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Cálculo Numérico Prof Aparecido J de Souza aparecidosouzaciufpbbr Integração Numérica Quadratura Gaussiana Observações Sobre NewtonCotes Fechadas Sejam f uma função integrável num intervalo a b e os n 1 pontos nós a x0 x1 xn1 xn b que particionam a b em n subintervalos todos de comprimento h b an Trapézios ETR b ah2 fξ 12 ξ ab Integral exata para polinômios de grau 1 pois fξ 0 Simpson 13 ESR b ah4 fivξ 180 ξ ab Integral exata para polinômios de grau até 3 pois fivξ 0 Observacoes Sobre NewtonCotes Fechadas Para formulas fechadas de NewtonCotes com n subintervalos de mesmo comprimento i se n é impar hne24n1E n E aaa uu1undu ab Integral exata para polindmios de grau até n pois f91E 0 ii se n é par hn34n2E n n E axa u 5 u1uu1un du ab Integral exata para polindmios de grau até n 1 pois f92E 0 Integragao Numerica por Quadratura Gaussiana b J float Aoflx0 Ar flo AnfXxn a em que os n 1 pontos ou nds xXo Xn Nao sao dados mas sim devem ser determinados juntamente com as n 1 constantes ou pesos Apo An Portanto devese determinar 2n 2 constantes sob alguma condigao imposta No caso férmula é dito aberta porque Xo e Xn Nao precisam ser os extremos do intervalo de integragao Como um polinémio de grau 2n 1 possui 2n 2 coeficientes impOese que a formula de aproximagao forneca o valor exato para polinédmios de grau até 2n 1 Assim fechamos um sistema com 2n 2 equagdes e 2n 2 incdgnitas Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Caso 1 ab 11 1 fx dx AgfxXo Ay f Como n 1 temos que determinar os dois nds Xp e x OS dois pesos Ap e A tal que a formula seja exata para polinémios de grau até 2n 1 3 Ou seja devemos ter que resolver um sistema 2n 2 x 2n 2 4 4 Assim a formula devera ser exata para os monémios oX 1 91X X Gox x gax x Susbtituindo cada g na formula exata i QkX Ax Ap gk Xo A1 gx x1 K 0123 obtemos o sistema nao linear 4 4 2 1 1x ApgoXo A1901 Ao At O 1 xdx Aogi Xo 191 x1 Aoxo Aix 23 1 x dx Apgoxo A1gox1 Aoxs A1x O 1 x8 dx Aggaxo A1ax1 Aoxg Arx Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Solucao do sistema nao linear 4x4 Xo 118 X14 13 Ao A 1 Portanto 1 J fx dx Aofxo Aifx1 f13 f13 Exemplo 1 Use a Quadratura Gaussiana com dois nos para aproximar a integral e dx Solugao fx er f18 e1V3 eH 13 f418 e V3 eH 13 1 Dai fedxve 13 4e13 2e13 27912 1 Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 b Caso 2 Formula geral para aproximar fx dx a Estratégia Transformar a b no intervalo 11 fazendo a substituigao da variavel x para f x bat4b a Dai dx balat Assim fxdx f 4bat4ba 4b alt xXast1 e xbt1 b 1 Logo txdx J Ftdt F13 F 173 1 a 1 1 1 em que Ft plbal x f5bat glb al Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Ja fx dx J Ft dt F13 F13 com Ft 3bal x f4bat3bal Exemplo 2 Use a Quadratura Gaussiana com dois nos para aproximar a integral fr e dx Solucao Temos a 1 b2e fx er Logo b a 1 b a 3 e a substituigao fica X 3bat 3ba 5f 3 com dx 3baldt 5at Dai Ft 4 xe 2043 F13 01153 e F13 00204 Portanto j e dx F13 F13 01357 Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Pe dx 01357 os y expx NO Xo Aba x to db a 3 21 x 13 241 121 X dba xt db a 321 x 134 3241 179 Quadratura Gaussiana para n1 nos Procedimento Geral Faga x bat4ba Dai dx baldte b 1 fxdx Ft dt AoFto AyFti AnFtn a com Ft b al x f 4bat 3ba Impondo que a férmula seja exata para polindmios de grau até 2n 1 substituimos a mesma para os