Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais de Linha e Aplicações

7 Seja C a curva representada pelas equações x2t y3t2 0 leq t leq 1 Calcule em cada parte a integral de linha ao longo de C a intC xy ds b intC xy dx c intC xy dy 11 intC frac11x ds C rt t i frac23 t32 j 0 leq t leq 3 12 intC fracx1y2 ds C x 1 2t y t 0 leq t leq 1 13 intC 3x2 y z ds C x t y t2 z frac23 t3 0 leq t leq 1 14 intC fracezx2 y2 ds C rt 2 cos ti 2 sen tj tk 0 leq t leq 2pi 19 intC x2 y2 dx x dy C x2 y2 1 no sentido antihorário de 10 até 01 20 intC y x dx xy dy C o segmento de reta de 3 4 até 2 1 21 intC yz dx xz dy xy dz C x et y e3 t z et 0 leq t leq 1 2526 Calcule C y dx x dy ao longo da curva C mostrada na figura 25 a 0 1 1 0 b 1 1 26 a 1 1 2 0 b 0 5 5 0 5 0 2728 Calcule C x2z dx yx2 dy 3 dz ao longo da curva C mostrada na figura 27 28 2932 Calcule C F dr ao longo da curva C 29 Fx y x2 i xy j C rt 2 cos ti 2 sen tj 0 t π 30 Fx y x2 y i 4 j C rt et i et j 0 t 1 31 Fx y x2 y232 xi y j C rt et sen ti et cos t j 0 t 1 32 Fx y z zi x j yk C rt sen ti 3 sen tj sen2 t k 0 t π2 33 Calcule a massa de um arame fino com o formato do arco circular y 9 x2 0 x 3 se a função de densidade for δx y x y 34 Calcule a massa de um arame fino com o formato da curva x et cos t y et sen t 0 t 1 se a função de densidade δ for proporcional à distância da origem 35 Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice x 3 cos t y 3 sen t z 4t 0 t π2 se a função de densidade for δ kx1 y2 k 0 3740 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F na partícula que se move ao longo da curva C 37 Fx y x y i x2 j C x y2 de 0 0 até 1 1 38 Fx y x2 xy i y x2 y j C x t y 1t 1 t 3 39 Fx y z x y i yz j xz k C rt t i t2 j t3 k 0 t 1 40 Fx y z x y i x y j z2 k C ao longo de segmentos de reta de 0 0 0 até 1 3 1 até 2 1 4 4142 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Fx y 1x2 y2 i 4x2 y2 j numa partícula que se move ao longo da curva C mostrada na figura 41 0 4 4 0 42 6 3 4344 Use uma integral de linha para calcular a área da superfície 43 A superfície que se estende para cima da parábola y x2 0 x 2 do plano xy ao plano z 3x 16 Determine se F é um campo vetorial conservativo Se for encontre uma função potencial para ele 1 Fx y x i y j 2 Fx y 3y2 i 6x y j 3 Fx y r2 y i 5x y2 j 4 Fx y ex cos y i ex sen y j 5 Fx y cos y y cos x i sen x x sen y j 6 Fx y x ln y i y ln x j 7 a Mostre que a integral de linha C y2 dx 2 xy dy é independente do caminho b Calcule a integral da parte a ao longo do segmento de reta de 1 2 até 1 3 c Calcule a integral 1213 y2 dx 2 xy dy usando o Teorema 1631 e confirme que o valor é o mesmo que o obtido na parte b 8 a Mostre que a integral de linha c y sen x dx cos x dy é independente do caminho b Calcule a integral da parte a ao longo de reta de 0 1 até π 1 c Calcule a integral π101 y sen x dx cos x dy usando o Teorema 1631 e confirme que o valor é o mesmo que o obtido na parte b 914 Mostre que a integral é independente do caminho e use o Teorema 1631 para determinar seu valor 9 4012 3y dx 3x dy 10 1π200 ex sen y dx ex cos y dy 11 3200 2xey dx x2ey dy 12 0112 3x y 1 dx x 4y 2 dy 13 1022 2xy3 dx 3y2x2 dy 14 3311 ex ln y eyx dx exy ey ln x dy onde x e y são positivos 1518 Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e então calcule o trabalho realizado pelo campo de forças numa partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q 15 Fx y xy2 i x2 y j P 1 1 Q 0 0 16 Fx y 2xy3 i 3x2 y2 j P 3 0 Q 4 1 17 Fx y yexy i xexy j P 1 1 Q 2 0 18 Fx y ey cos x i ey sen x j P π2 1 Q π2 0 19 Fx y ey yey i xey ex j C rt sen π t 2 i ln t j 1 t 2 20 Fx y 2xy i x2 cos y j C rt t i t cos t 3 j 0 t π 27 Prove Se Fx y z fx y z i gx y z j hx y z k for um campo conservativo e f g e h forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas numa região então fy gx fz hx gz hy na região 28 Use o resultado do Exercício 27 para mostrar que a integral C yz dx xz dy yx2 dz é dependente do caminho 29 Encontre uma função nãonula h para a qual Fx y hx x sen y y cos y i hxx cos y y sen y j seja conservativo Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in Master PDF Editor CamScanner Created in 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