Primeira Aula de Funções de Variáveis Complexas - Prof. Leonardo de Amorim e Silva

Primeira Aula de Funções de Variáveis Complexas Prof Leonardo de Amorim e Silva Informações da Disciplina Horários e Local das Aulas Quartasfeiras das 1900 às 2040 Sala H202 Ementa Números complexos Funções elementares de uma variável complexa Funções analíticas Integração Complexa Bibliograa Básica ÁVILA Geraldo S Variáveis complexas e aplicações 3a edição Rio de Janeiro LTC 2000 J W Brown R V Churchill Complex Variables and Applications 8a ed New York McGrawHill 2009 Avaliações As avaliações nesta disciplina se darão por meio de 2 provas Monitoria Números Complexos Motivação Consideremos a equação x2 1 0 Note que ao tentarmos resolvêla obtemos x 1 R Assim se faz necessário estender o conjunto dos números reais a um conjunto maior na qual a equação x2 1 0 tenha solução De forma geral é necessário estender o conjunto dos números reais a um conjunto onde as equações da forma ax2 bx c 0 onde b2 4ac 0 possuam soluções Para isso será introduzido um novo elemento símbolo que denotaremos por i 1 chamada de unidade imaginária satisfazendo i2 1 Desta forma somos levados a considerar um novo tipo de número da forma z a bi chamado de número complexo e a considerar um novo conjunto C z a bi a b R chamado Conjunto dos Números Complexos Tomando o número complexo z a bi chamamos a de parte real de z denotado por a Rez e b a parte imaginária de z denotado por b Imz De maneira mais formal o conjunto dos nimeros complexos C é definido como sendo um conjunto formado por todos os pares ordenados de nimeros reais z a b ab IR munido de uma operacdo de adicdo e uma operacdo de multiplicacao satisfazendo para z a1 51 2 a2b2 C eqyrne a1 b1 a2 bz Sa aeb bo Zz 2 a1 b1 a2 b2 a1 a2 br bo Zz Z a1 bi a2 bz a1a2 bi be a1 bz a2b1 O conjunto dos nimeros complexos munido destas duas operacdes é um corpo O elemento 0 00 é 0 elemento neutro da adicdo o 1 10 0 elemento neutro da multiplicacao o oposto de z a b z a b 0 inverso multiplicativo 1 a b de z ab 00 dado por z atz TR PER O conjunto dos números reais R pode ser visto como um subcorpo de C através da identicação R a a 0 a R C Note que 0 1 0 1 1 0 1 Desta forma podemos denotar o número imaginário i 0 1 Desta forma um número complexo z a b pode ser escrito como z a b a 0 0 b a 0 b 0 0 1 a bi Daqui por diante utilizaremos apenas a notacdo convencional Z a bi para nimeros complexos Nestas condicdes temos para Zay tb 2at bi EC eyqyneathizathbisaaebhh 2 2 a1 bri a2 boi a1 a2 bi bp i Z2 a1 by i a2 boi a1a2 by bp a1 bz abi 2Z a byi 1 1 a1 b ez a4 bi 1021 0 ar Pui 5252 oe 7 Geometricamente o conjunto dos números complexos pode ser representado pelo plano cartesiano chamado plano complexo Denição Para z a bi C denise 1 conjugado de z z a bi 2 valor absoluto ou módulo de z z a2 b2 Observacdo Observe que zz zZ abiabi a2 bababi a b z Desta forma se z 4 0 entdo 1 1 a 4 b Z 1 Zz S I Z Zz a b a b lz z 2 Assim para determinar o quociente de dois nimeros complexos Z ay byl 2 ag boi C com Z FO temos 2 4 2B 22A 1 2 22 i 2 22 2 an by ap2 by Proposicado Sejam z a byl 22 aa boi EC Entdo Z 2 Z Rez aor e Imz a4 2 21 8924 24717e7DA2 2 2 z Z e lal zl o 2 lea se 2 0 2 Z2 5 Z1 0ez 07z 0 Rez z1 Jmz zi Z Z zi Z Desigualdade triangular 21 z2 la 2 Demonstracao Exercicio O Forma Polar e Raízes Dado um número complexo z x yi considerando sua representação geométrica chamase argumento de