Teoria dos Grupos - Definições, Exemplos e Exercícios Resolvidos

Dado Ai iI uma partição de A mostre i Ai ϕ ii i j Ai Aj ϕ iii iI Ai A i a relação R xRy x Ai e y Ai é relação de equivalência ii os classes de equivalência distintos dado pela relação R coincidem com os subconjuntos da partição Reflexiva a A aRa a Ai A iI Ai Se a A Ai i I tal que a Ai Simétrica Seja a b A com e R b mostremos que bRa Se a R b a Ai e b Ai b Ai e a Ai bRa Transitiva Sejam a b c A aRb bRc mostrem que aRc a Ai b Ai c Ai logo aRc ii a A iI Ai i tal que a Ai ā x A aRx ā x A a Ai e x Ai x A x Ai Ai ā x A a Ai e x Ai x A x Ai Ai Aula 6 Prova Aula 7 Apresentação da prova Aula 8 13052022 Grupos Def Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação binária Diremos que a operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G ou que G O que G é um grupo em relação à operação quando se verifica G1 G2 G3 Notação Def Diremos que G é um grupo abeliano ou grupo comutativo se i ii Exemplos 3 N1 não é grupo pois N 1 2 não se verifica a propriedade G2 o N e a propriedade G3 4 Q é grupo abeliano Q Q 0 Q 0 5 R é grupo abeliano 6 Mm x m R conjunto dos matrizes de ordem m x m com coeficientes reais Mm x mR grupo abeliano 7 Q a b Q define ab ab2 Q é grupos Exercícios 8 G 1 1 i i com i2 1 G 4 G x G G a b a b ab produto usual G é grupo 1 i 1 1 i i 1 1 1 i i 1 1 1 1 i i 𝑖𝑖 i2 1 i i i 1 1 i i 1 é elemento neutro Def Um grupo G é dito finito se G possui um número finito de elementos Se G tem m elemento então G é um grupo finito de ordem m Notação G é grupo abeliano chamado 4grupo de Klein G4 14 GZm 0 1 2 m1 Define a soma em Zm sejam a b Zm a b ab ba Zm é grupo abeliano se m2 Z2 é grupo abeliano Z2 0 1 m3 Z3 0 1 2 Z3 é grupo abeliano 12 Zm I z m1 Def ma es producto em Zm pas sejam a b Zm então a b ab ba b a Zm é grupo abeliano m é primo se m3 Z3 Z3 é grupo abeliano se m4 GZ4 1 2 3 Z4 mas é grupo pois a operação não é fechada 220 Z4 13 Dm conjunto de simétricos de um polígono regular de m lados Se m3 D3 conjuntos dos simétricos de um triangulo equilátero σ1 1 2 3 1 2 3 σ1 1 2 3 2 3 1 σ112 σ123 σ13 1 σ2 1 2 3 3 1 2 σ2 1 2 3 3 1 2 σ213 σ221 σ232 σ0 1 2 3 1 2 3 id σ0 1 2 3 1 2 3 σ011 σ022 σ033 σ3 1 2 3 1 3 2 σ3 1 2 3 1 3 2 σ311 σ32 3 σ33 2 Σ4 1 2 3 1 2 3 Σ4 1 2 3 3 2 1 Σ41 3 Σ42 2 Σ43 1 Σ5 1 2 3 1 2 3 Σ5 1 2 3 2 1 3 Σ51 2 Σ52 1 Σ53 3 D3 σ0 id σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 D3 o grupos não abelios composições de funções σi são chamados permutações D3 6 Dn o é grupos chamados grupos Dieckel composiçoes Dn 2m Tabele de D3 o o σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 id σ0 σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ1 σ1 σ2 σ0 σ5 σ2 σ3 σ2 σ2 σ3 σ σ4 σ5 σ4 σ4 σ5 σ5 σ5 σ1 o σ1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 σ2 σ1 o σ2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 σ0 id σ1 o σ3 1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3 2 1 3 σ5 σ3 o σ1 1 3 2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 2 1 σ4 Aula 9 20052022 Teoria de grupos Def Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação binária Dizemos que em relação à operação quando verifica a operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G ou que G é um grupo G1 G2 G3 Propriedade associativa Existência de elemento neutro Existência de elemento simétrico G4 Notação Exemplos Ordem de um grupo No caso em que os elementos do grupo G verifique a propriedade comutativa então dizemos que G é um grupo abeliano Se m3 D3 conjuntos dos simetrios