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Engenharia Civil ·
Mecanica Geral 1
· 2022/1
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Exemplo 1 Internal Forces: Applying the equations of equilibrium to segment AC [FBD (b)], we have →ΣFx = 0; Nc = 0 Ans ↑ΣFy = 0; 36.667 - 40 - Vc = 0 Vc = -3.333 kN Ans (→ΣMc = 0; Mc - 36.667 (2) = 0 Mc = 73.33 kN·m Ans Applying the equations of equilibrium to segment BD [FBD (c)], we have →ΣFx = 0; Nd = 0 Ans ↑ΣFy = 0; Vd + 3.333 = 0 Vd = -3.333 kN Ans (→ΣMd = 0; 3.333 (2) + 60 - Md = 0 Md = 66.67 kN·m Ans Exemplo 1 (7.1) Determine a força normal, o esforço cortante interno e o momento fletor nos pontos C e D da viga. Assuma que o apoio em B seja um rolete. O ponto C está localizado logo à direita da carga de 40 kN Exemplo 1 Support Reactions: FBD (a), (→ΣMA = 0; By (6) + 60 - 40 (2) = 0 By = 3.333 kN ↑ΣFy = 0; Ay + 3.333 - 40 = 0 Ay = 36.667 kN →ΣFx = 0; Ax = 0 Vigas- força cortante e momento fletor Convenções de sinais para esforços internos de vigas Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Estabelecer as equações de cada esforço em função da coordenada x. Reações Trecho AC- Seção S1 Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Estabelecer as equações de cada esforço em função da coordenada x. Reações Trecho CB- Seção S2 Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Enumeram-se alguns pontos importantes dos diagrama ilustrados na figura: 1. Para os trecho AC e CB q = 0. De acordo com as expressões o esforço cortante em cada trechos têm valores constantes e as equações de momento variam linearmente. Estes fatos são observados no diagrama. Na seção C, ponto de aplicação da carga, o DEC apresenta uma descontinuidade no valor da carga concentrada aplicada. Esforços Internos-Viga biapoiada com carga distribuída Esforços Internos- Viga biapoiada com carga triangular (a) (b) Esforços Internos- Viga biapoiada com carga triangular A seção de momento máximo é aquela que apresenta cortante nulo e é obtida igualando a expressão (b) a zero, ou seja: Retornando este valor na expressão (a) tem-se: Esforços Internos- Viga em balanço Momento: M = Px Cortante: Q = P Esforços Internos- Viga em balanço Momento : M = -qxx/2 Cortante: Q = qx x/2 qx Vigas- Esforços Internos-relação entre as curvas de carregamento, esforço cortante e momento fletor Os esforços internos variam ao longo da viga. Nesta seção, deseja-se estabelecer as equações dos esforços. Para tal, estabelece-se inicialmente as equações fundamentais da estática. Analisa-se, portanto, uma fatia infinitesimal da viga da figura As equações (a) e (b) são conhecidas como equações fundamentais da estática e mostram que a primeira derivada do esforço cortante é a carga distribuıda enquanto a primeira derivada do momento fletor é o próprio cortante. Nos diagramas as variações desses esforços em cada seção são representados perpendicularmente ao longo do eixo do elemento (a) (b) Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Carga distribuída Considere a viga AD mostrada na figura a seguir: Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento da viga tendo um tamanho Δx é escolhido em um ponto x ao longo da viga, que não está sujeito a uma força ou momento de binário concentrado Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Consideramos que a força de esforço cortante e o momento fletor interno mostrados no diagrama de corpo livre atuam no sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal estabelecida. A carga distribuída foi substituída por uma força resultante ΔF = w(x) Δx, que atua a uma distância fracionária k(Δx) a partir da extremidade direita, onde 0 < k < 1 [por exemplo, se w(x) for uniforme, k = 1/2 ]. VB- VA = - Área sob a curva de carregamento no trecho AB MB- MA = Área sob a curva de esforço cortante no trecho AB Força Um diagrama de corpo livre de um segmento pequeno da viga na figura