo Essas cargas podem ser de diversos formatos e esforços sendo cargas concentradas ou distribuídas contudo qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de superfície ou uma força de corpo 72 Conceito de Tensão Podemos exemplificar como mostrado na Figura 1 que um avião ao ser movimen tado durante o procedimento de decolagem será rebocado do local de embarque até o local de decolagem Nesta situação conseguimos observar o conceito de tensão e deformação na barra do reboque que será tracionada quando o avião for movimen tado para frente Por barra prismática entendese uma peça com predomínio em seu comprimento ou seja o comprimento é muito maior que as outras dimensões da peça As forças axiais correspondem àquelas direcionadas no sentido da barra ou seja ao longo do eixo da barra resultando em esforços de tração ou compressão Figura 1 Membros estruturais submetidos a carregamentos A barra do reboque está em tração e o suporte do trem de pouso está em compressão Fonte adaptada de Gere et al 2010 Você também observou o trem de pouso e deve ter pensado será que lá também tem esforço Utilizando o conceito de carga externa se realizarmos uma análise somente fo cando o trem de pouso o avião pode ser considerado como uma carga externa em relação ao trem de pouso e por consequência gerará um esforço de compressão Observe que os conceitos são aplicados em diversas situações do nosso cotidiano Trem de pouso Barra do reboque Para fins de complementação dos nossos estudos iremos considerar somente a barra do reboque da Figura 1 e isolar um pequeno pedaço segmento dela como um corpo livre Figura 2a Quando esboçarmos esse diagrama de corpo livre iremos desconsiderar o peso da barra e assumirmos que as únicas forças atuantes são as forças axiais P nas extremidades Assim teremos duas situações sendo a primeira somente a barra antes da aplicação da carga Figura 2b e a segunda situação após a aplicação das cargas Figura 2c Observe somente a barra Figura 2b Temos a barra com o comprimento L e após a aplicação do carregamento a barra passou a ter o comprimento de Lδ onde δ variação de comprimento corresponde ao aumento de comprimento da barra devido à carga aplicada Figura 2 Barra prismática em tração a diagrama de corpo livre de um segmento da barra b segmento da barra antes do carregamento c segmento da barra após o carregamento e d tensões normais na barra Fonte adaptada de Gere et al 2010 74 Conceito de Tensão Após a barra estar carregada consideraremos uma seção imaginária mn Figura 2c perpendicular ao eixo longitudinal da barra conhecida como seção transversal e isolaremos a porção da barra à esquerda da seção transversal como um corpo livre Figura 2d Consideraremos também o carregamento P aplicado na extremidade de barra agindo com uma força distribuída e contínua sobre toda a seção transversal Assim entendese que a força está distribuída na área da seção transversal chamada de tensão e denotada pela letra grega σ sigma Assumindo que as tensões são uniformemente distribuídas sobre a seção trans versal Figura 2d obtemos a seguinte expressão para magnitude das tensões s P A Eq 1 Em que P Carga aplicada N A Área da seção transversal mm2 σ Tensão normal MPa Essa equação fornece a intensidade de tensão uniforme em uma barra prismática carregada axialmente e de seção transversal de forma arbitrária Quando a barra é esticada pelo carregamento aplicado dizemos que são tensões de tração e têm indicação de sinal positivo quando a barra é apertada pelo carregamento aplicado dizemos que são tensões de compressão e têm a indicação de sinal negativo Lembrese sempre de observar o sentido do carregamento em relação à barra Por fim chamamos de tensão normal quando o carregamento é perpendicular à seção transversal seção de corte Devese sempre verificar o sentido do carregamento em relação à seção transversal pois isso lhe ajudará a saber qual tipo de tensão você irá desenvolver 75 UNIDADE 2 Exemplificando considerando a estrutura apresentada na Figura 3 que aparenta ser uma mão francesa com um carregamento aplicado de 30 kN composto de duas barras AB e BC será que a estrutura suporta com segurança a carga aplicada no ponto B Figura 3 Estrutura exemplo com carregamento para determinar as tensões nas barras Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Com o nosso conhecimento de Estática deduzimos que as barras AB e BC estão sob a ação de duas forças iguais e de sentidos contrários atuando na direção do eixo da barra aplicadas em cada uma das suas extremidades FAB e F AB de módulo FAB e FBC e F BC de módulo FBC Figura 4 2 m B C A 15 m 30 kN Figura 4 Diagrama de corpo livre da estrutura exemplo com carregamento Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 B B C A FBC FAB FBC FAB 76 Conceito de Tensão Assim para podermos afirmar o que foi questionado iremos analisar o pino B Primeiramente precisamos determinar os carregamentos aplicados em cada barra Para isso devemos desenhar o diagrama corpo livre do pino B compondo as forças aplicadas no polígono de forças da Figura 5 para formação de um triângulo para solução por meio de semelhança Figura 5 Diagrama de corpo livre no pino B a Sentido das cargas aplicadas no pino B e b Formação de um triângulo pitagórico para determinadas cargas Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Assim temos que F F AB BC 4 5 30 3 resolvendo por semelhança de triângulos Obtemos que FAB 40 kN e FBC 50 kN Como já foi conhecido com a intensidade de carregamento das barras devemos observar o sentido das cargas em relação à barra para podermos determinar a tensão a B 30 kN F F AB BC b 30 kN FAB FBC 3 5 4 Não devemos comparar carga aplicada com tensão pois são coisas diferentes 77 UNIDADE 2 Complementando as informações temos que o diâmetro barra BC é de 20 mm e possui uma tensão admissível σadm igual 165 Mpa A tensão da Barra BC é calcu lada por meio de σ π π BC F A x N d x N mm MPa BC 50 10 4 50 10 20 4 159 15 3 2 3 2 2 Mas por fim a estrutura é segura Com o resultado obtido podemos afirmar apenas que a barra BC é segura pois tem uma tensão atuante de 15915 Mpa e a tensão admissível σadm é de 165 MPa Para podermos afirmar que toda estrutura é segura deveríamos realizar verificações complementares na outra barra pinos e demais itens que compõem a estrutura Como comentado no exemplo não podemos afirmar com total certeza que toda estrutura é segura pois verificações complementares devem ser realizadas Assim devemos verificar não somente a tensão normal ou axial mas também devemos determinar as tensões de cisalhamento e tensões de esmagamento nas diversas partes que compõem a estrutura além das deformações que serão apro fundadas nos próximos tópicos Relembrando e reforçando o conceito de tensão é uma relação entre força e área da seção transversal Forças Axiais e Tensões Normais Neste tópico iremos começar a estudar um pouco sobre a tensão normal devido a forças axiais que será de extrema importância para fundamentar toda a sua formação para se tor nar um engenheiro As informações que serão estudadas explicarão a distribuição de esforços axiais e o comportamento do concreto aço e madeira para o dimensionamento das matérias futuras Então não deixe de querer se aprofun dar no assunto o qual explicará várias situações do seu cotidiano na engenharia 79 UNIDADE 2 Tensões Normais Forças Axiais Como comentado no Tópico 1 e na Figura 4 as forças FBC e FBC que atuam na barra BC estão na direção do eixo da barra Este fato caracteriza as forças como axiais por estarem no mesmo sentido da barra Se realizarmos uma seção um corte transversal nesta barra para determinarmos as forças internas e as tensões observaremos que as forças aplicadas ficaram perpen diculares à seção transversal Com essas considerações comentadas permitese a determinação de tensão normal em uma barra sob a ação de um carregamento axial expressa novamente pela equação 1 s P A Eq 1 Em que P Carga aplicada N A Área da seção transversal mm2 σ Tensão normal MPa Observe que na força P a intensidade corresponde à resultante das forças inter nas que atuam na seção transversal definida pela área A correspondente ao valor médio das tensões na seção transversal e não ao valor específico da tensão em um determinado ponto da seção transversal Para situações em que se é necessário determinar a tensão em um determinado ponto devemos considerar a mesma linha de raciocínio Primeiramente iremos observar em uma seção transversal um ponto Q e considerar uma pequena área A como representado na Figura 6 Figura 6 Determinação de tensão normal em um ponto Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 F P Q A Como estamos considerando um ponto devemos pensar em limites Assim se dividirmos a intensidade ΔF por ΔA determinase o valor médio da tensão em ΔA Logo fazendo ΔA tender a zero podemos obter a tensão no ponto Q expressa pela equação 2 σ lim ΔA0 ΔFΔA Eq 2 O resultado obtido para a tensão no ponto Q é diferente do valor da tensão média determinada pela equação 1 Dessa forma notamos que a tensão varia ao longo da seção transversal Essa situação de variação de tensão fica muito clara quando em uma barra delgada sujeita a forças concentradas iguais e de sentidos oposto P e P Figura 7a a variação é pequena nas seções distantes do ponto de aplicação das forças Figura 7c Contudo a variação é visível nas regiões próximas à aplicação do carregamento Figura 7b e 7d Figura 7 Distribuição interna das tensões normais Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 No cotidiano consideraremos que a distribuição das tensões é uniforme em uma barra carregada axialmente com exceção das seções nas vizinhanças do ponto de aplicação do carregamento Assim a tensão σ será igual a tensão média σméd determinada pela equação 1 Devemos compreender que quando assumimos uma distribuição uniforme de tensões estamos considerando que as forças internas estão uniformemente distribuídas ao longo da seção Essa consideração rege os princípios da Estática em que a resultante P das forças internas está aplicada no centroide da seção transversal ilustrada pela Figura 8 Figura 8 Distribuição da tensão na seção transversal e a resultante do carregamento aplicado Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Quando o carregamento está aplicado exatamente no centroide e a barra for retilínea podemos considerar a distribuição uniforme de tensões porém em situações em que o carregamento é axial mas a barra apresenta excentricidade como a Figura 9 apresenta as condições de equilíbrio de uma parte da barra Figura 9b nos levam a concluir que as forças internas em uma certa seção transversal devem ser equivalentes à força P aplicada no centroide dessa seção Nesse caso momento M tem intensidade dada por MPd Figura 9 Barras carregadas axialmente com excentricidade Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 1 EXERCÍCIO Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B como indicado na Figura 10 Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra Figura 10 Associação de barras com carregamento Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 O exercício solicita determinar a tensão média normal Para isso precisamos determinar duas informações os carregamentos aplicados e as áreas Assim primeiramente iremos determinar os carregamentos e depois as áreas Carregamentos PAB 180 kN 180000 N PBC 180 130 130 80 kN 80000 N Áreas AAB πd²4 π50²4 196350 mm² ABC πd²4 π75²4 441787 mm² Tensão média normal Trecho AB σAB PABAAB 180000196350 9167 MPa Trecho BC σBC PBCABC 80000441786 1811 MPa 2 EXERCÍCIO Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B como indicado na Figura 11 Determine a intensidade da força P para que a tensão normal seja a mesma em ambas as barras Figura 11 Associação de barras para determinação do carregamento P Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Como nos demais exercícios já exemplificados inicialmente iremos extrair as informações para podermos determinar o solicitado no problema que neste exemplo é a força P em uma condição em que as barras tenham a mesma tensão normal Assim para determinarmos a força P por meio da tensão normal devemos primeiramente determinar as cargas aplicadas e as áreas Carregamentos PAB P PBC P 40kN P 40000N Observe que para determinarmos os carregamentos nos trechos em questão iniciaremos com a determinação pelo trecho livre das cargas as quais são cumulativas Áreas AAB πd²4 π30²4 70686 mm² ABC πd²4 π50²4 196350 mm² Tensão média normal Trecho AB σAB PABAAB P70686 Trecho BC σBC PBCABC P 40000196350 Como a σABσBC teremos σAB σBC P70686 P 40000196350 196350P 70686P 40000 196350P 70686P 2827440000 196350P 70686P 2827440000 125664P 2827440000 P 2827440000125664 22500 N Assim temos que a força é de P 22500 N 2250 kN Para confirmarmos a afirmação que as tensões são iguais podemos substituir o valor de P nas expressões iniciais da tensão Assim teremos que Trecho AB σAB PABAAB P70686 2250070686 3183 MPa Trecho BC σBC PBCABC P 40000196350 22500 40000196350 62500196350 3183 MPa 3 EXERCÍCIO Uma carga axial P é suportada por uma pequena coluna W250 x 80 de seção transversal uniforme e igual a A 10200 mm² A carga é transmitida a uma fundação de concreto por uma placa quadrada de 450 mm como mostrado na Figura 12 Sabendose que a tensão normal média na coluna não pode exceder 248 MPa e que a tensão de esmagamento média sobre a fundação de concreto não poderá exceder 1380 MPa determine a máxima carga P admissível Figura 12 Desenho ilustrativo de aplicação da força P no perfil W250 x 80 Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Observe que este exercício exemplo quer que determinem o valor da força P que atenda tanto à tensão normal da coluna quanto à tensão de esmagamento da placa de concreto ou seja terá que ser um valor seguro para as duas situações Primeiramente iremos separar as informações de cada situação a coluna de aço e a placa de concreto para depois iniciarmos a resolução Informações do perfil W250 x 80 Área da seção transversal A 10200 Limite da Tensão normal média σ Limite 248MPa Informações da placa de concreto Área da seção transversal A 450 450 202500 Limite da Tensão normal média σ Limite 13 80MPa UNIDADE 2 85 86 Conceito de Tensão Cálculo da força P para o perfil σPERFIL PERFIL PERFIL PERFIL PERFIL P A P P 248 10 200 248 10 200 2 529 600 2 529 60 N P kN PERFIL Verificação se a placa de concreto suporta a carga aplicada no perfil s s PLACA PLACA PLACA P A MPa 2 529 600 202 500 12 49 Assim a tensão da placa de concreto devido à carga aplicada no perfil corresponde a 1249 Mpa que é menor que a tensão de esmagamento limite da placa de concreto que é 1380 MPa Logo podemos admitir que a máxima carga admissível para que se atenda às condições estipuladas para os dois elementos é de P 252960 kN Com o assunto estudado será possível determinar tensões devido aos esforços de compressão ou tração e suas diversas aplicações que são extremamente importantes para o cotidiano da Engenharia 87 UNIDADE 2 Tensões de Cisalhamento Neste tópico iremos começar a estudar um pouco sobre a tensão de cisalhamento devido a forças cortantes em nossas peças de estudo e suas pro priedades que compõem as situações do nosso cotidiano Esses conceitos serão aplicados em diversos conteúdos a serem estudados no curso de Engenharia Então não deixe de aprimorar os seus conhecimentos 88 Conceito de Tensão Tensão de Cisalhamento Nos tópicos anteriores comentamos sobre o conceito de tensão o qual permanece o mesmo uma relação entre força e área Contudo o que se nota de diferente entre a tensão normal e a tensão de cisalhamento é que a carga de aplicação não é mais no sentido axial da barra prismática em estudo A tensão de cisalhamento ocorre quando uma força é aplicada na direção transversal da barra também conhecida como força cortante situação essa ilustrada na Figura 13 Figura 13 Força P força cortante aplicada em barra de estudo Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Com a força cortante aplicada P se dividirmos pela área da seção transversal de terminamos a tensão média de cisalhamento para a barra em estudo expressa pela equação 3 tmédia Força Área P A Eq 3 Em que τmédia Tensão média de cisalhamento Pa MPa P Força cortante aplicada N A Área da seção transversal mm2 m2 A tensão média não pode ser considerada como uma distribuição de tensões na seção transversal da mesma forma que se é considerado em tensões normais A P B P 89 UNIDADE 2 A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos rebites pinos que ligam as diversas partes das máquinas estruturas e peças Um exemplo é uma situação em que ocorre a ligação por um conector com um rebite apresentada na Figura 14 em que duas chapas são ligadas por um conector O valor real da tensão de cisalhamento da superfície varia conforme a distância da linha neutra Figura 14 Ligação de chapas por meio de conector rebite Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Observe que o sentido da força F aplicada é perpendicular ao conector Logo o local está propício a ser cisalhado Isso é muito comum em pinos de engate de barcos Note que o que irá suportar a força F é a área da seção transversal do pino ou seja a divisão da força pela área Nesse caso portanto iremos determinar a tensão de cisalhamento Um detalhe importante é a quantidade de áreas que irão suportar os carregamentos aplicados Retomando a equação 3 tmédia P A observamos que a tensão é inversamente proporcional à área logo se aumentarmos a área a tensão de cisalhamento será menor Essa condição explica porque um pino tão pequeno colocado em uma dobradiça suporta o peso de uma porta Isso é devido à quantidade de área para suportar o esforço denominada área de corte D C F E F E A B 90 Conceito de Tensão Figura 15 Ligação de chapas por meio de conector rebite com 2 planos de corte Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A determinação da tensão no pino EG ou pino HJ é dada por tmédia P 2A Eq 4 Distorção ou Deformação Específica A variação do ângulo reto de um elemento inicialmente retangular denominase distorção Ela é expressa em radianos e é designada pela letra γ gamma como mostrado na Figura 16 F K F D E H G J L L K B A C Figura 16 Tensões de cisalhamento atuando em um elemento Fonte adaptada de Nash 2014 A tensão média de cisalhamento também deve atender às condições da lei de Hooke para materiais dúcteis Assim podemos expressar que a tensão pode ser determinada pela equação 5 b a τ τ A γ Assim ilustrando a situação como apresentado na Figura 15 em que o pino EG e o pino HJ possuem duas áreas de corte podemos expressar a tensão de cisalhamento pela equação 3 τ média Gγ Eq 5 Em que τ média Tensão média de cisalhamento Pa MPa G Módulo de elasticidade transversal Pa MPa GPa γ Distorção ou deformação específica Agora iremos aplicar o conceito de tensão de cisalhamento em alguns exemplos 4 EXERCÍCIO Uma junta de um veículo apresentada na Figura 17 é ligada por meio de parafuso com diâmetro de 10 mm e possui uma força P de 30 kN aplicada Verifique se a ligação apresenta segurança sendo que a tensão de cisalhamento de ruptura do parafuso é de 150 MPa Dica será necessário determinar a tensão de cisalhamento para os planos aa e bb Figura 17 Junta de ligação com parafuso Fonte adaptada de Nash 2014 Nossa equação de referência é a equação 3 τ média PA Para desenvolvermos esse exercício como os demais já resolvidos primeiramente iremos extrair os dados apresentados no enunciado Carregamento aplicado P 30kN 30000 Área da seção transversal A π d² 4 π 10² 4 π 100 4 7854 Planos de corte do parafuso 2 planos de corte Assim podemos determinar a tensão média de cisalhamento do parafuso logo τ média PA 30000 2 7854 19099MPa Concluímos que como a tensão média de cisalhamento calculada é maior que a tensão média de cisalhamento de ruptura a ligação apresenta segurança UNIDADE 2 91 5 EXERCÍCIO Em sistemas estruturais é comum utilizarse como suporte cantoneiras metálicas como mostrado na Figura 18 para transmitir cargas de uma viga para os pilares Se a reação da viga sobre a cantoneira é de 45 kN para baixo e se os dois