Lista Pré Cálculo 2021-2

Questão 1 Elipses são locais geométricos muito importantes para aplicações na Engenharia e Ciência em geral. Uma elipse é, por exemplo, o formato da trajetória de qualquer planeta em torno de sua estrela. Definimos esta curva como segue: sejam F1 e F2 dois pontos (chamados de focos). A elipse é o lugar geométrico dos pontos P no plano cuja soma das distâncias d1 (distância entre P e F1) e d2 (distância entre P e F2) é constante igual a 2a, com a > 0. É possível mostrar que uma elipse de largura com medida 2a e altura com medida 2b, centrada na origem, é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação x²/a² + y²/b² = 1 Figura 1: Fonte:By Ag2gaeh - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=57428275 Responda os itens a seguir considerando a = 2 e b = 1. a) Resolva a equação para y sabendo que y ≥ 0 e também y < 0. Em ambos os casos, determine os valores admissíveis para x (para que a expressão encontrada por você faça sentido). b) Se um dos focos, F1 tem abscissa x = √3, determine os possíveis valores de y (ordenada) do ponto P, que é qualquer ponto da elipse com a mesma abscissa do referido foco F1. Determine também a distância entre P e o outro foco, F2. Use a figura e as propriedades da elipse para auxiliar suas justificativas. Questão 2 Considere a expressão E(x) = (3x + 1)/(2x - 1)(x + 1). Faça o que se pede: (a) Encontre os valores de x tais que E(x) = 0. (b) Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressão escrita na tabela. Observe que o estudo do sinal já foi feito para a expressão 3x + 1. +----------+-----------+ | x < -1 | -1 < x < -1/3 | -1/3 < x < 1/2 | x > 1/2 | + + + | 3x + 1 | - - - - | + + + | + + + | 2x - 1 | +----------+-----------+ | x + 1 | +----------+-----------+ | E(x) = (3x + 1)/(2x - 1)(x + 1) + (c) Encontre os valores de x tais que E(x) < 0. Questão 3 As retas r e s são perpendiculares entre si e interceptam-se no ponto (2, 0). A reta s passa pelo ponto (0, 3). Uma terceira reta t é paralela a r e passa por (2, 3). Determine as equações das retas r e t.