Lista Pré Cálculo 2021 2

Questão 1 Elipses são locais geométricos muito importantes para aplicações na Engenharia e Ciência em geral. Uma elipse é, por exemplo, o formato da trajetória de qualquer planeta em torno de sua estrela. Definimos esta curva como segue: sejam F_1 e F_2 dois pontos (chamados de focos). A elipse é o lugar geométrico dos pontos P no plano cuja soma das distâncias d_1 (distância entre P e F_1 ) e d_2 (distância entre P e F_2 ) é constante igual a 2a, com a > 0. É possível mostrar que uma elipse de largura com medida 2a e altura com medida 2b, centrada na origem, é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) Figura 1: Fonte: By Ag2gaeh - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=57428275 Responda os itens a seguir considerando a = 2 e b = 1. (a) Resolva a equação para y sabendo que y ≥ 0 e também y < 0. Em ambos os casos, determine os valores admissíveis para x (para que a expressão encontrada por você faça sentido). (b) Se um dos focos, F_1, tem abscissa x = \sqrt{3}, determine os possíveis valores de y (ordenada) do ponto P, que é qualquer ponto da elipse com a mesma abscissa do referido foco F_1. Determine também a distância entre P e o outro foco, F_2. Use a figura e as propriedades da elipse para auxiliar suas justificativas. Questão 2 Considere a expressão E(x) = \frac{(3x+1)}{(2x-1)(x+1)}. Faça o que se pede: (a) Encontre os valores de x tais que E(x) = 0. (b) Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressão escrita na tabela. Observe que o estudo do sinal já foi feito para a expressão 3x + 1. \[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{x} & \text{x < -1} & -1 < \text{x} < -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} < \text{x} < \frac{1}{2} & \frac{1}{2} < \text{x} < \frac{1}{5} & \text{x} > \frac{1}{5} \\ \hline 3x+1 & - - - & & + + + & + + + & + + + \\ 2x-1 & & & & & \\ x+1 & & & & & \\ E(x) = \frac{(3x+1)}{(2x-1)(x+1)} & & & & & \\ \end{array} \] (c) Encontre os valores de x tais que E(x) < 0. Questão 3 As retas r e s são perpendiculares entre si e interceptam-se no ponto (2,0). A reta s passa pelo ponto (0, 3). Uma terceira reta t é paralela a r e passa por (2,3). Determine as equações das retas r e t.