parafusos com diâmetros de 22 mm são utilizados determine a tensão de cisalhamento em cada um dos dois rebites Consideraremos que os parafusos preenchem os furos Figura 18 Ligação cantoneirapilar parafusada Fonte adaptada de Nash 2014 Neste exemplo observamos a necessidade de determinar a tensão de cisalhamento Logo iremos utilizar a equação 3 τ média PA Para desenvolvermos esse exercício como os demais já resolvidos iremos extrair primeiramente os dados apresentados no enunciado Carregamento aplicado P 45kN 45000 Área da seção transversal A π d² 4 π 22² 4 π 484 4 38013 Planos de corte do parafuso 2 planos de corte 1 plano de corte de cada parafuso 92 Conceito de Tensão Assim podemos determinar a tensão média de cisalhamento dos parafusos Logo τmédia PA 45000 2 38013 5919 MPa Concluímos que a tensão média de cisalhamento calculada é 5919 MPa Considere uma estrutura tipo balcão mostrada na Figura 19 O balcão horizontal é submetido a uma carga total de 80 kN distribuída de uma maneira radialmente simétrica O elemento central é um eixo de 500 mm de diâmetro O balcão é soldado tanto na sua parte superior quanto na sua parte inferior por cordões de solda de 10 mm de lado como mostrado na figura Determine a tensão de cisalhamento entre o eixo e a solda Figura 19 Estrutura tipo balcão Fonte adaptada de Nash 2014 Neste exemplo observamos a necessidade de determinar a tensão de cisalhamento Logo iremos utilizar a equação 3 τmédia PA Para desenvolvermos esse exercício como os demais já resolvidos iremos extrair primeiramente os dados apresentados no enunciado Carregamento aplicado P 80 kN 80000 N Comprimento da solda C 2 π r 2 π 250 157080 mm Planos de corte da solda 2 planos de corte 1 plano de corte na parte superior do balcão e 1 plano de corte na parte inferior do balcão Área da seção transversal A Comprimento da Solda C Largura da Solda A 157080 10 1570800 mm² Assim podemos determinar a tensão média de cisalhamento entre o eixo e a solda Logo τmédia PA 80000 2 1570800 255 MPa Concluímos que a tensão média de cisalhamento calculada é 255 MPa Entendemos neste tópico a determinação na tensão de cisalhamento e sua importância desde a aplicação em conectores até situações de peças soldadas O importante é observarmos que os conceitos podem e devem ser aplicados sempre que houver o carregamento cortante em peças Tensões de Esmagamento Neste tópico iremos complementar os nossos estu dos sobre tensão com a tensão de esmagamento Ela ocorre entre um conector que pode ser um rebite parafuso ou mesmo um prego e o seu material de suporte que pode ser uma chapa metálica uma tá bua de madeira ou algum outro material composto Lembrese que a tensão de esmagamento como as outras tensões estudadas não é influenciada pelo tipo de material O que interfere nos diversos tipos de tensões estudadas é o sentido do carregamento e a área da seção transversal do material para resistir ao esforço Vamos aprimorar o conhecimento Os conectores como pinos parafusos rebites e pregos provocam tensões de esmagamento nas barras em que estão ligados ao longo da superfície de contato Um exemplo é você pensar em uma experiência com uma lapiseira e algumas folhas de papel A4 da seguinte forma imagine que você consiga cravar uma lapiseira sem quebrar em uma resma de folhas A4 Após essa situação imagine que você tracionaria as folhas para um lado e a lapiseira para o sentido oposto 96 Conceito de Tensão O que teríamos de resultado Será que as folhas de papel iriam se rasgar Será que o furo ficaria mais aberto A lapiseira flexionaria Observou a quantidade de dúvidas Respondendo a esses questionamentos utili zando um pouco da lógica é bem provável que a lapiseira iria flexionar Contudo se invertêssemos as condições você cravaria a lapiseira porém em apenas uma única folha de papel e tracionaria a folha para um lado e lapiseira para o sentido oposto O que ocorreria Nesta última situação comentada certamente o furo iria primeiramente ficar em uma forma ovalizada Aumentando o carregamento ocorreria o rasgamento da folha É nesta situação que a tensão de esmagamento deve ser determinada pois qual é a tensão que pode ser aplicada de forma que a folha de papel não rasgue Para melhor ilustrar o comentário anterior podemos ter como exemplo uma chapa A e B ligadas pelo rebite CD apresentado na Figura 20 O rebite exerce na placa A uma força P igual e de sentido contrário à força F aplicada sobre o rebite A força P representa a resultante das forças elementares que se distribuem ao longo da superfície interna do semicilindro de diâmetro d e comprimento t igual a espessura da chapa A distribuição das tensões ao longo dessa superfície cilíndrica é de difícil obtenção Na prática utilizase um valor nominal médio para a tensão obtido pela relação entre a força aplicada P e área de projeção do conector com área retangular representado pelo diâmetro do furo como base e a espessura como altura Dessa forma é possível determinar a tensão de esmagamento σE Figura 20 Tensão de esmagamento Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 d t C D P F F A O que foi escrito pode ser representado pela equação 6 σE P A P t d Eq 6 Em que σE Tensão de esmagamento Pa MPa P Carga aplicada N kN t Espessura da chapa ou peça m cm mm d Diâmetro do furo m cm mm Agora iremos desenvolver um exercício exemplo para fixação do conteúdo determinando uma área de esmagamento Duas chapas 22 x 300 mm como representado na Figura 21 estão emendadas por meio de talas com 2 x 8 parafusos com diâmetro de 22 mm 78 cada Determine tensão de esmagamento entre os parafusos e a chapa tracionada Figura 21 Ligação de chapas por conectores Fonte o autor Teremos então que determinar a tensão de esmagamento entre os parafusos e a chapa Nesse caso podemos utilizar a equação 6 expressa por σE PA P t d Eq 6 Primeiramente precisamos saber qual área iremos utilizar Assim por meio da representação na Figura 22 observaremos quais as áreas que serão consideradas Devemos nos atentar que não somente a força aplicada deve ser decomposta mas que também a área da seção transversal é inclinada Sendo assim podemos determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento pelas equações 9 e 10 σ F Aθ Eq 9 e τ V Aθ Eq 10 Para decompormos Aθ em função da área A0 podemos desenvolver o cálculo por meio de cos θ Cateto Adjacente Hipotenusa Aθ A0 Aθ A0 cos θ Substituindo a área Aθ determinada na decomposição da área A0 e os resultados obtidos das equações 7 e 8 nas respectivas equações 9 e 10 teremos σ P cos θ A0 cos θ P cos θ cos θ A0 P cos2 θ A0 Eq 11 e τ V Aθ P sen θ A0 cos θ P sen θ cos θ A0 Eq 12 Com as equações 11 e 12 podemos estudar um pouco sobre os valores máximos e mínimos das tensões para a seção Assim observe que se θ 0 teremos a tensão normal máxima já quando o plano for ortogonal ao eixo θ 90 a tensão normal é mínima Quanto à tensão de cisalhamento é nula quando θ 0 e θ 90 e o seu máximo será quando θ 45 Outra situação que devemos saber é que quando o ângulo for θ 45 temos que tensão normal e a tensão de cisalhamento são iguais Podemos agora aplicar os conceitos aprendidos nos exercícios exemplos a seguir Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code 99 UNIDADE 2 Tensões em um Plano Oblíquo ao Eixo Neste tópico aprenderemos como determinar as tensões quando a seção transversal é oblíqua ao eixo Esse tipo de situação é muito comum em planos inclinados recorrentes em muitos projetos de Engenharia seja como uma escada uma rampa ou mesmo uma cobertura com as diagonais de uma treliça Assim compreender este assunto é importantíssimo pois provavelmente fará parte do seu cotidiano Então iniciamos mais um assunto importante Conto com você Trabalharemos com situações complementares às estudadas nos tópicos anteriores como quando as forças axiais aplicadas a uma barra causavam tensões normais enquanto forças transversais aplicadas a conectores causavam tensões de ci salhamento Observamos essa dependência en tre as tensões normais e forças axiais tensões de cisalhamento e forças transversais Devido a isso analisamos as tensões sempre em planos normais aos eixos das barras e conectores Figura 22 Corte na região dos conectores Fonte o autor Para determinar a área que representada o esmagamento foi realizado um corte vertical na Figura 22 em um alinhamento de furos exatamente no meio da furação Dessa forma observe as áreas hachuradas que correspondem à área de esmagamento e observe a quantidade de áreas Assim teremos que Área de esmagamento A td 22 22 484 mm2 Quantidade de área 4 áreas Força aplicada P P 300kN 300000 N Substituindo as informações encontradas teremos σE P 4 A 300000 4 484 15496 MPa A intenção deste exercício exemplo além de explicar como determinar a tensão de esmagamento tem como principal função observar como determinar a área que em muitos exemplos é o item mais trabalhoso a ser calculado Finalizamos mais um tópico cujo objetivo foi aprendermos como determinar a tensão de esmagamento e como determinar a área correta para avaliar esse tipo de tensão Agora iremos verificar que as forças axiais e forças transversais causam ao mesmo tempo tensões normais e tensões de cisalhamento em planos que não são perpendiculares ao eixo da peça ou ao conector Esse plano comentado é conhecido como plano oblíquo Para deixar mais claro é importante que você remembre um pouco de Geometria Analítica juntamente com decomposição de vetores Isso irá lhe auxiliar no entendimento e desenvolvimento de qualquer problema sobre este assunto Consideremos inicialmente uma barra exposta na Figura 23 sujeita ao carregamento de forças axiais P e P Se cortarmos a barra por um plano que forma um ângulo θ teta com o plano normal seção transversal e desenharmos o diagrama de corpo livre da parte à esquerda da seção veremos que as forças distribuídas atuando na seção devem ser equivalentes à P Figura 23a e 23b Figura 23 Exemplo de plano obliquo em barra Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para isso precisaremos decompor a força P em suas componentes F Força perpendicular ao plano e V Força paralela do plano respectivamente normal e tangencial ao plano da seção Logo podemos decompor e encontrar as equações 7 e 8 observada na Figura 23c cos θ Cateto Adjacente Hipotenusa F P F Pcos θ Eq 7 e sen θ Cateto Oposto Hipotenusa V P V Psen θ Eq 8 Duas peças de madeira de seção transversal retangular uniforme de 80 x 120 mm são unidas por meio de uma emenda chanfrada e simplesmente colada como indicado na Figura 24 Sabendo que P 12 kN determine as tensões normal e de cisalhamento na referida emenda Figura 24 Emenda chanfrada e colada com ângulo de 22º Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para resolução deste exercício exemplo podemos partir de duas linhas de raciocínio 1 decompor a força P e área da seção transversal A perpendicular ao eixo longitudinal ou 2 utilizar as equações já desenvolvidas Iremos aplicar diretamente as equações desenvolvidas para entendermos o desenvolvimento e os cuidados que devemos ter Assim como nos demais exercícios exemplos resolvidos iremos separar os dados apresentados no enunciado para podermos determinar as tensões solicitadas Carregamento aplicado P 12kN 12000N Área da seção transversal A0 80 120 9600mm2 Ângulo do plano oblíquo θ 90º 22º 68º Dessa forma teremos para tensão normal σ Pcos2 θ A0 12000 cos 68º2 9600 168396 9600 018 MPa E teremos para tensão média de cisalhamento τ Psenθcos θ A0 12000 sen68º cos68º 9600 416795 9600 043 MPa Duas peças de madeira de seção transversal retangular uniforme de 76x 127 mm são unidas por meio de uma emenda chanfrada e simplesmente colada como indicado na Figura 25 Sabendo que P 3560 kN determine as tensões normal e de cisalhamento na referida emenda Figura 25 Emenda chanfrada e colada com ângulo de 65º Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Neste exercício exemplo iremos desenvolver as decomposições para entendermos o desenvolvimento e os cuidados que devemos ter Assim como nos demais exercícios exemplos resolvidos iremos separar os dados apresentados no enunciado para podermos determinar as tensões solicitadas Carregamento aplicado P 3560 kN 3560000N Ângulo do plano oblíquo θ 90º 65º 25º Decomposição da força P F Pcosθ 3560000 cos25º 322645572 N V Psenθ 3560000 sen25º 150452101 N Área da seção transversal A0 76 127 9652 mm2 Decomposição da seção transversal Aθ Aθ A0 cosθ 9652 cos25º 1064980 mm2 Dessa forma teremos para tensão normal σ F Aθ 322645572 1064980 30296 kN E teremos para tensão cisalhamento τ V Aθ 150452101 1064980 14127 MPa Caso quisermos aplicar diretamente as equações para obter os resultados podemos expressar os resultados da seguinte maneira Teremos para tensão normal σ Pcos2 θ A0 3560000 cos 25º2 9652 292416195 9652 30296 MPa E teremos para tensão cisalhamento τ Psenθcos θ A0 3560000 sen25º cos25º 9652 136355911 9652 14127 MPa Um tubo de aço de 300 mm de diâmetro externo é fabricado com chapa de 635 mm de espessura por meio de um cordão de solda ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 225º com um plano perpendicular ao eixo do tubo Sabendose que uma força axial P de 270 kN é aplicada no tubo determine as tensões normal e de cisalhamento que atuam respectivamente nas direções normal e tangencial ao cordão de solda como ilustrado na Figura 26 Figura 26 Tubo de aço com emenda soldada Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para resolução deste exercício exemplo devemos nos atentar à área que iremos utilizar e ao ângulo em relação à seção transversal Assim como nos demais exercícios exemplos resolvidos iremos separar as informações para podermos determinar as tensões solicitadas Carregamento aplicado P 270kN 270000N Área da seção transversal Deverá ser a área da borda da peça pois é a área que suportará as tensões A0 Aexterna Ainterna πdexterno24 πdexterno24 A0 π30024 π300 635 63524 A0 7068583 6482778 585805mm2 Ângulo do plano oblíquo θ 225º Dessa forma teremos para tensão normal σ Pcos2θA0 270000cos225º2585805 23045942585805 3934MPa E teremos para tensão cisalhamento τ PsenθcosθA0 270000sen225ºcos225º585805 9545942585805 1630MPa Finalizamos mais um tópico e mais uma unidade Aqui foram apresentados os conceitos dos tipos de tensões e como desenvolvêlos Esses conceitos deverão ser guardados para os próximos assuntos pois o emprego será grande Mantenha o foco pois estamos no caminho certo 106 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução Em uma articulação de um equipamento com características indicadas na Fi gura a seguir devem ser verificadas algumas tensões para fins de segurança A articulação possui duas cargas verticais aplicadas no pino B Sabese que o diâmetro do pino usado em cada ligação é de 1520 mm o aço utilizado para confecção dos componentes é o SAE 1020 Articulação de um equipamento Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 1 As hastes AB e BC são seguras para uma tensão normal admissível de 1500 MPa 2 O pino B é seguro para articulação B para uma tensão de cisalhamento de 150 MPa 3 As extremidades das hastes AB e BC em B são seguras para uma tensão de esmagamento de 1500 MPa 406 mm 127 mm 406 mm 127 mm 127 mm 127 mm 60º 45º 53 kN 53 kN B C A 107 Estática mecânica para Engenharia Autor R C HIBBELER Editora Pearson Pretince Hall Sinopse desenvolvida para facilitar o ensino e o aprendizado Assim pode ser descrita esta obra de R C Hibbeler que apresenta em profundidade toda a teoria da estática para engenharia e suas aplicações Isso fica claro quando observamos os aprimoramentos desta nova edição Agora em sistema interna cional de unidades ela possui uma maior variedade de problemas organizados em nível gradual de dificuldade mais fotos e novos diagramas com vetores para demonstrar aplicações do mundo real LIVRO 108 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 GERE J M GOODNO B J PAIVA L F de C TASKS A Mecânica dos materiais 2 ed São Paulo Cengage Learning 2010 NASH W A POTTER M C Resistência dos Materiais 5 ed Porto Alegre Bookman Editora 2014 Gabarito 1 Determinação da área da haste AB e BC AAB 40601270 51562mm2 ABC 40601270 51562mm2 Determinação do carregamento aplicado na haste AB e BC Haste AB cos60º CAH FP F Pcos60º F 1060cos60º 530kN F 5300N Haste BC cos45º CAH FP F Pcos5º F 1060cos45º 750kN F 7500N Determinação da tensão normal σAB PABAAB 530051562 1028MPa σBC PBCABC 750051562 1454MPa Conclusão Concluise que por as tensões normais das hastes AB e BC serem menores que a tensão normal admissível de 1500 MPa as hastes AB e BC apresentam segurança em relação às tensões normais 2 Determinação da área do pino B A πd24 π15224 725834 18146mm2 Quantidade de área de corte Haste AB 2 áreas de corte Quantidade de área de corte Haste BC 2 áreas de corte Determinação do carregamento aplicado no pino B Haste AB cos60º CAH FP F Pcos60º F 1060cos60º 530kN F 5300N Haste BC cos45º CAH FP F Pcos5º F 1060cos45º 750kN F 7500N Determinação da tensão de cisalhamento do pino B τAB PAB2AAB 5300218146 1460MPa τBC PBC2ABC 7500218146 2067MPa Conclusão Concluise que por uma das tensões de cisalhamento ser maior que a tensão de cisalhamento admissível de 1500 MPa o pino não apresenta segurança em relação às tensões de cisalhamento 3 Determinação da área de esmagamento das hastes AB e BC AAB t d 127 152 19304 mm² ABC 2t d 2 127 152 38608 mm² Determinação do carregamento aplicado na haste AB e BC na extremidade do pino B Haste AB cos60 CAH FP F Pcos60 F 1060 cos60 530 kN F 5300 N Haste BC cos45 CAH FP F Pcos5 F 1060 cos45 750 kN F 7500 N Determinação da tensão de esmagamento para hastes AB e BC na extremidade B σE AB PABAAB 530019304 2746 MPa σE BC PBCABC 750038608 1943 MPa Conclusão Concluise que pelas duas tensões de esmagamento serem maiores que a tensão de esmagamento admissível de 1500 MPa as extremidades das hastes AB e BC poderá apresentar rasgamento assim a extremidade de hasta AB e BC no pino B não apresenta segurança em relação às tensões de esmagamento 111 Diário de Bordo 115 Deformação Específica Normal Para começar devemos definir o que é deformação específica normal em um membro como deformação de um membro por unidade de comprimento denominada como deformação específica normal BEER JOHNSTON JR 2006 Podemos traduzir esse conceito em uma expressão Imagine uma reta AB que pertence a um corpo não deformado conforme apresentado na Figura 1a A reta AB encontrase em eixo n e tem um comprimento inicial que pode ser chamado de Δs e após um carregamento passamos a ter A e B Perceba no entanto que essa reta tornouse uma curva de comprimento Δs conforme a Figura 1b Assim podemos determinar a variação de comprimento da reta δ por meio de Δs Δs Figura 1 Exemplo de corpo para deformação específica normal Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Assim definimos a deformação específica normal ε por meio da equação 1 ε Δs Δs Δs ε δ L Eq 1 Onde ε Deformação específica normal δ Variação do comprimento em unidade de comprimento m cm mm L Comprimento inicial da amostra em unidade de comprimento m cm mm Se escolhermos o ponto B cada vez mais próximo de A o comprimento da reta ficará cada vez menor de modo que Δs 0 assim B aproximase de A logo Δs 0 desta forma podemos transcrever a equação 1 em ε lim BA ao longo de n Δs ΔsΔs Eq 2 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Discutir as deformações de um membro estrutural Entender o diagrama de tensãodeformação Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade Compreender as deformações de barras sujeitas a cargas axiais Entender como determinar problemas cujas reações de apoio e as forças internas não podem ser determinadas apenas pela Estática Compreender a relação entre deformação específica axial e a transversal Deformação Específica Normal Sob Carregamento Axial Diagrama de Tensão Deformação Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade Problemas Estaticamente Indeterminados Coeficiente de Poisson Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Me Ronan Yuzo Takeda Violin Tensão e Deformação Carregamento Axial Deformação Específica Normal Sob Carregamento Axial Caroa alunoa neste tópico iremos