Guia Didático de Cálculo IV - UFMS

C ALCULO IV Prof Dr Gilberto Rodrigues dos Santos Curso de Matematica Campus do Pantanal CPAN Universidade Federal de Mato Grosso do Sul UFMS Corumba 2023 Guia Didatico Calculo IV p 0 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Sumario 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs 2 Derivadas Parciais 3 Aplicac oes das Derivadas Parciais 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local 6 Integrais Multiplas 7 Integrais de Linha 8 O Teorema de Green Guia Didatico Calculo IV p 1 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Ementa Programa Aplicac oes das Derivadas Parciais Pontos de maximo e pontos de mınimo Condic oes necessaria para que um ponto interior ao domınio de uma func ao seja um extremante local Uma condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Maximos e mınimos sobre conjunto compacto Maximos e mınimos condicionados Multiplicador de Lagrange Integrais Multiplas Integrais Duplas Soma de Riemann e definic ao de integral dupla Condic ao suficiente para integrabilidade de uma func ao em um conjunto limitado e propriedades da integral Calculo de Integral Dupla Teorema de Fubini Mudanca de variaveis na integral dupla Integrais Triplas Guia Didatico Calculo IV p 2 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Ementa Programa Integrais de Linha Integral de um campo vetorial sobre uma curva Mudanca de parˆametro Integral de linha sobre uma curva de classe C1 por partes Integral de linha relativa ao comprimento de arco Teorema de Green Introduc ao as Equac oes Diferenciais Ordinarias EDO Conceitos basicos Equac oes diferenciais lineares de primeira ordem Equac oes diferenciais lineares de primeira ordem com variaveis separaveis Equac oes diferenciais homogˆeneas Equac oes de Bernoulli Equac oes diferenciais exatas Guia Didatico Calculo IV p 3 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Bibliografia Hamilton Luiz Guidorizzi Um Curso de Calculo Vol 2 Hamilton Luiz Guidorizzi Um Curso de Calculo Vol 3 Louis Leithold O Calculo com Geometria Analıtica Vol 2 James Stewart Calculo Vol 2 Dennis G Equac oes Diferenciais com Aplicac oes em Modelagem Guia Didatico Calculo IV p 4 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Recursos Aulas remotas assıncronas expositivas gravadas atraves do Google meet Disponibilizac ao de materiais didaticos no AVAMoodle Grupo de Whatsapp da disciplina Disponibilizac ao de videoaulas Guia didatico e apostilas elaborados com o editor de texto cientıfico Latex Mesa digitalizadora Minha Biblioteca Pergamum UFMS Guia Didatico Calculo IV p 5 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Avaliac oes A1 Primeira Avaliac ao escrita Previsao do conteudo Aplicac oes das Derivadas Parciais Integrais Multiplas A2 Segunda Avaliac ao escrita Previsao do conteudo Integrais Multiplas Integrais de Linha Introduc ao as Equac oes Diferenciais Ordinarias Media Final Mf A1A2 2 Avaliac ao optativa substitutiva substitui a menor nota Previsao do conteudo Todo Conteudo da disciplina Guia Didatico Calculo IV p 6 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 1 Plano de Ensino Calculo IV 102 hrs Atividade Pedagogica de Recuperac ao de Desempenho em Avaliac oes Elaborac ao de listas de exercıcios e de Guia Didatico para suporte na disciplina Videoaulas de resoluc ao de exercıcios e de revisao visando dirimir as possıveis duvidas em relac ao ao conteudo proposto Tutoria fora do horario de aula individual ou em grupo remotamente utilizando diferentes meios de comunicac ao para sanar eventuais duvidas relacionadas a disciplina Realizac ao de avaliac ao optativa substitutiva Guia Didatico Calculo IV p 7 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Derivadas Parciais 2 Derivadas Parciais Derivadas Parciais Considere f D Rn R uma func ao de n variaveis reais a valores reais f associa x x1x2 xn a um numero real z fx Figure 1 Func ao de duas variaveis reais a valores reais Guia Didatico Calculo IV p 8 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 2 Derivadas Parciais Derivadas Parciais Definic ao 1 A derivada parcial de f em relac ao a iesima variavel em x x1 xn denotada por f xi x lim h0 fx1 xi h xnfx1 xi xn h 1 se o limite existir A derivada parcial de f em relac ao a xi no ponto x0 x0 1 x0 n e dada pela func ao de varias variaveis definida por f xi x0 lim xi x0 i fx0 1 xi x0 n fx0 1 x0 i x0 n xi x0 i 2 Observac ao 1 A derivada parcial de f com respeito a iesima variavel e tambem denotada por fxi ou Dif Guia Didatico Calculo IV p 9 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 2 Derivadas Parciais Derivadas Parciais Exercıcio 1 Determine as derivadas parciais no ponto x0y0 21 da func ao fxy x3 x2y3 2y2 Exercıcio 2 Calcule as derivadas parciais da func ao fxy dada implicitamente por x2 y2 z2 1 z 0 Exercıcio 3 Considere fxy x3 y2 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 Determine as derivadas parciais Guia Didatico Calculo IV p 10 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Derivadas Parciais de Ordem Superior As derivadas parciais fx₁ fxₙ de uma função f de n variáveis são também funções de n variáveis As derivadas de fx₁ fxₙ são chamadas Derivadas de Segunda Ordem de f ²fxjxix xjfxix sendo x x₁ xₙ denota a jésima derivada parcial de fxi Existem 4 derivadas parciais