Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Centróides e Aplicações

33 Mostre que em coordenadas polares as fórmulas para o centróide xȳ de uma região R são x 1área de R R r² cosθ dr dθ ȳ 1área de R R r² senθ dr dθ 34 Use o resultado do Exercício 33 para calcular o centróide x ȳ da região envolvida pela cardióide r a1 sen θ 35 Use o resultado do Exercício 33 para calcular o centróide x ȳ da pétala da rosácea r sen 2θ do primeiro quadrante 36 Seja R o retângulo limitado pelas retas x 0 x 3 y 0 e y 2 Por inspeção encontre o centróide de R e useo para calcular R x dA e R y dA 37 Use o Teorema de Pappus e o fato de que o volume de uma esfera de raio a é V 43 πa³ para mostrar que o centróide da lâmina limitada pelo eixo x e o semicírculo y a² x² é 0 4a3π Esse problema foi resolvido diretamente no Exemplo 3 38 Use o Teorema de Pappus e o resultado do Exercício 37 para calcular o volume do sólido gerado quando a região limitada pelo eixo x e o semicírculo y a² x² gira em torno da a reta y a b reta y x a 39 Use o Teorema de Pappus e o fato de que a área de uma elipse com semieixos a e b é πab para calcular o volume do toro elíptico gerado pela revolução da elipse xk²a² y²b² 1 em torno do eixo y Suponha que k a 2528 Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido 25 O cubo com densidade δx y z a x definido pelas desigualdades 0 x a 0 y a e 0 z a 26 O sólido cilíndrico com densidade δx y z h z envolvido por x² y² a² z 0 e z h 27 O sólido com densidade δx y z yz envolvido por z 1 y² para y 0 z 0 x 1 e x 1 28 O sólido com densidade δx y z xz envolvido por y 9 x² para x 0 x 0 y 0 z 0 e z 1 29 Encontre o centro de gravidade da lâmina quadrada com vértices 00 10 01 e 11 se a densidade for proporcional a ao quadrado da distância à origem b à distância ao eixo y 1924 Encontre o centróide do sólido 19 O tetraedro do primeiro octante compreendido pelos planos coordenados e o plano x y z 1 20 O sólido limitado pelo cilindro parabólico z 1 y² e os planos x z 1 x 0 e z 0 21 O sólido limitado pela superfície z y² e os planos x 0 x 1 e z 1 22 O sólido no primeiro octante limitado pela superfície z xy e os planos z 0 x 2 e y 2 23 O sólido no primeiro octante limitado pela esfera x² y² z² a² e os planos coordenados 24 O sólido envolvido pelo plano xy e o hemisfério z a² x² y² 510 Encontre o centróide da região 5 y x 6 y x² 7 y 2 x² y x 8 y 1 x² 9 A região acima do eixo x das abcissas e entre os círculos x² y² a² e x² y² b² a b 10 A região compreendida entre o eixo y e a metade direita do círculo x² y² a² Cálculo Meu Guru 5 Solução Seja D a região em questão Então D x y R² 0 x 1 0 y x Deste modo o centróide de D é o ponto x ȳ tal que x D x dA D dA e ȳ D y