começar a aplicar os conhecimento já estabelecido nas uni dades anteriores caso precise relembrar alguma coisa busque o material para não prosseguir com dúvidas O assunto abordado aqui será sobre de formação específica e variação de comprimento muito importante no cotidiano da engenharia e também necessário para que as nossas constru ções fiquem em pé para que as peças se encaixem nos espaços determinados Então iniciamos um novo conteúdo com todo ânimo 115 UNIDADE 3 Deformação Quando uma força é aplicada a um corpo este tende a mudar de forma e de tamanho Tais mudanças são conhecidas como deformações e podem ser facilmente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados instrumentos específicos para medição HIBBELER MARQUES 2010 Podemos exemplificar este fato com uma tira de borracha que sofrerá uma grande deformação quanto esticada por outro lado elementos estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há carregamento ocorrendo sobre eles como passagem de veículos em subsolos Não só a aplicação de carregamento oca siona deformação mas a variação de temperatura também Um exemplo clássico é a expansão ou a contração térmica de um telhado causadas pelas condições atmosféricas HIBBELER MARQUES 2010 De certa forma a deformação de um corpo não será uniforme em todo o seu vo lume e portanto a variação geométrica de um segmento de reta no interior do corpo pode variar ao longo de seu comprimento Por exemplo uma parte da reta pode se alongar enquanto a outra parte pode se contrair O conceito de deformação pode ser descrito pela deformação por meio de mu danças de comprimento de segmentos de reta e nos ângulos entre eles relacionados com as cargas aplicadas ou as tensões que agem no interior do corpo HIBBELER MARQUES 2010 Caso tenhamos o valor da deformação normal será possível determinar o comprimento final aproximado de um segmento curto de reta na direção n após a deformação Outra informação importante a ser comentada é a interpretação do resultado pois quando ε é positivo significa que a reta irá se alongar e se for negativo a reta irá contrair A deformação normal específica é uma quantidade adimensional visto que é uma razão entre dois comprimentos Deformação por Cisalhamento Podemos definir deformação por cisalhamento a ocorrência da mudança no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram perpendiculares HIBBELER MARQUES 2010 A representação das informações é por γ gama que corresponde ao ângulo entre as retas medidas em radianos rad conforme apresentado na Figura 2a Figura 2 Exemplo de corpo para deformação por cisalhamento Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Podemos verificar que isso ocorre considerando os segmentos de reta AB e AC que se originaram do mesmo ponto A de um corpo e estão direcionados ao longo dos eixos perpendiculares n e t Seguindo o raciocínio da deformação normal específica após a deformação as extremidades das retas são deslocadas e as próprias retas transformamse em curvas de modo que o ângulo entre elas em A é θ Figura 2b Assim definimos que a deformação por cisalhamento é expressa pela equação 3 Entendese que se θ for menor que π2 a deformação por cisalhamento é positiva caso θ for maior que π2 então a deformação será negativa O assunto de deformação não se limita somente à deformação específica normal e deformação por cisalhamento É importante complementar os estudos com os componentes cartesianos da deformação Para este aprofundamento no conteúdo busque no livro Resistência dos Materiais do Prof Hibbeler o capítulo sobre Deformação e Transformação da deformação Após toda essa conceituação nada melhor que algumas aplicações para fixar os conceitos e entender para que servem Iremos na sequência desenvolver alguns exercícios exemplificativos 1 EXERCÍCIO Uma haste muito fina é apresentada na Figura 3 Ela é submetida a um aumento de temperatura ao longo do seu eixo o que cria uma deformação normal específica ε na haste de 40 10³ Assim podese determinar o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento da temperatura e comprimento final da haste após a deformação Figura 3 Haste delgada com aplicação de carga térmica Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Para determinar o deslocamento da extremidade B da haste devido ao aumento da temperatura iremos extrair as informações do exercício temos Deformação normal específica ε 40 10³ mmmm Comprimento inicial L₀ 200 mm Logo o deslocamento da extremidade B será ε δL δ ε L 40 10³ mmmm 200 mm 8 mm O comprimento da haste após deformação será L L₀ δ 200 8 208 mm 2 EXERCÍCIO Uma força que atua na empunhadura do cabo da alavanca mostrada na Figura 4 provoca uma rotação nos cabos da alavanca de θ 0002 rad em sentido horário Determine a deformação normal específica desenvolvida no cabo BC Figura 4 Cabo submetido à força por meio da empunhadura Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Neste exemplo precisamos entender os efeitos ocorrentes para podermos resolvelos Notamos na Figura 4 que a mão exerce a força comentada na alavanca AB tracionando o cabo CB no sentido horário do ângulo apresentado no enunciado A partir desse entendimento começaremos a resolver o exercício que solicita determinar a deformação específica normal do cabo Para isso precisamos primeiramente determinar a variação do comprimento do cabo Essa variação será determinada por meio da rotação da alavanca mediante relações trigonométricas Essas relações são verificáveis devido à formação de um triângulo retângulo conforme ilustrado na Figura 5 Figura 5 Rotação da alavanca AB Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Lembrando que para ângulos em radianos muito pequenos é válida a relação tan θ θ a variação do comprimento do cabo CB será tan θ Cateto Oposto Cateto Adjacente BB05 0002 BB05 BB 0002 rad 05m 0001 m Logo a deformação especifica normal é εCB δ LCB BB LCB 0001 m 1m 0001 m m 3 EXERCÍCIO O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm A pressão do ar em seu interior é aumentada até o diâmetro atingir 175 mm Determine a deformação específica normal na borracha Neste exemplo precisaremos determinar a variação do comprimento do diâmetro para depois determinar a deformação assim temos Variação do comprimento δ Comprimento do diâmetro final Comprimento do diâmetro inicial δ 175 150 25mm 120 Tensão e Deformação Deformação especifica normal ε δ L 25 mm 150 mm 0167 mm mm 4 EXERCÍCIO O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375 mm A fita é esticada ao redor de um tubo de diâmetro externo de 125 mm Determine a deformação específica normal na fita Neste exemplo primeiramente determinaremos o comprimento final da fita elástica que corresponde ao comprimento da circunferência do tubo Depois determinaremos a variação de comprimento para poder encontrar a deformação especifica normal Esta será a nossa linha de raciocínio para desenvolver o exercício Então vamos lá Comprimento da circunferência do tubo Raio Diâmetro 2 125 mm 2 625 mm Comp 2 π r 2 π 625 3926990 mm Variação do comprimento da fita elástica δ Comprimento do diâmetro final Comprimento da fita elástica δ 3926990 3750000 176990 mm Deformação especifica normal ε δ L 176990 mm 375 mm 00472 mm mm Assim aplicamos os conceitos para entendermos para que eles servem A maioria dos projetos de Engenharia envolve aplicações para as quais são permitidas somente pequenas deformações Assim podemos exemplificar Estruturas e máquinas parecem ser rígidas porém as deformações ocorrem durante a utilização e são dificilmente percebidas O material que compõe a peça que pode estar submetido a deformações pequenas quando a deflexão em uma chapa fina ou uma haste delgada for aparentemente grande Assim consideramos que as deformações normais são de grandezas infinitesimais ou seja são muito pequenas comparadas à unidade métrica da peça UNIDADE 3 121 Diagrama de Tensão Deformação Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade Caroa alunoa agora iremos aplicar os concei tos de tensão e deformação vistos nas unidades anteriores por meio de diagramas gráficos rela cionados ao comportamento de materiais dúcteis e frágeis além da relação com a Lei de Hooke e o módulo de elasticidade longitudinal para cada material Cada vez mais estamos complementamos o nosso conhecimento Observe que desde o pri meiro tópico da primeira unidade os assuntos estão relacionados e interligados Então não deixe de relembrar os conceitos já vistos Ótimos estudos 123 UNIDADE 3 Para ficar mais claro um diagrama muito importante e conhecido na engenharia deve ser apresentado inicialmente o diagrama de tensãodeformação Cada material estudado tem o seu diagrama que permite determinar algumas propriedades im portantes como o módulo de elasticidade longitudinal E e se o material apresenta características de um material dúctil ou frágil sendo também possível determinar se as deformações na amostra do material irão desaparecer depois que o carregamento for removido comportamento elástico ou se resultará em uma deformação plástica ou permanente Material Dúctil Os materiais dúcteis se caracterizam por apresentarem o escoamento a temperatu ras normais como exemplo o aço estrutural e outros metais Outra característica importante é que a tensão última é diferente da tensão de ruptura ou seja o maior valor da tensão não corresponde ao valor da tensão em que o material irá se romper conforme a Figura 6 BEER PEREIRA JOHNSTON JR 2006 Figura 6 Diagrama de tensãodeformação para materiais dúcteis Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Escoamento Recuperação Estricção ε ε R σ σ σ σ u e R 124 Tensão e Deformação Para o entendimento deste diagrama iremos comentar cada informação contida Podemos começar pela σu corresponde à tensão última ou seja a máxima tensão que se atinge σR corresponde à tensão de ruptura ou seja a tensão que provoca a ruptura do material σe corresponde à tensão de escoamento do material ou seja permite defi nir no diagrama quando um material dúctil seu comportamento elástico e o comportamento plástico εR corresponde à deformação de ruptura ou seja a deformação que se atingida provoca a ruptura do material Nos eixos são apresentados o símbolo grego σ sigma e ε épsilon que corresponde ao eixo dos valores da tensões e das deformações O diagrama possui as fases de evolução que correspondem 1 Ao aumento lento do comprimento com pequena deformação e diretamente proporcional a um grande carregamento aplicado que no diagrama repre senta o trecho reto da origem até a tensão de escoamento σe com grande coeficiente angular que se determina corresponde ao módulo de elasticidade longitudinal E 2 Após ultrapassar a tensão de escoamento apresenta característica de longa deformação com pouco aumento de carregamento logo haverá pequena variação da tensão 3 Após o material ultrapassar o escoamento o material começa a apresentar uma recuperação em relação ao suporte de tensão assim ocorre o aumento da deformação proporcional ao aumento do carregamento aplicado ou seja o aumento da tensão que irá atingir o seu valor máximo conhecido como tensão última σu 4 Após o material ou a amostra atingir a tensão última apresentará a diminui ção do diâmetro do corpo no caso de uma barra conhecida como estricção de forma que com a diminuição da seção transversal do material e com o carregamento aplicado o material irá manter a deformação até a ruptura σR 125 UNIDADE 3 Entendemos que um material dúctil apresenta característica de deformação antes de seu rom pimento e isso é de extrema importância pois nos avisará sobre condições que venham causar danos Assim é com o concreto armado em que o aço que compõe a estrutura é um material dúctil permitindo averiguar as deformações nos elementos estruturais Se não ocorrer o aumento das deformações assim se assegurará se é ape nas a deformação do material ou uma patologia Material Frágil Os materiais frágeis apresentam características em ruptura por não apresentarem deformações expressivas do material Podemos citar exemplos como o ferro fundido vidro e agregado graúdo Outra característica é que a tensão última é igual a tensão de ruptura ou seja difere do material dúctil por não apresentar escoamento Essa análise pode explicada pela Figura 7 BEER JOHSTON Jr 2006 Figura 7 Diagrama de tensãodeformação para materiais frágeis Fonte adaptada de Beer Pereira e Johnston 2006 ε ε R σ σ u R σ Ensaio de tração Material dúctil 126 Tensão e Deformação Para o entendimento deste diagrama iremos comentar cada informação contida nele Dessa forma podemos começar por σu corresponde à tensão última ou seja a máxima tensão que se atinge σR corresponde à tensão de ruptura ou seja a tensão que provoca a ruptura do material εR corresponde à deformação de ruptura ou seja a deformação que se atingida provoca a ruptura do material Se você realizou a comparação entre as explicações dos dois diagramas deve ter percebido que eles possuem a mesma descrição Isto significa que os conceitos de tensão e deformação são os mesmos para os dois tipos de materiais O diagrama possui as fases de evolução as quais correspondem ao aumento da deformação pro porcional ao aumento do carregamento aplicado até que se atinja a deformação de ruptura εR cor respondente à tensão de ruptura σR que possui o mesmo valor da tensão última σu Entendemos que um material frágil apresenta característica de baixa deformação isso também acontece em alguns materiais imperceptíveis sem a instrumentação por sensores Com essa situação este tipo de material em peças ou componentes que envolvem quesitos de segurança não possui grande empregabilidade Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Material dúctil é a capacidade de o material se deformar sobre a ação de cargas Material frágil é quando o material não apresenta deformação apenas a ruptura Fonte Pfeil e Pfeil 2009 Não se deve associar um material frágil à baixa resistência observe que ferro fundido vidro e pedra apresentam enorme resistência a determinados tipos de esforços A denominação do material frágil está associada à forma de ruptura do material Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade Longitudinal Módulo de Young As estruturas atuais são pensadas e calculadas para suportarem pequenas deformações Estas são limitadas por normativas tais como a ABNT NBR 61182014 para as estruturas em concreto armado a ABNT NBR 88002008 para estruturas em aço e a ABNT NBR 71901997 para estruturas em madeira Elas não ultrapassam os valores do diagrama de tensãodeformação mas correspondem ao trecho retilíneo do diagrama para materiais dúcteis Na análise do diagrama de tensão e deformação de um material dúctil Figura 6 iremos estudar e nos aprofundar no trecho retilíneo do diagrama correspondente a um trecho conhecido como regime elástico que permite o carregamento de cargas no material causando sua deformação porém quando descarregado o material retorna ao seu comprimento inicial Com essas características e com alguns conceitos básicos aprendidos em Física Geral e Experimental I podemos realizar associação do material a uma mola e aplicar a Lei de Hooke que descreve a tensão σ sendo diretamente proporcional à deformação específica ε expresso na equação 4 σ Eε Eq 4 Onde σ Tensão Pa MPa E Módulo de elasticidade longitudinal Pa MPa GPa ε Deformação específica normal Nesta expressão E representa a constante de proporcionalidade denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young nome que se deve ao físico inglês Thomas Young cientista quem definiu a constante O módulo de elasticidade é uma das propriedades mecânicas mais importantes utilizadas e deve ser utilizada em materiais com comportamento linear elástico Além disso se a tensão no material for maior que o limite de proporcionalidade o diagrama tensãodeformação deixa de ser uma linha reta Após termos conceituado os diagramas de tensãodeformação Lei de Hooke e o módulo de elasticidade precisamos agora praticar e aplicar Sendo assim iremos desenvolver um exercício exemplo UNIDADE 3 127 5 EXERCÍCIO Em um ensaio de tração para um açoliga resultou no diagrama tensãodeformação mostrado na Figura 8 Dessa forma vamos determinar o módulo de elasticidade o limite de escoamento com base em uma deformação residual de 02 e identificar a tensão última e de ruptura Figura 8 Diagrama de tensãodeformação de uma açoliga Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Todas as solicitações do exercício são baseadas na análise do diagrama de tensãodeformação de onde serão extraídas as informações Começaremos por meio da determinação do módulo de elasticidade Módulo de elasticidade Para determinar o módulo de elasticidade precisaremos determinar a inclinação da porção inicial em linha reta do gráfico O gráfico apresenta em escala ampla essa linha reta composta do ponto O até o ponto A assim obtemos que a σ 345 MPa e a ε 00016 mmmm logo σ Eε E σε 345MPa00016 mmmm 215625 MPa 21563 GPa Limite de escoamento σE Observando o diagrama no eixo x a deformação de 002 02 a deformação residual ou seja a deformação limite para mudança de comportamento elástico para plástico corresponde ao ponto A na curva que no eixo y é corresponde ao valor de 469 MPa assim podemos afirmar que a tensão de escoamento ou o limite de escoamento corresponde a σE 465 MPa 129 UNIDADE 3 Tensão última σU A tensão última em um diagrama de tensãodeformação como representado neste exercício exemplo para um material dúctil caracterizase por ser a maior tensão assim observamos que o maior valor de tensão corresponde a 74520 MPa logo podemos afirmar que corresponde à tensão última Tensão ruptura σRUP A tensão de ruptura é a tensão que corresponde ao valor que o material se rompeu ou seja o último valor para a última deformação assim podemos observar o valor de 621 MPa a tensão de ruptura do material em estudo Assim para fechar os conceitos comentados devemos relembrar Um diagrama tensãodeformação é importante na engenharia porque propor ciona um meio para obtenção de informações sobre a resistência à tração ou à compressão de um material sem considerar o tamanho ou a forma física dele Um material dúctil como o aço doce tem quatro comportamentos distintos quando é carregado comportamento elástico escoamento recuperação e estricção Um material é linear elástico se a tensão for proporcional à deformação dentro da região elástica Essa propriedade vem da Lei de Hooke e a inclinação da curva é denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young E Um material frágil como o ferro fundido apresenta pouco ou nenhum escoa mento e sofre ruptura repentina 130 Tensão e Deformação Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Olá alunoa Neste tópico iremos estudar um pouco sobre as deformações de barras sujeitas a carregamentos axiais que acarretam a deforma ção na barra sejam para aumentar o comprimen to ou diminuir É importante estudar esse assunto pois ele interfere diretamente no nosso cotidiano da Engenharia Por exemplo os carregamentos aplicados em uma treliça de cobertura geram es forços de tração e compressão nas barras que a compõem podendo interferir na deformação e estabilidade de toda a estrutura Assim não deixe de aprimorar os conhecimen tos estudando sobre deformações Um ótimo estudo Deformação de barras Sujeitas a Cargas Axiais No tópico anterior estudamos sobre a deformação específica normal e deformação de cisalhamento porém não foi comentado sobre qual é a variação de comprimento que um carregamento gera E é isso que iremos estudar neste tópico determinando a variação de comprimento Com mais esse conceito compreendido agora podemos realizar a associação do conceito de tensão com a aplicação da Lei de Hooke para podermos determinar a variação de comprimento de barras com cargas axiais Para isso algumas considerações devem ter tomadas Utilizaremos uma barra de material homogêneo de comprimento constante L e seção transversal uniforme de área A com uma carga axial concentrada P dentro do limite de proporcionalidade do material assim temos Equações utilizadas σ PA Eq 5 ε δL Eq 1 σ Eε Eq 4 Primeiramente iremos isolar a deformação específica