Integrais Duplas e Triplas com Mudança de Variáveis - Lista de Exercícios

19 Use a transformação u 12 x y v 12 x y para encontrar R sen 12 x y cos 12 x y dA onde R é região triangular de vértices 00 20 11 20 Use a transformação u yx v xy para encontrar R xy3 dA onde R é região no primeiro quadrante delimitada por y x y 3x xy 1 xy 4 2124 A transformação x au y bv a 0 b 0 pode ser reescrita como xa u yb v e portanto transforma a região circular u2 v2 1 na região elíptica x2a2 y2b2 1 Nestes exercícios efetue a integração transformando a região de integração elíptica em uma região de integração circular e depois calcule a integral transformada em coordenadas polares 21 R 16x2 9y2 dA onde R é a região envolvida pela elipse x29 y216 1 22 R ex2 4y2 dA onde R é a região envolvida pela elipse x24 y2 1 23 R sen4x2 9y2 dA onde R é a região do primeiro quadrante envolvida pela elipse 4x2 9y2 1 e os eixos coordenados 24 Mostre que a área da elipse x2a2 y2b2 1 é πab 2526 Se a b e c forem constantes positivas então a transformação x au y bv z cw pode ser reescrita como xa u yb v zc w e portanto transforma a região esférica u2 v2 w2 1 na região elipsoidal x2a2 y2b2 z2c2 1 Nestes exercícios efetue a integração transformando a região de integração elipsoidal numa região de integração esférica e depois calcule a integral transformada em coordenadas esféricas 25 G x2 dV onde G é a região envolvida pelo elipsóide 9x2 4y2 z2 36 3134 Calcule a integral fazendo uma troca adequada de variáveis 31 R y 4xy 4x dA onde R é a região delimitada pelas retas y 4x y 4x 2 y 2 4x y 5 4x 32 R x2 y2 dA onde R é a região retangular delimitada pelas retas y x y 1 x y x y x 2 33 R senx ycosx y dA onde R é a região triangular delimitada pelas retas y 0 y x x y π4 34 R eyxyx dA onde R é a região no primeiro quadrante delimitada pelo trapézio de vértices 01 10 04 40 35 Use uma mudança de variáveis adequada para calcular a área da região no primeiro quadrante envolvida pelas curvas y x y 2x x y2 x 4y2 36 Use uma mudança de variáveis adequada para calcular o volume do sólido limitado acima pelo plano x y z 9 abaixo pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro elíptico 4x2 9y2 36 Sugestão expresse o volume como uma integral dupla em coordenadas xy e depois use coordenadas polares para calcular a integral transformada 37 Use a transformação u x v z y w xy para calcular G z y2 xy dV onde G é a região delimitada pelas superfícies x 1 x 3 z y z y 1 xy 2 xy 4 39 Uma esfera astroidal tem equação x23 y23 x23 a23 ver Exercício 54 na Seção 154 Encontre o volume do sólido compreendido por uma esfera astroidal usando uma integral tripla e a transformação x ρsen φ cos θ³ y ρsen φ sen θ³ z ρcos φ³ para a qual 0 ρ a 0 φ π 0 θ 2π 40 a Verifique que a₁ b₁a₂ b₂ a₁a₂ b₁c₂ a₁b₂ b₁d₂ c₁ d₁ c₂ d₂ c₁a₂ d₁c₂ c₁b₂ d₁d₂ b Se x xu v y yu v for uma transformação injetora então u ux y v vx y Supondo a diferenciabilidade das funções use o resultado da parte a e a regra da cadeia para mostrar que x yu v u vx y 1 41 Confirme em cada parte que a fórmula obtida na parte b do Exercício 40 é válida para as transformações dadas a x u uv y uv b x uv y v² v 0 c x 12u² v² y 12u² v² u 0 v 0 Capítulo 15 Integrais Múltiplas 1099 43 Use a transformação u x² y² v x² y² para calcular R xy dA onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles x² y² 1 x² y² 4 e os círculos x² y² 9 x² y² 16 44 Use a transformação u xy v x² y² para calcular R x⁴ y⁴exy dA onde R é a região no primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles xy 1 xy 3 x² y² 3 x² y² 4 45 O análogo para três variáveis da fórmula deduzida na parte b do Exercício 40 é x y zu v w u v wx y z 1 Use esse resultado para mostrar que o volume V do paralelepípedo oblíquo limitado pelos planos x y 2z 3 x 2y z 2 4x y z 6 é V 16 46 a Mostre que se R for a região triangular de vértices 0 0 1 0 e 0 1 então R fx y dA ₀¹ ufu du b Use o resultado da parte a para calcular a integral R exy dA 47 a Considere a transformação x r cos θ y r sen θ z z de coordenadas cilíndricas em retangulares onde r 0 Mostre que x y zr θ z r b Considere a transformação x ρ sen φ cos θ y ρ sen φ sen θ z ρ cos φ de coordenadas esféricas em retangulares onde 0 φ π Mostre que x y zρ φ θ ρ² sen φ Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF 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