dA D dA Note que D x dA ₀¹ ₀ˣ x dy dx ₀¹ x y₀ˣ dx ₀¹ x² dx x³3 ₀¹ 13 D y dA ₀¹ ₀ˣ y dy dx ₀¹ y²2₀ˣ dx ₀¹ x²2 dx x³6 ₀¹ 16 D dA ₀¹ ₀ˣ dy dx ₀¹ x dx x²2 ₀¹ 12 δx y x y 1 12 A lâmina do Exercício 4 com função densidade δx y 1 x² y² 1316 Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina 13 Uma lâmina com densidade δx y x y limitada pelo eixo x das abcissas a reta x 1 e a curva y x 14 Uma lâmina com densidade δx y y limitada por y sen x y 0 x 0 e x π 15 Uma lâmina com densidade δx y xy localizada no primeiro quadrante e limitada pelo círculo x² y² a² e os eixos de coordenadas 16 Uma lâmina com densidade δx y x² y² limitada pelo eixo x e a metade superior do círculo x² y² 1 ENFOCANDO CONCEITOS 1718 Faça uma conjectura sobre as coordenadas do centróide e confirmea por integração Logo o centróide de D é x ȳ 23 13 7 Solução Seja D a região em questão Então calculando a interseção das curvas y 2 x² e y x 2 x² x x² x 2 0 x 1 Daí D x y ℝ² 0 x 1 x y 2 x² Sendo x ȳ o centróide de D temos x D x dA D dA e ȳ D y dA D dA Como D x dA 01 x2x² x dy dx 01 x yx2x² dx 01 2x x³ x² dx x² x⁴4 x³301 1 14 13 12 3 412 512 D y dA 01 x2x² y dy dx 01 y²2x2x² dx 12 01 2x²² x² dx 12 01 4 4x² x⁴ x² dx 12 01 4 5x² x⁴ dx 12 4x 5x³3 x⁵501 12 4 53 15 12 60 25 315 123815 1915 D dA 01 x2x² dy dx 01 2 x² x dx 2x x³3 x²201 2 13 12 12 2 36 76 Portanto x ȳ 512 76 1915 76 514 3835 9 Solução Seja D a região em questão Esboçando D temos diagram x² y² b² x² y² a² Escrevendo D em coordenadas polares Drθ r θ ℝ² 0 θ π a r b Assim se x ȳ é o centróide de D então x D x dA D dA e ȳ D y dA D dA Deste modo D x dA 0π ab r cosθ r dr dθ 0π r³3 cosθab dθ b³ a³3 0π cosθ dθ b³ a³3 senθ0π 0 D y dA 0π ab r senθ r dr dθ 0π r³3 senθab dθ b³ a³3 0π senθ dθ b³ a³3 cosθ0π 2 b³ a³3 D dA 0π ab r dr dθ 0π r²2 ab dθ b²a²2 0π dθ b²a²2π Logo x ȳ 0 2 b³a³3 2b²a²π 0 4b²aba²3πba 13 Solução Seja D a região limitada pelo eixo x x1 e yx Esboçando D yx Sendo δxy xy a função densidade e M a massa da lâmina temos M D δxy dA 01 0x xy dy dx 01 xy y²2 0x dx 01 xx x2 dx 25 x52 x²4 01 25 14 8520 1320 Agora se x ȳ é o centro de gravidade da lâmina temos x D x δxy dAM e ȳ D y δxy dAM Deste modo D x δxy dA 01 0x x² xy dy dx 01 x² y x y²2 0x dx 01 x²x x²2 dx 27 x72 x³6 01 27 16 12742 1942 D y δxy dA 01 0x xy y² dy dx 01 x y²2 y³3 0x dx 01 x x2 x323 dx x³6 215 x52 01 16 215 5430 930 310 Logo x ȳ 1942 2013 310 2013 190273 613 15 Solução Seja D a região no primeiro octante delimitada pelos eixos coordenados e pelo círculo x² y² a² Esboçando D x² y² a² Escrevendo D em coordenadas polares Drθ rθ ℝ² 0 θ π2 0 r a Deste modo sendo δxy xy a densidade da lâmina e M a massa temos M D δxy dA 0π2 0a r cosθr senθ r dr dθ 0π2 0a r³ senθ cosθ dr dθ 0π2 