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Determine a equação do plano tangente à superfície nos pontos especificados.\n\na) z = -4x^2 - y^2 + 2y P (-1, 2, 4)\n\nSolução: Para determinar a equação do plano tangente devemos encontrar as derivadas parciais nos pontos indicados.\n\n• dz/dx (z= -4x^2 -y^2 + 2y) = dz/dx (x^2) - 2(y)(dy) = 8x\n\n• dz/dy (z= -4x^2 -y^2 + 2y) = dz/dy (4x^2) = 2(y)(dy) = 0 - 2y + 2 = -2y + 2\n\nAssim, dz = -8x + dz/dy - 2y + 2\n\nPlano tangente em P (-1, 2, 4)\n\ndz/dx = 8x = 8(-1) = -8\n\ndz/dy = 2y - 2 = 2(2) - 4 + 2 = 2\n\nLogo, z - 4 = -8(-1)(x + 1) - 2(y - 2)\n\nz - 4 = -8x + 8 - 2y + 4\n\nz - 4 = -8x - 2y + 12\n\no = -8x - 2y + z = 0\n\nb) 8x + 2y + z = 0 i) z = √(x y) (1, 1, 1)\n\nSolução: para determinar a equação do plano tangente devemos encontrar as derivadas parciais nos pontos indicados:\n\n∂z/∂x (√(x y)) = 1/(2√(x y)) * 1/√y = y/(2√(x y)²)\n\n∂z/∂y (√(x y)) = 1/(2√(x y)) * x/√x = x/(2√(y x²))\n\nPlano tangente em P (1,1,1)\n\n∂z(1,1) = 1/2 ∂z(1)/(1) = 1/2 ∂(1)/(1) = 1/2\n\n∂z(1)/(1) = 1/√(y) = 1/√(x) = 1/2\n\nLogo, z - 1 = 1/2 (x - 1) + 1/2 (y - 1)\n\n1/2 x + 1/2 y - z = 0 → plano tangente à superfície.\n\nCalcule, g'(0), onde g(t) = x(t)^3 y(t) x(t) = t² y(t) = sen(t)\n\ng'(0) = 2t + 3x²y² dt = (2R^3)(R)dt + (3R^2)(R²)(sin(t))dt\n\nFazendo g'(0), temos que:\n\ndg(0)/dt = 0\n\nx(0) = t² + 2*0² = 0\ny(0) = sen(t) = sen(0) = 0
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Determine a equação do plano tangente à superfície nos pontos especificados.\n\na) z = -4x^2 - y^2 + 2y P (-1, 2, 4)\n\nSolução: Para determinar a equação do plano tangente devemos encontrar as derivadas parciais nos pontos indicados.\n\n• dz/dx (z= -4x^2 -y^2 + 2y) = dz/dx (x^2) - 2(y)(dy) = 8x\n\n• dz/dy (z= -4x^2 -y^2 + 2y) = dz/dy (4x^2) = 2(y)(dy) = 0 - 2y + 2 = -2y + 2\n\nAssim, dz = -8x + dz/dy - 2y + 2\n\nPlano tangente em P (-1, 2, 4)\n\ndz/dx = 8x = 8(-1) = -8\n\ndz/dy = 2y - 2 = 2(2) - 4 + 2 = 2\n\nLogo, z - 4 = -8(-1)(x + 1) - 2(y - 2)\n\nz - 4 = -8x + 8 - 2y + 4\n\nz - 4 = -8x - 2y + 12\n\no = -8x - 2y + z = 0\n\nb) 8x + 2y + z = 0 i) z = √(x y) (1, 1, 1)\n\nSolução: para determinar a equação do plano tangente devemos encontrar as derivadas parciais nos pontos indicados:\n\n∂z/∂x (√(x y)) = 1/(2√(x y)) * 1/√y = y/(2√(x y)²)\n\n∂z/∂y (√(x y)) = 1/(2√(x y)) * x/√x = x/(2√(y x²))\n\nPlano tangente em P (1,1,1)\n\n∂z(1,1) = 1/2 ∂z(1)/(1) = 1/2 ∂(1)/(1) = 1/2\n\n∂z(1)/(1) = 1/√(y) = 1/√(x) = 1/2\n\nLogo, z - 1 = 1/2 (x - 1) + 1/2 (y - 1)\n\n1/2 x + 1/2 y - z = 0 → plano tangente à superfície.\n\nCalcule, g'(0), onde g(t) = x(t)^3 y(t) x(t) = t² y(t) = sen(t)\n\ng'(0) = 2t + 3x²y² dt = (2R^3)(R)dt + (3R^2)(R²)(sin(t))dt\n\nFazendo g'(0), temos que:\n\ndg(0)/dt = 0\n\nx(0) = t² + 2*0² = 0\ny(0) = sen(t) = sen(0) = 0