Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Vetorial e Integração Múltipla

Considere a função fxy ln x2 y2 a Encontre a direção na qual f cresce mais rapidamente no ponto 10 Indique o valor da derivada direcional nesta direção b Encontre as direções nas quais a variação f é zero em 10 c Encontre a direção na qual f decresce mais rapidamente em 10 d Represente graficamente os vetores dos itens a b e c na curva de nível que passa em 10 indicando seu módulo 2 Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela se houver de fxy xy no cilindro x28 y22 1 3 Calcule R 1 2y dA R y 2x2 e y 1 x2 4 Calcule a 0π2 032 2 14cosθ sen θ r dr dθ b aa 0a2x2 x2 y232 dy dx 5 Obtenda o volume e o centroide do sólido limitado acima pela esfera x2 y2 z2 4 e abaixo pelo cone z x2 y2 6 Use a integral tripla e mudança de variáveis para deduzir a fórmula do volume da elipsoide x2a2 y2b2 z2c2 4 7 Use integração dupla para determinar o centroide da região 8 Dado que F xi yj mostre que 1F F F3 9 Verifique se F 1yi xy2j é um campo vetorial conservativo Se for encontre uma função potencial para ele 10 Use o teorema de Green para calcular a integral C x2 dx xy dy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 00 a 10 de 10 a 01 e de 01 a 00 Após isso confirme seu resultado fazendo integração de linha 11 Use coordenadas esféricas para calcular o volume e o centroide do sólido G limitado acima pela esfera x2 y2 z2 16 e abaixo pelo cone z x2 y2 12 Obtenda a derivada direcional de fxy exy em 20 na direção e sentido do vetor unitário que faz ângulo de π3 com o eixo x positivo 13 Considere a equação polar r 2 2 seno a Esboce a curva representada por esta equação nos planos Ope e Oy b Calcule a área da região descrita por esta curva 14 Calcule R seno θ dA onde R é a região no 1 quadrante fora do círculo r 2 e dentro da cardioide r 21 cosθ Cálculo Meu Guru 1 Solução a Como fxy ln x2 y2 é diferenciável em 10 temos que a direção de crescimento máximo é dada pelo gradiente de f em 10 Logo fxy 2x x2 y2 2y x2 y2 f10 20 Além disso a derivada direcional de f em 10 nesta direção é dada por f10 Portanto f10 20 22 02 2 b Queremos determinar os vetores xy R2 tais que a derivada direcional de f em 10 na direção de xy é nula Mas sendo f diferenciável em 10 tal derivada direcional é dada por f10 xy Logo 0 f10 x y 20 xy 2x x 0 Logo a direção buscada é 0 y y R c Como f é diferenciável em 10 a direção onde f decresce mais rápido é dada por f10 Logo a direção desejada é f10 20 20 d Note que f10 ln1² 0² ln1 0 Logo a curva de nível que contém 10 é f¹0 que é dada por 0 lnx² y² x² y² 1 Logo 2 Solução Inicialmente vamos determinar os pontos críticos de fxy xy fx y e fy x Logo fx 0 fy sp e só sp