monémios gt t k 012n1 e resolvemos 0 sistema nao linear de 2n 2 equagdes nas 2n 2 incdgnitas dadas pelos n1nos to ty th e pelos n1pesos Ao AjAn Tabela de nós e pesos para Quadratura Gaussiana n1 Nós no intervalo 11 Pesos 2 t0 t1 05773502692 A0 A1 1 3 t0 t2 07745966692 A0 A2 05555555556 t1 00 A1 08888888889 4 t0 t3 08611363116 A0 A3 03478548451 t1 t2 03399810436 A1 A2 06521451549 5 t0 t4 09061798459 A0 A4 02369268851 t1 t3 05384693101 A1 A3 04786286705 t2 00 A2 05688888889 6 t0 t5 09324695142 A0 A5 01713244924 t1 t4 06612093865 A1 A4 03607615730 t2 t3 02386191861 A2 A3 04679139346 Fonte Notas de Aula do Prof Lenimar Andrade httpwwwmatufpbbrlenimartextosnumerv2pdf Tabela de nós e pesos para Quadratura Gaussiana n1 Nós no intervalo 11 Pesos 7 t0 t6 09491079123 A0 A6 01294849662 t1 t5 07415311855 A1 A5 02797053915 t2 t4 04058451513 A2 A4 03818300505 t3 00 A3 04179591837 8 t0 t7 09602898565 A0 A7 01012285363 t1 t6 07966664774 A1 A6 02223810345 t2 t5 05255324099 A2 A5 03137066459 t3 t4 01834346425 A3 A4 03626837838 Fonte Notas de Aula do Prof Lenimar Andrade httpwwwmatufpbbrlenimartextosnumerv2pdf Quadratura Gaussiana para n1 nos JP x dx J Ftdt AoFto AyFti AnFtn com Ft ba x fdbat4bal Exemplo 3 Use a Quadratura Gaussiana com trés nds n 2 2 para aproximar a integral e dx do Exemplo 2 1 Solugao JA temos que Ft 4 x e2t3 Consultando a tabela f 07746 t0 t07746 Ao Ao 05555 e A 08888 Calculando Ft 01450 Ft 00527 Ft2 00142 2 Portanto e dx 05555 x 01450 08888 x 00527 1 05555 x 00142 01352 Quadratura Gaussiana para 3 nos n 2 2 fe dx 01352 1 04 Ne expx Xo 111 x1 15 Xo 189 Ft 4 xe 2043 Quadratura Gaussiana para n1 nos Exemplo 4 Notas do Prof Lenimar pg 59 Ex 510 Use a quadratura gaussiana com trés nos n 2 para calcular uma valor aproximado da integral Jj dx Solucao Temos a 2 b3 fx Sa ba1eba5 Primeiro Passo Fazer a substituicao x balt ab 532t 323 3t5 Segundo Passo Obter a expressao da fungao Ft 1 1 1 1 ie At5 Terceiro Passo Consultar a tabela 07746 t 0 tp 07746 Ap Ao 05555 e A 08888 Quarto Passo Aplicar a formula Je 7a OX AoF to ArFt1 AaF tz 00671599452 Obs Pelo WolframAlpha 3 dx 00671607210 Quadratura Gaussiana para 3 nos n 2 3 f Sdx 006716 14x O12 y x 14x4 Xo 211 x1 25 Xo 289 Ft 7g ey O Erro de Integracgao na Quadratura Gaussiana com n1 pontos Ja fx dx J Ft dt AyFtp ArF th AnF th com Ft4ba x f4bathbal O erro de aproximacao b al9n 1 4 ronya Egga b n3yenr22 f para algum ab Estimativa de Erro Se fx M para todo x a 6 entao 2n3 4 Mb a9 n 1 E Obs A formula do Erro confirma que a integragao por Quadratura Gaussiana para n 1 nds é exata para polindmios px de grau até 2n 1 pois p22E 0 O Erro de Integração na Quadratura Gaussiana com n1 pontos EQGab b a2n3n 14 2n 32n 23 f2n2ξ para algum ξ ab Casos Particulares Para n 1 2 nós EQG ba5 4320 f4ξpara algum ξ ab Para n 2 3 nós EQG ba7 2016000f6ξpara algum ξ ab Para n 3 4 nós EQG ba9 1778112000f8ξpara algum ξ ab Exemplos de Estimativas de Erros Exemplo 1 fy e dx 27912 com 2 nos n 1 f22x f4x 4e 3 12x2 4x4 M max f4x 12 1x1 ad Eae11 aaag ag 83 x 10 Exemplo 2 e dx 01357 com 2 nds n 1 f22x f4x 4e 3 12x2 4x4 M max f4x 73576 1x2 Ega12 Merah 2398761 232 x 104 Exemplos de Estimativas de Erros Exemplo 3 2 e dx 01352 com 3 nds n 2 f2n2 x f8x 8e15 90x 60x4 8x8 M max fx 6769 1x2 Mxba 7 Eag12 Sub al 67 681 34x 105 Exemplo 4 3 dx 00671599452 com 3 nés n 2 3 4 8 12 16 f2n2x f6x 2880x21 aT 182x7x M max fx 871 2x3 al7 Eag23 SeBoal Bit 433 x 106