abaixo, tomado sob uma das forças, é mostrado na figura seguinte: Força Aqui, o equilíbrio de forças requer: ↑∑F_y = 0; ΔV = F Como a variação no esforço cortante é positiva, o diagrama de esforço cortante “saltará” para cima quando F atuar para cima na viga. De modo semelhante, o salto no esforço cortante (ΔV) é para baixo quando F atua para baixo. slide 32 Momento de binário Considerando Δx → 0, o momento de equilíbrio requer: ↻∑M = 0; ΔM = M_0 Assim, a variação no momento é positiva, o diagrama do momento “saltará” para cima se M_0 estiver no sentido horário. De modo semelhante, o salto ΔM é para baixo quando M_0 está em sentido anti-horário. Pontos importantes A inclinação do diagrama de esforço cortante em um ponto é igual à intensidade da carga distribuída, onde a carga distribuída positiva é para cima, ou seja, dV/dx = w(x). Se uma força concentrada atua para cima na viga, o esforço cortante saltará para cima pelo mesmo valor. A variação no esforço cortante ΔV entre dois pontos é igual à área sob a curva de carga distribuída entre os pontos. A inclinação do diagrama de momento em um ponto é igual ao esforço cortante, ou seja, dM/dx = V. A variação no momento ΔM entre dois pontos é igual à área sob o diagrama de esforço cortante entre os dois pontos. Se um momento de binário no sentido horário atuar sobre a viga, o esforço cortante não será afetado; porém, o diagrama de momento fletor saltará para cima com a mesma quantidade. Pontos importantes Os pontos de esforço cortante zero representam os pontos de momento fletor máximo ou mínimo, pois dM/dx = 0. Como duas integrações de w = w(x) são envolvidas para primeiro determinar a variação no esforço cortante, ΔV = ∫ w (x) dx, em seguida, para determinar a variação no momento, ΔM = ∫ V dx, se a curva de carga w = w(x) é um polinômio de grau n, V = V(x) será uma curva de grau n + 1 e M = M(x) será uma curva de grau n + 2. Exemplo resultado da carga distribuída = q. l = 5.4=20 kN Va.0 − 20.2 − 10.4 + Vb.6 − 8.7 = 0 −40 − 40 + 6Vb − 56 = 0 Vb = 136/6 = 22,67 kN Va + Vb = 38 Va + 22,67 = 38 Va = 38 − 22,67 = 15,33 kN Procedimentos para análise Reações de suporte • Determine todas as forças reativas e momentos de binário que atuam sobre a viga e resolva todas as forças em componentes que atuam perpendiculares e paralelos ao eixo da viga. Procedimentos para análise Funções de esforço cortante e momento • Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade esquerda da viga e estendendo-se para regiões da viga entre forças concentradas e/ou momentos de binário, ou onde a carga distribuída é contínua. • Seccione a viga a cada distância x e desenhe o diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Cuide para que V e M apareçam atuando em seu sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal. Procedimentos para análise Funções de esforço cortante e momento • O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo da viga. • O momento M é obtido somando-se os momentos em relação a extremidade seccionada do segmento. Procedimentos para análise Diagramas de esforço cortante e momento fletor ▪ Desenhe o diagrama do esforço cortante (V versus x) e o diagrama de momento (M versus x). Se os valores calculados das funções descrevendo V e M forem positivos, os valores são desenhados acima do eixo x, enquanto valores negativos são desenhados abaixo do eixo x. ▪ Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de esforço cortante e momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. Exemplo 3 (7.49) Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga. Exemplo 3 0 ≤ x < 5 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 2x - V = 0 V = 2.5 - 2x (+ΣM = 0; M + 2x(1/2 x) - 2.5x = 0 M = 2.5x - x² 5 m < x < 10 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 10 - V = 0 V = -7.5 (+ΣM = 0; M + 10(x - 2.5) - 2.5x - 50 = 0 M = -7.5x + 75 2(5)=10 kN A_y = 2.50 kN x-2.5 