δ na equação 1 que é o nosso objetivo Assim temos a equação 6 ε δL δ εL Eq 6 Agora iremos trabalhar com as equações 1 e 3 substituindo a tensão σ da equação 5 na equação 4 Depois iremos isolar a deformação específica ε Temos então a equação 7 σ Eε PA Eε ε PAE Eq 7 Substituindo a equação 6 na equação 7 temos a equação 8 δ εL δ PLAE Eq 8 Onde δ Variação de comprimento m cm mm P Carregamento axial aplicado N kN L Comprimento inicial m cm mm A Área da seção transversal m² cm² mm² E Módulo de elasticidade longitudinal Pa MPa GPa O que podemos entender desta equação 8 Podemos compreender que a variação do comprimento depende da carga aplicada P do comprimento inicial do material L da área transversal A e do módulo de elasticidade longitudinal E Perceba que os itens que foram mencionados na equação correspondem às características geométricas da barra ou peça em estudo e características do material O resultado da expressão pode apresentar resultados positivos que explicam o aumento do comprimento devido ao carregamento de tração aplicada como também resultados negativos que explicam a diminuição do comprimento devido ao carregamento de compressão aplicado Todo esse estudo foi desenvolvido para uma única barra E se tivermos barras associadas Como deveríamos proceder Assim para situações com várias barras associadas podemos generalizar a equação 8 e assim temos a equação 9 δ δ₁ δ₂ δᵢ δ P₁L₁A₁E₁ P₂L₂A₂E₂ PᵢLᵢAᵢEᵢ δ Σᵢ PᵢLᵢAᵢEᵢ Eq 9 Para melhor entendimento e fixação iremos desenvolver um exercício exemplo 6 EXERCÍCIO A associação de duas barras cilíndricas de aço fixadas em apoio rígido e indeformável apresentam características conforme indicado na Figura 9 com o módulo de elasticidade de 200 GPa Determine a variação de comprimento total da peça Problemas Estaticamente Indeterminados Olá alunoa Neste tópico os conceitos já vistos e aplicados serão utilizados em condições em que as extremidades das peças em estudo não estão livres para se deformarem acarretando um esforço de ação no anteparo ou suporte em que será neces sário determinar esse esforço denominado reação Então agora iremos revisar os assuntos an teriores com uma nova aplicação Mantenhase firme e concentradoa Um ótimo estudo 140 Tensão e Deformação Problemas Estaticamente Indeterminados Os estudos realizados anteriormente e aplicados no exercício exemplo 1 do tópico I utilizase de diagramas de corpo livre e equações de equilíbrio para determinação dos esforços internos produzidos pelos carregamentos aplicados para determinar mos as deformações Contudo em muitas situações as forças internas não podem ser determinadas apenas pelos recursos da estática sendo necessária a aplicação de relações envolvendo deformações que podem ser obtidas considerando as condições geométricas do problema Tais problemas são ditos estaticamente indeterminados pois a estática não é suficiente para determinar as reações e os esforços internos Por meio do método das superposições é possível determinar os esforços internos Para isso uma estrutura é estaticamente indeterminada toda vez que estiver ligada a mais suportes do que o necessário ou seja há mais reações do que o necessário para manter o equilíbrio Assim é comum chamar um dos suportes da estrutura de superabundantes e eliminálos para proceder à resolução do problema Não é pos sível modificar as condições iniciais do problema de modo arbitrário então a reação proporcionada pela ligação superabundante deve ser mantida na resolução Essa reação será tratada como uma força desconhecida que justamente com as demais forças aplicadas deve levar à estrutura valores de deformações compatíveis com as ligações originais A solução para estruturas estaticamente indeterminadas é conduzida conside randose separadamente as deformações causadas pelas cargas aplicadas e aquelas provenientes da ação da reação superabundante Essas deformações ao final da resolução são somadas ou superpostas para a obtenção do resultado final Para entender melhor o procedimento de determinar os esforços em estruturas estaticamente indeterminadas pelos métodos da superposição iremos resolver o exercício exemplo 9 142 Tensão e Deformação Determinação dos dados para a variação de comprimento para as cargas aplicadas δCARGAS Trecho BK P kN N L mm A mm E E BK BK BK BK 0 00 0 00 150 400 2 Trecho KC P kN N L mm A mm E E KC KC KC KC 600 00 600 000 00 150 400 2 Trecho CD P kN N L mm A mm E E CD CD CD CD 600 00 600 000 00 150 250 2 Trecho DA P kN N L mm A mm E E DA DA DA DA 900 00 900 000 00 150 250 2 Substituindo as informações coletadas podemos escrever CARGAS CARGAS CARGAS CARGAS CARGAS BK KC CD DA CARGAS E E E 0 00 150 400 600 000 150 400 600 000 150 250 90 0 000 250 250 E 0 00 225 000 00 360 000 00 540 00 E E CARGAS 0 00 E 1 125 000 00 E CARGAS CARGAS PBK L A E P L A E P L A E P L A E BK BK BK KC KC KC KC CD CD CD CD DA DA DA DA 150 Tensão e Deformação Coeficiente de Poisson Olá alunoa Neste tópico iremos estudar sobre uma razão matemática extremamente impor tante que permite determinarmos a deformação longitudinal ou lateral de uma peça em estudo Claro que a nossa peça deve ser um material ho mogêneo e também isotrópico conhecido como coeficiente de Poisson muito utilizado em todas as engenharias Então vamos complementar o nosso conhe cimento 152 Tensão e Deformação O coeficiente de Poisson é adimensional e a grande maioria dos valores estão entre 025 e 033 Um material ideal que não irá apresentar nenhum movimento lateral quando alongado terá ν 00 Os valores dos coeficiente de Poisson possuem um intervalo de 0 ν 05 na Tabela 1 Tabela 1 Coeficiente de Poisson Material Coeficiente de Poisson Ligas de alumínio forjadas 035 Ligas de ferro fundido 028 Ligas de cobre Latão Vermelho 035 Ligas de cobre Bronze 034 Liga de magnésio 030 Liga de aço Estrutural A36 MR250 032 Liga de aço Inoxidável 304 027 Liga de aço Ferramental L2 032 Liga de titânio 036 Concreto 015 Plástico reforçado 034 Madeira selecionada de grau estrutural 031 Concreto asfáltico 035 Agregado de rocha 020 034 Chumbo 043 Vidro 024 Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 A borracha é o material que apresenta maior valor com 050 e a cortiça o menor valor aproximado a 00 Para melhor entendermos o coeficiente de Poisson e sua importância serão de senvolvidos exercícios exemplos 153 UNIDADE 3 Uma barra de aço A36 MR250 tem as dimensões mostradas na Figura 16 Se uma força P 80 kN for aplicada à barra determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da carga O material comportase elasticamente e possui coeficiente de elasticidade longitudinal de 200 GPa 11 EXERCÍCIO Figura 16 Barra de aço A36 com aplicação de carregamento axial Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Para a resolução desse exercício exemplo devemos observar que há dois eixos a serem determinados a variação de comprimento ou como o exercício diz a mudança das dimensões da seção transversal Utilizando os conceitos aprendidos em relação ao coeficiente de Poisson sabemos que ele não depende do eixo ou seja é um único coeficiente para qualquer eixo assim consultando a Tabela 1 podemos obter que o valor do coeficiente de Poisson ν para o Aço A36 032 Para iniciarmos a resolução do exercício primeiramente precisamos saber a tensão normal da barra assim podemos determinar por meio z P A N mm MPa 80 10 100 50 16 3 2 Agora precisamos determinar a deformação ε em relação ao eixo z ou seja relação ao comprimento da peça logo temos que por meio da Lei de Hooke que z z z E aço isolando a deformação especifica z temos z E MPa MPa mm mm aço 16 200 10 8 10 3 5 50 mm 100 mm P 80 kN P 80 kN 15 m y x z 50 mm 100 mm 0 kN 15 m y 156 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 Duas amostras foram submetidas ao ensaio de tração Após serem ensaiadas obtiveramse as seguintes rupturas conforme apresentadas na Figura 1 e Figura 2 assim podese afirmar Figura 1 Figura 2 Assinale Verdadeiro V ou Falso F A Figura 1 caracteriza uma ruptura de um material dúctil A Figura 2 caracteriza uma ruptura de um material frágil Na Figura 1 o que caracteriza como ruptura frágil é a deformação na seção transversal da amostra Na Figura 2 o material é caracterizado como material dúctil devido à estricção A Figura 1 se assemelha às características do aço CA50 vergalhão usado comumente nas estruturas de concreto armado Assinale a alternativa correta a VFVVV b FFVFF c VFVFF d FVFVV e VVFFV 158 3 Se um material é submetido a um carregamento numa direção impedindo qualquer deformação nas direções normais ao carregamento à relação entre a tensão aplicada e a deformação correspondente dáse o nome de Assinale a alternativa correta a Módulo de elasticidade tangencial b Módulo de elasticidade longitudinal c Módulo de elasticidade transversal d Coeficiente de Poisson e Nenhuma das alternativas 159 Resistência dos Materiais Uma Abordagem Sintética Autor Marcelo Greco e Daniel Maciel Editora Elsevier Academic Sinopse o livro aborda assuntos relacionados com a capacidade de resistência dos materiais que constituem estruturas utilizadas em engenharia com algumas aplicações específicas para os cursos de engenharia mecânica aeroespacial e aeronáutica São apresentadas ações usuais existentes em problemas de enge nharia os cálculos necessários para o equilíbrio de corpos elásticos e os esforços solicitantes associados a este equilíbrio Posteriormente à análise do equilíbrio o livro apresenta propriedades geométricas e físicas dos corpos elásticos e dis corre sobre a correlação entre os esforços solicitantes calculados e as tensões nas partículas internas nos corpos sólidos deformáveis que em conjunto com as deformações e deslocamentos definirão o dimensionamento estrutural LIVRO Prédio balança e água de piscina transborda após ventania em Balneário Camboriú SC Pensando na capacidade de suporte em relação a deformações sugiro um vídeo em que a matéria reporta o comportamento de estruturas de concreto armado numa edificação WEB 160 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 HIBBELER R C MARQUES A S Resistência dos materiais 7 ed São Paulo Pearson 2010 PFEIL W PFEIL M Estruturas de aço dimensionamento prático Rio de Janeiro LTC 2009 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Conhecer as deformações em eixos circulares Determinar o ângulo de torção em eixos circulares Entender como determinar os esforços em eixos estati camente indeterminados Determinar as tensões de cisalhamento e o ângulo de torção em peças prismáticas Determinar as tensões de cisalhamento e o ângulo de torção em peças de eixos vazados de paredes finas Deformações nos Eixos Circulares Ângulo de Torção no Regime Elástico Torção em barras prismáticas Torção em eixos vazados de paredes finas Eixos Estaticamente Indeterminados Me Ronan Yuzo Takeda Violin Torção Deformações nos Eixos Circulares Olá caroa alunoa Iniciamos mais um tópico Neste iremos estudar um pouco sobre torção em peças de eixos circulares devido à aplicação de carregamentos que ocasionem este efeito Assim determinaremos a distribuição de tensões no in terior do elemento Estamos iniciando os estudos relacionados à torção e acrescentaremos um pouco mais a cada tópico Então ótimo estudo 165 UNIDADE 4 Nas unidades anteriores estudamos membros de estruturas submetidas a forças axiais com aplicação na direção do eixo das barras suas deformações e variações de comprimento Agora iremos estudar as peças submetidas a efeito de torção que re sultaram de tensões e deformações produzidas em peças de seção transversal circular sujeitas à ação de conjugados que tendem a torcer essas peças como apresentado na Figura 1 Também é conhecida a nomenclatura como momentos de torção momentos torcionais momentos torçores e torque conforme bibliografias Figura 1 Momentos de torção aplicados nas extremidades da barra Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Peças submetidas à torção são muito comuns na Engenharia Em nosso cotidiano iremos observar essa situação em eixos de transmissão de veículos ou eixos de trans missão de equipamentos em geral que podem ser maciços ou vazados Para melhor compreensão podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando o momento de torção é aplicado no eixo circular considerando que este seja feito de um material com alto grau de deformação como por exemplo a borracha ilustrado pela Figura 2a T A B T Figura 2 a Barra antes de aplicação do carregamento de torção b Barra carregada e com apre sentação de deformação Fonte adaptada de Hibbeler e Marques 2010 Antes da deformação a Depois da deformação b Linhas radiais continuam retas Linhas longitudinais fcam torcidas Círculos continuam circulares T T 167 UNIDADE 4 As deformações nos eixos circulares podem ser exemplificadas supondo que um eixo circular está fixado a um suporte indeslocável por uma de suas pontas e a outra extremidade está livre e com um momento de torção T aplicado ao seu eixo de giro ilustrado pela Figura 4 Figura 4 Eixo circular fixado em suporte indeslocável B com momento de torção T aplicado em A Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A rotação ocasionada pelo momento de torção T é representada pelo ângulo Φ chamado de ângulo de torção Notase que para uma certa variação no valor de momento de torção T o ângulo de torção é proporcional a T e também ao comprimento L do eixo Uma propriedade importante para eixos circulares é que quando o eixo circular tem momento de torção aplicado todas as seções transversais se mantêm planas e conservam a sua forma É possível observar esse acontecimento na Figura 5a que compara uma seção circular e uma seção retangular na qual apresenta deformação em todas as seções Figura 5b T A B A L ф A B Figura 5 a Deformação da seção transversal para eixo circulares b Deformação da seção trans versal para eixos prismáticos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 T T T T a b Ângulo de Torção no Regime Elástico Neste tópico iremos estudar como determinar o ângulo de torção complementando o tópico an terior seja para barras simples ou compostas no regime elástico O ângulo de torção permite infor mar o quanto a peça ou o elemento irá suportar de torção de forma que não ocorra a deformação permanente ou o colapso Então ótimos estudos Eixos Estaticamente Indeterminados Neste tópico iremos estudar situações que são estaticamente indeterminadas ou seja as extre midades estão confinadas Em casos práticos situações do nosso cotidiano podemos pontuar os eixos de transmissão As barras e eixos estudados anteriormente são estaticamente determinados porque todos os torques internos ou as torções internas além de todas as reações podem ser obtidos a partir de diagramas de corpo livre e por meio das equações de equilíbrio Caso haja restrições adicionais como engas tamentos as equações de equilíbrio não são sufi cientes para determinar as reações ou os torques internos Assim essas barras ou eixos são classifi cados como estaticamente indeterminados 187 UNIDADE 4 Torção em Seções Prismáticas Caroa alunoa até agora estudamos situações somente para peças circulares Isso é importan te pois todos os conceitos são válidos e melhor compreendidos Agora estudaremos neste tópico peças que possuem seção prismática quadrada e retangular para determinarmos a tensão de cisa lhamento e o ângulo de torção Um ótimo estudo 188 Torção Neste tópico todas as deduções já realizadas nos Tópicos I II e III para determinação das tensões e distribuição das deformações provocadas por carregamento de torção são válidas apenas para eixos de seção circulares Foi estabelecido que as seções transversais permanecem planas após a deformação e mantêm sua forma Essa hipótese depende da axissimetria da barra Quer dizer depende do fato de que a aparência da barra é a mesma quando ela é observada de certo ponto e sofre uma rotação em torno do seu eixo de qualquer ângulo Uma barra de seção quadrada por sua vez mantém a mesma aparência somente se girar 90º ou 180º suportando que um eixo quadrado seja rotacionado Podemos mostrar que as diagonais da seção transversal da barra bem como as linhas que ligam os pontos médios dos lados conservamse em linhas retas porém qualquer outra linha se deformará quando a barra for torcida devido à falta de axissimetria e a própria seção transversal sairá do seu plano original Este fato é representado pela Figura 14 Figura 14 Seção quadrada com aplicação de momentos de torção em suas extremidades Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Outra situação importante é que as equações referentes à distribuição de deformações e tensões em um eixo circular de material elásticos não podem ser usadas para seções prismáticas pois uma barra de seção quadrada não tem a distribuição de tensões linear a partir do eixo da barra variando como a distância ao centro da seção que leva a um máximo de tensões nos vértices do quadrado No desenvolvimento do assunto iremos ver que as tensões de cisalhamento são nulas nos vértices Quando se torce um modelo de borracha com a forma de uma barra de seção transversal quadrada notase facilmente que não ocorrem deformações e tensões nas arestas da barra região em alaranjado enquanto que as maiores deformação e tensões ocorrem ao longo da parte central da cada face do modelo região em verde Veja isso ilustrado na Figura 15 T T 190 Torção Os coeficientes c1 e c2 são fornecidos pela Tabela 1 Eles dependem somente da relação ab e são válidos apenas em regime elástico Tabela 1 Coeficientes para torção de barras prismáticas Relação ab c1 c2 10 0208 01406 12 0219 01661 15 0231 01958 20 0246 0229 25 0258 0249 30 0267 0263 40 0282 0281 50 0291 0291 100 0312 0312 0333 0333 Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Outras formas de peças de seção prismáticas Figura 17 ilustram como determinar os valores de a e b Figura 17 Outras formas de seção não circular Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Com toda essa teoria agora precisamos aplicar esses conceitos no exercício exemplo a b a b b a 192 Torção Observamos que não foram determinados os valores de C1 e C2 pois se consultarmos a Tabela 1 não encontraremos para a razão ab em questão os valores corresponden tes Dessa forma precisaremos determinar os valores por meio de uma interpolação linear que é muito semelhante a uma regra de três porém em relação a um intervalo entre os valores Esse procedimento será demonstrado a seguir ab c1 c2 25 0258 0249 28 C1 C2 30 0267 0263 Assim teremos para determinar c1 3 0 2 5 0 267 0 258 3 0 2 8 0 267 0 5 0 009 0 2 0 267 0 5 C C 1 1 0 267 0 2 0 009 0 1335 0 5 0 0018 0 5 0 0018 C C C 1 1 1 0 1335 0 5 0 1317 0 1317 0 5 0 263 C C 1 1 E para determinar c2 3 0 2 5 0 263 0 249 3 0 2 8 0 263 0 5 0 014 0 2 0 263 0 5 C C 2 2 0 263 0 2 0 014 0 1315 0 5 0 0028 0 5 0 0028 C C C 2 2 1 0 1315 0 5 0 1287 0 1287 0 5 0 257 C C 2 1 193 UNIDADE 4 Logo ab c1 c2 25 0258 0249 28 0263 0257 30 0267 0263 Com as informações faltantes que eram os coeficientes c1 e c2 podemos determinar o maior momento de torção e também o ângulo de torção Então Momento de torção máx máx máx T c ab T c ab T c ab T 1 2 1 2 1 2 2 120 0 263 70 25 1 380 750N mm Ângulo de torção TL c ab G x rad 2 3 3 3 1 380 750 1000 0 257 70 25 28 10 0 1748 Neste tópico foi necessário desenvolvermos novamente aspectos conceituais pois em peças prismáticas ou de seção não circular alguns conceitos já anteriormente trabalhados não se aplicam aqui como a variação linear da tensão de cisalhamento Entretanto conseguimos entender os conceitos e verificamos a necessidade de ter minar os coeficientes c1 e c2 para terminar as tensões de cisalhamento e o ângulo de torção para eixos prismáticos 194 Torção Torção em Eixos Vazados de Paredes Finas Caroa alunoa Chegamos ao último tópico desta unidade e não poderíamos deixar de es tudar sobre torção em eixo vazadas de paredes finas Isso significa que após aprendermos sobre este assunto conseguiremos determinar todas as tensões de cisalhamento devido aos momentos de torção Isso é extremamente importante a fim de garantir um correto dimensionamento eou verificações de segurança Então mantenha o foco e um