r⁴4 senθ cosθ 0a dθ a⁴4 0π2 senθ cosθ dθ a⁴4 sen²θ2 0π2 a⁴4 12 a⁴8 Agora sendo x ȳ o centro de gravidade da lâmina temos x D x δxy dA M and ȳ D y δxy dA M Deste modo D x δxy dA 0π2 0a r cosθr2 sinθ cosθ r dr dθ 0π2 r55 sinθ cos3θ0a dθ a55 0π2 sinθ cos3θ dθ a55 cos3θ30π2 a55 13 a515 D y δxy dA 0π2 0a r sinθr2 sinθ cosθ r dr dθ 0π2 r55 sin2θ cosθ0a dθ a55 0π2 sin2θ cosθ dθ a55 sin3θ30π2 a55 13 a515 Logo x ȳ a515 8a4 a515 8a4 8a15 8a15 19 Solução Seja E o sólido em questão Esboçando E Sendo x ȳ z o centroide de E temos x E x dV E dV ȳ E y dV E dV e z E z dV E dV Deste modo E x dV 01 01x 01xy x dz dy dx 01 01x x 1xy dy dx 01 01x x x2 xy dy dx 01 x x2 y x y2201x dx 01 x x22 1 x x 1x22 dx 01 x x2 x2 x3 x2 x2 x33 dx 01 x2 x2 2x33 dx x24 x33 x4601 14 13 16 3 4 212 112 E y dV 01 01x 01xy y dz dy dx 01 01x y1xy dy dx 01 01x 1xy y2 dy dx 01 1x y22 y3301x dx 01 1x32 1x33 dx 01 1x36 dx 1x42401 124 Triple integral of z dV equals triple integral over E of z dV equals integral from 0 to 1 integral from 0 to 1x integral from 0 to 1xy z dz dy dx equals integral from 0 to 1 integral from 0 to 1x z2 2 evaluated from 0 to 1xy dy dx equals 12 integral from 0 to 1 integral from 0 to 1x 1xy2 dy dx equals 12 integral from 0 to 1 1xy3 3 evaluated from 0 to 1x dx equals 16 integral from 0 to 1 1x3 dx equals 16 1x4 4 evaluated from 0 to 1 equals 124 Triple integral of dV equals triple integral over E of dV equals integral from 0 to 1 integral from 0 to 1x integral from 0 to 1xy dz dy dx equals integral from 0 to 1 integral from 0 to 1x 1xy dy dx equals integral from 0 to 1 1xy y22 evaluated from 0 to 1x dx equals integral from 0 to 1 1x2 1x22 dx equals integral from 0 to 1 1x2 2 dx equals 1x3 6 evaluated from 0 to 1 equals 16 Logo x y z 112 61 124 61 124 61 12 14 14 21 Solução Seja E o sólido em questão Esboçando E Sketch of a solid in xyz axes Se x y z é o centróide de E entã x triple integral over E of x dV triple integral over E of dV y triple integral over E of y dV triple integral over E of dV and z triple integral over E of z dV triple integral over E of dV Desta forma triple integral over E of x dV integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 integral from y2 to 1 x dz dy dx integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 x 1 y2 dy dx integral from 0 to 1 x y y3 3 evaluated from 0 to 1 dx integral from 0 to 1 x 1 13 dx 23 integral from 0 to 1 x dx 23 x2 2 evaluated from 0 to 1 13 triple integral over E of y dV integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 integral from y2 to 1 y dz dy dx integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 y y3 dy dx integral from 0 to 1 y2 2 y4 4 evaluated from 0 to 1 dx integral from 0 to 