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Cálculo Numérico Prof Aparecido J de Souza aparecidosouzaciufpbbr Integração Numérica Quadratura Gaussiana Observações Sobre NewtonCotes Fechadas Sejam f uma função integrável num intervalo a b e os n 1 pontos nós a x0 x1 xn1 xn b que particionam a b em n subintervalos todos de comprimento h b an Trapézios ETR b ah2 fξ 12 ξ ab Integral exata para polinômios de grau 1 pois fξ 0 Simpson 13 ESR b ah4 fivξ 180 ξ ab Integral exata para polinômios de grau até 3 pois fivξ 0 Observacoes Sobre NewtonCotes Fechadas Para formulas fechadas de NewtonCotes com n subintervalos de mesmo comprimento i se n é impar hne24n1E n E aaa uu1undu ab Integral exata para polindmios de grau até n pois f91E 0 ii se n é par hn34n2E n n E axa u 5 u1uu1un du ab Integral exata para polindmios de grau até n 1 pois f92E 0 Integragao Numerica por Quadratura Gaussiana b J float Aoflx0 Ar flo AnfXxn a em que os n 1 pontos ou nds xXo Xn Nao sao dados mas sim devem ser determinados juntamente com as n 1 constantes ou pesos Apo An Portanto devese determinar 2n 2 constantes sob alguma condigao imposta No caso férmula é dito aberta porque Xo e Xn Nao precisam ser os extremos do intervalo de integragao Como um polinémio de grau 2n 1 possui 2n 2 coeficientes impOese que a formula de aproximagao forneca o valor exato para polinédmios de grau até 2n 1 Assim fechamos um sistema com 2n 2 equagdes e 2n 2 incdgnitas Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Caso 1 ab 11 1 fx dx AgfxXo Ay f Como n 1 temos que determinar os dois nds Xp e x OS dois pesos Ap e A tal que a formula seja exata para polinémios de grau até 2n 1 3 Ou seja devemos ter que resolver um sistema 2n 2 x 2n 2 4 4 Assim a formula devera ser exata para os monémios oX 1 91X X Gox x gax x Susbtituindo cada g na formula exata i QkX Ax Ap gk Xo A1 gx x1 K 0123 obtemos o sistema nao linear 4 4 2 1 1x ApgoXo A1901 Ao At O 1 xdx Aogi Xo 191 x1 Aoxo Aix 23 1 x dx Apgoxo A1gox1 Aoxs A1x O 1 x8 dx Aggaxo A1ax1 Aoxg Arx Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Solucao do sistema nao linear 4x4 Xo 118 X14 13 Ao A 1 Portanto 1 J fx dx Aofxo Aifx1 f13 f13 Exemplo 1 Use a Quadratura Gaussiana com dois nos para aproximar a integral e dx Solugao fx er f18 e1V3 eH 13 f418 e V3 eH 13 1 Dai fedxve 13 4e13 2e13 27912 1 Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 b Caso 2 Formula geral para aproximar fx dx a Estratégia Transformar a b no intervalo 11 fazendo a substituigao da variavel x para f x bat4b a Dai dx balat Assim fxdx f 4bat4ba 4b alt xXast1 e xbt1 b 1 Logo txdx J Ftdt F13 F 173 1 a 1 1 1 em que Ft plbal x f5bat glb al Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Ja fx dx J Ft dt F13 F13 com Ft 3bal x f4bat3bal Exemplo 2 Use a Quadratura Gaussiana com dois nos para aproximar a integral fr e dx Solucao Temos a 1 b2e fx er Logo b a 1 b a 3 e a substituigao fica X 3bat 3ba 5f 3 com dx 3baldt 5at Dai Ft 4 xe 2043 F13 01153 e F13 00204 Portanto j e dx F13 F13 01357 Quadratura Gaussiana para 2 nos n 1 Pe dx 01357 os y expx NO Xo Aba x to db a 3 21 x 13 241 121 X dba xt db a 321 x 134 3241 179 Quadratura Gaussiana para n1 nos Procedimento Geral Faga x bat4ba Dai dx baldte b 1 fxdx Ft dt AoFto AyFti AnFtn a com Ft b al x f 4bat 3ba Impondo que a férmula seja exata para polindmios de grau até 2n 1 substituimos a mesma para os monémios gt