ótimo estudo Os conceitos aprendidos na teoria de torção nas unidades anteriores são aplicáveis a barras sólidas ou vazadas de seção transversal circular As seções circulares apresentam grande desempenho para resistir à torção e geralmente têm maior uso porém estruturas leves como aeronaves veículos 195 UNIDADE 4 espaciais automóveis de competição utilizam membros tubulares de paredes finas com seções transversais não circulares exigindo resistência à torção Neste tópico iremos estudar esses membros estruturais Para podermos generalizar as equações a várias formas iremos considerar um tubo de parede fina de seção transversal arbitrária como na Figura 19 O tubo é cilíndrico em forma isto é todas as seções transversais são idênticas O eixo longitudinal é uma linha reta possuindo espessura t da parede que não é necessariamente constante mas pode variar ao redor da seção transversal O tubo é carregado com um momento de torção T atuante em suas extremidades Figura 19 Tubo de parede fina Fonte adaptada de Gere et al 2010 As tensões de cisalhamento τ agindo em uma seção transversal do tubo conforme Figura 19b mostram um elemento do tubo entre duas seções transversais que estão a uma distância dx As tensões agem paralelamente aos limites das seções transversais e fluem ao redor da seção transversal como um caminho A variação da intensidade das tensões está relacionada à espessura do tubo Como o tubo apresenta pequena espessura podemos dizer que a tensão de cisalhamento τ é constante nessa direção Caso a espessura t do tubo não for constante as tensões de cisalhamento irão variar conforme ocorrer a mudança da espessura A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede pode ser determinada em termos do momento torçor T por meio da equação 12 L T x dx z y x t O T dx T a bc d T a bc d a b 199 UNIDADE 4 Conhecidos os valores é possível determinar a tensão de cisalhamento por meio da equação 12 Logo AB AC T t x N mm mm mm MPa 2 3 10 2 3 5376 93 01 6 2 BD CD T t x N mm mm mm MPa 2 3 10 2 5 5376 55 80 6 2 Então finalmente determinamos a tensão de cisalhamento para cada espessura do tubo Concluise que além de determinar os valores que o exercício solicitou notase que sempre que houver variação de espessura haverá uma tensão de cisalhamento para cada espessura Isso também é válido para o ângulo de torção Neste tópico estudamos a situação em que era neces sário determinar a tensão de cisalhamento e ângulo de torção em paredes finas Na prática esse caso atual mente é muito comum no uso de tubos de parede fina para estruturas de veículos por exemplo a fim de seu reforço estrutural para fins de segurança O mesmo reforço tubular é submetido a diversos es forços e um deles é a torção Não deixe de aprimorar os seus conhecimentos sobre esses assuntos vistos nesta unidade Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code 200 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 Um torque T 50 Nm é aplicado a um membro de torção composta O eixo 1 tem um diâmetro de 32 mm e módulo de elasticidade transversal G 37 GPa O eixo 2 é feito de um material cujo módulo de elasticidade transversal é G 26 GPa Determine o diâmetro mínimo do eixo 2 sabendo que o ângulo de rotação em C em relação ao apoio A não deve exceder 3º três graus y A x B C T 50 Nm 1 2 1800 mm 800 mm Eixo associado com torque aplicado Fonte o autor 201 2 Ao apertar um parafuso de roda para trocar um pneu um motorista aplica forças de 80 N nas extremidades dos braços de uma chave de roda A chave é feita de aço com G 78 GPa Cada braço da chave tem 200 mm de comprimento e uma seção transversal sólida de diâmetro d 10 mm Calcule a máxima tensão de cisalhamento no braço que está girando o parafuso braço A Chave de roda com torque aplicado Fonte o autor A d 10 mm 200 mm 200 mm 80 N 80 N 202 3 Cada uma das duas barras de alumínio mostradas na Figura está sujeita a um torque de intensidade T 1800 Nm Sabendose que G 26 GPa determinar para cada barra a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção em B Barras com momento de torção aplicado em B Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 300 mm 95 mm 38 mm 60 mm 60 mm a b A B B A T T 203 Resistência dos materiais Autor Russell Charles Hibbeler e Arlete Simile Marques Editora Pearson Makron Books Sinopse abordando a teoria e os princípios fundamentais da Resistência dos Materiais de maneira clara esta sétima edição que utiliza exclusivamente o Sistema Internacional de Unidades SI confirma a obra de Hibbeler como referência da área Além de trazerem problemas na forma de exemplos ilustrativos figuras tridimensionais e exercícios os capítulos apresen tam problemas propostos em diferentes níveis de dificuldade Para completar situações reais são usadas para estimular o interesse do estudante pelo assunto bem como seções que orientam a solução de problemas diversos Indicado para estudantes de Engenharia Mecânica Civil Mecatrônica de Produção e Elétrica este livro traz todos os recursos didáticos necessários para auxiliar o leitor a visualizar conceitos complexos LIVRO 204 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 GERE J M GOODNO B J PAIVA L F de C TASKS A Mecânica dos materiais 2 ed São Paulo Cengage Learning 2010 HIBBELER R C MARQUES A S Resistência dos materiais 7 ed São Paulo Pearson 2010 206 Temos que A 2 A 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 0 0524 50000 1800 32 3 T L J G T L J G N mm mm 2 37 10 50000 800 26 10 0 0524 4 3 2 2 3 2 mm x N mm N mm mm J x N mm 90 000 000 00 3 808 917 199 00 40 000 000 00 26000 0 0524 2 J 0 0236 1 538 46 0 0524 0 0236 1 538 46 0 0288 1 538 46 2 2 J J J J mm 2 2 4 1 538 46 0 0288 53 472 21 Logo como J d d d d 2 2 4 2 4 2 4 2 32 53 472 21 32 53 472 21 32 53 472 21 32 27 17 4 mm PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Analisar barras prismáticas sujeitas a momentos iguais e de sentidos opostos atuando no mesmo plano longitudinal Analisar as tensões e deformações que existem em membros homogêneos com um plano de simetria Determinar as tensões normais e o raio de curvatura para membros em flexão pura dentro do regime elástico Determinar se as seções transversais permanecem planas durante as deformações de flexão Estudar as tensões e as deformações em membros compostos por mais de um material Barras Prismáticas em Flexão Pura Deformações em uma Barra Simétrica na Flexão Pura Deformações em uma Seção Transversal Flexão de Barras Constituídas por Vários Materiais Tensões e Deformações no Regime Elástico Me Ronan Yuzo Takeda Violin Flexão Pura Barras Prismáticas em Flexão Pura Olá alunoa Neste tópico iremos considerar a análise de membros prismáticos sujeitos a dois con jugados ou momentos iguais e de sentidos opostos ação e reação atuando no mesmo plano longitu dinal Esse membro é dito estar sob flexão pura Um ótimo estudo 213 UNIDADE 5 Quando há uma barra submetida à ação de dois conjugados iguais momentos e de sentidos contrários que atuam em um mesmo plano longitudinal essa barra está sujeita à flexão pura ilustrado pela Figura 1 Figura 1 Conjugados iguais aplicados nas extremidades da barra Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Se realizarmos uma seção transversal entre AB cortando na barra da Figura 1 as condições de equilíbrio da parte AC da barra exigirão que os esforços elementares exercidos sobre AC pela outra parte formem um conjugado equivalente a M A seção transversal da barra submetida à flexão pura apresentará esforços internos equiva lentes a um conjugado Observamos isso na Figura 2 em que a Figura 2a apresenta os esforços internos elementares do momento com o conjugado e a Figura 2b é a representação do vetor momento B A M M Figura 2 Corte da seção transversal da barra AB com os conjugados dos esforços internos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 O momento M desse conjugado é chamado de momento fletor da seção Iremos adotar como convenção indicar como positivo o momento M que flexiona a barra conforme apresentado na Figura 1 e como negativo o caso em que M e M têm sentido inverso ao da figura ou seja olhando a Figura 1 o lado esquerdo positivo é sentido antihorário e olhando o lado direito positivo é sentido horário C A M M b C A M M a dF 215 UNIDADE 5 Como já vimos na Unidade 2 os esforços internos em uma seção de uma peça sub metida a uma carga normal excêntrica são equivalentes a uma força P aplicada no centroide da seção e a um conjugado M representado pela Figura 4 Figura 4 Carga aplicada no centroide com peça excentricidade Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Por meio do princípio da superposição conseguimos combinar as tensões obtidas para o carregamento centrado juntamente com as tensões provocadas pela flexão pura O estudo da flexão pura tem também um papel importante na análise de vi gas peças prismáticas submetidas a carregamento transversais ao seu eixo Como exemplo uma viga em balanço AB que suporta um carregamento concentrado P na sua extremidade livre Figura 5a a P P P P P M d C d a 216 Flexão Pura Figura 5 Viga em balanço com carregamento concentrado Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Observamos na Figura 5 que se realizarmos uma seção transversal em C a uma distância de A veremos pela análise do diagrama de corpo livre de AB Figura 5b que os esforços internos nessa seção consistem em uma força P de mesma intensidade e sentido oposto de P e de um momento M de intensidade M Px A distribuição das tensões normais pode ser obtida a partir de M como se a viga estivesse submetida à flexão pura Para realizarmos a análise das tensões na flexão pura iremos utilizar os métodos da Estática para deduzir as relações que devem ser satisfeitas pelas tensões que atuam em uma seção transversal de uma peça prismática em flexão pura Assim podemos chamar de σ x a tensão normal em um ponto da seção e de τ xy e τ xz as tensões de cisalhamento na seção estudada Já o sistema formado pelos sistemas de esforços in ternos que atuam na seção deve ser equivalente ao conjugado M ilustrado na Figura 6 P P M C C L C P A A a b x Figura 6 Seção em peça prismática com tensões internas Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 M X z y X z y y z σ dA x τ dA xy τ dA xz Deformações em uma Barra Simétrica na Flexão Pura Caroa alunoa nesse tópico veremos que as seções transversais permanecem planas durante as deformações de flexão Assim é possível desen volver as equações para tensões e deformações no regime elástico Este tópico será fundamental para esta unida de Não deixe de estudar Começaremos apresentando a Figura 7 e a partir dela iremos explicar o assunto 219 UNIDADE 5 C D B B M M A Figura 7 Barra prismática flexionada Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Agora iremos analisar as deformações que aparecem em uma barra prismática que contém um plano de simetria Assim aplicamse o conjugados M e M que atuam no plano de simetria com mesma intensidade e sentidos opostos para termos a flexão pura A barra flexionada sob a ação do carregamento M e M permanece simétrica em relação ao plano e o momento fletor M é igual em qualquer seção da barra ou seja a barra é flexionada de maneira uniforme Notase que a linha AB que era antes do carregamento uma linha reta transfor mase em um arco de circunferência de centro C do mesmo modo que a linha AB na face inferior da barra Com isso concluímos que a linha AB diminui o seu com primento quando a barra flexiona da maneira indicada ou seja quando o momento fletor M for positivo Como consequência a linha AB se alonga Complementando o assunto a Figura 8 nos mostra que mesmo a barra prismática sendo flexionada qualquer seção transversal plana perpendicular ao eixo da barra será plana 220 Flexão Pura Figura 8 Seção plana perpendicular ao eixo da barra sobre flexão Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Se a mesma barra prismática fosse subdividida em diversos cubos elementares cujas faces são paralelas aos três planos de coordenadas x y e z quando a peça é flexionada sobre a ação de carregamentos de momentos M e M os cubos elementares irão se deformar como ilustrado na Figura 9 D B M M A EE a b D A B E E E E C Figura 9 Deformação da barra prismática Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 a Seção vertical longitudinal b Seção horizontal longitudinal B M M B A A x y C M x z M 221 UNIDADE 5 Notase que as projeções das faces da barra repre sentam uma lateral e uma vista superior da barra prismática que estão a 90º entre elas Assim é possível que a deformação de cisalhamento para os planos xy e zx seja igual a zero 0 ou seja não há deformação Logo é possível dizer que as tensões de cisalhamento τ xy e τ xz são nulas Sendo assim as tensões σ y σ x e τ yz também devem ser nulas na superfície da barra A hipótese apresentada na Figura 9 pode ser confirmada por meio de observação experimental ou pela Teoria da Elasticidade em barras esbeltas com pequenas deformações Contudo a única componente de tensão que não se anula é a componente normal da tensão σ x Em qualquer ponto de uma barra esbelta subme tida à flexão pura teremos um estado uniaxial de tensões sempre que o momento fletor for positi vo a linha AB diminui de comprimento e a linha AB aumenta o seu comprimento Dessa forma a deformação específica ε x e a tensão σ x são ne gativas na parte superior da barra compressão e positivas na parte inferior tração Com essa variação uma região da barra pris mática apresentar compressão e outra tração ha verá uma superfície em que ocorre o equilíbrio entre os esforços de compressão e tração paralelo à face superior ou inferior e essa superfície da deformação específica ε x e a tensão σ x são nulas que é chamada de superfície neutra A superfície neutra intercepta o plano de simetria ao longo de um arco de circunferência DE conforme a Figura 10 e intercepta uma dada seção transversal da barra segundo a reta chamada de linha neutra ou eixo neutro da seção B B A A y D x a Seção vertical longitudinal plano de simetria y C O J K E b Seção transversal y O Linha neutra y c ρ ρ y θ Figura 10 Localização da linha neutra em seção de barra prismática Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para melhor compreensão iremos adotar como referência e origem a linha neutra eou a super fície neutra A distância de qualquer ponto da barra à superfície ou à linha neutra será dada pela ordenada do ponto y Tensões e Deformações no Regime Elástico Caroa alunoa neste tópico serão estudadas as equações usadas para determinar as tensões normais e o raio de curvatura para membros de flexão pura dentro do regime elástico No desenvolvimento do nosso conteúdo já co mentamos sobre os tipos de materiais sendo eles dúcteis no regime elástico e plástico ou frágeis Agora neste tópico iremos considerar o regi me elástico pois o momento fletor M tem um va lor em que as tensões normais se mantêm abaixo do valor da tensão de escoamento σ e ou seja as condições de tensões na barra permanecem abai xo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade do material Dessa forma não haverá deformações permanentes sendo a Lei de Hooke válida para o estado uniaxial de tensões Deformações em uma Seção Transversal Caroa alunoa neste tópico iremos estudar so bre a deformação em uma seção transversal de terminando a equação para verificar a intensidade da deformação A deformação da seção transver sal será utilizada futuramente em assuntos espe cíficos de Engenharia Por enquanto estaremos apenas fundamentando esse conhecimento Estudaremos aqui um pouco sobre deforma ções em uma seção transversal Já demonstramos que uma seção transversal se mantém plana no tópico 2 em uma barra sujeita à flexão pura e não excluímos a possibilidade de ocorrer deformações dentro do plano da seção 233 UNIDADE 5 Figura 14 Momentos fletores aplicado sobre placa Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 O que foi comentado no parágrafo anterior é um caso ideal Em situações do cotidiano isso não ocorre Contudo as condições das placas são extremamente importantes para que possamos visualizar as condições de carregamento que correspondem às expressões deduzidas até agora Mesmo que as condições reais de carregamento sejam diferentes o princípio das SaintVenant nos garante que as expressões podem ser utilizadas para o estudo das seções que não se situem em pontos muitos próximos daqueles em os carregamentos são aplicados Neste tópico estudamos sobre a deformação da seção transversal para o eixo y e z quando o carregamento é aplicado no eixo x Estudamos também a influência do Coeficiente de Poisson na determinação das deformações e vimos que em condições reais não seria possível realizar as deduções das equações da forma que fizemos M M Não nos preocupamos até agora com a maneira com que os momentos fletores M e M são aplicados à barra Para podermos considerar que todas as seções transversais da peça devam permanecer planas e sem tensões de cisalhamento devemos garantir que os momentos fletores aplicados nas extremidades da peça permaneçam planos e livres de tensões de cisalhamento Essa condição só é possível se os momentos fletores forem aplicados por meio de placas lisas e rígidas para que as placas transmitam os esforços elementares de forma normal à extremidade da barra como ilustrado na Figura 14 Flexão de Barras Constituídas por Vários Materiais Caroa alunoa neste tópico iremos estudar so bre a deformação em uma seção transversal de terminando a equação para verificar a intensidade da deformação A deformação da seção transver sal será utilizada futuramente em assuntos espe cíficos de Engenharia Por enquanto estaremos apenas fundamentando esse conhecimento Estudaremos aqui um pouco sobre deforma ções em uma seção transversal Já demonstramos que uma seção transversal se mantém plana no tópico 2 em uma barra sujeita à flexão pura e não excluímos a possibilidade de ocorrer deformações dentro do plano da seção 239 UNIDADE 5 Uma barra é constituída de aço e latão E aço 200GPa e E latão 100GPa tem a seção representada na Figura 19 Determine a máxima tensão no aço e no latão quando a barra estiver sujeita à flexão pura com um momento fletor de 2 kNm 2 EXERCÍCIO Figura 19 Barra constituída de aço e latão Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para resolução desse exercício primeiramente precisamos determinar a razão entre os módulos de elasticidade n para determinar a seção transformada Assim tere mos que n E E GPa GPa aço latão 200 100 2 A seção transformada corresponderá a uma barra equivalente feita inteiramente de latão Dessa forma com o n determinado iremos multiplicar a parte central para que tenhamos a largura correspondente ao latão Assim ficaremos com algo parecido com o representado pela Figura 20 5 mm 5 mm 10 mm 40 mm Latão Latão Aço 241 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução Uma peça de uma máquina de ferro fundido fica submetida à ação de carrega mento de momento fletor de 3 kNm Sabemos que o módulo de elasticidade é de 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil a peça possui perfil semelhante a um T ilustrado na Figura a seguir 20 mm 40 mm 30 mm 90 mm M 3 kN m Figura 21 Perfil de uma máquina Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 1 Determine as propriedades de figuras planas da seção transversal 2 Determine as máximas tensões de tração e compressão no perfil 3 Determine o raio de curvatura da peça fletida 242 Mecânica dos Materiais Autor James M Gere Barry J Goodno Luiz Fernando de Castro Paiva e All Tasks Editora Thomson Learning Ltda Sinopse esse livro tem como objetivo oferecer um conjunto de ensinamentos sobre resistência e desempenho físico de estruturas em obras realizadas pelo homem ou em eventos naturais Esta nova edição de Mecânica dos materiais traz exemplos que ilustram os conceitos teóricos e mostram como eles podem ser utilizados em situações práticas incluindo demonstrações gráficas dos re sultados Estruturado de forma que os conceitos teóricos sejam ilustrados por exemplos que podem ser aplicados em situações práticas incluindo demonstra ções gráficas dos resultados a obra traz estes