do triângulo equilátero σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 D3 0 é grupos é não é abelios f Zm 0 I m1 Zm grupos abelions a b Zm a b a b Zm é groups m é primo Zm Zm 0 Propriedades Seja G um grupo i ii cada elemento de G possui um único simétrico o elemento neutro é único iii iv para cada g G denote por g¹ o elemento simétrico de g então a g¹ ¹ b g h ¹ v se a b G então as equações Dem a x b e y a b possuim solução x e y a g¹ ¹ b g h ¹ v se a b G então as equações a x b e y a b Def se H é um grupo Seja G um grupo Dizemos que um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G Exemplos Notação Z4 Z4Z a b 4 4 b a b a 4k 3 x Z x 3 4 Obs Se G é um grupo com G 1 então G contém pelo menos dois subgrupos subgrupos triviais Os outros subgrupos são chamados subgrupos próprios σ9 1 2 3 4 4 2 1 3 σ10 1 2 3 4 3 2 4 1 Obs Dm Sm Exemplos Z6 0 1 2 3 4 5 H 0 subgrupos triarios de Z6 H Z6 0 2 4 0 3 subgrupos propios Retículo dos subgrupos de um grupo 1 Z4 0 1 2 3 Z4 grupo H1 0 1 H2 Z4 H3 0 2 Z4 0 2 0 2 Z6 grupo H1 0 H2 Z6 H3 0 3 H4 0 2 4 Z6 0 3 0 2 4 0 D3 grupos D3 σ1 1 2 3 1 2 3 σ2 1 2 3 3 4 2 σ3 1 2 3 2 3 1 σ4 1 2 3 1 3 2 σ5 1 2 3 3 2 1 σ6 1 2 3 2 1 3 subgrupos σ1 D3 σ1 σ2 σ3 σ1 σ4 σ1 σ1 σ6 σ1 σ6 σ1 σ4 σ5 σ6 D3 σ1 σ2 σ3 σ5 σ4 σ5 σ6 σ5 σ4 σ5 σ5 σ5 σ6 σ1 Caracterização de subgrupos Seja G um grupo e H um subgrupo de G então H é subgrupo de G se e somente se G3 Simetria Seja h H pq G2 temos qe H logo e h1 H h1 h1 H Portanto H e grupo Exemplo Z é grupo Mostre que 2Z é subgrupo de Z Para mostrar que 2Z é subgrupo de Z mostramos que a b 2Z a b 2Z e que 2Z φ 2Z φ pois 0 20 2Z obs denste pq a b a b Se a b 2Z entao a 2k e b 2t com k t Z a b 2k 2t 2 k t 2 k t Z logo a b 2Z e 2Z é subgrupo de Z Exemplo Dado G grupo Hi Hi G i I Mostre que K Hi é um subgrupo de G iI Dem Sejam a b K mostramos que a b1 K e que K φ K φ Note e id K Hi pois Hi G Se a b K Hi então a Hi i e b Hi i Exercício Grupo Def em relação à operação quando verifica a operação define uma estrutura de grupo sobre o conjunto G ou que G é um grupo Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação binária Dizemos que G1 G2 G3 Existência de elemento neutro Existência de elemento simétrico G4 Notação No caso em que os elementos do grupo G verifique a propriedade comutativa então dizemos que G é um grupo abeliano G é grupo ou não é grupo Propriedade associativa Ordem de um grupo Define a quatidade de elementos de um grupo Se G possui m elementos então podemos escrever Gm Aula 10 27052022 Propriedades Seja G um grupo i ii o elemento neutro é único iii iv para cada g G denote por g¹ o elemento simétrico de g então cada elemento de G possui um único simétrico a g¹ ¹ b g h ¹ v se a b G então as equações a x b e y a b possuim solução x e y Def se H é um grupo Seja G um grupo Dizemos que um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G Notação tem que ser uma operação binária sobre K KxK K k1k2 k1k2 K 3 K 3 3 3 3 6 2 K Portanto K não é um subgrupo de Z4 A Z xRy k Z tal que yx k4 x y 4 x y tem o mesmo resto na divisão por 4 R definida acima é uma relação de equivalência pois é reflexiva simétrica e transitiva Então podemos definir as classes de equivalência de cada elemento a A Z ā x Z x R a classe de equivalência 0 x Z x R 0 x Z x4kk Z 84048 4 0 4 0 I x Z x R 1 x Z x 4q 1 q Z 7315 5 I 5 I 2 x Z x R 2 x Z x 4q 2 622610 10 2 10 2 6 2 6 2 3 x Z x R 3 x Z x 4q 3 q Z 513711 4 0 5 I 0 I 2 3 Z4 0 I 2 3 conjunto quociente Definimos uma operação binária sobre Z4 sejam a b Z4 é definida a