Lista de Exercícios Resolvendo Equações de Planos Tangentes e Retas Normais

EXERCÍCIOS 147 C CAS 18 Encontre uma equação para o plano tangente e equações paramétricas para a reta normal à superfície no ponto P 1 z 4x3y2 2y P1 2 12 2 z 12 x7 y2 P2 4 4 3 z xey2 P1 0 1 4 ln x2 y2 P1 0 0 5 z e3y sen 3x Pπ6 0 1 6 z x12 y12 P4 9 5 7 x2 y2 z2 25 P3 0 4 8 x2 y 4z2 7 P3 1 2 996 Cálculo 30 Use o resultado do Exercício 29 para mostrar que as retas normais aos cones z x2 y2 e z x2 y2 são perpendiculares às retas normais da esfera x2 y2 z2 a2 em cada ponto de interseção ver Figura Ex32 31 Dizemos que duas superfícies fx y z 0 e gx y z 0 são ortogonais em um ponto P de interseção se f e g são nãonulos em P e as retas normais às superfícies são perpendiculares em P Mostre que se fx0 y0 z0 0 e gx0 y0 z0 0 então as superfícies fx y z 0 e gx y z 0 são ortogonais no ponto x0 y0 z0 se e somente se fx gx fy gy fz gz 0 nesse ponto Nota essa é uma versão mais geral do resultado do Exercício 29 32 Use o resultado do Exercício 31 para mostrar que a esfera x2 y2 z2 a2 e o cone z2 x2 y2 são ortogonais em todo o ponto de interseção ver figura abaixo 33 Mostre que o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e o plano tangente da parte da superfície xyz k k 0 que está no primeiro octante não dependente do ponto de tangência RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 147 1 z 4 2x 3 3y 1 x 3 2t y 1 3t z 4 t 2 z 8 8x 2 y 4 x 2 8t y 4 t z 8 t 3 2x 1 y z 1 0 x 1 2t y t z 1 t 4 x 2 t y 1 z 2 t Capítulo 14 Derivadas Parciais 995 ENFOCANDO CONCEITOS 9 Encontre todos os pontos da superfície nos quais o plano tangente é horizontal a z x3 y3 2x2 4y b z x4 y y3 y c z 2x3 3x2 y no qual o plano é tangente ao plano x 2y 3z 5 10 Encontre um ponto de tangente em comum no ponto 1 1 2 11 Encontre o plano tangente e as equações paramétricas para a curva de intersecção do paraboloide z x2 y2 e do elipsóide x2 y2 z2 4 12 Mostre que as superfícies a z x2 y2 e z x2 y2 têm um plano tangente em comum em um mesmo ponto 13 a Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção x4 y4 16 e y2 z2 25 no ponto 3 4 3 b Encontre os pontos de interseção da reta tangente com a superfície x2 y2 z2 25 e com a superfície z x4 y4 14 Mostre que se f é diferenciável e z x4 y então os planos tangentes ao gráfico dessa equação passam pela origem 15 Considere o elipsóide x2 y2 z2 12 a Mostre que a equação do plano que é tangente ao elipsóide no ponto 2 2 1 b Determine a equação da parábola que comum ao elipsóide no ponto 2 2 1 c Determine a equação da reta tangente no ponto 2 2 1 faz com o plano y z 1 16 Considere o elipsóide x2 y2 z2 12 a Use o método do Exemplo 2 para encontrar uma equação do plano tangente ao elipsóide no ponto 0 1 1 b Determine as equações paramétricas da reta que é normal à superfície no ponto 0 1 1 c Determine o ângulo aúdio que o plano tangente no ponto 0 1 1 faz com o plano x y 0 1718 Encontre dois vetores unitários que se são normais à superfície citada no problema 16 17 V 12 12 0 18 4 cos y x 4 π kout 1 19 Mostre que toda reta que é normal à esfera x2 y2 z2 1 passa pela origem Figura Ex26 20