de segunda ordem para funções de duas variáveis f D ℝ² ℝ ²fx²xy ²fy²xy ²fxyxy ²fyxxy Derivadas de ordem superior são obtidas derivando as derivadas parciais ³fxkxjxix xk²fxjxix xkxjfxix sendo x x₁ xₙ denota a Derivada de Terceira Ordem da função f 2 Derivadas Parciais Exercıcio 4 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem a z ln1x2 y2 b fxy ex2y2 c fxyz sen3x yz Exercıcio 5 Seja fxy 1 x2 y2 Mostre que x 2f x2 xyy 2f yx xy 3 f x xy Exercıcio 6 Seja fxy xy x2 y2 x2 y2 se xy 00 0 xy 00 Calcule 2f yx 00 e 2f xy 00 Guia Didatico Calculo IV p 12 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Aplicações das Derivadas Parciais 3 Aplicac oes das Derivadas Parciais Pontos de Maximo e Pontos de Mınimo Figure 2 Maximos e mınimos de uma func ao de duas variaveis reais a valores reais Guia Didatico Calculo IV p 13 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 3 Aplicac oes das Derivadas Parciais Pontos de Maximo e Pontos de Mınimo Definic ao 2 Seja fxy uma func ao a valores reais Dizemos que x0y0 A Df e ponto de maximo mınimo de f em A se para todo xy A fxy fx0y0 fxy fx0y0 Neste caso o numero fx0y0 e denominado valor maximo valor mınimo de f em A Definic ao 3 Seja fxy uma func ao a valores reais Dizemos que x0y0 Df e ponto de maximo mınimo global ou absoluto de f se para todo xy Df fxy fx0y0 fxy fx0y0 Neste caso dizemos que fx0y0 e o valor maximo valor mınimo de f Guia Didatico Calculo IV p 14 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 3 Aplicac oes das Derivadas Parciais Exemplo 1 Considere a func ao fxy 2x2 y2 Note que 00 e ponto de maximo global de f e f00 2 e valor maximo de f pois fxy 2x2 y2 2 f00 para todo xy R2 Figure 3 Grafico de fxy 2x2 y2 20 4 15 10 2 4 z 5 2 y 0 0 x 5 0 2 2 4 4 Guia Didatico Calculo IV p 15 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Seja fxy uma função a valores reais Dizemos que x0y0 Df é ponto de máximo mínimo local de f se existir uma bola aberta B de centro em x0y0 tal que para todo xy BDf fxy fx0y0 fxy fx0y0 fx0y0 é dito valor máximo valor mínimo local de f Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f O resultado a seguir fornecenos um critério para selecionar entre os pontos interiores de Df candidatos a extremos locais de f Teorema 1 Seja x0y0 um ponto interior de Df e suponhamos que fx x0y0 e fy x0y0 existam Então uma condição necessária para que x0y0 seja um extremante local de f é que fx x0y0 0 e fy x0y0 0 Dizemos que x0y0 é um ponto crítico e o estacionário de f se x0y0 for interior a Df e se fx0y0 fx x0y0 fy x0y0 00 O Teorema 1 nos diz que se f admite derivadas parciais em todos os pontos interiores de Df então os pontos críticos de f são entre os pontos interiores de Df os únicos candidatos a extremos locais de f Um ponto de fronteira de Df pode ser um extremante local sem que as derivadas parciais se anulem nele Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um ex tremante local de f Exemplo 2 Considere a func ao fxy x2 y2 Exemplo 3 Considere a func ao fxy y2 x2 Definic ao 5 Um ponto crıtico x0y0 de uma func ao f e um ponto de sela se qualquer bola aberta B centrada em x0y0 contem pontos x1y1 e x2y2 tais que fx1y1 fx0y0 fx2y2 Guia Didatico Calculo IV p 18 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f Exemplo 4 Considere a func ao fxy xy cujo grafico e o paraboloide hiperbolico Figure 4 Grafico da func ao fxy xy 4 2 2 0 1 z 2 y 2 0 4 1 x 1 0 1 2 2 Guia Didatico Calculo IV p 19 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Seja f de classe C² e seja x0y0 um ponto interior do domínio de f Uma condição necessária para que x0y0 seja um ponto de máximo mínimo local de f é que x0y0 seja ponto crítico de f e além disso ²fx² x0y0 0 e ²fy² x0y0 0 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f Figure 5 Grafico da func ao fxy x3 y3 3x 3y 4 0 2 2 1 4 6 0 8 2 1 1 0 1 2 2 Guia Didatico Calculo IV p 21 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um ex tremante local de f Exemplo 6 Determine os pontos crıticos da func ao fxy 3xy2 x3 3x Exemplo 7 Determine os pontos crıticos da func ao fxy xex2y2 Guia Didatico Calculo IV p 22 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 4 Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um extremante local de f Condic oes Necessarias para que um Ponto Interior ao Domınio de f seja um ex tremante local de f Exercıcio 7 Selecione os candidatos a extremante locais sendo fxy a 2x2 y2 2xy x y b x2 y2 3xy x y c x3 y2 xy 5 d x3 y3 xy e x4 y4 4x 4y f x5 y5 5x 5y Guia Didatico Calculo IV p 23 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Observação 2 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exemplo 8 Classifique os pontos crıticos da func ao fxy 3xy2 x3 3x Exemplo 9 Mostre que fxy x2 xy y2 3 x 3 y 5 tem mınimo local em 11 Exemplo 10 Determine a classificac ao dos pontos crıticos da func ao fxy xex2y2 Teorema 4 Se fxy ax2 by2 cxy dx ey l sendo abcde e l constantes entao se x0y0 for extremante local de f mınimo local ou maximo local entao sera extremante global Guia Didatico Calculo IV p 26 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exercıcio 8 Determine e classifique os pontos crıticos da func ao fxy 2x3 2y3 6x 6y Exercıcio 9 Determine e classifique os pontos crıticos da func ao fxy 2x2 y2ex2y2 Exercıcio 10 Determine e classifique os pontos crıticos