Questões - Convergência - Cálculo 4 - 2023-2

1. Determine se a seguinte série é convergente ou divergente \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 3 \sen(n)}{n + \ln(n) + \sen(n)} 2. Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+3}}{(n+1)8^n} (x-1)^{3n} 3. Seja f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^n n^2}{8^n} x^{3n+1}. Defina a função g(x) = \int_{0}^{x} t^3 f(2t^2) \ dt. Determine \frac{g^{(24)}(0)}{(24)!}. 4. Encontre a relação de recorrência entre os coeficientes da série que resolve a equação diferencial ordinária 2y''(x) - 5x^2y'(x) - xy(x) = 0 e use-a para determinar os primeiros 6 termos não-nulos da solução que satisfaz as condições iniciais y(0) = -4 e y'(0) = 5. Justifique seu raciocínio. Questão 1 ) Usando o teste do n-ésimo termo de an temos que : an= 2n²+3sen(n) n+ln(n)+sen(n) , onde se reescreve como : an= n²[2+ 3sen(n) n² ] n[1+ ln(n) n + sen(n) n ] . Percebe-se que o denominador cresce com n subindo muito e os termos de ln(n) e sem (n) perdem forças com n indo para infinito. Assim, se lim n→∞ an=lim n→ ∞ ( 2n² n )→∞ , usando a regra de L’Hôpital. S=∑n=1 ∞ an→∞ . Conclusão a série diverge ou é divergente . Questão 2 ) Se lim n→∞| an+1 an |<1 , então a séria de converge. Sendo an= √n+3 (n+1)8 n(x−1) 3n , e an+1= √n+4 (n+2)8 n+1(x−1) 3n+3 . Temos ainda que : an+1 an = √n+4 (n+2)8 n+1 (x−1) 3n+3 √n+3 (n+1)8 n (x−1) 3n . Perceba que para a potência de x, a indeterminação já sumiu. an+1 an = √n+4 (n+2)8 n+1 (x−1) 3n+3 √n+3 (n+1)8 n (x−1) 3n = √n+4(n+1)8 n √n+3(n+2)8 n+1 (x−1) 3 ,note que foi usada a regra de divisão de frações, a primeira x o inverso da segunda. an+1 an = √n+4(n+1) √n+3(n+2)8 (x−1) 3 ou an+1 an =(n+1)√n+4 (n+2)√n+3 (x−1)³ 8 . Voltando ao limite, temos que : | an+1 an |=| (n+1)√n+4 (n+2)√n+3 (x−1)³ 8 | . Aplicando o limite , veja que a parte que depende de n, terá limite igual a 1, encontrado usando a regra de L’Hôpital. lim n→∞| an+1 an |=lim n→∞| (n+1)√n+4 (n+2)√n+3 (x−1)³ 8 | de onde lim n→∞| (n+1)√n+4 (n+2)√n+3 (x−1)³ 8 |=| (x−1)³ 8 | . Voltando à questão inicial, se | (x−1)³ 8 |<1 , tem-se a região de convergência da série. Então, se x menor que 3 e x maior que - 1 , a série converge. Esse é o raio de convergência. −1<x<3 O raio de convergência será R da região onde −1<x<3 . Questão 3 ) Sendo f (2t ²)=∑n=1 ∞ (−1) 3n n² 8 n (2t ²) 3n+1 , f (2t ²)=∑n=1 ∞ (−1) 3n n² 1 2(t ²) 3n+1 . Veja que o 8 simplificou. g(x)=∫0 x t 3⋅∑n=1 ∞ (−1) 3n n² 1 2(t ²) 3n+1dt , g(x)=∑n=1 ∞ ∫0 x 2(−1) 3n n² 1 t 3(t ²) 3n+1dt . Agora faça a integral, que ocorre em t. g(x)=∑n=1 ∞ ∫0 x 2(−1) 3nn²t 6n+5dt , foi feito o produto dos termos em t. g(x)=∑n=1 ∞ 2(−1) 3nn²| t6n+6 6n+6| 0 x . Note que em t=0, g será 0. Finalmente: g(x)=∑n=1 ∞ 2(−1) 3nn² x 6n+6 6n+6 Seja a expansão em série de Maclaurin (Taylor no ponto x=0) de uma função, dada por: h(x)=∑k=0 ∞ h (k) k! x k é a expansão de uma função de x, no ponto x=0. O termo h (k) indica a k-ésima derivada da função h(x), calculada em x=0. Veja que g(x) tem todos os termos proporcionais a x 6n+6 , onde é fácil notar que : g(0)=0; g`(0)=0; . . . . g (24 )(0)=0 , assim g (24)(0) 24! =0 Vale ressaltar que entendi que a notação era de uma expansão em