2(5)=10 kN C_y = 7.50 kN A_y = 2.50 kN Exemplo 3 0 ≤ x < 5 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 2x - V = 0 V = 2.5 - 2x (+ΣM = 0; M + 2x(1/2 x) - 2.5x = 0 M = 2.5x - x^2 5 m < x < 10 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 10 - V = 0 V = -7.5 (+ΣM = 0; M + 10(x - 2.5) - 2.5x - 50 = 0 M = -7.5x + 75 slide 25 Forças internas Objetivos da aula: • Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. • Generalizar esse procedimento formulando equações que podem ser representadas de modo que descrevam o cisalhamento e o momento interno ao longo de um membro. Forças internas desenvolvidas em membros estruturais Para projetar um membro estrutural ou mecânico, é preciso conhecer a carga atuando dentro do membro, a fim de garantir que o material possa resistir a essa carga. As cargas internas podem ser determinadas usando o método das seções. Para ilustrar esse método, considere a viga na figura abaixo. Quais as forças internas que atuam na seção a-a em B? Ao seccionar a viga em a-a , as cargas internas que atuam em B serão expostas e se tornarão externas no diagrama de corpo livre de cada segmento. Forças internas desenvolvidas em membros estruturais De acordo com a terceira lei de Newton, essas cargas devem atuar em direções opostas em cada segmento, conforme mostra a figura abaixo: Aqui as direções foram escolhidas aleatoriamente. A verdadeira direção deve sair das condições de equilíbrio ΣFx=0 ΣFy=0 e ΣMB=0 Forças internas desenvolvidas em membros estruturais Em duas dimensões, mostramos que existem três resultantes de carga internas: Convenção de sinais Os engenheiros geralmente usam uma convenção de sinal para informar as três cargas internas N, V e M. N positiva se causa tração V positiva se causa giro no sentido horário M positiva se causa curvatura para cima slide 6 Procedimentos para análise Reações de suporte ▪ Antes que o membro seja seccionado, pode ser preciso primeiro determinar suas reações de apoio, de modo que as equações de equilíbrio possam ser usadas para solucionar as cargas internas somente depois que o membro for seccionado. Procedimentos para análise Diagrama de corpo livre ▪ Mantenha todas as cargas distribuídas, momentos e forças que atuam sobre o membro em seus locais exatos, depois passe um corte imaginário pelo membro, perpendicular ao seu eixo, no ponto onde as cargas internas devem ser determinadas. ▪ Depois que o corte foi feito, desenhe um diagrama de corpo livre do segmento que tem o menor número de cargas sobre ele e indique as componentes das resultantes da força e do momento de binário na seção transversal, conforme a convenção de sinal estabelecida. Procedimentos para análise Equações de equilíbrio ▪ Os momentos devem ser somados na seção. Desse modo, as forças normal e cortante na seção são eliminadas, e podemos obter uma solução direta para o momento. ▪ Se a solução das equações de equilíbrio gerar um escalar negativo, o sentido dessa quantidade é oposto ao que é mostrado no diagrama de corpo livre. Exemplo 2 (7.18) Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor nos pontos D e E da viga. O ponto D está localizado à esquerda do suporte de rolete em B, onde o momento de binário atua. Exemplo 2 A intensidade of the triangular distributed load at E can be found using the similar triangles in Fig. b, With reference to Fig. a, (+ΣM_A = 0; B_y (3) - 2(3)(1.5) - 6 - 1/2 (2)(3)(4) - 5 (3/5)(6) = 0 B_y = 15 kN Exemplo 2 Using this result and referring to Fig. c, →ΣF_x = 0; 5 (4/5) - N_D = 0 +↑ΣF_y = 0; V_D + 15 - 1/2 (2)(3) - 5 (3/5) = 0 (+ΣM_D = 0; -M_D - 6 - 1/2 (2)(3)(1) - 5 (3/5) = 0 Also, by referring to Fig. d, we can write →ΣF_x = 0; 5 (4/5) - N_E = 0 +↑ΣF_y = 0; V_E - 1/2 (1)(1.5) - 5 (3/5) = 0 (+ΣM_E = 0; -M_E - 1/2 (1)(1.5)(0.5) - 5 (3/5) = 0 N_D = 4 kN Ans V_D = -9 kN Ans M_D = 18 kN·m Ans N_E = 4 kN Ans V_E = 3.75 kN Ans M_E = -4.875 kN·m Ans
