Exercícios Resolvidos sobre Plano Tangente e Reta Normal - Cálculo Avançado

EXERCÍCIOS 147 C CAS 18 Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto P 1 z 4x3y2 2y P1 2 12 2 z 12 x7y2 P 2 4 4 3 z xey P1 0 1 4 lnx2 y2 P1 0 0 5 z e3y sen 3x Pπ6 0 1 6 z x12 y12 P4 9 5 7 x2 y2 z2 25 P3 0 4 8 x2 y 4z2 7 P3 1 2 Capítulo 14 Derivadas Parciais 995 20 Encontre todos os pontos do elipsóide 2x2 3y2 z2 9 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano x 2y 3z 0 21 Encontre todos os pontos do hiperbolóide x2 y2 z2 4 em que o plano tangente é paralelo à reta normal à parábola que passa por P1 2 1 22 Mostre que o elipsóide 2x2 3y2 z2 9 e a esfera x2 y2 z2 9 têm um plano tangente em comum no ponto 1 1 2 23 Encontre a interseção do elipsóide x2 y2 z2 9 e do episódio em que x y z 3 e encontre uma equação do paraboloide z x2 y2 na curva de interseção 24 Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies x2 y2 25 e z2 20 no ponto 4 3 3 25 Mostre que os cilindros x2 z2 25 e y2 z2 25 são ortogonais 26 A fig 1430 mostra a interseção das superfícies z ex y3 e z 8 x3 y3 a Use o CAS para encontrar as coordenadas do ponto de interseção no ponto 0 2 4 b Verifique o número de soluções na curva de interseção com o CAS c Use o CAS para calcular a derivada parcial de y 3x2 na curva de interseção no ponto 0 2 4 27 Mostre que a equação do plano que é tangente ao episódio em x0 y0 z0 pode ser escrita na forma x0x x0 a2 y0y y0 b2 z0z z0 c2 0 28 Mostre que a equação do plano que é tangente ao hiperbolóide em x0 y0 z0 pode ser escrita na forma x0x x0 a2 y0y y0 b2 z0z z0 c2 0 29 Prove Se as superfícies z fx y e gx y z 0 tiverem interseção em curva C z fxy e gxyz então as retas tangentes a C nas duas superfícies S que intersectamse são normais e a S 12 eg fxy gxyz fxyz e gxyz 1 ENFOCANDO CONCEITOS 9 Encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal a z x3 y3 y2 4y b z x2 y2 10 Encontre um ponto da superfície z x3 3x2 y no qual o plano tangente é paralelo ao plano x 2y 3z 10 11 Encontre um ponto da superfície z 8 3x2 2y2 no qual o plano tangente é perpendicular ao plano x 2y 3z 10 12 Mostre que as superfícies a z x2 y2 10 x2 y2 5 b z x2 y2 1 têm um plano tangente em contaremos para as superfícies 13 a x4 1 y4 z4 2 b a superfície 14 Mostre que se f é diferenciável e z fx y então todos os planos tangentes ao gráfico dessa equação passam pela origem 15 Considere o elipsóide x2y2 y29 z24 12 a da equação do plano tangente no ponto 2 2 1 b da linha de interseção da superfície com o elipsóide no ponto 2 2 1 c da equação do plano tangente no ponto 2 1 faz como plano x y 16 Considere o paraboloide z x2 y2 a Use o método do Exemplo 2 para encontrar uma equação do plano tangente à superfície no ponto 0 2 1 b Determine equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto 2 1 da para tangente no ponto 1 c Determine a equação do plano que é plano tangente no ponto 2 1 como o plano normal à 1718 Encontre dois vetores unitários que são normais à superfíci do episódio 17 x2 y2 9 3 5 1 18 4 cos y 4π RT 1 19 Mostre que toda reta que é normal à esfera x2 y2 z2 1 passa pela origem 996 Cálculo 30 Use o resultado do Exercício 29 para mostrar que as retas normais aos cones z x2 y2 e z x2 y2 são perpendiculares às retas normais da esfera x2 y2 z2 a2 em cada ponto de interseção ver Figura Ex32 31 Dizemos que duas superfícies fx y z 0 e gx y z 0 são ortogonais em um ponto P de interseção se f e g são nãonulos em P e as retas normais às superfícies são perpendiculares em P Mostre que fx0 y0 z0 0 egx0 y0 z0 0 então as superfícies fx y z 0 e gx y z 0 são ortogonais no ponto x0 y0 z0 se e somente se fx gx fy gy fz gz 0 nesse ponto Nota essa é uma versão mais geral do resultado do Exercício 29 32 Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que a esfera x2 y2 z2 a2 e o cone z2 x2 y2 são ortogonais em todo o ponto de interseção ver figura abaixo Figura Ex32 33 Mostre que o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e o plano tangente da parte da superfície xyz k k 0 que está no primeiro octante não dependente do ponto de tangência RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSAO 147 1 z 4 2x 3 3y 1 x 3 2t y 1 3t z 4 t 2 z 8 8x 2 y 4 x 2 8t y 4 t z 8 t 3 2x 1 y z 1 0 x 1 2t y t z 1 t 4 x 2 t y 1 z 2 t Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created 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