1 14 dx 14 triple integral over E of z dV integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 integral from y2 to 1 z2 2 dz dy dx integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 12 y y4 4 dy dx integral from 0 to 1 12 y y5 5 evaluated from 0 to 1 dx integral from 0 to 1 12 15 dx integral from 0 to 1 310 dx 310 triple integral over E of dV integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 integral from y2 to 1 dz dy dx integral from 0 to 1 integral from 0 to 1 1 y2 dy dx integral from 0 to 1 y y3 3 evaluated from 0 to 1 dx integral from 0 to 1 23 dx 23 Logo x y z 13 32 14 310 32 12 38 920 23 Solução Seja E o sólido em questão Esboçando E Escrevendo E em coordenadas esféricas Epop p ϕ φ R³0 p a 0 θ π2 0 φ π2 Assim se x y z é o centróide de E temos x E x dV E dV y E y dV E dV e z E z dV E dV Note que E x dV 0π20π20a p cos ϕ sen φ p² sen φ dp dφ dθ 0π2 0π2 ρ⁴4 cos ϕ sen²φ ₀a dφ dθ a⁴4 0π2 0π2 cos θ sen² φ dφ dθ a⁴4 0π2 0π2 cos θ 1 cos 2φ2 dφ dθ a⁴4 0π2 cos θ φ2 sen 2φ40π2 dθ a⁴4 0π2 cos θ π4 dθ π a⁴16 0π2 cos θ dθ π a⁴16 sen θ0π2 π a⁴16 E y dV 0π2 0π2 0a p sen θ sen φ p² sen φ dp dφ dθ 0π2 0π2 sen θ sen²φ ρ⁴4 ₀a dφ dθ a⁴4 0π2 0π2 sen θ 1 cos 2φ2 dφ dθ a⁴4 0π2 sen θ φ2 sen 2φ40π2 dθ a⁴4 0π2 sen θ π4 dθ π a⁴16 0π2 sen θ dθ π a⁴16 cos θ0π2 π a⁴16 E z dV 0π2 0π2 0a p cos φ p² sen φ dp dφ dθ 0π2 0π2 sen φ cos φ ρ⁴4 ₀a dφ dθ a⁴4 0π2 0π2 sen φ cos φ dφ dθ a⁴4 0π2 sen² φ 20π2 dθ a⁴8 0π2 dθ π a⁴16 E dV 0π2 0π2 0a p² sen φ dp dφ dθ 0π2 0π2 p³3 sen φ 0a dφ dθ a³3 0π2 0π2 sen φ dφ dθ a³3 0π2 cos φ0π2 dθ a³3 0π2 dθ π a³6 Logo x y z π a⁴16 6π a³ π a⁴16 6π a³ π a⁴16 6π a³ 3a8 3a8 3a8 25 Solução Seja E o cubo em questão e M sua massa Então para a densidade δxyz a x temos M xyzdV 0a 0a 0a a x dz dy dx 0a a² ax dx a² ax x²2 0a a² a² a²2 a42 Se xyz é o centro de gravidade de E então x xδxyz dV M y yδxyz dV M e z zδxyzdV M Dati x δxyz dV 0a 0a 0a a x x² dz dy dx 0a a² ax x² dx a² a²2 a³3 0a a² a³2 a³3 a56 y δxyz dV 0a 0a 0a y ax dz dy dx 0a 0a y ax a dy dx 0a a³2 ax dx a32 0a ax dx a³2 ax x²20a a³2 a² a²2 a54 z δxyz dV 0a 0a 0a z ax dz dy dx 0a 0a a²2ax dy dx 0a a³2 ax dx a³2 a² a²2 a54 Logo xyz a562a4 a542a4 a542a4 a3 a2 a2 27 Solução Seja E o sólido em questão Esboçando E desenho do sólido Sendo M a massa de E e δxyz γ z a função densidade temos M δxyz dV 01 01y² 11 γ z dx dz dy 01 01y² 2 γ z dz dy 01 γ z² 01y² dy 01 γ 1y²² dy 1y²³6 01 16 Além disso se xyz é o centro de gravidade de E temos x x δxyz dV M y y δxyz dV M e z z δxyz dV M Desta forma x δxyz dV 01 01y² 11 x γ z dx dz dy 01 01y² x²2 γ z11 dz dy 01 01y² 0 γ z dz dy 0 y δxyz dV 01 01y² 11 y γ z dx dz dy 2 01 y² z³2 01y² dy 01 y² 1y²² dy 01 y² 2 y⁴ y⁶ dy y³3 2y⁵5 y⁷7 ₀ ¹ 13 25 17 35 42 15 