da func ao fxy 3x4 2y4 Guia Didatico Calculo IV p 27 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Lista de Exercıcios Exercıcio 11 Determine e classifique os pontos crıticos da func ao dada a fxy x2 2xy 2y2 x 2y b fxy x2 y2 3xy x 4y c fxy x 2y 2xy x2 3y2 d fxy 3x2 y2 xy 2x 2y e fxy x2 2y2 3xy 2x 2y f fxy x2 y2 2x 4y g fxy e2x cosy h fxy xy 2x lnx2y com x 0 e y 0 i fxy exseny j fxy 1 2 x4 2x3 4xy y2 Guia Didatico Calculo IV p 28 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Aplicac oes A maximizac ao e a minimizac ao de func oes de varias variaveis sao problemas que aparecem em varios contextos praticos como Problemas geometricos Problemas econˆomicos Problemas fısicos A seguir sao apresentadas algumas aplicac oes em problemas econˆomicos Conceitualizac ao LUCRO RECEITA DESPESA VENDA CUSTO Exemplo 11 Uma industria produz dois produtos denotados por A e B O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B e dado por Lxy 60x 100y 3 2 x2 3 2y2 xy Supondo que toda a produc ao da industria seja vendida determine a produc ao que maximiza o lucro Determine tambem esse lucro Guia Didatico Calculo IV p 29 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exemplo 12 Quais as dimensoes de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m3 e com a menor area de superfıcie possıvel Exemplo 13 Uma combinac ao de dois medicamentos esta sendo testada no combate a certa infecc ao Os estudos mostraram que a durac ao em dias da infecc ao em testes de laboratorio pode ser modelada pela func ao fxy xy 4 x 2 y onde x e a dose em mg do primeiro medicamento e y e a dose em mg do segundo medicamento Determine a dose de cada medicamento para que a durac ao da infecc ao seja mınima e a durac ao correspondente Guia Didatico Calculo IV p 30 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Lista de Exercıcios Exercıcio 12 Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades sao indicadas por x e y Tais produtos sao oferecidos ao mercado consumidor a precos unitarios p1 e p2 respectivamente que dependem de x e y conforme equac oes p1 1202x e p2 200y O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos e dado por C x2 2y2 2xy Admitindo que toda produc ao da empresa seja absorvida pelo mercado determine a produc ao que maximiza o lucro Qual o lucro maximo Exercıcio 13 Para produzir determinado produto cuja quantidade e representada por z uma empresa utiliza dois fatores de produc ao insumos cujas quantidades serao indicadas por x e y Os precos unitarios dos fatores de produc ao sao respectivamente 2 e 1 O produto sera oferecido ao mercado consumidor a um preco unitario igual a 5 A func ao de produc ao da empresa e dada por z 900x2 y2 32x 41y Determine a produc ao que maximiza o lucro Qual o lucro maximo Guia Didatico Calculo IV p 31 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Lista de Exercıcios Exercıcio 14 Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado tera a menor area de superfıcie se for cubica Exercıcio 15 Quais as dimensoes de uma caixa retangular sem tampa com volume 8 m3 e com a menor area de superfıcie possıvel Guia Didatico Calculo IV p 32 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Observac ao 3 Como no Teorema 5 e suposto que fxyz uma func ao de classe C2 segue que 2f yx 2f xy 2f zx 2f xz e 2f zy 2f yz Exemplo 14 Estude com relac ao a maximo e mınimos locais da func ao fxyz x2 5y2 2z2 4xy 2x 4y 8z 2 Resposta xyz 1024 Guia Didatico Calculo IV p 34 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Lista de Exercıcios Exercıcio 16 Estude com relac ao a maximo e mınimos locais das func oes a fxyz x3 y3 z3 3x 3y 3z 2 Resposta Mınimo Local 111 Maximo Local 111 Pontos de sela 111111111111111 e 111 b fxyz x3 2xy y2 z2 5x 4z Resposta Mınimo Local 53532 Ponto de sela 112 c fxyz x2 y2 4z2 2xz 4yz 2x 6z Resposta Ponto de sela 574727 Guia Didatico Calculo IV p 35 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Máximos e mínimos condicionados Multiplicadores de Lagrange 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Figure 6 Representac ao de ponto de maximo livre e ponto de maximo condicionado da func ao fxy 4x2 y2 Guia Didatico Calculo IV p 37 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local O Metodo dos Multiplicadores de Lagrange O metodo dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situac oes mais gerais Atraves desse metodo um problema de otimizac ao restrita com n variaveis e m restric oes de igualdade e transformado num problema de otimizac ao irrestrita com n m variaveis O seguinte Teorema mostra como resolver Problemas Envolvendo Func oes de Duas Variaveis e uma Restric ao Teorema 6 Seja fxy diferenciavel num conjunto aberto U Seja gxy uma func ao com derivadas parciais contınuas em U tal que gxy 00 para todo xy V sendo V xy U gxy 0 Uma condic ao necessaria para que x0y0 V seja extremante local de f em V e que fx0y0 λgx0y0 6 para algum numero real λ Guia Didatico Calculo IV p 38 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Observac ao 4 Podemos dizer que os pontos de maximo e mınimo condicionados de f devem satisfazer as equac oes f x λ g x f y λ g y gxy 0 7 para algum numero real λ O numero real λ que torna compatıvel o sistema e chamado multiplicador de Lagrange O metodo proposto por Lagrange consiste simplesmente em definir a func