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Exemplo 1 Internal Forces: Applying the equations of equilibrium to segment AC [FBD (b)], we have →ΣFx = 0; Nc = 0 Ans ↑ΣFy = 0; 36.667 - 40 - Vc = 0 Vc = -3.333 kN Ans (→ΣMc = 0; Mc - 36.667 (2) = 0 Mc = 73.33 kN·m Ans Applying the equations of equilibrium to segment BD [FBD (c)], we have →ΣFx = 0; Nd = 0 Ans ↑ΣFy = 0; Vd + 3.333 = 0 Vd = -3.333 kN Ans (→ΣMd = 0; 3.333 (2) + 60 - Md = 0 Md = 66.67 kN·m Ans Exemplo 1 (7.1) Determine a força normal, o esforço cortante interno e o momento fletor nos pontos C e D da viga. Assuma que o apoio em B seja um rolete. O ponto C está localizado logo à direita da carga de 40 kN Exemplo 1 Support Reactions: FBD (a), (→ΣMA = 0; By (6) + 60 - 40 (2) = 0 By = 3.333 kN ↑ΣFy = 0; Ay + 3.333 - 40 = 0 Ay = 36.667 kN →ΣFx = 0; Ax = 0 Vigas- força cortante e momento fletor Convenções de sinais para esforços internos de vigas Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Estabelecer as equações de cada esforço em função da coordenada x. Reações Trecho AC- Seção S1 Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Estabelecer as equações de cada esforço em função da coordenada x. Reações Trecho CB- Seção S2 Esforços Internos- Viga biapoiada com carga concentrada Enumeram-se alguns pontos importantes dos diagrama ilustrados na figura: 1. Para os trecho AC e CB q = 0. De acordo com as expressões o esforço cortante em cada trechos têm valores constantes e as equações de momento variam linearmente. Estes fatos são observados no diagrama. Na seção C, ponto de aplicação da carga, o DEC apresenta uma descontinuidade no valor da carga concentrada aplicada. Esforços Internos-Viga biapoiada com carga distribuída Esforços Internos- Viga biapoiada com carga triangular (a) (b) Esforços Internos- Viga biapoiada com carga triangular A seção de momento máximo é aquela que apresenta cortante nulo e é obtida igualando a expressão (b) a zero, ou seja: Retornando este valor na expressão (a) tem-se: Esforços Internos- Viga em balanço Momento: M = Px Cortante: Q = P Esforços Internos- Viga em balanço Momento : M = -qxx/2 Cortante: Q = qx x/2 qx Vigas- Esforços Internos-relação entre as curvas de carregamento, esforço cortante e momento fletor Os esforços internos variam ao longo da viga. Nesta seção, deseja-se estabelecer as equações dos esforços. Para tal, estabelece-se inicialmente as equações fundamentais da estática. Analisa-se, portanto, uma fatia infinitesimal da viga da figura As equações (a) e (b) são conhecidas como equações fundamentais da estática e mostram que a primeira derivada do esforço cortante é a carga distribuıda enquanto a primeira derivada do momento fletor é o próprio cortante. Nos diagramas as variações desses esforços em cada seção são representados perpendicularmente ao longo do eixo do elemento (a) (b) Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Carga distribuída Considere a viga AD mostrada na figura a seguir: Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Um diagrama de corpo livre para um pequeno segmento da viga tendo um tamanho Δx é escolhido em um ponto x ao longo da viga, que não está sujeito a uma força ou momento de binário concentrado Relações entre carga distribuída, esforço cortante e momento fletor Consideramos que a força de esforço cortante e o momento fletor interno mostrados no diagrama de corpo livre atuam no sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal estabelecida. A carga distribuída foi substituída por uma força resultante ΔF = w(x) Δx, que atua a uma distância fracionária k(Δx) a partir da extremidade direita, onde 0 < k < 1 [por exemplo, se w(x) for uniforme, k = 1/2 ]. VB- VA = - Área sob a curva de carregamento no trecho AB MB- MA = Área sob a curva de esforço cortante no trecho AB Força Um diagrama de corpo livre de um segmento pequeno da viga na figura abaixo, tomado sob uma das forças, é mostrado