t k 012n1 e resolvemos 0 sistema nao linear de 2n 2 equagdes nas 2n 2 incdgnitas dadas pelos n1nos to ty th e pelos n1pesos Ao AjAn Tabela de nós e pesos para Quadratura Gaussiana n1 Nós no intervalo 11 Pesos 2 t0 t1 05773502692 A0 A1 1 3 t0 t2 07745966692 A0 A2 05555555556 t1 00 A1 08888888889 4 t0 t3 08611363116 A0 A3 03478548451 t1 t2 03399810436 A1 A2 06521451549 5 t0 t4 09061798459 A0 A4 02369268851 t1 t3 05384693101 A1 A3 04786286705 t2 00 A2 05688888889 6 t0 t5 09324695142 A0 A5 01713244924 t1 t4 06612093865 A1 A4 03607615730 t2 t3 02386191861 A2 A3 04679139346 Fonte Notas de Aula do Prof Lenimar Andrade httpwwwmatufpbbrlenimartextosnumerv2pdf Tabela de nós e pesos para Quadratura Gaussiana n1 Nós no intervalo 11 Pesos 7 t0 t6 09491079123 A0 A6 01294849662 t1 t5 07415311855 A1 A5 02797053915 t2 t4 04058451513 A2 A4 03818300505 t3 00 A3 04179591837 8 t0 t7 09602898565 A0 A7 01012285363 t1 t6 07966664774 A1 A6 02223810345 t2 t5 05255324099 A2 A5 03137066459 t3 t4 01834346425 A3 A4 03626837838 Fonte Notas de Aula do Prof Lenimar Andrade httpwwwmatufpbbrlenimartextosnumerv2pdf Quadratura Gaussiana para n1 nos JP x dx J Ftdt AoFto AyFti AnFtn com Ft ba x fdbat4bal Exemplo 3 Use a Quadratura Gaussiana com trés nds n 2 2 para aproximar a integral e dx do Exemplo 2 1 Solugao JA temos que Ft 4 x e2t3 Consultando a tabela f 07746 t0 t07746 Ao Ao 05555 e A 08888 Calculando Ft 01450 Ft 00527 Ft2 00142 2 Portanto e dx 05555 x 01450 08888 x 00527 1 05555 x 00142 01352 Quadratura Gaussiana para 3 nos n 2 2 fe dx 01352 1 04 Ne expx Xo 111 x1 15 Xo 189 Ft 4 xe 2043 Quadratura Gaussiana para n1 nos Exemplo 4 Notas do Prof Lenimar pg 59 Ex 510 Use a quadratura gaussiana com trés nos n 2 para calcular uma valor aproximado da integral Jj dx Solucao Temos a 2 b3 fx Sa ba1eba5 Primeiro Passo Fazer a substituicao x balt ab 532t 323 3t5 Segundo Passo Obter a expressao da fungao Ft 1 1 1 1 ie At5 Terceiro Passo Consultar a tabela 07746 t 0 tp 07746 Ap Ao 05555 e A 08888 Quarto Passo Aplicar a formula Je 7a OX AoF to ArFt1 AaF tz 00671599452 Obs Pelo WolframAlpha 3 dx 00671607210 Quadratura Gaussiana para 3 nos n 2 3 f Sdx 006716 14x O12 y x 14x4 Xo 211 x1 25 Xo 289 Ft 7g ey O Erro de Integracgao na Quadratura Gaussiana com n1 pontos Ja fx dx J Ft dt AyFtp ArF th AnF th com Ft4ba x f4bathbal O erro de aproximacao b al9n 1 4 ronya Egga b n3yenr22 f para algum ab Estimativa de Erro Se fx M para todo x a 6 entao 2n3 4 Mb a9 n 1 E Obs A formula do Erro confirma que a integragao por Quadratura Gaussiana para n 1 nds é exata para polindmios px de grau até 2n 1 pois p22E 0 O Erro de Integração na Quadratura Gaussiana com n1 pontos EQGab b a2n3n 14 2n 32n 23 f2n2ξ para algum ξ ab Casos Particulares Para n 1 2 nós EQG ba5 4320 f4ξpara algum ξ ab Para n 2 3 nós EQG ba7 2016000f6ξpara algum ξ ab Para n 3 4 nós EQG ba9 1778112000f8ξpara algum ξ ab Exemplos de Estimativas de Erros Exemplo 1 fy e dx 27912 com 2 nos n 1 f22x f4x 4e 3 12x2 4x4 M max f4x 12 1x1 ad Eae11 aaag ag 83 x 10 Exemplo 2 e dx 01357 com 2 nds n 1 f22x f4x 4e 3 12x2 4x4 M max f4x 73576 1x2 Ega12 Merah 2398761 232 x 104 Exemplos de Estimativas de Erros Exemplo 3 2 e dx 01352 com 3 nds n 2 f2n2 x f8x 8e15 90x 60x4 8x8 M max fx 6769 1x2 Mxba 7 Eag12 Sub al 67 681 34x 105 Exemplo 4 3 dx 00671599452 com 3 nés n 2 3 4 8 12 16 f2n2x f6x 2880x21 aT 182x7x M max fx 871 2x3 al7 Eag23 SeBoal Bit 433 x 106