tópicos principais análise e pro jeto de membros estruturais submetidos à tração compressão torção e flexão conceitos de tensão e alongamento deformação e deslocamento elasticidade e plasticidade energia de deformação e capacidade de suportar carga Tópicos de interesse geral também estão presentes como transformações de tensão e deformação cargas combinadas concentrações de tensão deflexões de vigas e estabilidade de colunas Além disso tópicos especializados incluem efeitos térmicos cargas dinâmicas membros não prismáticos vigas de dois materiais centros de cisalhamento momentos fletores centroides e momentos de inércia LIVRO 243 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Determinar as forças cisalhantes atuando nas seções ho rizontais de uma viga Determinar o fluxo cisalhante e as tensões de cisalhamen to horizontais em vigas Determinar as tensões de cisalhamento sobre seções transversais Analisar a intensidade e a distribuição das tensões de cisalhamento em vigas de seção transversal retangular e vigas compostas Determinar as tensões de cisalhamento em um ponto qualquer de membros simétricos com parede fina Carregamento Transversal em Barras Prismáticas Determinação da Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções Transversais Usuais Tensões de Cisalhamento em Barras de Parede Finas Determinação de Tensão de Cisa lhamento τxy em uma Viga Me Ronan Yuzo Takeda Violin Carregamento Transversal Carregamento Transversal em Barras Prismáticas Olá caroa alunoa Neste tópico iremos estu dar elementos estruturais submetidos a esforços laterais ou seja forças ou momentos que têm seus vetores perpendiculares ao eixo da barra para de terminarmos as tensões de cisalhamento eou os esforços internos Uma situação muito comum é o carregamento transversal que ocorre quando uma barra hori zontal que é chamada de viga é submetida a car regamento vertical como ilustrado na Figura 1 Os carregamentos verticais aplicados podem ser concentrados em uma única carga como apre senta a Figura 1a ou três carregamentos concen trados aplicados ou distribuídos como a Figura 1b A aplicação de carregamentos concentrado e distribuídos na mesma viga é comum 251 UNIDADE 6 Figura 1 Tipos de carregamentos em vigas Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para desenvolvermos a conceituação e iniciarmos os estudos iremos considerar uma viga em balanço AB conforme a Figura 2a que possui a extremidade B fixada com um carregamento concentrado P aplicado na outra extremidade A a A B P1 P2 P3 b A B w wB 0 Figura 2 Viga com carregamento concentrado Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A indicação C representa uma seção transversal conforme Figura 2b Considerando o trecho AC em equilíbrio do corpo livre podemos observar as forças internas que atuam em AC e devem ser equivalentes a uma força cortante V de mesma intensidade que P e também um momento fletor M de valor M Px sendo x a distância de C até a extremidade livre Adotamos como convenção de sinais para a força cortante V o sinal positivo quando ela estiver direcionada para baixo Figura 2b a A B P C L b A C P V M X 253 UNIDADE 6 Observando o cubo em cada face do elemento perpendicular ao eixo x estão atuando tensão normal σ x e tensão de cisalhamento τ xy Como já estudado nas unidades anteriores as tensões de cisalhamento τ xy que atuam nas faces verticais de um ele mento aparecem como tensões de mesmo valor nas faces horizontais deste elemento Assim podemos concluir que devem existir tensões de cisalhamento longitudinais em qualquer barra submetida a carregamentos transversais Podemos exemplificar este fato quando consideramos uma viga em balanço cons tituída de várias lâminas superpostas ligadas à mesma extremidade fixa observado na Figura 4a Figura 4 Lâminas superpostas em balanço Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Notase que na Figura 4b há uma força transversal P aplicada na extremidade livre da viga Observamos que as lâminas deslizam uma sobre a outra porém em uma viga feita de material homogêneo e coesivo o deslizamento não ocorre de fato mas verificase uma tendência a ocorrer pela existência de tensões atuando em planos horizontais na direção longitudinal juntamente com as tensões atuantes nos planos verticais transversais Caso as lâminas sejam submetidas ao efeito de um momento M aplicado na extremidade livre elas irão se deformar como arcos de circunferência concêntricos e não sofrerão deslizamento relativo apresentado pela Figura 4c Assim é possível compreender porque não ocorrem tensões de cisalhamento em vigas sujeitas à flexão pura como visto na unidade anterior a b c M P 255 UNIDADE 6 Figura 6 Variação das tensões em relação aos eixos x e y Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Observamos que a distribuição de tensões normais em uma certa seção x constan te é linear como no caso da flexão pura Desta forma as tensões são proporcionais à distância x entre a força e a seção considerada de modo que a máxima tensão de compressão na viga v corre no ponto B A máxima tensão de tração acontecerá em B com as mesmas distâncias em relação à origem que corresponde a x L Conhecida a distribuição das tensões normais na viga é possível determinar as tensões de cisalhamento τ xy por meio das equações de equilíbrio Neste tópico vimos uma introdução sobre a determinação de tensões devido a carregamentos transversais Por meio da conceituação e de hipóteses foi possível conhecer a distribuição de tensões normais devido a esse tipo de carregamento e determinála Vimos também que por meio das condições de equilíbrio foi possível determinar as tensões de cisalhamento A C B X y B X y P L y Z O σ x Determinação da Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal Caroa alunoa neste tópico iremos desenvolver os estudos para determinar as tensões de cisa lhamento τ xy por meio da análise das forças que atuam em uma seção horizontal da viga Nosso estudo irá iniciar pela Figura 7 onde consideramos novamente uma viga em balanço AB com um carregamento concentrado P em sua extremidade livre A 259 UNIDADE 6 Essas considerações são válidas pois uma vez que os esforços horizontais de cisa lhamento que as duas regiões exercem uma sobre a outra são iguais e de sentidos contrários verificase que o momento estático Q da parte seção transversal que fica abaixo da linha y y 1 em relação a linha neutra Figura 9b é igual em módulo e é de sinal contrário aquele relativo à área localizada acima da mesma linha A soma dos momentos estáticos da região superior e da inferior correspondem ao momento estático de toda a área da seção transversal em relação à origem que é nula Notase assim que o momento estático máximo ocorre para y1 0 pois na integral os elementos da seção acima da linha neutra contribuem com sinal positivo enquanto que os elementos abaixo da linha neutra contribuem com sinal negativo Então as possibilidades da escolha da região superior e inferior já foram resolvidas porém e se houver vários carregamentos aplicados Como proceder No caso de uma viga submetida a vários carregamentos concentrados ou distri buídos devemos aplicar o princípio da superposição de esforços para determinar os fluxos de cisalhamento q em um certo ponto C exemplificado pela Figura 10a Figura 10 Viga com diversos carregamentos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Aplicando as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre Figura 10b é possível determinar a força cortante V que age na seção e que corresponde à soma das forças que se exercem na parte da viga ficando à esquerda da seção que passa por C Substituindo o P por V na equação 7 temos q VQ I Eq 8 C a P1 P3 b A B P1 C wa V M R w A C 260 Carregamento Transversal em que Q é o momento estático em relação à linha neutra seja para área localizada acima ou abaixo do ponto C e I é o momento de inércia de toda área de seção trans versal em relação ao eixo centroidal Notase que o fluxo de cisalhamento q é constante pois os carregamentos su cessivos também são constantes Dessa forma concluímos que uma viga submetida à flexão pura produzida apenas por dois conjugados iguais e de sentidos opostos à força cortante V e à força horizontal por unidade de comprimento q são nulas O que estudamos neste tópico pode ser exemplificado pelo exercício exemplo 1 Uma viga de madeira é constituída por três peças de 20 por 100 mm de seção trans versal que são pregadas umas às outras formando a seção I O espaçamento entre os pregos é de 25 mm Sabendose que a viga está submetida a uma força cortante V de 500 N determine a força cortante em cada prego O desenvolvimento desse exercício passa pela interpretação do enunciado e a visualização da seção I realizada pela união das três peças de madeiras pregadas representada pela Figura 11 1 EXERCÍCIO Figura 11 Viga em formato de I de madeira Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 100 mm 100 mm 20 mm 20 mm 20 mm 263 UNIDADE 6 Determinação de Tensão de Cisalhamento τxy em uma Viga Caroa alunoa agora estudaremos como deter minar a tensão de cisalhamento txy em uma viga mais um complemento de assunto nos nossos es tudos Estamos trabalhando de forma gradativa cada determinação de tensão vendo que cada ponto estudado nesta unidade se complementa 266 Carregamento Transversal Outra situação que observamos é que o momento estático Q é o máximo para y 0 Não podemos no entanto afirmar que a tensão de cisalhamento média τ méd é máxima ao longo da linha neutra pois a tensão média depende também da largura t da seção Quando a largura da viga se mantém pequena em comparação à altura da seção as tensões de cisalhamento variam muito pouco ao longo da linha C C 1 2 Figura 13 e a equação 10 pode ser utilizada para determinar a tensão de cisalhamento τ xy em qualquer ponto ao longo de C C 1 2 Observase que as tensões em C 1 e C 2 Figura 15 são maiores que a tensão em C A Teoria da Elasticidade contudo demonstra que para vigas retangulares de largura b e altura h onde a relação entre b h 1 4 o valor da tensão de cisalhamento em C1 e C2 não excede 08 do valor médio calculado para a linha neutra C1 C2 b τ max LN h 1h 2 1 2 Figura 15 Seção retangular com a tensão de cisalhamento C1 e C2 Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para seções que não apresentam a relação de b h 1 4 o valor da tensão τ méd cal culado ao longo da linha neutra pode ser bem menor que a tensão máxima em C1 e C2 como indicado na Tabela 1 267 UNIDADE 6 Tabela 1 Valores de C1 e C2 b h 025 050 100 200 400 600 100 200 500 τ τ máx méd 1008 1033 1126 1396 1988 2582 3770 6740 1565 τ τ mín méd 0996 0983 0856 0805 0800 0800 0800 0800 0800 Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Neste tópico aprendemos a determinar a tensão de cisalhamento τ xy em uma viga por meio da equação 10 e sobre a conceituação e hipóteses para o seu desenvolvi mento Também aprendemos que a tensão de cisalhamento nas arestas é nula Vimos também como ocorre a distribuição Para aprimorar o conhecimento da Teoria da Elasticidade buscar o livro TIMOSHENKO V S P GOODIER J N Theory of Elasticity 3 ed New York McGrawHill 1970 sec 124 Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções Transversais Usuais Olá alunoa neste tópico iremos entender o comportamento das tensões de cisalhamento τ xy em vigas de seções transversais usuais geralmente de seção retangular Por meio da conceituação será possível determinar a tensão máxima τ xy e interpretar a distribuição das tensões de cisa lhamento Será um tópico bastante conceitual Por isso será extremamente importante para o desenvol vimento dos próximos assuntos Ótimos estudos 272 Carregamento Transversal Observase na Figura 18c que a curva obtida é descontínua nos pontos em que ocorrem diferenças no valor t quando se passa das abas ABGD e A B G D para a alma EFF E do perfil No caso da alma do perfil a tensão de cisalhamento varia muito pouco ao longo da seção bb e pode ser considerada igual ao valor médio τ méd No entanto para as abas o comportamento é diferente Para exemplificar podemos considerar uma linha horizontal DEFG Iremos observar que a tensão τ xy é nula entre D e E e também entre F e G uma vez que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil porém entre E e F o valor da τ xy é dado pela equação 10 em que t EF Em casos práticos consideramos que todo esforço cortante é absorvido pela alma e que uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento se obtém quando se divide V pela área da seção transversal da alma Uma observação importante é que apesar de podermos desprezar as tensões τ xy nas abas do perfil não poderemos fazer o mesmo com a componente horizontal τ xz que tem um valor considerável Neste tópico estudamos como ocorre o comportamento das tensões de cisalha mento τ xy em vigas de seções transversais usuais Por meio da conceituação determi namos a equação para a tensão máxima τ xy e elaboramos um gráfico de distribuição das tensões de cisalhamento 273 UNIDADE 6 Tensões de Cisalhamento em Barras de Paredes Finas Caroa alunoa neste tópico fechamos os con ceitos e as maneiras de determinar as tensões de cisalhamento devido a carregamentos transversais em barras de parede finas Aqui iremos entender como o fluxo de cisalhamento ocorre nas barras e como determinar as tensões de cisalhamento Ótimos estudos 276 Carregamento Transversal A equação 10 pode ser utilizada em diversas barras de parede delgadas para deter minação da tensão de cisalhamento como exemplo em vigascaixão e vigas de seção semicircular desde que as cargas sejam aplicadas em um plano de simetria da barra como representado na Figuras 22 e 23 Figura 22 Vigacaixão Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 y τ xz z t a LN τ xz τ xy t y z t b LN τ xy Figura 23 Viga de seção semicircular Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Em cada situação o corte deve ser perpendicular à superfície da barra para que a equação 10 nos forneça a componente da tensão de cisalhamento na direção tan gencial à superfície t y z LN τ C 277 UNIDADE 6 Comparando as equações 8 e 10 notamos que o produto da tensão de cisalhamento τ pela espessura t em um ponto da seção transversal corresponde ao fluxo de cisalhamento q Como V e I possuem valores constantes para uma determinada seção o fluxo de cisalhamento q é função apenas do momento estático Q Assim pode ser facilmente calculado para toda a seção transversal No caso de uma vigacaixão representado pela Figura 24 observase que o fluxo de cisalhamento q cresce continuamente desde zero no ponto A até um valor má ximo em C e C na linha neutra voltando a zero ao se atingir o ponto E Observamos também que não ocorre variação brusca na intensidade do fluxo de cisalhamento q ao passarmos por um vértice em B D B ou D e que o sentido do fluxo de cisalha mento nas partes horizontais da seção pode ter determinado seu sentido nas partes verticais que coincide com o sentido da força cortante Figura 24 Variação do fluxo de cisalhamento q em uma seção de vigacaixão Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 LN V q q D E D C C B B A 278 Carregamento Transversal Figura 25 Variação do fluxo de cisalhamento q em um perfil de abas largas Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Notase que no ponto B os valores do fluxo de cisalhamento q das duas meias abas devem ser somados para obtermos o valor do fluxo de cisalhamento q na alma O valor máximo do fluxo de cisalhamento q ocorre em C na altura da linha neutra Descendo para D novamente se divide em duas partes iguais para cada meia aba inferior O conceito de fluxo cisalhante que estamos utilizando para descrever o esforço de cisalhamento por unidade de comprimento assemelhase ao movimento de um fluido em uma tubulação As seções transversais estudadas até agora foram seções simétricas e os carre gamentos aplicados no plano de simetria das barras Em situações em que peças estruturais apresentam dois planos de simetria como o perfil de abas largas ou a vigacaixão qualquer força aplicada no centro geométrico da seção transversal deverá ser decomposta na direção dos dois eixos de simetria sendo que cada componente resultante da decomposição irá provocar a flexão na barra em um plano de simetria e a sua correspondente na tensão de cisalhamento NA V q E C A B A E D q q1 q2 q1 q2 q1 q2 Exemplificamos na Figura 25 um perfil de abas largas em que os valores do fluxo de cisalhamento q nas regiões superiores AB e AB se distribuem de maneira simétrica 279 UNIDADE 6 Caso a seção não apresente planos de simetria ou possua apenas um plano de simetria que não corresponda ao plano de aplicação dos carregamentos a barra ficará sujeita além da flexão também à torção exceto quando aplicada no centro de cisalhamento Neste tópico estudamos os conceitos e as maneiras de determinarmos as tensões de cisalhamento devido a carregamentos transversais em barras de parede finas Observamos que a tensão de cisalhamento média é a mesma para barras de parede delgada Podemos citar como exemplo vigascaixão e vigas de seção semicircular e não somente de seção T ou I de abas largas desde que as cargas sejam aplicadas em um plano de simetria da barra 280 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução Uma viga AB é constituída por três peças coladas umas às outras e está subme tida a dois carregamentos de 15 kN localizados a 04 m dos apoios A e B res pectivamente Figura a que atua em seu plano de simetria Sabemos que as peças coladas formam um perfil I com largura de 20 mm cada junta colada Figura b Ainda na Figura b está indicada a localização do centroide da seção transversal e o momento de inércia da seção I é 863 10 6 4 x m Diagrama de corpo livre e seção transversal da barra AB Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Determine para a viga AB a A tensão de cisalhamento média na seção nn da viga b A tensão de cisalhamento nas juntas coladas C B A 15 kN 15 kN n n 02 m 04 m 04 m 60 mm 20 mm 80 mm 20 mm 20 mm 100 mm 683 mm Junta a Junta b a b 281 1 Uma peça de um equipamento em forma de perfil T está submetida a uma força atuante no seu plano de simetria conforme a Figura a seguir Figura 27 Perfil T da peça do equipamento Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Determine para a peça a A máxima tensão de compressão na seção nn b A máxima tensão de cisalhamento 67 kN n n 300 mm 380 mm 100 mm 10 mm 50 mm 10 mm 282 2 Três tábuas cada uma com uma seção transversal retangular de 40 x 90 mm são pregadas juntas para formar uma viga que é submetida a uma força cortante vertical de 11 kN Sabendose que o espaçamento entre cada um dos pares de pregos é de 60 mm determine a força cortante em cada prego Tábuas pregadas Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 90 mm 60 mm 60 mm 60 mm 40 mm 40 mm 40 mm 283 Resistência dos materiais para Entender e Gostar Autor ManoelHenrique Campos Botelho Editora Blucher Sinopse A Resistência dos Materiais é segundo muitos professores e especia listas a matéria mais importante no ensino da engenharia e estudo essencial nos cursos de Arquitetura Nesta obra os leitores entenderão como os pilares e as colunas das edificações resistem às cargas de compressão e como os cabos de sustentação resistem a esforços de estiramento tração Entre os estudos apresentados há a ocorrência de cortes cisalhamento em materiais resistentes como madeira e em materiais menos resistentes como tecidos Incluemse nesta obra ainda os esforços resultantes da flexão dobramento que exigem estruturas especiais e as deformações causadas pelos esforços que demandam cuidadosos estudos e cálculos Mais uma vez o engenheiro MHC Botelho autor de diversos livros da área apresenta o conteúdo de forma simples e altamente prática sem perder seu rigor conceitual LIVRO 284 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Determinar como as componentes de tensão se trans formam quando ocorre uma rotação dos eixos das coor denadas Determinar as tensões principais e tensões de cisalha mento máximas Determinar as tensões principais e tensões de cisalha mento máximas por meio do Círculo de Mohr Analisar um estado