na figura seguinte: Força Aqui, o equilíbrio de forças requer: ↑∑F_y = 0; ΔV = F Como a variação no esforço cortante é positiva, o diagrama de esforço cortante “saltará” para cima quando F atuar para cima na viga. De modo semelhante, o salto no esforço cortante (ΔV) é para baixo quando F atua para baixo. slide 32 Momento de binário Considerando Δx → 0, o momento de equilíbrio requer: ↻∑M = 0; ΔM = M_0 Assim, a variação no momento é positiva, o diagrama do momento “saltará” para cima se M_0 estiver no sentido horário. De modo semelhante, o salto ΔM é para baixo quando M_0 está em sentido anti-horário. Pontos importantes A inclinação do diagrama de esforço cortante em um ponto é igual à intensidade da carga distribuída, onde a carga distribuída positiva é para cima, ou seja, dV/dx = w(x). Se uma força concentrada atua para cima na viga, o esforço cortante saltará para cima pelo mesmo valor. A variação no esforço cortante ΔV entre dois pontos é igual à área sob a curva de carga distribuída entre os pontos. A inclinação do diagrama de momento em um ponto é igual ao esforço cortante, ou seja, dM/dx = V. A variação no momento ΔM entre dois pontos é igual à área sob o diagrama de esforço cortante entre os dois pontos. Se um momento de binário no sentido horário atuar sobre a viga, o esforço cortante não será afetado; porém, o diagrama de momento fletor saltará para cima com a mesma quantidade. Pontos importantes Os pontos de esforço cortante zero representam os pontos de momento fletor máximo ou mínimo, pois dM/dx = 0. Como duas integrações de w = w(x) são envolvidas para primeiro determinar a variação no esforço cortante, ΔV = ∫ w (x) dx, em seguida, para determinar a variação no momento, ΔM = ∫ V dx, se a curva de carga w = w(x) é um polinômio de grau n, V = V(x) será uma curva de grau n + 1 e M = M(x) será uma curva de grau n + 2. Exemplo resultado da carga distribuída = q. l = 5.4=20 kN Va.0 − 20.2 − 10.4 + Vb.6 − 8.7 = 0 −40 − 40 + 6Vb − 56 = 0 Vb = 136/6 = 22,67 kN Va + Vb = 38 Va + 22,67 = 38 Va = 38 − 22,67 = 15,33 kN Procedimentos para análise Reações de suporte • Determine todas as forças reativas e momentos de binário que atuam sobre a viga e resolva todas as forças em componentes que atuam perpendiculares e paralelos ao eixo da viga. Procedimentos para análise Funções de esforço cortante e momento • Especifique coordenadas separadas x tendo uma origem na extremidade esquerda da viga e estendendo-se para regiões da viga entre forças concentradas e/ou momentos de binário, ou onde a carga distribuída é contínua. • Seccione a viga a cada distância x e desenhe o diagrama de corpo livre de um dos segmentos. Cuide para que V e M apareçam atuando em seu sentido positivo, de acordo com a convenção de sinal. Procedimentos para análise Funções de esforço cortante e momento • O esforço cortante V é obtido somando-se as forças perpendiculares ao eixo da viga. • O momento M é obtido somando-se os momentos em relação a extremidade seccionada do segmento. Procedimentos para análise Diagramas de esforço cortante e momento fletor ▪ Desenhe o diagrama do esforço cortante (V versus x) e o diagrama de momento (M versus x). Se os valores calculados das funções descrevendo V e M forem positivos, os valores são desenhados acima do eixo x, enquanto valores negativos são desenhados abaixo do eixo x. ▪ Geralmente, é conveniente fazer os gráficos dos diagramas de esforço cortante e momento fletor diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga. Exemplo 3 (7.49) Determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para a viga. Exemplo 3 0 ≤ x < 5 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 2x - V = 0 V = 2.5 - 2x (+ΣM = 0; M + 2x(1/2 x) - 2.5x = 0 M = 2.5x - x² 5 m < x < 10 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 10 - V = 0 V = -7.5 (+ΣM = 0; M + 10(x - 2.5) - 2.5x - 50 = 0 M = -7.5x + 75 2(5)=10 kN A_y = 2.50 kN x-2.5 2(5)=10 kN C_y = 7.50 kN A_y = 2.50 kN Exemplo 3 0 ≤ x < 5 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 2x - V = 0 V = 2.5 - 2x (+ΣM = 0; M + 2x(1/2 x) - 2.5x = 0 M = 2.5x - x^2 5 m < x < 10 m: +↑ΣF_y = 0; 2.5 - 10 - V = 0 V = -7.5 (+ΣM = 0; M + 10(x - 2.5) - 2.5x - 50 = 0 M = -7.5x + 75 slide 25 Forças internas Objetivos da aula: • Mostrar como usar o método de seções para determinar as cargas internas em um membro. • Generalizar esse procedimento formulando equações que podem ser representadas de modo que descrevam o cisalhamento e o momento interno ao longo de um membro. Forças internas desenvolvidas em membros estruturais Para projetar um membro estrutural ou mecânico, é preciso conhecer a carga atuando dentro do membro, a fim de garantir que o material possa resistir a essa carga. As cargas internas podem ser determinadas usando o método das seções. Para ilustrar esse método, considere a viga na figura abaixo. Quais as forças internas que atuam na seção a-a em B? Ao seccionar a viga em a-a , as cargas internas que atuam em B serão expostas e se tornarão externas no diagrama de corpo livre de cada segmento. Forças internas desenvolvidas em membros estruturais De acordo com a terceira lei de Newton, essas cargas devem atuar em direções opostas em cada segmento, conforme mostra a figura abaixo: Aqui as direções foram escolhidas aleatoriamente. A verdadeira direção deve sair das condições de equilíbrio ΣFx=0 ΣFy=0 e ΣMB=0 Forças internas desenvolvidas em membros estruturais Em duas dimensões, mostramos que existem três resultantes de carga internas: Convenção de sinais Os engenheiros geralmente usam uma convenção de sinal para informar as três cargas internas N, V e M. N positiva se causa tração V positiva se causa giro no sentido horário M positiva se causa curvatura para cima slide 6 Procedimentos para análise Reações de suporte ▪ Antes que o membro seja seccionado, pode ser preciso primeiro determinar suas reações de apoio, de modo que as equações de equilíbrio possam ser usadas para solucionar as cargas internas somente depois que o membro for seccionado. Procedimentos para análise Diagrama de corpo livre ▪ Mantenha todas as cargas distribuídas, momentos e forças que atuam sobre o membro em seus locais exatos, depois passe um corte imaginário pelo membro, perpendicular ao seu eixo, no ponto onde as cargas internas devem ser determinadas. ▪ Depois que o corte foi feito, desenhe um diagrama de corpo livre do segmento que tem o menor número de cargas sobre ele e indique as componentes das resultantes da força e do momento de binário na seção transversal, conforme a convenção de sinal estabelecida. Procedimentos para análise Equações de equilíbrio ▪ Os momentos devem ser somados na seção. Desse modo, as forças normal e cortante na seção são eliminadas, e podemos obter uma solução direta para o momento. ▪ Se a solução das equações de equilíbrio gerar um escalar negativo, o sentido dessa quantidade é oposto ao que é mostrado no diagrama de corpo livre. Exemplo 2 (7.18) Determine a força normal, o esforço cortante e o momento fletor nos pontos D e E da viga. O ponto D está localizado à esquerda do suporte de rolete em B, onde o momento de binário atua. Exemplo 2 A intensidade of the triangular distributed load at E can be found using the similar triangles in Fig. b, With reference to Fig. a, (+ΣM_A = 0; B_y (3) - 2(3)(1.5) - 6 - 1/2 (2)(3)(4) - 5 (3/5)(6) = 0 B_y = 15 kN Exemplo 2 Using this result and referring to Fig. c, →ΣF_x = 0; 5 (4/5) - N_D = 0 +↑ΣF_y = 0; V_D + 15 - 1/2 (2)(3) - 5 (3/5) = 0 (+ΣM_D = 0; -M_D - 6 - 1/2 (2)(3)(1) - 5 (3/5) = 0 Also, by referring to Fig. d, we can write →ΣF_x = 0; 5 (4/5) - N_E = 0 +↑ΣF_y = 0; V_E - 1/2 (1)(1.5) - 5 (3/5) = 0 (+ΣM_E = 0; -M_E - 1/2 (1)(1.5)(0.5) - 5 (3/5) = 0 N_D = 4 kN Ans V_D = -9 kN Ans M_D = 18 kN·m Ans N_E = 4 kN Ans V_E = 3.75 kN Ans M_E = -4.875 kN·m Ans