x y 0 Observe que 00 C onde C é o cilindro x²8 y²2 1 Além disso ²fx² 0 ²fy² e ²fxy 1 Logo ²fx² ²fy² ²fxy² 1 0 temos que 00 é ponto de sela de f No bordo x²8 y²2 1 vamos usar multiplicadores de Lagrange para determinar mínimos e máximos se houver Daí y λ x4 1 x λ y 2 x²8 y²2 1 3 Note que xy 0 pois se x0 então na equação 1 teríamos y0 Mas 00 não satisfaz 3 De modo análogo se y0 então x0 na segunda equação o que não satisfaz 3 Substituindo 1 em 2 x λ λ x4 λ² x4 x 0 λ²4 1 λ 2 Se λ2 então x2y e segue de 3 que 4y²8 y²21 y²2 y²21 y²1 y1 y1 x2 y1 x2 Se λ2 então x2y e segue de 3 que 4y²8 y²2 1 y1 y1 x2 y1 x2 Logo os pontos 21 21 21 21 são candidatos a máximos e mínimos Como f21 2 f21 e f21 2 f21 Concluímos que 21 e 21 são pontos de máximo e 21 21 são pontos de mínimo 3 solução Esboçando R onde as interseções são dadas por 2x²1x² x²1 x1 Logo R x2y dA 11 2x²1x² x2y dy dx 11 xy y²2x²1x² dx 11 x1x²1x²² x2x² 2x²² dx 11 x x³ 1 2x² x⁴ 2x³ 4x⁴ dx 11 3x⁴ x³ 2x² x 1 dx 3x⁵5 x⁴4 2x³3 x²2 x11 35 14 23 12 1 35 14 23 12 1 65 43 2 18 20 3015 3215 4 solução a Calculando a integral 0π2 221cos θ sen θ r dr dθ 0π2 sen θ 2 r²221cos θ dθ 12 0π2 sen θ 41cos θ² 4 dθ 2 0π2 sen θ 2 sen θ cos θ sen θ cos² θ sen θ dθ 2 0π2 sen 2θ senθ cos³θ dθ 2 Cos 2θ2 Cos³θ30π2 2 12 12 13 2 23 83 b Esboçando o domínio de integração y a y a²x² a a x Em coordenadas polares temos x r cosθ 0 r a y r senθ 0 θ π x² y² r² Logo aa 0a²x² x² y²³² dydx 0π 0a r³ r dr dθ 0π r⁵50a dθ π a⁵5 5 Solução Seja V o volume do sólido E em questão z 2 E y x Em coordenadas esféricas temos 0 ρ 2 0 θ 2π e a variação de Φ ocorre na intersecção do cone com a esfera isto é z x² y² x² y² z² 4 2x² y² 4 x² y² 2 Em coordenadas esféricas com ρ 2 2 4 cos²θ sen²Φ 4 sen²θ sen²Φ 4 sen²Φ sen²Φ 12 senΦ 22 Φ π4 Logo V 0²π 0π4 0² ρ² senΦ dρ dΦ dθ 0²π 0π4 ρ³3 senΦ dΦ dθ 83 0²π 0π4 senΦ dΦ dθ 83 0²π cosΦ0π4 dθ 83 0²π 1 22 dθ 2π 83 1 22 8π3 2 2 Agora se x y z é o centroide de E então x E x dV V y E y dV V e z E z dV V Note que E x dV 02π 0π4 02 ρ3 cosθ sen2φ dρ dφ dθ 4 02π 0π4 cosθ 1 cos 2φ2 dφ dθ 2 02π cosθ φ sen 2φ20π4 dθ 2 02π cosθ π4 12 dθ 2 π4 12 senθ 2π0 0 E y dV 02π 0π4 02 ρ3 senθ sen2φ dρ dφ dθ 0π4 02 ρ3 sen2φ cosθ 2π0 dρ dφ 0 E z dV 02π 0π4 02 ρ3 senφ cosφ dρ dφ dθ 4 02π 0π4 senφ cosφ dφ dθ 8π sen2φ20π4 4π 24 0 2π Logo x y z 0 0 2π8π3 22 0 0 38 42 6 Façamos x a u y b v e z c w Note que u2 v2 w2 xa2 yb2 zc2 4 Além disso x y zu v w a 0 0 0 b 0 0 0 c abc Logo o volume V do elipsóide x2a2 y2b2 z2c2 4 é V dV abc dV abc Vol u2 v2 w2 4 abc 43 π 8 32 π3 abc 7 Solução Seja A a área da região R Logo A ₀¹ ₀ˣ² dy dx ₀¹ x² dx x³3 ₀¹ 13 Se x ȳ é o centroide da região R então x ᴿ x dA A e ȳ ᴿ y dA A Como ᴿ x dA ₀¹ ₀ˣ² x dy dx ₀¹ x³ dx x⁴4 ₀¹ 14 e ᴿ y dA ₀¹ ₀ˣ² y dy dx ₀¹ y²2₀ˣ² dx ₀¹ x⁴2 dx x⁵10 ₀¹ 110 Concluímos que x ȳ 143 1103 34 310 8 Solução Dado F x i y j temos F x² y² Dado 1F x 1F y 1F x x² y²12 y x² y²12 12 x² y²32 2x 12 x² y²32 2y 1x² y²123 x y 1F³ F FF³ 9 Solução Dado F 1y i xy² j temos que F é conservativo se rot F 0 isto é x xy² y 1y 0 Com efeito x xy² y 1y 1y² 1y² 0 Seja f um potencial de F isto é f F Dado fx 1y fy xy² Integrando a primeira equação em x fxy xy gy Derivando em y e usando a segunda equação xy² fy xy² gy gy 0 gy 0 Logo fxy x y é um potencial de F 10 Solução Esboçando C temos Sendo D a região delimitada por C temos pelo Teorema de Green C x4 dx xy dy D x xy y x4 dA 01 01x y dy dx 01 y2 201x dx 01 1x2 2 dx 1x3 601 16 Agora seja C C1 C2 C3 onde C1 C2 e C3 são os segmentos de 00 a 10 10 a 01 e de 01 a 00 respectivamente Daí C x4 dx xy dy C1 x4 dx xy dy C2 x4 dx xy dy C3 x4 dx xy dy Uma parametrização de C1 é r1t t0 0 t 1 Daí C1 x4 dx xy dy 01 t4 1 t 0 0 dt t5 501 15 Uma parametrização de C2 é r2t 10 t01 10 1t t 0 t 1 Portanto C2 x4 dx xy dy 01 1t4 1 1t t 1 dt 01 1t4 t t2 dt 1t5 5 t2 2 t3 301 12 13 15 15 10 6 30 130 Uma parametrização de C3 é r3t 01 t00 01 0 1t 0 t 1 Portanto C3 x4 dx xy dy 01 04 0 0 1t 1 dt 0 Logo C x4 dx xy dy 15 130 0 630 130 530 16 11 Solução Sendo E o sólido em questão segue que o esboço é Em coordenadas esféricas temos 0 ρ 4 0 θ 2π 0 φ π4 Sendo V volE temos V 02π 0π4 04 ρ² senφ dρ dφ dθ 2π 0π4 ρ³3 senφ 04 dφ 128π3 0π4 senφ dφ 1283 π cosφ 0π4 128π3 1 22 64π3 2 2 Agora se x y z é o centróide de E então x E x dV V y E y dV V e z E z dV V Assim E x dV 02π 0π4 04 ρ³ cosφ sen²φ dρ dφ dθ 0π4 04 ρ³ sen²φ senθ 02π dρ dφ 0 E y dV 02π 0π4 04 ρ³ senθ sen²φ dρ dφ dθ 0π4 04 ρ³ sen²φ cosθ 02π dρ dφ 0 E z dV 02π 0π4 04 ρ³ senφ cosφ dρ dφ dθ 2π 0π4 ρ⁴4 senφ cosφ 04 dφ 128π 0π4 senφ cosφ dφ 128π sen²φ2 0π4 64π 24 0 32π Logo x y z 0 0 32π 64π3 22 0 0 34 22 12 Solução Seja x y um vetor que faz um ângulo de π3 com o eixo x positivo Daí tgπ3 yx y 3 x Como queremos o vetor unitário devemos ter 1 x 32 x x2 3x2 4x2 2x x 12 Logo a direção buscada é u 12 32 Como fxy exy é diferenciável em 20 temos que Du 20 f20 u Sendo fxy yexy xexy temos f20 02 Logo Du 20 02 12 32 3 13 solução a No plano 0r temos r 4 r 22 sen θ 2 3π2 π π2 π2 π 3π2 θ No plano x0y temos r 4 r 22 sen θ x 2 2 b A área da região do item a é dada por A 12 0 a 2π r2 dθ 12 0 a 2π 22 senθ2 dθ 12 0 a 2π 48 senθ 4 sen2 θ dθ 0 a 2π 1 2 senθ 1 cos 2θ2 dθ θ 2 cos θ 12 θ sen 2θ4 0 a 2π 2π 2 π 2 3π 14 solução Queremos calcular R senθ dA onde R é a região no primeiro quadrante fora do círculo r2 e dentro da cardioide r 21cosθ Logo R senθ dA 0 a π2 2 a 21cosθ senθ r dr dθ 0 a π2 senθ 2 2 cosθ 2 dθ 0 a π2 2 senθ cosθ dθ sen2θ 0 a π2 1