ao de trˆes variaveis Lxyλ fxyλgxy 8 e observar que o Sistema 7 e equivalente a equac ao Lxyλ 0 9 ou equivalentemente L x 0 L y 0 e L λ 0 10 Assim os candidatos a extremantes locais de f sobre gxy 0 sao pesquisados entre os pontos crıticos de L Os valores maximo e mınimo de f sobre gxy 0 coincidem com os valores maximo e mınimo livres de L Guia Didatico Calculo IV p 39 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Observac ao 5 O metodo so permite determinar potenciais pontos extremantes A classificac ao desses pontos deve ser feita por outros meios tais como argumentos geometricos Exemplo 15 Utilizando o metodo de Lagrange encontre a soluc ao do problema de maximizac ao dado por maxfxy 4x2 y2 sa x y 2 Guia Didatico Calculo IV p 40 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Aplicac ao Exemplo 16 Um galpao retangular deve ser construıdo num terreno com a forma de um triˆangulo conforme a figura a seguir Determinar a area maxima possıvel para o galpao GALPÃO Guia Didatico Calculo IV p 41 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Lista de Exercıcios Exercıcio 17 Utilizando o metodo dos multiplicadores de Lagrange determine os pontos de maximos eou de mınimos da func ao dada sujeita as restric oes indicadas a z x2 y2 s a x y 1 b z 42x 3y s a x2 y2 1 c z 2x y s a x2 y2 4 d z xy s a 2x2 y2 16 e z xy s a x y 1 f z xy s a x2 y2 1 g z x2 y2 s a xy 1 h z x2 xy 2y2 s a 2x y 22 Guia Didatico Calculo IV p 42 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exercıcio 18 O departamento de estrada esta planejando construir uma area de piquenique para motoristas ao longo de uma grande autoestrada Ela deve ser retangular com uma area de 5000 metros quadrados e cercada nos trˆes lados naoadjacentes a autoestrada Qual e a quantidade mınima de cerca que sera necessaria para realizar o trabalho Exercıcio 19 Ha 320 metros de cerca disponıveis para cercar um campo retangular Como a cerca deve ser usada de tal forma que a area incluıda seja a maxima possıvel Guia Didatico Calculo IV p 43 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local O Metodo dos Multiplicadores de Lagrange Problemas que Envolvem Func oes de Trˆes Variaveis e uma Restric ao tambem poder ser solucionados utilizando o Metodo dos Multiplicadores de Lagrange Considere o problema de determinar potenciais pontos extremantes de w fxyz restrito a gxyz 0 O metodo consiste em definir a func ao lagrangiana Lxyzλ fxyzλgxyz e determinar os pontos xyz tais que Lxyλ 0 ou de forma equivalente L x 0 L y 0 L z 0 e L λ 0 Guia Didatico Calculo IV p 44 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exemplo 17 Determinar o ponto do plano 2x y 3z 6 mais proximo da origem Exemplo 18 Aplicac ao Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V 64cm3 Se o custo do material usado na fabricac ao da caixa e de R050 por centımetro quadrado determinar as dimensoes da caixa que tornem mınimo o custo do material usado em sua fabricac ao Guia Didatico Calculo IV p 45 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exemplo 17 Determinar o ponto do plano 2x y 3z 6 mais proximo da origem Exemplo 18 Aplicac ao Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V 64cm3 Se o custo do material usado na fabricac ao da caixa e de R050 por centımetro quadrado determinar as dimensoes da caixa que tornem mınimo o custo do material usado em sua fabricac ao Guia Didatico Calculo IV p 45 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exercıcio 20 Determinar o ponto do plano 3x 2y 4z 12 para o qual a func ao fxyz x2 4y2 5z2 tenha um valor mınimo Exercıcio 21 Desejase construir um aquario na forma de um paralelepıpedo retangular de volume 1m3 1000L Determine as dimensoes do mesmo que minimizam o custo supondo que o custo do material das laterais e de uma unidade monetaria sabendo que o custo do material usando na confecc ao do fundo e o dobro do da lateral e que o aquario nao tera tampa Exercıcio 22 Projete uma caixa retangular de leite com largura x comprimento y e altura z que contenha 512cm3 de leite Os lados da caixa custam 3 centavoscm2 e o topo e o fundo custam 5 centavoscm2 Ache as dimensoes da caixa que minimizem o custo total Qual e esse custo Guia Didatico Calculo IV p 46 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 5 Condic ao suficiente para um ponto crıtico ser extremante local Exercıcio 23 Encontre o volume maximo que uma caixa retangular pode ter sujeita a restric ao de que a area da superfıcie e 10m2 Exercıcio 24 Determinar os pontos de maximos e mınimos da func ao dada sujeita a restric ao indicada fxyz x y sa gxyz x2 y2 z2 1 Exercıcio 25 Determinar os pontos de maximos e mınimos da func ao dada sujeita a restric ao indicada fxyz x2 y2 z2 sa gxyz x y z 9 Guia Didatico Calculo IV p 47 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Integrais Múltiplas 6 Integrais Multiplas Integrais Duplas Soma de Riemann Considere o retˆangulo R xy R2 a x b c y d 11 onde a b e c d sao numeros reais dados Seja P1 a x0 x1 x2 xn b e P2 c y0 y1 y2 ym d partic oes de ab e cd respectivamente O conjunto P xiyj i 012 n j 012 m 12 denominase partic ao do retˆangulo R Uma partic ao P de R determina m n retˆangulos Rij xy R2 xi1 x xi yj1 y yj 13 Guia Didatico Calculo IV p 48 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Figure 7 Partic ao P definida