plano de tensões em seu estado mais geral e a transformação de tensões associadas a uma rotação de eixos Aplicar o Círculo de Mohr com a análise tridimensional de tensões Estados Planos de Tensões Tensões Principais Tensões de Cisalhamento Máximas Estado Mais Geral de Tensões Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Me Ronan Yuzo Takeda Violin Análise das Tensões e Deformações 300 Análise das Tensões e Deformações Tensões Principais e Tensões de Cisalhamento Máximas Olá alunoa Neste tópico iremos estudar como determinar o valor de θ p de θ para as tensões máximas e mínimas para σ x e σ y respectiva mente Os valores das tensões normais são co nhecidos como tensões principais no ponto em estudo e as faces correspondentes do elemento definem os planos principais de tensão daquele ponto Além disso estudaremos como determinar o valor de θs do ângulo de rotação para obter o cisalhamento máximo 309 UNIDADE 7 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões Olá alunoa Neste tópico iremos estudar o cír culo de Mohr para determinar as tensões normais máximas e mínimas além da tensão de cisalha mento por meio de considerações geométricas como o método alternativo por exemplo Vamos então aprender mais um pouco sobre o estado plano de tensões 312 Análise das Tensões e Deformações Os estudos realizados neste tópico permitiram formularmos uma propriedade que pode ser utilizada para os planos de tensão máxima de cisalhamento que formam ângulos de 45º com os planos principais Assim na Figura 11b notamos que no círculo de Mohr os pontos D e E correspondem aos planos de tensão máxima de cisalhamento enquanto os pontos A e B correspondem aos planos principais de tensão Os diâmetros AB e DE rotacionados em 90º correspondem aos ângulos de 45º entre as faces dos elementos Figura 11a Figura 12 Sentido de rotação do cubo elementar Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 σ τ τ σ a Horário Acima σ τ τ σ b Antihorário Abaixo Figura 11 a Cubo elementar no estado plano de tensões de cisalhamento máxima b Localização das coordenadas para determinação da tensão de cisalhamento máxima Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para a construção do círculo de Mohr devese observar o sentido de rotação do cubo elementar pois permitirá determinar os sinais de cada tensão para o desenvolvimento dos cálculos Assim devemos considerar separadamente cada face do elemento usada na definição dos componentes de tensão Observando a tensão de cisalhamento quando ela em uma certa face tende a rodar o elemento no sentido antihorário o ponto que corresponde a essa face fica localizado abaixo do eixo σ conforme a Figura 12 σ máx σ mín O b a a σ σ O B C τ b X A 45 e d σ τ máx 90 τ máx E D σ σ méd 317 UNIDADE 7 Estado Mais Geral de Tensões Olá caroa alunoa Neste tópico iremos es tudar um estado tridimensional de tensões em um dado ponto e desenvolver uma equação para determinação da tensão normal nesse ponto con forme um plano com orientação arbitrária Nesse momento então iremos generalizar os estados de tensões Então vamos estudar 321 UNIDADE 7 Estudamos neste tópico um estado tridimensional de tensões em um dado ponto e desenvolvemos uma equação para a determinação da tensão normal nesse ponto conforme um plano com orientação arbitrária Para uma análise da determinação dos planos principais e das tensões principais leia Theory of Elasticity de Timoshenko e Goodier 1970 Aplicação do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões Olá alunoa Neste tópico iremos estudar o círculo de Mohr para rotação de um elemento cúbico em torno de cada um dos eixos principais de tensão Determinaremos também as corres pondentes transformações de tensão que podem ser descritas por três diferentes círculos de Mohr Então vamos estudar 323 UNIDADE 7 No tópico anterior estudamos como determinar as tensões em estado mais geral de um elemento em formato de cubo por meio de equações Agora iremos determina las com a aplicação dos conceitos do círculo de Mohr Se o elemento da Figura 18 rodar em torno de um dos eixos principais no ponto Q por exemplo o eixo c como ilustrado na Figura 19 a transformação de tensões correspondente pode ser estudada pelo círculo de Mohr como se fosse uma transformação em estado plano de tensões Logo as tensões de cisalhamento que se exercem nas faces perpendiculares ao eixo c permanecem iguais a zero enquanto a tensão normal σ c sendo perpendicular ao plano ab não interfere na transformação Figura 19 Rotação em torno do eixo c Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Sendo assim podemos desenhar o círculo de diâmetro AB para determinarmos as tensões normal e de cisalhamento que agem nas faces do elemento quando ocorre a rotação em torno do eixo c como ilustrado na Figura 20 Q σ x σ c a b c σ y y x τ xy 329 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 Para o estado de tensões dado determine a Os planos principais b As tensões principais 2 Para o estado de tensões dado determine a A orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano b A tensão de cisalhamento máximo c A tensão normal 80 MPa 25 MPa 40 MPa 30 MPa 150 MPa 80 MPa 330 3 Para o estado de tensões dado determine por meio do círculo de Mohr a Os planos principais b As tensões principais c A tensão máxima de cisalhamento 80 MPa 25 MPa 40 MPa 331 Resistência dos materiais Um guia prático Autor Marcelo Greco Daniel Maciel Valério da Silva Almeida Editora Thomson Learning Ltda Sinopse MARCELO GRECO é doutor em engenharia de estruturas pela Universi dade de São Paulo e trabalha como professor na Universidade Federal de Minas Gerais vinculado ao Departamento de Engenharia de Estruturas Leciona disci plinas de Resistência dos Materiais para o curso de Graduação em Engenharia Aeroespacial e Análise Estrutural Avançada para o Programa de PósGraduação em Engenharia de Estruturas da UFMG Tem experiência didática em discipli nas ministradas aos cursos de engenharia mecânica civil produção produção civil e ambiental É autor e revisor de diversos artigos científicos publicados em revistas nacionais e internacionais Realiza pesquisas científicas sobre métodos numéricos análise não linear dinâmica das estruturas e análise estrutural LIVRO 332 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Escolher o material e as dimensões da seção transversal de uma viga Determinar os valores máximos absolutos da força cor tante e do momento fletor Entender as relações entre carregamentos força cortante e momento fletor Elaborar os diagramas de esforço cortante e momento fletor por meio de desenvolvimento analítico Verificar a segurança de uma viga em relação às tensões normais tensões de cisalhamento e carregamentos Considerações Básicas para o Projeto de Vigas Prismáticas Diagramas de Momento Fletor e Força Cortante Utilização das funções singulares para determinar a força cortante e momento fletor de uma viga Projeto de Vigas Prismáticas Relações entre Carregamento Força Cortante e Momento Fletor Me Ronan Yuzo Takeda Violin Projeto de Vigas Considerações Básicas para o Projeto de Vigas Prismáticas Olá caroa alunoa Agora começaremos a ado tar considerações para verificarmos de que forma devemos escolher o material e as dimensões da seção transversal de uma viga para que não haja o colapso devido ao carregamento aplicado Tam bém veremos sobre a deflexão de vigas Então vamos lá Um ótimo estudo 344 Projeto de Vigas Diagramas de Momento Fletor e Força Cortante Caroa alunoa iremos estudar neste tópico como determinar os maiores valores de momento fletor e força cortante em uma viga devido ao seu carregamento Inicialmente iremos estudar uma peça de seção transversal prismática e uniforme Os diagramas de esforços cortantes e momento fletor são importantes pois apresentam a distri buição dos esforços internos na peça estudada que são úteis para o dimensionamento em qual quer tipo de material seja de um material frágil ou dúctil A determinação dos valores máximos absolu tos da força cortante e do momento fletor é facil mente encontrada quando estes são referenciados em relação a uma das extremidades da viga Utili zaremos como notação uma distância x medida a partir de uma extremidade 345 UNIDADE 8 A melhor forma de compreendermos a elaboração dos diagramas é por meio de exemplos resolvidos que irão esclarecer os conceitos e também os procedimentos para realização dos desenhos dos diagramas A Figura 6a irá apresentar uma viga biapoiada com carregamento concentrado aplicado no centro da viga a Figura 6b irá apresentar o diagrama de esforço cortante e a Figura 6c irá apresentar o digrama de momento fletor A determinação da função do momento fletor M em função da distância x em relação a uma das extremidades da viga é importantíssima para definirmos a deformação de uma viga que será estudada na Unidade 9 Figura 6 Exemplo de viga biapoiada com carregamento concentrado e seus diagramas Fonte o autor 1 2 L A B P 1 2 L C L L M PL V P x x L 1 2 1 L 2 1 P 2 1 2 1 4 a Diagrama de Corpo Livre b Diagrama de Esforço Cortante DEC ou V c Diagrama de Momento Fletor DMF ou M 346 Projeto de Vigas A apresentação da viga e seus respectivos diagramas é para que possamos observar o que iremos desenvolver neste tópico ou seja agora sabemos qual será a nossa conclusão a elaboração dos desenhos dos diagramas A obtenção dos valores para elaboração dos diagramas será realizada de forma usual por meio dos métodos das seções na qual iremos passar uma seção no ponto onde iremos determinar os esforços considerando o equilíbrio da parte da viga lo calizada à esquerda ou à direita da seção conforme a Figura 7 Figura 7 Viga biapoiada com vários carregamentos para determinação dos esforços internos por meio de seções Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 É importante relembrarmos a convenção de sinal já estudada para a força cortante V e para o momento fletor M Força cortante V e momento fletor M são positivos em um ponto da viga quando os esforços internos solicitados são dirigidos como indicado na Figura 8 A B P1 x C P2 W C P1 W A V M RA B C M V P2 RB a b 347 UNIDADE 8 Figura 8 Convenção de sinal para os esforços internos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A força cortante em C é positiva quando as forças externas cargas e reações de apoio que agem na viga tendem a cortar a viga em C como indicado na Figura 9 V M M V a Esforços intertnos força cortante e momento fetor positivos Figura 9 Convenção de sinal para os esforços externos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 O momento fletor em C é positivo quando as forças externas atuam na viga e tendem a flexionála em C como indicado na Figura 10 b Efeito das forças externas força cortante positiva Figura 10 Convenção de sinal para momento fletor Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para melhor compreensão no exercício exemplo 1 iremos desenvolver e aplicar esses conceitos para elaboração do diagrama c Efeito das forças externas momento fetor positivo 351 UNIDADE 8 Notamos que o momento fletor apresentou sinal positivo Isso significa que devemos deslocar o diagrama para a parte superior da viga É importante lembrar que esse momento fletor calculado é para o intervalo entre CB Logo os valores de x são x L 2 e x L Assim temos os respectivos momentos M PL 4 e M 0 o que sig nifica que o nosso diagrama será decrescente nesta região pois o valor do momento está diminuindo Com toda esta análise podemos por fim desenhar os diagramas Diagrama de Esforço Cortante DEC ou V V P x L 1 L 2 1 P 2 1 2 Diagrama de Momento Fletor DMF ou M L L M PL x 1 2 1 4 Conclusão do nosso raciocínio Neste exemplo na viga submetida apenas a cargas concentradas a força cortante fica constante entre os pontos de aplicação de forças enquanto o momento fletor tem variação linear entre esses pontos Veja que para algumas situações o desenho do diagrama é muito mais fácil simplesmente calculando os valores da força cortante V e do momento fletor M em seções que ficam justamente à esquerda e à direita dos pontos de aplicação das cargas e reações de apoio 352 Projeto de Vigas Esboce os diagramas de esforço cortante e momento fletor para uma viga em balan ço AB de vão L que suporta um carregamento uniformemente distribuído w 2 EXERCÍCIO A B w L Neste exemplo iremos ser mais objetivos na resolução que terá a seguinte sequência de raciocínio Primeiramente determinar as reações de apoio Realizar uma seção para verificar o comportamento do carregamento Esboçar o diagrama de esforço cortante DEC ou V Esboçar o diagrama de momento fletor DMF ou M Então vamos lá Reações de apoio através das equações de equilíbrio Notase que o apoio em B é de terceiro gênero Logo teremos três reações a serem determinadas R M H B B B e e como se trata de uma carga distribuída é necessário determinar uma resultante R A resultante R é determinada por meio da área da figura representada pela carga que neste exemplo corresponde a um retângulo Logo a resultante é determinada por R A b h wl A B w L R wl H R M B B B 355 UNIDADE 8 Neste tópico aprendemos a elaborar o diagrama de esforço cortante e momento fletor fundamentais para o dimensionamento de vigas pois é possível determinar a força cortante máxima e o momento fletor máximo Para carregamentos concentrados o diagrama de momento fletor será representado por uma reta pois é uma equação de primeiro grau Já para cargas distribuídas uniformemente o digrama é representado por uma parábola pois é uma equação de segundo grau Para carregamentos distribuídos triangulares o diagrama de momento fletor é representado por uma equação de terceiro grau Relações entre Carregamento Força Cortante e Momento Fletor Olá alunoa Iremos estudar neste tópico como determinar os valores nas seções críticas da viga por meio do digrama de forças cortantes e do dia grama de momento fletor A determinação dos valores do esforço cortante V e do momento fletor M serão obtidos pelo desenho do diagra ma de corpo livre por meio de sucessivas porções da viga ou por meio de relações entre carga força cortante e momento fletor Então vamos aprofundar nos estudos Estudamos até agora vigas com carrega mentos aplicados sejam cargas concentradas ou distribuídas Vimos também que é por meio do método das seções que determinamos os valores da força cortante e para o momento fletor mar carmos e elaborarmos os diagramas procedi mento trabalhoso 360 Projeto de Vigas Agora iremos transformar a nossa teoria estudada em um exercício exemplo para entendermos a aplicação Elabore os diagramas de esforço cortante e momento fletor para uma viga com car regamento indicado na figura a seguir Além do diagrama identifique também a força cortante máxima b o momento fletor máximo e c momento fletor mínimo 3 EXERCÍCIO A B C L E 18 m 24 m 30 m 24 m 100 kN 60 kN 20 kNm D Primeiramente iremos adequar a nossa viga para desenvolvermos os cálculos Identificando as reações de apoio em A e D Determinando a resultante para carga distribuída uniformemente Como indicado na figura a seguir A B C E 18 m 24 m 30 m 24 m 100 kN 60 kN 48 kN D A A y x 12 m 361 UNIDADE 8 Preparado o esquema de cargas para a viga iremos determinar as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio Fx Ax Fy Ay D Ay D M A 0 0 0 100 60 48 0 208 0 100 1 8 60 4 2 7 2 48 8 4 0 180 250 7 2 403 2 0 833 2 7 2 0 7 2 D D D D 833 2 115 72 116 280 116 92 D kN Ay kN Logo Com esses dados podemos representar o diagrama de corpo livre para a viga Diagrama de Esforço Cortante DEC ou V A B C E 100 kN 60 kN 20 kNm 92 kN 116 kN 1 D Tudo que será comentando a seguir deve ser observado juntamente com o diagrama de esforço cortante Isso facilitará e auxiliará no entendimento x V kN 92 8 68 48 576 204 192 1656 363 UNIDADE 8 Analisando os diagramas de esforço cortante e momento fletor podemos responder x M kN m 1656 1464 576 a Força cortante máxima Vmáx 92 kN entre A e B b Momento fletor máximo Mmáx 1656 kNm no ponto B c Momento fletor mínimo Mmín 576 kNm no ponto D Finalizamos mais um tópico Aqui aprendemos como elaborar os diagramas de esforços cortantes e de momento fletor por meio das relações entre estes e os carre gamentos em que a viga é submetida 365 UNIDADE 8 Contudo o exercício exemplo 1 caso de uma viga biapoiada com um carregamento concentro no ponto médio C a carga P aplicada em C representa uma singularidade do carregamento da viga que resulta em uma descontinuidade da força cortante e do momento fletor em que houve a necessidade do uso de funções analíticas diferentes para representar os diagramas antes e depois do carregamento O intuito deste tópico é mostrar como o uso de funções singulares torna possível re presentar a força cortante V e o momento fletor M por expressões matemáticas simples Assim iremos desenvolver o raciocínio em uma viga biapoiada AB de compri mento 2a com um carregamento uniforme distribuído w0 do ponto médio C até a extremidade direita da viga como representado na Figura 13 Figura 13 Viga biapoiada com carregamento uniforme do ponto médio ao ponto B Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Para o desenvolvimento inicialmente iremos desenhar o diagrama de corpo livre para toda a viga Figura 14 adequando o carregamento distribuído pelo resultado da força resultante localizada no centroide do carregamento Assim determinamos as reações de apoio A B C a a w0 Figura 14 Diagrama de corpo livre para uma viga biapoiada com carregamento uniforme do ponto médio ao ponto B Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 w0 2a w0 A B R R C B A a 1 2 a 366 Projeto de Vigas As reações de apoio são MB w a a R a R A A 0 1 2 2 0 0 sentido antihorário 1 4 0 w a Conhecidas as reações de apoio consideraremos uma seção no ponto D entre A e C Assim teremos o diagrama de corpo livre de AD representado pela Figura 15 Figura 15 Diagrama de corpo livre para uma viga biapoiada com carregamento uniforme entre AD Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Conseguimos determinar para o diagrama de esforços interno no intervalo de 0 x a a força cortante e o momento fletor expressos pelas funções Fy R V x V x R w a V x w a A A 0 0 1 4 1 4 1 1 0 1 0 e M R x M x M x R x w A A 1 1 1 0 0 0 1 4 sentido antihorário a x M x w a x 1 0 1 4 V1 M1 A RA 1 4 w0a D x 367 UNIDADE 8 Realizemos agora o mesmo raciocínio porém no ponto E que está entre C e B como ilustrado no diagrama de corpo livre do trecho AE representado na Figura 16 Figura 16 Diagrama de corpo livre para uma viga biapoiada com carregamento uniforme entre AE Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Assim conseguimos determinar para o diagrama de esforços interno no intervalo de a x a 2 a força cortante e o momento fletor expressos pelas funções Fy R w x a V x V x R w x a V x w a A A 0 0 1 4 0 2 2 0 2 0 w x a 0 e M R x w x a x a M A 2 0 0 1 2 sentido antihorário 2 2 0 2 0 0 0 1 2 1 4 1 2 x M x R x w x a x a M x w ax w x A a 2 w0 A C V2 M2 E RA 1 4 w0a x 1 2 a x a x a x a 370 Projeto de Vigas Figura 17 Carregamentos comuns e correspondentes força cortante e momento fletor expressos em termos de funções singulares Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Neste tópico aprendemos como determinar as funções singulares para diversas situações de carregamentos em vigas Vimos que é possível determinar a expressão da força cortante e que por meio da integração determinase a função do momen to fletor Logo aprendemos mais uma forma de elaborar os diagramas de esforços cortantes e momento fletor Carregamento x O a M0 x O a P x O a w w0 x O a w inclinação k w x w0 x a 0 x O a w w x k x a 1 Força Cortante Momento Fletor O x a V O x a V V x P x a 0 P O x a V O x a V O x a V O x a M M0 M x M0 x a 0 O x a M M x P x a 1 O x a M M x w0 x a 2 V x w0 x a 1 O x a M O x a M 1 2 M x w0 x a 2 k 2 3 M x x a k n1 n2 n 2 V x x a k n 1 n 1 V x x a 2 k 2 w x k x a n a a b c d e 371 UNIDADE 8 Projeto de Vigas Prismáticas Caroa alunoa neste tópico iremos desenvol ver por meio dos estudos já previamente estuda dos qual procedimento devemos executar para projetar economicamente uma viga prismática Iremos aplicar os conhecimentos já adquiridos