z ao ângulo θ formado pelo eixo positivo x e pelo vetor Oz Como cos θ x z e sen θ y z temos que z x yi z cos θ z sen θi zcos θ i sen θ A representacdo z zcos sen é chamada forma polar de z e z e sdo as coordenadas polares de z Observe que qualquer angulo da forma 6 2kz com k Z s4o argumentos de z Assim 0 conjuntos dos argumentos de z é dador por arg z 0 2km7 2k Z Exemplo Seja z 2 2i Entao z 22 22 2V2e d 2kr com k Z Logo 1 T 1 7 z 2v2cos7 isen7 ez 2vV2cos isen Exercicio Determine a forma polar de z 23 2i ea forma a 4n An algébrica de z 3cos 3 isen 3 Sejam z1 z1cos θ1 i sen θ1 e z2 z2cos θ2 i sen θ2 Então z1z2 z1z2cos θ1 i sen θ1cos θ2 i sen θ2 z1z2cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 icos θ1 sen θ2 cos θ2 sen θ1 z1z2cosθ1 θ2 i sen θ1 θ2 Assim temos que o produto de dois números complexos é o número cujo módulo é o produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é a soma dos argumentos dos fatores Se z2 0 temos 1 z2 1 z2cos θ2 i sen θ2 1 z2 1 cos θ2 i sen θ2 1 z2 cos θ2 i sen θ2 cos θ2 i sen θ2cos θ2 i sen θ2 1 z2cos θ2 i sen θ2 Assim z1 z2 z1 z2 cos θ1 i sen θ1 cos θ2 i sen θ2 z1 z2cos θ1 i sen θ1cos θ2 i sen θ2 z1 z2cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 i sen θ1 cos θ2 sen θ2 cos θ1 z1 z2cosθ1 θ2 i sen θ1 θ2 ou seja o quociente de números complexos é dado através do quociente dos módulos e a diferença dos argumentos Exercício Se zj zjcos θj i sen θj com j 1 n mostre por indução que z1z2 zn z1z2 zncosθ1 θn i sen θ1 θn Segue do exercício anterior que se z zcos θ i sen θ então zn zncos nθ i sen nθ n N Além disso se z 0 então zn z1n 1 zn 1 zncos nθ i sen nθ 1 zn cos nθ i sen nθ zncosnθ i sen nθ Isto é para qualquer n Z temse que zn zncos nθ i sen nθ Em particular quando z 1 a igualdade cos θ i sen θn cos nθ i sen nθ é chamada de Fórmula de De Moivre Exemplo Se z 2 2i então z 2 2cos7π 4 i sen 7π 4 e logo z4 2 24cos7π 4 i sen 7π 4 4 64cos47π 4 i sen 47π 4 64cos7π i sen 7π 64 Exercício Seja z1 1 i e z2 3 i Determine a forma polar de z1 e z2 e encontre z1z2 z1 z2 z9 1 e z9 2 Dyevitntrero Dado um nimero complexo w e um nimero natural n 1 dizemos que z C éuma raiz nésima de w se z w Se w 0 entdo a Gnica solucdo da equacdo acima é z 0 ou seja z 0 a Gnica raiz nésima de z 0 Teorema Sejam n N ew C com w 0 e suponha que w wcos i sen Ento w possui exatamente n raizes nésimas complexas distintas a saber 6 2kr 0 2kt Z Vw cos sen n n com k01n1 Dem Vamos determinar os nimeros complexos z zcos isen para os quais é verdade que z w Desta equacdo e da formula de De Moivre temos zcos n isen nf wcos isen 6 Logo z w cosné cos e senngd sen Disto segue que z w e que nd 0 2kz com k Z ou seja 6 2k o Ot een Assim fazendo k 01 1 obtemos as n distintas nésimas raizes de w Qualquer outro valor de k produz uma raiz ja obtida De fato pois para k Z do algoritmo da divisdo exitem qr Z tais que k qnr com0rn Entdo 0 2ka 6 2r qnr 0 2rn 4 2qr n n n Se tomarmos 94 2k 94 2k 2kr 2kt ZK tw cos Ct isen concluimos que n n Zk Z com r 019 1 Portanto um nimero complexo w 0 possui n raizes nésimas Zp Z1 Zn1 todas com mesmo 0 2kt médulo z w e argumentos k 01n1 n Observe que quando w 1 obtemos as raizes nésimas da unidade 1 z Zo Zn1 onde 2kn 2Qkr Zk cos Sen n n ee Essas raizes sdo representadas no plano complexo como vértices de um poligono regular de n lados inscrito numa circunferéncia de raio 1 Por exemplo para n 6 temos 2kn 2kat ka ka Zk COS 2 7sen 2 cos 7sen ee