em 12 do retˆangulo R dado em 11 Guia Didatico Calculo IV p 49 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Seja f B R2 R com B limitado Assim existe um retˆangulo R como em 11 que contem B Considere a partic ao P dada em 12 de R Para cada par de ındices ij seja Xij rijsij um ponto escolhido arbitrariamente no retˆangulo Rij dado em 13 Considere xi xi1 xi e yj yj1 yj os tamanhos dos lados dos retˆangulo Rij Entao o numero n i1 m j1 fXijxiyj 14 denominase Soma de Riemann de f relativa a partic ao P e aos pontos Xij Observac ao 6 Caso Xij B fXij deve ser substituıdo por zero em 14 Observac ao 7 Seja P a partic ao do retˆangulo R dada em 12 Indicaremos por o maior dos numeros x1 xny1 ym Observe que todos xi e todos yj tendem a zero quando tende a zero Guia Didatico Calculo IV p 50 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Figure 8 Conjunto limitado B Xij B entao fXij deve ser substituıdo por zero em 14 Guia Didatico Calculo IV p 51 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Observe que se fXij 0 fXijxiyj sera o volume do paralelepıpedo de altura fXij e cuja base e o retˆangulo Rij Figure 9 Paralelepıpedo de altura fXij e base Rij Guia Didatico Calculo IV p 52 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Definição de Integral Dupla Seja fx y integrável em B com fx y 0 em B Considere o conjunto A x y z ℝ³ x y B 0 z fx y O volume de A é definido por Volume de A B fx y dxdy 17 Se k 0 R k dxdy é o volume do paralelepípedo a x b c y d e 0 z k Figure 10 Paralelepípedo de altura z e base ab cd Sejam f e g integráveis em B e seja k uma constante Nessas condições temse i f g e kf são integráveis e a B fx y dxdy B gx y dxdy b B kfx y dxdy k B fx y dxdy ii fx y 0 em B B fx y dxdy 0 iii fx y gx y em B B fx y dxdy B gx y dxdy iv B fx y dxdy B fx y dxdy B fx y dxdy sendo B B₁ B₂ e B₁ e B₂ conjuntos com apenas pontos de fronteira em comum v Se B é um conjunto compacto convexo então existe pelo menos um ponto r s B tal que B fx y dxdy αfr s sendo α a área de B Teorema 7 Teorema de Fubini Seja fxy integrável no retângulo R xy R² a x b c y d Suponhamos que ab fxydx exista para todo y cd e que cd fxydy exista para todo x ab Então R fxydxdy cd ab fxydx dy ab cd fxydy dx 18 Observação 9 As integrais cd ab fxydx dy e ab cd fxydy dx são integrais iteradas ou integrais repetidas de fxy sobre o retângulo R e nelas estão especificadas as ordens de integração Por exemplo na integral iterada cd ab fxydx dy primeiro calculamos a integral ab fxydx mantendo y temporariamente constante e o resultado integramos com respeito à variável y no intervalo cd Exemplo 20 Calcule R x y dxdy onde R é o retângulo 1 x 2 0 y 1 Exemplo 21 Calcule a 11 02 xy²dxdy b 02 11 xy²dydx Exemplo 22 Calcule o volume do conjunto de todos xyz tais que 0 x 1 0 y 1 e 0 z x² y² Calcule B xy dxdy onde B é o conjunto de todos x y tais que 0 x 1 0 y x² Sejam cx e dx duas funções contínuas em a b e tais que para todo x a b cx dx Seja B o conjunto de todos x y tais que a x b e cx y dx Nessas condições se fx y for contínua em B então B fx ydxdy ab cxdx fx ydy dx Sejam ay e by duas funções contínuas em c d e tais que para todo y c d ay by Seja B o conjunto de todos x y tais que ay x by e c y d Nessas condições se fx y for contínua em B então B fx ydxdy cd ayby fx ydx dy Exemplo 24 Exemplo 28 Exercício 27 Seja A o retângulo 1 x 2 0 y 1 Calcule A fxydxdy sendo fxy igual a a x 2y b x y c 1x y d x cosxy e y cosxy f x y² g y exy h x² senπy Exercício 28 Calcule o volume do conjunto dado a xyz ℝ³ 0 x 1 0 y 1 0 z x 2y b xyz ℝ³ 0 x 2 1 y 2 0 z xy c xyz ℝ³ 0 x 1 0 y 1 0 z xyex² y² d xyz ℝ³ 0 x 1 0 y 1 x² y² z 2 e xyz ℝ³ 1 x 2 0 y 1 x y z x y 2 f xyz ℝ³ 0 x 1 0 y 1 1 z exy 6 Integrais Multiplas Mudanca de Variavel na Integral Dupla Considere uma transformac ao T do plano uv no plano xy ou seja Tuv xy xuvyuv Assuma que T e bijetora ou seja admite uma inversa T 1 tal que T 1xy uv uxyvxy Dessa forma podemos ir e voltar para ambos os planos uv e xy Em geral assumimos tambem que T e uma func ao classe C1 ou seja tem derivadas parciais de primeira ordem contınuas Guia Didatico Calculo IV p 67 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Exemplo 30 Motivac ao Dada a transformac ao Tuv xy sendo x u2 v2 e y 2uv Esboce a imagem TS sendo S o quadrado S uv 0 u 1 0 v 1 Guia Didatico Calculo IV p 68 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Exemplo 30 Motivac ao Dada a transformac ao Tuv xy sendo x u2 v2 e y 2uv Esboce a imagem TS sendo S o quadrado S uv 0 u 1 0 v 1 Guia Didatico Calculo IV p 69 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Problema 1 Consideremos o problema de estimar a área de R Sendo Tuu0 v0 left fracpartial xpartial uu0 v0 fracpartial ypartial uu0 v0 right e Tvu0 v0 left fracpartial xpartial vu0 v0 fracpartial ypartial vu0 v0 right A área de R pode ser aproximada pela área do paralelogramo delimitado pelos vetores Tuu0 v0 Delta u e Tvu0 v0 Delta v Isto é áreaR approx Tuu0 v0 Delta u imes Tvu0 v0 Delta v Tuu0 v0 imes Tvu0 v0 Delta u Delta v 22 Definição 8 O jacobiano da transformação T definida por Tu v xuv yuv é dado por Ju v fracpartialxypartialuv left fracpartial xpartial u fracpartial ypartial v fracpartial xpartial v fracpartial ypartial u right 23 Volta ao problema de calcular a integral R fx y dxdy usando as variáveis u e v