Colocaremos em uma sequência o que vimos anteriormente para podermos elaborar o projeto de vigas prismáticas Nos tópicos anteriores aprendemos que o pro jeto de uma viga depende em essência do valor absoluto máximo do momento fletor M máx na viga Na seção crítica em que o ocorre o momento máximo absoluto a tensão normal máxima ocor re na superfície da viga sendo determinada por meio da equação 1 No entanto vimos que para certas formas da seção transversal podemos en contrar o valor σ máx em qualquer outro ponto da viga Por fim vimos que há situações de projeto de uma viga em que ocorre a dependência do valor máximo absoluto V máx da força cortante na viga e não do momento fletor máximo 374 1 Elaborar os diagramas de esforço cortante DEC ou V e de momento fletor DMF ou M para uma viga com carregamento concentrado de 20 kN em A e 40 kN em C conforme indicação do esquema estático na Figura a seguir A B C D 20 kN 40 kN 25 m 3 m 2 m Viga biapoiada com carregamento concentrado Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 2 Desenhar os diagramas de esforço cortante DEC ou V e de momento fletor DMF ou M para uma viga com carregamento uniformemente distribuído de terminando o ponto de momento fletor máximo e a intensidade do momento conforme indicado na Figura a seguir A B C 20 kNm 3 m 6 m Viga biapoiada com carregamento distribuído Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 375 3 Você foi contratado para especificar um perfil de abas largas para suportar uma força de 67 kN como indicado na Figura a seguir Sabese que a tensão normal admissível é de 165 MPa e a tensão de cisalhamento admissível é de 100 MPa para o aço utilizado Viga engastada com carregamento concentrado Fonte adaptada de Beer Pereira e Johnston Jr 2006 Utilize a tabela de bitolas de perfis estruturais de fabricantes de aço disponível no link indicado na seção Novas Descobertas A B 67 kN 24 m 376 Resistência dos materiais Autor William Nash e Merle C Potter Editora Bookman Sinopse A disciplina Resistência dos Materiais também chamada de Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos fornece a base para o projeto dos com ponentes de máquinas e estruturas de suporte de carga Esta obra apresenta explanações completas do conteúdo e segue as características da Coleção Schaum trazendo inúmeros exercícios de fixação LIVRO Para te auxiliar nos estudos indico o material em pdf a seguir para que você possa ter acesso à tabela de bitolas de perfis estruturais de fabricantes de aço WEB 377 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 378 1 Cálculo das Reações de apoio Fx H Fy R R R R M B B D B D B 0 0 0 20 40 0 60 0 sentido antiihorário 20 2 5 40 3 5 0 50 120 5 0 5 70 1 R R R R D D D D 4 46 kN R kN A Cálculo das Seções A B 46 kN 20 kN 25 m 40 kN C D 3 m 2 m 14 kN 1 2 3 4 5 6 Seção 1 no Ponto A Fy V V kN M M 0 20 0 20 0 20 0 1 1 1 sentido antihorário 1 1 0 0 M Seção 2 antes do Ponto B Fy V V kN M 0 20 0 20 0 20 2 5 2 2 2 sentido antihorário M M kN m 2 2 0 50 379 Seção 3 após o Ponto B Fy V V kN M 0 20 46 0 26 0 20 3 3 3 sentido antihorário 2 5 46 9 0 50 3 3 M M kN m Seção 4 antes do Ponto C Fy V V kN M 0 20 46 0 26 0 20 4 4 4 sentido antihorário 5 5 46 3 0 28 4 4 M M kN m Seção 5 após o Ponto C Fy V V kN M 0 20 46 40 0 14 0 5 5 5 sentido antihorário 20 5 5 46 3 40 0 0 28 5 5 M M kN m Seção 6 no Ponto D Fy V V kN M 0 20 46 40 14 0 14 0 6 5 6 sentido antihorário 20 7 5 46 5 40 2 0 0 6 6 M M 380 Representação das seções 46 kN 20 kN 40 kN 40 kN 14 kN 20 kN 20 kN 20 kN 20 kN 20 kN 46 kN 46 kN 46 kN 40 kN V4 M4 M6 V6 V5 M5 V4 M4 V3 M3 V2 M2 V1 M1 Marcação dos valores encontrados nas seções para desenho dos diagramas Diagrama de Esforço Cortante DEC ou V 26 kN 20 kN 14 kN V x PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Me Ronan Yuzo Takeda Violin Determinar a deformação de uma viga com carregamento transversal Entender como determinar a equação da linha elástica Determinar a equação da linha elástica a partir de carregamento distribuído aplicado Compreender e determinar a deformação em vigas estaticamente indeterminadas Determinar a deflexão por meio do método de superposição Deformação de uma Viga Sujeita a Carregamento Transversal Equação da Linha Elástica Vigas Estaticamente Indeterminadas Método de Superposição Determinação da Linha Elástica Diretamente a Partir do Carregamento Distribuído Deflexão das Vigas por Integração Deformação de uma Viga Sujeita a Carregamento Transversal Olá caroa alunoa Nesta unidade iremos es tudar outro critério que devemos nos preocupar para o dimensionamento de vigas que é a defle xão de vigas prismáticas submetidas a um dado carregamento Será um tópico de embasamento para os demais tópicos na sequência Então bom estudo A determinação da deflexão em vigas pris máticas submetidas a um carregamento tem o interesse em determinar a máxima deflexão pois é importante na grande maioria dos projetos de uma viga o valor máximo admissível para a de flexão 393 UNIDADE 9 Figura 4 Diagrama de corpo livre de viga biapoiada com carregamento concentrado e balanço Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Com as reações dos apoios determinadas desenhouse o diagrama de momento fletor Figura 5 o qual apresenta pontos nulos nas extremidades A e D e no ponto E com a distância de x 4 m do ponto A A B C D 3 m 4 kN 2 kN 3 m 3 m RA 1 kN RC 5 kN Figura 5 Diagrama de Momento Fletor de viga biapoiada com carregamento concentrado e balanço Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Entre A e E o momento fletor é positivo e a viga tem concavidade voltada para cima e entre E e D o momento fletor é negativo e a viga tem concavidade voltada para baixo Essa situação é ilustrada pela Figura 6 É importante observar que o maior valor da curvatura isto é o menor valor do raio de curvatura ocorre no ponto C onde encontrase o momento máximo A B C D 4 m x E M 6 kN m 3 kN m Figura 6 Deformação da viga biapoiada com carregamento concentrado e balanço Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A B C D E 4 kN 2 kN 394 Deflexão das Vigas por Integração O que foi comentado até agora permite que tenhamos uma boa ideia da forma da viga deformada por meio das informações obtidas de sua curvatura porém para um projeto de uma viga são necessárias informações mais precisas sobre a deformação e a declividade da viga em vários pontos A deformação transversal da viga em um ponto é chamada de flecha O conhecimento da deformação máxima da viga é muito importante no dimen sionamento e por meio da equação 2 iremos obter a relação entre a deformação y medida em um certo ponto Q do eixo da viga e a distância x desse ponto a alguma origem prefixada conforme a Figura 7 como se fosse uma coordenada Figura 7 Referências na viga para determinação de equação da linha elástica Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Essa relação obtida é a equação da linha elástica ou seja a equação da curva em que se transforma o eixo da viga ao se deformar devido ao carregamento aplicado Figura 8 A C D Q Figura 8 Representação da deformação da viga biapoiada com carregamento concentrado e balanço por meio da linha elástica Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Neste tópico estudamos os conceitos e equação que precisamos para determinar a linha elástica de vigas juntamente com o comportamento da estrutura devido aos carregamentos para uma breve análise da deformação da viga mas com intuito de determinar a máxima deflexão A C x y y x D Q P1 P2 Linha elástica 395 UNIDADE 9 Equação da Linha Elástica Caroa alunoa entendidos os conceitos de de formação em uma viga o conhecimento da cur vatura da viga é importantíssimo pois permitirá delinear algumas conclusões gerais a respeito da deformação da viga submetida a um carregamen to que em muitos casos é parâmetro de decisão Não deixe de se aprofundar no assunto e um ótimo estudo 402 Deflexão das Vigas por Integração Determinação da Linha Elástica Diretamente a Partir do Carregamento Distribuído Olá alunoa neste tópico iremos estudar como determinar a linha elástica para carregamentos distribuídos ao longo da viga observando as con dições de contorno a partir dos valores de con torno do diagrama de esforço cortante momento fletor ângulo de rotação e deformação Com isso desenvolveremos novas habilidades Determinaremos a linha elástica diretamente a partir do carregamento sem a necessidade de realizar as seções para determinar a equação O Tópico 1 apresentou que a equação da linha elástica é obtida por meio da resolução da equação diferencial ordinária d y dx M x EI 2 2 Eq 5 404 Deflexão das Vigas por Integração Para determinação das constantes da integraçãoC C C C 1 2 3 4 e é necessário a apli cação das condições de contorno Dessa forma por meio da Figura 13 podemos observar as condições de contorno Figura 13 Condições de contorno para vigas com carregamento distribuído Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 As condições de contorno incluem a As restrições impostas às deformações da viga pelos apoios b A condição de que a força cortante V e o momento fletor M devem ser nulos na extremidade livre de uma viga em balanço ou de que o momento fletor M deve ser nulo nos dois apoios de uma viga simplesmente apoiada As equações estudadas neste tópico podem ser aplicadas diretamente a uma viga em balanço ou a uma viga simplesmente apoiada Em casos de vigas apoiadas com balanço as reações de apoio provocam a descontinuidade na força cortante na terceira derivada de y podendo ser levado em conta por meio do uso de funções singulares Este método é aplicável às vigas que apresentam carregamento distribuído descontínuo se expressarmos a carga w x em termos de funções singulares O que aprendemos nesse tópico será aplicando no exercício exemplo 2 a seguir A y x b Viga simplesmente apoiada B y 0 A y 0 B x A B y θ 0 A a Viga em balanço M 0 B y 0 A y 0 B M 0 A M 0 B 408 Deflexão das Vigas por Integração Vigas Estaticamente Indeterminadas Caroa alunoa neste tópico iremos trabalhar com vigas estaticamente indeterminadas ou seja vigas apoiadas de tal forma que as reações de apoio apresentaram mais incógnitas que equações de equilíbrio Para essas situações o uso de condições de contorno será importante para determinação das variáveis indeterminadas Já estudamos vigas estaticamente determina das ou seja vigas em que se é possível determinar as reações dos apoios por meio das equações de equilíbrio Agora estudaremos também vigas po rém estaticamente indeterminadas situação em será necessário a aplicação de outros métodos além das equações de equilíbrio 410 Deflexão das Vigas por Integração Para determinação das reações dos apoios e as constantes C1 e C2 devemos utilizar as seis equações sendo três equações de equilíbrio apresentadas na equação 20 e as três equações que descrevem as condições de contorno ou seja as condições que atendem a declividade e a flecha para serem nulas em A e a flecha que atendem as condições para ser nula em B Com isso as reações dos apoios podem ser determinadas ao mesmo tempo que se obtém a equação da linha elástica A Figura 17 expressa a explicação anterior Figura 17 Condições de contorno para uma viga prismática estaticamente indeterminada Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Uma viga prismática com carregamento uniformemente distribuído possui apoio A engastado e apoio B um apoio de primeiro gênero Determine as reações de apoio como ilustra a Figura 18 3 EXERCÍCIO y x A B x 0 y 0 x L y 0 w x 0 θ 0 A B w L Figura 18 Viga prismática estaticamente indeterminada para determinação das reações de apoio Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Inicialmente devemos elaborar o diagrama de corpo livre para determinarmos as reações de apoio como vemos a seguir 415 UNIDADE 9 Método de Superposição Neste tópico alunoa estudaremos o método da superposição que irá se desenvolver separada mente e depois será adicionada a declividade e deflexão devido à aplicação de várias cargas em uma viga Assim aprenderemos mais um método para determinação das deflexões em vigas Em situações em que uma viga é submetida a diversos carregamentos distribuídos ou concen trados tornase conveniente calcular separada mente as flechas e declividades provocadas devido a cada carregamento e depois aplicar o princípio da superposição ou seja somar ou diminuir os resultados conforme o sentido do carregamento A flecha e a declividade provocada pelo carre gamento total são então determinadas pela soma dos valores encontrados para cada carregamento isoladamente 416 Deflexão das Vigas por Integração Para o melhor entendimento do assunto iremos desenvolver o exercício exemplo 4 de forma comentada para entendermos o princípio da superposição Uma viga simplesmente apoiada com carregamento uniformemente distribuído e um carregamento concentrado possui rigidez flexional EI de 100 106 2 x N m Determine a flecha e a declividade da viga no ponto D como indicado na Figura 21 4 EXERCÍCIO Figura 21 Viga prismática simplesmente apoiada com carregamento distribuído e concentrado Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Observando o enunciado do exercício e também a Figura 21 devese perceber que a viga é estaticamente determinada e que há dois carregamentos aplicados Como o exercício pede para determinarmos a flecha e declividade precisaremos tratar esse exercício de forma separada ou seja determinar o que o exercício solicitou para o carregamento concentrado separadamente e depois para o carregamento distribuído Assim a declividade e a flecha em qualquer ponto da viga podem ser determinadas superpondose à declividade e à flecha calculadas para a carga concentrada e a carga distribuída separadamente A Figura 22 explica o que foi comentado A B D 2 m 20 kNm 150 kN 8 m Figura 22 Viga prismática simplesmente apoiada com deformação causada por carregamentos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A B D 150 kN 20 kNm A B D 150 kN 2 m L 8 m A B D w 20 kNm L 8 m x 2 m b c a 423 UNIDADE 9 Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Declividade no ponto D D D D D x CARGA CONCENRTADA CARGA DISTRIBUÍDA 3 10 3 2 93 10 5 93 10 3 3 x rad Flecha no ponto D y y y y x D D D D CARGA CONCENRTADA CARGA DISTRIBUÍDA 9 10 3 7 53 10 16 53 10 16 53 3 3 x m mm Finalizamos o exercício em que determinamos os valores para o ponto D Para si tuações semelhantes existem já definidas equações para diversos tipos de vigas que determinam os valores de declividade e de flecha como ilustrado da Figura 23 424 Deflexão das Vigas por Integração Figura 23 Equação da declividade e linha elástica conforme carregamentos Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 Nesta unidade estudamos como determinar o valor da declividade e da flecha para vigas com mais de um carregamento aplicado por meio do princípio da superposição Este princípio também é valido para estruturas estaticamente indeterminadas então não deixem de estudar Tipos de viga e carregamento Linha elástica Flecha máxima Rotação nos apolos Equação da linha elástica P L w L M L L P 1 L 2 A B L P a b L w L A B M O y x L ymáx O y x L ymáx O y x L ymáx O y x L ymáx 1 L 2 A y x L ymáx B a b xm O y x L ymáx L B 3 PL3 3EI wL4 8EI ML2 2EI PL3 48EI PL2 2EI wL3 6EI ML EI PL2 16EI 3EIL Pb L² b² 9 32 xm Para a b 3 L2 b² 5wL4 384EI ML2 93EI y x3 3Lx2 P 6EI y x4 4Lx3 6L2x2 w 24EI y x 2 M 2EI θ PbL2 b2 6EIL A θ PaL2 a2 6EIL B wL3 24EI θ A θ B ML 3EI ML 6EI O y x L ymáx 1 L 2 y x ³ L²x M 6EIL y x4 2Lx3 L3x w 24EI y x3 L2 b2x Pb 6EIL Para x a Para x a y Pa²b² 3EIL Para x L 1 2 y 4x3 3L2x P 48EI 1 2 3 4 5 6 7 425 1 Uma viga prismática simplesmente apoiada AB suporta um carregamento distri buído uniformemente w por unidade de comprimento como a Figura a seguir Determine a equação da declividade a equação da linha elástica e a flecha máxima da viga Sabese que a rigidez flexional é constante A B w L Viga prismática simplesmente apoiada AB suporta um carregamento distribuído uniformemente Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 2 Uma viga simplesmente apoiada com balanço ABC tem uma carga concentrada P na extremidade do balanço no ponto C Para o trecho AB da viga a Deduza a equação da linha elástica b Determine a flexão máxima c Calcular ymáx para as informações PerfilW 360x101 I 301x10 mm E 200GPa P 220kN L 6 4 450 120 m a m Viga simplesmente apoiada com balanço Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A B C L P a Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 426 3 Uma viga simplesmente apoiada AB de seção uniforme a Determine a reação de apoio A b Deduza equação da linha elástica c Determinar a rotação do eixo no apoio A Viga simplesmente apoiada com carregamento distribuído triangular Fonte adaptada de Beer e Johnston Jr 2006 A B L w0 427 Fundamentos de Resistência dos materiais Autor Antônio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro e Marcos Crivelaro Editora LTC Sinopse com uma didática que verdadeiramente alia a teoria à prática Fun damentos de Resistência dos Materiais traz aos estudantes e profissionais das Engenharias todo o estudo introdutório sobre o comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços de forma que poderão compreender os con teúdos com facilidade São abordados os principais tópicos da disciplina de Resistência dos Materiais como as características geométricas de superfícies planas o equilíbrio estático de um corpo os esforços internos solicitantes nos elementos estruturais as tensões em barras por forças as treliças planas isostáticas as deformações em barras causadas por força axial as deformações em barras causadas por variação de temperatura as tensões na flexão de barras e a torção em barras circulares Tudo isso em uma sequência didática que possibilita um melhor desempenho no aprendizado dos métodos de aplicação Utilizouse uma metodologia favorável ao processo de geração de conhecimento com a qual a conceituação básica das teorias da física é seguida de exercícios resolvidos apresentando o passo a passo para encontrar a solução mais apro priada LIVRO 428 BEER F P JOHNSTON JR E R Resistência dos materiais Tradução de Celso Pinto Morais Pereira 3 ed São Paulo Pearson Makron Books 2006 CONCLUSÃO Chegamos ao final do livro aqui estudamos as propriedades de figuras planas em que determinamos o centroide o momento de inércia e o raio de giração onde as primeiras equações e integrações pareciam trabalhosas mas serviram para melhorar a linha de raciocínio e principalmente para conhecer as informações que serão utilizadas em todo o livro No decorrer das unidades aprendemos sobre os tipos de tensões e como determinálas por carregamento axial ou seja por torção além de entender a diferença entre material dúctil e frágil Foram analisadas as equações para determinar a flexão pura em barras prismáticas base para o desenvolvimento das unidades na sequência principalmente a base conceitual e com isso foi possível determinar as seções de cisalhamento devido aos carregamentos transversais Com todos esses conteúdos estudados realizamos a análise das tensões e suas defor mações para compreender o comportamento dos componentes das tensões e como se transformam quando ocorre a rotação dos eixos Tudo isso foi importantíssimo para aplicação pois vimos que devemos estudar a tensão normal por meio do módulo resistente para realizar a escolha da nossa viga ou seja para podermos elaborar um projeto de viga para o correto dimensionamento seja na questão segurança ou na questão economia e não só a tensão normal mas também a tensão de cisalhamento que principalmente em perfis metálicos devese tomar cuidado Para finalizar estudamos a deflexão em vigas que é outro critério que deve ser consi derado para o dimensionamento de vigas pois em situações que ocorre o extrapolamento do limite da flecha pode ocorrer o colapso da estrutura ou a perda de equilíbrio Para o desenvolvimento de um ótimo engenheiro não deixe de estudar e de aprimorar o conhecimento Mantenhase sempre no foco de novas conquistas Não nascemos sabendo tudo mas se tivermos iniciativa conseguiremos alcançar todos os nossos sonhos Até a próxima