série de Taylor, em torno de x=0. Questão 4) Vamos supor que a séria dada por y(x)=∑n=0 ∞ an x n , seja solução da equação diferencial. ˙y(x)=∑n=1 ∞ nan x n−1 e ainda ; ¨y(x)=∑n=2 ∞ n(n−1)anx n−2 . Assim a equação vai ficar: 2∑n=2 ∞ n(n−1)an x n−2−5 x²⋅∑n=1 ∞ nan x n−1−x∑n=0 ∞ anx n=0 . Rearrumando, 2∑n=2 ∞ n(n−1)an x n−2−5⋅∑n=1 ∞ nanx n+1−∑n=0 ∞ an x n+1=0 Nesse momento, precisamos deixar todos os expoentes da variável x iguais uns com os outros. Em outras palavras, é preciso que todos os expoentes de x sejam iguais. Apenas no primeiro termo, vou fazer n-2= P+1. Assim, teremos: . ∑P=−1 ∞ 2(P+3)(P+2)aP+3x P+1−∑n=1 ∞ 5nanx n+1−∑n=0 ∞ an x n+1=0 Agora os expoentes do x, são todos iguais a k+1, com k inteiro. Aqui, o k é genérico. É preciso colocar todas as séries começando do mesmo ponto inicial. ∑P=−1 ∞ 2(P+3)(P+2)aP+3x P+1−∑n=1 ∞ 5nanx n+1−∑n=0 ∞ an x n+1=0 Vamos expandi os 6 primeiros termos de cada série: 2⋅2⋅1a2+2⋅3⋅2a3x+2⋅4⋅3a4 x ²+2⋅5⋅4a5x 3+2⋅6⋅5a6 x 4+2⋅7⋅6a7 x 5 −[5⋅1a1 x²+5⋅2a2x ³+5⋅3a3 x 4+5⋅4a4 x 5+5⋅5a5x 6+5⋅6a6 x 7] −a0x−a1x ²−a2 x³−a3x 4−a4x 5−a5x 6+f (x)=0 Onde f(x) simboliza todo o restante dos termos das 3 séries. Vou rearrumar: Veja que nesse formato, a primeira série sempre tem um atraso no expoente de x. Assim, vamos avaliar apenas expoentes menores ou iguais a 5. Como a soma dos coeficientes precisa ser zero, temos: (12a3−a0)⋅x=0→12a3−a0=0 . Daqui , a3= a0 12 ; [24⋅a4−6⋅a1] x ²=0→[24⋅a4−6⋅a1]=0 , dando que a4=a1 4 ; (40a5−11a2)x ³=0 a2=0 , dando que a5=11a2 40 ; [60⋅a6−16⋅a3]x ⁴=0→60⋅a6−16⋅a3=0 , a6= 4⋅a3 15 = 4 15 a0 12 [84⋅a7−21⋅a4] x 5=0→[84⋅a7−21⋅a4]=0 , a7= a4 4 = a1 16 . Vale perceber que os coeficientes que dependerem de a2, serão nulos, pois a2=0. De fato, os termos que a2n+2=0 . voltando em y(x), temos: y(x)=a0+a1x+a3 x ³+a4x 4+a6 x 6+a7 x 7. .. y(x)=a0+a1x+ a0 12 x³+ a1 4 x 4+ 4 15 a0 12 x 6+ a1 16 x 7+... y1(x)=a0+ a0 12 x ³+ 4 15 a0 12 x 6+...=a0(1+ 1 12 x ³+ 4 15 1 12 x 6+...) y2(x)=a1(x+ 1 4 x 4+ 1 16 x 7+...)=a1∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n , sendo que fica para defini a menos de uma constante. Se y(0)=−4e ˙y(0)=5 , para os primeiros 6 termos: y(0)=a0=−4 ; Derivo y(x), já a série, e encontro ˙y(x)=a1+ a0 6 x ²+ a1 1 x 3+ 2 15 a0 1 x 5+7 a1 16 x 6+... , se ˙y(0)=a1=5 Se y(x)=a0(1+ 1 12 x ³+ 4 15 1 12 x 6+...)+a1∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n y(x)=−4(1+ 1 12 x³+ 4 15 1 12 x 6+...)+5∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n Extras, ( essa parte não foi pedida), é apenas para lhe ajudar estudar. y(x)=a0(1+ 1 12 x ³+ 4 15 1 12 x 6+...)+a1∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n y(x)=a0+a0( 1 12 x³+ 4 15 1 12 x 6+...)+a1∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n Olhando com cuidado. y1(x)=a0+a0( 1 12 x ³+ 4 15 1 12 x 6+...)=a0+a0∑n=1 ∞ 2 n (2n+2)! x n+2 n Então, a solução geral será: y(x)=a0+a0∑n=1 ∞ 2 n (2n+2)! x n+2 n +a1∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n Veja que pode e deve usar na sua resposta de y(x), nas condições de contorno. y(x)=−4−4⋅∑n=1 ∞ 2 n (2n+2)! x n+ 2 n +5⋅∑n=0 ∞ x 3n+1 4 n . Seria a solução para as condições de contorno do problema. Espero que seja útil para seus estudos.