com u v S e R TS Segue de 22 que áreaR lim Δ0 ni1 mj1 fxij Δxi Δyj áreaR lim Δ0 ni1 mj1 fui vj yui vjJui vj Δu Δv Teorema 8 Suponha que T seja uma transformação de classe C¹ tal que TS R e S T¹R Suponha também que o jacobiano de T seja não nulo no interior de S Se f é contínua sobre R então R fx y dxdy S fxu v yu vJu v dudv 6 Integrais Multiplas Guia Didatico Calculo IV p 74 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Exemplo 31 Calcule a integral dupla da função fx y y xy x sobre a região R determinada pelas retas x y 1 x y 2 x 0 e y 0 Exemplo 32 Calcule B cosx y dxdy em que B é o trapézio 1 x y 2 x 0 e y 0 Exemplo 33 Calcular por meio da integral dupla a área da elipse x²a² y²b² 1 a 0 e b 0 6 Integrais Multiplas Coordenadas Polares Dado um ponto P do plano utilizando coordenadas cartesianas retangulares descrevemos sua localizac ao no plano escrevendo P ab onde a e a projec ao de P sobre eixo Ox e b a projec ao sobre eixo Oy Por outro lado podemos tambem descrever a localizac ao de P a partir da distˆancia de P a origem O do sistema e do ˆangulo formado pelo eixo Ox e o segmento OP caso P O Neste caso denotamos P rθ onde r e a distˆancia de P a origem O e θ e o ˆangulo tomado no sentido antihorario da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP caso P O Se P O denotamos P 0θ para qualquer θ Esta maneira de representar o plano e chamada Sistema de Coordenadas Polares Guia Didatico Calculo IV p 76 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares Exemplo 34 Encontre as coordenadas polares do ponto P 11 Exemplo 37 Determinar a imagem da transformação x r cos θ y r sen θ da região Rxy delimitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 em seguida calcular a integral dupla Rxy lnx² y² dxdy Exercício 32 Determinar a imagem da transformação x r cos θ y r sen θ da região Rxy do primeiro quadrante delimitada pelos círculos x² y² 1 e x² y² 4 e em seguida calcular a integral dupla Rxy lnx² y² dxdy Exercício 33 Considera a região do primeiro quadrante Rxy x y R² a² x² y² b² x 0 y 0 1 Expressar as integrais duplas Rxy x² dxdy Rxy x² dy dx e na forma polar 2 Calcular a integral Exercício 34 Em cada caso esboce a região D e calcule a integral dupla D fx y dxdy a D é a região triangular de vértices 2 9 2 1 e 2 1 f xy² b D é a região retangular de vértices 1 1 2 1 2 4 e 1 4 f 2x y c D é a região delimitada por 8y x³ y x e 4x y 9 f x d D é a região do 1º quadrante delimitada por x² y² 1 f 1 x² y² e D é a região triangular de vértices 0 0 1 1 e 1 4 f x² y² f D é a região delimitada por y² x x 0 e y 1 f expxy g D é a região delimitada por 2y x² e y x f xx² y²¹ h D é a região delimitada por y x y 0 x 5 e xy 16 f 1 i D é a região delimitada por y expx 0 e x y 2 f xy A fronteira da região B é o paralelogramo de vértices 01 12 21 e 10 Use uma mudança de coordenadas para calcular a integral dupla sobre B da função fxy x y² cos²x y 6 Integrais Multiplas Exercıcio 39 Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas 2 Exercıcio 40 Em cada caso calcule a area da regiao D do plano xy delimitada pelas curvas indicadas Guia Didatico Calculo IV p 84 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS A definição e propriedades da integral dupla se estendem de modo inteiramente análogo à integral tripla Para definir a integral tripla de uma função contínua fxyz em uma região compacta R ℝ³ particionamos a região R em pequenos blocos retangulares Rijk ijk 1n de lados infinitesimais que se aproximam de zero Δx Δy e Δz Em cada bloco Rijk selecionamos um ponto Pijk e formamos a soma de Riemann ijk1n fPijkΔxΔyΔz cujo limite com Δ 0 é por definição a integral tripla de f sobre a região R Denotase R fxyz dx dydz Dada uma função f R ℝ³ ℝ contínua na região compacta paralelepípedo R xyz ℝ³ a x b c y d α z β então a integral tripla de f sobre R é calculada como a integral iterada R fxyz dx dydz αβ cd ab fxyz dx dy dz Com base no Teorema de Fubini a ordem de integração pode ser permutada Por exemplo R fxyz dz αβ cd ab fxyz dz dy dx Seja B subset mathbbR2 um conjunto compacto e sejam gxy e hxy duas funções a valores reais contínuas em B tais que para todo xy in B gxy leq hxy Seja Omega o conjunto de todos xyz tais que gxy leq z leq hxy xy in B Dada fxyz contínua em Omega com procedimento análogo ao adotado nas integrais duplas temos i iiintOmega fxyz dx dy dz intlimitsB left intlimitsgxyhxy fxyz dz right dx dy 33 Com as adaptações devidas temos também ii iiintOmega fxyz dx dy dz intlimitsB left intlimitsgxzhxz fxyz dy right dx dz 34 em que Omega xyz in mathbbR3 gxz leq y leq hxz xz in B iii iiintOmega fxyz dx dy dz intlimitsB left intlimitsgyzhyz fxyz dx right dy dz 35 em que Omega xyz in mathbbR3 gyz leq hyz yz in B Exemplo 40 Calcule iiintOmega x dx dy dz sendo Omega o conjunto de todos xyz in mathbbR3 tais que 0 leq x leq 1 0 leq y leq x 0 leq z leq x y Exemplo 41 Calcule iiintB sqrt1z2 dx dy dz sendo B xyz in mathbbR3 0 leq x leq 1 0 leq z leq 1 0 leq y leq z Exemplo 42 Calcule o volume do conjunto de todos xyz tais que x2 y2 leq z leq 2 x2 y2 Exemplo 43 Calcule a integral tripla de fxyx xyz sobre a região cilíndrica Omega x2 y2 leq 1 0 leq z leq 1 Exercício 41 Calcule a integral tripla iiintOmega x2 y2 z2 dx dy dz sendo Omega a região delimitada pelos planos xyz2 x0 y0 e z0 Expresse a integral tripla Ω fxyz dx