soma 26 a b ab Exemplo 2 3 2 3 5 1 27 Obs Se G é um grupo com G 1 então G contém pelo menos dois subgrupos subgrupos triviais Os outros subgrupos são chamados subgrupos próprios Exemplo Retículo dos subgrupos de um grupo Caracterização de subgrupos H é subgrupo de G se e somente se Seja G um grupo e H um subconjunto de G não vazio então Exemplo H a 0 0 b in GL2 R a b in R a not0 notb Para mostrar que H subseteq GL2 R mostraremos que se A B in H entao A B1 in H Se A in H entao A m 0 0 n m n in R m not0 m not0 Se B in H entao B s 0 0 t s t in R s not0 t not0 B1 1s 0 0 1t B B1 B1 B 1 0 0 1 A B1 m 0 0 n 1s 0 0 1t ms 0 nt in H ms not0 pois m not0 r ms in R mt not0 pois m not0 r mt in Rm tem a casa dos elementos de H Portanto H é subgrupo de GL2 R Como obter subgrupos de um grupo Seja S um subconjunto de um grupo G O subgrupo gerado por S denotado é o menor subgrupo de G que contem S Obs Se G for abeliano usamos notação aditiva overline03 overline0 overline16 overline5 1 overline3 overline3 2 overline6 6 6 12 3 2 overline3 overline3 overline3 6 3 overline6 6 6 6 18 0 3 overline3 overline3 overline3 overline3 9 overline0 4 overline6 6 5 overline6 3 2 D3 sigma0 1 a 0 2 0 sigma1 1 2 3 3 1 2 sigma2 1 2 3 2 3 1 sigma3 1 2 3 1 3 2 sigma4 1 2 3 0 2 1 sigma5 1 2 3 2 1 3 S sigma1 3 1 2 S sigma1 sigma1m m in Z sigma1 sigma12 sigma0 m 1 m 2 rightarrow sigma12 sigma0 sigma1 1 2 3 0 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 sigma2 m 3 rightarrow sigma13 sigma0 sigma1 sigma1 sigma12 sigma1 sigma2 sigma1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 sigma0 m 4 rightarrow sigma14 sigma0 sigma2 sigma1 sigma1 sigma13 id m 5 rightarrow sigma15 sigma13 sigma12 sigma0 sigma2 sigma2 id Def Um grupo G é dito cíclico se Neste caso S I I m I m Z 0 I 2 0 Z4 m 0 0 I 0 m 1 I 1 I m 2 I 2 I I I 1 2 m 3 I I I I 2 1 3 Z4 I 0 Z4 é um grupo cíclico compostos D3 o é grupo cíclico D3 σ0 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 S σ3 σ3m σ3 o σ3 o o σ3 m vezes σ3 σ3 m m Z σ0 σ3 id σ3 1 2 3 1 3 2 σ3 0 id σ0 σ3 1 σ3 σ3 2 σ3 o σ3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 σ0 σ3 3 σ3 2 o σ3 σ0 o σ3 σ3 S σ5 σ5 σ5 m m Z σ5 0 σ5 1 σ5 2 Def Dado G um grupo e x G definimos a ordem de x Notação Seja G um grupo finito e x G Se existe um inteiro positivo n tal que x e o subgrupo gerado por x é x Obs Proposição Proposição Seja G um grupo finito e x G Se k é a ordem de x e existe m Z tal que x e então k divide m m kg k m Seja S um subconjunto de um grupo G O subgrupo gerado por S denotado é o menor subgrupo de G que contem S Uma forma de obter subgrupos de um grupo Def Um grupo G é dito cíclico se Neste caso Aula 11 03062022 Def Dado G um grupo e x G definimos a ordem de x Notação Obs Proposição Seja G um grupo finito e x G Se existe um inteiro positivo n tal que x e o subgrupo gerado por x é x Obs Proposição Seja G um grupo finito e x G Se k é a ordem de x e existe m Z tal que x e então k divide m Teorema Todo grupo cíclico é abeliano Exemplo a D3 não é um grupo cíclico σ 1 2 3 1 3 2 σ σ id σ 3 subgrupo cíclico σ é abeliano Obs Um grupo pode não ser abeliano e conter subgrupos abelianos b Z4 3 é um grupo cíclico e portanto abeliano Seja G um grupo finito e H um subgrupo de G então Teorema Def Se G é um grupo H G e x G definimos Exemplos se x i iH i ii ik ik i i j j se x j jH Hj se x j jH Hj se x k kH k1 k1 k2 kk k1 k 1 1 H se x k kH k1 k1 kk kk k k 1 1 H Obs Se x H xH H e Hx H Exemplo Z6 grupo Z6 0 1 2 3 4 5 H 0 2 4 subgrupo Z6 Calcule 3 H e H 5 3 H 30 32 