105 8105 E z δx y z dV ₀¹ ₀¹ʸ² ₁¹ yz² dx dz dy 2 ₀¹ ₀¹ʸ² y z² dz dy 2 ₀¹ y z³3 ₀¹ʸ² dy 23 ₀¹ y 1 y²³ dy 23 1 y²⁴8 ₀¹ 23 18 112 Logo x ȳ z 0 8105 6 112 0 1635 12 25 29 Solução a Temos δx y k x² y² Sendo M a massa da lâmina temse que sendo D a região em questão M D δx y dA ₀¹ ₀¹ k x² y² dy dx ₀¹ k x² y y³3 ₀¹ dx ₀¹ k x² 13 dx k x³3 13 x ₀¹ 2k3 Desta forma se x ȳ é o centro de gravidade da lâmina temse que x D x δx y dA M e ȳ D y δx y dA M Portanto D x δx y ₀¹ ₀¹ k x³ x y² dx dy ₀¹ k x⁴4 x²2 y² ₀¹ dy ₀¹ k 14 y²2 dy k y4 y³6 ₀¹ k 14 16 k 3 212 5k12 D y δx y dA ₀¹ ₀¹ k x² y y³ dx dy ₀¹ k x³3 y x y³ ₀¹ dy ₀¹ k y3 y³ dy k y²6 y⁴4 ₀¹ k 16 14 5k12 Logo x ȳ 5k12 32k 5k12 32k 58 58 26 b Note que δx y k x 0² y 4² k x Como D é a lâmina delimitada por 0 x 1 0 y 1 vem que δx y k x Se M é a massa da lâmina temos M D δx y dA ₀¹ ₀¹ k x dx dy ₀¹ k x²2 dy ₀¹ k2 dy k2 Se x ȳ é o centro de gravidade da lâmina então x D x δx y dA M e ȳ D y δx y dA M Desta forma D x δx y dA ₀¹ ₀¹ k x² dx dy ₀¹ k x³3 dy ₀¹ k3 dy k3 D yδxy dA 01 0x kxy dx dy 01 kyx22 01 dy 01 ky2 dy k y24 01 k4 Logo x y k3 2k k4 2k 23 12 33 Solução Seja x y o centroide de uma região R Então x R x dA R dA 1área de R R x dA e y R y dA R dA 1área de R R y dA Em coordenadas polares x 1 área de R R r cosθ r dr dθ 1 área de R R r2 cosθ dr dθ y 1 área de R R r senθ r dr dθ 1 área de R R r2 senθ dr dθ 35 Solução Seja R a pétala da rosácea r sen2θ no primeiro octante isto é 0 θ π2 Se x y é o centroíde de R segue do exercício 33 que x 1área de R R r2 cosθ dθ dr y 1área de R R r2 senθ dθ dr Como área de R 0π2 0sen2θ r dr dθ 0π2 r22 0sen2θ dθ 12 0π2 sen22θ dθ 12 0π2 1cos4θ2 dθ 14 θ sen4θ40π2 14 π2 π8 R r2 cosθ dθ dθ 0π2 0sen2θ r2 cosθ dr dθ 0π2 r33 cosθ 0sen2θ dθ 13 0π2 sen32θ cosθ dθ 13 0π2 8 sen3θ cos4θ dθ 83 0π2 cos4θ 1 cos2θ senθ dθ 83 0π2 cos4θ cos6θ senθ dθ 83 cos7θ7 cos5θ5 0π2 83 17 15 83 5735 16105 R r2 senθ dθ dθ 0π2 0sen2θ r2 senθ dr dθ 13 0π2 r3 senθ 0sen2θ dθ 13 0π2 sen32θ senθ dθ 83 0π2 sen4θ 1sen2θ cosθ dθ 83 0π2 sen4θ sen6θ cosθ dθ 83 sen5θ5 sen7θ7 0π2 83 15 17 16105 Logo x y 16105 8π 16105 8π 128105π 128105π 37 Solução Seja R a região delimitada por ya²x² e o eixo x Sendo x ȳ o centroíde de R segue da simetria de R que x0 Fazendo uma rotação no eixo x obtemos uma esfera de raio a com centro na origem Do Teorema de Pappus temos V2πAȳ onde V é o volume da esfera e A é a área de R Logo 4πa³3 2ππa²2ȳ 4a3 πȳ ȳ 4a3π Portanto x ȳ 0 4a3π 39 Solução Note que o centro da elipse é k 0 Fazendo uma rotação no eixo y obtemos o toro elíptico Pela simetria da elipse temos que x ȳ k 0 é o centroíde da elipse Pelo Teorema de Pappus se V é o volume do toro elíptico e A é área da elipse concluímos que V 2πA x 2ππabk 2π²abk