dy dz como uma integral iterada e em seguida calcule seu valor sendo fxyz xyz e Ω a região descrita por a 1 x 2 0 y 1 1 z 2 b y x y 0 y 4 0 z 4y c 0 x 1 x² y 1 0 z xy d 0 x z² xz y xz 1 z 2 6 Integrais Multiplas Exercıcio 43 Em cada caso calcule o volume do solido descritos pelas seguintes desigualdades Guia Didatico Calculo IV p 91 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Considere a transformação T ℝ³ ℝ³ definida pelo sistema de equações x xuvw y yuvw z zuvw sendo x xuvw y yuvw e z zuvw funções com derivadas de primeira ordem contínuas em ℝ em que o Jacobiano Juvw xyz uvw não se anula Se Ω Tℝ ℝ T¹Ω como na Figura 11 temos a seguinte equação para mudança de variáveis Ω fxyz dx dy dz ℝ fxuvwyuvwzuvwJuvw dudvdw Exemplos 44 Calcule iiintOmega sinxyz fracdx dy dzx2yz sendo Omega o paralelepípedo 1 leq x2yz leq 2 0 leq xyz leq fracpi4 e 0 leq z leq 1 Exemplos 45 Calcule o volume do paralelepípedo Omega dado no Exemplo 44 Exercício 44 Calcule o volume do conjunto de todos xyz tais que 1 leq xyz leq 3 xy leq z leq xy2 x geq 0 e y geq 0 Exercício 45 Calcule iiintOmega sqrtxy3 sqrtx2yz dx dy dz sendo Omega a região 0 leq x2yz leq 1 1 leq xy leq 2 e 0 leq z leq 1 6 Integrais Multiplas Coordenadas Cilındricas r Guia Didatico Calculo IV p 96 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Cada ponto P xyz fica determinado pelas suas coordenadas cilíndricas rθz onde r é o comprimento do vetor OP1 xy0 e θ o ângulo entre este vetor e o semieixo positivo Ox Logo as coordenadas cartesianas xyz do ponto P e suas coordenadas cilíndricas relacionamse de acordo com a transformação T ℝ ℝ³ ℝ³ definida por Trθz r cos θ r sen θz ou seja x r cos θ y r sen θ z z 39 Observe que a aplicação dada em 39 transforma o paralelepípedo 0 r ρ 0 θ 2π e 0 z h no cilindro x² y² ρ² e 0 z h Temos Juvw r Então a fórmula de mudança de variável para coordenadas cilíndricas é dada por Ω fxyz dx dy dz R fr cos θr sen θz r dudvdw 40 6 Integrais Multiplas Exemplo 46 Calcule por meio de integral tripla o volume do cilindro de raio ρ e altura h Exemplo 47 Utilizando coordenadas cilındricas calcule o volume do solido B dado por x2 y2 1 0 z x y x 0 e y 0 Guia Didatico Calculo IV p 98 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 6 Integrais Multiplas Exercıcio 46 Utilizando coordenadas cilındricas calcule as integrais triplas Exercıcio 47 Utilizando coordenadas cilındricas calcule o volume do solido B dado por x2 y2 2x 0 0 z x y x 0 e y 0 Guia Didatico Calculo IV p 99 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Integrais de Linha 7 Integrais de Linha Introduc ao Campo Vetorial Seja A Rn consideremos uma transformac ao F de A em Rn Levando em conta o significado fısico ou geometrico de F algumas vezes e conveniente interpretar FX X A como um vetor aplicado em X Sempre que quisermos interpretar FX desta forma nos referimos a F como um campo vetorial e utilizaremos entao a notac ao F Guia Didatico Calculo IV p 100 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 7 Integrais de Linha Se o campo vetorial F tem como seu domınio um subconjunto B do R3 entao sua imagem e um subconjunto de vetores do R3 F xyz Mxyzi Nxyzj Rxyzk em que Mxyz Nxyz e Rxyz R Quando o domınio do campo vetorial F e um subconjunto B do R2 sua imagem e um subconjunto do R2 F xy Mxyi Nxyj em que Mxy e Nxy R Se em vez de um vetor um escalar estiver associado a cada ponto do espaco teremos um campo escalar Assim um campo escalar e uma func ao de um subconjunto B de Rn para R F x1 xn f f R Guia Didatico Calculo IV p 101 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 7 Integrais de Linha Exemplo 48 Represente geometricamente o campo vetorial F dado por F xy j Tratase de um campo vetorial constante que associa a cada ponto xy de R2 o vetor j 01 aplicado em xy Guia Didatico Calculo IV p 102 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 7 Integrais de Linha Integral de um Campo Vetorial sobre uma Curva Suponhamos que F Ω R2 R2 seja um campo vetorial definido no aberto Ω e que uma partıcula descreva um movimento em Ω com func ao de posic ao γ ab Ω γt e a posic ao da partıcula no instante t Se F for constante e a imagem de γ um segmento o trabalho τ realizado por F de γa ate γb sobre a partıcula e por definic ao o produto escalar de F pelo deslocamento γbγa τ F γbγa 41 Observac ao 10 Trabalho e a energia transferida para um objeto ou de um objeto atraves da aplicac ao de uma forca que age sobre o objeto A unidade de medida dessa grandeza escalar e o joule j Guia Didatico Calculo IV p 103 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 7 Integrais de Linha Suponhamos que F e γ sejam quaisquer com F contınuo e γ de classe C1 γ e uma curva suave Primeiramente dividimos o intervalo ab em n subintervalos ti1ti de tamanho igual t e consideramos xi xti e yi yti Os pontos Pi xiyi dividem o caminho γ em n subarcos e o vetor que liga os pontos Pi1 e Pi e dado pela diferenca γtiγti1 Guia Didatico Calculo IV p 104 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Pelo Teorema do Valor Médio existe tᵢ tᵢ₁ tᵢ tal que γtᵢΔtᵢ γtᵢ γtᵢ₁ Logo o trabalho realizado pela força F para mover a particula de Pᵢ₁ para Pᵢ pode ser aproximado da seguinte forma τᵢ F γtᵢγtᵢ γtᵢ₁ F γtᵢγtᵢΔtᵢ Portanto o trabalho total executado pode ser aproximado por τ i1ⁿ F γtᵢγtᵢ γtᵢ₁ i1ⁿ F γtᵢγtᵢΔtᵢ Essa aproximação é tão melhor quando maior for n Dessa forma definimos o trabalho feito por um campo de força F campo vetorial como o limite da soma de Riemann acima ou seja τ limn i1ⁿ F γtᵢγtᵢΔtᵢ ab F γtγtdt γ F dγ 42 Exercício 48 Calcule γ F dy sendo dados a Fxyz xi yj zk e γt cos t sen t t 0 t 2π b Fxyz x y zk e γt t t 1 t² 0 t 1 c Fxy x²j e γt t² 3 1 t 1 d Fxy x²i x yj e γt t sen t 0 t π e Fxyz x²i y²j z²k e γt 2 cos t 3 sen t t 0 t 2π Guia Didático Cálculo IV p 108 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 117 Definição 9 Integral de Linha de um Campo Vetorial F Seja F é um campo vetorial contínuo definido sobre um caminho definido por uma curva suave γt para a t b A integral de linha de F ao longo de γ é γ F dy ab Fγt γt dt se a integral da direita existir Observação 11 Se γa γb então γ é dita uma curva fechada e denotamos a integral de linha por γ F dy Guia Didático Cálculo IV p 106 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS 118 Exemplo 49 Calcule γ F dy sendo Fxy xi yj e γt t t² t 1 1 Exemplo 50 Calcule γ F dy sendo Fxy yx²y² i xx²y² j e γt cost sent t 0 2π Exemplo 51 Uma partícula movese no plano de modo que no instante t sua posição é dada por γt t t² Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Fxy xyi xyj no deslocamento da partícula de γ0 até γ1 Observação 12 É usual a notação γ F dy para a integral de linha de F sobre γ onde rt γt Guia Didático Cálculo IV p 107 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Exercício 49 Uma partícula deslocase em um campo de forças dado por F xyz yi xj zk Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de γa até γb sendo dados a γt cos tsent t a 0 e b 2π b γt 2t 1 t 1 t a 1 e b 2 c γt cos t 0sent a 0 e b 2π Exercício 50 Calcule γ E d r em que E xy 1x y xiy yj x² y² e γt t1 1 t 1 7 Integrais de Linha Parametrizac ao de uma curva Suponha que uma partıcula se move ao longo de uma curva C e que a sua posic ao pode ser determinada em cada instante de tempo t por uma func ao γt xtyt a t b Assim as coordenadas x xt e y yt da partıcula sao func oes do tempo chamadas func oes coordenadas As equac oes x xt e y yt que determinam em cada instante de tempo t a posic ao do ponto P posic ao da partıcula ao se deslocar sobre a curva C sao ditas equac oes parametricas e determinam uma parametrizac ao da curva C A variavel t e chamada parˆametro Observac ao 13 Sempre que se especificar apenas a imagem de γ entao devese entender que γ e a curva mais natural que tem tal imagem Guia Didatico Calculo IV p 110 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Exemplo 52 Parametrizando um segmento de reta Seja γ o segmento de reta orientado do ponto AxA yA zA ao ponto BxB yB zB Dado um ponto Px y z em γ então existe um escalar t 0 1 tal que P A tB A e daí resulta a parametrização natural do segmento γ x xA txB xA γ y yA tyB yA z zA tzB zA 44 Exemplo 55 Parametrizando um círculo Considera a circunferência γ x² y² r² Se Px y é um ponto sobre a circunferência γ e o parâmetro t representa o ângulo orientado entre o eixo x e o raio OA obtemos a seguinte parametrização para da circunferência γ x OC r cos t y OD r sen t 0 t 2π 45 Quando o centro da circunferência é o ponto Ca b podemos parametrizála pelas equações γ x a r cos t y b r sen t 0 t 2π 46 Exemplo 56 Parametrização da elipse Considera a elipse γ x²a² y²b² 1 representada na Figura 12 Se Px y é um ponto sobre a elipse γ e o parâmetro t representa o ângulo orientado entre o eixo x e o raio OA obtemos a seguinte parametrização para a elipse γ x OC a cos t y BD b sen t 0 t 2π 47 Figure 12 Parametrização da elipse Calcule intgamma xdx x2yzdy xyzdz sendo gammat t2t1 0 leq t leq 1 Da mesma forma sendo vecFxyz Pxyzhati Qxyzhatj Rxyzhatk a integral de linha de vecFxyz sobre a curva gamma dada por x xt y yt e z zt a leq t leq b será indicada por intgamma Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz Calcule intgamma ydx xdy sendo gamma ab o mathbbR2 uma curva de classe C1 cuja imagem é a elipse fracx24 fracy29 1 e tal que quando t varia de até b gammat descreve a elipse no sentido antihorário Calcule γ xdx ydy zdz sendo γ o seguimento de extremidades 000 e 121 percorrido do sentido de 000 para 121 7 Integrais de Linha Integral de linha sobre uma curva de classe C1 por partes Uma curva γ ab Rn se diz de classe C1 por partes se for contınua e se existirem uma partic ao a t0 t1 tn b e curvas γi ti1ti Rn i 1 n de classe C1 tais que para todo t ti1ti γt γit Figure 13 γ de classe C1 por partes Guia Didatico Calculo IV p 118 Univ Fed de Mato Grosso do Sul UFMS Calcule γ xdx ydy sendo γ ab R² uma curva de classe C¹ cuja imagem é a elipse x²9 y²4 1 e tal que quando t varia de a até b γt descreve a elipse no sentido antihorário Calcule γ dx ydy em que γ tem por imagem x² y² 9 x 0 y 0 e o sentido de percurso é antihorário Calcule γ xdx xydy sendo γt t t 1 t 1 Calcule γ xdx ydy sendo γ uma curva cuja imagem é a poligonal de vértices 00 20 e 21 orientada de 00 para 21 O Teorema de Green O Teorema de Green Para Retângulos Teorema 9 Seja K o retângulo xy R² a x b c y d e seja γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário Suponhamos que Pxy e Qxy sejam de classe C¹ num aberto ω contendo K Então γ P dx Q dy K Qx Py dxdy Teorema de Green para Conjunto com Fronteira C¹ Por Partes Exemplo 63 Exercício 62