34 3 5 1 H 3 para Z6 é abeliano H 5 05 25 45 5 1 3 5 H c G Z Z1 grupo H 2Z subgrupo de Z 2Z 420246 3 2Z 3k k 2m m Z 32m m Z 1 1 3 5 7 9 2Z 3 Proposição Se G é um grupo finito H G e x G então Def Seja G um grupo H um subgrupo e x y G diremos que A relação definida acima é Transitiva sejam l h s e G tais que l h H e h s H então mostremos que l s H l s H l¹ s H se l h H l¹ h H se h s H h¹ s H como H é subgrupo l¹ h h¹ s H l¹ h h¹ s l¹ e s l¹ s pertenc ro l¹ s H l s H A relação acima define uma relação de equivalência Então para cada g G podemos calcula a classe de equivalência de g Notação g g x G x g H x G x¹ g H x G x¹ g h h H x G x x¹ g x h h H x G g x h h H x G g h¹ x h H x G x gH classe lateral à esquerda de g Exemplo D₃0 H 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 D₃ Verifique se 1 2 3 1 3 2 e 1 2 3 3 1 2 são relacionados por H x y x y são relacionados por H se x¹ y H x¹ 1 2 3 1 3 2 x¹ y 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 H portanto x y são relacionados por H ou x y H Verifique se 1 2 3 1 3 2 e 1 2 3 3 2 1 são congruentes módulo H Seja G um grupo finito e H um subgrupo de G então Teorema Def Se G é um grupo H G e x G definimos classe lateral à esquerda classe lateral à direita Notação Exemplo Aula 12 10062022 Proposição Se G é um grupo finito H G e x G então Def Seja G um grupo H um subgrupo e x y G diremos que Notação A relação é uma relação de equivalência Portanto para cada podemos calcular a classe de equivalência e neste caso Teorema de Lagrange Se G é um grupo finito e H G então Obs Corolário Se G é um grupo de ordem p com p primo então G é cíclico como a te então a T L te a p a 6 G p 6 a Subgrupo Normal e subgrupo quociente Obs Def Um subgrupo H de um grupo G é dito normal se Notação Proposição Se G é um grupo e H G são equivalente i ii iii Exemplo Verifique se o subgrupo é um subgrupo normal de Dado o grupo D3o mostre re M id 1 2 3 3 2 1 é subgrupo normal D3 id 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 0 2 1 2 3 2 1 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 id 1 2 3 1 2 3 σ0 H σ0σ0 σ0σ2 σ1σx Hσ0 σ0σ0σ0σ0 σ0 σ σ4 Hσ1 σ1σ0 σ0σ σ1σ0 Hσ2 σ2σ σ2σ σ2 σ0 Hσ2 σ0σ2 σ0σ2 σ2 σ4 1 2 3 4 3 2 3 2 1 3 2 1 1 2 3 2 3 1 σ5 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 2 3 3 1 2 σ4 Portanto H não é subgrupo normal de D3 Exercício Mostre que o subgrupo σ0σ4σ5 H é um subgrupo normal de D3 Lista 4 Exercício 5 Se G1 e G2 são grupos mostre que G1 x G2 é um grupo onde a1 b1 a2 b2 a1 1 a2 b1 2 b2 Associativa a1 b1 a2 b2 a3 b3 G1 x G2 Tem que verificar a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 1 a2 b1 2 b2 a3 b3 a1 1 a2 1 a3 b1 2 b2 2 b3 G2 G1 são grupos então vai associativa a1 1 a2 1 a3 b1 2 b2 2 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 Existência de elemento neutro Suponha e e1 e2 onde e1 e e2 elementos neutros de G1 e e2 e o elementos neutros de G2 Verifiquemos que ab G1 x G2 e ab ab e ab e ab e1 e2 ab e1 1 a e2 2 b ab ab e ab Existência de elementos simétricos Se ab G1 x G2 onde xy G1 x G2 onde x é o elemento simétrico de a e y é o elemento simétrico de b Mostremos que xy é o elemento simétrico em G1 x G2 isto é ab xy xy ab e1 e2 Lista 5 Ex6 H G xG então xHx1 é subgrupo de G xHx1xhx1 hH K G se i K Φ ii xy K x y K caract subgrupoi Se H G H Φ portanto e H como e ε H x e x1 x x1 e xHx1 e xHx1 portanto xHx1 Φ ii Sejam ab xHx1 então se a xHx1 a x h1 x1 h1 H se b xHx1 b x h2 x1 h2 H a1 b x h1 x11 x h2 x1 x11 h11 x1 x h2 x1 x h1 1 e h2 x1 x h11 h2 x1 xHx1 D6 é cíclico D6 12